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专题 04 利用二次函数的图象和性质解决线段、周
长、面积最值问题
含参数的二次函数的图象和性质
1．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数 ，对于其图像和性质，下列说法错误的
是（ ）
A．图像开口向下 B．图像经过原点
C．当 时， 随 的增大而减小，则 D．当 时， 随 的增大而增大
2．（22-23九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线 （ ， 为常数，且 ），关于抛物
线的下列说法中，不正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．若 ，则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧
C．若点 ， 在抛物线上，且 ， ，则
D．若点 在抛物线上，则
3．（23-24九年级上·四川南充·期末）已知自变量为 的函数 ，下列结论：①当自
变量 时，函数值 ；②自变量 在实数范围内，函数有最大或最小值；③图象与 轴有公共点；
④无论 何值，图象经过两个定点．其中正确结论有 （填写序号）4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）抛物线 （a，c是常数且 ， ）经过点 ．
下列四个结论：
①该抛物线一定经过点 ；
② ；
③若点 ， 在该抛物线上， ，则 的取值范围为 ：
④若 是方程 的两个根，其中 ，则 ．
其中正确的是 ．（填写序号）
根据二次函数y=ax²+bx+c的图象判断有关的信息
1.（23-24九年级上·江西·期末）二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；
② ；③m为任意实数，则 ；④ ．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
2.（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线 的图象．如图所示，则下列结论中，正确的
有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ；⑤ ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图
象经过点 ， ．给出下面三个结论：① ；② ；③关于 的一元二次方程
有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
4.（23-24九年级上·山东聊城·期末）已知二次函数 的图象如图所示，并且关于x的一
元二次方程 有两个不相等的实数根，下列结论：① ；② ；③
；④ ，⑤ 无实数解，写出正确的序号 ．5.（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于A，B 两点，
与y轴交于C点，且对称轴为 ，点B 坐标为 ．则下面的四个结论：① ；②
；③ ；④当 时， 或 ，其中正确的是
利用二次函数的图象和性质求线段最值问题
1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线 与x轴交于 、 两点，与y轴交于点 ，其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求 的最小值．
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线的解析式是 ，
直线 的解析式是 ，点 ，点 是在该抛物线上的动点，连接 ，过 作 ．
(1)求证： ；
(2)设点 ，求 的最小值及此时点 的坐标．
3．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 为等腰直角
底边 上的高，抛物线 的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．
(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，点E为抛物线上位于直线 上方的一点， 过点E作 轴交直线 于点N，求线段
的长度最大值及此时点E的坐标；
(3)如图2，点 是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段 的长度最
大时，求 的最小值．
4．（23-24九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线 经过 ，点 两点，点D在
该抛物线上运动，设点D的横坐标为 ．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)当 时，过点D作 轴，交直线AB于E点，求线段DE的最大值．
(3)当 时，若抛物线在点D，点B之间部分（包括点D，点B两个端点）的最高点和最低点的纵坐标的差
为3时，求m的值．
(4)设抛物线 与线段AB围成的封闭图形记作图形P，点C为直线AB上的一个动点（点C不
与点A重合），设点C的横坐标为n，以 为边向下作正方形 ，当M、N两点中只有一个点在图
形P的内部时（不包括边界），直接写出n的取值范围．
利用二次函数的图象和性质求周长最值问题
1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、B(4,0)两
点，且 ．(1)求抛物线解析式；
(2)点 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 、 、 ，求出当 的周长最小时点 的坐标．
2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点 ，交y轴于点
C(0,−3)
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为P，求 的面积
(3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使 的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
3．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，
且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的值最小，求此时P点坐标及△APC周长；（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点
D的坐标．（直接写出结果）
利用二次函数的图象和性质求面积最值问题
1．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，已知抛物线 与x轴交于A、 两点，
与y轴交于C点，直线 交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形 面积的最大值；并直接写出M点的坐标．
2．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
，连接 ．点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点， 交y轴于点D．
(1)求k的值；
(2)当 为等腰三角形时，求点D的坐标；
(3)连接 ，求 面积的最大值．
3．（23-24九年级上·西藏·期末）如图，二次函数 的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，y轴上一点 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点C是抛物线上的一点且横坐标为3，当 的值最小时，求点M的坐标；
(3)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结 ，求 的最大面积；
(4)在二次函数图象上是否存在点N，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出
所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，抛物线 与 轴交于 两点，
与 轴交于点 ，直线 经过点 ，点 是直线 上的动点，过点 作 轴，垂足为
，交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)当点 位于直线 上方且 面积最大时，求 的坐标；
(3)将 点向右平移 个单位长度得到点 ，当线段 与抛物线只有一个交点时，请直接写出 点横坐标
的取值范围_______．
