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专题 03 直线和圆的位置关系
目录
A题型建模・专项突破
题型一、已知直线和圆的位置关系求半径的取值.......................................................................................1
题型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直.......................................................................................5
题型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径.....................................................................................11
题型四、切线的性质和判定的综合应用.....................................................................................................17
题型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系.............................................................................24
题型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系.............................................................................28
B综合攻坚・能力跃升
题型一、已知直线和圆的位置关系求半径的取值
1．已知 中， ， ，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段 只有一个交点，
则r的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出 ，利用等面积法求出当圆与 相切时，
；然后得到当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是 ，进而求解即可．
【详解】解：过C作 于D，
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵
∴∴ ，
∴当圆与时 相切时， ；
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是 ，
综上所述：若此圆与线段 只有一个交点，r的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是
解此题的关键，用了分类讨论思想．
2．在 中， ， ，以C为圆心，r为半径作 ．若 与边 只有一个交
点，则r的取值范围是
【答案】 或
【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关
系是解题的关键．作 于 ，由勾股定理求出 ，由三角形的面积求出 ，得出以 为圆心，
为半径所作圆，则此时圆与斜边 相切，只有一个交点；由 ，可得以 为圆心，
为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点．
【详解】解：作 于 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ 的面积 ，
∴ ，
即圆心 到 的距离 ，
∴以 为圆心， 为半径所作的圆，则此时圆与斜边 相切，只有一个交点；
∵ ，
∴以 为圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，
综上分析可知：若 与边 只有一个交点，则r的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．3．如图，在梯形 中， ， ， ， ， ，点 是边 上一点，以
为圆心， 为半径的 ，与边 只有一个公共点时，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作 于E，找到两个临界状态，一个是恰好与 相切时，此时点D是切点，得到半径为
，另一个是经过点A时，则 ，建立方程求解即可．
【详解】解：作 于E，则 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵
∴ ，
当点 运动到点E时， ，此时 与 相切，
∴ ，
当 经过点A时，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，解得： ；
∴以 为圆心， 为半径的 ，与边 只有一个公共点时，则 的取值范围是 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理，矩形的判定与性质等知识，注意
分情况讨论是解题的关键．
4．如图， ，点O在 上，且 ，以点O为圆心，r为半径画圆，若 的边 与
有两个公共点，则r的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本量主要考查了直线与圆的位置关系，当 和射线 相切时，边 与 有一个公共点，此
为临界点，r取最小值；当 经过点A时，r取最大值．由此可得结论．
【详解】解：当 与 相切时，如图，
，
又∵ ，且 ，
是等腰直角三角形， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 经过点A时，如图，此时r取最大值，最大值为4，
综上可知，若 的边 与 有两个公共点，则r的取值范围 ．
故答案为： ．
题型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直
已知直线与圆有公共点，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，
证垂直”.
5.如图所示，已知 是圆O的直径，圆O过 的中点D，且 ．
(1)求证： 是圆O的切线；
(2)若 ， ，求圆O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)圆O的半径为
【分析】（1）连接 ，利用三角形的中位线定理可得出 ，再利用平行线的性质就可证明 是
圆O的切线．
（2）利用 特殊角度，根据直角三角形的性质和勾股定理可求出 的长，由两直线平行同位角相等，
可得出 ，从而求得 ，得到 是等边三角形，即可求圆
O的半径．
【详解】（1）证明：连接 ，∵D是 的中点，O为 的中点，
∴ ．
又∵ ，
∴
∴
∴ ，
∵ 为圆O的半径，
∴ 是圆O的切线．
（2）解：连接 ，
∵ 是圆O的直径，
∴
∴ 是直角三角形．
∵ ， ，
∴
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 是等边三角形，∴ ，
即圆O的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角
形的判定与性质．要证某线是圆的切线，熟练掌握证明某线是圆的切线的常用方法：已知此线过圆上某点，
连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
6.如图， 内接于 ， 是 的直径，点 在 上，点 是 的中点， ，垂足为点
D， 的延长线交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含30°的直角三
角形性质，是解决问题的关键．
（1）连接 ，由 ， ，推出 ，得到 ，由 ，得到
，即得；
（2）由直径性质可得 ，推出 ，根据含30°的直角三角形性质得到 ，
根据 ，得到 ．
【详解】（1）证明：∵连接 ，则 ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
7.如图，以点O为圆心， 长为直径作圆，在 上取一点C，延长 至点D，连接 ，
，过点A作 交 的延长线于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角
定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，如图，根据圆周角定理得到 ，即 ，求得 ，
得到 ，根据切线的判定定理即可得证；
（2）根据勾股定理得到 ，求得 ，根据切线的性质得到 ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：如答图，连接 ，
∵ 为直径，
∴ ，
即 ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴
∴ ，
∴ ．
∵ ， 是 的直径，
∴ 是 的切线．
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
8.如图， 是 的直径，点 ， 在 上， ，交 的延长线于点 ，延长 交 的延
长线于点 ，连接 ， 平分 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若点 为 的中点， 的半径为 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌
握相关的知识．
（1）连接 ，则 ，得到 ，结合 平分 可推出 ，根据平行线的
性质并结合 ，交 的延长线于点 ，即可证明；
（2）连接 ，则 ，由圆周角定理和角平分线的定义可推出 是等边三角形，得到
， ，推出 ，得到 ，最后由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，则 ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，交AE的延长线于点 ，
，
，即 ，
是 的半径，是 的切线；
（2）解：如图，连接 ，则 ，
由（1）知 ，
，
，
点 为 的中点，
，
，
是等边三角形，
， ，
由（1）知 是 的切线，
，
，
，
，
．
题型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径
当题目中没有指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于圆的
半径，简称“作垂直，证半径”.
9.如图， 是等腰直角三角形， ，O为 的中点，连接 交 于点E， 与 相
切于点D．(1)求证： 是 的切线；
(2)延长 交 于点G，连接 交 于点F，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了判定直线是圆的切线的判定、切线的性质定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等
知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，过点O作 于点P，根据等腰三角形的性质得到 ，推出
，即可证明结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出 的长，勾股定理求出 ，如图：连接 ，过点O作
于点H，根据等面积法可得 ，勾股定理求出 ，最后根据等腰三角形的性质
求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，过点O作 于点P，
∵ 与 相切于点D，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，O为 的中点，
∴ ，
∴ ，即 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ，∵O为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
如图：连接 ，过点O作 于点H，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
10.如图，在 中， ， ，点O为边 中点，以点O为圆心的圆与 相切于点
D．
(1)求证： 是 的切线；
(2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明．
【答案】(1)详见解析
(2)四边形的形状是正方形，证明见解析
【分析】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解
题的关键．（1）连接 ， ，过点O作 于E，根据 ，点O为边 中点，可得 平分 ，
根据角平分线的性质，得到 ，即证明 为 的半径，点 在圆上，结合 ，根据切线的
判定定理即可得证；
（2）由 ， ，可得 ， ，得到四边形 是矩形，
又 ，即证明四边形 是正方形．
【详解】（1）证明：如图，连接 ， ，过点O作 于E．
， ，点O为 边中点，
平分 ，
与 相切于点D，
为 的半径，且 ，
平分 ， ， ，
，
为 的半径，点 在圆上，
又 ，
是 的切线．
（2）四边形的形状是正方形．
证明： ， ，
，
又 ，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形．
11.如图， 为正方形 对角线上一点， 与以 为圆心， 长为半径的 相切于点 ．
(1)求证： 与 相切；(2)若正方形 的边长为1，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为 ．
【分析】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定．
（1）根据正方形的性质得到 是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；
（2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到 是圆的半径的 倍，
从而根据对角线的长列方程求解．
【详解】（1）证明：连接 ，过 作 于 ；
与 相切，
，
四边形 是正方形，
平分 ，
，
与 相切；
（2）解： 四边形 为正方形，
， ， ，
， ，
，
；
又 ，
，
．
12.如图 ， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心， 长为半径的 与 相切于点 ，与
相交于点 ．(1)求证： 与 相切．
(2)若正方形 的边长为 ，点 是半径 上的一个动点，过点 作 交 于点 ．
当 时，求 的长
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）如图 ，连接 ，过点 作 于 ，证明 ，得到 ，即
可求证；
（ ）连接 ，并反向延长 交 于 ，连接 ，可得 ，得到 ，
，进而得 为等腰直角三角形，得到 ，设 的半径为 ，则
， ，可得 ，即得 ，得到
，即可得 ，得到 ， ，再由 可得
，得到 ，最后利用勾股定理得到 ，进
而利用勾股定理即可求解；
【详解】（1）证明：如图 ，连接 ，过点 作 于 ，
∵ 为 的切线，点 为切点，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 相切；（2）解：连接 ，并反向延长 交 于 ，连接 ，
∵ 为 的切线，点 为切点，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 的半径为 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．题型四、切线的性质和判定的综合应用
13．如图， 是正方形 对角线上一点，以 为圆心， 长为半径的 与 相切于点 ．
(1)求证： 与 相切；；
(2)若正方形 的边长为 ，则 的半径 _______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，其中掌握圆的相关知识点、正方形的
性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键．
（1）如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，则 ，可证 ，得
，结合切线的判定方法即可求证；
（2）根据题意可证四边形 是正方形，设 ，则 ，在 中，
运用勾股定理可得 ，则 ，根据正方形的性质可得 ，则有
，由此即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，则 ，
∵ 与 切于点 ，
∴ ，∴ ，
∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是圆的半径，
∴ 是圆的半径，且点 是半径的外端点， ，
∴ 与 相切；
（2）解：∵ ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∵正方形 的边长为 ，即
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴ 的半径为 ，
故答案为： ．
14．如图， 是 的直径， 与 相切于点 ， 交 的延长线于点 ， 交 的延长
线于点 ，
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1) 与 相切，见解析
(2)
【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
（1）过点O作 ，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明 ，进而可得
， ，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论；
（2）由勾股定理求出 ，进而可得 ，再在 中，由勾股定
理列方程求出 的半径．
【详解】（1）解：证明：过点O作 ，
是 的直径， 与 相切于点A，
，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
与 相切；
（2）由（1）证得 ，
，
， ， ，
∴
由（1）证得 ，，
，
设 的半径为： ，
，
，
的半径为 ．
15．如图， 内接于 ， 是直径， 的切线 交 的延长线于点 ， 交 于点
，交 于点 ，连接 ；
(1)判断 与 的位置关系并说明理由．
(2)若 的半径为 ， ，求 的长．
【答案】(1) 是 的切线；理由见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂径定理，综合运用相关知识是解题的
关键．
（1）连接 ，由 得到 ， ，进而得到 ，证明 ，得
到 ，根据切线的性质得到 ，从而 ，得证结论；
（2）根据勾股定理求出 ，由 ， 得到 ，得到 ，根据 的
面积求出 ，即可解答．
【详解】（1）解： 是 的切线；理由如下：
连接 ，
∵ ，
∴ ， ，，
，，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
是 的切线，
，
，
，
是 的切线；
（2）解： 的半径为 ， ， ，
，
∵ ， 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
解得： ，
．
16．如图， 是 的直径，点 ， 在 上，且 过点 作 的垂线，交 的延长线
于点 ，交 的延长线于点 ， 为 下方的半圆弧的中点， 交 于点 ，连接 ， ．(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)已知 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由题意可证 ，且 ，可得 ，即 是 的切线；
（2）由同弧所对的圆周角相等，可得 ，由余角的性质可得 ；
（3）由题意可得 ，根据勾股定理可求 的长．
【详解】（1）证明：如图 ，连接 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
是 的切线；
（2）证明： 是 的直径，
，
，
由（1）可知 是 的切线，
，，
，
，
，
又 ，
；
（3）解：如图 ，连接 ，
是半圆弧的中点，
，
在 中， ， ，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，直径所对的圆周角等于 ，同弧所对的圆周角相
等，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
题型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
17．如图，在 中， ，其内切圆分别与 、 、 相切于点 、 、 ，若 ，
，则 内切圆的半径长度为 ．
【答案】1
【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，连接 ，勾股定理求出 的长，
等积法求出内切圆的半径长即可．
【详解】解：设内切圆的圆心为 ，连接 ，则： ， ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；即： 内切圆的半径长度为1．
故答案为：1．
18．如图， 是 的内切圆， ，则 的大小是 ； 的半径
是 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心及半径， 是 的内切圆，即O是 的内心，求得
，然后利用三角形内角和定理求解 即可，如图所示，设 、 、 与 的切
点分别为 、 、 ，内切圆半径为 ，证明 ，结合 ， ，再进一
步解答即可．
【详解】解：∵ 是 的内切圆，即O是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
如图所示，设 、 、 与 的切点分别为 、 、 ，内切圆半径为 ，∴ ，
在 ， ， ， ，
∴ ，
在四边形 中， ， ，
四边形 是正方形，
∴ ，
由切线长定理，得： ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
19．如图， 经过 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足
，则 的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等
知识，过点O作 于点M， 于点N， 于点P，连接 ，由弦心距和垂径定理
得出 ， ，推出小 是 的内切圆，四边形
是正方形，得 ， ， ， 是等腰直角三角形，则 ， ，设
，求出 ， ，然后在 ，由勾股定理列出一元二
次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点O作 于点M， 于点N， 于点P，连接 ，∵弦 ，
∴ ， ，
∴小 是 的内切圆，四边形 是正方形，
∴ ， ， ， 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
设 ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴设 ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
故答案为： ．
20．如图，在 中， ， 是 的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接
．(1)若 ， ，则 ；
(2)若 的周长为 ，面积为 ，则 ， ， 之间有什么数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心，解答的关键是充分利用
已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和．
（1）根据等面积法即可得出结论；
（2）根据 ，结合 ，即可得到 ， ， 之间数量关系．
【详解】（1）解：连接 、 、 ，
∵
∴
在 中，
∵ ， ，
∴
又∵ ，
代入①得： ；
（2）∵ ，代入①得 ，
∴ ， ， 之间数量关系为
题型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
21．如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，且 ， ，
．
如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，
(1)求 的长．
(2)已知 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是
解题的关键．
（1）由切线长定理可知： ， ， ，设 ，则 ，
，根据 ，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用 ，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可
求解出 的长．
【详解】（1）解：∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
， ， ，
设 ，则 ， ，
根据题意得：
解得：
， ， ，
则 的长为 ；
（2） ， ， ，
∴半周长 ，又 ，
，
，
则 的长为 ．
22．如图， 为 的内切圆，切点分别为 ，点 分别为 上的点，且 为
的切线．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)11
【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是：
（1）利用三角形内角和求出 ，再根据内切圆的性质和切线长定理得出 ，
，再求出 ，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）设 的切点为 ，根据内切圆的性质得到 ， ，推出 的周长为 ，再结
合切线长定理可得 ，再计算即可
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 为 的内切圆，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 为 的内切圆， 为 的切线，设切点为 ，
∴ ， ，
∴ 的周长为：∵ ， ， ，
∴
．
一、单选题
1．已知点O到直线l的距离为 ，以点O为圆心的 与直线l有两个交点，则 的半径可能为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若 ，
则直线与圆相交；若 ，则直线于圆相切；若 ，则直线与圆相离．据此作答即可．
【详解】解：∵点O到直线l的距离为 ，以点O为圆心的 与直线l有两个交点，
∴ 的半径 ．
∴ 的半径可能为 ．
故选：D．
2．如图， ， 是 的切线， ， 为切点，点 为 上一点，若 ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题
的关键．如图所示，连接 ，根据切线的性质可得 ，根据圆周角定理可得
，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的切线， 为切点，
∴ ，即 ，
∵点 为 上一点， ，
∴ ，
在四边形 中， ，
故选：C．
3．如图，点 在 上，点 在 外，以下条件不能判定 是 切线的是（ ）
A． B．
C． D． 与 的交点是 中点
【答案】D
【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关
键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、 ，
，
，
点B在 上，
是 的半径，
是 切线；B、 ，
，
，
，
，
点B在 上，
是 的半径，
是 切线；
C、 ，
是直角三角形， ，
，
点B在 上，
是 的半径，
是 切线；
D、 与 的交点是 中点，
不能证出 ，
因此不能判定 是 切线；
故选：D．
4．如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， ，垂足为 ，连接 ．若 ，
且 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的直径所对圆周角是直角，切线的性质，含特殊角
的直角三角形的性质是解题的关键．
是 的直径， 是 的切线， 为切点， ，连接 ， ，得 ， ，
可知 ， ，由 即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，根据题意得， ，
∵ 是 的切线， 为切点，
∴ ，即 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
5．如图，在一张三角形 纸片中， ， ， ， 是它的内切圆，小明用剪刀
沿着 的切线 剪下一块三角形 ，则 的周长是（ ）
A．17 B．19 C．20 D．22
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
设 的内切圆切三边于点 ，连接 、 、 、 、 、 ，得四边形 是正
方形，由切线长定理可知 ，根据 是 的切线，可得 ， ，根据勾股定理
可得 ，再求出内切圆的半径为 ，进而可得 的周长．
【详解】解：如图，设 的内切圆切三边于点 、 、 ，连接 、 、 、 、 、 ，∴四边形 是正方形，
由切线长定理可知 ，
∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 是 的内切圆，
设 的半径为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ．
故选：C．
二、填空题
6．如图， 、 、 是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若 ， ，则 的长是
．
【答案】2
【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．由 、 、 是 的切线，
则 ， ，求出 的长即可求出 的长．
【详解】解：∵ 、 为 的切线， ，
∴ ；∵ 、 为 的切线，
∴ ；
∵ ，
∴ ．
故答案为：2．
7．如图，⊙ 是 的内切圆， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．
根据 是 的内切圆，得出 ， ，进而得出 ，
即可得出答案．
【详解】解：∵ 是 的内切圆，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
8．如图， 、 分别切 于A、B，并与 的切线分别相交于C、D，已知 ，则 的
周长等于 ．
【答案】 /24厘米
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟记切线长定理是解决问题的关
键．设切线 与 切于点 ，如图所示，由切线长定理可得 ，数形结合，表示出三角形的周长，代值求解即可得到答案．
【详解】解：设切线 与 切于点 ，如图所示：
∴由切线长定理可得 ，
，
，
故答案为： ．
9．如图，正方形 的边长为 ，若经过 ， 两点的 与直线 相切，则 的半径为
．
【答案】
【分析】设 与直线 相切于点 ，连接并且延长 交 于点 ，连接 、 ，由正方形的性
质和切线的性质，可得四边形 是矩形，由矩形的性质和同圆半径相等，可得 与 之间的关系，
由垂径定理可得 ，用勾股定理解直角三角形即可．
【详解】解：设 与直线 相切于点 ，连接并且延长 交 于点 ，连接 、 ，
四边形 是边长为 的正方形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ 的半径为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质、切线的性质、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的
关键是正确作出辅助线．
10．如图，把 置于平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点P是
内切圆的圆心，将 沿 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 轴重合，第一次滚
动后圆心为 ，第二次滚动后圆心为 ，依此规律，则 的坐标是 ；第2024次滚动后，
内切圆的圆心 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚
动3次为一个循环是解此题的关键．
作 交 于 ， 交 于 ， 交 于 ，连接 、 、 ，由 、 的坐
标得出 ， ，由勾股定理可得 ，再由内切圆的性质可得 ，设
，根据三角形的面积计算出 ，从而得到 ，根据旋转可得出 的坐标为：
，即 ，设 的横坐标为 ，根据切线长定理可得： ，即可得到 的坐标，从
而得到每滚动3次为一个循环，最后根据 ，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作 交 于 ， 交 于 ， 交 于 ，连接 、 、
，， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
，
点 是 内切圆的圆心， ， ， ，
，
设 ，
， ，
，
解得： ，
，
将 沿 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 轴重合，第一次滚动后圆心为 ，第二
次滚动后圆心为 ，
由图可得 的坐标为： ，即 ，
设 的横坐标为 ，
根据切线长定理可得： ，
解得： ，
，
的坐标为 ，即 ，
每滚动3次为一个循环，
，
第2024次滚动后 内切圆的圆心 的横坐标是： ，即 的横坐标是
8099
，
故答案为： ， ．
三、解答题
11．如图， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点 、 、 ．(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题．
（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，可得结论；
（2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可．
【详解】（1）解： 的内切圆 与 、 、 分别相切于点 、 、 ，
， ，
，
在 中， ；
（2）解： 是 的内切圆，
， ， ，
设 ， ， ，
又 ， ， ，
，
解得 ，
．
12．如图， 为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与 的延长线交于点E， 于点
D， 平分 ．(1)求证： 是半圆O的切线；
(2)若 ，B为 的中点， ，垂足为点F，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形．熟练掌握证明切线的方
法并使用面积相等法是解决本题的关键．
（1）根据平行线的判定可得 ，再根据垂直即可证明；
（2）先根据边长结合勾股定理可求解 的长度，再由面积相等法即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是半圆O的半径，
∴ 是半圆O的切线．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵在 中， ， .
∴ ，
，即 ，
解得 ．
13．如图， 是 的直径， ， 分别切 于点 、 ， 分别交 ， 于点 、 ，
平分 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 求 的半径．
【答案】(1)见解析；
(2) 的半径是6．
【分析】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题关键是在证切线的问题中，
一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径．
（1）过 点作 于点 ，先根据切线的性质得到 ，再根据角平分线的性质可得 ，
由 是 的半径，且 ，即可作出判断；
（2）过点D作 于点F，先根据切线的性质得到 从而可证得四边形 是
矩形，根据矩形的性质可得 从而可得 的长，再根据切线的性质求得 的长，在
中，根据勾股定理即可求得 的长，进而即可得解．
【详解】（1）解：证明：过 点作 于点 ，
切 于点A，
，
又 平分 ，
，
为 的半径，
是 的半径，且 ，
是 的切线；（2）解：过点D作 于点F，
， 分别切 于点A，B，
，
四边形 是矩形，
，
又 ，
，
， ， 分别切 于点A，B，E，
，
，
在 中，
，
，
，
即 的半径是6．
14．如图，在 中， ，过 中点 作 与 相切于点 ，交 于点E，F，交 于
点M，N．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ， ．由圆切线的定义得出 ，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
得出 ．再由等腰三角形三线合一即可得出答案．（2）过点 作 于点 ，连接 ．设 的半径为 ，则 ．先由勾
股定理定理得出 ，再由垂径定理得出 ，再根据矩形的判定和性质得出 ，再根据
勾股定理得出 ，
再利用垂径定理求值即可．
【详解】（1）解：连接 ， ．
与 相切，
．
在 中， ，
．
．
（2）解：过点 作 于点 ，连接 ．
设 的半径为 ，则 ．
，
．
在 中，
，
．
．
解得： ．
为 的弦，
．
，
四边形 为矩形．
．在 中，
，
．
．
【点睛】本题主要考查了圆切线的定义，垂径定理，三线合一，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，
勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
15．如图， 是 的直径，C，D 是 上两点，连接 ， ， 平分 ， 交 延
长线于点 E．
(1)写出图中与 相等的一个角： ；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 的半径为5， ，求 的长．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)见详解
(3)
【分析】（1）由角平分线的定义，即可求解；
（2）由等腰三角形的判定与性质，以及三角形外角性质得 ，由同弧所对的圆周角相等得
，结合平行线的性质得 ，即可得证；
（3）由正弦函数得 ， ， ，结合勾股定理，即
可求解．
【详解】（1）解： 平分 ，
，
故答案为： ；（答案不唯一）
（2）证明： 平分 ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（3）解： 的半径为5，
，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
，
，
，，
解得： ，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆的基本性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，一般角的正弦函数
等；掌握切线的判定方法，能熟练利用，勾股定理，一般角的正弦函数进行求解是解题的关键．
16．如图，已知 是 的直径，弦 ，垂足为 ，连接 ，以 为邻边作 ，连
接 与 交于点 ， ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的半径；
(3)求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（ ）由平行四边形的性质得 ，进而由 可得 ，即可求证；
（ ）连接 ，设 ，则 ，在 中利用勾股定理解答即可求解；
（ ）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，可得 ，
，即得 ，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接 ，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ 的半径为 ；
（3）解：过点 作 交 的延长线于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，切线的判定，垂径定理，全等三角形的判定和性
质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
17．如图， 是 的直径， 是 的两条弦，且 与 交于点 ，连接
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求弦 的长；
(3)在（2）的条件下，延长 至点 ，使 ，连接 ．求证： 是 的切线．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角
三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键；
（1）可证 ，则由 定理可证明结论；
（2）连接 ，根据垂径定理可得 ，根据全等三角形的性质可得 ，从而证明 是
等边三角形，由直角三角形的性质即可求解；
（3）根据 是等边三角形，可得 ，得出 ，即可证明．
【详解】（1）证明： 是 的直径，
．
，
；
（2）解：连接 ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
18．如图，在平面直角坐标系中， 与 轴交于点 ，一次函数 的图象分别交
轴于点 ．(1)如图1，当 时，求证：直线 与 相切；
(2)如图2，直线 与 相交，交点分别为 ， ，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）先根据坐标可得： 的半径为1，如图1，过点O作 于M，根据勾股定理和面积
法可得 ，即可得结论；
（2）如图2，连接 ， ，过点D作 轴于G，过点E作 轴于F，证明
，得 ， ，可得 ，并结合勾股定理即可解
答．
【详解】（1）证明：∵点 ，
∴ ，即 的半径为1，
如图1，过点O作 于M，
当 时， ，
当 时， ，∴点C的坐标为 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 与 相切；
（2）解：如图2，连接 ， ，过点D作 轴于G，过点E作 轴于F，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∵点D，E在直线 上，
∴ ，
把①代入②得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
