文档内容
专题 03 旋转
思维导图
【类型覆盖】
类型一、等腰三角形中的旋转
【解惑】已知 是等腰三角形， ， ，点D为 边上一点，连接AD．
(1)如图1， ， ，将 绕着点A顺时针方向旋转与 相同的度数得到 ，连接
，若 ，求 的长度．
(2)如图2，将线段 绕点D逆时针旋转60°到DE，连接 ，点O为线段 的中点，连接 ，证明：
；
(3)点Q为平面内一点，若 ， ，请直接写出 的值．
【融会贯通】
1．问题情境：在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含 角的三角板拼图间存在的关系．如图， ， ， ， ．
操作探究：
(1)如图①，当D、C、B在同一条直线上时，判断直线 与直线 的位置关系并证明；
(2)如图②，将图①中的三角板 绕点C顺时针旋转 ，边 与边 交于点G，判断此时 的
形状并证明；
(3)如图③，将图①中的三角板 绕点C顺时针旋转，边 与边 交于点M，当 是以 为腰
的等腰三角形时，直接写出 的长．
2．如图1， 是等腰三角形， ， ，过点B作 于点C，在 上截取
，连接 、 ，并延长 交 于点P；
(1)求证： ；
(2)试说明 ；
(3)如图2，将 绕着点C旋转一定的角度，那么 与 的位置关系是否发生变化，说明理由．
3．如图1，在 中， ， ， ，点 是 上一点， ，点 在 上
从点 平移至点 ，过点 作 ，交射线 于点 ．将 绕点 顺时针旋转 至 ，
的对应点为 ， 的对应点为 ，连接 ．(1) 的大小是 ， 的大小是
(2)如图2，当 ， ， 三点共线时，求平移的距离 ；
(3)连接 ，当 是等腰三角形时，求平移的距离 ．
类型二、等边三角形中的旋转
【解惑】已知 是边长为4的等边三角形，点D是射线 上的动点，将线段 绕点A逆时针方向
旋转 （即 ）得到 ，连接 ．
(1)如图1，猜想 是什么三角形？__________．（直接写出结果）
(2)如图2，猜想线段 之间的数量关系，并证明你的结论；
【融会贯通】
1．已知 是边长为 的等边三角形，点 是射线 上的动点，将 绕点 逆时针方向旋转 得
到 ，连接 ．(1)如图1，猜想 是什么三角形？______________；（直接写出结果）
(2)如图2，点 在射线 上（点 的右边）移动时，证明 ．
(3)点 在运动过程中， 的周长是否存在最小值？若存在．请求出 周长的最小值；若不存在，
请说明理由．
2．你可以直接利用结论“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”解决下列问题：
在 中， ．
(1)如图1，已知 ，则 共有 条对称轴， °， °；
(2)如图2，已知 ，点E是 内部一点，连接 、 ，将 绕点A逆时针方向旋转，
使边 与 重合，旋转后得到 ，连接 ，当 时，求 的长度．
(3)如图3，在 中，已知 ，点P是 内部一点， ，点M、N分别在边 、
上， 的周长的大小将随着M、N位置的变化而变化，请你画出点M、N，使 的周长最小，
要写出画图方法，并直接写出周长的最小值．
3．综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在
中，点M，N分别为 ， 上的动点（不含端点），且 ．
【初步尝试】（1）如图1，当 为等边三角形时，小颜发现：将 绕点M逆时针旋转 得到 ，
连接 ，则 ，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在 中， ，
， 于点E，交 于点F，将 绕点M逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．试猜想四边形 的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在 中， ， ，连接
， ，请直接写出 的最小值．
类型三、直角三角形中的旋转
【解惑】如图①，直角三角形 与直角三角形 的斜边在同一直线上， ，
， ， 平分 ，将 绕点 按逆时针方向旋转，如图②，记 为
，在旋转过程中：
(1)当 __________°时， ，当 ___________°时， ；
(2)如图③，当顶点C在 的内部时，边 、 分别交 、 的延长线于点M、N．
①求出此时 的度数范围；
② 与 的度数和是否变化？若不变，请直接写出 与 的度数和；若变化，请说明理由．
【融会贯通】
1．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第103─104页的部分内容：
如图 ，在 中，你画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系、相新你与
你的同伴一定会发现：CD恰好是AB的一半、下面让我们用推理证明这一猜想．
已知：如图 ． ． ，在 中， ，CD是斜边AB上的中线．求证：
请用演绎推理写出证明过程．
(1)如图①，在四边形 中， ， 是 的中点，连结
，BD．则 的度数为________．
(2)如图②，将直角三角形 绕其直角顶点 顺时针旋转至 ，若旋转角小于 且点 、 、
共线时， ，点 ， 分别是AB， 的中点，则线段 的长为___________．
2．如图1，在 中， ．(1)作边 的垂直平分线交 于点P，交 于点Q（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，探究线段 与线段 的关系，并说明理由；
(3)在（1）的条件下，有公共顶点C的两个直角三角形 ，将 绕点C旋转，
旋转后的三角形记为 （点P对应点 ，点Q对应点 ）．在旋转过程中，直线 与直线
分别交于 两点，当 为等腰三角形，且点 落在 内都时，求 的面积．
3．已知 和 都是直角三角形， ．如图1，点C与
点F重合．现将 绕点B以每秒 的速度逆时针旋转（当点 落在射线 上时停止旋转），在旋转
过程中，边 与边 的交点记为点P，设旋转时间为 秒．
(1)当 秒时，停止旋转；当 秒时，
(2)如图2，若 中有两个内角相等，求t的值．
(3)设边 与边 所在直线交于点 ，连接 ，如图3，当 时， 是否为定值？如果是，请直接写出该定值；如果不是，请说明理由．
类型四、平行四边形中的旋转
【解惑】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ， ， ．
(1)将 先左平移2个单位、再向下平移4个单位，请画出平移后 ；
(2)将 绕着点 旋转 ，请画出旋转后
(3)若 与 是中心对称图形，则对称中心的坐标为________．
(4)在平面直角坐标系中存在一点 ，使得以 、 、 、 四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写
出点 的坐标是___________．
【融会贯通】
1．如图，在边长为1的正方形网格中， 的顶点均在格点上．
(1)画出 关于点 成中心对称的 ；
(2)点 的坐标为______；(3)四边形 是______．（填矩形、菱形、正方形或平行四边形）
(4)在 轴上找一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点 的坐标：
______
2．如图，已知四边形 是平行四边形， ， ，点P是对角线 所在直线
上的一个动点，将线段 绕点C顺时针旋转 得到 ，点P的对应点为点Q，连接 和 ，直线
和直线 相交于点 M，
(1)如图1，当点P是对角线 的中点时，直线 和直线 所夹的锐角为______度；
(2)如图2，当点P在 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的判断并说明理由；
(3)点P在直线 上运动的过程中，当 为直角三角形时，请直接写出 的长．
3．如图，在矩形 中，对角线 的中点为 ，点 、 在对角线 上， ，直线 绕点
逆时针旋转 角，与边AB、CD分别相交于点 、 点 不与点 、 重合)．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当旋转角 _______ 时，平行四边形 是菱形；
理由：_____________________(写出菱形的判定定理即可)；
(3)在（2）的条件下，连接CE，若 ， ，求 的面积．类型五、菱形中的旋转
【解惑】下图是由含 内角的菱形组成的一个 的网格图． 请画出以 为边的格点四边形 ，
其中点 ， ， ， 均在格点上． 要求如下∶
(1)在图1中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形 ．
(2)在图2中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形 ．
【融会贯通】
1．在菱形 中， ，点E是对角线 上一点，点F在 的延长线上，将 绕点E逆时
针旋转 得到 ．
(1)如图1，若点M恰好落在边 上，且 ， ， ，求 的长度；
(2)如图2，若点M恰好落在边 上，且 ，求证： ；
(3)如图3，若 ， ，连接 ， ，将 沿 翻折，点M的对应点为点 ，
连接 ，当 取最小值时，直接写出点D到 的距离．
2．在菱形 中， ，点P是射线 上一动点，以 为边向右侧作等边 ，点E的位
置随点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点E在菱形 内部或边上时，连接 ，则 与 的数量关系是______， 与 的
位置关系是______；
(2)如图2，当点P、E都在菱形 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成
立，请说明理由．
(3)如图3，若四边形 为正方形，点P在对角线 上， ，交边 于点E，连接 交 于
点F．请求出 的度数并直接写出线段 之间的数量关系．
3．综合与实践
在菱形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，点 是 上的动点，将 绕点 顺时针
旋转 得到 ，连接 ， ．
猜想证明：
（1）如图1，当点 在线段 上时， 与 之间的数量关系为___________．
（2）如图2，当点 在线段 上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
探究发现：
（3）当 是等腰直角三角形时，直接写出 的度数．
类型六、矩形中的旋转
【解惑】如图，矩形 中， ， ， 为 上一点，且 ，连接 ，将线段 绕点
顺时针旋转得线段 ，旋转角等于 ，过点 作 于点 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)求 的长．
【融会贯通】
1．矩形 的边长 ， ，将矩形 绕点 顺时针旋转角 得到矩形 ，点 、 、
的对应点分别为 、 、 ．
(1)如图 ，当 过点 时，求 的长；
(2)如图 ，当点 落在 上时，连结 、 ．
①四边形 是何特殊的四边形？请说明理由；
②证明点 、 、 三点共线．
2．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片 和 拼成“ ”形图案，如图①．试判断： 的形状为
__________．(2)深入探究
小红在保持矩形 不动的条件下，将矩形 绕点 旋转，若 ， ．
探究一：当点 恰好落在 的延长线上时，设 与 相交于点 ，如图②．求 的面积．
探究二：连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图③．线段 长度的最小值为__________．
3．如图①所示，四边形 为矩形， ， ，若点 从 点出发沿 以 的速度
向 运动， 从 点出发沿 以 的速度向 运动． ， 分别同时出发，当一个点到达终点时，
另一点也同时停止．设运动的时间为 ．
(1)当 为何值时， 的面积为 ？
(2)当 为何值时， 的面积最大？
(3)如图②，连接 ，作点 绕点 顺时针旋转 的对应点 ，连接 ．
① 的形状为________三角形；
②当点 在四边形 内部时，直接写出 的取值范围．
类型七、正方形中的旋转
【解惑】在正方形 中， ，将 绕点A按顺时针方内旋转，它的两边分别交
(或它们的延长线)于点M，N．(1)当 绕点A旋转到 时（如图①），求证： ；
(2)当 绕点A旋转到 时（如图②），线段 和 之间的数量关系是________．
【融会贯通】
1．综合与实践
如图（1）在 中， ， ， 是 边的中点，点 是 边的中点，过点 做
于点 ， 与点 ，连接 ， ， ．
(1)求证：四边形 是正方形；
(2)线段 与 的关系为____________；
(3)将四边形 绕点 顺时针旋转，
①当四边形 旋转到如图（2）所示的位置时，请写出线段 与 的关系，并证明：
②旋转过程中，当以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时， 的长为________．
2．如图，四边形 是正方形， ，点P是 上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺
时针方向旋转90°，得到 ．
【初步感知】
（1）在点P的运动过程中，试探究 与 的数量关系．
【深入研究】
（2）连接CE，在点P的运动过程中，试探究 的值．
【拓展延伸】
（3） 与CD相交于点F，在点P的运动过程中，试探究 的周长是否为定值，若是，求出 的周长；若不是，请说明理由．
3．阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图 ，在正方形 中，点 分别为 边上的点， ，连接
，求证： ，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中
到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将
绕点 顺时针旋转 得到 （如图 ），此时 即是 ．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
(1)在图 中， 的度数是___________；
(2)如图 ，在直角梯形 中， （ ）， ， ， 是 上一点，
若 ， ，求 的长度；
(3)如图 ， 中， ， ，以 为边作正方形 ，连接 ．当 ___________
时，线段 有最大值，并求出 的最大值．
类型八、一次函数中的旋转
【解惑】探索发现一：法国近代数学家笛卡尔是一位勇于探索的人，他石破天惊的创建了代数与几何结合，
即数形结合！他的这一天才创举，为微积分的创立奠定了基础，从而推动数学往前进了一大步！在他创建
的平面直角坐标系中，我们学到一次函数的图像是一条直线，书本上的描述是：数学上已经证明了正比例
函数的图像是一条直线．勇于探索和挑战的小聪一心想证明出函数 的图像是一条直线！于是他找了
图像上的三个点O(0,0)， ， ，并且巧妙的论证出这三点在同一条直线上，聪明的你也来论证
一下吧！探索发现二：小慧碰到一道题：在平面直角坐标系中，线段 的两个端点坐标分别为O(0,0)， ，
将线段 绕点O逆时针旋转90°到 位置，则点 的坐标是什么？
（1）请写出点 的坐标______．
（2）小慧通过计算发现 所在直线的函数表达式为 ， 所在直线的函数表达式为 ，而且
有 ．于是她大胆猜想：两个一次函数图像如果互相垂直，则他们的k乘积为 ，请敢于探索
发现的你来完成下面的论证：
如图，已知直线 与直线 互相垂直，求证： ．
【融会贯通】
1．【学习材料】求直线 向右平移 个单位长度后的解析式．
第一步，在直线 上任意取两点 和 ；
第二步，将点 和 向右平移 个单位长度得到点 和 ，则直线 就是直线
向右平移 个单位长度后得到的直线；
第三步，设直线 的解析式为： ，将 和 代入得到： 解得
，所以直线 的解析式为： ．
【类比思考】
若将直线 向左平移 个单位长度，则平移后的直线解析式为______；
若先将直线 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到直线 ，则直线 的解析式
为______．
【拓展应用】
已知一次函数的图象与直线 关于 轴对称，求一次函数的解析式；
若一次函数 的图象绕点 逆时针旋转 后得到直线 ，则直线 的解析式为______．
2．如图，一次函数 的图像交 轴于 点，交 轴于 点，以 ， ， 三点为顶点作矩形 ，
将矩形 绕 点顺时针旋转 ，得到矩形 ，直线 交直线 于点 ．
(1)求直线 的解析式；(2)求证： 是 的角平分线；
(3)在角平分线 上，是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于点 点 ，将线段 绕点A顺时针旋转
，点 的对应点记为点 ．连接 ．过点C作 轴的垂线，交 轴于点 ．点 是线段 上
的一个动点．
(1)如图1，求直线 的表达式．
(2)如图1，当直线 轴时，平面内是否存在一点 ，使得以点 为顶点的四边形是平行
四边形？若有，请直接写出点 的坐标；若没有，请说明理由．
(3)如图2，当射线 与直线 的夹角为 时，在射线 上取一点 ，使 ，求点 的坐标．
类型九、二次函数中的旋转
【解惑】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
过点 ，且顶点P的坐标为 ．
(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线 的上方．连接 ， ．求 面积的最大
值；
(3)如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接 ，将线段 绕点Q逆时针旋转 ，点C的对应点
为F，连接 交抛物线于点E，请直接写出点E的坐标．
【融会贯通】
1．定义：如果二次函数 ，（ ， 、 、 是常数）与 ， 、
、 是常数）满足 ， ， ，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数
的“旋转函数”，由函数 可知， ， ， ．根据 ，
， 求出 、 、 就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
(1)写出函数 的“旋转函数”；
(2)若函数 与 互为“旋转函数”，求 的值；
(3)已知函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称
点分别是 、 、 ，试求证：经过点 、 、 的二次函数与 互为“旋转函数”．
2．如图1，已知二次函数图象与 轴交点为 ，其顶点为 ．(1)求二次函数的表达式；
(2)直线 与 轴交于 ，现将线段 上下移动，若线段 与二次函数的图象有交点，求 向上和
向下平移的最大距离；
(3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕 点顺时针旋转 ，得到抛物
线 ，如图2所示，直线 与 交于 ， 两点， 为 上位于直线 左侧一点，求 面积
最大值，及此时点 的坐标．
3．定义：若二次函数 的图象记为 ，其顶点为 ，二次函数 的图
象记为 ，其顶点为 ，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数 经过 的顶点B，且 经过 的顶点A，我们
就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)试求出 的“反顶伴侣二次函数”．
(3)若二次函数 与 互为“反顶伴侣二次函数”，试探究 与 的关系，并说明理由．
(4)分类二：若二次函数 可以绕点M旋转180°得到二次函数 ； ，我
们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？③如图， ， 互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且 轴，当
四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数 ， 的顶点有什么关系．并说明理由．
