文档内容
专题 03 旋转
题型1 生活中的旋转现象 题型5旋转综合应用（重点）
题型2 找旋转中心，旋转角和对应点 题型6 中心对称图形的识别（常考点）
题型3 根据旋转的性质求解（常考点） 题型7 关于原点对称的点坐标
题型8 按图像的变换要求画出另一个图形（常考
题型4 旋转中规律问题（重点）
点）
题型一 生活中的旋转现象（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列运动属于旋转的是（ ）
A．滚动过程中的篮球 B．一个图形沿某直线对折的过程
C．气球升空的运动 D．钟表钟摆的摆动
【答案】D
【详解】根据旋转的定义，判断各选项是否围绕固定点或轴转动.
【分析】A. 滚动过程中的篮球，接触点不断变化，并非绕固定点转动，属于滚动而非旋转；
B. 图形沿直线对折是轴对称，属于翻折，不涉及旋转；
C. 气球升空是沿直线方向的平移运动，无旋转；
D. 钟摆绕固定悬挂点往复摆动，属于绕定点转动，符合旋转的定义.
故选D.
【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键.
2．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）下列运动属于数学上的旋转的有（ ）．
A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车
C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折
【答案】A
【分析】根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，
进而分别判断得出答案．
【详解】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项符合题意；
B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项不符合题意；C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项不符合题意；
D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确把握定义是解题关键．
3．（2023八年级下·全国·专题练习）如图是一个钟表，将其旋转180度，根据时针和分针的位置，钟表中
的时间可以是（ ）
A．8:30 B．9:30 C．2:30 D．12:30
【答案】A
【分析】将钟表旋转180°后，即可得到钟表显示的时间．
【详解】解：将钟表旋转180°后，如图所示，
钟表中的时间为8:30．
故选：A．
【点睛】本题考查旋转．将钟表旋转180°是解题的关键．
题型二 找旋转中心，旋转角和对应点 （共 2 小题）
1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一
角度得到四边形A'B'C'D'（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M,N,P,Q中，可能是旋转
中心的是（ ）A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A
【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：
分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得．
【详解】解：如图，连接BB'，CC'，分别作BB'，CC'的垂直平分线，其交点为点M，则旋转中心是
点M．
故选：A．
2．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）中国传统的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它蕴含着
丰富的哲学思想和数学文化．从数学角度看，太极图可以看作是由一个圆形的一部分经过旋转等变换
得到另一部分．如果把黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度可能是（
）
A．45° B．90° C．180° D．360°
【答案】C【分析】本题主要考查了求旋转角，根据题意可得旋转的角度一定是180度的倍数，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度一定是180
度的倍数，
故选：C．
题型三 根据旋转的性质求解 （共 7 小题）
1．（2024·广东·模拟预测）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE．若点E恰好在CB的延
长线上，则∠BED的度数为（ ）
A．50° B．70° C．80° D．100°
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的
不变性是解题的关键．
由旋转得AC=AE，∠CAE=100°，∠ACB=∠AED，则∠C=∠AEC=∠AED=40°，再由
∠BED=∠AEC+∠AED求解即可．
【详解】解：由旋转得AC=AE，∠CAE=100°，∠ACB=∠AED
180°-100°
∴∠C=∠AEC= =40°，
2
∴∠AED=40°，
∴∠BED=∠AEC+∠AED=40°+40°=80°，
故选：C．
2.（24-25九年级上·全国·期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，使点B'恰
好落在边AC上．若AB=3，AC'=7，则B'C的长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得AB=AB'=3，则有B'C=AC'-AB'=7-3=4，掌
握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，
∴AB=AB'=3，AC=AC'=7
∴B'C=AC-AB'=7-3=4，
故选：A．
3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC中，AB=BC=2，∠CBA=120°，将△ABC绕点A
顺时针旋转120°得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接CE．点D恰好落在线段
CE上，则CD的长为（ ）
A．2❑√3 B．4 C．3❑√2 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质
得∠BAC=30°；再由旋转的性质得∠CAD=90°,AD=AB=2,∠ADE=120°，从而得
∠ADC=60°,∠ACD=30°，故可得CD=2AD，从而可求出结论．
【详解】解：在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，
1 1
∴∠BAC= (180°-∠ABC)= (180°-120°)=30°；
2 2
由旋转可知∠BAD=120°，
∴∠CAD=90°，
由旋转得：AD=AB=2,∠ADE=120°，
∴∠ADC=60°，∴∠ACD=30°，
∴CD=2AD=2×2=4，
故选：B．
4．（2025·浙江台州·三模）如图，将△ABC绕点A旋转得到△AB'C'，使边B'C'恰好经过点C，若
∠ACB=75°，则∠BAB'的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性
质：“对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；旋转前后的图
形全等．”是解题的关键．利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等以及旋转角相等关系，再根
据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出相关角度，进而得出旋转角的度数．
【详解】解：∵将△ABC绕点A旋转得到△AB'C'，
∴AC=AC'，∠AC'B'=∠ACB=75°，∠BAB'=∠CAC'，
∴∠ACC'=∠AC'B'=75°，
∴∠CAC'=180°-∠ACC'-∠AC'B'=180°-75°-75°=30°，
∴∠BAB'=∠CAC'=30°
故选：C．
5．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将
△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为（ ）
A．(-3,1) B．(-2,1) C．(3,-1) D．(-3,-1)【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长DC交y
轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形OACE是正方形，进而求出DE
和OE的长度即可求解．
【详解】解：如图，延长DC交y轴于点E，
∵ y=2x+2 x=0 y=2 y=2x+2=0 x=-1
中，令 ，则 ，令 ，解得 ，
∴ A(-1,0)，B(0,2)，
∴ OA=1，OB=2，
∵ △AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，
∴ ∠ACD=∠AOB=∠OAC=90°，OA=OC=1，OB=CD=2，
∴四边形OACE是正方形．
∴ CE=OE=OA=1，
∴ DE=CD+CE=2+1=3，
∴点D的坐标为(-3,1)．
故选：A．
6．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后，得到△ADE，则
∠BAD= ．
【答案】40°
【分析】本题考查求旋转角，正确理解旋转的概念是解题的关键．
根据旋转的概念得到∠BAD是旋转角，即可求解.【详解】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后，得到△ADE，
∴∠BAD是旋转角，
∴∠BAD=40°，
故答案为：40°．
7．（23-24九年级下·新疆·期中）如图所示，△ABC按顺时针方向转动一个角度后为△A'B'C，则旋转
中心是 ，∠AC A'= ．
【答案】 点C 50°/50度
【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；因此此题可根据旋转的性质
进行求解．
【详解】解：由图可知：旋转中心是点C，旋转角度是50°，故∠AC A'=50°；
故答案为点C；50°．
题型四 旋转中规律问题（ 共 6 小题）
1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋
转45°后得到正方形OA B C ，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形OA B C ，
1 1 1 2025 2025 2025
如果点A的坐标为A(1,0)，那么点B 的坐标为（ ）
2025
A．(❑√2,❑√2) B．(0,❑√2) C．(1,1) D．(-1,1)
【答案】B
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可
1 1 1
得对应点B的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．
【详解】解：∵点A的坐标为(1,0)，四边形OABC是正方形，
∴点B的坐标为(1,1)，
∴OA=AB=1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB=90°，
连接OB，如图：
由勾股定理得：OB=❑√12+12=❑√2，
由旋转的性质得：OB=OB =OB =OB =…=❑√2，
1 2 3
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，
1 1 1
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB =∠B OB =…=45°，
1 1 2
∴B (0,❑√2)，B (-1,1)，B (-❑√2,0)，B (-1,-1)，B (0,-❑√2)，B (1,-1)，B (❑√2,0)，
1 2 3 4 5 6 7
B (1,1) …，
8
发现是8次一循环，则2025÷8=253余1，
∴B 是第253组的最后一个点，B 是第254组的第一个点，
2024 2025
∴点B 的坐标为(0,❑√2)，
2025
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等
知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法．
2．（23-24九年级下·山东青岛·自主招生）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针
方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查旋转中的规律问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由周角的定义可知机
器狗从P出发，按逆时针方向绕点O作匀速圆周运动，经过一周所需的时间为8分钟，然后根据
101÷8=12⋅⋅⋅⋅⋅5可进行求解．
【详解】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为45°，
∴机器狗经过一周所需的时间为360°÷45°=8（分钟），
∵101÷8=12⋅⋅⋅⋅⋅5，
∴5×45°=225°，
∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了225°，
即选项D符合题意；
故选D．
3．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）如下图，将图形以点O为旋转中心，每次按顺时针方向旋转90°，依
次得到其他图形，则第2024次旋转后得到的图形是( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，
利用规律求解即可．
【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周，
∵2024÷4=506，
∴第2024次旋转后和开始时一样，
故选：D．
4．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然
的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的
重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端
点的坐标为A(5,5)，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动90°，则第2024秒时，点A的对应
点A 的坐标为（ ）
2024
A．(5,5) B．(5,-5) C．(-5,-5) D．(-5,5)
【答案】A
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4s时，点A的对应点A 、A 、A 、A 的坐标，找到
1 2 3 4
规律，进而得出第2024s时，点的对应点A 的坐标．
2023
【详解】解：如图．
∵A(5,5)
，
∴A在第一象限的角平分线上，
∵叶片每秒绕原点O顺时针转动90°，
∴A (5,-5)，A (-5,-5)，A (-5,5)，A (5,5)，
1 2 3 4
∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，∵2024÷4=506，
∴第2024s时，点的对应点A 的坐标与A 相同，为(5,5)．
2024 4
故选：A．
5．（九年级下·江苏盐城·阶段练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置
于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完
成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2016次变换后，骰子朝
上一面的点数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【详解】试题解析：根据题意可知连续3次变换是一循环．所以2010÷3=670．
所以是变换前的图形，骰子朝上一面的点数是3．
故选B.
考点：规律型：图形的变化类．
6．（浙江杭州·一模）已知等边 ABC，顶点B（0，0），C（2，0），规定把 ABC先沿x轴绕着点C顺
时针旋转，使点A落在x轴△上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋△转，使点B落在x轴上，
称为二次变换，…经过连续2017次变换后，顶点A的坐标是（ ）
A．（4033，❑√3) B．（4033，0） C．（4036，❑√3) D．（4036，0）
【答案】D
【详解】解：由题意可得：点A（1，❑√3）、B（0，0）、C的坐标是（2，0），经过一次变换后点
A1（4，0）、B1（3，❑√3），C（2，0），经过第二次变换后点A2（4，0）、B2（6，0）、C2（5，
❑√3），经过第三次变换后，点A3（7，❑√3）、B3（6，0）、C3（8，0），则此时△ABC应是向右平
移了6个单位长度，依次类推，则2017÷ 3＝672……1，即为向平移672× 6＝4032个单位长度后[点A672（4033，❑√3）、B672（4032，0）、C（4034，0）]，再变换一次即为2017次变换，则点A的坐
标为(4036，0)
故选D
题型五 旋转综合应用（ 共 6 小题）
1．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D, E在
BC上，且∠DAE=45°．
(1)画出将△ABD绕点A逆时针旋转90°后的三角形；
(2)若BD=3, CE=4，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形，用勾股定理
解决问题是解本题的关键．
（1）根据题意画出AF⊥DA，使AF=AD，连接CF，则△ACF即为所作；
（2）由旋转的特征得∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF=45°，AD=AF，BD=CF，证明
△ADE≌△AFE得出DE=FE，再由勾股定理计算即可得解:
【详解】（1）解：如图，△ACF即为所作；
（2）解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，如上图所示：
∵∠BAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠C AF，
∴∠BAD=∠CAF，
又AD=AF,AB=AC
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴∠ACF=∠B，CF=BD=3，
∵在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACB=∠ACF=45°，
∴∠FCE=90°，
∴EF=❑√CE2+CF2=❑√32+42=5；
∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠EAF=45°，
∴∠DAE=∠FAE，
在△ADE和△AFE中，
¿，
∴△DAE≌△FAE(SAS)，
∴DE=EF=5．
2．（25-26九年级上·北京东城·阶段练习）如图， Rt△OCD中， ∠COD=90°，OC=OD，点A 为
△OCD内一点， OA=1，AD=❑√2， AC=2．
(1)画出将 △OAC绕点O逆时针旋转 90°得到的三角形；
(2)求 ∠DAO的度数．
【答案】(1)画图见解析
(2)∠DEO的度数为135°
【分析】本题考查了旋转的性质（旋转前后对应边相等、对应角相等）、等腰直角三角形的判定与性
质、勾股定理与逆定理的应用．解题关键：通过将△OAC绕点O逆时针旋转90°构造全等三角形，
将分散的线段(OA、AD、AC)和角集中到相关三角形中，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理逆
定理求解角度．
（1）依据∠COD=90°且OC=OD，确定旋转后OC的对应边为OD；保持旋转中心O不变，将点
A绕O逆时针旋转90°得到对应点B，连接OB、BD，即得△OBD(△OAC的旋转图形）．
（2）连接AB；由旋转性质得△OBD≌△OAC，故BO=AO=1、BD=AC=2，且
∠AOB=90°，判定△AOB为等腰直角三角形，得AB=❑√2、∠BAO=45°；利用勾股定理的逆定
理可推得∠BAD为直角，最后可计算出∠DAO的度数．
【详解】（1）解：由于∠COD=90°，OC=OD，∴OC旋转90°即在OD的位置上，
∴△OAC绕点O逆时针旋转90°得到的△OBD如图所示：
（2）连接AB，
∵△OBD是由△OAC绕点O逆时针旋转90°得到的，
∴∠AOB=90°，BO=AO=1，BD=AC=2，
∴AB=❑√AO2+BO2=❑√2，∠BAO=∠ABO=45°，
又∵AD=❑√2，
∴AD2+AB2=(❑√2) 2+(❑√2) 2=4，BD2=22=4 ,
则AD2+AB2=BD2,
∴∠BAD=90°,
∴∠DAO=∠BAD+∠BAO=90°+45°=135°．
3．（九年级上·广东东莞·期末）如图，点O是等边△ABC内的一点．∠BOC=α，将△BOC绕点C按
顺时针旋转60°得到△ADC，连接OD．
(1)当α=100°时，∠ODA= ；当α=120°时，∠ODA= ；
(2)若α=150°，OB=5，OC=6．求OA的长．【答案】(1)40°，60°
(2)❑√61
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握旋转的性
质；
（1）根据旋转的性质可证△ODC是等边三角形，可得∠ODC=60°，再根据角的和差关系即可得
解；
（2）先求出∠ADO=90°，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵将△BOC绕点C按顺时针旋转60°得到△ADC，
∴∠OCD=60°,OC=CD，∠ADC=∠BOC，AD=BO，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
当α=100°时，∠ADC=∠BOC=α=100°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=100°-60°=40°，
当α=120°时，则∠ADC=∠BOC=α=120°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=120°-60°=60°，
故答案为：40°，60°．
（2）解：由(1)可知，AD=BO=5，
当∠ADC=∠BOC=α=150°时，∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∵AD=OB=5,OD=DC=OC=6，
∴OA=❑√AD2+DO2=❑√52+62=❑√61．
4．（九年级上·广西南宁·期中）如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将
△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°，得到△CBE．
(1)求∠DCE的度数；
(2)若AB=❑√2，CD=3AD，求DE的长．
【答案】(1)90°❑√10
(2)
2
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，本题中利用全
等三角形得出线段和角相等是解题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质和旋转的性质，明三角形ADB和CBE全等，得到
∠A=∠BCE=45°，AD=CE，即可求解；
1 3
（2）由勾股定理可得，AC=2，从而得到AD= ，DC= ，再利用勾股定理求解即可．
2 2
【详解】（1）解：∵BA=BC，∠ABC=90°，
1
∴∠A=∠ACB= ×90°=45°，
2
∵△CBE是由△ABD旋转得到的，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠A=∠BCE=45°，AD=CE，
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°．
（2）解：在等腰直角三角形ABC中，
∵AB=❑√2，
∴AC=❑√(❑√2) 2+(❑√2) 2=2，
又∵CD=3AD，
1 3
∴AD= ，DC= ，
2 2
由（1）知AD=CE且∠DCE=90°，
∴DE=❑√CE2+DC2=❑
√ (1) 2
+
(3) 2
=
❑√10
，
2 2 2
❑√10
∴DE＝ ．
2
5．（九年级上·江西赣州·期中）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，
BE=CE，连接DE．(1)求证：△BDE≌△BCE
(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由
【答案】(1)见详解
(2)四边形ABED是菱形，理由见详解
【分析】（1）由旋转的性质可知△BEC≌△BAD，∠ABE=60°，则有
AB=BE,∠EBC=∠ABD,BC=BD，AD=EC，然后可得∠DBE=∠CBE，进而问题可求证；
（2）由（1）及题意易得AB=BE=DE=AD，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，
∴△BEC≌△BAD，∠ABE=60°，
∴AB=BE,∠EBC=∠ABD,BC=BD，AD=EC，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠EBC=30°=∠ABD，
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=30°=∠CBE，
∵BE=BE，
∴△BDE≌△BCE(SAS)；
（2）解：由（1）可知：AB=BE,CE=AD，
∵BE=CE，
∴AB=BE=CE=AD
∵△BDE≌△BCE，
∴DE=CE，
∴AB=BE=DE=AD，
∴四边形ABED是菱形．
6．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）△ABC是等边三角形，边AB在射线OM上，点D是射线OM
上的动点，当点D在线段OA上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段AB上移动时如图2，将
△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．(1)任选其中一个图形证明△CDE是等边三角形．
(2)若△ABC的边长为4，且OA=6，设OD=t，是否存在t值，使△DEB是直角三角形？若存在，
求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，t=2或14
【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=60°，由等边三角形的判定可得结论；
（2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：存在，
①当0≤t<6时，
根据解析（1）可知：△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠ABC=60°，
∴∠CAD=180°-60°=120°，
由旋转可知，∠CBE=∠CAD=120°，∠CEB=∠CDA，
∴∠DBE=120°-60°=60°，
∵∠BDE<∠CDE，
∴∠BDE<60°，
∴在△BDE中，此时只能∠BED=90°，
∴∠CEB=90°-∠DEC=30°，
∵∠CEB=∠CDA，
∴∠CDA=30°，
∵∠CAB=60°，
∴∠DCA=∠CDA=30°，∴DA=CA=4，
∴OD=OA-DA=6-4=2，
即t=2；
②当690°，
∴此时△DBE可能是直角三角形；
③t=10时，点D与点B重合，
∴此时D、B、E不能构成三角形；
④ 当t>10时，由旋转的性质可知，∠CBE=∠CAD=60°，
∵∠CBD=180°-60°=120°，
∴∠DBE=120°-60°=60°，
∵∠CDE=60°，∠BDC>0°，
∴∠BDE>60°，
∴△BDE中只能是∠BDE=90°，
∴∠CDB=90°-60°=30°，
∴∠BCD=∠ABC-∠BDC=60°-30°=30°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC=4，
∴OD=OB+BD=14，
即t=14，综上所述：当t=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分
类讨论思想解决问题是本题的关键．
题型六 中心对称图形的识别（ 共 3 小题）
1．（2025九年级上·广东·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转
后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形
的定义，逐项判断即可解答．
【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：A．
2．（2025九年级上·湖北·专题练习）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟记中心对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图
形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么
这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、选项中的图形是中心对称图形，符合题意；
B、选项中的图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、选项中的图形不是中心对称图形，不符合题意；D、选项中的图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
3．（2025九年级上·安徽·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果
旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可解答．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
题型七 关于原点对称的点坐标（ 共 3 小题）
1．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，点M(-5,2)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(5,-2) B．(-5,-2) C．(-5,2) D．(-2,5)
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数
是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征即可求解．
【详解】解：点M(-5,2)关于原点对称的点的坐标是(5,-2)，
故选：A．
2．（22-23九年级上·全国·期中）若点P的坐标为(x+1,y-1)，其关于原点对称的点P'的坐标为
(-3,-5)，则(x,y)为 ．
【答案】(2,6)
【分析】本题考查了关于原点对称的两点的坐标特征：横坐标与纵坐标都互为相反数，据此即可求出
x与y的值，从而求解．
【详解】解：∵点P关于原点对称的点P'的坐标为(-3,-5)，∴x+1=3，y-1=5，
解得：x=2，y=6，
则(x,y)为(2,6)，
故答案为：(2,6)．
3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）点P(a,-3)关于原点对称的点是P'(2,b)，则a+b的值是 ．
【答案】1
【分析】此题主要关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符
号相反．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进
而得到答案．
【详解】解：∵点P(a,-3)关于原点对称的点是P'(2,b)，
∴a=-2,b=3，
∴a+b=-2+3=1．
故答案为：1
题型八 按图像的变换要求画出另一个图形（ 共 5 小题）
1．（九年级上·四川泸州·期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(7,1)，C(3,5)．
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC关于原点的中心对称图形△A B C ；
2 2 2
(3)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°的旋转对称图形△A B C ，直接写出C 的坐标 ．
3 3 3 3
【答案】(1)图见详解
(2)图见详解
(3)图见详解，(4,0)【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、中心对称图形及旋转的性质，熟练掌握轴对称图形的性质、
中心对称图形及旋转的性质是解题的关键；
（1）分别得出点A、B、C关于y轴对称的对应点，然后问题可求解；
（2）分别得出点A、B、C关于原点对称的对应点，然后问题可求解；
（3）根据旋转的性质进行作图即可．
【详解】（1）解：所作△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）解：所作△A B C 如图所示；
2 2 2
（3）解：所作△A B C 如图所示；由图可知C 的坐标为(4,0)；
3 3 3 3
故答案为(4,0)．
2．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(-3,5)，B(-2,1)，C(-1,3)．
(1)画出△ABC经过平移后得到的△A B C ，已知点C 的坐标为(4,0)，写出顶点A 的坐标；
1 1 1 1 1
(2)若△ABC和△A B C 关于原点O成中心对称，不画图直接写出顶点B 的坐标；
2 2 2 2
(3)画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到的△A B C ．
3 3 3
【答案】(1)见解析，A (2,2)
1(2)B (2,-1)
2
(3)见解析
【分析】本题主要考查旋转变换和平移变换，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义是解题的关键．
（1）由点C的对应点C 的坐标得出平移的方向和距离，据此可得；
1
（2）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数可得；
（3）将三角形三顶点分别绕着点O按顺时针方向旋转90°得到对应点，据此可得．
【详解】（1）如图，△A B C 为所作，
1 1 1
因为点C(-1,3)平移后的对应点C 的坐标为(4,0)，所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3
1
个单位得到△A B C ，
1 1 1
所以点A 的坐标为(2,2)；
1
（2）因为△ABC和△A B C 关于原点O成中心对称图形，
2 2 2
所以B (2,-1)；
2
（3）如图，△A B C 为所作．
3 3 33．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，在边长为1的小正方形的网格中，△AOB的三个顶点均在格
点上，点A，B的坐标分别为A(-2,3)，B(-3,1)．
(1)根据题意，建立平面直角坐标系xOy；
(2)画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A OB ；
1 1
(3)点A关于原点对称的点的坐标为 ；△AOB的面积是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
7
(3)(2,-3)；△AOB的面积为
2
【分析】本题考查了坐标与图形，旋转变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应
点的位置是解题的关键．
（1）根据A(-2,3)，B(-3,1)两点建立坐标系即可；
（2）根据网格结构找出点A、B绕点O顺时针旋转90°后的对应点A 、B 的位置，然后顺次连接即可；
1 1
（3）利用关于原点对称的特征即可求出点A关于原点对称的点的坐标，再利用割补法即可求出
△AOB的面积．
【详解】（1）解：如图所示，平面直角坐标系xOy为所求；（2）解：如图所示，△A OB 即为所求；
1 1
（3）解：点A关于原点对称的点的坐标为(2,-3)；
1 1 1 7
△AOB的面积为：3×3- ×1×3- ×1×2- ×2×3= ．
2 2 2 2
4．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A BC ；
2 2
(3)求出（2）△A BC 的面积是多少．
2 2
【答案】(1)A (-2,-4)，见解析
1
(2)见解析
7
(3)
2
【分析】(1) 根据原点对称，坐标都变成原来坐标的相反数，确定坐标后，再画图即可．
(2) 根据旋转的全等性作图即可．
(3) 利用分割法计算面积即可．
本题考查了原点对称作图，旋转作图，分割法计算图形的面积，正确理解旋转的性质，原点对称的坐
标特点是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意△ABC，A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．
∴A (-2,-4),B (-1,-1),C (-4,-3)，画图如下：
1 1 1
则△A B C 即为所求，且A (-2,-4)．
1 1 1 1
（2）解：根据旋转的全等性作图如下：则△A BC 即为所求．
2 2
（3）解：根据题意，得
1 1 1 7
S =3×3- ×3×1- ×1×2- ×3×2= ．
△A 2 BC 2 2 2 2 2
