文档内容
专题 03 圆周角定理重难点题型专训
（2个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测）
题型一 圆周角的概念辨析
题型二 利用圆周角定理求角度
题型三 利用圆周角定理求长度
题型四 利用圆周角定理求面积
题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题
题型六 半圆所对的圆周角是直角问题
题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题
题型八 已知圆内接四边形求角度
题型九 求四边形外接圆的直径
拓展训练一 圆周角的材料理解型问题
拓展训练二 圆周角的新定义问题
拓展训练三 圆周角综合问题
知识点一、圆周角
1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量分别相等．【即时训练】
1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点 在 上，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，点A，B，C都在 上，若 ，则 的度数
为 ．
知识点二、圆的内接四边形
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。【即时训练】
1．（24-25九年级上·青海海西·期末）如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）正方形边长为4，则它的外接圆半径为 ．
【经典例题一 圆周角的概念辨析】
【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B．C． D．
1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于
点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是( )
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
2．（24-25九年级·全国·课后作业）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ．
圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ．
3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE
交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝
4．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求
完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中作弦AB的圆心角．
(2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上．
【经典例题二 利用圆周角定理求角度】
【例2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，点 、 、 在 上，若 ， 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
1．（2025·广东广州·模拟预测）如图， 是 的直径，点C是 上一点，点D是 的中点，连接
， ， ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中 为圆内角，设 的两边及其反向延长线所夹的弧 、 的度数分别为 、 ，则
的度数是 （用 、 表示）
3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图， 内接于 ， ．分别以点A和点B
为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 交 于点D，连接 并延长交
于点E，连接 ，则 的度数是 ．
4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在 中，直径 弦 ，若 ，求
的度数．
【经典例题三 利用圆周角定理求长度】
【例3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知 是 的直径，弦 ，垂足为 ，
， ，则 的长为（ ）A． B． C．1 D．2
1．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，四边形 内接于 ，若 ， 的半径为3，则
长为（ ）
A．6 B．3 C． D．
2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，如图， 为 的直径， 内接于 ， ，
， ，延长 交 于点D，连接 ． 的直径是 ， ，则 的长等于
3．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图， 是⊙ 的直径，点C，D都在⊙ 上，且 ，
，若 ，则 的长为 ．4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图1， 内接于 ，点D为 上一点，连接 和 ，
于点E．
(1)求证： ；
(2)如图2，过点B作 的垂线，垂足为点F，交 于点G，且 ，若 ，请用含 的代
数式表示 ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点K为 上一点，连接 、 和 ， 与 相交于点Q，延长
到点R，使 ，过点R作 的垂线，垂足为点H，延长 交 于点T， ，在 的延长
线上取一点P，连接 ，使 ．
①求 的度数；
②若 ， ，求 的长．
【经典例题四 利用圆周角定理求面积】
【例4】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图， 的半径4，直线l与 相交于A，B两点，点M，N
在直线l的异侧，且是 上的两个动点，且 ，则四边形 的面积的最大值是（ ）A．9 B． C．18 D．
1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图， 中， ， ， ，点 为
内一点，且满足 ．当 的长度最小时， 的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图， 的半径为2，现将含 的直角三角板中的 角的顶点在圆弧
上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点 和点 ，并作 交 的延长线于点 ，
则 的最大面积是
3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图， 中 ， ，以 三边为边向外作三个正方形，分别连接三个正方形的中心 ，围成的 的面积记为 ，
的面积记为 ．若 ，则 ．
4．（24-25九年级上·陕西延安·期末）问题提出
（1）如图1， 的面积为 ，弦 ，C是 ．上的一个动点，求 面积的最大值；
问题解决
（2）如图2， 的半径为 ，圆内中有一个四边形区域 ，连接 ， 为等边三角形，
当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值．
【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】
【例5】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图， 是 的直径，点C，D在 上，若 ，
则 的度数为（ ）A． B． C． D．
1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图， 内接于 ， 为 的直径，且 于点 ，连接
．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点 都是 上的点， ， ，则
的度数为 ．
3．（24-25九年级上·甘肃临夏·期中）如图，点O为正方形 的对称中心，点E为 边上的动点，
连接 ，作 交 于点F，连接 ，P为 的中点，G为边 上一点，且 ，
连接 ，则 的最小值为 ．4．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 为 的直径， 是 的弦， ，求 的度
数．
【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】
【例6】（2025·河南南阳·模拟预测）如图， 内接于 ， 是 的直径， 的平分线交
于点E，交 于点A，连接 ， ．若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
1．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图， 为 的直径，点 是 上与点 ， 不重合的点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图， 的顶点都在 上，已知直径 ，
，则 的长为 ．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，
．在图中作弦 ，使 ，则 的度数为 ．
4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图， 为 的直径，D是弦 延长线上一点， ，
的延长线交 于点E，连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 的度数为 ，则 的度数为________．【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】
【例7】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）学习了“直径所对的圆周角是直角”，小华想应用这个结论来
检验半圆形工件是否合格，下图是小华用自制是“直角尺”检验时的四个图，其中检验操作正确且半圆形
工件符合标准的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，经过点
C且与边 相切的动圆，与 分别相交于点E、F，则线段 长度的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．4．8 D．5
2．（2025·广东佛山·模拟预测）在直角 中， ， ， ，点 是 内一点，
满足 ，则 的最小值为 ．3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图， 是 的弦， ，且 ，若M，N分别为
、 的中点．（1） 的最大值为 ．（2） 面积的最大值为
．
4．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）在如图所示的网格中， 的顶点 ， 均在网格上，顶点
在网格线上，请用无刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由．
(1)画出图1中圆的一条直径．
(2)画出图2中圆的圆心 ．
【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】
【例8】（浙江省浙江省初中名校共同体2025-2026学年九年级上学期期中数学试题）如图，四边形
是 的内接四边形， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形 内接于 ，若 ，则
°．
3．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，点C为 的中点，
若 ，则 的度数为 °．4．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，“等对角四边形” 内接于 ， ，则 ， ；
(2)如图2，“等对角四边形” 内接于 ，且 ， ，点E在 的延长线上，连
接 ， ， ， ，请证明：四边形 是“等对角四边形”；
(3)如图3，“等对角四边形” 内接于 ，且其一个内角为 ， ， ，若
，求 的长．
【经典例题九 求四边形外接圆的直径】
【例9】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（ ）
A． B．3 C． D．
1．（2025·广西贺州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于 ， ，点C为
的中点，延长AB、DC交于点E，且 ，则 的面积是（ ）A． B． C． D．
2．（2025九年级·福建·模拟预测）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则
圆O的面积为 ．
3．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，将正方形 放在边长为 的正方形网格中，点 ， ，
， 均落在格点上，能够完全覆盖正方形 的最小圆面的半径是 ．
4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【回归教材】
（1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1， 是 的高，M是 的中点．点B、
C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小明在完成此题解答后提出：如图2，若 的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
【直接应用】
（2）如图3，锐角 中， 是高线， 于G， 于F，求证： ．
【拓展延伸】
（3）如图4，等边三角形 中， ，P为 边上一动点， ，垂足分别为D、E．则 的最小值为 ．
（4）如图5，小明完成上面的问题后发现 的两条高 相交于点O，连接 并延长交 于
点F．则 为 的边 上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知 是
的外接圆， 是 的高， 相交于点P．若 ，请直接写出 的
面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留 ）
【拓展训练一 圆周角的材料理解型问题】
1．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）【感知】（1）如图①，点 、 、 、 均在 上，点 在
外，点 、 、 三点共线， ，则 为______度；
【理解】（2）如图②， 是四边形 的外接圆，连接 、 ，点 在 上， ，若延
长 到点 ，使 ，连接 ，请探究线段 ， ， 之间的数量关系；
【应用】（3）如图③， 是 的直径，点 、 在 上，点 是弧 的中点，点 为圆周上一动
点，若 ， ，求 的长度．2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．
【数学理解】如图①，在 中，AB是弦， ，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
(1)若 的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______．
(2)若 的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是______．
(3)【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°．
(4)已知如图②给定的线段EF和 ，点Q是 内一定点．过点Q作弦AB，满足 ，请问这样的
弦可以作______条．
3．（2025·河南郑州·模拟预测）阅读与理解：
在一次培养学生对数学的兴趣、提升学生数学素养的实践操作活动中，李老师带领同学们进行了如下探究．
在 的平分线 上找一点 ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别与边
， 交于点 ．连接 ， ，组成四边形 ．同学们经过动手操作，发现有
图（1）、图（2）、图（3）三种情况．（1）在图（2）的基础上，将 绕点 逆时针旋转至 与 重合的位置，得到 ，如图
（4），求证： ， ， 三点共线．
探究与运用：
（2）如图（3），在四边形 中， ，
①求 的度数；
②求四边形 的面积．
思考与延伸：
（3）如图（5），四边形 是圆内接四边形， ， ．当四边形的对角线 是
直径时，以 为斜边作等腰直角三角形 ，连接 ，直接写出线段 的长度．
【拓展训练二 圆周角的新定义问题】
1．（24-25九年级上·全国·单元测试）新定义如图，P为圆外一点， 交圆于点A，B， 交圆于点C，
D， 的度数为 ， 的度数为 ．
(1)求 的度数；
(2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于
它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质；
(3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质．2．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
(1)如图 ， ， 是 的等垂弦， ， ，垂足分别为 ， 求证：四边形 是
方形；
(2)如图 ， 是 的弦，作 ， ，分别交 于 ， 两点，连接 求证： ，
是 的等垂弦．
3．（24-25九年级上·河北·期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四
边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】
（1）如图1，已知四边形 是圆美四边形， 是美角，连接 ．
①写出 的度数是______， 的度数是______， 的度数是______；
②点 为 的中点， 的半径为5，求线段 的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形 是圆美四边形， 是美角，连接 ，若 平分 ， 的半
径为6，则 的最大值是______．【拓展训练三 圆周角综合问题】
1．（山西省朔州市朔州市部分学校阶段评估（二）2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，
是 的直径， 是 的中点，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程．
已知： ．
求作： ，垂足为D．
作法：如图所示，
①分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线 ，交 于点O；
③以点O为圆心， 长为半径作圆，交线段 于点D（点D不与点C重合），连接 ．
所以线段 就是所求作的高．
根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明： ， ，
∴点P、Q都在线段 的垂直平分线上，
∴直线 为线段 的垂直平分线，
∴O为 中点．
∵ 为直径， 与线段 交于点D，
∵ °．（ ）（填推理的依据）
．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）教材呈现：（华师版九上28.3圆周角）半圆或直径所对的圆周角都
相等，都等于90°（直角）．
教材分析：如图， 是⊙O的直径， 是直径 所对的圆周角，根据上述定理，则 ，如果我
们把 看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论： ，即：半圆所对的圆周角等于
该半圆所对的圆心角的一半．
联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？
探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类．
（1）圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①． ， ， ，
．
（2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径 ．由（1）的结论， ，． （∠ +∠ ） ．
（3）圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成
推理过程．
1．（陕西省安康市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）现有一个未知圆心的圆形纸片和一
块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙ 中， ， ，则 的大小为
（ ）A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图1， 为⊙ 的直径， ，如图2所示，按以下步骤作
图：
①在直径 上顺次截取线段 ， ，使 ；
②分别以点 ， 为圆心，以大于 长为半径作弧，两条弧交于点 ， ；
③作直线 ， 与⊙ 相交于 ， 两点，连接 ．
下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，A，B，C，D，E均在 上， ，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
6．（陕西省安康市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图， 是 的直径，C，D是
上两点．若 ，则 的度数为 ．
7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 的半径为4，A，B，C三点在圆上， ，则
的长等于 ．
8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图， 是 的外接圆， ， ，则 的半
径为 ．
9．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图， 的三个顶点都在一个圆上，且 ，固定 点
将 依顺时针方向旋转，当至少旋转 度后的三角形 的点 会落在同一圆上．10．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过 、 两个格点，
点 是圆与格线的交点．
（1）线段 的长为 ；
（2）在弧 上画点 ，使弧 弧 ，在弧 上画点 ，使 ．请用无刻度直尺在
如图所示的网格中，画出点 、 ，并简要说明是如何找到的 ．
11．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图， 的弦 ， 相交于点 ， ，求证： ．
12．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图， 是 的直径，四边形 内接于 ，延长
交于点E，且 ．已知 ，求 的度数．13．（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知A、B、C、D是 上的点， 为 直径，过点D作 的
垂线交 延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ，当 时，求 半径的长．
14．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在 中，弦 ，点 在 上．
(1)如图①，若 是 的直径，求 的度数；
(2)如图②，在弧 上取一点 ，若 ，请用含 的式子表示 的度数．
15．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，∠CAB＝30°，D是直径
AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与圆O的其中一个交点记为点E（点E位于直线CD上方
或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为ycm，E、C两
1
点间的距离为ycm，小雪根据学习函数的经验，分别对函数y，y 随自变量x的变化而变化的规律进行了
2 1 2
探究．下面是小雪的探究过程：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 5.2 4.4 3.6 3.0 2.7 2.7
1
y/cm 5.2 4.6 4.2 4.8 5.6 6.0
2（1）按照下表中自变量x的值进行取点、面图、测量，分别得到了y，y 与x的几组对应值，请将表格补
1 2
充完整：（保留一位小数）
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，y 的图象如图所示，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，
2
y），（x，y），并画出函数y 的图象；
1 2 1
（3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为 cm．
