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专题 03 几何图形中的旋转综合问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、线段的旋转..................................................................................................................................................1
题型二、直角三角形的旋转......................................................................................................................................4
题型三、等腰三角形的旋转......................................................................................................................................9
题型四、菱形的旋转................................................................................................................................................13
题型五、矩形的旋转................................................................................................................................................20
题型六、正方形的旋转............................................................................................................................................23
B综合攻坚・能力跃升
题型一、线段的旋转
1．如图，在 中， ， ，点 在边 上（不与点 ， 重合），连接 ，以点
A为中心，将线段 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1) ______°；
(2)取 中点 ，连接 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得到 ，即可得到答案；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，根据 是 的中位线得到 ，通过证明
得到 ，从而得到 ．
【详解】（1）解：根据题意得 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如下图所示，延长 至点 ，使 ，连接 ，∵ 为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转和全等三角形的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，构造全等三角形．
2．已知 ，点B，C分别在射线 上，将线段 绕点B顺时针旋转
得到线段 ，过点D作 的垂线交射线 于点
(1)如图1，当点D在射线 上时，求证：C是 的中点；
(2)如图2，当点D在 内部时，作 ，交射线 于点F，用等式表示线段 与 的数量
关系，并证明．【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，
直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）证明 即可证明点C是 的中点；
（2）先证明 ≌ ，得到 ，再根据角度计算得到 ，从而得出 和 的数量
关系．
【详解】（1）证明：连接 ，
由题意得： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点C是 的中点；
（2）解： ，理由如下：
在射线 上取点H，使得 ，取 的中点G，连接 ，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
是 的中点，
， ，
，
，
，
，
，
，
题型二、直角三角形的旋转
3．综合与探究
【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行
探究．
【探索发现】
（1）如图1，已知 ， ， ， ，将点 与
重合，点 与点 重合， 与 交于点 ，发现此时线段 ，请尝试证明．
【猜想证明】
（2）如图2，将 绕点 逆时针旋转，点 的对应点分别为 ， ，当点 落在线段 上
时，连接 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．【深入探究】
（3）在 旋转过程中，当 时，直接写出线段 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3） 或
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，于是得到
；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，根据旋转的性质得到
，求得 ， ，得到 ，根据
平行四边形的判定定理得到四边形 是平行四边形；
（3）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）解：四边形 是平行四边形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
由旋转得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（3）如图3，将 绕点 逆时针旋转，点D，F的对应点分别为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，C，B三点共线，过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图4，将 绕点 逆时针旋转，点D，F的对应点分别为 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴C，B， 三点共线，
∴过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
综上所述，线段 的长度为 或 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理平行线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，
平行四边形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．综合与实践
数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究．
【活动一】拼接
（1）将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点 与点 重合，点 与点 重合），求四边形 的
周长；
【活动二】平移
（2）在图2中，将 纸片沿射线 的方向平移．在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形
，如图3所示．
①求证：四边形 是平行四边形；
②若点 为 的中点，则四边形 的周长为_________．
【活动三】旋转
（3）在图3中，当点 为 的中点时，将 绕点 顺时针旋转一周．在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数．
【答案】（1） ；（2）①见解析；② ；（3） 或
【分析】本题考查含 锐角直角三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定，中位线，勾股定理，
等边三角形的判定与性质，等腰三角形，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据 锐角直角三角形的性质可得 ， ，即可解答；
（2） ①先证明 ，继而证明 ，即可解答；
②根据题意可得 和 是 的中位线，则 ，
即可解答；
（3）分类讨论：①当 顺时针旋转 时位于 ；②当△DEF顺时针旋转 时位于 ，
逐一分析，即可解答．
【详解】解：(1)根据题意，由 锐角直角三角形的性质可得：
，
．
∴四边形 的周长为：
．
(2)①证明：∵平移前， ，A、F两点重合，C、D两点重合，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 根据平移的性质， ，
∴四边形 为平行四边形．
②根据题意可得 和 是 的中位线，则 ，
由平行线四边形的性质，四边形 的周长为：
．
故答案为：9．
(3)如图，当 顺时针旋转 时位于 ；当△DEF顺时针旋转 时位于 ．
①当 顺时针旋转 时，此时两个三角形重叠部分为 ．
∵ ，
．
，
为等边三角形，符合题意．
②当 顺时针旋转 时，此时两个三角形重叠部分为 ．
∵ ，
∴ 为等腰三角形，符合题意．
故旋转角为 或 ．
题型三、等腰三角形的旋转
5．【问题背景】如图①，在 和 中， ， ， ，连接 ，
．
【特例研究】
（1）当点D在 上， 时， 与 的数量关系为______；
【拓展探究】
（2）将 绕点A旋转至图②位置，（1）中结论是否成立？说明理由；
【迁移应用】
（3）将 绕点A旋转，当 时，若 ， ， ______．
【答案】（1） ；（2）成立；理由见解析；（3）【分析】（1）根据 ， ，得出 ，即可得出答案；
（2）证明 ，得出 即可；
（3）过点A作 于点H，证明 为等腰直角三角形，得出 ，根据勾股定
理得出 ，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵ ，点D在 上，
∴点E在 上，
∵ ， ，
∴ ，
即 ；
（2）（1）中的结论成立；理由如下：
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）过点A作 于点H，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，根据解析（2）可知： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，
勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
6．综合与实践
已知等边三角形 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ，将 绕点 旋转，连接 ，
．
【问题背景】
（1）如图①，当点 ， 分别在 ， 边上时，线段 和 的数量关系为________；
【问题迁移】
（2）当 旋转到如图②的位置时，线段 和 的数量关系为________； 和 的数量关
系为________，并说明理由；
【问题拓展】
（3）当点 旋转到线段 上时，如图③所示，若 ， ，则 的长为________；
（4）若 ， ，则在 旋转的过程中，当 时， 的长为________．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ；（4） ．
【分析】（1）直接根据等边三角形的定义及线段和差求解即可；
（2）证明 （ ）即可得解；
（3）过点 作 于 ，由（ ）得 ，从而证明 是等边三角形，
，由勾股定理得 ， ，从而即可得解；
（4）过点 作 于 ，求出 ， ，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
故答案为： ；
（2） ， ，理由如下：∵ 是等边三角形，将 绕点 旋转，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ （ ）
∴ ， ；
（3）过点 作 于 ，
由（2）得 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4）如图，过点 作 于 ，
由（2）得 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
题型四、菱形的旋转
7．如图1，在菱形 中， ， ，连接 ， 交于点 ．
(1)求菱形 的面积；
(2)如图2，将菱形 绕着点 逆时针旋转 ，得到菱形 ，点 ， ， ， 的对
应点分别为 ， ， ， ．
①当点 落在 上时，判断 与 的位置关系，并说明理由；
②连接 ，当 平行于菱形ABCD一边时，求出 的值；
(3)在（2）的条件下，连接 ，当 垂直于菱形 的一边时，直接写出 的长．
【答案】(1)
(2)①垂直，见解析；② 或
(3) 或
【分析】（1）由菱形的性质可得： ， ， ， ，
，进而得到： ，推出 ， ，即可求解；
（2）①可得出 ，从而得出 ，从而 ，进一步得出结论；
②当 时，可得出 ，从而得出 ， ，当 时，
，从而 ；
（3）当 时，点 在 的上方时，设 延长线交 于 ，则 ，可得出
， ， ，根据勾股定理得出 的值，从而得出 的值，当点
在 下方时，同样得出结果；当 时，根据勾股定理得出结果．
【详解】（1）解： 四边形 是菱形， ，
， ， ， ， ，
，
， ，
，
；
（2）① ，理由如下：
如图1，由（1）知， ，
菱形 绕着点 逆时针旋转 ，得到菱形 ，
，
，
，
四边形 和四边形 是菱形，
， ，
；
②如图2，当 时，
，
由旋转性质得， ，
，
， ，
当 时 图中 )，
同理可得， ，
，
综上所述： 或 ；
（3）如图2，
当 时，设 延长线交 于 ，
则 ，
， ，
，
，
，当 时，
则 ，
当 时， ，
综上所述： 的长为 或 ．
8.在菱形 中， ，点P是射线 上一动点，以 为边向右侧作等边 ，点E的位置
随点P的位置变化而变化．
(1)如图1，当点E在菱形 内部或边上时，连接 ，则 与 的数量关系是______， 与 的
位置关系是______；
(2)如图2，当点P、E都在菱形 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成
立，请说明理由．
(3)如图3，若四边形 为正方形，点P在对角线 上， ，交边 于点E，连接 交 于
点F．请求出 的度数并直接写出线段 之间的数量关系．
【答案】(1) ，
(2)（1）的结论仍然成立，理由见解析
(3) ，
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、利用菱形的性质求线段
长
【分析】（1）先根据菱形和等边三角形的性质得出 ，结合 ，证明
则 ，因为 以及 ，所以 ，即可
作答．
（2）先根据菱形的性质，得出 和 都是等边三角形，运用角的运算，得 证明
则 ， 即 则 即 ；
（3）因为正方形，所以 平分 ，证明 即 为等腰直角三
角形，然后运用旋转性质得出 故 ， ，通过角的换算，
即 ，证明 ，所以 ，最后在 中， ，
即可作答．
【详解】（1）解：如图：连接 ，延长 交 于点F，∵四边形 为菱形，
∴ ，
又∵
∴ 是等边三角形， ，
∵ 是等边三角形，
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∵菱形的对角线平分对角，
∴
又∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
即 ；
故答案为： ，
（2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下：
如图：连接 ，设 与 相交于点H
∵四边形 为菱形，
∴ ，
又∵∴ 和 都是等边三角形，
∴ ，
则
∵ 是等边三角形，
∴
∴
又
∴
∴
∵菱形的对角线平分对角，
∴
又∵
∴
∴
∴
则
即 ；
（3）解：如图所示：过点P分别作 ，垂足分别是 ，
∵四边形 为正方形，
∴ 平分
∴ ，且
又∵ ，
∴
∴
∴ ，即 为等腰直角三角形，
∴
把 绕点A逆时针转 ， 与 重合，点P的对应点是∴
∴ ，
∵
∴
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴在 中，
∴
题型五、矩形的旋转
9．如图，将矩形 绕点A顺时针旋转 ，得到矩形 ，点F恰好落在 的延长线
上．
(1)证明： ；
(2)证明： 的延长线经过点B．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图：连接 ，由旋转的性质可得 ，然后根据矩形的性质和等腰三角形即
可证明结论；
（2）如图：延长 交 于点 ，由旋转的性质可得 、 ，矩形的性质可得 、．再证 可得 ，最后根据三角形的内角和定理和等量代换即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接 ，
由旋转性质得 ，
又∵在矩形 中， ，
∴ ；
（2）解：延长 交 于点 ，
由旋转性质得， ， ，
在矩形 中， ， ，
由（1）得 ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴点 与B重合．
∴ 的延长线经过点B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识
点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
10．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，探究求某条线段长度的不同方
法，体验数学的无穷魅力．
已知矩形 ， ，将矩形 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到矩形
，点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，连接 ．(1)操作发现：
如图1，当 时， ______，如图2，当 时， ______；
(2)初步探究：
如图3，当边 经过点 时，求 的长；
(3)拓展延伸：
如图4，若 ，当点 落在 的延长线上时，直接写出四边形 的面积和 的长．
（结果用含 的式子表示）
【答案】(1) ，
(2)
(3)四边形 的面积为 ； 的长为
【分析】（1）根据矩形，旋转的性质，当 时， 是等边三角形，当 时，点 共线，
运用勾股定理即可求解；
（2）根据旋转得到 ， ，由勾股定理得
到 ，则 ，在 中由勾股定理即可求解；
（3）根据题意可证 ， ，结合面积的计算得到四边形 的面积为
；由勾股定理得到 ，由等面积法得到 ，根据 ，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵将矩形 绕点 按逆时针方向旋转 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
将矩形 绕点 按逆时针方向旋转 ，
∴ ，
∵ ，
∴点 共线，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）解：∵旋转，
∴ ， ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，
在 中， ；
（3）解：如图所示，连接 ，
∵将矩形 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到矩形 ，
∴ ，
∵点 落在 的延长线上，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ，
如图所示，连接 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，四边形 的面积为 ； 的长为 ．题型六、正方形的旋转
11．如图1，在正方形 和正方形 中，点 C在边 上，连接 ， ．
(1) 与 的位置关系是 ；
(2)将正方形 绕点 D按顺时针方向旋转，使点 E 落在 边上，如图 2，连接 ， ，
与 有怎样的位置关系？并证明你的结论．
【答案】(1)
(2) ，理由见详解
【分析】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质以及全等三角形的判定和性质．需要注意的是：旋转变
化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
（1）观察图形， 、 的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形 、 都是正方
形，证明 ，则 ，由于 、 互余，所以 、 互余，由此可得 ．
（2）参照（1）题的解题方法，可证 ，得 ，由于 、 互余，而 5、 互余，
那么 ；由图知 ，即 ，由此得证．
【详解】（1）解： ；
证明：延长 交 于点 ，
在正方形 与正方形 中， ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ；证明：延长 和 相交于点 ，
在正方形 和正方形 中， ，
∴ ；
∴ ，
∴ ；
又 ∵ ，
∴ ，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．如图①，四边形 与四边形 是共一个顶点的两个大小不同的正方形．
【操作发现】
（1）如图②，正方形 绕点A逆时针旋转，使点E落在边 上，线段 与 的数量关系是
________， 与 的关系是________．
【猜想证明】
（2）如图③，正方形 绕点A逆时针旋转某一角度 时，猜想（1）中的结论是否成立？
并证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图④，正方形 绕点A逆时针旋转，使点F落在直线 上，当 时，直接写
出 的长度．
【答案】（1） （2）成立，见解析（3） 或【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ；
（2）由“ ”可证 ，可得 ；
（3）分点 落在 上，点 落在 延长线上，两种情况讨论．
【详解】解：（1）∵四边形 ，四边形 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）结论仍然成立，
理由如下：∵四边形 ，四边形 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图，当点 落在 上时，过点G作 于H，
∵F落在边 上，
∴ ，
∵ ， ，
在 中，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
如图，当点 落在 延长线上时，过点G作 交 延长线与于H，
同理得： ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的长度为 或 ．
一、单选题
1．如图，线段 在直角坐标轴中，已知 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后，点 的对
应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过作辅助线，利用旋转的性质，找到对应线段的关系，从而确定点 的坐标．本题主要考查
了坐标与图形变化 - 旋转，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法是解
题的关键．
【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ．线段 绕点 逆时针旋转 ，
， ，
， ， ，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
．
故选：D．
2．如图，在 中， ，将 绕点A逆时旋转α（ ）得到 （点B与点D
对应），线段 交线段 于点O，当 时，旋转角α为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质得 ， ，再根据等腰三角形的性质即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由旋转的性质得 ， ，
∵ ，
∴ ，
故 ，
故选：C．
3．把边长为5的正方形 绕点A顺时针旋转 得到正方形 ，边 与 交于点E，则四边形 的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判
定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接 、 ，由正方形的性质得 ， ，则 ，
，由旋转得 ， ，
，则点 在 上，所以 ， ，则 ，可证明
，则 ，所以 ，求得四边形 的
周长是 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接 、 ，
四边形 是边长为5的正方形，
， ，
，
，
把正方形 绕点A顺时针旋转 得到正方形 ，边 与 交于点E，
， ， ，
，点 在 上，
，
，
，
， ，
，
，，
，
，
四边形 的周长是 ，
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在 轴正半轴上，点 ，将菱形 绕点 逆
时针旋转得到四边形 ，使得点 的对应点 落在 的延长线上， 交 于点 ，则点 的横
坐标为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质、菱形的性质是解
题的关键．求出 ．设 与 轴交于点 ，求出 ，即可得到答案．
【详解】解：∵点 ，
∴ ．
由旋转的性质，得 ，
．
，
，
．
设 与 轴交于点 ，∵
∴ ，
∵ ，
∴
∴点 的横坐标为 ，
故选 D．
5．如图，在矩形 中， ，以点 为旋转中心，将矩形 按顺时针方向旋转
，得到矩形 ，点 的对应点分别是点 ．当点 落在矩形 对角线
的延长线上时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，
正确地作出辅助线是解题的关键．
作 于点 ，由矩形的性质得 ，则 ，由
，求得 ，则 ，由旋转得 ，则
，求得 ，所以 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，作 于点 ，则 ，四边形 是矩形， ，
，
，
，
，
，
将矩形 旋转得到矩形 ，点 在 的延长线上，
，
，
，
，
故选：C．
二、填空题
6．如图，在 中， ， ，将此三角形绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B
的对应点分别是 ， ，若 恰好经过点B， 与 相交于点P，则 的度数是 ．
【答案】 /66度
【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得： ，从而有
， ，然后由三角形的内角和可求出 ，进一步求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，由旋转的性质可得： ，
∴ ， ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
7．如图，在菱形 中， ，将该菱形绕点 在平面内顺时针方向旋转 得到菱形 ，
与 交于点 ，且 ，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形中
角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接 ，作 于点 ，利用菱形的性质和旋转的性质求出 ， ，利
用 直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合
进行求解即可．
【详解】解：连接 ，作 于点 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
将菱形 绕点 顺时针旋转 得到菱形 ，
∴ ， ， ，
， ， ，
，
∴ ， ，
点 在 上， ，
∴ ， ，
，
∴
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是 ，
故答案为： ．
8．如图， 中， ， 于点E，将线段 绕点A顺时针旋转 ，点E的对应点F
恰好落在 边上，若 ，则 ___________．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理， 直角三角形性质，平行四边形性质，旋转的性质等知识点，作出适
当的辅助线是解题的关键．
根据题意求出 长，由旋转得 长，过F点作 ，勾股定理得 长，即可求得 长．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
由勾股定理得 ，
，
由旋转得 ，
，
过F点作 交 于H，如图：
，
，
∴ ，
，
由勾股定理得： ，
，
故答案为： ．
9．如图，在矩形 中， ， ．将矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形
，边 与 相交于点 ，边 与 的延长线相交于点 ．在矩形 旋转过程中，当
落在线段 上时， ；当 是线段 的三等分点时， ．
【答案】 或
【分析】当 落在线段 上时， ，在 中利用勾股定理进行求解即可，当 是线段
的三等分点时，分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵矩形 ，∴ ，
∵旋转，
∴ ，
当 落在线段 上时，如图，则 ，
在 中， ，
即： ；
当 是线段 的三等分点时，分两种情况：
①当 时，设 ，则： ， ，
连接 ，过点 作 ，则： （平行线间的距离处处相等），
∴ ，即： ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
∴ ；
②当 时，设 ，则： ，同法可得： ，
在 中， ，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍去）；
∴ ；
综上： 或 ；
故答案为： ； 或 ．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，二次根式的运算，解一元二次方程，熟练掌握相
关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
10．如图，正方形 的对角线相交于点O，点O又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形
的边长相等，给出如下四个结论：① ；②正方形 绕点O旋转时，四边形 面积随
的长度变化而变化；③ 周长的最小值为 ；④ 其中所有正确结论的
代号是 ．
【答案】①③
【分析】①由四边形 和 是正方形可知，易证得 ≌ ，则可得 为
等腰直角三角形；②由①易证得 ，则可得出结论；③，而 的最小值为 ，故可得结论③正确；④由 和
，即可得结论．
【详解】解：① 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；故①正确；
②由①得 ≌
，
故②错误；
③由①可知 ，
周长 ，
为定值，则 最小时 的周长最小，
当 时 最小， 的周长最小，
此时 ，
的周长最小值=
故③正确，
④ 在 中， ， ， ，
，
又
，故④错误．
故答案为①③．
【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．
三、解答题
11．如图，在正方形 中，E、F是对角线 上的两点，连接 ， ，将线段 绕点A顺时针旋
转 得到线段 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识
点，并灵活运用，是解题的关键；
（1）由旋转的性质得到 ， ，由正方形的性质， ， ，进而得到
，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，推出 ，继而根据勾股定理求出 的长即可．
【详解】（1）证明：∵将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）得 ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．
12．【探究与证明】活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．【问题情境】如图①，在矩形 中， ， ．将边 绕点 逆时针旋转 得到线
段 ，过点 作 交直线 于点 ．
【猜想证明】从特殊到一般
(1)当 时，四边形 的形状为_______；（直接写出答案）
(2)如图②，当 时，连接 ，求此时 的面积；
(3)如图③，连接 ，请找出其中的全等三角形并证明；
(4)当点F，E，D三点共线时，请求出此时 的长度．
【答案】(1)正方形
(2)
(3) ，证明见解析
(4) 或8
【分析】（1）可推出 ， ，从而得四边形 是正方形；
（2）作 于 ，可推出 ，从而 ，根据勾股定理得出
，求得 ，进一步得出结果；
（3）利用 证明 即可；
（4）设 ，则 ，根据旋转的性质得： ，分为：当点E在 上时，根据
勾股定理可得： ，当点 在 的延长线上时，设 ，则
，可得： ，进而可得出答案．
【详解】（1）解：如图①，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵将边 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，过点E作 ，
∴ ， ， ，
∴ ，∴四边形 是矩形，
∴矩形 是正方形，
故答案为：正方形；
（2）解：如答题图①，作 于 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解： ，
证明如下：
由已知可得 ，
在 和 中，
，
；
（4）解： ，
，
设 ，则 ，
根据旋转的性质得： ，
，
，
，
当点 在线段 上时，如答题图②在 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
当点 在 的延长线上时，如答题图③，
同理 ，
设 ，则 ，
，
解得： ，
综上所述， 或8．
【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解
决问题的关键是分类讨论．
13．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片
绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知纸片 和 中， ，
， ．
【初步感知】（1）如图1，在纸片 绕点A旋转过程中，当 恰好平分 时， 与 相交于点M，则
______．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片 绕点A旋转过程中，当点D恰好落在 的角平分线 的延长线上时，延
长 交 于点F，求 的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片 绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成以 为直角边的直角三角形．若
能，直接写出所有满足条件的 的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）1；（2） ；（3） 或 或
【分析】（1）根据题意得出 ，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理
即可求解．
（2）过点M作 于点N，根据题意证明 是等腰直角三角形，设 ，则 ，勾股
定理求得 ，得出 ，即可求解；
（3）证明 ，分两种情况讨论，①当 ，② ，分别画出图形，根
据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：（1）∵ ， 恰好平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：1．
（2）解：如图所示，过点M作 于点N，∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，∴ ；
（3）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
①当 时，
∵ ，
∴A、D、C共线，
当D在 上时， ，如图，
∴ 的面积为 ；
如图所示，当D在 的延长线上， ，
∴ 的面积为 ；
②如图所示，当 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ 的面积为 ．
综上所述，所有满足条件的 的面积为 或 或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的
性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．【特例感知】
(1)如图①， 为等腰直角三角形，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，过点C作
交直线 于点F，直线 与直线 交于点G，则 的形状为______三角形（不用证明）．
【类比探究】
(2)如图②，将背景图形“等腰直角三角形 ”换成“矩形 ”，其余条件均不变，（1）中的结论
是否成立，请说明理由．
【拓展应用】
(3)在（2）的条件下，将“旋转 ”换成“旋转 （ ）”．请直接写出当 是等腰三
角形时 的值．
【答案】(1)等腰三角形
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用旋转变换的性质可得， ， ， ，进而求证
是等边三角形，推出 ，即可证明；
（2）同理证得 是等边三角形，推出 ，即可证明；
（3）分两种情况，即当 时和当 时，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
由旋转可得， ， ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵四边形 为矩形，
∴ ，
由旋转可得， ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（3）当 时，如图，
由旋转可得， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 是等腰三角形，且 ，
∴ ，
即 ，
解得 （不符合题意，舍去）；
当 时，如图，
同理可得， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形，且 ，
∴ ，
即 ，
解得 ；
综上所述，当 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题考查几何变换，涉及等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，矩形的性质，旋
转变换的性质，三角形的外角性质，关键是根据旋转变换的性质解答．
15．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活
动．(1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片 和 摆成图1的形状，点A与点E重合，边
与边 重合，边 ， 在同一直线上．请写出图中一个度数为 的角：______；
(2)【解决问题】如图2，小明将长方形 绕点A顺时针旋转 后，边 与边 交于点M，连接
，若 ， ，求矩形 的面积；
(3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形 绕点A顺时针转动一周，若边 所在的直线恰好经过
线段 的中点O时，连接 ， ，若 ， ，请求出 的面积．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 的面积是 或
【分析】（1）可推出 ，从而得出结果；
（2）根据旋转可得 ，即可得到 ，进而得出 ，然
后利用矩形的面积解答即可；
（3）当线段 与 交于点 时，作 于 ，可证得 从而 ， ，
进而得出 ，从而得出 ，进而得出 ，求出三角形的面积；当
的延长线交 于点 时，同样得方法得出结果．
【详解】（1）解：∵长方形纸片 和 是两个完全相同的长方形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： 或 ；
（2）解：∵长方形 绕点A顺时针旋转 ，
∴ ，
∵ 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ；
（3）解：如图 ，
当线段 与 交于点 时，作 于 ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ ，
，
，
，
；
如图 ，当 的延长线交 于点 时，
由上知： ，
，
，
综上所述： 的面积是 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知
识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
16．（1）【问题初探】
苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1，正方形
的边长为2， 的顶点 在正方形 两条对角线的交点处， ，将 绕点
旋转， 的两边分别与正方形 的边 和 交于点 和点 （点 与点 ， 不重合），
问：在旋转过程中，四边形 的面积会发生变化吗？证明你的结论．
爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路：
浩浩：如图 ，充分利用正方形对角线垂直，相等且互相平分等性质证明了 ，则
，那么 ，这样，就实现了四边形 的面积
向 面积的转化．
小航：如图 ，也是考虑到正方形对角线的特征，过点 分别作 于点 ， 于点 ，证明
，从而将四边形 的面积转化成了小正方形 的面积．
通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，
线段 与 的和也是一个定值，为 ．
（2）【类比探究】
①如图 ，矩形 中， ， ，点 是 边的中点， ，点 在 上，点 在
上，则四边形 的面积为 ， ；②如图 ，若将（ ）中的“正方形 ”改为“ ，边长为 的菱形 ”，其他条件不
变，当 时，四边形 的面积是 ．
③如图 ，在②的条件下，当点 在对角线 上运动到 且 旋转至 时， 的长度为
______．
（3）【拓展延伸】
如图5， （ 为钝角）， ， 是钝角， 平分 ， ， ，
， ，点 是 上一点，那么 的长为______．
【答案】（1）1，2；（2）①4，4；② ；③4或2；（3）
【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论；
（2）①过 作 于点 ，证四边形 是正方形，则 ，再证 ，
得 ， ，即可解决问题；
②过 作 交 于点 ，证 是等边三角形和 是等边三角形，得 ，
，再证 ，得 ，则 ，然后证 ，即可
解决问题；
③连接 交 于点 ，分两种情况， 、点 在 上时， 、点 在 上时，由等边三角形的判定
与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可；
（3）过 作 于点 ， 于点 ，设 ，则 ，在 和 中，
由勾股定理得出方程，求出 ，然后证 ，得 ，同理 ，
得 ，即可解决问题．
【详解】解：（1）浩浩： 四边形 是正方形，边长为2，
， ， ， ， ， ，
，，
，
，
， ，
， ；
小航： ， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
四边形 是正方形，边长为2，
， ，
，
，
是 的中位线，
，
同理： ，
，
，四边形 是正方形，
， ，
，
；
故答案为：1，2；
（2）①如图2，过点 作 于点 ，
则 ，四边形 是矩形，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，点 是 边的中点，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
故答案为：4，4；
②当 时，四边形 的面积还是一个定值，理由如下：
如图3，过点 作 交 于点 ，
四边形 是菱形，边长为8， ，
， ， ， ， ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
， ，
，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
即当 时，四边形 的面积为 ；
③连接 交 于点 ，分两种情况
、点 在 上时，如图4，
四边形 是菱形，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
过点 作 交 于点 ，
同②得： 都是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
；
、点 在 上时，如图 ，过点 作 交 于点 ，同理得： ， 都是等边三角形， ，
， ；
综上所述， 的长为4或2，
故答案为：4或2；
（3）如图5，过点 作 于点 ， 于点 ，
则 ，
设 ，则 ，
在 和 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
，
为钝角）， ，
，
，
，
，
平分 ， ， ，
，
，
，，
又 ， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
