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专题 03 圆中常见的多解问题（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 由点与圆的位置关系引发多解问题】.....................................................................................................1
【题型2 由点在弧（或弦）上的位置关系引发多解问题】.................................................................................3
【题型3 由圆心与弦的位置关系引发多解问题】.................................................................................................6
【题型4 由一弦对两弧引发多解问题】................................................................................................................10
【题型5 由外心与三角形位置关系引发多解问题】...........................................................................................13
【题型6 由直线与圆的位置关系引发多解问题】...............................................................................................17
【题型1 由点与圆的位置关系引发多解问题】
【例1】已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段OA=10cm，线段OB=6cm，
那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直
线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相
离．
【详解】解：∵⊙O的半径为10cm，线段OA=10cm，线段OB=6cm，
∴点A在以O为圆心，10cm长为半径的圆上，点B在以O圆心，6cm长为半径的⊙O上
当AB⊥OB时，如左图所示，由OB=6cm知，直线AB与⊙O相切；
当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则OD<OB，所以直线AB与⊙O相
交；
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与
半径的大小，从而可确定位置关系．
【变式1-1】若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是
（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．10或6
【答案】C
【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：设⊙O的半径为r，
8−2
当点P在圆外时，r= =3；
2
8+2
当点P在⊙O内时，r= =5．
2
综上可知此圆的半径为3或5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的关键．
【变式1-2】⊙O的半径为10cm, A是⊙O上一点, B是OA中点, C点和B点的距离等于5cm, 则C点和⊙O的
位置关系是 （ ）
A．C在⊙O内 B．C在⊙O上 C．C在⊙O外 D．C在⊙O上或C在⊙O内
【答案】D
【详解】试题解析：因为⊙O的半径是10cm，A是圆上一点，所以OA=10cm，
又B是OA的中点，所以BA=5cm．
而BC=5cm，所以点C应在以B为圆心，5cm为半径的⊙B上．
⊙B上的点除点A在⊙O上外，其它的点都在⊙O内．
故选D．
【变式1-3】在已知线段AB=10，且A、B两点都在⊙O的外，圆上动点P与点A的最小距离为6，与B点
的最小距离为4，若△ABO为直角三角形，则⊙O的半径r= ．
【答案】2或20
【分析】设⊙O与OA交于点D，⊙O与OB交于点E，分当∠AOB=90°时，当∠ABO=90°时，当
∠BAO=90°时三种情况讨论，再根据勾股定理，列方程求解即可．
【详解】解：设⊙O与OA交于点D，⊙O与OB交于点E，当∠AOB=90°时，如图， 圆上动点P与点A的最小距离为6，与B点的最小距离为4，
则AD=6,BE=4,OA=r+6,OB=r+4，
在Rt△AOB中，(OA) 2+(OB) 2=(AB) 2，
∴(r+6) 2+(r+4) 2=102，
∴r =2,r =−12（舍去）；
1 2
当∠ABO=90°时，如图，圆上动点P与点A的最小距离为6，与B点的最小距离为4，
则AD=6,BE=4,OA=r+6,OB=r+4，
在Rt△AOB中，(AB) 2+(OB) 2=(OA) 2，
∴102+(r+4) 2=(r+6) 2，
∴r=20，
当∠BAO=90°时，BO为斜边，AD=6,BE=4,OA=r+6,OB=r+4，
∵OB<OA，
故此情况不成立，舍去．
综上所述：⊙O的半径r的值为2或20．
故答案为：2或20．
【点睛】本题考查了点与圆的关系，勾股定理，解一元二次方程等知识，运用分类讨论的思想方法是本题
的关键．
【题型2 由点在弧（或弦）上的位置关系引发多解问题】
【例2】已知⊙O的半径为7，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为4，则⊙O上到直线l的距离为3的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线间的距离相等，先过点D作AB⊥OC，即可求得⊙O上到直线l的距离为3的点的个
数．
【详解】解：如图，
∵⊙O的半径为7，点O到直线l的距离为4，
∴CE＝3，
过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A、B两点，且DE＝3，
∴⊙O上到直线l的距离为3的点为A、B、C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了与圆有关的知识点，准确利用平行线的性质进行求解是解题的关键．
【变式2-1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且∠APB=56°，若点C是⊙O上异于点
A,B的一点，则∠ACB的大小为（ ）
A．134° B．124° C．62°或118° D．67°或113°
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质根据PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点可得∠OAP=∠OBP=90°
，即可求出∠AOB，从而求出∠ACB的大小，求出∠AOB的度数，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=56°，∴∠AOB=360°−∠OAP−∠OBP−∠APB=124°，
1
当C在优弧A´B上时，∠ACB= ∠AOB=62°，
2
当C在劣弧A´B上时，∠ACB=180°−62°=118°，
∴∠ACB的大小为62°或118°，
故选：C．
【变式2-2】在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= ．
【答案】7或25
【分析】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC
上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．
【详解】作OC⊥AB于点C，
1
∴AC= AB=16，
2
OC=❑√OA2−AC2=12，又OP=15，
∴PC=❑√OP2−OC2=9，
当点P在线段AC上时，AP=16−9=7，
当点P在线段BC上时，AP=16+9=25.
故选7或25.
【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，解题的关键是熟练的掌握垂径定理的相关知识点.
【变式2-3】）⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM:OC=3:5，则AC的
长为 ．
【答案】2❑√5或4❑√5
【分析】分①点M在线段OC上，②点M在线段OD上两种情况，连接OA，先利用勾股定理求出AM的
长，再在Rt△ACM中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点M在线段OC上时，连接OA，∵⊙O的直径CD=10，
∴OA=OC=5，
∵OM:OC=3:5，
3
∴OM= OC=3,CM=OC−OM=2，
5
∵AB⊥CD，
，
∴AM=❑√OA2−OM2=❑√52−32=4
；
∴AC=❑√AM2+CM2=❑√42+22=2❑√5
②如图，当点M在线段OD上时，连接OA，
同理可得： ，
OC=5,OM=3,AM=❑√OA2−OM2=4
∴CM=OC+OM=8，
；
∴AC=❑√AM2+CM2=❑√42+82=4❑√5
综上，AC的长为2❑√5或4❑√5，
故答案为：2❑√5或4❑√5．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．
【题型3 由圆心与弦的位置关系引发多解问题】
【例3】（2025·江西宜春·模拟预测）已知OA为⊙O的半径，AB是⊙O的弦，且AB=4❑√3，
∠OAB=30°，点P在⊙O上，若点P到直线AB的距离为2，则∠PAB的度数为 ．【答案】15°或30°或105°
1
【分析】作OH⊥AB于H，由垂径定理得AH=BH= AB=2❑√3，可得OH=2，OA=4．由点P在
2
⊙O上，且点P到直线AB的距离为2，可知满足条件的P点有3个．延长OH交⊙O于P ，过点O作直
1
线P P ∥AB交⊙O于P ，P ．根据等腰三角形的性质分别求解即可解决问题．
2 3 2 3
本题考查圆垂径定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中
考常考题型．
【详解】解：如图，作OH⊥AB于H，
1 1
则AH=BH= AB= ×4❑√3=2❑√3，
2 2
∵∠OAB=30°，
❑√3
∴OH=2❑√3× =2，
3
∴OA=2OH=4．
∵点P在⊙O上，且点P到直线AB的距离为2，
∴满足条件的P点有3个．
延长OH交⊙O于P ，此时P H=OP −OH=4−2=2，
1 1 1
过点O作直线P P ∥AB交⊙O于P ，P ，此时P ，P 到直线AB的距离为2．
2 3 2 3 2 3
连接AP ，AP ，AP ，
1 2 3
∵AB⊥OP ，P H=OH，
1 1
∴AP =AO，
1
∴∠P AB=∠OAB=30°．
1
∵P P ∥AB，
2 3
∴∠AOP =∠OAB=30°，
2
∵OA=OP ，
2
1
∴∠OAP =∠OP A= (180°−30°)=75°，
2 2 2
∴∠P AB=∠OAP +∠OAB=75°+30°=105°．
2 2∵P P ∥AB，
2 3
∴∠P AB=∠OP A，
3 3
∴OA=OP ，
3
∠OAP =∠OP A，
3 3
1 1
∴∠P AB=∠OAP = ∠OAB= ×30°=15°．
3 3 2 2
综上，∠PAB的度数为15°或30°或105°．
故答案为：15°或30°或105°．
【变式3-1】AB、AC是⊙O的弦，M、N分别是AB、AC的中点，若∠BAC=40°，则∠MON的
度数为 ．
【答案】40°或140°
【分析】分圆心在∠BAC的内部和外部两种情况，根据垂径定理得出直角，进行计算即可．
【详解】解：∵ M、N分别是AB、AC的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO=∠ANO=90°，
如图1，∵∠ADM=∠ODN，
∴∠MON=∠BAC=40°；
如图2
∠MON=360º-90º-90º-40º=140°，
故答案为：40°或140°．
【点睛】本题考查了垂径定理，三角形内角和，四边形内角和等知识，解题关键是利用垂径定理得出
90°，根据圆心的位置不同分类讨论．
【变式3-2】（24-25九年级上·广西崇左·期末）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm，下雨前
水面宽为100cm，一场大雨过后，水面宽为240cm，则水位上升______cm．A．70 B．70或170 C．100 D．100或200
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，分水面在圆心下方和上方，两种情况，利用垂径定理和勾股定理进行求解即
可．
【详解】解：如图所示：OE⊥CD,OF⊥AB，
由题意AB=100cm,CD=240cm，
1 1
根据垂径定理，得，DE= CD=120cm,BF= AB=50cm，
2 2
∵直径为260cm，半径OD=OB=130cm，
∴在Rt△OED中，OE2=OD2−DE2=1302−1202=2500，
∴OE=50cm
∴在Rt△OFB中，OF2=OB2−BF2=1302−502=14400，
∴OF=120cm，
①当CD在圆心下方时，EF=OF−OE=120−50=70cm，
②当CD在圆心上方时，EF=OF+OE=120+50=170cm，
故选：B．
【变式3-3】如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上四个动点，且AB=6，CD=8，若点E、F
分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是 ．【答案】1≤EF≤7/7≥EF≥1
【分析】连接OE、OF、OA、OC，利用垂径定理求出OE、OF，再根据AB,CD在圆心的同侧和两侧，
以及E、O、F三点共线时线段最长或最短进行求解即可．
【详解】连接OE、OF、OA、OC，如图所示：
∵⊙O的直径为10，
∴OA=OC=5，
∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB=6，CD=8，
1 1
∴OE⊥AB,OF⊥CD,AE= AB=3，CF= CD=4，
2 2
∴ ，
OE=❑√OA2−AE2=❑√52−32=4,OF=❑√OC2−CF2=❑√52−42=3
当AB、CD位于O的同侧时，EF≥OE−OF，
E、O、F三点共线时，线段EF的长度最短=OE−OF=1，
当AB、CD位于O的两侧时，EF≤OE+OF，
E、O、F三点共线时，线段EF的长度最长=OE+OF=7，
∴线段EF的长度的取值范围是1≤EF≤7，
故答案为：1≤EF≤7．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，以及线段的最值问题．熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的
关键．
【题型4 由一弦对两弧引发多解问题】
【例4】圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．150° D．150°或30°
【答案】D
【分析】首先根据题意画出图形，由某个圆的弦长等于它的半径，△OAB是等边三角形，即可求得∠AOB
的度数，又由圆周角定理与圆的内接四边形的性质，求得答案．
【详解】如图，
根据题意得：OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
1
∴∠ACB= ∠AOB=30°，
2
∴∠ADB=180°−∠ACB=150°.
即这条弦所对的圆周角的度数为：30°或150°.
故答案为30°或150°.
【点睛】本题考查圆周角定理与圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理与圆的内接四边形
的性质.
【变式4-1】圆的一条弦将圆分成弧长之比为1：5的两条弧，则这条弦所对圆周角的度数是 ．
【答案】30°或150°
【分析】根据题意，画出图形，根据弧和圆心角的关系即可求出∠AOB，然后根据同弧所对的圆周角是圆
心角的一半即可求出∠APB，再利用圆的内接四边形的性质即可求出∠AQB．
【详解】解：如图所示，弦AB将圆分成弧长之比为1：5的两条弧，则这条弦所对圆周角是∠APB和
∠AQB1
∴∠AOB= ×360°=60°
6
1
∴∠APB= ∠AOB=30°
2
∴∠AQB=180°-∠APB=150°
故答案为：30°或150°．
【点睛】此题考查的是圆的综合题型，掌握弧和圆心角的关系、同弧所对的圆周角是圆心角的一半和圆的
内接四边形的性质是解决此题的关键．
【变式4-2】已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为❑√2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 ．
【答案】45°或135°
【分析】此题考查了求圆周角；直径所对圆周角是直角，勾股定理求出BC，证得△ABC为等腰直角三角
形即可解得．
【详解】解：如图, 连接BC，
∵⊙O AB
的直径
∴∠ACB=90°,
根据勾股定理得
BC=❑√AB2−AC2
∴BC=❑√2
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=45°，∠AC′C =135°
∴弦AC所对的圆周角的度数等于45°或者135°．
【变式4-3】已知等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为
．
【答案】2或8【分析】分点O在△ABC内部和点O在△ABC外部两种情况求BC边上的高即可.
【详解】分为两种情况：
①当O在△ABC内部时，如图，连接OB、OA，延长AO交BC于D，
∵⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，BC=8，
1
∴AD⊥BC，BD=DC= AB=4，
2
在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD= =3，
❑√52−42
∴BC边上的高AD=AO+OD=5+3=8；
②当O在△ABC外部时，如图，连接OB、OA，AO交BC于D，
此时AD=AO-OD=5-3=2；
故答案为8或2．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质、三角形的外接圆、垂径定理及勾股定理的应用，关键是能进行分类
讨论求出符合条件的所有情况．
【题型5 由外心与三角形位置关系引发多解问题】
【例5】PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，
则∠COD的度数为 ．
【答案】65°或115°
【分析】根据题意画出符合题意的图形，分别求出∠AOB，再根据切线的性质求出∠COD的度数．
【详解】如图，连接OA、OB、OE∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
1 1 1
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE= ∠AOB=65°
2 2 2
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
1 1
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD= ∠AOE+ ∠BOE
2 2
1
∴∠COD= （360°-130°）=115°
2
故答案为：65°或115°．【点睛】此题主要考查考查了切线的性质，切线长定理，三角形的内角和等知识点的应用，解题的关键是
根据题意分情况作图求解．
【变式5-1】点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，BC为底边，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．30°或150° C．150° D．60°或120°
【答案】B
【分析】根据题意画出等腰△ABC外接圆，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接OB，OC，
∵O是△ABC的外心，∠BOC=60°，
∴∠A=30°，∠A′=150°，
∴∠BAC的度数为：30°或150°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外心的定义，掌握圆周角定理是解题的关键．
【变式5-2】已知，在△ABC中，AC=4，BC=3❑√2，以AB为直径的圆经过△ABC的外心，则AB的
长为 ．
【答案】❑√10或❑√58
【分析】根据题意，分两种情况画出图形：情况1为当外心在△ABC内部时，情况2为当外心在△ABC
外部时，根据圆心角与圆周角的关系易得∠C为45°或135°，再作出BC边上的高，利用勾股定理解直角
三角形，求出AB的长．
【详解】解：设⊙D是以AB为直径的圆，点O是△ABC的外心．
情况1，如图，当点O在△ABC内部时，根据圆心角与圆周角的关系得：
1 1
∠C= ∠AOB= ×90°=45°，
2 2
作AE⊥BC于点E，则△AEB是等腰直角三角形，EC=EA，由勾股定理有EC2+EA2=AC2，即2EC2=42，EC=EA=2❑√2，
∴BE=BC−EC=3❑√2−2❑√2=❑√2，
；
∴AB=❑√AE2+BE2=❑√(2❑√2) 2+(❑√2) 2=❑√10
情况2，如图，当点O在△ABC外部时，根据圆心角与圆周角的关系得：
1 1
∠C= (360°−∠AOB)= ×(360°−90°)=135°，
2 2
作AF⊥BC的延长线于点F，则△AFC是等腰直角三角形，FC=FA，
由勾股定理有FC2+F A2=AC2，即2FC2=42，FC=FA=2❑√2，
∴BF=BC+FC=3❑√2+2❑√2=5❑√2，
．
∴AB=❑√AF2+BF2=❑√(2❑√2) 2+(5❑√2) 2=❑√58
故答案为：❑√10或❑√58．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、勾股定理解直角三角形、等腰直角三角形的性
质等，灵活运用相关知识并画出图形分类讨论是解决问题的关键．
【变式5-3】若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为
．
【答案】2+❑√3或2−❑√3
【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在△ABC内部时．②当点O在△ABC外时．分别求解即可．本
题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问
题，注意一题多解，属于中考常考题型．【详解】解：①当圆心O在△ABC内部时，作AE⊥BC于E．
∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，
∴AE=OA+OE=2+❑√3，
1 1
∴S = BC⋅AE= ×2×(2+❑√3)=2+❑√3，
❑△ABC 2 2
②当点O在△ABC外时，连接OA交BC于E．
1 1
S = BC⋅AE= ×2×(2−❑√3)=2−❑√3，
❑△ABC 2 2
故答案为：2+❑√3或2−❑√3
【题型6 由直线与圆的位置关系引发多解问题】
【例6】如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是边BC上的动点，连接PM，以点P为圆
心，PM长为半径作⊙P．（1）当BP=4时，点C在⊙P ；(填“上”“内”或“外”)
（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
【答案】 内 3或4❑√3/4❑√3或3
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，切线的性质，分类思想．
（1）根据勾股定理，求的半径，计算MP，比较与半径的大小即可解答．
（2）分⊙P与AD,DC两种情况，运用勾股定理列式计算即可．
【详解】（1）∵正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，
1
∴BM= AB=4,∠B=90°，
2
∵BP=4，
∴ ， ，
MP=❑√MB2+BP2=4❑√2 PC=BC−BP=4
∵CP＜MP，
故点C在圆的内部，
故答案为：内．
（2）当⊙P与CD相切时，
设BP=x，
则 ， ，
PC=BC−BP=8−x MP=❑√MB2+BP2=❑√16+x2∴ ，
❑√16+x2=8−x
解得x=3，
经检验是方程的根且符合题意；
当⊙P与AD相切时，设切点为K，
则PK⊥AD，
∵正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，
1 1
∴BM= AB= CD=4,∠B=∠C=∠D=90°，
2 2
∴四边形PCDK是矩形，
∴PK=DC=8，
设BP=x，
则 ，
MP=❑√MB2+BP2=❑√16+x2
∴ ，
❑√16+x2=8解得x=4❑√3或x=−4❑√3（舍去），
经检验符合；
故答案为：3或4❑√3．
【变式6-1】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3．以点C为圆心，r为半径的圆作⊙C，若边
AB与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ．
12
【答案】3<r≤4或r=
5
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d>r
，则直线与圆相离．
此题注意考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有
一个交点在斜边上.
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√32+42=5
1 1
∵S = AC·BC= AB·CD ，
Rt△ABC 2 2
AC·BC 3×4 12
∴CD= = =
AB 5 5
12
如图，当⊙C与和AB相切时，则⊙C的半径为 ；
5
当⊙C和AB相交，且只有一个交点在斜边上时，则3<r≤4 ．
12
故半径r的取值范围是r= 或3<r≤4．
5
12
故答案为r= 或3<r≤4．
5
4
【变式6-2】如图，已知直线l的解析式是y= x−4，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为
31.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切
时，则该圆运动的时间为（ ）
A．3秒或6秒 B．6秒 C．3秒 D．6秒或16秒
【答案】D
【详解】试题解析：如图，
∵x=0时，y=-4，
y=0时，x=3，
∴A（3，0）、B（0，-4），
∴AB=5，
当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD，
则C到AB的距离等于1.5，
5
∴CB=1.5× =2.5；
3
∴C运动的距离为：1.5+（4-2.5）=3，运动的时间为：3÷0.5=6；同理当C在B下方，直线与圆相切时，
连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）=8，运动的时间为：8÷0.5=16．
故选D．
【变式6-3】如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中
心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒(2−❑√3)cm的速度向左运动 秒时，
⊙O与正方形重叠部分的面积为 (2 π−❑√3 ) cm2 ．
3
【答案】1或11+6❑√3．
【分析】将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题
意，由此得到OF的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分
类讨论．
【详解】解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA，OB，AB交OF于点E
此时正方形与圆的重叠部分的面积为S
扇形OAB
-S△
OAB
由题意可知：OA=OB=AB=2，OF⊥AB
∴△OAB为等边三角形
∴∠AOB=60°，OE⊥AB
1
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，∴AE= OA=1，OE=❑√3
2
60π×22 1 2
∴S
扇形OAB
-S△
OAB
= − ×2×❑√3= π−❑√3
360 2 3
∴OF=❑√3+1
∴点F向左运动3−(❑√3+1)=2−❑√3个单位
2−❑√3
所以此时运动时间为 =1秒
2−❑√3②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC，OD，CD交OF于点E
此时正方形与圆的重叠部分的面积为S
扇形OCD
-S△
OCD
由题意可知：OC=OD=CD=2，OF⊥CD
∴△OCD为等边三角形
∴∠COD=60°，OE⊥CD
1
在Rt△COE中，∠COE=30°，∴CE= OC=1，OE=❑√3
2
60π×22 1 2
∴S
扇形OCD
-S△
OCD
= − ×2×❑√3= π−❑√3
360 2 3
∴OF=❑√3+1
∴点F向左运动3+(❑√3+1)=4+❑√3个单位
4+❑√3
所以此时运动时间为 =11+6❑√3秒
2−❑√3
2
综上，当运动时间为1或11+6❑√3秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为 π−❑√3(cm2 )
3
故答案为：1或11+6❑√3．
【点睛】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情
况讨论是本题的解题关键．
