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专题 03 旋转（3 知识&8 题型&4 易错&3 方法清单）【清单01】旋转的定义，性质与作图
1. 旋转的概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做
旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.
2. 旋转的性质
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
3. 旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可
以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一
元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
【清单02】 中心对称（两个图形）
1.概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称
或中心对称；
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4.作图步骤：
（1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
（2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。
(1) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形
5.中心对称图形（一个图形）
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
【清单03】 关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
【题型一】生活中的旋转现象
【典例1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ）A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动
C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片
【答案】D
【分析】题目主要考查旋转的定义，旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，据此依次判断即
可．
【详解】解：旋转的定义是物体绕一个固定点或轴做圆周运动，
A、地下水位逐年下降是垂直方向的变化，无旋转中心；
B、传送带的移动是物体沿直线运动，属于平移；
C、升国旗的过程是国旗沿旗杆直线上升，属于平移；
D、工作中的风力发电机叶片绕中心轴转动，属于旋转；
故选：D．
【变式1】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移
动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后求解．
【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带上的物品的移动，是平移现象；
③钟摆的运动，是旋转现象；
④荡秋千运动，是旋转现象．
属于旋转的有③④共2个．
故选：B．
【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行．下
图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答
即可．【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：
故选：D．
【变式3】（24-25九年级上·全国·假期作业）对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移
C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称
【答案】A
【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．
根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可．
【详解】解：下列各表情图片的变换顺序是轴对称变换→平移变换→旋转变换．
故选：A．
【题型二】找旋转中心，旋转角和对应点
【典例2】（24-25九年级上·广东揭阳·开学考试）如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的
角度，得到△M N P ，则其旋转中心可能是（ ）
1 1 1
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平
分线上，则连接PP ，N N ，分别作出PP ，N N 的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，
1 1 1 1
熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键．【详解】解：如图，连接PP ，N N ，分别作出PP ，N N 的垂直平分线，
1 1 1 1
PP N N B
1 1
， 的垂直平分线的交点为 ，
∴旋转中心是点B，
故选：B．
【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，三角形ABC绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形
DEF，则下列选项中不能表示旋转角的是（ ）
A．∠CPF B．∠APD C．∠BPE D．∠CPE
【答案】D
【分析】本题考查三角形的旋转问题，解题的关键是掌握旋转角的定义．根据旋转角的定义即可得到
答案．
【详解】解：根据旋转角的定义，∠CPF，∠APD，∠BPE都可以表示旋转角，∠CPE不是旋转
角；
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（
）
A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C
【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组
对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点
的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可．
【详解】解：如图，两个格点三角形分别为△ABP和△QRA，连接CA、CQ、CP、CB、CR，
设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1，
由勾股定理得CA=CP=CQ=❑√12+22=❑√5，CB=CR=❑√12+12=❑√2，
∵△ABP和△QRA的每一组对应顶点到点C的距离都相等，
∴两个格点△ABP和△QRA的旋转中心是点C，
故选：C.
【变式3】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋
转90°后得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是（ ）
A．(−1,0) B．(0,−2) C．(0,−1) D．(1,−2)
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形、点坐标与图形，熟练掌握旋转中心一定在任何一对对应点所连线
段的垂直平分线上是解题关键．找出线段A A′和CC′的垂直平分线的交点即可得．
【详解】解：由题意可知，线段A A′和CC′的垂直平分线的交点即为旋转中心．
∵如图，线段A A′的垂直平分线为直线x=0，线段CC′的垂直平分线是边长为3的正方形的一条对角
线所在直线，其与y轴的交点为(0,−2)，∴旋转中心的坐标是(0,−2)，
故选：B．
【题型三】根据旋转的性质求解
【典例3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
将△ABC绕点A顺时针旋转得到对应△ADE，若点E恰好在AB边上，则BE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，利用勾股定理求出AB=10，根据旋转的性质可得
AC=AE=6，DE=BC=8，由BE=AB−AE，即可解答．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
由旋转的性质得AC=AE=6，DE=BC=8，
∵点E恰好在AB边上，
∴BE=AB−AE=4，
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的
对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得∠DAB=40°，AD=AB，
即可求解．掌握旋转的性质是本题的关键．
【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，
∴∠DAB=40°，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=(180°−40°)÷2=70°，
∴∠ADE=∠B=70°，
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′B′C′，使点A′
落在AC上．已知∠C=40°，AC∥BC′，则∠A′BC=（ ）
A．30° B．40° C．60° D．70°
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等边对等角，根据旋转的性质，得到
∠CBC′=∠ABA′,AB=A′B，平行线的性质，求出∠CBC′=∠C=40°，等边对等角，求出
∠BA′ A，再根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵旋转，
∴∠CBC′=∠ABA′,AB=A′B，
∴∠BA A′=∠BA′ A，
∵AC∥BC′，
∴∠CBC′=∠C=40°，∠C′BA′=∠A A′B，
∴∠ABA′=∠CBC′=40°，1
∴∠BA A′=∠BA′ A= (180°−∠ABA′)=70°，
2
∴∠C′BA′=∠A A′B=70°，
∴∠A′BC=∠A′BC′−∠CBC′=30°；
故选A．
【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点
B,C的对应点分别为点D,E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=6,BC=2，则AE的长为
（ ）
A．4❑√2 B．6 C．2❑√10 D．8
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=AE，
∠CAE=90°，DE=BC=2，推出△ACE是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出AE的长．
【详解】解：由旋转得△ABC≌△ADE，∠CAE=90°，
∴AC=AE，∠CAE=90°，DE=BC=2，
∴△ACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=6+2=8，
∵AC2+AE2=CE2
❑√2 ❑√2
∴AE= CE= ×8=4❑√2，
2 2
故选：A．
【题型四】旋转中规律问题
【典例4】（23-24九年级下·山东青岛·自主招生）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按
逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机
器狗的位置会是下列图形中的（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查旋转中的规律问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由周角的定义可知机
器狗从P出发，按逆时针方向绕点O作匀速圆周运动，经过一周所需的时间为8分钟，然后根据
101÷8=12⋅⋅⋅⋅⋅5可进行求解．
【详解】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为45°，
∴机器狗经过一周所需的时间为360°÷45°=8（分钟），
∵101÷8=12⋅⋅⋅⋅⋅5，
∴5×45°=225°，
∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了225°，
即选项D符合题意；
故选D．
【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针
方向旋转90°得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）．
【答案】4
【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案．
【详解】解：每次4个图案为一个周期，2024÷4=506，
则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致．
故答案为：4．
【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，顶点C、D在第一象限，已知OA=OB=2，BC=4❑√2，将矩形ABCD
绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是 ．
【答案】(−4,6)
【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质等，过点C作
CE⊥x轴于点E，连接OC，可得C(6,4)，由矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，可得每循环4次
与原图形重合，得到第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同，即得第
2025次旋转结束时，点C落在第二象限，据此解答即可求解，找到旋转过程中点的坐标变化规律是解
题的关键．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，连接OC，
∵OA=OB=2，
∴∠ABO=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BCE=∠CBE=45°，
∴BE=CE，
∵ CE2+BE2=BC2，
∴2CE2=(4❑√2) 2 ，
∴CE=BE=4，
∴OE=2+4=6，
∴C(6,4)，∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4，
∴每循环4次与原图形重合，
∵2025÷4=506⋯1，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同，
即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限，
如图，过点C′作C′E⊥y轴于点E′，则OC′=OC，∠COC′=90°，
∴∠C′OE′=∠COE，∠C′E′O=∠CEO，
∴△C′OE′ ≌△COE(AAS)，
∴OE′=OE=6，C′E′=CE=4，
∴C′(−4,6)，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为(−4,6)，
故答案为：(−4,6)．
【变式3】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形
OABC绕点O逆时针旋转45°后，得到正方形OA B C ；第2次将正方形OA B C 绕点O逆时针
1 1 1 1 1 1
旋转45°后，得到正方形OA B C ……按此规律，绕点O旋转得到正方形OA B C ，则点
2 2 2 2025 2025 2025
B 的坐标为 ．
2025
【答案】(0,❑√2)
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形
OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可
1 1 1
得对应点B的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的
性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊
到一般的探究规律的方法．
【详解】解：∵点A的坐标为(1,0)，四边形OABC是正方形，
∴点B的坐标为(1,1)，
∴OA=AB=1，∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB=90°，
连接OB，如图：
由勾股定理得：OB=❑√12+12=❑√2，
由旋转的性质得：OB=OB =OB =OB =…=❑√2，
1 2 3
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，
1 1 1
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB =∠B OB =…=45°，
1 1 2
∴B (0,❑√2)，B (−1,1)，B (−❑√2,0)，B (−1,−1)，B (0,−❑√2)，B (1,−1)，B (❑√2,0)，
1 2 3 4 5 6 7
B (1,1) …，
8
发现是8次一循环，则2025÷8=253余1，
∴B 是第253组的最后一个点，B 是第254组的第一个点，
2024 2025
∴点B 的坐标为(0,❑√2)，
2025
故答案为：(0,❑√2)．
【题型五】旋转综合应用
【典例5】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转
60°得到BD，连接OD，AO，BO，AD．(1)求证：△BCO≌△BAD．
(2)若OA=5，OB=3，OC=4，求∠BOC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)150°
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，
解题的关键是熟练运用知识点进行解题．
（1）根据题中所给的信息通过SAS证出△BCO≌△BAD；
（2）由题意可得，OD=OB=3,∠ODB=60°，又根据△BCO≌△BAD，得出
AD=OC=4,∠BOC=∠ADB，再根据勾股定理的逆定理得出∠ADO=90°，等量代换得出
∠BOC=150°．
【详解】（1）证明：由题意可得：BO=BD，∠OBD=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC,∠CBA=60°，
∴∠OBD=∠CBA，
∴∠CBO=∠ABD，
在△BCO和△BAD中，
{
OB=BD
)
∠CBO=∠ABD ，
BC=BA
∴△BCO≌△BAD(SAS)；
（2）解：由题意可得：OD=OB=3,∠ODB=60°，
∵△BCO≌△BAD，
∴AD=OC=4,∠BOC=∠ADB，
∵OA=5，
∴AD2+OD2=16+9=25=OA2，
∴∠ADO=90°，
∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=150°，∴∠BOC=∠ADB=150°．
【变式1】（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，将等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，
点D落在边AC上，连接EC，BE．
(1)求∠ECA的度数．
(2)若AB=1，求BE的长．
【答案】(1)67.5°
(2)❑√3
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，
对于（1），根据旋转得AE=AC,∠DAE=∠BAC，再根据等腰直角三角形的性质得
∠BAC=45°=∠DAE，然后根据三角形内角和定理得出答案；
对于（2），根据等腰直角三角形的性质AB=AC=1,∠ABC=90°，再根据勾股定理求出AC，即
可得AE，然后根据勾股定理得出答案．
【详解】（1）解：将等腰直角三角形△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AE=AC,∠DAE=∠BAC．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC,∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°=∠DAE，
180°−45°
∴∠ECA= =67.5°；
2
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=1,∠ABC=90°，
根据勾股定理，得AC=❑√AB2+BC2=❑√2，
由（1）得AE=AC=❑√2，∠BAE=∠DAE+∠BAC=90°，
根据勾股定理，得BE=❑√AB2+AE2=❑√3．
【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
(1)求证：AE=BD；
(2)若∠ADC=30°，AD=2，BD=❑√13，求点E到直线AD的距离．
【答案】(1)见解析
(2)点E到直线AD的距离为3
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌
握旋转的性质是解题的关键．
（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，CD=DE，由等边三角形的性质得到∠ACB=60°，
AC=BC，进而可得∠BCD=∠ACE，即可由“ SAS”可证△BCD≌△ACE，可得 AE=BD；
（2）先证△CDE是等边三角形，可得∠CDE=60°，CD=DE，进而得到∠ADE=90°，由勾股
定理即可求解；
【详解】（1）证明：由旋转可知∠DCE=60°，CD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
{
BC=AC
)
∠BCD=∠ACE ，
CD=CE
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD；
（2）解：连接DE，∵AE=BD，BD=❑√13
∴AE=❑√13，
由旋转可知：∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
在Rt△ADE中，DE=❑√AE2−AD2=❑√(❑√13) 2 −22=3，
答：点E到直线AD的距离为3．
【题型六】中心对称图形的识别
【典例6】（25-26九年级上·天津·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某
一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个
点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
【变式1】（25-26九年级上·贵州·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的定义．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图
形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【变式2】（25-26九年级上·天津·期末）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个
图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋
转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心
对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式3】（24-25九年级下·山西临汾·期中）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术
的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形
但不是轴对称图形的是（ ）A． 如意纹B． 冰裂纹C． 盘长纹D． 风车纹
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条
直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个
图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图
形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
【题型七】关于原点对称的点坐标
【典例7】（九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）平面直角坐标系内与点P(−2,3)关于原点对称的点的坐标是
（ ）
A．(2,−3) B．(2,3) C．(3,−2) D．(−2,−3)
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x
轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此解答即可．
【详解】解：点P(−2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,−3)．
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，点(−3,b)关于原点的对称点为(a,4)，
则ab=（ ）
A．12 B．−12 C．1 D．−1
【答案】B
【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解
题的关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到a，b的值，再利用有理数的乘方法则计算得到答案．
【详解】解：∵点(−3,b)关于原点的对称点为(a,4)，
∴a=3,b=−4，
∴ab=3×(−4)=−12，
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·重庆合川·期末）已知点A(m−1, −3), B(2, n+1)关于原点对称，则m+n的
值为（ ）
A．1 B．−2 C．0 D．2
【答案】A
【分析】此题考查了关于原点对称的两个点坐标特点：横纵坐标化为相反数，据此求出m，n的值，
再代入计算即可．
【详解】解：∵点A(m−1, −3), B(2, n+1)关于原点对称，
∴m−1=−2，n+1=3，
得m=−1，n=2
∴m+n =−1+2=1，
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点(−3,b)关于原点对称的点为(a,4)，
则(a+b) 2025= ．
【答案】−1
【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，利用关于原点对称点的性质得到a，b的值，是解答本题
的关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到a，b的值，再利用有理数的乘
方法则计算得到答案．
【详解】解：∵点(−3,b)关于原点对称的点为(a,4)，
∴a=3，b=−4，
∴ (a+b) 2025=(3−4) 2025=−1，
故答案为：−1．
【题型八】按图像的变换要求画出另一个图形
【典例8】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐
标分别是A(−3,2)，B(−1,4)，C(0,2)．(1)将△ABC向下平移6个单位长度得到△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)画出△A B C 关于原点O成中心对称的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(3)若将△ABC绕某一点旋转就可以得到△A B C ，则旋转中心M的坐标是 ．
2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(0,3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关
键．
（1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点A 、B 、C ，然后顺次连接
1 1 1
A 、B 、C 即可；
1 1 1
（2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定A 、B 、C 的坐标，描出
2 2 2
A 、B 、C ，并顺次连接A 、B 、C 即可；
2 2 2 2 2 2
（3）根据旋转的性质可知，连接BB ，CC ，交点即为旋转中心点M，据此可得答案．
2 2
【详解】（1）解：如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1（2）解：如图所示，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）解：如图，连接BB ，CC ，交点即为旋转中心点M，
2 2
由图可知，点M的坐标为(0,3)．
故答案为：(0,3)．
【变式1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为
A(1,1),B(4,2),C(3,4)．(1)在图中画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△A B C ；
1 1 1
(2)在图中画出与△ABC关于原点O对称的△A B C ．
2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形．
（1）先根据旋转额性质确定点A ，B ，C 的位置，然后连线即可；
1 1 1
（2）先根据中心对称的性质确定点A ，B ，C 的位置，然后连线即可．
2 2 2
【详解】（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
【变式2】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点
上，坐标分别为A(−4,3)，B(−1,2)，C(−4,1)．(1)在平面直角坐标系中，将点A(−4,3)向右平移5个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为______；
(2)画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到的△A B C；
1 1
(3)画出△ABC关于原点O中心对称的△A B C ．
2 2 2
【答案】(1)(1,3)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平移的性质可得答案．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）根据中心对称的性质作图即可．
本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是
解答本题的关键．
【详解】（1）解：∵点A(−4,3)向右平移5个单位长度得到点A′，
∴点A′的坐标为(1,3)．
故答案为：(1,3)．
（2）解：如图，△A B C即为所求．
1 1（3）解：如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
【变式3】（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为
A(1,1),B(4,2),C(3,4)．
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
(2)请画出将△ABC绕点A顺时针旋转90°后的△AB C ，并写出点C 的坐标．
2 2 2
【答案】(1)见解析，(−3,−4)
(2)见解析， (4,−1)【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A ,B ,C 即可；
1 1 1
（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B ,C 即可．
2 2
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求，点C 的坐标(−3,−4)；
1 1 1 1
（2）如图，△AB C 即为所求，点C 的坐标(4,−1)．
2 2 2
【题型一】旋转中规律问题
1.（2025·河南·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O(0,0)，A(0,2)，∠AOC=45°，
将菱形OABC绕点O逆时针旋转45°得到菱形OA B C ，再将菱形OA B C 绕点O逆时针旋转45°
1 1 1 1 1 1
得到菱形OA B C ，依次规律，多次旋转后，点B 的坐标为（ ）
2 2 2 2025
A．(−2−❑√2,−❑√2) B．(−2−❑√2,❑√2)
C．(❑√2,2+❑√2) D．(−❑√2,2+❑√2)
【答案】D【分析】本题主要考查了图形的旋转、菱形的性质、勾股定理，根据旋转角是45°可知菱形绕点O旋
转，每旋转8次，菱形就会回到开始的位置，所以旋转2025次就是旋转了253个循环后，又旋转了1次，
根据旋转角和旋转方向画出图形，延长B A 交x轴于点M，过B 作x轴的垂线交x轴于点N，
2025 2025 2025
利用勾股定理求出M A =❑√2，再根据点B所在的象限确定点B的坐标．
2025
【详解】解：∵360°÷45°=8，
∴菱形绕点O旋转，每旋转8次，菱形就会回到开始的位置，
∵2025÷8=253⋯1，
∴绕点O旋转2025次后，菱形的位置如下图所示：
延长B A 交x轴于点M，过B 作y轴的垂线交y轴于点N，
2025 2025 2025
根据题意可知，∠MOA =45°，
2025
∵ B M⊥x轴，OA =2，
2025 2025
∴△OM A 是等腰直角三角形，
2025
设OM=M A =x，
2025
则有OM2+M A 2=OA 2 ，
2025 2025
∴x2+x2=22，
解得：x=❑√2，
∴OM=M A =❑√2，
2025
则B M=2+❑√2，
2025
∵点B 在第二象限，
2025
∴点B 的坐标为(−❑√2,2+❑√2)，
2025
故选：D．
2.（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，A(3,2)，连接OA，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点A ；第二次：作点A 关于x轴的对称点A ；第三次：
1 1 2
将点A 绕点O逆时针旋转90°得到A ；第四次：作点A 关于x轴的对称点A ……按照这样的规律，
2 3 3 4
点A 的坐标是（ ）
2025
A．(−3,2) B．(−2,3) C．(−2,−3) D．(3,−2)
【答案】B
【分析】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识，解题的关键
是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律．
先根据旋转变换和轴对称变换得出A (−2,3)、A (−2,−3)、A (3,−2)、A (3,2)、A (−2,3)，
1 2 3 4 5
从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得．
【详解】解：过点A 作A M⊥y轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，
1 1
由题意得∠AOA =90°=∠MON，OA =OA
1 1
∴∠A OM+∠MOA=∠MOA+∠AON，
1
∴∠A OM=∠AON，
1
∵∠A MO=∠ANO=90°
1
∴△A MO≌△ANO，
1
∴A M=AN=2,OM=ON=3，
1
∴A (−2,3)，则A (−2,−3)，
1 2
同上可求A (3,−2)、A (3,2)、A (−2,3)，
3 4 5
∴每4个点的坐标为一周期循环，
∵2025÷4=506余1，
∴点A 的坐标与点A 的坐标一致，为(−2,3)，
2025 1
故选：B．【题型二】根据旋转的性质求解
1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，AB=5．将△ABC绕
点B旋转得到△A′BC′，其中A′，C′分别为A，C的对应点，若旋转后点C′落在AB边上，连接A A′，
则A A′的长是 ．
【答案】❑√10
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．由勾
股定理得BC=❑√AB2−AC2=4，由旋转得，BC′=BC=4，A′C′=AC=3，
∠A'C'B=∠ACB=90°，则AC′=AB−BC′=1，∠AC′ A′=90°，则可得
A A′=❑√AC′2+A′C′2=❑√12+32=❑√10．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=❑√AB2−AC2=4．
由旋转得，BC′=BC=4，A′C′=AC=3，∠A'C'B=∠ACB=90°，
∴AC′=AB−BC′=1，∠AC′ A′=90°，
∴A A′=❑√AC′2+A′C′2=❑√12+32=❑√10．
故答案为：❑√10．
2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，在△ABC中，AB=12，将△ABC绕点A按顺时针方向旋
转30°后，得到△AB C ，则阴影部分的面积为 ．
1 1【答案】36
【分析】本题考查了旋转的性质及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是利用旋转性质转化阴
影面积，并通过作高结合30°角性质求三角形的高．
由旋转性质得△ABC≌△AB C ，故阴影面积等价于△ABB 的面积；过B作BH⊥AB 于H，
1 1 1 1
利用含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半，求出高BH，再用三角形面积公式计
算即可．
【详解】解：由旋转性质，得△ABC≌△AB C ，AB=AB =12，∠BAB =30°，且
1 1 1 1
S =S ，
△ABC △AB C
1 1
故S =S +S −S =S ；
阴影 △AB C △ABB △ABC △ABB
1 1 1 1
过B作BH⊥AB 于H，在Rt△ABH中，∠BAB =30°，
1 1
1 1
∴BH= AB= ×12=6；
2 2
1 1
则S = ×AB ×BH= ×12×6=36，
△ABB 1 2 1 2
即阴影部分的面积为36．
故答案为：36．
3．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°, AC=BC，D为直线BC上
任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．若
AC=BC=4, CD=2，则CE的值为 ．
【答案】2❑√10或2❑√2
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，旋转的性质．证明△ACD≌△DME(AAS)，推出EM=CD=2,DM=AC=4，分两种情况讨论：过点E作
EM⊥CB于点M，求出EM即可解答．
【详解】解：如图，当D在线段BC上时，过点E作EM⊥CB于点M，连接CE，
∵AC=BC=4, CD=2，
由旋转，得AD=DE，∠ADE=90°，
∴∠ADC+∠EDM=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠DME=90°，∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠EDM，
∴△ACD≌△DME(AAS)，
∴CD=EM=2，AC=DM=4，
∴DM=AC=1，EM=CD=2，
∴CM=CD+DM=6，
∴CE=❑√CM2+EM2=2❑√10；
当D在BC的延长线上时，过点E作EM⊥CB于点M，如图，连接CE，
同理可得：△ACD≌△DME(AAS)，
∴DM=AC=4，ME=CD=2，
∴CM=DM−CD=2，∴CE=❑√CM2+M E2=2❑√2；
综上，CE的值为2❑√10或2❑√2．
故答案为：2❑√10或2❑√2．
【题型三】关于原点对称的点坐标
1．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知点A(2n+1,5)和点B(−2,m−2)关于原点中心对称，则nm的值
为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了根据关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌
握关于原点对称的点的坐标特征“横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．
根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程求解n和m，再计算nm的值．
【详解】解：∵点A(2n+1,5)和点B(−2,m−2)关于原点中心对称，
∴2n+1=−(−2)，5=−(m−2)，
1
∴n= ，m=−3；
2
∴nm=
(1) −3
=23=8．
2
故答案为8．
2．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知点A(a,2)与点B(−3,b)关于原点对称，则a−b的值为
________．
【答案】5
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，熟练掌握关于原点对称点的横、纵坐标都是互为相
反数的性质是解题的关键．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，
纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出a，b的值，代入求解即
可．
【详解】解：∵点A(a,2)与点B(−3,b)关于原点对称，
∴a=3，b=−2，
∴a−b=3−(−2)=5，
故答案为：5．
3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，点(5,a)关于原点对称的点为(b,−4)，则
a+b= ．【答案】−1
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，有理数的加法，由两个点关于原点对称时，它们的坐
标符号相反特点求出a=4，b=−5，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律．
【详解】解：∵点(5,a)关于原点对称的点为(b,−4)，
∴a=4，b=−5，
∴a+b=4+(−5)=−1，
故答案为：−1．
【题型四】旋转与几何综合应用
1．（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题：
【思维指引】（1）如图1等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，
求∠APB的度数．
解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′ ≌△ABP，连接P′P，
借助旋转的性质可以推导出△PAP′是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段
PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=______❑∘；
【知识迁移】（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且
∠EAF=45°，请判断EF，BE，FC的数量关系，并证明你的结论．
【方法推广】（3）如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=3，点P为△ABC内一点，
连接PA、PB、PC，直接写出PA+❑√2PB+PC的最小值．
【答案】（1）等边；150；（2）EF2=BE2+FC2，理由见解析过程；（3）❑√19
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相
等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）根据旋转的性质可得AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，
∠EAE′=90°，再求出∠E′ AF=45°，从而得到∠EAF=∠E′ AF，然后利用“边角边”证明
△EAF和△E′ AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得证；
（3）由旋转的性质可得PB=P′B,PC=P′C′，由等腰直角三角形的性质可得PP′=❑√2PB，即
PA+❑√2PB+PC=PA+PP′+P′C′，则当A，P，P′，C′四点共线时，PA+❑√2PB+PC取到最小值，
最小值为AC′长，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵△ACP′ ≌△ABP，
∴AP=AP′=3，CP′=BP=4，∠AP′C=∠APB，
依题意得旋转角∠PAP′=∠BAC=60°，
∴△PAP′为等边三角形，
∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
∴PP′2+P′C2=32+42=25=52=PC2，
∴△P′PC为直角三角形，且∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故答案为：等边；150；
（2）EF2=BE2+FC2，理由如下：
如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，
∠EAE′=∠BAC=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠E′ AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC−∠EAF=90°−45°=45°，
∴∠EAF=∠E′ AF，
在△EAF和△E′ AF中，
{
AE=AE′
)
∠EAF=∠E′ AF ，
AF=AF
∴△EAF≌△E′ AF(SAS)，
∴E′F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，
即EF2=BE2+FC2；（3）如图，在△ABC内部任取一点P，连接AP，BP，CP，
将△BPC绕点B顺时针旋转90°得到△BP′C′，
由旋转的性质得：PB=P′B,PC=P′C′，
∵∠PBP′=90°，
∴PP′=❑√2PB，
∴PA+❑√2PB+PC=PA+PP′+P′C′，
∴当A，P，P′，C′四点共线时，PA+❑√2PB+PC取到最小值，最小值为AC′长，
如图，过点A作BC′垂线交C′B延长线于点D，
∵∠ABC=30°，
∴∠BAD=30°，
1
∴BD= AB=1，AD=❑√AB2−BD2=❑√3，
2
又∵BC'=BC=3，
∴C'D=BC'+BD=3+1=4，
∴AC'=❑√AD2+C'D2=❑√19，即PA+❑√2PB+PC的最小值为❑√19 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的
判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和
等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
2．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=❑√2，点D、E分别
在边AB、AC上，且AD=AE=2−❑√2，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为
α(0°<α<360°)，分别连接CE、BD．(1)如图2，当0°<α<90°时，求证：CE=BD；
(2)如图3，当α=90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
(3)连接CD，在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)△BCD的面积的最大值为3−❑√2，旋转角α=135°
【分析】（1）利用“SAS”证得△ACE≌△ABD，即可得到结论；
（2）利用“SAS”证得△ACE≌△ABD，推出∠ACE=∠ABD，进而得出CF⊥BD，再结合
勾股定理，得出CD=BC=2，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，利用等腰直角三
角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：由题意得，AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，
∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
{
AC=AB
)
∠CAE=∠BAD ，
AE=AD
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）证明：根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，
在△ACE和△ABD中，
{
AC=AB
)
∠CAE=∠BAD
AE=AD∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90°，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90°，
∴∠EFB=90°，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC=❑√2，AD=AE=2−❑√2，∠CAB=∠EAD=90°，
∴BC=❑√AB2+AC2=2，CD=AC+AD=2，
∴BC=CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）解： 在△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时，△BCD的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图，
∵AB=AC=❑√2 AD=AE=2−❑√2
， ，
∠CAB=∠EAD=90°，DG⊥BC，
1
∴AG= BC=1，∠GAB=45°，
2
∴DG=AG+AD=3−❑√2，∠DAB=180°−45°=135°，
1 1
∴△BCD的面积的最大值为： BC⋅DG= ×2×(3−❑√2)=3−❑√2，
2 2
此时旋转角α=135°．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
3．（2024·吉林松原·二模）【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，AE=2，BE=4，
∠AEB=90❑∘，将直角三角形ABE绕点A按逆时针方向旋转α度(0≤α≤180❑∘)，点B、E的对应
点分别为点B′、E′．
【问题解决】
(1)如图②，在旋转的过程中，当点B′落在AC上时，求此时CB′的长；
(2)若α=90❑∘，如图③，得到ADE′（此时B❑ ′与D重合），延长BE交DE′于点F，试判断四边形
AEFE′的形状，并说明理由；
(3)在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段CE′长度的最大值．
【答案】(1)2❑√10−2❑√5
(2)正方形，理由见解析
(3)2+2❑√10
【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质
定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理得到AB=2❑√5，求出AC=2❑√10即可得到答案；
（2）由旋转的性质先证明四边形AEFE′是矩形，再由AE′=AE，即可得到结论；
（3）当点E落在CA的延长线上时，此时最长求解即可．
【详解】（1）解：∵ AE=2，BE=4，∠AEB=90❑∘，
∴AB=❑√AE2+BE2=❑√22+42=2❑√5，
∵正方形ABCD，
∴BC=AB=2❑√5,∠ABC=90°，
∴AC=❑√2AB=2❑√10，
由旋转的性质得：AB′=AB=2❑√5，
∴CB′=AC−AB′=2❑√10−2❑√5；（2）解：旋转的性质得到AE′=AE，
∠EAE′=α=90°，
∠AE′D=∠AEB=90°，
∵AEF=180°−90°=90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
∵AE′=AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
（3）解：∵点E不会在线段AC上，
当点E落在CA的延长线上时，AE′=AE=2，
CE′最长=AC+AE′=2❑√10+2．
【题型一】根据旋转性质求解
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
【题型二】中心对称图形定义
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中
心对称图形，这个店就是它的对称中心。
【题型三】点坐标关于原点对称
对于任意一点 P(x,y),关于原点对称P'(-x,-y）
