文档内容
专题 03 旋转
思维导图
【类型覆盖】
类型一、等腰三角形中的旋转
【解惑】已知 是等腰三角形， ， ，点D为 边上一点，连接AD．
(1)如图1， ， ，将 绕着点A顺时针方向旋转与 相同的度数得到 ，连接
，若 ，求 的长度．
(2)如图2，将线段 绕点D逆时针旋转60°到DE，连接 ，点O为线段 的中点，连接 ，证明：
；
(3)点Q为平面内一点，若 ， ，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)见解析(3) 或
【分析】（1）由旋转性质得 ，利用勾股定理即可求得答案；
（2）延长 到点F，使 ，连接 和 ， 与 交于点M，根据题意可证明 ，
得到 ， ， ， ，则有 ，进一步得到
是等边三角形，即可求得答案；
（3）分点Q在 的内外，①当Q点在三角形内部时，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，
由旋转性质得 ， ，进一步得 ， ， ，
， ，过点A作 ，设 ，则 ，求得 和 ，即可求得
答案；②当Q点在三角形外部时，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，有 ，
，进一步求得 ， ， ， ，有
，设 ，求得 和 、 的长，即可求得答案．
【详解】（1）解：由旋转性质得 ，
∵ ， ，
∴ ，
（2）延长 到点F，使 ，连接 和 ， 与 交于点M，如图，
则 ，
∵点O是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
则 ，
，
∵线段 绕点D逆时针旋转60°到DE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由旋转可知，CD=DE，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
则 ，
即 ，
（3）①当Q点在三角形内部时，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，如图，
由旋转性质得 ， ， ，
∴ ，∴ ， ，
即 ，
过点A作 交 于点D，设 ，则 ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
②当Q点在三角形外部时，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，如图，
根据旋转性质得， ， ，
则 ， ，
即 ， ，
那么 ，
设 ，则 ，同Q点在三角形内部时， ，
则 ，
那么 ，
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及含 角的直角三角形性质，熟练掌握各知识点的性质和利用旋转作辅助线是解题的关键．
【融会贯通】
1．问题情境：在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含 角的三角板拼图间存在的关系．
如图， ， ， ， ．
操作探究：
(1)如图①，当D、C、B在同一条直线上时，判断直线 与直线 的位置关系并证明；
(2)如图②，将图①中的三角板 绕点C顺时针旋转 ，边 与边 交于点G，判断此时 的
形状并证明；
(3)如图③，将图①中的三角板 绕点C顺时针旋转，边 与边 交于点M，当 是以 为腰
的等腰三角形时，直接写出 的长．
【答案】(1)直线 与直线 的位置关系是垂直；证明见解析
(2) 是等边三角形，证明见解析
(3) 或4
【分析】（1）延长延长交于点H，根据题意及对顶角相等求出，再利用三角形内角和求解即可．
（2）由旋转的性质及等边三角形判定即可求解．
（3） 是以 为腰的等腰三角形，分以下两种情况：①当 时，②当 时，据此求
解即可．
【详解】（1）证明：直线与直线的位置关系是垂直，证明如下：
如图，延长 交 于点H，， ，
，
，
，
，
直线 与直线 的位置关系是垂直．
（2）由旋转的性质得： ，
， ， ，
，
，
是等边三角形．
（3） 是以 为腰的等腰三角形，
分以下两种情况：
①当 时，
在 中， ， ， ，
， ，
；
②当 时，
，
，
，
，
，
综上所述： 的长为： 或4．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、旋转的性质、等边三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质及清晰的分类讨论是解题的关键．
2．如图1， 是等腰三角形， ， ，过点B作 于点C，在 上截取
，连接 、 ，并延长 交 于点P；
(1)求证： ；
(2)试说明 ；
(3)如图2，将 绕着点C旋转一定的角度，那么 与 的位置关系是否发生变化，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)见解析
(3)不发生变化；理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定
定理内容是解题关键．
（1）由条件推出 ，即可求证 ，再根据全等三角形的性质即可得出答案．
（2）由 推出 ，即可求证；
（3）根据 证 ，再得出 即可求解．
【详解】（1）证明： ， ，
， ∵
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴
∴（2）证明： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴（3）解： 不发生变化，理由如下：
， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴3．如图1，在 中， ， ， ，点 是 上一点， ，点 在 上
从点 平移至点 ，过点 作 ，交射线 于点 ．将 绕点 顺时针旋转 至 ，
的对应点为 ， 的对应点为 ，连接 ．
(1) 的大小是 ， 的大小是(2)如图2，当 ， ， 三点共线时，求平移的距离 ；
(3)连接 ，当 是等腰三角形时，求平移的距离 ．
【答案】(1) ，
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（1）由三角形内角和定理求出 ，由旋转的性质可求出 的度数；
（2）当 ， ， 三点共线时，如图，过 作 于 ．由直角三角形的性质可得出答案；
（3）分三种情况，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解： ， ，
；
将 绕点 顺时针旋转 至 ，
， ，
，
．
故答案为： ， ；
（2）解： ， ，
，
绕点 顺时针旋转 到 ，
， ，
，
当 ， ， 三点共线时，如图，过 作 于 ．， ，
设 ，
则 ， ，
，
，
；
（3）解：如图，连接 ，当 时， ，
，
，
设 ，
则 ，
，
，
当 时，由上可知 ，
，当 ，显然不成立．
综上， 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性
质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，熟练掌握等腰三角形的判定和性质．
类型二、等边三角形中的旋转
【解惑】已知 是边长为4的等边三角形，点D是射线 上的动点，将线段 绕点A逆时针方向
旋转 （即 ）得到 ，连接 ．
(1)如图1，猜想 是什么三角形？__________．（直接写出结果）
(2)如图2，猜想线段 之间的数量关系，并证明你的结论；
【答案】(1)等边三角形
(2) ，证明见解析
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，通过旋
转证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得到 ， ，根据等边三角形的判定定理即可得出答案．
（2） 证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，结合图形即可得到结论．
【详解】（1）解：由旋转变换的性质可知， ， ，
∴ 是等边三角形，
故答案为：等边三角形；（2）解： ，证明如下：
由旋转的性质可知， ， ，
∵ 是等边三角形
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【融会贯通】
1．已知 是边长为 的等边三角形，点 是射线 上的动点，将 绕点 逆时针方向旋转 得
到 ，连接 ．
(1)如图1，猜想 是什么三角形？______________；（直接写出结果）
(2)如图2，点 在射线 上（点 的右边）移动时，证明 ．
(3)点 在运动过程中， 的周长是否存在最小值？若存在．请求出 周长的最小值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)等边三角形
(2)见解析(3)存在，
【分析】（1）根据旋转的性质即可求解；
（2）根据旋转可证 ，得到 ，由此即可求解；
（3）根据旋转可得， ，则 的周长 ，当点 在线段
上时， 的周长 ，当 在线段 上，且 最小时， 的周长最小，由此即可求解．
【详解】（1）解：等边三角形，
∵点 是射线 上的动点，将 绕点 逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
（2）解：等边三角形，如图2中，设 交 于点 ．
由旋转的性质可知， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，即 ，
在 和 中，
，，
，
，
，
．
（3）解：点 在运动过程中， 的周长存在最小值，最小值为 ，
理由：如图3中，
根据旋转可得， ，
，则 的周长 ，
当点 在线段 上时， 的周长 ，
当点 在线段 的延长线上时， 的周长 ，
的周长 ，
当 在线段 上，且 最小时， 的周长最小，
为等边三角形，
，
当 时， 的值最小， 的最小值为 ，
的周长的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查等边三角形，旋转的性质的综合，掌握旋转中角与边的关系，全等三角形的判定和
性质是解题的关键．
2．你可以直接利用结论“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”解决下列问题：
在 中， ．(1)如图1，已知 ，则 共有 条对称轴， °， °；
(2)如图2，已知 ，点E是 内部一点，连接 、 ，将 绕点A逆时针方向旋转，
使边 与 重合，旋转后得到 ，连接 ，当 时，求 的长度．
(3)如图3，在 中，已知 ，点P是 内部一点， ，点M、N分别在边 、
上， 的周长的大小将随着M、N位置的变化而变化，请你画出点M、N，使 的周长最小，
要写出画图方法，并直接写出周长的最小值．
【答案】(1)3，60，60
(2)3
(3)2，绘图见解析
【分析】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，正确应用等边三角形的
判定与性质是解题关键．
（1）直接利用等边三角形的判定与性质得出答案；
（2）利用旋转的性质得出对应线段的关系，进而得出 是等边三角形，得出答案即可；
（3）利用轴对称的性质得出画点P关于边 的对称点G，画点P关于边 的对称点H，进而得出
是等边三角形，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ 共有3条对称轴， ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是由 绕点A旋转而得到的，且边 与 重合
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；（3）解：如图3，画图方法：
①画点P关于边 的对称点G，
②画点P关于边 的对称点H，
③连接 ，分别交 、 于点M、N，
连接 ，
根据折叠可知： ， ， ， ， ， ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即此时 周长最小，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 周长最小值为2．
3．综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在
中，点M，N分别为 ， 上的动点（不含端点），且 ．
【初步尝试】（1）如图1，当 为等边三角形时，小颜发现：将 绕点M逆时针旋转 得到 ，
连接 ，则 ，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在 中， ，
， 于点E，交 于点F，将 绕点M逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
试猜想四边形 的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在 中， ， ，连接， ，请直接写出 的最小值．
【答案】（1）见详解，（2）四边形 为平行四边形，（3）
【分析】（1）根据等边三角的性质可得 ，再由旋转的性质可得
，从而可得 ，证明 ，即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得 ，再根据旋转的性质可得
， ，从而可得 ，由平行线的判定
可得 ，证明 ，可得 ，利用等量代换可得 ，
再由平行线的判定可得 ，根据平行四边形的判定即可得证；
（3）过点A作 ，使 ，连接 、 ， ，延长 ，过点G作 于点O，
根据等腰三角形的性质可证 ，证明 ，可得 ，从而可
得当点G、M、C三点共线时， 的值最小，最小值为 的值，根据平行线的性质和平角的定义
可得 ，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 ，从而可得 ，再
利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 绕点M逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ；
（2）解：四边形 为平行四边形，理由如下，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 绕点M逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则四边形 为平行四边形；
（3）解：如图，过点A作 ，使 ，连接 、 ， ，延长 ，过点G作
于点O，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当点G、M、C三点共线时， 的值最小，最小值为 的值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转
的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时， 的值最小，最
小值为 的值是解题的关键．
类型三、直角三角形中的旋转
【解惑】如图①，直角三角形 与直角三角形 的斜边在同一直线上， ，
， ， 平分 ，将 绕点 按逆时针方向旋转，如图②，记 为
，在旋转过程中：(1)当 __________°时， ，当 ___________°时， ；
(2)如图③，当顶点C在 的内部时，边 、 分别交 、 的延长线于点M、N．
①求出此时 的度数范围；
② 与 的度数和是否变化？若不变，请直接写出 与 的度数和；若变化，请说明理由．
【答案】(1)4，94
(2)① ；② 与 度数的和不变为 ，理由见解析
【分析】（1）当 时，则 ，得出 ，即可得出结果；当 时，
，如图，得出： ，即可得出结果；
（2）①由已知得出 ， ，推出 ，当点C在 边上时， ，解得
，当点C在 边上时， ，从而可得出结果； ②连接 ，由三角形内角和定理得出
，同理由三角形内角和定理得出 ，从而
可得出结论；
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，
而 ，
∴ ，
解得： ；
当 时，则 ，如图，
此时 ， 而 ，∴ ，
解得： ；
故答案为：4，94．
（2）①∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
当点C在 边上时， ，
解得： ，
当点C在 边上时， ，
∴当顶点C在 内部时， ；
② 与 度数的和不变； 理由如下：连接 ，如图所示：
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
即 ，
∴ ；
即 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的有关计算、三角形内角和定理、旋转的性质知识，合理选
择三角形后利用三角形内角和定理建立等量关系是解决问题的关键．
【融会贯通】
1．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第103─104页的部分内容：
如图 ，在 中，你画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系、相新你与
你的同伴一定会发现：CD恰好是AB的一半、下面让我们用推理证明这一猜想．已知：如图 ． ． ，在 中， ，CD是斜边AB上的中线．
求证：
请用演绎推理写出证明过程．
(1)如图①，在四边形 中， ， 是 的中点，连结
，BD．则 的度数为________．
(2)如图②，将直角三角形 绕其直角顶点 顺时针旋转至 ，若旋转角小于 且点 、 、
共线时， ，点 ， 分别是AB， 的中点，则线段 的长为___________．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】定理证明：延长 到 ，使 ，连接 ， ，则 ，根据中线的性质可得
，则四边形 是平行四边形，进而根据 ，则 是矩形，根据矩形的性质即可得证；
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，可得 ，根据
结合三角形内角和定理，即可求解；
（2）根据勾股定理求得 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，
进而根据等腰三角形的性质得出 是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）定理证明：延长 到 ，使 ，连接 ， ，则 ，
∵ 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴ 是矩形，
∴ ，
∴ ；
（1）解：如图所示，连接 ，
∵， ， 是 的中点，∴ ， ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∴ ,
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：如图所示，
在 中，
∴
∵将直角三角形 绕其直角顶点 顺时针旋转至 ，若旋转角小于 且点 、 、 共线时，
点 ， 分别是AB， 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定
理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
2．如图1，在 中， ．
(1)作边 的垂直平分线交 于点P，交 于点Q（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，探究线段 与线段 的关系，并说明理由；
(3)在（1）的条件下，有公共顶点C的两个直角三角形 ，将 绕点C旋转，
旋转后的三角形记为 （点P对应点 ，点Q对应点 ）．在旋转过程中，直线 与直线
分别交于 两点，当 为等腰三角形，且点 落在 内都时，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，理由见解析
(3)
【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可；
（2）连接 ，由垂直平分线得到 ， ， ，得到 ，
则 ， 是等边三角形，再证明 是 的中位线，即可得到，结论得证；
（3）过点 作 于点G，由题意可得 ， ， ，求出
，由勾股定理及含 的直角三角形的性质求出 ，再进一
步求出 ， ，由勾股定理及含 的直角三角形的性质求出 ，
利用三角形面积公式即可得到 的面积．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解； ， ，
理由如下：连接 ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ，
∴
∴ ，
又∵
∴ 是 的中位线，
∴
（3）如图，过点 作 于点G，
由题意可知，， 旋转后的三角形记为 （点P对应点 ，点Q对应点 ）．且 的延长线
与直线 分别交于 两点，当 为等腰三角形时，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，由勾股定理得 ，
即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ 的面积 ．
【点睛】此题考查了勾股定理、垂直平分线的作图及性质、等腰三角形判定和性质、等边三角形的判定和
性质，含 的直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，正确作图是解题的关键．
3．已知 和 都是直角三角形， ．如图1，点C与
点F重合．现将 绕点B以每秒 的速度逆时针旋转（当点 落在射线 上时停止旋转），在旋转
过程中，边 与边 的交点记为点P，设旋转时间为 秒．(1)当 秒时，停止旋转；当 秒时，
(2)如图2，若 中有两个内角相等，求t的值．
(3)设边 与边 所在直线交于点 ，连接 ，如图3，当 时， 是否为
定值？如果是，请直接写出该定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)18；6
(2)t的值为9秒或4.5秒
(3) 是定值．定值为30°
【分析】本题考查了三角形的角，熟练掌握三角形内角和定理和外角的性质是解题的关键．
（1）根据题意先求出旋转的角度，用旋转的角度除以5即为t的值；
（2）分情况讨论 两个内角相等时求出 的值，即可求出t的值；
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得 ，
．再由 得 ，再代入 可求出其值
为 ．
【详解】（1）解：∵ ， 点 落在射线 上时停止旋转，
(秒)．
当 时， ∵ ，
∴ ，
(秒)．
故答案为：18；6；
（2）∵ ， 若 中有两个内角相等，可分两种情况进行讨论：①若 ， 则
(秒)．
②若 ， 则
(秒)．
∴t的值为9秒或4.5秒．
（3） 是定值．定值为 ．
证明：∵ ， ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ， 即
∴ ．
类型四、平行四边形中的旋转
【解惑】如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ， ， ．
(1)将 先左平移2个单位、再向下平移4个单位，请画出平移后 ；
(2)将 绕着点 旋转 ，请画出旋转后
(3)若 与 是中心对称图形，则对称中心的坐标为________．
(4)在平面直角坐标系中存在一点 ，使得以 、 、 、 四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写
出点 的坐标是___________．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4) 、 、 ．
【分析】（1）本题考查平移作图，根据题干条件，先平移关键点，再依次连接关键点的对应点即可．
（2）本题考查旋转作图，作图关键在于找准旋转中心，旋转角和旋转方向，先旋转关键点，再依次连接
关键点的对应点即可．
（3）本题考查对称中心的概念，对应点连线的交点即是对称中心．
（4）本题考查平行四边形的判定，根据判定即可解题．
【详解】（1）
（2）
（3）解：如图所示：对称中心为 ，
故答案为： ．
（4）
解：因为点 使得以 、 、 、 四点为顶点的四边形为平行四边形，
如图所示：点 的坐标为 、 、 ．
故答案为： 、 、 ．
【融会贯通】
1．如图，在边长为1的正方形网格中， 的顶点均在格点上．(1)画出 关于点 成中心对称的 ；
(2)点 的坐标为______；
(3)四边形 是______．（填矩形、菱形、正方形或平行四边形）
(4)在 轴上找一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点 的坐标：
______
【答案】(1)见解析
(2)（5，3）
(3)矩形
(4)（－2，0）或（－6，0）
【分析】（1）直接利用中心对称的性质结合关于点对称图形的性质得出答案；
（2）利用所画图形得出对应点坐标；
（3）利用勾股定理以及逆定理结合矩形的判定方法得出四边形 的形状；
（4）设点D（a，0），根据平行四边形的性质可得AD=BC，可得到关于a的方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：∵点B（－3，－3），且 和 关于点 成中心对称，
∴ （5，3）；故答案为： （5，3）
（3）解：根据题意得： ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是直角三角形，即 ，
∴四边形 是矩形；
故答案为：矩形
（4）解：设点D（a，0），
∵在 轴上找一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，
∴ ， ，
∵点B（－3，－3），C（－1，－3），A（－4，0），
∴BC=2，
∴ ，
解得：a=－2或－6，
∴点D的坐标为（－2，0）或（－6，0）．
故答案为：（－2，0）或（－6，0）．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定以及中心对称变换，勾股定理，平行四边形的性质，正确得出对应点
位置是解题关键．
2．如图，已知四边形 是平行四边形， ， ，点P是对角线 所在直线
上的一个动点，将线段 绕点C顺时针旋转 得到 ，点P的对应点为点Q，连接 和 ，直线
和直线 相交于点 M，(1)如图1，当点P是对角线 的中点时，直线 和直线 所夹的锐角为______度；
(2)如图2，当点P在 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的判断并说明理由；
(3)点P在直线 上运动的过程中，当 为直角三角形时，请直接写出 的长．
【答案】(1)60
(2)成立，理由见解析
(3)12或6
【分析】（1）先证得 和 是等边三角形，可得 ，由点 是对角线 的中点，可得
， ，由旋转得 ， ，推出 ，即点 在 边上，再
证得 ，得出 ，根据三角形内角和定理即可求得答案；
（2）同理可证得 ，得出 ，根据三角形内角和定理即可求得答案；
（3）分三种情况：当点 在 的延长线上， 时，当点 在 的延长线上， 时，
当点 在线段 上时，分别求得 的长即可．
【详解】（1）解：如图1，
四边形 是平行四边形， ，
， ，
， ，
，
和 是等边三角形，
，
由旋转得 ， ，
，即点 在 边上，
在 和 中，，
，
，
，
；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图2， ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
故（1）中的结论仍然成立；
（3）当点 在 的延长线上， 时，如图3，是等边三角形，
，
，
，
，
；
当点 在 的延长线上， 时，如图4，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
；
当点 在线段 上时，如图5，由（1）知 ，
，
是钝角三角形，不符合题意；
综上，当 为直角三角形时， 的长为12或6．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，
全等三角形的判定和性质，运用分类讨论思想是解题关键．
3．如图，在矩形 中，对角线 的中点为 ，点 、 在对角线 上， ，直线 绕点
逆时针旋转 角，与边AB、CD分别相交于点 、 点 不与点 、 重合)．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当旋转角 _______ 时，平行四边形 是菱形；
理由：_____________________(写出菱形的判定定理即可)；
(3)在（2）的条件下，连接CE，若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(3) 的面积为
【分析】（1）由矩形性质和已知条件，可以证明： ，则可得 ，再用对角线
互相平分的四边形是平行四边形即可证明；（2）利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；
（3）由题意可得： 是 的垂直平分线，则 ，在 中，由勾股定理即可求出 的长，
再用三角形面积公式即可求得．
【详解】（1）证明： 对角线 的中点为 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，CD AB，
，且 ， ，
，
，且 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形 是平行四边形，
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得：当 时，四边形 是菱形，即 ，
故答案为： ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）解：如图，连接CE，
，
，且 ，
是 的垂直平分线，
，
在 中， ，
， ，
，
，解得 ，
的面积为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，
勾股定理以及三角形面积公式，掌握平行四边形、矩形、菱形的性质和判定是解题的关键．
类型五、菱形中的旋转
【解惑】下图是由含 内角的菱形组成的一个 的网格图． 请画出以 为边的格点四边形 ，
其中点 ， ， ， 均在格点上． 要求如下∶
(1)在图1中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形 ．
(2)在图2中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图 应用与设计作图、轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形、中心对称
图形的定义是解答本题的关键．
（1）根据题意，画平行四边形 即可．
（2）根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可．
【详解】（1）解：如图1，四边形 即为所求（答案不唯一）．
（2）解：如图2，四边形 即为所求（答案不唯一）．
．【融会贯通】
1．在菱形 中， ，点E是对角线 上一点，点F在 的延长线上，将 绕点E逆时
针旋转 得到 ．
(1)如图1，若点M恰好落在边 上，且 ， ， ，求 的长度；
(2)如图2，若点M恰好落在边 上，且 ，求证： ；
(3)如图3，若 ， ，连接 ， ，将 沿 翻折，点M的对应点为点 ，
连接 ，当 取最小值时，直接写出点D到 的距离．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】（1）过点E作 于点H，根据菱形的性质得 为等边三角形， ，进一步得
，即可求得 ， 和 ，利用勾股定理即可；
（2）过点E作 ，交 的延长线于点Q，可求得 ， ， ，进
一步得 ，结合旋转得 ，有 ，可证得 ，得
，及有结论成立；
（3）连接 ， ， 交 于点O．连接 ， ， ，作 于点N，证得
，进一步有 是等边三角形，得到 ，则M，E，D在同一条直线上，得到 为 的中位线，求得点M在过点B的 的平行线上，且 时， 最小，结合
菱形性质得到 ，等面积法即可求得答案．
【详解】（1）解：过点E作 于点H，如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ， 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
在 中，
．
（2）过点E作 ，交 的延长线于点Q，如图，∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）连接 ， ， 交 于点O．连接 ， ， ，如图，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴M，E，D在同一条直线上，
∵ ，
∴E为 的中点，
∵O为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴点M在过点B的 的平行线上，
∴当 时， 最小，如图，
由(1)可知 ，
， ， ， ，
，
作 于点N，∵ ，
∴ ．
所以点D到 的距离为 ．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性
质、三角形中位线、等边三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是作辅助线并找到点M取得最小
值的位置．
2．在菱形 中， ，点P是射线 上一动点，以 为边向右侧作等边 ，点E的位
置随点P的位置变化而变化．
(1)如图1，当点E在菱形 内部或边上时，连接 ，则 与 的数量关系是______， 与 的
位置关系是______；
(2)如图2，当点P、E都在菱形 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成
立，请说明理由．
(3)如图3，若四边形 为正方形，点P在对角线 上， ，交边 于点E，连接 交 于
点F．请求出 的度数并直接写出线段 之间的数量关系．
【答案】(1) ，
(2)（1）的结论仍然成立，理由见解析
(3) ，
【分析】（1）先根据菱形和等边三角形的性质得出 ，结合 ，证明
则 ，因为 以及 ，所以 ，即可作答．
（2）先根据菱形的性质，得出 和 都是等边三角形，运用角的运算，得 证明
则 ， 即 则 即 ；
（3）因为正方形，所以 平分 ，证明 即 为等腰直角三
角形，然后运用旋转性质得出 故 ， ，通过角的换算，
即 ，证明 ，所以 ，最后在 中， ，
即可作答．
【详解】（1）解：如图：连接 ，延长 交 于点F，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
又∵
∴ 是等边三角形， ，
∵ 是等边三角形，
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∵菱形的对角线平分对角，
∴
又∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
即 ；
故答案为： ，（2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下：
如图：连接 ，设 与 相交于点H
∵四边形 为菱形，
∴ ，
又∵
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ，
则
∵ 是等边三角形，
∴
∴
又
∴
∴
∵菱形的对角线平分对角，
∴
又∵
∴
∴
∴
则
即 ；
（3）解：如图所示：过点P分别作 ，垂足分别是 ，∵四边形 为正方形，
∴ 平分
∴ ，且
又∵ ，
∴
∴
∴ ，即 为等腰直角三角形，
∴
把 绕点A逆时针转 ， 与 重合，点P的对应点是
∴
∴ ，
∵
∴
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴在 中，∴
【点睛】本题考查了旋转性质，菱形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形
的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．综合与实践
在菱形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，点 是 上的动点，将 绕点 顺时针
旋转 得到 ，连接 ， ．
猜想证明：
（1）如图1，当点 在线段 上时， 与 之间的数量关系为___________．
（2）如图2，当点 在线段 上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
探究发现：
（3）当 是等腰直角三角形时，直接写出 的度数．
【答案】（1） ；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）首先得到 是等边三角形，然后证明出 ，得到
，进而得到 ；
（2）首先得到 是等边三角形，然后证明出 ，得到 ，进而
求解即可；
（3）首先得到 是等边三角形，然后利用三角形内角和定理得到 ，然后由旋转
得到 ，进而求解即可．
【详解】解：（1） ；
∵在菱形 中， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）成立．
理由： 四边形 是菱形，
， ．
，
是等边三角形．
， ．
由旋转的性质，得 ， ．
．
，即 ．
在 和 中，
，
．
．
．
．
（3） 的度数是 ．
如图，由（1）（2）可知 ．
当 是等腰直角三角形时， ．
四边形 是菱形，
， ．
，
是等边三角形．
， ．
， ．
．
，
．
．
由旋转的性质，得 ．
．
【点睛】此题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解
题的关键是掌握以上知识点．
类型六、矩形中的旋转
【解惑】如图，矩形 中， ， ， 为 上一点，且 ，连接 ，将线段 绕点
顺时针旋转得线段 ，旋转角等于 ，过点 作 于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质：
（1）根据矩形的性质可得 ，再由 ，可得 ，然后根据旋转的
性质可得 ，从而得到 ，可证明 ，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得 ， ，再由矩形的性质以及勾股定理可得 ，
从而得到 ，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
由旋转性质知： ，
，即 ，
在 和 中， ，
，
；
（2）解：由（1）得： ，
∴ ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
在 中， ．
【融会贯通】
1．矩形 的边长 ， ，将矩形 绕点 顺时针旋转角 得到矩形 ，点 、 、
的对应点分别为 、 、 ．(1)如图 ，当 过点 时，求 的长；
(2)如图 ，当点 落在 上时，连结 、 ．
①四边形 是何特殊的四边形？请说明理由；
②证明点 、 、 三点共线．
【答案】(1)
(2)①四边形是 为平行四边形，理由见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可得 的长度，在 中，根据勾股定理即可求解；
（2）①矩形 是由矩形 旋转所得，则有 ，可证 ， ，再
结合平行四边形的判定方法即可求证；②根据平行的性质即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
由旋转的性质得： ，
在 中， ，
由勾股定理得： ．
（2）解：①四边形 是平行四边形，理由如下：
如图所示，
矩形 是由矩形 旋转所得，
， ， ，
，， ，
，
，
，
，
又 ，
四边形是 为平行四边形；
②证明：∵矩形 中， ，由上述①可知，四边形是 为平行四边形，即 ，
∴点 、 、 三点共线．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的旋转的性质，勾股定理求线段长度的综合，掌握
以上知识是解题的关键．
2．在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片 和 拼成“ ”形图案，如图①．试判断： 的形状为
__________．
(2)深入探究
小红在保持矩形 不动的条件下，将矩形 绕点 旋转，若 ， ．
探究一：当点 恰好落在 的延长线上时，设 与 相交于点 ，如图②．求 的面积．
探究二：连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图③．线段 长度的最小值为__________．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)探究一： ；探究二：
【分析】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性
质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键．（1）由 ，可知 是等腰三角形，再由 ，推导出 ，即可判断
出 是等腰直角三角形，
（2）探究一：证明 ，可得 ，再由等腰三角形的性质可得 ，在
中，勾股定理列出方程 ，解得 ，即可求 的面积；
探究二：连接DE，取DE的中点 ，连接 ，取AD、 的中点为 、 ，连接 ， ， ，
分别得出四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，则 ，可知 点在以
为直径的圆上，设 的中点为 ， ，即可得出 的最大值与最小值．
【详解】（1）解： 两个完全相同的矩形纸片 和 ，
，
是等腰三角形，
， ． ，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）探究一： ， ， ，
，
，
， ，
，， ，
，
在 中， ，
，
解得 ，
，
的面积 ；
探究二：连接DE，取DE的中点 ，连接 ， ，取AD、 的中点为 、 ，连接 ， ，
，
则 ， ，
是 的中点，
，且 DE，
，
， ，
，且 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，，
点在以 为直径的圆上，
设 的中点为 ，则 ，
，
当点 在线段 上时， 的最小值为 ，
故答案为： ．
3．如图①所示，四边形 为矩形， ， ，若点 从 点出发沿 以 的速度
向 运动， 从 点出发沿 以 的速度向 运动． ， 分别同时出发，当一个点到达终点时，
另一点也同时停止．设运动的时间为 ．
(1)当 为何值时， 的面积为 ？
(2)当 为何值时， 的面积最大？
(3)如图②，连接 ，作点 绕点 顺时针旋转 的对应点 ，连接 ．
① 的形状为________三角形；
②当点 在四边形 内部时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)1或3
(2)2
(3)①等腰直角；②【分析】（1）由四边形 为矩形， ， ，可得 ， ， ，
的面积为 ，再解方程并检验即可；
（2）由（1）得 的面积为 ，利用二次函数的性质即可求解；
（3）①由旋转的性质即可得出结论；②过点 作 垂足为H，证明 ，画出
示意图即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ，
∵四边形 为矩形， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ；
∵ ，
∴当 或 时， 的面积为 ．
（2）解：由（1）得 的面积为 ，
，
时， 的面积最大；
（3）解：①由旋转的性质即可得
的形状为等啊哟直角三角形；
②过点 作 垂足为H，
，，
，
，
，
，
如图，当 时，点B与点H重合，
此时，点 在 上，则 ，
解得： ，
如图，当 时，点 在四边形 内部，
点 在四边形 内部时， ．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数的性质，三角形全等的判定与性质，
等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
类型七、正方形中的旋转
【解惑】在正方形 中， ，将 绕点A按顺时针方内旋转，它的两边分别交
(或它们的延长线)于点M，N．(1)当 绕点A旋转到 时（如图①），求证： ；
(2)当 绕点A旋转到 时（如图②），线段 和 之间的数量关系是________．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，此题比较典型，具有一
定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力．
（1）过 作 于 ，根据全等求出 ， ，求出
，根据角平分线的性质求出 ，再求出答案即可；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，根据 证 ，推出 ，
，求出 ，根据 证出 即可．
【详解】（1）证明：如图，过 作 于 ，
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
在 和 中
，
，
， ，
，
， ，
，， ，
，
即 ，
；
（2）解：线段 ， 和 之间数量关系是 ，理由如下：
延长 至 ，使得 ，连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
，
故答案为： ；【融会贯通】
1．综合与实践
如图（1）在 中， ， ， 是 边的中点，点 是 边的中点，过点 做
于点 ， 与点 ，连接 ， ， ．
(1)求证：四边形 是正方形；
(2)线段 与 的关系为____________；
(3)将四边形 绕点 顺时针旋转，
①当四边形 旋转到如图（2）所示的位置时，请写出线段 与 的关系，并证明：
②旋转过程中，当以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时， 的长为________．
【答案】(1)见解析
(2)垂直且相等
(3)① ， ，证明见解析；② 或
【分析】（1）首先得到 ，然后结合 ， 得到四边形 是矩形，然后证明出
，得到 ，进而得到矩形 是正方形；
（2）根据题意证明出 ，进而得到 ， ，然后利用三角形内角
和定理得到 ；
（3）①首先得到 ，然后同（2）证明出 ，进而得到 ，
，然后利用三角形内角和定理得到 ；
②根据题意分两种情况讨论，然后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵ ， ， 是 边的中点，
∴∵ ，
∴四边形 是矩形
∵ ， ，
∴
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
又∵点 是 边的中点
∴
∴
∴
∴矩形 是正方形；
（2）如图所示，延长 交 于点H
∵ ，
∴
∴
∵四边形 是正方形
∴
又∵
∴
∴
∴又∵
∴
∴
综上所述，线段 与 的关系为垂直且相等；
（3）① ， ，证明如下：
如图所示，延长 交 于点M，交 于点N
∵
∴
∴
由（2）得， ，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
综上所述，线段 与 的关系为 ， ；
②如图所示，当四边形 是平行四边形时，
∴
∵四边形 是正方形
∴
∴此时点D，E，C在同一条直线上∵ ，图（1）中点 是 边的中点
∴
∵ 是等腰直角三角形
∴
∴
∴在 中， ；
如图所示，当四边形 是平行四边形时，
∴
∵
∴点D，G，C三点在同一条直线上
∵
∴点A，D，E三点在同一条直线上
∵ ，
∴
∴
∴
综上所述，当以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时， 的长为 或 ．
【点睛】此题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
2．如图，四边形 是正方形， ，点P是 上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转90°，得到 ．
【初步感知】
（1）在点P的运动过程中，试探究 与 的数量关系．
【深入研究】
（2）连接CE，在点P的运动过程中，试探究 的值．
【拓展延伸】
（3） 与CD相交于点F，在点P的运动过程中，试探究 的周长是否为定值，若是，求出 的
周长；若不是，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）是定值，理由见详解
【分析】（1）由正方形的性质可得 ， ，由旋转的性质可得 ， ，
由外角的性质可证 ；
（2）由等腰直角三角形的性质可得 ，由“ ”可证 ，可得 ，即可求解；
（3）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，可得
，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的
性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：（1） 四边形 是正方形，
， ，
将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ．
， ，
，
；
（2）如图，在 上截取 ，连接 ，， ，
，
， ，
，
又 ， ，
，
，
；
（3） 的周长是定值，理由如下：
如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
， ， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
又 ，，
，
的周长 ，
的周长是定值．
3．阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图 ，在正方形 中，点 分别为 边上的点， ，连接
，求证： ，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中
到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将
绕点 顺时针旋转 得到 （如图 ），此时 即是 ．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
(1)在图 中， 的度数是___________；
(2)如图 ，在直角梯形 中， （ ）， ， ， 是 上一点，
若 ， ，求 的长度；
(3)如图 ， 中， ， ，以 为边作正方形 ，连接 ．当 ___________
时，线段 有最大值，并求出 的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ，CD最大值为 ．
【分析】（ ）根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得 ，然后求出
，再根据 计算即可得解；
（ ）过点 作 交 的延长线于点 可得四边形 是正方形，然后设 ，根据上面的
结论表示出 ，再求出 ，然后在 中, 利用勾股定理列式进行计算即可得解；（ ）过点 作 ，取 ，连接 ， ，推导出 ，由可证 ，
可得 ，当 三点共线时， 取最大值．
【详解】（1）根据旋转知: ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
根据上面结论可知 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（3）如图，过点 作 ，取 ，连接 ， ，如图∵ ， ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 有最大值时，只需 最大即可，
在 中， ，
当 三点共线时， 取最大值，此时 ，
在等腰直角三角形 中， ， ，
∴ ，
∵ ， 最大，即 最大值为 ，
此时 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点
的应用是解题的关键．
类型八、一次函数中的旋转
【解惑】探索发现一：法国近代数学家笛卡尔是一位勇于探索的人，他石破天惊的创建了代数与几何结合，
即数形结合！他的这一天才创举，为微积分的创立奠定了基础，从而推动数学往前进了一大步！在他创建
的平面直角坐标系中，我们学到一次函数的图像是一条直线，书本上的描述是：数学上已经证明了正比例
函数的图像是一条直线．勇于探索和挑战的小聪一心想证明出函数 的图像是一条直线！于是他找了
图像上的三个点O(0,0)， ， ，并且巧妙的论证出这三点在同一条直线上，聪明的你也来论证
一下吧！探索发现二：小慧碰到一道题：在平面直角坐标系中，线段 的两个端点坐标分别为O(0,0)， ，
将线段 绕点O逆时针旋转90°到 位置，则点 的坐标是什么？
（1）请写出点 的坐标______．
（2）小慧通过计算发现 所在直线的函数表达式为 ， 所在直线的函数表达式为 ，而且
有 ．于是她大胆猜想：两个一次函数图像如果互相垂直，则他们的k乘积为 ，请敢于探索
发现的你来完成下面的论证：
如图，已知直线 与直线 互相垂直，求证： ．
【答案】（1） （2）见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，一次函数的解析式，旋转的性质，掌握三角形全等的判定方
法是解题的关键．（1）过点P作 轴于点A，过点 作 轴于点B，根据 证明 ，即可得到
， ，，然后写出点的坐标即可；
（2）在直线 上取一点P，把 绕点O逆时针旋转90°到 位置，则点 在直线 上，设点
P的坐标为 ，根据（1）可得点 的坐标为 ，然后求出 ， ，计算即可．
【详解】（1）如图，过点P作 轴于点A，过点 作 轴于点B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵点 在第二象限，
∴点 的坐标为 ；
（2）解：在直线 上取一点P，把 绕点O逆时针旋转90°到 位置，则点 在直线 上，
设点P的坐标为 ，根据（1）可得点 的坐标为 ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ．【融会贯通】
1．【学习材料】
求直线 向右平移 个单位长度后的解析式．
第一步，在直线 上任意取两点 和 ；
第二步，将点 和 向右平移 个单位长度得到点 和 ，则直线 就是直线
向右平移 个单位长度后得到的直线；
第三步，设直线 的解析式为： ，将 和 代入得到： 解得
，所以直线 的解析式为： ．
【类比思考】
若将直线 向左平移 个单位长度，则平移后的直线解析式为______；
若先将直线 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到直线 ，则直线 的解析式
为______．
【拓展应用】
已知一次函数的图象与直线 关于 轴对称，求一次函数的解析式；
若一次函数 的图象绕点 逆时针旋转 后得到直线 ，则直线 的解析式为______．
【答案】【类比思考】① ；② ；【拓展应用】① ；② ．
【分析】（1）【类比思考】 和 均按照【学习材料】中的方法取点平移，利用待定系数法求解析式解
答即可；
（2）【拓展应用】 直线 上的点关于 轴对称点的坐标为 ，故将坐标 代入整理即可； 设直线 的解析式为 ，点 和 在直线上，代入 得到
和直线与 轴交点坐标为 ， 可利用勾股定理求得即可求得a．
【详解】解：【类比思考】 根据【学习材料】中的方法：
第一步，在直线 上任意取两点 和 ；
第二步，将点 和 向左平移 个单位长度，得到点 和 ，则直线 就是直
线 向左平移 个单位长度后得到的直线；
第三步，设直线 的解析式为：y=kx+b(k≠0)，将 和 代入，
得到 ，解得 ．
直线 的解析式为 ．
故答案为： ．
根据【学习材料】中的方法：
第一步，在直线 上任意取两点 和 ；
第二步，将点 和 向右平移 个单位长度，得到点 和 ；再将点 和
向下平移 个单位长度，得到点 和 ，则直线 就是所要求的直线 ．
第三步，设直线 的解析式为 ，将 和 代入，
得到 ，解得 ．
直线 的解析式为 ．
故答案为： ．
【拓展应用】①设直线 上的点的坐标为x,y，它们对应的关于x轴对称点的坐标为x,-y，
∴直线 关于x轴对称的直线为 ，即 ．②设直线m的解析式为 ．
∵ 的图象绕点 逆时针旋转90°后得到直线m，
∴点 在直线m上．
将 代入 ，
得 ．
当x=0时， ，
∴ 与y轴交点坐标为 ．
由几何关系，利用勾股定理，
得 ，解得 ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质、平移的性质、轴对称的性质以及旋转的性质，理解并掌握一次函
数的性质与几何变换的规律是解题的关键．
2．如图，一次函数 的图像交 轴于 点，交 轴于 点，以 ， ， 三点为顶点作矩形 ，
将矩形 绕 点顺时针旋转 ，得到矩形 ，直线 交直线 于点 ．(1)求直线 的解析式；
(2)求证： 是 的角平分线；
(3)在角平分线 上，是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)存在， 或 ．
【分析】（1）由一次函数 求出点 、 的坐标，再根据旋转的性质可求出点 、 的坐标，最
后根据待定系数法求解即可；
（2）过点 作 于点 ，作 于点 ，证明 ，得到 ，即可证
明；
（3）联立两个函数解析式，求出点 的坐标，再求出直线 的解析式为 ，以 ， ， 为顶点
的三角形是等腰直角三角形分两种情况：①过 点作 交 于点 ，则 是以 为直角边的等腰直角三角形；②过 点作 交 于点 ，则 是以 为直角边的等腰直角三角
形；根据一次函数的性质，结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ；
解得： ，
A(−2,0)，
令 ，则 ，
C(0,1)，
B(−2,1)，
， ，
由旋转可得： ， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，代入 ， ，
可得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（2）如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，，
由旋转可得： ， ，
在 和 中，
，
，
，
是 的角平分线；
（3）由旋转可知， ，即 ，
是 的角平分线，
，
联立 ，
解得 ，
即点 ，
设直线 的解析式为 ，代入点 ，得： ，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
A(−2,0)，
，
以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况：
①过 点作 交 于点 ，则 是以 为直角边的等腰直角三角形， ，
由勾股定理可求得 ，
，
，
，
点 在直线 的图象上，
设 ，
，
解得 或 （舍），
，
；②过 点作 交 于点 ，则 是以 为直角边的等腰直角三角形，
，
由勾股定理可得： ，
，
，
，
点 在直线 的图像上，
设 ，
，
解得 或 （舍），，
；
综上， 点坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查图形的旋转性质，一次函数的图像与性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三
角形的性质及勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用这些知识．
3．如图，已知一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于点 点 ，将线段 绕点A顺时针旋转
，点 的对应点记为点 ．连接 ．过点C作 轴的垂线，交 轴于点 ．点 是线段 上
的一个动点．
(1)如图1，求直线 的表达式．
(2)如图1，当直线 轴时，平面内是否存在一点 ，使得以点 为顶点的四边形是平行
四边形？若有，请直接写出点 的坐标；若没有，请说明理由．
(3)如图2，当射线 与直线 的夹角为 时，在射线 上取一点 ，使 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)G点坐标为 或 或
(3)
【分析】（1）先求出A，B点坐标，通过 证明 ，得到 ， ，
即可求出C，D两点坐标，用待定系数法即可求解；
（2） 轴于A点，则 ，先求出M点坐标，分别在①当 是平行四边形的边时，②当是平行四边形的对角线时，进行求解即可；
（3）先得出 为等腰直角三角形，然后求出M点坐标，利用待定系数法求出 解析式，设Q点坐
标为 ，过Q点作 轴于T点，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于A、B两点，
当 时， ，当 时， ，
， ，
，
，
，
，
轴，
，
，
，
， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
，解得： ，
直线 的解析式为： ；
（2）存在，如图，轴于A点，则 ，
点M在 上，且点M的横坐标是2，直线 表达式为 ，
当 时， ，
点M的坐标为 ，
①当 是平行四边形的边时， ， ， ，
当G在M上方时，G点坐标为 ，当G在M下方时，G点坐标为 ；
②当 是平行四边形的对角线时，如图1，取 点R连接 并延长至点G，使 ，连接 ，
则 且 ，
设G点坐标为 ，点 ，点 ，点 ，
， ，
解得： ， ，
点坐标为 ，
综上所述G点坐标为 或 或 ；
（3） ，
为等腰直角三角形，
点M在线段 上，
，为 中点，
， ，
，即 ，
设射线 的表达式为 ，过点A、点M，
，解得： ，
， ，
设Q点坐标为 ，
如图2，过Q点作 轴于T点，
，
，
，
，
，整理得 ，
解得： 或 ，
点横坐标值大于A点横坐标值，
， ，点坐标为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，平行四
边形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，中点坐标的求解，旋转性质，
准确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键．
类型九、二次函数中的旋转
【解惑】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
过点 ，且顶点P的坐标为 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线 的上方．连接 ， ．求 面积的最大
值；
(3)如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接 ，将线段 绕点Q逆时针旋转 ，点C的对应点
为F，连接 交抛物线于点E，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由 面积 ，即可求解；
（3）①当点 在点 的下方时，证明 ，得到 ， ，则点
，求出直线 的表达式，进而求解；②当点 在点 的上方时，同理可得：点 的坐标为
，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： ，
则 ，
将点 的坐标代入上式并得： ，
解得： ，
故抛物线的表达式为： ，即 ；
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
如图1，过点 作 轴交 于点 ，
设直线 的表达式为： ，
则 ，解得 ，
故直线 的表达式为： ，
设点 ，点 ，则 面积
，
，故函数由最大值，
当 时， 面积的最大值为 ；
（3）设点 ，如图2，
①当点 在点 的下方时，
过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，交过点 与 轴的平行线于点 ，
， ，
，
， ，
，
， ，
点 ，
设直线 的表达式为： ，
则 ，解得 ，
故直线 的表达式为： ②，
联立直线 与抛物线的： ，解得： （不合题意的值已舍去），
即点 ；
②当点 在点 的上方时，
同理可得：点 的坐标为 ，
由点 、 的坐标得：直线 的表达式为 ，同情况①，
故点 ；
当点 与点 重合时，也符合题意，
综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转
的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．
【融会贯通】
1．定义：如果二次函数 ，（ ， 、 、 是常数）与 ， 、
、 是常数）满足 ， ， ，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数
的“旋转函数”，由函数 可知， ， ， ．根据 ，
， 求出 、 、 就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考并解决下面问题：
(1)写出函数 的“旋转函数”；
(2)若函数 与 互为“旋转函数”，求 的值；
(3)已知函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称
点分别是 、 、 ，试求证：经过点 、 、 的二次函数与 互为“旋转函数”．
【答案】(1) ；(2)1；
(3)见解析．
【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的 、 、 的值，从而得出函数解析式；
（2）根据定义得出 和 的二元一次方程组，从而得出答案；
（3）首先求出 、 、 三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进
行判定．
【详解】（1）根据题意得 ，
解得
故解析式为： ．
（2）根据题意得
∴
∴ ．
（3）根据题意得 ， ，
∴ ， ，
又
且经过点 ， ， 的二次函数为
∵∴两个函数互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理
解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．
2．如图1，已知二次函数图象与 轴交点为 ，其顶点为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)直线 与 轴交于 ，现将线段 上下移动，若线段 与二次函数的图象有交点，求 向上和
向下平移的最大距离；
(3)若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕 点顺时针旋转 ，得到抛物
线 ，如图2所示，直线 与 交于 ， 两点， 为 上位于直线 左侧一点，求 面积
最大值，及此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)CM向下平移的最大距离为 ，向上平移的最大距离为6．
(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①设直线 向下平移最大距离为 ，由△ ，即可求解；②设直线 向上平移最大距离
为 ，同理可解；
（3）由 ，即可求解．【详解】（1）解： 顶点 ，
设二次函数的解析式为 ，
把 代入得： ，
，
，
即 ；
（2）解：由点 、 的坐标得，直线 解析式为 ，
，
①设直线 向下平移最大距离为 ，
平移后的直线解析式为 ，
此时直线与抛物线有一个交点，
把 代入 ，
得 ，
，
△ ，
即： ．
②设直线 向上平移最大距离为 ，
此时 ， 对应点为 ， ，
则 ，
当 恰在二次函数上时，
，
，
向上平移的最大距离为6．
综上， 向下平移的最大距离为 ，向上平移的最大距离为6；（3）解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为 ，
则函数的解析式为： ，
设 为 上一点，
绕 顺时针旋转 后，对应点为 ，
则 ，
则 ， ，
，
若 在 轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，
所以 ，
把 代入 ，
，
解得： ， ；
则 ， ，
设： ，
过点 作 轴交 于点 ，
，
，，
，
当 时， 有最大值， ，
此时 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、面积
的计算、图象的旋转等，有一定的综合性，难度较大．
3．定义：若二次函数 的图象记为 ，其顶点为 ，二次函数 的图
象记为 ，其顶点为 ，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数 经过 的顶点B，且 经过 的顶点A，我们
就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)试求出 的“反顶伴侣二次函数”．
(3)若二次函数 与 互为“反顶伴侣二次函数”，试探究 与 的关系，并说明理由．
(4)分类二：若二次函数 可以绕点M旋转180°得到二次函数 ； ，我
们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图， ， 互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且 轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数 ， 的顶点有什么关系．并说明理由．
【答案】(1)假
(2)
(3)见解析
(4)①真；②见解析；③见解析
【分析】（1）根据题意举反例验证求解即可；
（2） ，则“反顶伴侣二次函数”为 ，再将（2，1）代入求出a
值，即可得出解析式；
（3）根据题意，分别表示出过顶点坐标的函数解析式，进行相加化简即可得出结果；
（4）①由旋转的性质，找到对称中心M，可知对于任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”；
②利用A，B坐标求出中点M的坐标，进而得出结论；
③根据矩形的性质和平行的性质，得出AB∥y轴，进而得出A，B点的坐标均为（h，h），最后得出结论．
【详解】（1）解：令 的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则 的顶点坐标B为（4，1），
此时C 不经过B（4，1），
1
∴所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是假命题．
故答案为：假．
（2）解： ，则“反顶伴侣二次函数”为 ，
由题意，得将（2，1）代入 ，得，
解得a=-1，
∴ 的“反顶伴侣二次函数”为 ．
（3）解：∵二次函数 经过 的顶点B，且 经过 的顶点A，
∴ ①，
②，
①+②，得 ，
当h=k时， 与 任意非零实数；
当h≠k时， =0．
（4）解：①如图
∵A，B的中点为M，
∴对称中心为M，
∴任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”．
故答案为：真；
②∵M为A，B的中点，∴M的坐标为 ，
即M在直线y=x上．
③解：∵ 轴，四边形EFQG为矩形，
∴AB∥y轴，
∴h=k，
即A，B的坐标均为（h，h），
∴A，B两点重合在直线y=x上．
【点睛】本题考查二次函数的性质，以及矩形的性质，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键．
