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专题 03 旋转（3 知识&8 题型&3 易错&3 方法清单）【清单01】旋转的定义，性质与作图
1. 旋转的概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做
旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.
2. 旋转的性质
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
3. 旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可
以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一
元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.
【清单02】 中心对称（两个图形）
1.概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称
或中心对称；
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4.作图步骤：
（1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
（2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。
(1) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形
5.中心对称图形（一个图形）
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫
做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
【清单03】 关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
【题型一】生活中的旋转现象
【典例1】（23-24九年级上·广西玉林·期中）下列现象属于旋转的是（ ）A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的定义是解题的关键；因此此题可根据旋转的定义“把一
个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度”进行求解即可．
【详解】解：A、B、D选项都不符合旋转的定义，而C选项符合旋转的定义，故C选项属于旋转现象；
故选C．
【变式1】（23-24九年级上·湖北荆门·期中）下列运动中，不属于旋转变换的是（ ）
A．钟摆的运动 B．行驶中的汽车车轮C．方向盘的转动 D．电梯的升降运动
【答案】D
【分析】此题考查了旋转的概念，根据旋转的概念求解即可．旋转是物体围绕一个点或一个轴做圆周
运动．
【详解】解：A．钟摆的运动属于旋转变换，故不符合题意；
B．行驶中的汽车车轮属于旋转变换，故不符合题意；
C．方向盘的转动属于旋转变换，故不符合题意；
D．电梯的升降运动不属于旋转变换，故符合题意．
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋
转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋
转的关键．根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案．
【详解】
A
解：A. 属于旋转现象，故选项 不符合题意；
B
B. 属于旋转现象，故选项 不符合题意；
C
C. 属于旋转现象，故选项 不符合题意；
D
D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项 符合题意；
故选：D．
【题型二】找旋转中心，旋转角和对应点
【典例2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=75°，将△ABC绕点C旋转，
得到△DEC．若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ）
A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，75° D．逆时针，75°
【答案】A【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图
形旋转的定义及平角的定义，即得答案．
【详解】解：将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，且点A的对应点D恰好在BC的延长线上，
∴∠ACD=180°−∠ACB=180°−75°=105°，
∴ 旋转方向为顺时针时,旋转角度为105°；
旋转方向为逆时针时,旋转角度为360°−105°=255°．
故选：A．
【变式1】（2025·辽宁沈阳·三模）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在
格点上，将△ABC绕某点按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、
C′，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是 ，旋转角是 ．
【答案】 点O 90°
【分析】连接A A′，BB′，CC′，分别作线段A A′，BB′，CC′的垂直平分线，相交于点O，可知
△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，即可得出答案．
本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
【详解】解：连接A A′，BB′，CC′，分别作线段A A′，BB′，CC′的垂直平分线，相交于点O，
则△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴旋转中心是点O，旋转角是90°．
故答案为：点O；90°．
【变式2】（25-26九年级上·福建福州·开学考试）如图， 在△ABC中，∠ACB=90°， ∠ABC=25°，
将△ABC绕点C顺时针旋转后得到△A′B′C， 使得点A恰好落在边A′B′上，则旋转的角度为
．【答案】50°
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，掌握以上性质是解题的关键．证明CA=C A′，
∠BAC=∠A′ AC=∠C A′ A，求出∠BAC=65°，即可解决问题．
【详解】解：由题意得：CA=C A′，∠BAC=∠C A' A，
∴∠A′ AC=∠C A′ A，
∴∠BAC=∠A′ AC=∠C A′ A，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°， ∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°−25°=65°，
∴在△A A′C中，∠AC A'=180°−∠CA A'−∠C A' A=180°−65°−65°=50°，
∴∠AC A′是旋转的角度为50°，
故答案为：50°．
【题型三】根据旋转的性质求解
【典例3】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，将△ABC在平面内绕点 A 逆时针旋转40°到
△AED的位置，点 C 与点 D 对应，当CD∥AB时，则∠CAE的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
由旋转的性质可得∠CAD=∠EAB=40°，AC=AD，由等腰三角形的性质可得∠ACD=70°，由
平行线的性质可得∠ACD=∠CAB=70°，即可求解．
【详解】解： ∵将△ABC在平面内绕点 A 逆时针旋转40°到△AED的位置，
∴∠CAD=∠EAB=40°，AC=AD，180°−∠CAD
∴∠ACD= =70°，
2
∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=70°，
∴∠CAE=∠CAB−∠EAB=30°．
故选：C．
【变式1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，点A的坐标是(−2,3)，将△ABO绕点O顺时针旋转90°得到
△A′B′O，点A′的坐标是（ ）
A．(2,3) B．(3,2) C．(−3,−2) D．(−2,−3)
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标特征的运用．由旋转的性质得，△ABO≌△A′B′O，得
到A′B′=AB=3，B′O=BO=2，据此即可得出结论．
【详解】解：由旋转的性质得，△ABO≌△A′B′O，如图，
∴A′B′=AB=3，B′O=BO=2．
∴A′(3,2)，
故选：B．
【变式2】（22-23九年级上·全国·期中）如图，△ABC是等边三角形，P点在△ABC外部，Q点在
△ABC内部，若将△APB绕点B顺时针旋转可得到△CQB，则∠PBQ的度数为 度．【答案】60
【分析】首先由△APB绕点B顺时针旋转可得到△CQB，得出∠PBA=∠QBC，再由△ABC是
等边三角形得出∠QBC+∠QBA=60°，通过等量代换可求出∠PBQ的度数．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等量代换，熟练掌握等边三角形的性质，旋转的性质是
解题的关键．
【详解】解：△APB绕点B顺时针旋转可得到△CQB，由旋转性质得：
∠PBA=∠QBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠QBC+∠QBA=60°，
∴∠QBA+∠PBA=60°，
∴∠PBQ=60°，
故答案为：60．
【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°,∠A=60°,AC=1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′
恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为 ．
【答案】❑√3
【分析】连接BB′， 根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，得到∠ABC=30°，根据
AC=1，得到BC=❑√3，根据旋转得到，CA=C A′，CB=CB′，∠AC A′=∠BCB′，得到
△AC A′为等边三角形，得到∠AC A′=60°，得到∠BCB′=60°，推出△BCB′为等边三角形，
得到BB′=CB=❑√3．本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，
含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定．
【详解】解：连接BB′，如图，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，
∴∠ABC=30°，
∴BC=❑√3AC=❑√3，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，点A′恰好在AB边上，
∴CA=C A′，CB=CB′，∠AC A′=∠BCB′
∴△AC A′为等边三角形，
∴∠AC A′=60°，
∴∠BCB′=60°，
∴△BCB′为等边三角形，
∴BB′=CB=❑√3，即点B′与点B之间的距离为❑√3．
故答案为：❑√3．
【题型四】旋转中规律问题
【典例4】（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，A(−2❑√3,2)，
B(−1,−❑√3)．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为
（ ）A．(2,❑√2) B．(−2❑√3,2) C．(−2,−2❑√3) D．(2❑√3,−2)
【答案】C
【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作
AE⊥x轴于点E，延长OB到C′点，使OC′=OA，过点C′作C′F⊥x轴于点F，再根据菱形的性质及
全等三角形的判定，即可求得C′点的坐标，据此即可求解．
【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4，
∴旋转4次后回到原来的位置，
∵2023÷4=505⋯⋯3，
∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限，
如图：过点A作AE⊥x轴于点E，延长OB到C′点，使OC′=OA，过点C′作C′F⊥x轴于点F，
∴∠AEO=∠OFC′=90°，
∴∠OAE+∠AOE=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=OC′ ，AC⊥BD，
∴∠C′OF+∠AOE=90°，
∴∠OAE=∠C′OF，
∴△OAE≌△C′OF(AAS)，
∴AE=OF，OE=C′F，
∵A(−2❑√3,2)，
∴OE=2❑√3，AE=2，
∴OF=2，C′F=2❑√3，
∴C′(−2,−2❑√3)，
故第2023次旋转结束时，点C的坐标为(−2,−2❑√3)．故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直
角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键．
【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形ABCD中，其中A(−5,0)，B(0,−2)，
将正方形ABCD绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，问503次旋转后点C的坐标为（ ）
A．(2,3) B．(3,−2) C．(2,−3) D．(−3,−2)
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，灵活运用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解决问
题的关键，也考查了正方形的性质和点的坐标变换规律问题解决方法．
过C点作CH⊥y轴于H点，如图，先证明△ABO≌△BCH得到OA=BH=5，OB=CH=2，则
OH=3，所以C(2,3)，由于503=4×125+3，则逆时针旋转503次相对于顺时针旋转90°，然后根据
旋转的性质得到503次旋转后点C 的坐标为(3,−2)，即可作答．
1
【详解】解：过C点作CH⊥y轴于H点，如图，
∵A(−5,0)，B(0,−2)，
∴AO=5,OB=2
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC,∠ABC=90°
∴∠ABO+∠HBC=90°
∵∠AOB=90°∴∠ABO+∠BAO=90°
∴∠ABO=∠HBC
∴△ABO≌△BCH
∴HC=OB=2,HB=AO=5
∴HO=HB−BO=5−2=3
∴C(2,3)
∵将正方形ABCD绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，且旋转503次
∴503÷(360°÷90°)=125…3
∴逆时针旋转503次相对于顺时针旋转90°，
即把OC绕点O顺时针旋转90°，得OC ，过C 作C W⊥x轴，
1 1 1
∴OC =OC,∠C OC=90°
1 1
∵∠1+∠3=90°=∠3+∠2
∴∠1=∠2
∵∠C WO=90°=∠CHB
1
∴△C WO≌△CHO
1
∴WO=HO=3,C W =HC=2
1
∵点C 在第四象限
1
∴点C 的坐标为(3,−2)
1
故选：B
【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在Rt△OAB中，OB=AB，边OA在x轴上，顶点B的坐
标为(1,1)，以AB为边向△OAB的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转
45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．(1,−3) B．(−1,3) C．(3,−1) D．(1,3)
【答案】A
【分析】过点B作BH⊥x轴于H，过点D作DT⊥x轴于点T，根据四边形ABCD是正方形以及等腰
直角三角形的性质可得D(3,1)，将组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，每旋转8次回到最初位置，从而得到第98次旋转结束时，相当于将D(3,1)顺时针旋转了90°，作D G⊥y轴于G，通过证
1
明△D
OG≌△(AA˙S)，即可得到答案．
1
【详解】解：如图，过点B作BH⊥x轴于H，过点D作DT⊥x轴于点T，
∵ Rt△OAB OB=AB OA (1,1)
， 在 中， ，边 在x轴上，顶点B的坐标为
∴OH=AH=1，
∴OA=2，
∴OB2+AB2=OA2=4，
∴OB=AB=❑√2，
∴∠OAB=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=❑√2，∠BAD=90°，
∴∠DAT=180°−∠OAB−∠BAD=45°，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴AD2=AT2+DT2，AT=DT，
∴AT=DT=1，
∴OT=OA+AT=2+1=3，
∴D(3,1)，
∵将组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，
360°
∴每旋转 =8次回到最初位置，
45°
∵98÷8=12…2，
∴第98次旋转结束时，相当于将D(3,1)顺时针旋转了90°，如图所示，，
则D O=DO，∠D OD=90°，
1 1
作D G⊥y轴于G，则∠D GO=∠DTO=90°，
1 1
∵∠D OG+∠D OT=90°，∠+˙∠D OT=90°，
1 1 1
∴∠D OG=∠¿˙，
1
∴△D
OG≌△(AA˙S)，
1
∴D G=DT=1，OG=OT=3，
1
∴D (1,−3)，
1
∴第98次旋转结束时，点D的坐标为(1,−3)，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、坐标与旋转规律问题、三角形全等的判定与性质，熟
练掌握正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，是解题的关键．
【变式3】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，顶点A,B,C,D均在坐标轴
上，且A(0,1),B(−❑√3,0)，以AD为边构造等边三角形ADE．将△ADE和菱形ABCD组成的图形
绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，第一次旋转结束时点E的对应点记为E ，第二次旋转结束时记为
1
E ，……，依次类推，则第2025次旋转结束时，点E 的坐标为（ ）
2 2023A．(2,−❑√3) B．(−2,❑√3) C．(−❑√3,2) D．(−❑√3,−2)
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，旋转性质，勾股定理，规律型：点的坐标．根据旋转知，每4次旋
转一个循环，而2023=4×506+3，即点E 的坐标与点E 的坐标相同；利用菱形的性质及等边三角
2023 3
形的性质可求得点E的坐标，利用全等三角形的判定与性质可求得E 的坐标从而求得结果．
1
【详解】解：如图，连接OE，过E 作E F⊥y轴于点F，
1 1
∵在菱形ABCD中， A(0,1),B(−❑√3,0)，
1
∴OA=OC=1，OB=OD=❑√3，∠ADO= ∠ADC，AD=CD，
2
∴AC=OA+OC=2，AD=CD=❑√OA2+OD2=2，
∴AD=CD=AC=2，
∴△ADC是等边三角形，
1
∴∠ADC=60°，∠ADO= ∠ADC=30°，
2
∵△ADE是等边三角形
∴DE=AD=2，∠ADE=60°，∴∠EDO=∠ADO+∠ADE=90°，
∴E(❑√3,2)；
由旋转知，OE=OE ，∠EOE =90°，
1 1
∵∠EOE =∠DOF=90°，
1
∴∠EOD+∠DOE =∠DOE +∠E OF=90°，
1 1 1
∴∠EOD=∠E OF，
1
∵∠EDO=∠E FO=90°，
1
∴△EOD≌△E OF(AAS)，
1
∴OF=OD=❑√3，FE =DE=2；
1
∵点E在第一象限，且是顺时针旋转90°，
∴点E 在第四象限，
1
∴E (2,−❑√3)，
1
由题意，当E 旋转到E 时，则E与E 关于原点对称，
1 2 2
E 旋转到E 时，E 与E 关于原点对称，E 旋转到E ，
2 3 1 3 3 4
∴点E的位置，每4次旋转一个循环，E (−2,❑√3)
3
∵2023=4×506+3，
∴点E 的坐标与点E 的坐标相同为(−2,❑√3)
2023 3
故选：B．
【题型五】旋转综合应用
【典例5】（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆
时针旋转60°到AQ，连接PQ,QC．
(1)求证：△BAP≌△CAQ．
(2)若PA=6，PB=8，∠APB=150°，求PC的长度．
【答案】(1)见解析(2)10
【分析】（1）根据旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定证明即可．
（2）根据等边三角形的性质，勾股定理解答即可．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握
判定和性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，
∴AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
{
BA=CA
)
∵ ∠BAP=∠CAQ ，
AP=AQ
∴△BAP≌△CAQ(SAS)．
（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=6，∠AQP=60°，
∵∠APB=150°，
∴∠PQC=150°−60°=90°，
∵PB=QC，PB=8
∴QC=8，
∴PC=❑√PQ2+QC2=❑√62+82=10．
【变式1】（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC
绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．若∠ABC=66°，
∠ACB=26°；求∠FGC的度数．【答案】74°
【分析】由旋转的性质得AC=AF．根据等腰三角形的性质可得∠AEB=∠ABC=66°，从而得到
∠CAF=∠BAE=48°，再证△BAC ≌△EAF(SAS)，由全等三角形的性质可得
∠F=∠ACB=26°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：由旋转知AC=AF．
∵ AB=AE，∠ABC=66°，
∴ ∠AEB=∠ABC=66°，
∴ ∠BAE=180°−66°−66°=48°，
∴ ∠CAF=∠BAE=48°，
∴ ∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC，即∠EAF=∠BAC，
在△BAC和△EAF中，
{
AB=AE
)
∠EAF=∠BAC
AF=AC
∴ △BAC ≌△EAF(SAS)，
∴ ∠F=∠ACB=26°，
∴ ∠FGC=∠F+∠CAF=26°+48°=74°．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三
角形的判定和性质等，证明△BAC ≌△EAF(SAS)是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8，BC=10，把
△ABC绕点C逆时针旋转60°得△DEC，连接AD，BD．(1)求AD的长及∠BAD的度数；
(2)求△ABD的面积．
【答案】(1)AD的长为8，∠BAD的度数为30°；
(2)△ABD的面积为12．
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于
斜边的一半，勾股定理等知识，掌握知识点的应用，正确地添加辅助线是解题的关键．
（1）由旋转得DC=AC，∠ACD=60°，则△ACD是等边三角形，所以AD=AC=8，
∠CAD=60°，而∠BAC=90°，则∠BAD=∠BAC−∠CAD=30°；
（2）作BF⊥AD于点F，则∠AFB=90°，由∠BAC=90°，AC=8，BC=10，求得
1
AB=❑√BC2−AC2=6，而AD=8，∠BAD=30°，则BF= AB=3，求得
2
1
S = AD⋅BF=12．
△ABD 2
【详解】（1）解：∵把△ABC绕点C逆时针旋转60°得△DEC，
∴DC=AC，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=AC=8，∠CAD=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=30°，
∴AD的长为8，∠BAD的度数为30°；
（2）解：作BF⊥AD于点F，则∠AFB=90°，∵∠BAC=90°，AC=8，BC=10，
∴AB=❑√BC2−AC2=❑√102−82=6，
由（1）得AD=8，∠BAD=30°，
1
∴BF= AB=3，
2
1 1
∴S = AD⋅BF= ×8×3=12，
△ABD 2 2
∴△ABD的面积为12．
【题型六】中心对称图形的识别
【典例6】（25-26九年级上·福建福州·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，
对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键．在平面内，把
一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称
图形，这个点叫做它的对称中心；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完
全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可．
【详解】A：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B：是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；
C：是中心对称图形，也是轴对称图形，故C正确；
D：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【变式2】（2025·广东·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来
的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形以某条直线对折，图形的两部分能够完全重合，
这样的图形叫做轴对称图形．直接根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项分析．
【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．【题型七】关于原点对称的点坐标
【典例7】（2025·广东韶关·模拟预测）已知点M(m,−1)与点N(3,n)关于原点对称，则m+n的值为（ ）
A．3 B．2 C．−2 D．−3
【答案】C
【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个
点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而求
出即可．
【详解】解：∵点M(m,−1)与点N(3,n)关于原点对称，
∴m=−3，n=1，
故m+n=−3+1=−2．
故选：C．
【变式1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）平面直角坐标系内一点P(3,−2)关于原点对称的点的坐标是
（ ）
A．(3,−2) B．(−2,3) C．(−3,−2) D．(−3,2)
【答案】D
【分析】本题考查点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标均变为原来的相反数，
直接计算即可．
【详解】解：点P(3,−2)关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均取相反数；
因此，原横坐标3变为−3，原纵坐标−2变为2，
对称点的坐标为(−3,2)．
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知点A(a,2023)与点A′(−2024,b)是关于原点O的对称点，
则a+b的值为（ ）
A．1 B．5 C．6 D．4
【答案】A
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，解题关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的
横纵坐标符号都是互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出a、b的值，进而得出答案．
【详解】解：根据题意，点A(a,2023)与点A′(−2024,b)是关于原点O的对称点∴a+(−2024)=0，2023+b=0，
解得a=2024，b=−2023，
∴a+b=2024+(−2023)=1．
故选：A．
【题型八】按图像的变换要求画出另一个图形
【典例8】（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点
的坐标分别为A(−4,0)，B(0,1)，C(−2,3)．
(1)若△ABC经过平移后得到△A B C ，已知点B的对应点B 的坐标为(5,−2)，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕坐标原点O按顺时针方向旋转90°得到△A B C ，请画出△A B C ；
2 2 2 2 2 2
(3)若将△A B C 绕点P旋转可得到△A B C ，则点P的坐标为_______．
2 2 2 1 1 1
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(4,1)
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移与旋转，熟练掌握平移和旋转的性质，是解题的关键：
（1）根据点B的对应点B 的坐标为(5,−2)，确定平移规则，进而画出△A B C 即可；
1 1 1 1
（2）根据旋转的性质，画出△A B C ；
2 2 2
（3）根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，进行求解即可．
【详解】（1）解：解：∵点B(0,1)的对应点B 的坐标为(5,−2)，
1
∴△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A B C ，
1 1 1
如图，△A B C 即为所求，
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
（3）如图，若将△A B C 绕点P旋转可得到△A B C ，则点P的坐标为(4,1)．
2 2 2 1 1 1【变式1】（23-24九年级上·全国·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格
纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)△ABC的面积为 ；
(2)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(3)画出△A B C 关于点O的中心对称图形△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(4)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A B C ，旋转中心的坐标为 ．
2 2 2
11
【答案】(1)
2
(2)见解析
(3)见解析
(4)(−3,0)
【分析】（1）利用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求解；
（2）分别确定A，B，C平移后的对应点A ，B ，C ，再顺次连接A ，B ，C 即可；
1 1 1 1 1 1（3）分别确定A ，B ，C 旋转后的对应点A ，B ，C ，再顺次连接A ，B ，C 即可；
1 1 1 2 2 2 2 2 2
（4）利用旋转的性质，分别连接两组对应点的连线，从而可得答案．
1 1 1 11
【详解】（1）解：S =3×4− ×1×3− ×1×4− ×2×3= ，
ΔABC 2 2 2 2
11
∴△ABC的面积为 ，
2
11
故答案为： ；
2
（2）解：如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（3）解：如图，△A B C 即为所求；
2 2 2
（4）解：根据图形可知：对应点的连线交于点(−3,0)
∴旋转中心的坐标为：(−3,0)
故答案为：(−3,0)．
【变式2】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在直角坐标系中，A(−2,2)，B(−1,4)，
C(−4,5)，请解答下列问题(1)若△ABC经过平移后得到△A B C ，已知点C 的坐标为(1,0)，作出△A B C ．
1 1 1 1 1 1 1
(2)△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A B C ，作出△A B C ．
2 2 2 2 2 2
(3)求△ABC面积．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)3.5
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据C 坐标可确定平移方式，即可得出A (3,−3)，B (4,−1)，即可作出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）根据旋转的性质，得出各点的对应点，顺次连接即可；
（3）用△ABC所在正方形的面积减去三个小三角形的面积即可得答案．
【详解】（1）解：∵C(−4,5)，点C 的坐标为(1,0)，
1
∴平移的方式为：向左平移5个单位，再向下平移5个单位，
∵A(−2,2)，B(−1,4)，
∴A (3,−3)，B (4,−1)，
1 1
∴△A B C 如图所示：
1 1 1（2）解：△A B C 如图所示．
2 2 2
1 1 1
（3）解：S =3×3− ×3×2− ×3×1− ×1×2=3.5．
△ABC 2 2 2
【题型一】旋转中规律问题
1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点A的坐标为(4,3)，第一次：将点A绕原点O逆时针
旋转90°得到A ；第二次：作点A 关于x轴的对称点A ；第三次：将点A 绕点O逆时针旋转90°得到
1 1 2 2
A ；第四次：作点A 关于x轴的对称点A ，然后按这四次规律重复，则点A 的坐标是（ ）
3 3 4 2025A．(4,3) B．(4,−3) C．(−3,−4) D．(−3,4)
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及关于x轴、y轴对称点的坐标，
根据所给变换方式，依次求出点A ，A ，A ，…，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意
1 2 3
得出从点A 开始，所得点的坐标按(−3,4),(−3,−4),(4,−3),(4,3)循环是解题的关键．
1
【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为M，过点A 作x轴的垂线，垂足为N，如图所示：
1
∵点A的坐标为(4,3)，
∴AM=3，OM=4．
由旋转可知，∠AOA =90°，OA=OA ．
1 1
又∵A N⊥x轴，AM⊥x轴，
1
∴∠A NO=∠AMO=90°，
1
∴∠A ON+∠AOM=∠A+∠AOM=90°，
1
∴∠A ON=∠A．
1
在△A ON和△OAM中，
1
{∠A
1
NO=∠AMO
)
∠A ON=∠A ，
1
OA=OA
1
∴△A ON≌△OAM(AAS)，
1
∴NO=AM=3，A N=OM=4，
1
∴点A 的坐标为(−3,4)．
1
∵点A 和点A 关于x轴对称，
2 1
∴点A 的坐标为(−3,−4)．
2依次类推：
点A 的坐标为(4,−3)，
3
点A 的坐标为(4,3)，
4
点A 的坐标为(−3,4)，
5
…，
则从点A 开始，所得点的坐标按(−3,4),(−3,−4),(4,−3),(4,3)循环，
1
∵2025=4×506+1，
∴点A 的坐标是(−3,4)．
2025
故选：D．
2．（2025·河南南阳·三模）在平面直角坐标系中，边长为2的等边△AOP在第二象限，OA与x轴重合，
将△AOP绕点O顺时针旋转60°，得到△A OP ，再作△A OP 关于原点O的中心对称图形，得
1 1 1 1
到△A OP ，再将△A OP 绕点O顺时针旋转60°，得到△A OP ，再作△A OP 关于原点O
2 2 2 2 3 3 3 3
的中心对称图形，得到△A OP ，此类推……，则点P 的坐标是（ ）
1 4 2025
A．(1,❑√3) B．(1,−❑√3) C．(2,0) D．(−2,0)
【答案】D
【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质；利用题干中的操
作步骤，分别求得对应的点P的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解．
【详解】解：∵边长为2的等边△AOP在第二象限，
∴P(−1,❑√3)．
将△AOP绕点O顺时针旋转60°，得到△A OP ，
1 1
∴P 与点P关于y轴对称，
1
∴P (1,❑√3)．
1
再作△A OP 关于原点O的中心对称图形，得到△A OP ，
1 1 2 2∴P 与点P 关于原点对称，
2 1
∴P (−1,−❑√3)．
2
再将△A OP 绕点O顺时针旋转60°，得到△A OP ，
2 2 3 3
此时点P 落在x轴的负半轴上，
3
∴P (−2,0)．
3
再作△A OP 关于原点O的中心对称图形，得到△A OP ，
3 3 1 4
此时点P 落在x轴的正半轴上，
4
∴P (2,0)．
4
以此类推，
则P (1,−❑√3),P (−1,❑√3)，
5 6
∴P 与点P重合，
6
∴对应的点P (n大于1的整数)的坐标以(1,❑√3),(−1,−❑√3),(−2,0),(2,0),(1,−❑√3),(−1,❑√3)为
n
规律循环，
∵2025÷6=337余3，
∴P 与P 的坐标相同，
2025 3
∴P (−2,0)．
2025
故选：D．
【题型二】根据旋转的性质求角度
3．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）如图， 在△ABC中，∠ACB=90°， ∠ABC=25°，将
△ABC绕点C顺时针旋转后得到△A′B′C， 使得点A恰好落在边A′B′上，则旋转的角度为
．
【答案】50°
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，掌握以上性质是解题的关键．证明CA=C A′，∠BAC=∠A′ AC=∠C A′ A，求出∠BAC=65°，即可解决问题．
【详解】解：由题意得：CA=C A′，∠BAC=∠C A' A，
∴∠A′ AC=∠C A′ A，
∴∠BAC=∠A′ AC=∠C A′ A，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°， ∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°−25°=65°，
∴在△A A′C中，∠AC A'=180°−∠CA A'−∠C A' A=180°−65°−65°=50°，
∴∠AC A′是旋转的角度为50°，
故答案为：50°．
【题型二】关于原点对称的点坐标
4．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，点 (−1,2025)关于原点的对称点是
【答案】(1,−2025)
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都
互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标都互为相反数来求解．
【详解】解：点(−1,2025)，关于原点对称的点的横坐标为−(−1)=1，纵坐标为−2025，
所以对称点是(1,−2025)．
故答案为：(1,−2025)．
【题型三】旋转与几何综合应用
5．（2024·湖北·模拟预测）如图，P为正方形ABCD内一点，PA=2，PB=4，PC=6，则∠APB=
．
【答案】135°/135度
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理与勾股定理逆定理，将△ABP绕B
顺时针旋转90°到△CBE，得BE=BP=4，∠PBE=90°，EC=PA=2，再求得PE2，进而得
PE2+EC2=32+22=36=62=PC2，即可得∠PEC=90°，从而
∠APB=∠BEC=45°+90°=135°，解题关键是勾股定理的应用．
【详解】解：如图：将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE，由旋转的性质可得：BE=BP=4，∠PBE=90°，EC=PA=2，∠APB=∠BEC，
∴∠BEP=45°，
由勾股定理可得：PE2=BP2+BE 2=42+42=32，
❑
∵PE2+EC2=32+22=36=62=PC2，
∴∠PEC=90°，
∴∠APB=∠BEC=45°+90°=135°．
故答案为：135°．
6．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在等边△ABC中，AB=4，点D是BC边上一动点，连接
AD，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，点F是AC边的中点，连接CE、EF，则EF的最小值是
．
【答案】❑√3
【分析】根据等边三角形和旋转的性质，证△ABD≌△ACE(SAS)，得到∠ACE=∠B=60°，
即点E在以点C为顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，过点F作FG⊥CE于点G，当点E在点
G处时，EF取得最小值，即为FG的长，然后结合勾股定理求解即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，∠B=∠BAC=60°，
由旋转的性质可知，AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=60°−∠CAD=∠DAE−∠CAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=60°，
即点E在以点C为顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，
如图，过点F作FG⊥CE于点G，当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG的长，
∵点F是AC边的中点，
∴CF=2，
在Rt△CGF中，∠ACE=60°，
∴∠CFG=30°，
1
∴CG= CF=1，
2
∴FG=❑√CF2−CG2=❑√3，
即EF的最小值是❑√3，
故答案为：❑√3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，
得出点E的运动轨迹是解题关键．
7．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在等边△ABC中，AB=4，点D是BC边上一动点，连接
AD，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，点F是AC边的中点，连接CE、EF，则EF的最小值是
．
【答案】❑√3
【分析】根据等边三角形和旋转的性质，证△ABD≌△ACE(SAS)，得到∠ACE=∠B=60°，
即点E在以点C为顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，过点F作FG⊥CE于点G，当点E在点
G处时，EF取得最小值，即为FG的长，然后结合勾股定理求解即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，∠B=∠BAC=60°，
由旋转的性质可知，AD=AE，∠DAE=60°，∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=60°−∠CAD=∠DAE−∠CAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ACE=∠B=60°，
即点E在以点C为顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动，
如图，过点F作FG⊥CE于点G，
当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG的长，
∵点F是AC边的中点，
∴CF=2，
在Rt△CGF中，∠ACE=60°，
∴∠CFG=30°，
1
∴CG= CF=1，
2
∴FG=❑√CF2−CG2=❑√3，
即EF的最小值是❑√3，
故答案为：❑√3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，
得出点E的运动轨迹是解题关键．
8．（22-23九年级上·全国·期中）如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，再将线段DE
绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接BE、BG、AD，且AC=4．
(1)若∠ABC=135°，B、E、D三点在同一条直线上，求BG的长；
(2)若∠ABC=90°，AC=2CE，点P在边AB上，求线段PD的最小值．【答案】(1)4❑√2
(2)2❑√3+2
【分析】（1）由旋转的性质可得∠ACD=90°=∠BCE，AB=DE，BC=CE，AC=CD，
∠ABC=∠DEC=135°，由等腰三角形的性质可得∠BEC=45°=∠CBE，可证
∠BEC+∠CED=180°，通过证明四边形ABDG是矩形，可得AD=BG，由等腰直角三角形的性
质可求解；
（2）由垂线段最短可得当PD⊥AB时，PD的长度有最小值，先证点P，点E，点D三点共线，由
勾股定理可求DE的长，由正方形的性质可得BC=PE=2，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接AG，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，∠ACD=90°=∠BCE，
∴AB=DE，BC=CE，AC=CD，∠ABC=∠DEC=135°，
∵B、E、D三点共线，
∴∠BEC+∠CED=180°，
∴∠BEC=45°=∠CBE，
∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，
∴DE=DG，∠EDG=90°，
∴AB=DE=DG，
∵∠ABE=∠ABC−∠CBE=90°，
∴∠ABE+∠EDG=180°，
∴AB∥DG，
∴四边形ABDG是平行四边形，
又∵∠BDG=90°，
∴四边形ABDG是矩形，
∴AD=BG，
∵AC=CD=4，∠ACD=90°，∴AD=❑√2AC=4❑√2，
∴BG=AD=4❑√2；
（2）解：∵点P在边AB上，
∴当PD⊥AB时，PD的长度有最小值，
由旋转的性质可得：∠ABC=∠CED=∠BCE=90°，
∴BC∥DE，
∵∠ABC+∠BPD=180°，
∴DP∥BC，
∴点P，点E，点D三点共线，
∵AC=2CE，
∴BC=CE=2，
又∵∠ABC=∠BPE=∠BCE=90°，
∴四边形BPEC是正方形，
∴BC=PE=2，
∵CD=AC=4，CE=2，∠CED=90°，
∴DE=❑√CD2−CE2=❑√16−4=2❑√3，
∴DP=DE+PE=2❑√3+2，
∴线段PD的最小值为2❑√3+2．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形、正方形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，旋转
的性质，矩形、正方形的判定与性质的应用是解题的关键．
【题型一】根据旋转性质求解
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（3）旋转前、后的图形全等。
【题型二】中心对称图形定义
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中
心对称图形，这个店就是它的对称中心。
【题型三】点坐标关于原点对称
对于任意一点 P(x,y),关于原点对称P'(-x,-y）
