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专题 03 期中解答题新题速递（第 21-24 章）
一．解答题
1．（2025春•肥城市期中）按要求解下列方程：
（1）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）；
（2）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）﹣10＝0（自己喜欢的方法）．
❑√3 ❑√3
【答案】（1）x ＝1+ ，x ＝1- ；
1 2 2 2
（2）x ＝6，x ＝﹣1．
1 2
【解答】解：（1）4x2﹣8x+1＝0，
1
x2﹣2x=- ，
4
1 3
x2﹣2x+1=- +1，即（x﹣1）2= ，
4 4
❑√3
∴x﹣1＝± ，
2
❑√3 ❑√3
∴x ＝1+ ，x ＝1- ；
1 2 2 2
（2）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）﹣10＝0，
（x﹣1﹣5）（x﹣1+2）＝0，即（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0或x+1＝0，
∴x ＝6，x ＝﹣1．
1 2
2．（2025春•杭州校级期中）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）（3x+1）2＝2（3x+1）．
【答案】（1）x =-2+❑√5，x =-2-❑√5；
1 2
1 1
（2）x =- ，x = ．
1 3 2 3
【解答】解：（1）x2+4x﹣1＝0，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20，
-4±❑√20
∴x= =-2±❑√5，
2×1∴x =-2+❑√5，x =-2-❑√5；
1 2
（2）（3x+1）2＝2（3x+1），
∴（3x+1）2﹣2（3x+1）＝0，
∴（3x+1）（3x+1﹣2）＝0，
∴3x+1＝0，3x+1﹣2＝0，
1 1
解得：x =- ，x = ．
1 3 2 3
3．（2025秋•银川校级期中）解方程：
（1）3x（x﹣1）＝2x﹣2；
（2）3x2﹣4x+1＝0；
（3）x2﹣4x+1＝0（配方法）．
2
【答案】（1）x = ，x ＝1；
1 3 2
1
（2）x = ，x ＝1；
1 3 2
（3）x =2+❑√3，x =2-❑√3．
1 2
【解答】解：（1）3x（x﹣1）＝2x﹣2，
3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（3x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣1＝0，
2
∴x = ，x ＝1；
1 3 2
（2）3x2﹣4x+1＝0，
（3x﹣1）（x﹣1）＝0，
∴3x﹣1＝0或x﹣1＝0，
1
∴x = ，x ＝1；
1 3 2
（3）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，∴x﹣2=❑√3或x﹣2=-❑√3，
∴x =2+❑√3，x =2-❑√3．
1 2
4．（2025春•蜀山区校级期中）已知：关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴Δ＝（m﹣3）2﹣4m•（﹣3）
＝（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
-(m-3)±(m+3)
（2）解：∵x= ，
2m
3
∴x = ，x ＝﹣1，
1 m 2
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m＝1或3．
5．（2025春•拱墅区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其
中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0是“2倍根方程”，求出c的值．
√3a-2b
（2）若（x﹣3）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“2倍根方程”，求代数式❑ 的值．
a-b
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设方程的两根分别为t，2t，
根据根与系数的关系得t+2t＝6，t•2t＝c，
解得t＝2，
所以c＝2×4＝8，
即c的值为8；
（2）（x﹣3）（ax﹣b）＝0，
b
解得x ＝3，x = ，
1 2 ab √3a-12a 3❑√5
当 =2×3，即b＝6a时，原式=❑ = ；
a a-6a 5
√3a-3a
b 1 3 = =
当 = ×3，即b= a时，原式 ❑ 3 0．
a 2 2 a- a
2
6．（2025春•瑞安市期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平
台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．
（1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
（2）为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50
元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可
达到5940元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x，
由题意得：200（1+x）2＝338，
解得：x ＝0.3＝30%，x ＝﹣2.3（不符合题意，舍去），
1 2
答：3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为30%；
（2）设每个玩偶降价y元，
由题意得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940，
整理得：y2+44y﹣92＝0，
解得：y ＝2，y ＝﹣46（，不符合题意，舍去），
1 2
答：每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元．
7．（2025春•金安区校级期中）随着贵州旅游业的高速发展，让越来越多的人看见了贵州的大好山河．暑
期来临，两队户外徒步露营爱好者计划同一天从贵阳市出发，沿两条不同的路线徒步游完乌蒙山周边自
然景观，最后在九龙镇汇合．甲队走A路线，全程120千米；乙队走B路线，全程160千米．由于A路
1
线的路况没有B路线好，甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的 ，最终甲队比乙队晚2天到达九
2
龙镇．
（1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地；
（2）在他们的活动计划中，乙队每人每天的平均花费都为 135元．甲队最开始计划有8个人同行，计
划每人每天花费300元，后来又有m个人加入队伍，经过计算，甲队每增加1人时，每人每天的平均花
费将减少30元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致．两队共需花费17640元，求m的值．
【答案】（1）甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地；
（2）m＝6．
【解答】解：（1）设甲队计划x天到达目的地，由题意得：
120 1 160
= ⋅ ，
x 2 x-2
解得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣2＝4，
答：甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地；
（2）由题意得，135×4（m+8）+6（300﹣30m）（m+8）＝17640，
解得m＝6或m＝﹣1（舍去）．
8．（2025春•诸暨市期中）某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该
模型平均每天售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，
每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应
降价多少元？
【答案】（1）28，1008元；
（2）10元．
【解答】解：（1）根据题意得：20+2×4＝28（个），
（40﹣4）×28
＝36×28
＝1008（元）．
答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，每天获利1008元；
（2）设每个模型降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x ＝10，x ＝20，
1 2
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每个模型应降价10元．9．（2025春•蜀山区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大
销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场
调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈
利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设这个降价率为x，
依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝1.9（舍去）．
1 2
答：这个降价率为10%．
（2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克，
依题意，得：（10+y）（500﹣20y）＝6000，
整理，得：y2﹣15y+50＝0，
解得：y ＝10，y ＝5．
1 2
∵要使顾客得到实惠，
∴y＝5．
答：每千克应涨价5元．
10．（2025春•杭州校级期中）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】见△试题解答内容
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
则k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵Rt ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴a2＝b2+c2，
△
则9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k=±❑√5，
由b+c＝2+k＝2+❑√5（不可能取负数），
故△ABC的周长C＝5+❑√5．11．（2025春•包河区校级期中）请阅读下列材料：
已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
y
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x= ，
2
y y y
把x= 代入已知方程，得( ) 2+ -3＝0．
2 2 2
化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程
为： y 2 ﹣ y ﹣ 2 ＝ 0 ；
（2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2
﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，
把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0，
得y2﹣y﹣2＝0，
故答案为：y2﹣y﹣2＝0；
1
（2）设所求方程的根是y，则y= ，
x
1
所以x= ，
y
1
把x= 代入方程2x2﹣7x+3＝0，得
y
1 1
2（ ）2﹣7• +3＝0，
y y
化简，得3y2﹣7y+2＝0；
（3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0，
∵令y﹣1＝x，
∴y＝x+1，
则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1，
所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1．
12．（2025春•张店区校级期中）已知x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的
1 2两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
1 2
（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S
ABC
△
a+b+c
=❑√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p= ，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于
2
点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0，
化简得：64m≤﹣64，
解得：m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）由题意知：x ，x 恰好是等腰△ABC的腰长，
1 2
∴x ＝x ，
1 2
∵x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，
1 2
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0，
解得m＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝0，
解得x ＝x ＝3，
1 2
∵BC＝4，
∴△ABC的周长为：3+3+4＝10；
（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4，
3+3+4
∴p= =5，
2
∴S =❑√p(p-a)(p-b)(p-c)=❑√5×(5-3)×(5-3)×(5-4)=2❑√5，
ABC
过I△分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，∵I是△ABC角平分线的交点，
∴IF＝ID＝IE，
∴ S
ABC
△
1 1 1 1 1
= AB⋅IF+ BC⋅ID+ AC⋅IE= ID⋅(AB+BC+AC)= ID×(3+3+4)=5ID=2❑√5，
2 2 2 2 2
2❑√5
解得ID= ，
5
1 1 2❑√5 4❑√5
∴S = BC⋅ID= ×4× = ．
BIC 2 2 5 5
△
13．（2025春•嵊州市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根．
【答案】（1）m＝2，另一个根为2；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程可得1﹣（m+1）+2m﹣2＝0，
解得m＝2，
当m＝2时，原方程为x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x ＝1，x ＝2，
1 2
即方程的另一根为2；
（2）∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝2m﹣2，
∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×（2m﹣2）
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2≥0，
∴不论m为何值时，方程总有两个实数根．
14．（2025春•濉溪县期中）设x ，x 是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式
1 2
的值．（1）（x +1）（x +1）；
1 2
1 1
（2） + ．
x x
1 2
【答案】见试题解答内容
4 3
【解答】解：根据题意得x +x =- =-2，x x =- ，
1 2 2 1 2 2
3 5
（1）原式＝x x +x +x +1=- -2+1=- ；
1 2 1 2 2 2
x +x -2 4
= 1 2= =
（2）原式 x x 3 3．
1 2 -
2
15．（2025春•珠海期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0．
（1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围．
（2）当方程的两个根x 、x 满足x2+x2=x x +12时，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0有两个实数根，
∴b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）＝﹣8m+24≥0，
解得：m≤3，
即m的取值范围是m≤3；
（2）∵方程的两个根为x 、x ，
1 2
∴x +x ＝2（m﹣1），x x ＝m2﹣5，
1 2 1 2
∴x2+x2-x x ＝（x +x ）2﹣2x x ﹣x x ＝[2（m﹣1）]2﹣3（m2﹣5）＝m2﹣8m+19，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∵x2+x2=x
x +12，
1 2 1 2
∴m2﹣8m+19＝12，即m2﹣8m+7＝0，
解得m＝1或m＝7，
∵m≤3，
∴m＝1，
故m的值为1．
16．（2025春•宜昌期中）阅读下列材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式
的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式x2+2x﹣4有最小（或最大）值？
x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5
＝（x+1）2﹣5
∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2﹣5≥﹣5
∴当x＝﹣1时，代数式x2+2x﹣4有最小值﹣5．
【直接应用】
（1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式x2﹣4x+5有最小（或最大）值；
【类比应用】
（2）已知M＝a2﹣a，N＝a﹣2（a为任意实数），判断M与N的大小关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．
①请直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）当x＝2时，代数式x2﹣4x+5有最小值1；
（2）M＞N，理由见解析；
（3）①y＝﹣2x+40（8≤x＜20）；
②当x＝10时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米．
【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+1≥1，
∴当x＝2时，代数式x2﹣4x+5有最小值1；
（2）M＞N，理由如下：
∵N＝a﹣2，M＝a2﹣a，
∴M﹣N＝a2﹣a﹣（a﹣2）＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1＞0，
∴M＞N；（3）①根据题意可得，2x+y＝40，
∴y＝﹣2x+40，
∴0＜﹣2x+40≤24，
∴8≤x＜20，
∴y＝﹣2x+40（8≤x＜20）；
②设鸡场的面积为S平方米，则
S＝（﹣2x+40）•x
＝﹣2（x﹣10）2+200，
∴当x＝10时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米．
17．（2025春•东台市期中）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比
每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相
同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，
售价x元/件 50≤x≤60 60＜x≤80
销售量 100 400﹣5x
（件）
求当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
【答案】（1）A纪念品每件的进价是50元，B纪念品每件的进价是20元；
（2）当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．
【解答】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，
1000 400
由题意，得： = ，
x+30 x
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解，
当x＝20时：x+30＝20+30＝50，
∴A纪念品每件的进价是50元，B纪念品每件的进价是20元；
（2）设利润为w元，由表格得：
当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，
∵k＝100＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元；当60＜x≤80，w＝（x﹣50）（400﹣5x）＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣65）2+1125，
∵a＝﹣5＜0，
∴当x＝65时，利润最大为：1125元；
综上：当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．
18．（2025春•陕西期中）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普
罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图 2，某农户的
大棚截面上半部分可近似看作抛物线 AED，下半部分可看作矩形AOCD，以OC所在直线为x轴，OA
所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面OC的距离为7米，AO＝CD＝3米，
棚宽OC＝12米．
（1）求抛物线AED的函数表达式；
（2）为了加固棚顶，现需在AD上方的抛物线部分加装一根横梁PQ（点P、Q均在抛物线上），且
19
PQ∥AD，若横梁PQ与地面OC的距离是 米，则横梁PQ的长度是多少米？
4
1 4
【答案】（1）y=- x2+ x+3；
9 3
（2）横梁PQ的长度是9米．
【解答】解：（1）以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，四边形AOCD是
矩形，AO＝CD＝3米，OC＝12米，
∴点A（0，3），AD＝OC＝12米，
∴顶点E（6，7），
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，把点A的坐标代入得：
36a+7＝3，
1
解得：a=- ，
9
1 1 4
∴抛物线的函数表达式为y=- (x-6) 2+7=- x2+ x+3；
9 9 3
19
（2）由题意知，点P的纵坐标为 ，
419 19 1
当y= 时， =- (x-6) 2+7，
4 4 9
解得x ＝1.5，x ＝10.5，
1 2
∴10.5﹣1.5＝9（米），
∴横梁PQ的长度是9米．
19．（2025春•慈溪市期中）在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6
元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减
少2，但售价不能超过10元．
（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，且每次涨价的百分
率均相同，求涨价的百分率是多少．
（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元．
（3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设涨价的百分率是x，
由题意得：6（1+x）2＝8.64，
解得：x ＝20%，x ＝﹣220% （不合题意，舍去），
1 2
答：涨价的百分率是20%；
（2）设小蛋糕的售价提高a元，则每小时的销售数量就会减少2a个，
由题意得：（6+a）（30﹣2a）＝216，
整理得：a2﹣9a+18＝0，
解得：a ＝3，a ＝6，
1 2
∴小蛋糕的售价为：6+3＝9（元）或6+6＝12（元），
∵售价不能超过10元，
∴小蛋糕的售价为9元，
答：此时小蛋糕的售价定为9元．
（3）设小蛋糕的售价为m元，
∴平均每小时的销售总额为：m[（30﹣2（m﹣6）]
＝﹣2m2+42m
＝﹣2（m﹣10.5）2+220.5
∵售价不能超过10元，
∴小蛋糕的售价为10元，
当m＝10时，平均每小时的销售总额最大，最大销售额为﹣2（m﹣10.5）2+220.5＝220元答：此时小蛋糕的售价定为10元，最大销售额为220元．
20．（2025春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P坐标为（x，y），当x＞a时，点Q坐标为
（﹣x，﹣y）；当x＜a时，点Q坐标为（﹣x，﹣y+3），则称点Q为点P的a﹣变换点（a为常数）．
例如：点（2，0）是点（﹣2，3）的0﹣变换点，点（﹣5，﹣7）是点（5，7）的1﹣变换点．
（1）点（b﹣1，3）的1﹣变换点在直线y＝x+3上，求b值；
（2）点M在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，点N是点M的2﹣变换点．
①设点N（m，n），求n与m的函数关系式；
②点A（﹣4，c），B（1，c），线段AB与①中的函数图象只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．
{-m2-4m-3(m＜-2)
【答案】（1）7；（2）①n= .；②﹣5≤c＜﹣3或1≤c＜4．
-m2-4m(m＞-2)
【解答】解：（1）由题意，分两种情况讨论：
①当b﹣1＞1时，即b＞2，
∴点（b﹣1，3）的1﹣变换点是（1﹣b，﹣3），
∵点（1﹣b，﹣3）在直线y＝x+3上，
∴﹣3＝1﹣b+3，
∴b＝7．
②当b﹣1＜1时，即b＜2，
∴点（b﹣1，3）的1﹣变换点是（1﹣b，0），
∵点（1﹣b，0）在直线y＝x+3上，
∴0＝1﹣b+3，
∴b＝4，不合题意，舍去．
综上所述，b的值是7．
（2）①当﹣m＞2时，即m＜﹣2，
则点M（﹣m，﹣n）在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，
∴﹣n＝m2+4m+3，
即n＝﹣m2﹣4m﹣3；
当﹣m＜2时，即m＞﹣2，
则点M（﹣m，﹣n+3）在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，
∴﹣n+3＝m2+4m+3，即n＝﹣m2﹣4m．{-m2-4m-3(m＜-2)
∴n与m的函数关系式为n= ．
-m2-4m(m＞-2)
②c的取值范围为1＜c≤4或﹣5≤c＜﹣3；理由如下：
如图所示，n＝﹣（m+2）2+4（m＞﹣2），
当m＝﹣2时，n最大 ＝4；
n＝﹣（m+2）2+1（m＜﹣2），
当m＝﹣2时，n最大 ＝1；
当1≤c＜4时，线段AB与图象只有一个交点；
n＝﹣（m+2）2+4（m＞﹣2），
当m＝1时，n＝﹣5；
n＝﹣（m+2）2+1（m＜﹣2），
当m＝﹣4时，n＝﹣3．
当﹣5≤c＜﹣3时，线段AB与图象只有一个交点．
综上所述，c的取值范围为1≤c＜4或﹣5≤c＜﹣3．
21．（2025春•资中县期中）某商店决定购甲，乙两种商品进行销售．已知每件甲商品比每件乙商品的进
价高30元．用2000元购进甲商品的数量和用800元购进乙商品的数量相同．
（1）求甲，乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出甲商品的售价与数量的关系如下表，售价x（元/件） 50≤x≤60 60＜x≤80
销售量（件） 100 400﹣5x
①当x为何值时，售出甲商品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进甲，乙两种商品共200件，其中甲商品的件数小于乙商品的件数，但不小于50件．若乙
商品的售价为每件m（m＞30）元时，商场将甲，乙商品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接
写出m的值．
【答案】（1）甲、乙两种商品每件的进价分别是50元和20元；（2）①当x＝65时，售出A纪念品所
获利润最大，最大利润为1125元；②m＝32．
【解答】解：（1）由题意，设乙商品每件的进价是b元，则甲商品每件的进价是（b+30）元，
2000 800
∴ = ．
b+30 b
∴b＝20．
经检验：b＝20是原方程的解．
当b＝20时：b+30＝20+30＝50．
∴甲、乙两种商品每件的进价分别是50元和20元．
（2）①由题意，设利润为w元，由表格得：当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，
∵k＝100＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当售价为60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元；当60＜x≤80，w＝（x﹣50）（400﹣5x）
＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣65）2+1125．
∵a＝﹣5＜0，
∴当x＝65时，利润最大为1125元．
综上：当x＝65时，售出甲商品所获利润最大，最大利润为1125元．
②设该商场购进甲商品a件，则购进乙商品（200﹣a）件，
∴50≤a＜200﹣a．
∴50≤a＜100．
1
由①可知：由表格可知400﹣5x＝a，x=80- a．
5
设甲、乙两种商品均全部售出后获得的总利润为y元，
1
∴y=(80- a-50)a+(m-20)(200-a)．
51
∴y=- a2+(50-m)a+200m-4000，
5
5
∴对称轴为直线a=125- m，
2
∵m＞30，
5
∴125- m＜50，
2
∴对称轴在50≤a＜100的左侧，
∴当a＝50时利润最大，
∴ 当 a ＝ 50 时 ， y 有 最 大 值 ， 最 大 值 为 ：
1
y=- ×502×(50-m)×50+200m-4000=150m-2000=2800．
5
∴m＝32＞30．
22．（2025春•濉溪县期中）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，n），B（3，n）两点．
（1）求b的值；
（2）当﹣2≤x≤2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（3）若方程x2+bx+c＝0的两实根x ，x 满足1＜x ﹣x ≤5，且p=x2+2x2，求p的最大值．
1 2 1 2 1 2
【答案】（1）b＝﹣1；
1
（2）c= 或﹣6≤c＜﹣2；
4
（3）p的最大值为17．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，n），B（3，n）两点，
b -2+3
∴- = ，
2 2
∴b＝﹣1．
（2）由（1）知抛物线为y＝x2﹣x+c，
∵抛物线与x轴有公共点，
∴对于方程x2﹣x+c＝0，判别式Δ＝1﹣4c≥0，
1
∴c≤ ，
4
1 1 1 1
①当c= 时，由方程x2-x+ =0，解得x =x = ，此时抛物线y=x2-x+ 与x轴只有一个公共点
4 4 1 2 2 41
( ，0)；
2
1
②当c＜ 时，x ＝﹣2时，y ＝4+2+c＝6+c；x ＝2时，y ＝4﹣2+c＝2+c由已知﹣2≤x≤2时，该抛物线
4 1 1 2 2
1
与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x= ，应有y ≥0且y ＜0即6+c≥0，且2+c＜0，解得：﹣
2 1 2
6≤c＜﹣2．
1
综合①②，得c的取值范围是c= 或﹣6≤c＜﹣2．
4
（3）由（1）知b＝﹣1，
∵x2﹣x+c＝0的两实根为x ，x ，
1 2
∴抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交点的横坐标为x ，x ，
1 2
x +x 1
∴ 1 2= ，
2 2
∴x +x ＝1，即x ＝1﹣x，
1 2 2
∵1＜x ﹣x 5，
1 2≤
∴1＜x 1﹣（1﹣ x 1） ﹣x 2≤ 5，
∴1＜x ，
1≤3
2 2 2
∴p=x 2+2x 2=x 2+2(1-x ) 2=3(x - ) + ，
1 2 1 1 1 3 3
∵当1＜x ≤3时，p随x 的增大而增大，
1 1
∴当x ＝3时，p的最大值为17．
1
23．（2025春•海口期中）已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，﹣
3）．
（1）求该抛物线的表达式和对称轴．
（2）若抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝m有两个不同交点，求m的取值范围．
（3）设点P是抛物线的顶点，求四边形BACP的面积．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1；
（2）m＞﹣4；
（3）9．
{ c=-3
【解答】解：（1）由题意得： ，
1-b+c=0
{b=-2
解得： ，
c=-3
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
即抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4），即对称轴为直线x＝1；
（2）当直线y＝m在点P之上时，都符合题设要求，
故m＞﹣4；
（3）作PH∥y轴交BC于点H，
由（1）知，点P（1，﹣4），
由点B（3，0）、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，则点H（1，﹣2），则PH＝2，
1 1 1 1
则四边形BACP的面积＝S +S = ×AB×CO + ×PH×OB= ×4×3 + ×2×3＝9．
ABC PBC 2 2 2 2
△ △
24．（2025春•石景山区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y ）、（1，y ）、（3，y ）是
1 2 3
抛物线y＝x2+bx+1上三个点．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）当y ＝y 时，求b的值；
1 3
（3）当y ＞y ＞1＞y 时，求b的取值范围．
3 1 2
【答案】（1）（0，1）；
（2）﹣2；
（3）﹣2＜b＜﹣1．
【解答】解：（1）对于y＝x2+bx+1，
当x＝0时，y＝1，
则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；-1+3
（2）当y ＝y 时，抛物线的对称轴为x= =1，
1 3 2
b
∴- =1，
2
解得：b＝﹣2；
b
（3）当y ＞y 时，对称轴在x＝1的左侧，即- ＜1，
3 1 2
解得：b＞﹣2，
当1＞y 时，1＞1+b+1，
2
解得：b＜﹣1，
∴当y ＞y ＞1＞y 时，﹣2＜b＜﹣1．
3 1 2
25．（2025春•漳州期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣
4），C（1，﹣1）．
（1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A B C，并写出A 的坐标 （ 4 ，﹣ 4 ） ；
1 1 1
（2）将△A B C先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到△A B C ，直接写出C 的坐标 （﹣
1 1 2 2 2 2
3 ， 3 ） ．
【答案】（1） ，（4，﹣4）（2） ，（﹣3，3）．
【解答】解：（1）画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A B C如图所示，
1 1
其中，A 的坐标为（4，﹣4）；
1
故答案为：（4，﹣4）；
（2）将△A B C先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到△A B C 如图所示，
1 1 2 2 2
其中，C 的坐标为（﹣3，3）；
2
故答案为：（﹣3，3）．
26．（2025春•夷陵区校级期中）如图1，将边长为❑√2和3的两个正方形放置在直线l上，连结AD、CF，经观察分析，发现△AOD≌△COF，从而可进一步证出AD＝CF，AD⊥CF．
（1）如图2，将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，求证：AD＝CF，AD⊥CF；
（2）如图3，将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，直接写出CF的长．
【答案】（1）见解答
（2）❑√17．
【解答】（1）证明：AD交CF于点G，交OC于点H，如图2所示：
∵四边形ODEF和四边形OABC均为正方形，
∴AO＝CO，OD＝OF，∠AOC＝∠DOF＝90°，
∴∠AOC+∠DOC＝∠DOF+∠DOC，
即∠AOD＝∠COF，
在△AOD和△COF中，
{
AO=CO
∠AOD=∠COF，
OD=OF
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD＝CF，∠OAD＝∠OCF，
∵∠AOC＝90°，
∴△AOH是直角三角形，
在Rt AOH中，∠OAD+∠OHA＝90°，
∵∠C△HG＝∠OHA，
∴∠OCF+∠CHG＝90°，在△CHG中，∠CGH＝180°﹣（∠OCF+∠CHG）＝90°，
∴AD⊥CF；
（2）解：连接DF交OE于K，如图3所示：
∵四边形ODEF和四边形OABC均为正方形，且边长分别为❑√2和3，
∴OD=❑√2，OA＝3，
∵OE和DF是正方形ODEF的对角线，
1
∴DF⊥OE，DK＝OK= OE，
2
在Rt ODK中，由勾股定理得：OD=❑√OK2+DK2=❑√2OK，
△
❑√2 ❑√2
∴OK＝DK= OD= ×❑√2=1，
2 2
∴AK＝OA+OK＝3+1＝4，
在Rt AKD中，由勾股定理得：AD=❑√DK2+AK2=❑√12+42=❑√17，
△
同（1）证明：△AOD≌△COF（SAS），
∴AD＝CF，
∴CF＝AD=❑√17．
27．（2025春•吴江区期中）如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上．
（1）将△ABC向左平移4格，画出平移后的对应△A B C ；
1 1 1
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的对应△AB C ；
2 2
13
（3）第（2）问中△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 π ．
4【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
13
（3） π．
4
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示，△AB C 即为所求；
2 2
（3）根据题意得，AB2＝32+22＝13，
∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB C ，
2 2
1
∴△ABC旋转过程中边AB“扫过”的部分是以点A为圆心，以AB为半径的 圆，
4
1 1 13
∴ π×AB2= π×13= π，
4 4 413
答：△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 π．
4
13
故答案为： π．
4
28．（2025春•成都期中）如图，在平面直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A（5，4），B（1，
2），C（3，0）．小聪把△ABC平移后得到了△A B C ，并写出了它的三个顶点坐标A （﹣1，5），
1 1 1 1
B （﹣4.3），C （﹣3，1）．
1 1
（1）小明认为小聪写的三个顶点坐标中有一个出错了，请帮小明画出正确的△A B C 并确认哪个点坐
1 1 1
标写错了，将错误的点坐标改正确；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A B C ，并写出A ，B 的坐标．
2 2 2 2 2
【答案】（1）B （﹣5，3）；
1
（2）见解析，A （4，﹣5），B （2，﹣1）．
2 2
【解答】解：（1）如图，点B 的坐标错误，应该是B （﹣5，3）；
1 1
（2）如图，△A B C 即为所求，A （4，﹣5），B （2，﹣1）．
2 2 2 2 229．（2025春•成都期中）已知△ABC中AB＝AC，∠BAC＝m°，过点C作直线l∥AB，D是BC边上一点，
连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转m°交直线l于点E，T为线段EC延长线上点．
（1）求证：BC平分∠ACT；
（2）求证：AD＝DE；
（3）若AB＝8，AD=3❑√7，CD=❑√7，求△DEC的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
21❑√3
（3） ．
4
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵直线l∥AB，
∴∠ABC＝∠BCT，
∴∠ACB＝∠BCT，
∴BC平分∠ACT；
（2）证明：如图，以D为圆心，DC长为半径画弧，交CT于点H，连接DH，
则DH＝DC，
∴∠DCH＝∠DHC，
∴∠DHC＝∠ACB＝∠ABC＝∠DCH，
∴∠CDH＝∠BAC＝m°，
∵将射线DA绕点D顺时针旋转m°交直线l于点E，
∴∠ADE＝m°，
∴∠ADE＝∠CDH，
∴∠ADC＝∠EDH，∴△ADC≌△EDH（ASA），
∴AD＝DE；
（3）解：如图，过点D作DN⊥CH于N，
∵CD＝DH，DN⊥CH，
∴NH＝NC，
∵△ADC≌△EDH，
∴AC＝EH＝AB＝8，AD＝DE＝3❑√7，
∵DN2＝CD2﹣CN2，DN2＝DE2﹣EN2，CD=❑√7，
∴（❑√7）2﹣CN2＝（3❑√7）2﹣（8﹣CN）2，
1
解得CN= ，
2
3❑√3
∴CE＝EH﹣2CN＝8﹣1＝7，DN=❑√CD2-CN2= ，
2
1 1 3❑√3 21❑√3
∴△DEC的面积= CE•DN= ×7× = ．
2 2 2 4
30．（2025春•梅县区期中）如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，连
接OD，AO，BO，AD．
（1）求证：△BCO≌△BAD．
（2）若OA＝10，OB＝6，OC＝8，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：由题意可得：
BO＝BD，∠OBD＝60°，
∵△ABC是等边三角形．
∴BA＝BC，∠CBA＝60°，
∴∠OBD＝∠CBA，
∴∠CBO＝∠ABD，
在△BCO和△BAD中，
{
OB=OB
∠CBO=∠ABD，
BC=BA
∴△BCO≌△BAD（SAS）；
（2）解：由题意可得：OD＝OB＝6，∠ODB＝60°，
∵△BCO≌△BAD，
∴AD＝OC＝8，∠BOC＝∠ADB，
∵OA＝10，
∴AD2+OD2＝82+62＝100，OA2＝100，
∴OA2＝AD2+OD2，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADB＝∠ADO+∠BDO＝150°，
∴∠BOC＝∠ADB＝150°．
31．（2025春•海州区期中）作图题：（1）在图1中画四边形ABCD关于点A对称的四边形AB C D ；
1 1 1
（2）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图2，在△ABC中．
①作∠BAC的角平分线交BC于点D；
②作AC边上的垂直平分线l交AD于点G；
连结GC，若∠B＝55°，∠BCA＝60°，则∠AGC＝ 11 5 °．
【答案】（1）见解答．
（2）①见解答．
②画图见解答；115．
【解答】解：（1）如图1，四边形AB C D 即为所求．
1 1 1
（2）①如图2，射线AD即为所求．
②如图2，直线l即为所求．
∵∠B＝55°，∠BCA＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝65°，
∵AD为∠BAC的平分线，
1
∴∠CAD= ∠BAC= 32.5°．
2∵直线l垂直平分AC，
∴AG＝CG，
∴∠ACG＝∠CAG＝32.5°，
∴∠AGC＝180°﹣∠ACG﹣∠CAG＝115°．
故答案为：115．
32．（2025春•丹阳市期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D落在边
BC上．
（1）若∠A＝60°，求∠BDE的度数；
（2）若AC＝5，CE＝7，求BD的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠A＝∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝120°；
（2）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD＝5，CE＝BC＝7，
∴BD＝BC﹣CD＝2．
33．（2025春•三元区期中）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，将Rt ABC绕点A逆时针旋转a°，得到
Rt AB′C′，点C的对应点C′恰好落在斜△边AB上． △
（△1）用直尺和圆规作出△AB′C′（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接BB′，若AB＝10，BC＝6，求BB′的长．
【答案】（1）见解答．（2）2❑√10．
【解答】解：（1）如图，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点C'，再以点C'为圆心，BC
的长为半径画弧，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点B'，连接AB'，B'C'，
则△AB′C′即为所求．
（2）∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC=❑√AB2-BC2=8．
由旋转得，∠AC'B'＝∠ACB＝90°，AC'＝AC＝8，B'C'＝BC＝6，
∴∠B'C'B＝90°，BC'＝AB﹣AC'＝10﹣8＝2，
∴BB'=❑√BC'2+B'C'2=❑√22+62=2❑√10．
34．（2025春•余江区期中）将两块全等的含 30°角的直角三角板按图 1的方式放置，已知∠BAC＝
∠B A C＝30°，AB＝2BC．
1 1
（1）固定三角板A B C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A C、A B 分
1 1 1 1 1
别交于点D、E，AC与A B 交于点F．
1 1
①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB ＝ 16 0 度；
1
②当旋转角等于多少度时，AB与A B 垂直？请说明理由．
1 1
（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB ，AB与A C交于点D，
1 1
试说明A D＝CD．
1【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①由旋转的性质得，∠ACA ＝20°，
1
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACA ＝90°﹣20°＝70°，
1
∴∠BCB ＝∠BCD+∠A CB ，
1 1 1
＝70°+90°，
＝160°；
②∵AB⊥A B ，
1 1
∴∠A DE＝90°﹣∠B A C＝90°﹣30°＝60°，
1 1 1
∴∠ACA ＝∠A DE﹣∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
1 1
∴旋转角为30°；
（2）∵AB∥CB ，
1
∴∠ADC＝180°﹣∠A CB ＝180°﹣90°＝90°，
1 1
∵∠BAC＝30°，
1
∴CD= AC，
2
又∵由旋转的性质得，A C＝AC，
1
∴A D＝CD．
1
35．（2025春•中山市校级期中）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的
切线交BE延长线于点C．
（1）若∠C＝40°，求∠ADE的度数；
（2）若AC=2❑√3，CE＝2，求阴影部分的面积．【答案】（1）∠ADE＝25°；
2
（2）阴影部分的面积为2❑√3- π．
3
【解答】解：（1）如图，连接OA，
∵OA是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，
∴∠ADE＝25°；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+ △ (2❑√3) 2=(r+2) 2，
解得：r＝2，
∴OC＝OE+CE＝2+2＝4，OA＝2，
1
∴OA= OC，
2
OA 1
∴sin∠C= = ，
OC 2
∴∠C＝30°，
∴∠AOC＝60°，1
∵S = ×2×2❑√3=2❑√3，
△AOC 2
60⋅π⋅22 2
∴阴影面积为：S -S =2❑√3- =2❑√3- π．
△AOC 扇形AOE 360 3
2
∴若AC=2❑√3，CE＝2，阴影部分的面积是2❑√3- π．
3
36．（2025春•淄川区期中）如图所示的一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：3：4：3．
（1）求这四个扇形的圆心角的度数，并画出四个扇形；
（2）若圆的半径为2cm，请求出这四个扇形的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示，
∵一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：3：4：3，
∴它们所对的圆心角分别为：
2
360°× =60°，
12
3
360°× =90°，
12
4
360°× =120°，
12
3
360°× =90°．
12
（2）∵圆的半径为2cm，
60π×22 2 120π×22 4 90π×22 90π×22
∴S = = π cm2，S = = π cm2，S = =π cm2，S = =π cm2．
1 2 3 4
360 3 360 3 360 36037．（2025春•濉溪县期中）如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，^AB=^BE，连接AE交BD于
点F．
（1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长；
（2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数．
3
【答案】（1） ；（2）100°．
2
【解答】解：（1）如图1，连接OB，
∵直径AC⊥弦BD，
∴^AB=^AD，
∵^AB=^BE，
⏜ ⏜
∴ AE=BD^AE=^BD ，
∴AE＝BD＝4，
∴BG＝2．
设OG＝x，
∵AG＝1，
∴OA＝OB＝x+1．在Rt OBG中，
OG2+△BG2＝OB2，
即x2+22＝（x+1）2，
3 3
解得x= ，即OG= ．
2 2
（2）如图2，连接OB交AE于点H，
由（1）知AE＝BD，
∴OH＝OG．
∵AC⊥BD，OF＝OF，
∴Rt OHF≌Rt OGF，
∴∠△GOF＝∠HO△F＝20°，
∴∠AOH＝40°，
∴∠A＝50°，
∴∠COE＝2∠A＝100°．
38．（2025春•宿城区校级期中）如图，点D在△ABC的BC边上，CD＝2BD，顶点A在以CD为直径的
⊙O上，过D作DE⊥BC交CA的延长线于点E，交AB于点F，FE＝FA．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，求阴影部分面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图，连接OA，AD，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAE＝90°，∴∠EAF+∠DAF＝90°，∠E+∠ADE＝90°．
∵FE＝FA，
∴∠FAE＝∠E．
∴∠DAF＝∠ADE．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵DE⊥BC，
∴∠ADF+∠ODA＝90°，
∴∠OAD+∠DAF＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AB．
∵OA为⊙O的半径，
∴⊙O与AB相切；
（2）解：由（1）知：OA⊥AB，
∵CD＝2BD，CD＝2DO，
∴BD＝OD，
1
∴AD= OB＝OD，
2
∴OD＝OA＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝∠ODA＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∵AD⊥EC，
1
∴AE= DE＝1，AD=❑√22-12=❑√3．
2
∴OA＝OD=❑√3．
❑√3
过点A作AH⊥BC于点H，则DH＝OH= ，
2
3
∴AH= ，
2
∴阴影部分面积＝S
ADE
﹣S弓形AD
1 △
=
2
•AD•AE﹣（S扇形OAD ﹣S
OAD
）
△1 60π×(❑√3) 2 1
= ×1×❑√3- + •OD•AH
2 360 2
❑√3 π 3❑√3
= - +
2 2 4
5❑√3 π
= - ．
4 2
39．（2025春•虹口区期中）有一个长方形ABCD，宽AB＝4，在其两个顶点B、D处分别以顶点为圆心，
以4为半径画出两个扇形．（本题计算结果保留π）
（1）如图1所示，当AD＝10时，把长方形未被扇形覆盖部分的面积记作S，求S．
（2）如图2所示，当这个长方形的长AD缩短到一定长时，两个扇形会出现重叠，重叠部分面积记作
S ，上下各有两个区域的面积分别记作S 和S ，当S ＝S +S 时，直接写出此时AD的长．
1 2 3 1 2 3
【答案】（1）40﹣8π；
（2）AD＝2π．
【解答】解：（1）S＝S长方形ABCD ﹣S半圆
1
＝10×4- π×42
2
＝40﹣8π；
（2）由题意得，S长方形 ＝S半圆+S
2
+S
3
﹣S
1
，
当S
1
＝S
2
+S
3
时，即S长方形 ＝S半圆 ，
1
∴4AD= π×42，
2
∴AD＝2π．40．（2025春•奉贤区期中）在车辆行驶过程中，大型车辆驾驶员会因为存在“视野盲区”——尤其是转
弯时因内轮差产生的“死亡弯月”——而造成交通事故，根据相关数据的统计，大货车发生的交通事故
中，约86%是在转弯时发生的，内轮差盲区是指车辆在转弯时，由前内轮与后内轮的转弯半径之差形成
的司机无法看到的区域为进一步缓解交叉路口右转弯大型车辆与行人、非机动车冲突，减少因右转弯盲
区导致的交通事故，奉贤公安交警已在多个路口漆画了“右转危险区”警示带，如南奉公路南桥路口、
金海公路东方美谷大道口．某个路口“右转危险区”如下面图涂色部分所示（单位：m）．经过测量内
轮转弯半径O A＝O D＝10米，前内轮转弯半径O B＝O C＝4米，圆心角∠DO A＝∠CO B＝90°，请
1 1 2 2 1 2
问这个路口“右转危险区”的面积和周长是多少？（保留π）
【答案】“右转危险区”的面积是18.06平方米，周长是33.98米．
【解答】解：根据分析和题意解答可得：
1 1
10×10﹣4×4+3.14×42× -3.14×102×
4 4
1
＝100﹣16+3.14×16×﹣3.14×100×
4
＝100﹣16+12.56﹣78.5
＝18.06（平方米）
1 1
3.14×10×2× +（10﹣4）×2+3.14×4×2×
4 4
1
＝3.14×5+6×2+3.14×4×2×
4
＝3.14×5+12+3.14×2
＝21.98+12
＝33.98（米）
答：“右转危险区”的面积是18.06平方米，周长是33.98米．
