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专题 04 利用二次函数的图象和性质解决线段、周
长、面积最值问题
含参数的二次函数的图象和性质
1．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数 ，对于其图像和性质，下列说法错误的
是（ ）
A．图像开口向下 B．图像经过原点
C．当 时， 随 的增大而减小，则 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】C
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】二次函数化成顶点式为 ，再根据二次函数的性质进而求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为 ，对称轴是直线 ，选项A正确，不符合题意；
∴ 时，y随x增大而减小， 时，y随x增大而增大，选项C错误，符合题意，选项D正确，不符
合题意；
把 代入 ，得 ，
∴抛物线经过 ，该函数图象经过原点，选项B正确，不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2．（22-23九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线 （ ， 为常数，且 ），关于抛物
线的下列说法中，不正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．若 ，则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧
C．若点 ， 在抛物线上，且 ， ，则
D．若点 在抛物线上，则
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】将解析式化为顶点式，得出对称轴为直线 ，即可判断A选项，令 ，则 ，
根据判别式 ，即可判断B选项，根据已知条件，可得 ，根据抛物线开口向上，离对称轴
越远，函数值越大，即可判断C选项，根据顶点坐标，可得函数最小值，进而判断D选项．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴是直线 ，故A选项正确；
令 ，则 ， ，
若 ， ， ，
∴则抛物线与x轴有两个交点，且交点在y轴两侧，故B选项正确；
抛物线开口向上，若点 ， 在抛物线上，且 ， ，
则 ， ，
∴ ，故C选项正确；
∵ ，顶点坐标为 ， ，抛物线开口向上，若点 在抛物线上，则
故D选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
3．（23-24九年级上·四川南充·期末）已知自变量为 的函数 ，下列结论：①当自
变量 时，函数值 ；②自变量 在实数范围内，函数有最大或最小值；③图象与 轴有公共点；
④无论 何值，图象经过两个定点．其中正确结论有 （填写序号）
【答案】 /
【知识点③】一④次④函③数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，将 代入，即可判断①， ，函数为 ，
是一次函数，无最大或最小值，故②错误，分 ， 根据一次函数与二次函数的性质，即可判断③，
根据 得出图象必过定点 ．即可判断④．
【详解】（1）当 时， ①错误．
（2）当 ，函数为 ，是一次函数，无最大或最小值．∴②错误．
（3）若 ，则 ，与 轴有公共点．
若 ，则 ③正确．
（4） ．
当 时， ；当 时， ．图象必过定点 ．
∴④正确．
4．（23-24九年级上·福建泉州·期末）抛物线 （a，c是常数且 ， ）经过点 ．
下列四个结论：
①该抛物线一定经过点 ；
② ；
③若点 ， 在该抛物线上， ，则 的取值范围为 ：④若 是方程 的两个根，其中 ，则 ．
其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】①②④
【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关
键．
根据题意确定抛物线的对称轴，再根据图象与系数的关系逐个判断即可．
【详解】解：① 抛物线经过点 ，
，
，
当 时， ，
该抛物线一定经过 ，
故此项正确；
②由①得： ，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线 ，
，
当 时，
，
解得， 或 ，
故此项错误．④ 抛物线 ，对称轴为直线 ，
抛物线 经过点 ， ，
∵ 是方程 的两个根，其中 ，，
所以两个根就是抛物线 与直线 交点的横坐标，
，
∴ ，
故此项正确，
故答案为：①②④．
根据二次函数y=ax²+bx+c的图象判断有关的信息
1.（23-24九年级上·江西·期末）二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；
② ；③m为任意实数，则 ；④ ．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函
数的对称轴可得 ，由此即可判断②正确；再根据二次函数的开口向下，与 轴的交点位于 轴的正
半轴可得 ，从而可得 ，即可判断①错误；根据二次函数的最大值即可判断③正确；根据二
次函数的对称性可得 时的函数值与 时的函数值相等，从而可得当 时， ，即可判断④错误．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，即 ，结论②正确；
∵二次函数 的开口向下，与 轴的交点位于 轴的正半轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，结论①错误；
由二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值，最大值为 ，
∴对于任意实数 都有 ，
∴ ，结论③正确；
由函数图象可知，当 时， ，
由二次函数的对称性可知， 时的函数值与 时的函数值相等，
∴当 时， ，即 ，结论④错误；
综上，正确的有②③，
故选：B．
2.（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线 的图象．如图所示，则下列结论中，正确的
有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与b的关系，以及二次函数
与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物
线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个
交点，
∴ ， ，
∴ ， ，故②正确；
∴ ，故①错误；
当 时， ，故③正确；
∵ ，
∴ ，即 ，故④正确；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
故选：D．
3.（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图
象经过点 ， ．给出下面三个结论：① ；② ；③关于 的一元二次方程
有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．【答案】 /
【知识点②】y③=ax③²+b②x+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，由函数图象过点 ， 列方程组判断①，
由顶点的性质即可判断②，根据直线 在直线 的下面，即可判断③．
【详解】∵二次函数 的图象经过点 ， ．
∴ ，
解得 ，故①错误；
∵ ，
∴ ，
∴直线 =1，
∴当x=1时， 有最大值，
∴ ，
即 ，故②正确；
∵ ， ，
∴直线 在直线 的下面，
∵当 时，x=2，
∴直线 于抛物线 的交点的在 轴的两侧，
故关于 的一元二次方程 有两个异号实数根，故③正确，
故答案为：②③．4.（23-24九年级上·山东聊城·期末）已知二次函数 的图象如图所示，并且关于x的一
元二次方程 有两个不相等的实数根，下列结论：① ；② ；③
；④ ，⑤ 无实数解，写出正确的序号 ．
【答案】②④⑤
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程．由题
意以及二次函数的图象可得 ， ， ， ，即 ，进而可判断①的正误；根
据 ，进而可判断②的正误；当 ， ，进而可判断③的正误；由关于 的一元二次
方程 有两个不相等的实数根，可知 ，即直线 与抛物线
有两个交点，则 ，进而可判断④的正误；由图可知直线 与抛物线
没有交点，可判断⑤是否正确．
【详解】解：由题意以及二次函数的图象可得 ，故①错误，不符合要求；
由图象可得： ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，故②正确，符合要求；
当 ， ，故③错误，不符合要求；
∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，即直线 与抛物线 有两个交点，∴ ，故④正确，符合要求；
，
，
由图可知直线 与抛物线 没有交点，
无解，故⑤正确，符合要求；
综上所述，正确的有②④⑤，
故答案为：②④⑤．
5.（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于A，B 两点，
与y轴交于C点，且对称轴为 ，点B 坐标为 ．则下面的四个结论：① ；②
；③ ；④当 时， 或 ，其中正确的是
【答案】 /
【知识点①】y②=ax②²+b①x+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、
根据交点确定不等式的解集
【分析】此题考查二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质并数形结合是解题的关键．根据对称轴为
，得到 ，即可判断①；根据图象和当 时的函数值即可判断②；分别判断a、b、c的符号，
即可判断③；根据对称轴为 ，点B坐标为 ，得到A点坐标为 ．根据图象即可判断④．
【详解】解：∵对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故结论①正确，符合题意．∵点B坐标为 ，
∴当 时， ，
故结论②正确，符合题意．
∵图象开口向下，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴ ．
∴ ，故结论③错误，不符合题意．
∵对称轴为 ，点B坐标为 ，
∴A点坐标为 ．
∴当 时 或 ．故结论④错误，不符合题意．
综上可知，正确的是①②，
故答案为：①②．利用二次函数的图象和性质求线段最值问题
1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线 与x轴交于 、 两点，
与y轴交于点 ，其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求 的最小值．
【答案】(1)
(2) 的最小值为
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数对称性求最短路径
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练
掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长．
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）先求出对称轴，得出点 、 关于对称轴 对称，连接 交对称轴 于点P，连接 ，
此时 的值最小，即为 的长求出即可．
【详解】（1）解：将点 、 、 代入 ，得：
，解得： ，抛物线的解析式为 ；
（2） 抛物线 的对称轴为 ，
点 、 关于对称轴 对称，
连接 交对称轴 于点P，连接 ，此时 的值最小，
，
的最小值是 ，
、 ，
，
的最小值为 ．
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线的解析式是 ，
直线 的解析式是 ，点 ，点 是在该抛物线上的动点，连接 ，过 作 ．
(1)求证： ；
(2)设点 ，求 的最小值及此时点 的坐标．【答案】(1)见解析
(2) 的最小值为 ，此时点 的坐标为
【知识点】已知两点坐标求两点距离、三角形三边关系的应用、y=ax²的图象和性质
【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等：
（1）设点P的坐标为 ，根据两点间距离公式求出 ，可证 ；
（2）由 可得 ，当E，P，N共线时，等号成立．
【详解】（1）证明： 点 是在该抛物线 上的动点，
设点P的坐标为 ，
，
；
，直线 的解析式是 ，
，
；
（2）解： ，
点 在抛物线 的上方，
由（1）知 ，
，当E，P，N共线时，等号成立，如图：
，当 时， ，的最小值为 ，此时点 的坐标为 ．
3．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 为等腰直角
底边 上的高，抛物线 的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点E为抛物线上位于直线 上方的一点， 过点E作 轴交直线 于点N，求线段
的长度最大值及此时点E的坐标；
(3)如图2，点 是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段 的长度最
大时，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)1，
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、利用二
次函数对称性求最短路径
【分析】（1）先确定点A的坐标为 ，再结合等腰直角三角形的性质可得 ，然后运用待定系数
法即可解答；
（2）先用待定系数法可得 的函数解析式为 ，设 、 ，则
，然后化成顶点式求最值即可；
（3）先确定点 ，过点E作 的对称点 ，连接 交 于点P，此时 最短时，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵ 为等腰直角 底边 上的高， 的顶点为点A，
∴A的坐标为 ，
∴ ，
∵ 为等腰直角 底边 上的高，
∴ ，
∴ ．
把 代入， 解得： ，
∴抛物线的解析式为 即 ．
（2）解：设直线 的函数解析式为 ，
∵ ，
∴ 的函数解析式为 ．
设 ， ，
，
∴当 时， 最大为1，
∴ ．
（3）解：∵ 在抛物线 上，
∴ ．
∵ 是此抛物线的对称轴，∴过点E作 的对称点 ，连接 交 于点P，此时 最短， ;
∴ 最短 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、求函数解析、求函数最值等知识点，灵活运用相关知识
成为解题的关键．
4．（23-24九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线 经过 ，点 两点，点D在
该抛物线上运动，设点D的横坐标为 ．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)当 时，过点D作 轴，交直线AB于E点，求线段DE的最大值．
(3)当 时，若抛物线在点D，点B之间部分（包括点D，点B两个端点）的最高点和最低点的纵坐标的差
为3时，求m的值．
(4)设抛物线 与线段AB围成的封闭图形记作图形P，点C为直线AB上的一个动点（点C不
与点A重合），设点C的横坐标为n，以 为边向下作正方形 ，当M、N两点中只有一个点在图
形P的内部时（不包括边界），直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)当 ， 有最大值为4
(3) 的值为 或者(4) 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合)、图形问题
(实际问题与二次函数)
【分析】（1）将点 ，点 代入 即可求解；
（2）求出直线 的解析式，设点 ，则点 ，可得出
，据此即可求解；
（3）分类讨论当 时，当 时，当 时三种情况，即可求解；
（4）分类讨论 若点 在点 的左侧 若点 在点 的右侧两种情况，分别求出点 的坐标，根据
图示建立不等式组求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，点 ，
∴ ，
解得 ，
∴此抛物线的解析式为 ．
（2）解：如图①，
设直线 的解析式为： ，则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
设点 ，则点 ，
∴ ．
∵ ，
∴当 ， 有最大值为4．
（3）解：当 时，不存在最高点和最低点的纵坐标的差为3．
当 时，如图②，
∵最高点和最低点的纵坐标的差为3，
∴ ，解得 ，
， （符合题意，舍去）．
当 时，如图③，∵最高点和最低点的纵坐标的差为3，
∴ ，解得 ，
（不符合题意，舍去）．
综上所述， 的值为 或者 ．
（4）解：由题意可得： ，
若点 在点 的左侧，如图所示：
由直线 的解析式为 可得：
∵ 为正方形，
∴
∴ 轴，
∴
同理可得：由 可得：
∴
由图可得：点 的横坐标在 的横坐标之间，点 在抛物线之上，点 在抛物线之下，
解得：
若点 在点 的右侧，如图所示：
同理可得：
由图可得：点 的横坐标在 的横坐标之间，点 在抛物线之上，点 在抛物线之下，
解得：
综上所述： 或
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，难度较大，涉及了解析式的求解，二次函数与线段问题、增减
性与最值等知识点，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键．
利用二次函数的图象和性质求周长最值问题1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，抛物线 与 轴交于 、B(4,0)两
点，且 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)点 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 、 、 ，求出当 的周长最小时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长等，解
题的关键是：
（1）先求出C的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数解析式即可；
（2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接 交对称轴于点H，则点H即为
所求，求得直线 的解析式，令 ，即可求解．
【详解】（1）解∶∵B(4,0)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 、B(4,0)、 代入 ，得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解： ，
∴抛物线的对称轴为 ，
如图所示：连接 交对称轴于点 ，则 周长的最小；
∵ 、 两点关于 对称，
∵ ， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ．2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图所示，抛物线交x轴于点 ，交y轴于点
C(0,−3)
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为P，求 的面积
(3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使 的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)1
(3)存在，点Q坐标为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先确定顶点坐标，然后根据三角形面积即可求解；
（3）根据抛物线的对称性可得当点Q与点A、C共线时， 的周长最小，求出直线 的解析式，即
可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点 ，
∴设抛物线的解析式为： ，
将点C(0,−3)代入得： ，
解得a=−1，∴抛物线的解析式为： ；
（2）由（1）得 ，
∴顶点坐标 ，
∵ ，
∴ 的面积为： ；
（3）解：连接 与直线 交于点Q，
∵点A与点B关于 对称，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
∴当点Q与点B，C共线时， 的周长最小，为 ，
∵
设直线 的解析式为： ，代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
当 时，y=−1，
∴点Q坐标为： ．
3．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，
且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的值最小，求此时P点坐标及△APC周长；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点
D的坐标．（直接写出结果）
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3．（2）△APC周长的最小值3 + ．（3）D的坐标
可以为：（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）．
【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题
【详解】试题分析：（1）由AB=2，抛物线的对称轴为x=2，得知抛物线与x轴交点为（1，0）、（3，
0），即1、3为方程x2+bx+c=0的两个根，结合跟与系数的关系可求得b、c；
（2）由抛物线的对称性，可得出PA+PC最短时，P点为线段BC与对称轴的交点，由此可得出结论；
（3）平行四边形分两种情况，一种AB为对角线，由平行四边形对角线的性质可求出D点坐标；另一种，
AB为一条边，根据对比相等，亦能求出D点的坐标．
试题解析：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1，3是方程x2+bx+c=0的两个根，
由根与系数的关系，得1+3=﹣b，1×3=c，
∴b=﹣4，c=3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3．
（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA，如图1，由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），
∴点C的坐标为（0，3），
∴BC= =3 ，AC= = ．
∵点A，B关于对称轴直线x=2对称，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，此时，PB+PC=BC，
∴当点P在对称轴上运动时，PA+PC的最小值等于BC，
∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=3 + ．
（3）以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形分两种情况，
①线段AB为对角线，如图2，
∵平行四边对角线互相平分，
∴DE在对称轴上，此时D点为抛物线的顶点，
将x=2代入y=x2﹣4x+3中，得y=﹣1，
即点D坐标为（2，﹣1）．
②线段AB为边，如图3，∵四边形ABDE为平行四边形，
∴ED=AB=2，
设点E坐标为（2，m），则点D坐标为（4，m）或（0，m），
∵点D在抛物线上，
将x=0和x=4分别代入y=x2﹣4x+3中，解得m均为3，
故点D的坐标为（4，3）或（0，3）．
综合①②得点D的坐标可以为：（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）．
考点：1、二次函数的综合运用，2、行四边形的性质，3、抛物线的对称性
利用二次函数的图象和性质求面积最值问题
1．（23-24九年级上·云南保山·期末）如图，已知抛物线 与x轴交于A、 两点，
与y轴交于C点，直线 交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，求四边形 面积的最大值；并直接写出M点的坐标．
【答案】(1)
(2)四边形 面积的最大值为9，此时点M的坐标为 ．【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等重要
知识点：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）连接 ，分别过点M作 轴于点P， 轴于点Q，设点M的坐标为 ，
则 ，再根据四边形 面积 ，
结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图，连接 ，分别过点M作 轴于点P， 轴于点Q，
设点M的坐标为 ，则 ，
当 时， ，
解得： ，∴点 ，
∴ ，
当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 面积
，
∵ ，
∴当 时，四边形 面积最大，最大为9，此时点M的坐标为 ．
2．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
，连接 ．点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点， 交y轴于点D．
(1)求k的值；
(2)当 为等腰三角形时，求点D的坐标；
(3)连接 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)4；(2) ；
(3)2．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、等腰三角形的
定义
【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、三角形面积最值、等腰三角形的存在性问题，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分三种情形①当 时，②当 时，③当 时分别求解即可解决问题；
（3）设 ，求出直线 的表达式，进而求出点D 的坐标，利用 得关于
m的二次函数，根据二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：把 代和 ，得 ，
所以k的值是4；
（2）解：①当 时，如图所示，
当 时， ，
，
，
在 中， ，即 ，，
；
②当 时，此时 ，如图所示：
点P在第四象限，不符合题意；
③当 时， ，
则 ，如图所示：
点P在第四象限，不符合题意；综上所述，当 为等腰三角形时，点D的坐标为 ；
（3）解：设 ，
，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
，
点D 的坐标为 ，
，
，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
面积的最大值为2．
3．（23-24九年级上·西藏·期末）如图，二次函数 的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A
两点，且二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，y轴上一点 ．(1)求二次函数的解析式；
(2)若点C是抛物线上的一点且横坐标为3，当 的值最小时，求点M的坐标；
(3)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结 ，求 的最大面积；
(4)在二次函数图象上是否存在点N，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出
所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或 或
【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边
形(二次函数综合)
【分析】（1）根据题意设二次函数解析式为 ，将点O(0,0)代入即可求函数的解析式；
（2）点A关于对称轴的对称点为点O，连接 ，与对称轴的交点即为所求的点M，使得 的值
最小，求出直线 与对称轴的交点即为M点；
（3）设 ，过点P作x轴的垂线交 于点Q，则点Q的坐标为 ，可得
，当 时， 有最大值 ，此时 的最大值为 ；（4）设N点坐标为 ，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建
立方程求n的值即可求N点坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为 ，
设二次函数解析式为 ，
将点O(0,0)代入得， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意知点C坐标为 ，
点A关于对称轴的对称点为点O，连接 ，与对称轴的交点即为所求的点M，使得 的值最小，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点M的坐标为 ；
（3）解：设 ，过点P作x轴的垂线交 于点Q，则点Q的横坐标为a，令抛物线解析式的 ，得到 ，
解得 ，
∴A的坐标为(2,0)，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∴点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值 ，
∴ 面积的最大值为 ；
（4）解：存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设N点坐标为 ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得： ，
∴ ，
∴ ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得： ，
∴ ，
∴ ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得： ，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的存在性问题，轴对称求最
短距离等知识点，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
4．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，抛物线 与 轴交于 两点，
与 轴交于点 ，直线 经过点 ，点 是直线 上的动点，过点 作 轴，垂足为
，交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)当点 位于直线 上方且 面积最大时，求 的坐标；
(3)将 点向右平移 个单位长度得到点 ，当线段 与抛物线只有一个交点时，请直接写出 点横坐标
的取值范围_______．【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）求出 点的坐标，再由待定系数法求函数解析式即可；
（2）设 点的坐标，根据 的面积列出函数解析式，再根据函数最大值求出坐标；
（3）用 表示出 点的坐标，根据 与抛物线有一个交点，进而可以得出 取值范围．
【详解】（1）解：∵将 代入
∴
解得
∴
令 ，则
∴
将 代入
∴
解得
∴
令 ，则
解得 或
∴
故答案为： ，（2）解：设 ，则
∴
∴
∴当 时， 面积最大，
此时 ；
故答案为：
（3）解：∵
∴抛物线的顶点
∵ 点横坐标 ，
∴ 则
如图1，当 经过抛物线的顶点时
解得
此时线段 与抛物线有一个交点；
如图2，当 点与 点重合时， ，解得
当 点与 点重合时，
∴ 时，此时线段 与抛物线有一个交点；
综上所述： 或 时，此时线段 与抛物线有一个交点，
故答案为： 或
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质，用待定系数法求函数的解
析，数形结合是解题的关键．
