文档内容
专题 04 圆
题型1 圆的基本性质 题型9 切线判定与性质综合（重点）
题型2 垂径定理及应用（常考点） 题型10 三角形的内切圆（常考点）
题型3 点与圆上一点最值问题（重点） 题型11 正多边形与圆的综合（常考点）
题型4 圆周角定理（常考点） 题型12 弧长的计算
题型5 圆内接四边形（常考点） 题型13 扇形面积的计算（常考点）
题型6 点与圆的位置关系的判定 题型14 圆锥的侧面积（常考点）
题型7 三角形的外接圆（常考点） 题型15 不规则图形的阴影面积（重点）
题型8 直线与圆的位置关系的判定 题型16 圆锥侧面最短路径问题（重点）
题型一 圆的基本性质（共 4 小题）
1．在Rt△ABC中，AB是直径，CD⊥AB于D，若AD=3，BD=1，则BC的值是（ ）
A．2❑√3 B．❑√3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质；
连接OC，求出半径OB=2，可得OC=2，OD=BD=1，则CD垂直平分OB，然后根据线段垂直平分
线的性质可得答案．
【详解】解：连接OC，∵AD=3，BD=1，
∴AB=AD+BD=3+1=4，
1
∴OB= AB=2,
2
∴OC=2，OD=OB-BD=2-1=1，
∴OD=BD,
又∵CD⊥AB，
∴BC=OC=2，
故选：C．
2．如图，AB为⊙O的弦，∠A=40°，则AB所对的圆心角等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，圆的基础知识，先结合等边对等角，三角形内
角和性质，得∠AOB=100°，即可作答．
【详解】解：∵∠A=40°，AO=OB，
∴∠B=∠A=40°，
∴∠AOB=180°-40°-40°=100°，
则AB所对的圆心角等于100°
故选：D
3．如图，BC是⊙O的弦，AD过圆心O，且AD⊥BC，若∠C=40°，则∠A的度数为 ．
【答案】25°【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，连接OB，先根据等边对等角
∠OBC=∠C=40°，从而得到∠BOD=50°，再利用等腰三角形的定义和三角形外角的性质得到
∠A的度数即可．
【详解】解：连接OB，
∵OB=OC,∠C=40°，
∴∠OBC=∠C=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BOD=50°，
∵OA=OB，
1
∴∠A= ∠BOD=25°，
2
故答案为：25°．
4．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O，A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点
C．以OB，BC为邻边作矩形OBCD，连接BD．若CD=6，BC=8，则AB的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，矩形的性质，连接OC，由矩形的性质得到
OB=CD=6，∠OBC=90°，由勾股定理求出OC的长，进而求出OA的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OC，
∵四边形OBCD是矩形，
∴OB=CD=6，∠OBC=90°，∴OC=❑√OB2+BC2=10，
∴OA=OC=10，
∴AB=OA-OB=4，
故答案为：4．
题型二 垂径定理及应用（共 5 小题）
1．如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA=5，圆心O到弦AB的距离OC=3，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，利用点到直
线的距离的定义得到OC⊥AB，则根据垂径定理得到AC=BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而
得到AB的长，也考查了勾股定理．
【详解】解：∵圆心O到弦AB的距离OC=3，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC，
在Rt△OAC中，∵OA=5，OC=3，
∴AC=❑√OA2-OC2=4，
∴AB=2AC=8．
故选：C．
2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深
一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于
E,ED=1寸，AB=10寸，求半径OD的长（ ）A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸
【答案】D
【分析】连接OA，设⊙O的半径为r寸，则OA=r寸，OE=(r-1)寸，先根据垂径定理得到
AE=BE=5寸，再利用勾股定理得到52+(r-1) 2=r2，然后解方程求出r．本题考查了垂径定理的应用：
把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
【详解】连接OA，
设⊙O的半径为r寸，则OA=r寸，OE=(r-1)寸，
∵AB⊥DC,
1
∴AE=BE= AB=5寸，
2
在Rt△OAE中，52+(r-1) 2=r2，
解得r=13，
故选：D．
3．已知在⊙O中，半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10，则AB与CD的距离为（ ）．
A．7或17 B．7 C．7或12 D．12
【答案】A
【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分
两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当AB,CD在点O的两侧，作OM⊥AB于M，延长MO交CD于N，连接OA,OC，
AB∥CD，AB=24，CD=10，则ON⊥CD，
1 1
∴AM= AB=12,CN= CD=5
2 2
，
∴OM=❑√OA2-AM2=❑√132-122=5，ON=❑√OC2-CN2=❑√132-52=12，
∴MN=OM+ON=5+12=17，
∴此时弦AB与CD的距离为17；
当AB,CD在点O的同侧，作OQ⊥CD于Q，交AB于P，连接OA,OC，
1 1
同理，AP= AB=12,CQ= CD=5，
2 2
∴OP=❑√OA2-AP2=❑√132-122=5，OQ=❑√OC2-CQ2=❑√132-52=12，
∴PQ=OQ-OP=12-5=7，
∴此时弦AB与CD的距离为7，
∴弦AB与CD的距离为17或7．
故选：A．
4．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=24米，拱高CD=8米，则拱桥的半径为（ ）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理以及垂径定理的应用．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA．根据垂径定理和勾
股定理求解．
【详解】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，
设圆心是O，连接OA．
1
根据垂径定理，得AD= AB=12米，
2
设圆的半径是r米，根据勾股定理，
得r2=122+(r-8) 2，
解得r=13．
故选：C．
5．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案
和相关数据：
测量主
测量碗口的直径
题
测量工 一张矩形纸条和刻度尺
具
测量方 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于A，B，C，D四
案 点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度
实物图
及测量
示意图
测量说 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，AB为纸条下沿与碗口相交的线段，测量
明 时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动
测量数 AB=16cm，CD=12cm，纸条宽度14cm．
据请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．
【答案】直径为20cm
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先
过O点作OE⊥CD交CD于点E，延长EO交AB于点F．结合垂径定理得ED=6cm，FB=8cm，再
根据勾股定理列式CO2=62+x2,AO2=(14-x) 2+82，因为半径相等得62+x2=(14-x) 2+82，解得
x=8，即可作答．
【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置．
过O点作OE⊥CD交CD于点E，延长EO交AB于点F．连接AO,CO
由矩形纸条可得CD∥AB，
∵OE⊥CD
∴EF⊥AB，即E，O，F三点共线,
∵纸条宽度14cm．
∴EF=14cm
∵AB=16cm，CD=12cm，OE⊥CD，
1 1
∴EC=12× =6(cm)，FA= ×16=8(cm)
2 2
设OE=xcm，
则OF=(14-x)cm，
则CO2=62+x2,AO2=(14-x) 2+82
∵半径相等，
∴CO2=AO2
∴62+x2=(14-x) 2+82
解得x=8，
∴OD=❑√62+82=10(cm),答：碗口直径为20cm
题型三 点与圆上一点最值问题（共 4 小题）
1．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点
D， P为DC上的任意一点，若MN=26,AC=12,BD=5，则PA+PB的最小值为（ ）
A．15❑√2 B．17❑√2 C．17❑√3 D．15❑√3
【答案】B
【分析】连接OA、OB，根据AC⊥MN，BD⊥MN，用勾股定理计算得到OC、OD；延长BD与
⊙O相交于点G，推导得当点P在直线AG上时，PA+GP取最小值；过G作GH⊥AC于点H，经证
明四边形CDGH是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG的值，即可完成求解．
【详解】解：如图，连接OA、OB，
∵过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，
∴OB2=BD2+OD2=25+OD2，OA2=AC2+OC2=144+OC2，
∵MN=26，A、B是⊙O上的两点，
1
∴OA=OB= MN=13 ，
2
∴169=25+OD2，169=144+OC2，
∴OD=12，OC=5，
∴CD=OD+OC=17 ，
延长BD与⊙O相交于点G，
∵MN为⊙O的直径，BD⊥MN，
∴BP=GP，BD=GD=5，
∴PA+PB=PA+GP ，当点P在直线AG上时，PA+GP取最小值，且最小值=AG，
过G作GH⊥AC于点H，
又∵AC⊥MN,BD⊥MN，
∴CD∥GH，DG∥CH，∠DCH=90° ，
∴四边形CDGH是矩形，
∴GH=CD=17，CH=DG=5 ，
∴AH=AC+CH=17 ，
∴AG=❑√AH2+GH2=❑√172+172=17❑√2 ，
∴PA+PB的最小值是：17❑√2，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握
勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．
2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，2为半径作⊙A．若点E在⊙A上，点P在
BC上，则PE+PD的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】延长DC到点M，使得DC=CM，连接MA交⊙A于点O，交BC于点N，
当点E与点O重合，点P与点N重合时，PE+PD=NO+MN=MO=MA-OA此时取得最小值，利
用矩形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：延长DC到点M，使得DC=CM，连接MA交⊙A于点O，交BC于点N，
∵PE+PM≥ME，
∴当点E，P，M三点共线时，PE+PM取得最小值，此时为ME，
∵点E是⊙A上动点，
∴当E与点O重合时，ME最小，此时为MO，∴当点E与点O重合，点P与点N重合时，PE+PD=NO+MN=MO=MA-OA此时取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，2为半径作⊙A．
∴DM=2AB=8，AD=BC=6，∠ADC=90°，
∴MA=❑√AD2+DM2=10，
∴MO=MA-OA=8，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的性
质，勾股定理，圆的基本性质是解题的关键．
1
3．如图，抛物线y= x2-1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点，E
9
是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（ ）
3 5 3❑√2
A． B．2 C． D．
2 2 2【答案】B
【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角
1
形中位线性质可知OE= BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可.
2
1
【详解】∵y= x2-1，
9
1
∴当y=0时，0= x2-1，
9
解得：x=±3，
∴A点与B点坐标分别为：(-3，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC长度=❑√OB2+OC2=5，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
1
即：OE= BD，
2
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
1
∴OE= BD=2，
2
即OE的最小值为2，
故选：B.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
1
4．如图，抛物线y= x2-4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0,3)为圆心，❑√3为半径的圆上的动点，Q
4
是线段PA的中点，连结OQ、则线段OQ的最大值是（ ）
5-❑√3 5+❑√3 5+2❑√3
A． B．3 C． D．
2 2 2
【答案】C
【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中
1
点可知OQ= BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求
2
得OQ的最大值.
1
【详解】∵抛物线y= x2-4与x轴交于A、B两点
4
∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4.
在直角三角形COB中
BC=❑√OC2+OB2=❑√32+42=5∵Q是AP上的中点，O是AB的中点
1
∴OQ为△ABP中位线，即OQ= BP
2
又∵P在圆C上，且半径为❑√3，
∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大
此时BP=BC+CP=5+❑√3
1 5+❑√3
OQ= BP= .
2 2
故选：C.
【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的
点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况.
题型四 圆周角定理（共 6 小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，∠E=30°，则∠BOD=（ ）
A．80° B．100° C．120° D．110°
【答案】C
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆周角定理;利用圆周角定理求出
∠AOD可得结论．
【详解】解：∵∠AOD=2∠E，∠E=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOB=180°-60°=120°．
故选：C．
2．如图，AB 是⊙O的直径，A´C=B´D， 若∠ABC=30°，则∠COD的度数是（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，然后根据同弧所对圆
心角相等求出∠BOD的度数，然后根据平角定义即可求解
【详解】解∶∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵A´C=B´D，
∴∠BOD=∠AOC=60°，
∴∠COD=180°-∠BOD-∠AOC=60°，
故选∶D．
3．如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC=60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60° B．70° C．120° D．140°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
故选：C．
4．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是A´E的中点，连接AC，CE，BE，BD，BC，若∠A=62°，则
∠D的度数为（ ）
A．34° B．31° C．30° D．24°
【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接OC，先利用圆周角定理可得∠BOC=124°，再利用等腰三角形的性质可得
∠A=∠ACO=62°，从而可得∠AOC=56°，从而可得∠AOC=∠COE=56°，进而可得
∠BOE=68°，最后根据圆周角定理进行计算即可解答．
【详解】解：连接OC，
∵∠A=62°
，
∴∠BOC=2∠A=124°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=62°，
∴∠AOC=180°-∠A-∠ACO=56°，
⏜
∵C是 的中点，
AE
⏜ ⏜
∴AC=CE ，
∴∠AOC=∠COE=56°，
∴∠BOE=∠BOC-∠COE=68°，
1
∴∠D= ∠BOE=34°．
2
故选：A．
5．如图，A，B，C是⊙O上的点，∠ABC=20∘，OA∥BC，AB交OC于点D，则∠ADO的度数为
（ ）
A．40∘ B．60∘ C．100∘ D．120∘
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定理，关键是熟练掌握圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理．根据圆周角定理得出∠AOC=40°，平行线性质得出∠OAD=20°，结合三角形内角和定理即得．
【详解】解：∵∠ABC=20∘，OA∥BC，
∴∠OAD=∠ABC=20∘，
∵∠AOC=2∠ABC=40∘，
∴∠ADO=180∘-∠AOC-∠OAD=180∘-40∘-20∘=120∘．
故选：D．
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC，过点O作OD∥CB交
⊙O于点D，连接CD，AD．若∠CAB=40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【分析】由直径所对圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得∠ABC的度数，根据平行
线的性质，可得∠BOD的度数，从而可得∠AOD的度数，根据圆周角定理，即可得∠ACD的度数．
【详解】解：∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=90°-40°=50°，
∵OD∥CB，
∴∠BOD=50°，
∴∠AOD=180°-50°=130°，
1 1
∴∠ACD= ∠AOD=130°× =65°，
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的两个锐角互
余，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理．
题型五 圆内接四边形（共 4 小题）1．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠B=110°，则∠D的度数为（ ）
A．110° B．90° C．120° D．70°
【答案】D
【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角和为180∘．根据已知条件，通过
圆内接四边形对角互补即可计算出未知角的度数．
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D=180∘，
∵∠B=110∘，
∴∠D=180°-110°=70∘，
故选：D．
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，E 在⊙O上 ， 若∠BEC=25°，则
∠ADC的度数为（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
【答案】C
【分析】本题主要查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周
角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键．
根据AB是⊙O的直径，∠BEC=25°，可得∠ACB=90°,∠BAC=∠BEC=25°，从而得到
∠ABC=90°-∠BAC=65°，再根据圆内接四边形的性质，即可求解．
【详解】解：连接AC，如图
∵AB是⊙O的直径，∠BEC=25°，
∴∠ACB=90°,∠BAC=∠BEC=25°，∴∠ABC=90°-∠BAC=65°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=115°．
故选C．
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，点E是AB延长线上一点，若∠CBE=65°，则∠ADC的度数为
（ ）
A．115° B．130° C．50° D．65°
【答案】D
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补得到
∠ADC+∠ABC=180°，由∠ABC+∠CBE=180°，等量代换得到∠ADC=∠CBE，由此即
可求解．
【详解】解：根据题意，四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠ADC=∠CBE=65°，
故选：D ．
⏜ ⏜
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，
AB=BC
，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为
（ ）A．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】C
【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=110°，
⏜ ⏜
根据 AB=BC 得到∠ADB=∠BDC，即可得到∠BDC的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得
到∠ADC=110°解答．
【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°，
⏜ ⏜
∵ AB=BC ，
∴∠ADB=∠BDC，
∵∠ADC=∠BDC+∠ADB，
1
∴∠BDC= ∠ADC=55°．
2
故选：C．
题型六 点与圆的位置关系的判定（共 4 小题）
1．已知⊙O的半径为3，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
【答案】B
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心
的距离OP=d，则有 ①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔dr，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d5．
故选：D．
3．已知半径为5的⊙O的圆心为平面直角坐标系的原点O，则点P(3,4)和⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】B
【分析】先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点O与圆心的距离与半径的大小关系，来判断
出点P与⊙O的位置关系．
【详解】解：∵点P的坐标为(3,4)，
∴由勾股定理得，点P到圆心O的距离=❑√32+42=5，
∴点P在⊙O上，
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键.
4．若⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系．
本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键．
【详解】∵⊙O的直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm，
∵点A到圆心O的距离为4cm，
∴点A在⊙O上．
故选：B．
题型七 三角形的外接圆（共 3 小题）
1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂
直平分线的交点．
【详解】解：∵三角形的外心就是三角形外接圆圆心，
∴角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选： C．
2．如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为
（ ）
A．(1,-1) B．(1,0) C．(2,0) D．(2,1)
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形．
由网络可得出线段AB和BC的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标．
【详解】解：如图，作线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为(2,0)，
故选：C
3．如图，已知△ABC．(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O（保留作图的痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若⊙O的半径为5，点O到BC的距离为3，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识，
（1）作线段AB，AC的垂直平分线交点为O，点O即为△ABC的外接圆的圆心；
（2）作OE⊥BC于E.利用勾股定理求出BE，再利用垂径定理可得BE=EC，求出BC即可．
【详解】（1）解：如图，作线段AB，AC的垂直平分线交点为O，点O即为△ABC的外接圆的圆心；
（2）解：作OE⊥BC于E．
在Rt△OBE中，∵OB=5，OE=3，
∴BE=❑√OB2-OE2=❑√52-32=4，
∵OE⊥BC，
∴BE=EC=4，
∴BC=BE+EC=8．
题型八 直线与圆的位置关系的判定（共 3 小题）
1．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直线AB与⊙O的
位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
根据直线与圆的位置关系，直线和圆相交，dr（圆的
半径为r，圆心到直线的距离为d）求解．
【详解】解：由题意知，
∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，
∵点A到圆心O的距离OA=3cm，大于圆的半径2cm，
∴点A在圆⊙O的外部，
∵点B到圆心O的距离OB=2cm，等于圆的半径，
∴点B在圆⊙O上，
∵点A在圆外，点B在圆上，
∴直线AB会与圆O相交或相切．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将OP沿x轴正方向平移，
使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆
心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和
圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，
∴OP=3，
∵⊙P的半径为2，
∴AP=BP=2，
∴OA=1，OB=5，
∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，
当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，∴平移的距离为1或5，
故选：B．
3．如图，半径r=2❑√2的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，圆心M
的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
【答案】D
【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线
相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．
【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：
∵y=x+2
∴A(0,2)，B(-2,0)，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO=45°
∴AB=2❑√2
∵r=2❑√2
∴△ABM是等腰直角三角形，∠BAM=90°
∴⊙M与直线AB相切于点A
∵AO⊥BM
∴OB=OM=2
∴圆心M的坐标为(2,0)；②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作MC⊥AB于点C，如下图所示：
∵⊙M与直线AB相切，MC⊥AB
∴MC=r=2❑√2
根据直线AB的解析式：y=x+2可知∠ABO=∠MBC=45°
∴△BCM是等腰直角三角形
∴MB=❑√2MC=4
∵B(-2,0)
∴圆心M的坐标为(-6,0)，
综上所述：圆心M的坐标为(2,0)或(-6,0)，故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方
法并进行分类讨论是解决本题的关键．
题型九 切线判定与性质综合（共 4 小题）
1．如图，⊙O与△ABC的边AC相切于点D，与边AB交于点B，D为AC的中点，连接BD，AO⊥BD，
∠C=∠OAB．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若∠AOB=60°，CD=4，求△ABD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4❑√3
【分析】（1）根据切线的性质可得∠ODA=∠ODC=90°，然后利用三线合一得出
∠AOB=∠AOD，证明△AOB≌△AOD(SAS)，求出∠ODA=∠OBA=90°即可；
1
（2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出BD= AC=CD=AD=4，再根据垂径定理和勾股定理
2
求出AE，然后计算即可．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ODA=∠ODC=90°，∵OB=OD，AO⊥BD，
∴∠AOB=∠AOD，
又∵OA=OA，
∴△AOB≌△AOD(SAS)，
∴∠ODA=∠OBA=90°，即AB⊥OB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：如图，设OA与BD交于点E，
∵∠ABC=90°，D为AC的中点，
1
∴BD= AC=CD=AD=4，
2
∵AO⊥BD，
1
∴DE= BD=2，
2
∴AE=❑√AD2-DE2=❑√42-22=2❑√3，
1 1
∴S = BD⋅AE= ×4×2❑√3=4❑√3．
△ABD 2 2
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形
斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键．
2．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
(1)求证：AC是⊙O的切线．
(2)已知：∠BAC=120°，BC=12，求⊙O的半径是多少？
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径是3
【分析】（1）过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据等腰三角形“三线合一”的性质结
合角平分线的性质定理，得出OE=OD，即OE是⊙O的半径，即证AC是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可求出OB=6，∠B=30°，再根据含30度角的直角三角1
形的性质得出DO= OB=3，即得出答案．
2
【详解】（1）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵△ABC BC
为等腰三角形，O是底边 的中点，
∴AO是∠BAC的平分线．
∵AB与O相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，AO⊥BC，OB=6，
1
∴∠BAO=∠CAO= ∠BAC=60°．
2
∴∠B=30°．
∵OD⊥AB，
1
∴DO= OB=3，
2
∴⊙O的半径是DO=3．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质和判定，角平分线的性质定理，含30度角的直角三
角形的性质，连接常用辅助线是解题关键．
3．如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP=∠OBC．
(1)求证：PC与⊙O相切；
(2)若PA=4，PC=BC，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)4【分析】（1）连接OC，AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，则∠OCP=90°，即可证明PC与
⊙O相切；
（2）由PC=BC，得∠P=∠B，则∠ACP=∠P，所以CA=PA=4，再根据等角的余角相等证
明∠ACO=∠AOC，则CA=OA=OC=4．
【详解】（1）连接OC，则OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACP=∠OBC，
∴∠ACP=∠OCB，
∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=∠OCA+∠OCB=∠ACB=90°，
∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，
∴PC与⊙O相切．
（2）∵PC=BC，
∴∠P=∠B，
∵∠ACP=∠B，
∴∠ACP=∠P，
∴CA=PA=4，
∵∠OCP=90°，
∴∠ACO+∠ACP=90°，∠AOC+∠P=90°，
∴∠ACO=∠AOC，
∴CA=OA=OC=4．
【点睛】此题考查了圆的切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等角的余角相等等知识，正
确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA
的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA=∠CBD．(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC=2❑√2BO，PB=12，直接写出半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接OC，根据角平分线求得∠ABC=∠CBD，由等边对等角可得
∠PCA=∠OCB，由AB是直径和等量代换可得∠PCO=90°，即可得证；
（2）连接OC，设OB=OC=r，证明OP=3r，可得4r=12，推出r=3，即可求解．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∵∠PCA=∠CBD，
∴∠PCA=∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，∴PC是OO的切线；
（2）解：连接OC，如图，
设 OB=OC=r，
∵PC=2❑√2OB，
∴PC=2❑√2r，
∴OP=❑√OC2+PC2=❑√r2+(2❑√2r) 2=3r，
∵PB=12，
∴4r=12，
∴r=3，
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造平行线解决问题．
题型十 三角形的内切圆 ( 共 3 题）
1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（ ）
❑√3 ❑√3 ❑√3
A． a B． a C． a D．❑√3
6 3 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线
的判定定理，等边三角形的性质，设等边△ABC的内切圆圆心为O，⊙O与AB，BC分别相切于
D、E，连接OB，OC，OD，OE，由切线的性质可得OD⊥AB，OE⊥BC，再由OD=OE可1
得OB平分∠ABC，则∠OBC= ∠ABC=30°，同理可得∠OCB=30°，则可证明OB=OC，
2
1 1
可得BE= BC=❑√3OE= a，据此可得答案．
2 2
【详解】解：如图所示，设等边△ABC的内切圆圆心为O，⊙O与AB，BC分别相切于D、E，连
接OB，OC，OD，OE，
由切线的性质可得OD⊥AB，OE⊥BC，
∵OD=OE，
∴OB平分∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
1
∴∠OBC= ∠ABC=30°，
2
同理可得∠OCB=30°，
∴∠OCB=∠OBC，
∴OB=OC，
1 1
∴BE= BC= a，
2 2
在Rt△OBE中，OB=2OE，
1
∴BE=❑√OB2-OE2=❑√3OE= a，
2
❑√3
∴OE= a，
6
❑√3
∴边长为a的正三角形的内切圆半径是 a，
6
故选：A．
2．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD=2，△ABC的周长
为14，则BC的长为 ．【答案】5
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据
切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，由△ABC的周长为14，可求BC的长．
【详解】解：∵⊙O与A B，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF=14，
∴2(BE+CE)=10，
∴BC=5．
故答案为：5．
3．如图所示的是周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O
相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE．若AC=4cm，则三角形纸片BDE的周长为 cm．
【答案】7
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型.
设三角形ABC与⊙O相切于M,N,F，DE与⊙O相切于G，根据切线长定理和三角形的周长公式即
可得到结论．
【详解】解：设三角形ABC与⊙O相切于点M,N,F，DE与⊙O相切于点G．
由题意，得AM=AF,CN=CF,BM=BN,DM=DG,EG=EN．∵ ABC 15cm AC=4cm
三角形纸片 的周长为 ， ，
∴AB+AC+BC=15cm,AM+CN=AF+CF=AC=4cm,∴AB+BC=11cm，
∴三角形纸片BDE的周长=DB+DE+BE=BD+DG+GE+BE=BM+BN=AB+BC-AC=7cm．
故答案为：7．
题型十一 正多边形与圆的综合（共 5 题 )
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，则A´B的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】A
【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形ABCD内接于⊙O即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
1
∴A´B的度数= ×360°=90°，
4
故选：A．
2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，连接OA、OB，
则∠AOB=（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理．连接OA、OB，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，即可得出答
案．【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA、OB，
∵A´B=A´B，
∴∠AOB=2∠ADB=36°．
故选：B．
3．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴
正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转90°，那么经过2025次旋转后，
顶点D的坐标为（ ）
(❑√3 3) ( 3 ) ( 3) ( 3)
A． , B． - ,-❑√3 C． ❑√3,- D． -❑√3,
2 2 2 2 2
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据正六边形的性质
及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶
点D的坐标即可．
【详解】解：边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，连接AD，BD，如图，∴AB=BC=CD=AF=1，∠FAB=∠ABC=∠BCD=120°，
1
∴∠CBD= (180°-∠BCD)=30°，∠OAF=180°-∠FAB=60°，
2
1
∠BAD=∠FAD= ∠FAB=60°，
2
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=90°，
∴∠ADB=30°，
∴AD=2AB=2，
由Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=❑√AD2-AB2=❑√3，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
1 1
∴OA= AF= ，
2 2
3
∴OA+AB= ，
2
(3 )
∴点D的坐标为 ,❑√3 ，
2
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2025÷4=506⋯1，
∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的D 的坐标相同，
1
∵过点D 作D P⊥x轴于P，
1 1
∴∠POD +∠PD O=90°，
1 1
由旋转可知∠POD +∠DOB=90°，OD =OD，
1 1
∴∠DOB=∠PD O，
1∴△OBD≌△D PO(AAS)，
1
3
∴D P=OB= ，OP=BD=❑√3，
1 2
∵点D 在第二象限，
1
( 3)
∴点D 的坐标为 -❑√3, ，
1 2
( 3)
∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为 -❑√3, ，
2
故选：D．
4．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ）
A．❑√3 B．6 C．24❑√3 D．12❑√3
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形，
先画出图形，可知∠AOB=60°,OA=OB，再作OG⊥AB，即可求出AG=BG=2,AO=2AG=4，
然后根据勾股定理求出OG=2❑√3，进而求出答案.
1
【详解】解：设正六边形的中心O，一边是AB，则∠AOB= ×360°=60°,OA=OB，作
6
OG⊥AB于点G，
可知△ABO是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成.
如图，在Rt△AOG中，AB=4,∠AOG=30°，
∴AG=BG=2,AO=2AG=4，
∴OG=❑√OA2-AG2=2❑√3，1
所以这个正六边形的面积= ×4×2❑√3×6=24❑√3.
2
故选：C.
5．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中
间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六
边形ABCDEF的周长约120mm，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 mm．
【答案】20
【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接CF与AD交于点O，证明
1
△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD= AD即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半
2
径与边长的关系是解题的关键．
【详解】解：如图，连接CF与AD交于点O，
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠COD=360°÷6=60°，CO=DO，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO，
∵正六边形ABCDEF的周长约为120mm，
∴CD=120÷6=20(mm)，
∴CD=CO=20mm，
∴该正六边形的外接圆半径长为20mm，
故答案为：20．题型十二 弧长的计算（共 3 题）
1．如图，将△OAB绕着点O顺时针旋转60°后得到△OA'B'，若OB=5，则B ´ B'的长度为（ ）
10π 5π 25π 5π
A． B． C． D．
3 3 6 6
【答案】B
【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可．
60×π×5❑ 5π
【详解】解：
B
⌢ B'的长度= = ．
180 3
故选：B．
2．动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它既方便又省力.如图，用一个直径为12的动滑轮带动重物上升，
滑轮上一点P绕滑轮中心旋转了45°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了
（ ）
9 3 9
A． π B． π C． π D．3π
2 4 4
【答案】B
【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
先根据弧长公式计算出点P绕滑轮中心旋转了45°的路径，即半径为12厘米圆心角为45°的弧长，然
后根据动滑轮省一半的力，则重物上升的高度为弧长的一半，计算即可．
45 1 3
【详解】解：点P的路径长为 π×12× = π（厘米），
180 2 21 3 3
∴重物上升的高度为 × π= π（厘米）．
2 2 4
故选：B．
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若OA=1，则A´B的长为（ ）
2π π
A． B． C．π D．2π
5 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了正多边形和圆、弧长公式．连接OB，根据正五边形ABCDE内接于⊙O，
可以求出∠AOB=72°，根据弧长公式即可求出A´B的长度．
【详解】解：连接OB，
∵ ABCDE ⊙O
正五边形 内接于 ，
1
∴∠AOB=360°× =72°，
5
72π×1 2π
∴ A´B的长= = ，
180 5
故选：A．
题型十三 扇形面积的计算（共 3 题）
1．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为（ ）8 2 8 2
A． π B． π C． D．
9 9 9 9
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，熟练掌握圆周角定理和扇形面积公式是解题的关键．先
利用圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=80°，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵∠ACB=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
nπr2 80π×22 8π
∴S = = = ，
阴影 360 360 9
故选：A．
5π
2．一把折扇打开后，如图，小扇形OAB的半径为2cm，弧长为 cm，大扇形OCD的半径为26cm，扇
3
面的宽度CE为12cm，则扇面的面积（阴影部分）是 cm2（结果保留π）．
【答案】200π
5π
【分析】本题考查了求扇形面积，弧长的计算，先根据小扇形OAB的半径为2cm，弧长为 cm，求
3
出∠BOA的度数，根据S =S -S 列式代入数值进行计算，即可作答．
阴影 扇形ODC 扇形OFE
【详解】解：设∠BOA=n°，
5π nπ×2
根据题意可列方程为： = ，
3 180
解得：n=150，
则∠FOE=∠BOA=150°，
∵大扇形OCD的半径为26cm，扇面的宽度CE为12cm，∴OF=26-12=14(cm)，
则S =S -S
阴影 扇形ODC 扇形OFE
150π×262 150π×142
= -
360 360
=200π(cm2)．
故答案为：200π．
3．如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约66cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分
（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中∠DAB=115°，
∠ABC=125°，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ）
A．363πcm2 B．1452πcm2
C．726πcm2 D．2904πcm2
【答案】A
【分析】本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．求出
圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD中∠DAB=115°，∠ABC=125°，AB∥CD，
∴∠ADC=65°，∠BCD=55°，
∵车轮的直径为26英寸，约66cm，
66cm
∴车轮的半径约 =33cm，
2
65×π×332 55×π×332
∴需要的铁皮面积约是 + =363πcm2，
360 360
故选：A
题型十四 圆锥的侧面积（共 3 题）
1．将一个底面半径为6cm的圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长是（ ）
A．6πcm B．12πcm C．6cm D．12cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的弧长，圆锥底面圆周长是其侧面展开图得到的扇形弧长，据此可得答案．
【详解】解：2π×6=12πcm，
∴这个扇形的弧长是12πcm，
故选：B．
2．将一个母线长为6cm的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为150°，则扇形的面积
为 cm2．
【答案】15π
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆锥
的侧面展开图可得扇形的半径为6cm，再利用扇形的面积公式计算即可得．
【详解】解：∵将一个母线长为6cm的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，
∴这个扇形的半径为6cm，
又∵扇形的圆心角为150°，
150π×62
∴扇形的面积为 =15π(cm2)，
360
故答案为：15π．
3．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形
的圆心角等于90°，则扇形的半径是 ．
【答案】4
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，列式解答即可．
本题考查了弧长公式，扇形与圆锥的关系，熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键．
90·πr
【详解】解：设扇形的半径是r，则 =2π×1，
180
解得r=4，
∴扇形的半径是4．
故答案为：4．
题型十五 不规则图形的阴影面积（共 3 题）
1．如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若A´B与C´D所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
3
A．π B．2π C． π-2 D．2π-2
2
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质，
根据阴影部分的面积S=(S -S )+(S -S )解答即可.
扇形COE 扇形FOB 扇形EOD △OBD
【详解】解：∵AC=AO=2,∠CAO=90°，
∴∠AOC=∠ACO=45°，
同理：∠BCO=∠COB=∠BOD=45°,OB=BC=BD=2.
根据勾股定理，得OC=❑√22+2 2 ❑=2❑√2.
❑
阴影部分的面积S=(S -S )+(S -S )
扇形COE 扇形FOB 扇形EOD △OBD
45π×(2❑√2) 2 45π×22 45π×(2❑√2) 2 1
=[ - ]+[ - ×2×2]
360 360 360 2
π
=π- +π-2
2
3
= π-2.
2
故选：C.
2．如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，AE，以点D为圆心，CD的长为半径作C´E，若AB=1，
则图中阴影部分的面积是（ ）π 2π ❑√3 π ❑√3 2π
A．❑√3- B．❑√3- C． - D． -
3 3 2 3 2 3
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正六边形的性质、扇形面积公式是解题的
关键．连接AD，根据正六边形的性质求出CD、∠ACD、∠CDA，根据正切的定义求出AC，根
据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接AD，
∵六边形ABCDEF为正六边形，AB=1，
1
∴∠B=∠BCD=∠CDE=120°，BC=CD=DE=AB=1，∠CDA=∠EDA= ∠CDE=60°
2
180°-∠B
∴∠BCA=∠BAC= =30°，
2
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=90°，
∴AD=2CD=2，AC=❑√AD2-CD2=❑√3，
1 120π×12 π
则S =2S -S =2× ×1×❑√3- =❑√3- ，
阴影部分 △ACD 扇形CDE 2 360 3
故选：A．
3．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以点C为圆心，
4为半径作圆弧B´D，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧B´O，O´D，则图中阴影部分的面积为
（ ）A．4π-4 B．4π-8 C．4π-12 D．16-4π
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规
则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键．根据正方形的性质可得弓形OB与弓形OD相等，
由S =S -S ，即可求解．
阴影部分 扇形CBD △CBD
【详解】解：如图，连接BD、EF，E、O、F三点共线，
∵四边形ABCD是正方形，点E，F分别为BC，AD的中点，
1
∴AF=DF=BE=CE= ×4=2，AD∥BC，
2
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
¿
∴△DFO≌△BEO(AAS)，
∴OB=OD，OE=OF，∠DFO=∠BEO，
⌢ ⌢
∴ OB=OD，
则弓形OB与弓形OD相等，
1 1
S =S -S = π×42- ×4×4=4π-8．
阴影部分 扇形CBD △CBD 4 2
故选：B．
题型十六 圆锥侧面最短路径问题（共 2 题）1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬
过的最短距离．
【答案】（1）90°；（2）4❑√2
【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求
解；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解．
nπ×4
【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝ ，解得n＝90°；
180
（2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°．
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4÷❑√2=2❑√2，
∴AC＝2AD＝4❑√2，
即这只蚂蚁爬过的最短距离4❑√2．
【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键．
2．综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制
作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点
A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
【答案】8❑√5 cm
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的
关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°，进而根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵AB=8 cm，
∴r=4 cm．
1 nπl2
∵ ×2πr×l= ，
2 360
360r 360×4
∴n= = =180．
l 8
∴将圆锥侧面展开后得到圆心角为180∘的扇形，如下图所示：1
由图可知，∠A'PC= ×180∘=90∘
．
2
∵PA'=PB=8 cm，
1
∴PC= PB=4 cm．
2
在Rt△A'PC中，由勾股定理，得A'C= ❑√PA'2+PC2=❑√82+42=4❑√5( cm)．
∴彩带长度的最小值为2A'C=8❑√5 cm．
