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专题 04 压轴题专训（第 21-24 章）
一．解答题
1．（2025春•杭州校级期中）定义：两根都为整数的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程，
4ac−b2
代数式 的值为该“全整根方程”的“最值码”，用 Q（a，b，c）表示，即
4a
4ac−b2
Q(a，b，c)= ，若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，
4a
其“最值码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程
ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”．
1
（1）“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是 − ．
4
（2）若（1）中的方程是关于x的一元二次方程x2+qx﹣2＝0的“全整根伴侣方程”，求q的值．
（3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的
“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值．
1
【答案】（1）− ；
4
（2）q＝±1；
（3）2．
4ac−b2
【解答】解：（1）由条件可知Q(a，b，c)= ，
4a
4×1×2−(−3) 2
= ，
4×1
1
=− ，
4
1
∴“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是− ．
4
1
故答案为：− ．
4
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0是关于x的一元二次方程x2+qx﹣2＝0的“全整根伴侣方
程”，
∴Q（1，﹣3，2）﹣Q（1，q，﹣2）＝2，
1
4×1×(−2)−q2
∴− − =2，
4 4×1解得q＝±1；
（3）对于方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0，a＝1，b＝1﹣m，c＝m﹣2，
4ac−b2
Q(a，b，c)= ，
4a
4(m−2)−(1−m) 2
= ，
4
4m−8−1+2m−m2
= ，
4
−m2+6m−9
= ．
4
对于方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0，p＝1，q＝n﹣1，r＝﹣n，
−4n−(n−1) 2
Q(p，q，r)= ，
4
−4n−n2+2n−1
= ，
4
−n2−2n−1
= ．
4
由条件可知Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c，
−m2+6m−9 −n2−2n−1
∴ − =m−2，
4 4
∴﹣m2+6m﹣9+（n+1）2＝4m﹣8，
∴﹣m2+6m﹣9+（n+1）2﹣4m+8＝0，
∴﹣m2+2m﹣1+（n+1）2＝0，
∴﹣（m﹣1）2+（n+1）2＝0，
∴（n+1+m﹣1）（n+1﹣m+1）＝0，
∴（m+n）（n﹣m+2）＝0，
∴m+n＝0或n﹣m+2＝0．
∵m、n均为正整数，
∴m+n＝0不符合题意，
∴n﹣m+2＝0，
∴m﹣n＝2，
故m﹣n的值为2．
2．（2025春•张店区校级期中）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方
形硬纸板做收纳盒．【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折
成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一
个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少厘米？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2．
①该收纳盒的高是多少厘米？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
【答案】（1）剪去的小正方形的边长为10cm；
（2）①收纳盒的高为12厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
（100﹣2x）（40﹣2x）＝1600，
解得：x ＝10，x ＝60（不符合题意，舍去），
1 2
答：剪去的小正方形的边长为10cm
（2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为 a厘米，则收纳盒
100−2a
底面的长为 =50−a（厘米），宽为（40﹣2a）厘米，
2
∴（50﹣a）（40﹣2a）＝608，
解得：a＝12，a ＝58＞50（不符合题意，舍去），
2
∴收纳盒的高为12厘米，
②∵12＜15，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
3．（2025春•鹿城区校级期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如表：
包装规格 A B含量（千克/袋） 2 1
成本（元/袋） 10 5
售价（元/袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升A包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．
一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下
调了B包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．
根据以上信息解决问题：
设A包装洗衣粉每袋售价提高x元（x＞0）．
（1）问该厂家每日销售A包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出A包装洗衣粉的售价；若
不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设B包装洗衣粉每袋售价降低y元（y＞0）．
①求y关于x的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
【答案】（1）能，A包装洗衣粉的售价为30或35元；
（2）①y＝2x﹣5；
②厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润不能达到1450元，理由见解答．
【解答】解：（1）能，根据题意得：（25+x﹣10）（60﹣2x）＝1000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x ＝5，x ＝10，
1 2
∴25+x＝25+5＝30或25+x＝25+10＝35，
∴该厂家每日销售A包装洗衣粉的利润能达到1000元，A包装洗衣粉的售价为30或35元；
（2）①根据题意得：2（60﹣2x）+40+2y＝150，
化简得：y＝2x﹣5；
②厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润不能达到1450元，理由如下：
假设厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能达到1450元，
根据题意得：（25+x﹣10）（60﹣2x）+（17﹣y﹣5）（40+2y）＝1450，
即（25+x﹣10）（60﹣2x）+[17﹣（2x﹣5）﹣5][40+2（2x﹣5）]＝1450，
整理得：5x2﹣19x+20＝0，
∵Δ＝192﹣4×5×20＝﹣39＜0，
∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润不能达到1450元．
4．（2025春•藤县期中）由两个全等的Rt△ABE和Rt△ECD构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角
形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m，❑√2q，n为二次项系数、一次项系数和常数项构造
的一元二次方程mx2+❑√2qx+n＝0，称为勾股方程．
（1）直接写出一个勾股方程．
m
（2）若勾股方程mx2+❑√2qx+n＝0有两个相等的实数根，求 的值．
q
（3）若x＝﹣1是勾股方程mx2+❑√2qx+n＝0的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的
面积．
❑√2
【答案】（1）3x2+5❑√2x+4＝0是勾股方程（答案不唯一）；（2） ；（3）2．
2
【解答】解：（1）设m＝3，n＝4，
则q＝5，
∴3x2+5❑√2x+4＝0是勾股方程；
（2）∵勾股方程mx2+❑√2qx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝2q2﹣4mn＝0，
∴q2＝2mn，
∵q2＝m2+n2，
∴m2+n2＝2mn，
∴m﹣n＝0，
∴m＝n，
∴q=❑√2m，
m ❑√2
∴ = ；
q 2
（3）∵x＝﹣1是勾股方程mx2+❑√2qx+n＝0的一个根，
∴m−❑√2q+n＝0，
∴❑√2q＝m+n，∵四边形ABCD的周长是6，
∴2m+2n+❑√2q＝6，
∴q=❑√2，
∵q2＝m2+n2，
∴m2+n2＝2，m+n＝2，
∴mn＝1，
1
∴四边形ABCD的面积＝mn+ q2＝1+1＝2．
2
5．（2025春•藤县期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为 60元，当售价为100
元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量 y（双）与降低价
格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少
元？
（3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的40%的前提下，公司每天能否获得9000元的利润？若能，
求出定价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝10x+200；
（2）每双运动鞋的售价应该定为87元；
（3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的40%的前提下，公司每天能获得9000元的利润，定价为
90元．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由图可知，函数图象经过点（0，200）和（10，300），
{10k+b=300)
将其代入y＝kx+b得： ，
b=200{k=10
)
解得： ，
b=200
∴y与x的函数关系式为y＝10x+200；
（2）由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为（100﹣x）元，
根据题意得：（10x+200）（100﹣x﹣60）＝8910，
整理得：x2﹣20x+91＝0，
解得：x ＝7（不符合题意，舍去），x ＝13，
1 2
∴100﹣x＝100﹣13＝87，
答：每双运动鞋的售价应该定为87元；
（3）公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的40%，
∴100﹣60﹣x≥60×40%，
解得：x≤16，
根据题意得：（100﹣60﹣x）（10x+200）＝9000，
整理得：x2﹣20x+100＝0，
解得：x ＝x ＝10（符合题意），
1 2
∴100﹣x＝90，
答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的40%的前提下，公司每天能获得9000元的利润，定价为
90元．
6．（2025春•舟山期中）已知关于x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，若满足|x ﹣x |＝1，
1 2 1 2
则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）下列是“差根方程”的是 ① ；（填写序号）
①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0
（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值．
（3）已知△ABC是直角三角形，BC的长为❑√5，若△ABC的两边AB、AC的长是一个“差根方程”的
两个实数根，求出这个差根方程．
【答案】（1）①；
1
（2）a=± ；
2
（3）x2﹣3x+2＝0和x2﹣5x+6＝0．
【解答】解：（1）①x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，∴x ＝0，x ＝1，
1 2
∴|x ﹣x |＝1
1 2
∴该方程是差根方程；
②x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x ＝5，x ＝﹣1，
1 2
∴|x ﹣x |＝6，
1 2
∴该方程不是差根方程；
故答案为：①
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x ＝0，x ＝﹣2a，
1 2
∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
1
∴2a＝±1，a=± ；
2
（3）设AB＝x ，AC＝x
1 2
当BC为斜边时，AB2+AC2＝BC2，BC=❑√5，
∴x 2+x 2=(❑√5) 2=5，
1 2
∵|x ﹣x |＝1，
1 2
∴(x −x ) 2=x 2−2x x +x 2=1，
1 2 1 1 2 2
解得x x ＝2，
1 2
∴(x +x ) 2=x 2+2x x +x 2=4+5，
1 2 1 1 2 2
解得x +x ＝±3（﹣3舍去，边长不能为负），
1 2
c b
∵x x = ，x +x =− ，
1 2 a 1 2 a
∴方程为x2﹣3x+2＝0，
当AB为斜边，则AB2＝AC2+BC2，BC=❑√5，
∴x 2−x 2=(❑√5) 2=5，
1 2
∴（x +x ）（x ﹣x ）＝5
1 2 1 2∵|x ﹣x |＝1，
1 2
∴x ﹣x ＝±1，
1 2
当x ﹣x ＝1 时，x +x ＝5时，解得x ＝3，x 2由韦达定理可得方程为x2﹣5x+6＝0，
1 2 1 2 1 2
当x ﹣x ＝﹣1 时，x +x ＝﹣5（边长不能为负，舍去），
1 2 1 2
综上，这个差根方程为x2﹣3x+2＝0和x2﹣5x+6＝0．
7．（2025春•南岗区校级期中）已知：如图是用两个全等的Rt△ABE和Rt△DCE拼成的四边形ABCD（说
明：点E在边BC上，点A与点E对应），其中∠B＝∠C＝90°，设AB＝a，BE＝b，AE＝c．
（1）请利用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2；
（2）定义：利用满足（1）中的a、b、c，得到关于x的形如ax2+❑√2cx+b=0的一元二次方程称为
“勾系一元二次方程”．若关于x的方程x2+2mx+1＝0（m＞0）为“勾系一元二次方程”，求m的值；
（3）在（2）的定义中，若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+❑√2cx+b=0的一个根，且四边形
ABCD的周长是24，连接AC交DE于点F，求DF的长．
8
【答案】（1）证明见解析；（2）m＝1；（3） ❑√2．
3
【解答】（1）证明：由题意，∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AB＝EC＝a，BE＝CD＝b．
1 1 a2+2ab+b2
∴S梯形ABCD =
2
（AB+CD）•BC =
2
（a+b）（a+b）=
2
．
1 1
又∵S梯形ABCD ＝S
△ABE
+S
△AED
+S
△ECD
，且S
△ABE
＝S
△ECD
=
2
ab，S
△AED
=
2
c2，
a2+2ab+b2 1 1 2ab+c2
∴ =2× ab+ c2= ．
2 2 2 2
∴a2+b2＝c2．
（2）解：由题意，∵ax2+❑√2cx+b=0为“勾系一元二次方程”，且x2+2mx+1＝0（m＞0）为“勾系
一元二次方程”，
∴x2+❑√2×❑√2mx+1＝0．
∴a＝1，b＝1，c=❑√2m．又∵a2+b2＝c2，
∴1+1＝2m2．
∴m＝﹣1或m＝1．
又∵m＞0，
∴m＝1．
（3）解：由题意，∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+❑√2cx+b=0的一个根，
∴a−❑√2c+b＝0①．
又∵四边形ABCD的周长是24，
∴2a+2b+❑√2c＝24②．
①+②得，3a+3b＝24，
∴a+b＝8．
∴❑√2c＝8．
∴c＝4❑√2．
如图所示，
∴BC＝a+b＝8，AD=❑√2c＝8．
∴BC＝AD．
∵BC⊥CD，
∴AD⊥CD．
∴BC∥AD．
又∵AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
∴a＝b＝4．
∴E是BC的中点．AD DF
∴如图可得， = = 2．
EC EF
∴DF＝2EF．
2
∴DF= DE．
3
又∵DE=❑√2DC＝4❑√2，
2 8
∴DF= ×4❑√2= ❑√2．
3 3
8．（2025春•庐阳区校级期中）如图①，直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长
为c，利用图①可以拼出图②和图③．
（1）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图②所示的“赵
爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．根据图形，我们可以
得到等式： （ b ﹣ a ） 2 + 4 a b ＝ c 2 ， c 2 ﹣ （ a ﹣ b ） 2 ＝ 2 a b ， c 2 ﹣ 2 a b ＝（ a ﹣ b ） 2 ．
（2）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形EFGH，正方形
MNKT的面积分别为S ，S ，S ，已知S +S +S ＝123．
1 2 3 1 2 3
①求出S 的值；
2
1
②求证：关于x的方程x2−❑√S x+ (S −S )=0必有两个不相等的实根；
1 2 2 3
③若第②问中的方程有一根是4，求出方程的另一个根．
【答案】（1）c2＝2ab+（a﹣b）2，c2﹣（a﹣b）2＝2ab，c2﹣2ab＝（a﹣b）2；（2）①41；②见解析；③5．
【解答】（1）解：根据题意得：大正方形的面积为c2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每一个三角形的
1
面积为 ab，
2
1
∴图2得到的等式为：c2=4× ab+(a−b) 2 ，即c2＝2ab+（a﹣b）2，或c2﹣（a﹣b）2＝2ab，或c2﹣
2
2ab＝（a﹣b）2．
故答案为：c2＝2ab+（a﹣b）2，c2﹣（a﹣b）2＝2ab，c2﹣2ab＝（a﹣b）2．
（2）①解：设直角三角形的长直角边为x，短直角边为y，则S =(x+ y) 2，S =x2+ y2，S =(x−y) 2，
1 2 3
S +S +S ＝123，
1 2 3
∴（x+y）2+x2+y2+（x﹣y）2＝123．
∴S =x2+ y2=41；
2
②证明：∵S +S +S ＝123，S2＝41，
1 2 3
∴S +S ＝82＝2S ．
1 3 2
1
∴Δ=(−❑√S ) 2−4× (S −S )
1 2 2 3
＝S ﹣2（S ﹣S ）
1 2 3
＝S +S +S ﹣2S
1 3 3 2
＝S ，
3
∴S ＞0．
3
∴△＞0．
1
∴方程x2−❑√S x+ （S ﹣S ）＝0必有两个不相等的实根；
1 2 2 3
1 1
③解：把x＝4代入x2−❑√S x+ （S ﹣S ）＝0，得16﹣4❑√S + （S ﹣S ）＝0，
1 2 2 3 1 2 2 3
又S +S ＝82，S ＝41，
1 3 2
1
∴16−4❑√S + [41−(82−S )]=0．
1 2 1
∴S2−82S +81=0．
1 1
∴S ＝81或S ＝1（舍去）．
1 1∴S ＝82﹣S ＝1．
2 1
∴原方程为x2﹣9x+20＝0．
∴x＝4或x＝5．
∴方程的另一个根是5．
9．（2025春•宜昌期中）阅读下列材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的
方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．配方法可以解
决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式x2+2x﹣4有最小（或最大）值？
x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5
＝（x+1）2﹣5
∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2﹣5≥﹣5
∴当x＝﹣1时，代数式x2+2x﹣4有最小值﹣5．
【直接应用】
（1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式x2﹣4x+5有最小（或最大）值；
【类比应用】
（2）已知M＝a2﹣a，N＝a﹣2（a为任意实数），判断M与N的大小关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．
①请直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）当x＝2时，代数式x2﹣4x+5有最小值1；
（2）M＞N，理由见解析；
（3）①y＝﹣2x+40（8≤x＜20）；
②当x＝10时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米．
【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，
∴当x＝2时，代数式x2﹣4x+5有最小值1；
（2）M＞N，理由如下：
∵N＝a﹣2，M＝a2﹣a，
∴M﹣N＝a2﹣a﹣（a﹣2）＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1＞0，
∴M＞N；
（3）①根据题意可得，2x+y＝40，
∴y＝﹣2x+40，
∴0＜﹣2x+40≤24，
∴8≤x＜20，
∴y＝﹣2x+40（8≤x＜20）；
②设鸡场的面积为S平方米，则
S＝（﹣2x+40）•x
＝﹣2（x﹣10）2+200，
∴当x＝10时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米．
10．（2025春•招远市期中）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，
方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想
了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现
场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为OH＝1.6m，把绿化带截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点
在x轴上，测得其水平宽度DE＝2m，竖直高度EF＝1m，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用
线段OD的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图
象，分别为y ，y ．上边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，求上边
1 2 1缘抛物线y 的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程OC；
1
②下边缘抛物线y 可以看作由上边缘抛物线y 向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘
2 1
抛物线y 与x轴的正半轴交点B的坐标；
2
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区
域内），利用上述信息直接写出OD的取值范围．
【答案】（1）①洒水车喷出水的最大射程OC为（2+2❑√5）m；
②点B坐标为（2❑√5−2，0）；
（2）OD的取值范围为2❑√5−2≤OD≤❑√10．
【解答】解：（1）①根据题意得，上边缘抛物线y 的最高点A的坐标为（2，2），且经过点H（0，
1
1.6），
设上边缘抛物线y 的解析式为y =a(x−2) 2+2，（a≠0），
1 1
∴4a+2＝1.6，
解得a＝﹣0.1，
∴上边缘抛物线y 的函数解析式为y =−0.1(x−2) 2+2，
1 1
令y ＝0得：﹣0.1（x﹣2）2+2＝0，
1
解得：x =2+2❑√5，x =2−2❑√5，
1 2
∴点C坐标为（2+2❑√5，0），
∴洒水车喷出水的最大射程OC为（2+2❑√5）m；
②令y ＝1.6得：﹣0.1（x﹣2）2+2＝1.6，
1
解得：x ＝0，x ＝4，
1 2
∴根据题意可得，上边缘抛物线y 向左平移4个单位得到下边缘抛物线y ，
1 2
∴上边缘抛物线y 与x轴交点C向左平移4个单位到下边缘抛物线y 与x轴的正半轴交点B处，
1 2
∴点B坐标为（2❑√5−2，0）；
（2）由题意可得，当点D与B重合时，OD最小，最小值为2❑√5−2，
∵OD＝OE﹣DE，DE＝2m，
当点F在抛物线y 上时，OE最大，
1
∵矩形DEFG的竖直高度EF＝1m，
∴令y ＝1得：﹣0.1（x﹣2）2+2＝1，
1解得：x =2+❑√10，x =2−❑√10，
1 2
∴OE最大值为2+❑√10，
∴OD最大值为❑√10，
∴OD的取值范围为2❑√5−2≤OD≤❑√10．
11．（2025春•大足区期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B
两点，与y轴交于C点，连接BC．其中点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，点N为y轴上的一个动点，过点P作PH∥y轴交BC于
点H．当PH的长度最大时，求出此时点P的坐标及BN+PN的最小值；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接AC，将该抛物线沿射线CA方向平移❑√10个单位得新抛物线y′，
点E为新抛物线y'上的一个动点，连接PE交线段BC于点F，且满足∠BFP+∠ACO+∠ABC＝180°，请
直接写出符合条件的点E的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
3 15 3❑√61
（2）( ，− )， ；
2 4 4
1 3 7 45
（3）( ，− )或(− ， )．
2 4 2 4
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
b
∴− =1，
2a
∴b＝﹣2a，
把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3＝ax2﹣2ax﹣3中得a+2a﹣3＝0，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝x2﹣2x﹣3中，当y＝x2﹣2x﹣3＝0时，
解得x＝﹣1或x＝3，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴B（3，0），C（0，﹣3）；
设直线BC解析式为y＝kx+b'，
{3k+b′=0)
∴ ，
b′=−3
∴直线BC解析式为y＝x﹣3；
设P（p，p2﹣2p﹣3），则H（p，p﹣3），
3 9
∴PH=p−3−(p2−2p−3)=−p2+3p=−(p−
)
2+
，
2 4
3 3
∴当p− =0，即p= 时，PH的长度最大，
2 2
15
∴p2−2p−3=−
，
4
3 15
∴此时点P的坐标为( ，− )，
2 4
如图所示，作点B关于y轴的对称点T，连接TN，TP，则T（﹣3，0），
∴TN＝BN，
∴BN+PN＝TN+PN，
∴当P、T、N三点共线时，TN+PN有最小值，即此时BN+PN有最小值，最小值为TP的长，
√ 3 15 3❑√61
∴TP=❑(−3− ) 2+[0−(− )] 2= ，
2 4 4
3❑√61
∴BN+PN的最小值为 ；
4
（3）∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，∴AC=❑√OA2+OC2=❑√10，
∴将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿射线CA方向平移❑√10个单位得新抛物线y，相当于将抛物线y＝x2﹣2x﹣3
向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到新抛物线y'，
∴新抛物线解析式为y'＝（x+1）2﹣2（x+1）﹣3+3＝x2﹣1；
如图所示，过点F作FH⊥x轴于H，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°，
∴∠BFH＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵∠BFP+∠ACO+∠ABC＝180°，∠BFP+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠ACO+45°，
∴∠EFB﹣45°＝∠ACO，
∴∠EFB﹣∠BFH＝∠ACO，
∴∠EFH＝∠ACO，
∵HF⊥x轴，即HF∥OC，
∴PE∥AC，
同理可得直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，
∴可设直线PE解析式为y＝﹣3x+b''，
15 3
∴− =−3× +b″，
4 2
3
∴b″= ，
4
3
∴直线PE解析式为y=−3x+ ，
41 7
{ y=−3x+ 3 ) { x= 2 ) {x=− 2 )
联立 4 ，解得 或 ，
3 45
y=x2−1 y=− y=
4 4
1 3 7 45
∴点E的坐标为( ，− )或(− ， )．
2 4 2 4
12．（2025春•江北区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A
（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上第一象限内的点，连接AC，CP，BP，当四边形ACPB的面积为18时，求此时点
P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接BC，过点P作PD⊥x轴于点D，交CB于点E，将直线CP沿射
线CB方向平移，使得新直线经过点E．点M为新直线上的一个动点，当∠EBM+∠BPE＝∠CPE时，直
接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）P（2，6）；
（3）M点坐标为（3，3）或（1，1）．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴y＝a（x+1）（x﹣4），
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
将C点代入，﹣4a＝4，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+3x+4；（2）连接BC，过点P作PQ∥y轴交于Q，
设直线BC的解析式为y＝kx+4，
∴4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t2+3t+4），则Q（t，﹣t+4），
∴PQ＝﹣t2+3t+4+t﹣3＝﹣t2+4t，
1 1
∴四边形ACPB的面积＝△ABC的面积+△BCP的面积= ×4×5+ ×4（﹣t2+4t）＝10﹣2t2+8t＝18，
2 2
解得t＝2，
∴P（2，6）；
（3）∵P（2，6），
∴E（2，2），D（2，0），
∴BD＝2，PD＝6，ED＝2，
过点C作CF⊥PD交于F点，
∴CF＝2，PF＝2，
∴∠CPE＝45°，
设直线CP的解析式为y＝k'x+4，
∴2k'+4＝6，
解得k'＝1，
∴y＝x+4，
设直线CP向右平移m个单位长度，则向下平移m个单位长度，
∴平移后的直线解析式为y＝x+4﹣2m，
∵平移后的直线经过E点，∴6﹣2m＝2，
解得m＝2，
∴平移后的直线为y＝x，
∵DE＝BD，
∴∠DEB＝45°，
∵∠BPD+∠PBE＝45°，∠CPE＝45°，
∴∠BPD+∠PBE＝∠CPE，
∵∠EBM+∠BPE＝∠CPE，
∴M点在BP上，
设直线BP的解析式为y＝nx+c，
{2n+c=6)
∴ ，
4n+c=0
{n=−3)
解得 ，
c=12
∴直线PB的解析式为y＝﹣3x+12，
当﹣3x+12＝x时，解得x＝3，
∴M（3，3）；
∵PC＝2❑√2，BC＝4❑√2，BP＝2❑√10，
∴BP2＝PC2+BC2，
∴△BPC是直角三角形，且∠BCP＝90°，
∴EM⊥BC，
点M关于直线BC的对称点在直线y＝x上，
此时对称点为（1，1）；
综上所述：M点坐标为（3，3）或（1，1）．13．（2025春•冷水江市期中）已知抛物线Q ：y=x2−3x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y
1
轴交于点C，P为第四象限内抛物线Q 上一点．
1
（1）求抛物线Q 的表达式；
1
（2）如图，连接BC，交抛物线Q 的对称轴于点D，连接AC，CP，AD，DP，求四边形ACPD面积的
1
最大值及此时点P的坐标；
3
（3）在（2）的情况下，将抛物线Q 向右平移 个单位长度，得到抛物线Q ，M为抛物线Q 对称轴上
1 2 2 2
一点，N为抛物线Q 上一点，若以A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件
2
的点N的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；
27
（2） ，（2，﹣6）；
4
75 11 11
（3）(−2， )或(0， )或(6， )．
4 4 4
【解答】解：（1）由条件可得1+3+c＝0，
解得c＝﹣4，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）在y＝x2﹣3x﹣4中标，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴点B的坐标为（4，0），
当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）．
设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0），
{4k+b=0)
由条件可得 ，
b=−4{ k=1 )
解得 ，
b=−4
∴直线BC的表达式为y＝x﹣4，
3 2 25
∵抛物线表达式为y=x2−3x−4=(x− ) − ，
2 4
3
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
3 5
在y＝x﹣4中，当x= 时，y=x−4=− ，
2 2
3 5
∴点D的坐标为( ，− )，
2 2
1 1 1 5 15
∴S =S −S = AB⋅|y |− AB⋅|y |= ×[4−(−1)]×(4− )= ．
△ACD △ABC △ABD 2 C 2 D 2 2 4
如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E．
设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，m﹣4），
3 3
∴y −y =m−4−(m2−3m−4)=−m2+4m，x −x = −0= ，
E P D C 2 2
1
∴S =S −S = (y −y )⋅(x −x )
△CDP △OEP △DEP 2 E P D C
1 3
= ×(−m2+4m)×
2 2
3
=− (m−2) 2+3，
4
3 15 3 27
∴S =S +S =− (m−2) 2+3+ =− (m−2) 2+ ，
四 边 形ACP△D CDP △ACD 4 4 4 4
3
∵− ＜0，0＜m＜4，
4
27
∴当m＝2时，S四边形ACPD 取最大值
4
，当m＝2时，y＝m2﹣3m﹣4＝﹣6，
27
∴四边形ACPD面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（2，﹣6）；
4
3 2 25
（3）∵Q ：y=x2−3x−4=(x− ) − ，
1
2 4
3 3 2 25 11
∴Q ：y=(x− − ) − =x2−6x+ ，
2
2 2 4 4
∴抛物线Q 的对称轴为直线x＝3，
2
∴点M的横坐标为3，
11
设N(n，n2−6n+
)，
4
由（2）得，P（2，﹣6），
分以下三种情况讨论：
①当AP为 AMPN的对角线时，
∵平行四边▱形对角线中点坐标相同，
−1+2 3+n
∴ = ，
2 2
解得n＝﹣2，
11 75
∴n2−6n+ = ，
4 4
75
∴N(−2， )；
4
②当AP为 APMN的边，且AM为对角线时，
∵平行四边▱形对角线中点坐标相同，
∴﹣1+3＝2+n，
解得n＝0，
11 11 11
∴n2−6n+ = ，∴N(0， )；
4 4 4
③当AP为 APNM的边，且AN为对角线时，
∵平行四边▱形对角线中点坐标相同，
∴﹣1+n＝2+3，
解得n＝6，
11 11
∴n2−6n+ = ，
4 411
∴N(6， )．
4
75 11 11
综上所述，点N的坐标为(−2， )或(0， )或(6， )．
4 4 4
14．（2025春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P坐标为（x，y），当x＞a时，点Q坐标为
（﹣x，﹣y）；当x＜a时，点Q坐标为（﹣x，﹣y+3），则称点Q为点P的a﹣变换点（a为常数）．
例如：点（2，0）是点（﹣2，3）的0﹣变换点，点（﹣5，﹣7）是点（5，7）的1﹣变换点．
（1）点（b﹣1，3）的1﹣变换点在直线y＝x+3上，求b值；
（2）点M在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，点N是点M的2﹣变换点．
①设点N（m，n），求n与m的函数关系式；
②点A（﹣4，c），B（1，c），线段AB与①中的函数图象只有一个公共点，请直接写出c的取值范
围．
{−m2−4m−3(m＜−2))
【答案】（1）7；（2）①n= .；②﹣5≤c＜﹣3或1≤c＜4．
−m2−4m(m＞−2)
【解答】解：（1）由题意，分两种情况讨论：
①当b﹣1＞1时，即b＞2，
∴点（b﹣1，3）的1﹣变换点是（1﹣b，﹣3），
∵点（1﹣b，﹣3）在直线y＝x+3上，
∴﹣3＝1﹣b+3，
∴b＝7．
②当b﹣1＜1时，即b＜2，
∴点（b﹣1，3）的1﹣变换点是（1﹣b，0），
∵点（1﹣b，0）在直线y＝x+3上，
∴0＝1﹣b+3，
∴b＝4，不合题意，舍去．
综上所述，b的值是7．
（2）①当﹣m＞2时，即m＜﹣2，
则点M（﹣m，﹣n）在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，
∴﹣n＝m2+4m+3，
即n＝﹣m2﹣4m﹣3；
当﹣m＜2时，即m＞﹣2，则点M（﹣m，﹣n+3）在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，
∴﹣n+3＝m2+4m+3，即n＝﹣m2﹣4m．
{−m2−4m−3(m＜−2))
∴n与m的函数关系式为n= ．
−m2−4m(m＞−2)
②c的取值范围为1＜c≤4或﹣5≤c＜﹣3；理由如下：
如图所示，n＝﹣（m+2）2+4（m＞﹣2），
当m＝﹣2时，n最大 ＝4；
n＝﹣（m+2）2+1（m＜﹣2），
当m＝﹣2时，n最大 ＝1；
当1≤c＜4时，线段AB与图象只有一个交点；
n＝﹣（m+2）2+4（m＞﹣2），
当m＝1时，n＝﹣5；
n＝﹣（m+2）2+1（m＜﹣2），
当m＝﹣4时，n＝﹣3．
当﹣5≤c＜﹣3时，线段AB与图象只有一个交点．
综上所述，c的取值范围为1≤c＜4或﹣5≤c＜﹣3．
15．（2025春•资中县期中）某商店决定购甲，乙两种商品进行销售．已知每件甲商品比每件乙商品的进
价高30元．用2000元购进甲商品的数量和用800元购进乙商品的数量相同．
（1）求甲，乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出甲商品的售价与数量的关系如下表，
售价x（元/件） 50≤x≤60 60＜x≤80销售量（件） 100 400﹣5x
①当x为何值时，售出甲商品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进甲，乙两种商品共200件，其中甲商品的件数小于乙商品的件数，但不小于50件．若乙
商品的售价为每件m（m＞30）元时，商场将甲，乙商品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接
写出m的值．
【答案】（1）甲、乙两种商品每件的进价分别是50元和20元；（2）①当x＝65时，售出A纪念品所
获利润最大，最大利润为1125元；②m＝32．
【解答】解：（1）由题意，设乙商品每件的进价是b元，则甲商品每件的进价是（b+30）元，
2000 800
∴ = ．
b+30 b
∴b＝20．
经检验：b＝20是原方程的解．
当b＝20时：b+30＝20+30＝50．
∴甲、乙两种商品每件的进价分别是50元和20元．
（2）①由题意，设利润为w元，由表格得：当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，
∵k＝100＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当售价为60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元；当60＜x≤80，w＝（x﹣50）（400﹣5x）
＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣65）2+1125．
∵a＝﹣5＜0，
∴当x＝65时，利润最大为1125元．
综上：当x＝65时，售出甲商品所获利润最大，最大利润为1125元．
②设该商场购进甲商品a件，则购进乙商品（200﹣a）件，
∴50≤a＜200﹣a．
∴50≤a＜100．
1
由①可知：由表格可知400﹣5x＝a，x=80− a．
5
设甲、乙两种商品均全部售出后获得的总利润为y元，
1
∴y=(80− a−50)a+(m−20)(200−a)．
5
1
∴y=− a2+(50−m)a+200m−4000，
55
∴对称轴为直线a=125− m，
2
∵m＞30，
5
∴125− m＜50，
2
∴对称轴在50≤a＜100的左侧，
∴当a＝50时利润最大，
∴ 当 a ＝ 50 时 ， y 有 最 大 值 ， 最 大 值 为 ：
1
y=− ×502×(50−m)×50+200m−4000=150m−2000=2800．
5
∴m＝32＞30．
16．（2025春•新野县期中）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路
线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之
间满足函数关系h＝20t﹣5t2．
（1）当小球的飞行时间为1.5s时，小球的飞行高度是多少m？
（2）若小球的飞行高度不低于10m的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清
晰捕捉的时长．
（3）在小球的飞行过程中，先后有两个时刻小球高度相同，这两个时刻的时间间隔为 2s，求这两个时
刻小球的飞行高度．
【答案】（1）18.75m；（2）2❑√3s；（3）这两个时刻小球的飞行高度为15m．
【解答】解：（1）由题意，∵h＝20t﹣5t2，
∴当t＝1.5s时，h＝20×1.5﹣5×1.52＝18.75（m）．
（2）由题意，∵h＝20t﹣5t2，
∴令h＝10，则10＝20t﹣5t2．
∴t＝2+❑√3或t＝2−❑√3．
又∵对于h＝20t﹣5t2，﹣5＜0，
∴小球的飞行高度不低于10m的时间段为2−❑√3≤t≤2+❑√3．
∴小球可被该设备清晰捕捉的时长为：2+❑√3−（2−❑√3）＝2❑√3（s）．
答：小球可被该设备清晰捕捉的时长为2❑√3s．（3）由题意，设t ，t 两个时刻小球高度相同，
1 2
∵h＝20t﹣5t2，
∴5t2﹣20t+h＝0．
h
∴t +t ＝4，t •t = ．
1 2 1 2 5
又∵两个时刻的时间间隔为2s，
∴|t ﹣t |＝2．
1 2
4
∴（t ﹣t ）2＝（t +t ）2﹣4t t ＝16− h＝4．
1 2 1 2 12 5
∴h＝15．
∴这两个时刻小球的飞行高度为15m．
17．（2025春•乌当区校级期中）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐
中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动路径可近似看成形状相同的两条抛物线．在如图所示的平面直
角坐标系xOy中，x（单位：m）是弹力球距抛出点的水平距离，y（单位；m）是弹力球距地面的高度．
甲站在原点处，从离地面1m的点A处抛出弹力球，弹力球在点B处着地后弹起．已知弹力球第一次着
地前抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣2）2+1.8．
（1）求a的值及OB的长．
（2）若弹力球在点B处着地后弹起的最大高度比着地前抛物线的最大高度低1m．
①求弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线的函数解析式．
②如图，如果在地面上摆放一个底面半径为0.2m，高0.6m的圆柱形筐，此时筐的最左端与原点的水平
距离为dm．若要使得游戏成功，则d的取值范围是 7. 6 ＜ d ＜ 8. 4 ．
1
【答案】（1）a=− ，OB＝5米；
5
1 4
（2）①y=− (x−7) 2+ ；②7.6＜d＜8.4．
5 5
【解答】解：（1）∵点A（0，1）是抛物线的起点，∴1＝a×（0﹣2）2+1.8，
1
解得a=− ，
5
1
则y=− (x−2) 2+1.8，
5
1
当y＝0时，− (x−2) 2+1.8=0，
5
解得x ＝5，x ＝﹣1＜0 （不合，舍去），
1 2
∴点B的横坐标为5；
∴OB＝5；
（2）①由（1）知，点B的横坐标为5；
由条件可知1.8﹣1＝0.8，
1 4
设弹力球第一次着地后弹起降落形成的抛物线解析式为y=− (x−h) 2+ ，
5 5
1 4
将点B（5，0）代入该解析式，得0=− (5−h) 2+ ，
5 5
解得h ＝3，h ＝7，
1 2
∵h ＝3＜5，
1
∴h ＝3不合，舍去，
1
∴h＝7，
1 4
∴弹力球第一次着地后的弹起降落形成抛物线解析式为y=− (x−7) 2+ ；
5 5
1 4
②令①中y＝0，则− (x−7) 2+ =0，
5 5
解得x ＝9，x ＝5，
3 4
∵x ＝5＜7，
4
∴x ＝5不合，舍去，
4
∴x＝9，
∴弹力球第二次落地点距离原点9米，
1 4
当y＝0.6代入y=− (x−7) 2+ ，
5 5
1 4
得0.6=− (d−7) 2+ ，
5 5
解得x＝6或x＝8，∵5＜x＜7时，y随x的增大而增大，7＜x＜9时，y随x的增大而减小，
∴由题意可知d＜8＜d+0.4，
解得：7.6＜x＜8.4
∴要使得游戏成功，则d的取值范围是7.6＜d＜8.4．
故答案为：7.6＜d＜8.4．
18．（2025春•祁东县期中）若二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，且其中一个交点的横坐标为另一
个交点横坐标的一半，则称这样的二次函数为“半根函数”．
（1）二次函数y＝x2﹣x﹣2是半根函数吗？请说明你的理由．
（2）若y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，求18m2+15mn+2n2的值．
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数，且相异两点M（4+t，s），N（5﹣t，s）都在抛物线上，证
1
明当1≤a≤5 时，函数y＝ax2+bx+c上的任意一点不在直线y＝﹣3x上．
2
【答案】（1）不是半根函数．
（2）0．
（3）见解析．
【解答】解：（1）由x2﹣x﹣2＝0得x＝2或x＝﹣1，
∴二次函数y＝x2﹣x﹣2不是半根函数．
n
（2）（x﹣3）（mx+n）＝0的解为x＝3或x=− ，
m
∵y＝（x﹣3）（mx+n）是半根函数，
n 3
∴− = 或6，
m 2
n 3
当− = 时，2n+3m＝0，
m 2
n
当− = 6时，6m+n＝0，
m
∴18m2+15mn+2n2＝（3m+2n）（6m+n）＝0．
（3）∵点M（4+t，s），N（5﹣t，s）都在抛物线上，
4+ t+5−t 9
∴抛物线对称轴为直线x= = ，
2 2
∵二次函数y＝ax2+bx+c是半根函数，
设x ＝2x ，则x +x ＝9，
1 2 1 2
∴3x ＝9，
2解得x ＝3，x ＝2x ＝6，
2 1 2
∴y＝a（x﹣3）（x﹣6）＝ax2﹣9ax+18a，
联立方程y＝﹣3x整理得ax2﹣（9a﹣3）x+18a＝0，
Δ＝（9a﹣3）2﹣4a•18a＝9（a2﹣6a+1）＝9[（a﹣3）2﹣8]，
当a＝3时Δ＝﹣72＜0，
1
∵5 −3＞3﹣2，
2
1 63
把a＝5 代入Δ得Δ=− ＜0，
2 4
1
∴当1≤a≤5 时抛物线与直线y＝﹣3x无交点．
2
1
19．（2025春•岱岳区期中）已知抛物线y=−x2+(b−2)x− b2+b+3(b为常数）．
4
（1）①若抛物线过点（0，3），求b值；
②求证：该抛物线的顶点在x轴上方；
1 9
（2）当0≤x≤2时，y=−x2+(b−2)x− b2+b+3最小值为−
，求b值；
4 4
（3）若抛物线上有两点A（x ，t），B（x ，t），且x ＜x ，当2≤x ﹣x ≤6时，求t的取值范围．
1 2 1 2 2 1
【答案】（1）①b＝0或4；
②证明见解析；
（2）b＝1或7；
（3）﹣5≤t≤3．
1
【解答】（1）①解：已知抛物线y=−x2+(b−2)x− b2+b+3(b为常数）过点（0，3），将点
4
（0，3）代入得：
1
− b2+b+3=3，
4
解得：b＝0或4；
1 b−2 2
②证明：∵y=−x2+(b−2)x− b2+b+3=−(x− ) +4，
4 2
b−2
∴抛物线的顶点为( ，4)，
2
∵4＞0，
∴该抛物线的顶点在x轴上方；b−2 0+2 b−2
（2）解：①当x= ≤ ，即 ≤1，b≤4时，
2 2 2
当x＝2时，y有最小值．
1 9
−4+2(b−2)− b2+b+3=− ，
4 4
解得：b＝1或11（不合题意，舍去）；
b−2 0+2
②当x= ＞ ，
2 2
b−2
即 ＞1，b＞4时，
2
当x＝0时，y有最小值．
1 9
− b2+b+3=− ，
4 4
解得：b＝7或﹣3（不合题意，舍去），
综上所述，b＝1或b＝7；
1
（3）解：由题意知，当t＜4时，x ，x
是方程−x2+(b−2)x− b2+b+3=t的两个根，
1 2 4
1
∴x +x =b−2，x x = b2−b−3+t，
1 2 1 2 4
∴x −x =❑√(x +x ) 2−4x x =❑√16−4t，
2 1 1 2 1 2
∵2≤x ﹣x ≤6，
2 1
∴2≤❑√16−4t≤6，
∴4≤16﹣4t≤36，
∴﹣5≤t≤3．
20．（2025春•上海校级期中）在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形ABC和三角形
DEF，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠ABC＝30°，∠DEF＝∠DFE＝45°，且AC＜DE）开展数学活动．
操作发现：
（1）如图1，将三角形ABC沿BC方向移动，得到三角形A
1
B
1
C
1
，AB∥A
1
B
1
，如果BC＝5，B
1
C＝2，那么CC ＝ 3 ；
1
（2）将这副三角板如图2摆放，并过点E作直线a平行于边BC所在的直线b，点A与点F重合，则
∠1的度数为 1 5 度（直接写出结果）；
（3）在（2）的条件下，如图3，固定三角形DEF，将三角形ABC绕点C旋转一周，当AB∥DE时，请
判断直线BC和直线b是否垂直，并说明理由．
【答案】（1）3；
（2）15；
（3）垂直，理由见解析．
【解答】（1）解：由平移的性质得，BC＝B C ，
1 1
∴BC﹣B C＝B C ﹣B C，
1 1 1 1
∴BB ＝CC ．
1 1
∵BC＝5，B C＝2
1
∴BB ＝CC ＝5﹣2＝3．
1 1
故答案为：3；
（2）解：过A作直线AG∥a，交ED于G，而a∥b，
∴a∥AG∥b，
由两直线平行，内错角相等，
可得∠1＝∠EAG，
同理∠ABC＝∠BAG，
则∠1＝∠EAG＝∠BAE﹣∠BAG＝∠BAE﹣∠ABC，
∵∠BAE＝45°，∠ABC＝30°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15；
（3）解：垂直，理由如下：
如图，延长DF交BC于H，交AB于N，延长EF交BC于M，BC交直线a于G，∵AB∥DE，∠D+∠BND＝180°，
∴∠D＝∠BND＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠BHN＝60°＝∠FHM，
∵∠EFD＝∠HFM＝45°，
∴∠EMG＝75°，
∴∠EGM＝180°﹣15°﹣75°＝90°，
∴BC⊥直线a，
∵a∥b，
∴BC⊥直线b；
如图所示，当AB∥DE时，△ABC旋转到如下位置，延长B′A′交BA于点H，
∵A′B′∥DE
∴∠EDA＝∠DHA′＝90°
∵∠CA′B′＝∠CAB＝90°
∴AH∥A′C，
∴∠A′CB＝∠ABC＝30°，
∴∠BCB′＝30°+60°＝90°，
∴B′C⊥b．21．（2025春•兴化市期中）已知直角三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°．将三角板ABC绕着点
A旋转得到△AB'C'，旋转角记为∠ ．
（1）当旋转方向为逆时针方向，且α∠ ＝75°时（如图1），求∠B′AC和∠BAC′的大小．
（2）当旋转方向为逆时针方向，且∠α＝90°时，在图2中，画出旋转得到的△AB'C'．
（3）当0°＜∠ ＜90°时， α
①若∠BAC'＝3α∠BAB'，求∠ 的度数．
α 1
②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为BC上一点.∠CAD= ∠C′ AC．在旋转过程中，若
3
∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD﹣∠BAD为定值，求常数m的值．
【答案】（1）135°；
（2）见解答；
（3）①∠ 的度数为15°或30°；
α 1
②常数m的值为− ．
4
【解答】解：（1）由旋转的性质可得，∠BAB'＝ ＝75°，∠BAC＝∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠BAB﹣∠BAC＝75°﹣60°＝15°， α
∴∠BAC'＝∠BAB'+∠B'AC'＝75°+60°＝135°；
（2）如图2，△AB′C即为所求；
（3）①如图，当旋转方向为逆时针方向时，∠BAC＝∠ +60°，∠BAB＝∠ ，
α α∵∠BAC＝3∠BAB，
∴∠ +60°＝3∠ ，
解得α∠ ＝30°；α
如图，α当旋转方向为顺时针方向时，∠BAC＝60°﹣∠ ，∠BAB'＝∠ ，
α α
∵∠BAC＝3∠BAB，
∴60°﹣∠ ＝3∠ ，解得∠ ＝15°，
综上，∠α 的度α数为15°或α30°；
②由旋转α性质可得，∠CAC＝∠BAB＝∠ ，
1 1 α
∵∠CAD= ∠C′ AC= ∠α，∠CAB＝60°，
3 3
1 4
∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝60°﹣3∠ ，∠C′ AD=∠C′ AC+∠CAD=∠α+ ∠α= ∠α，
3 3
α
∴m∠CAD﹣∠BAD＝m•3∠ ﹣60°+3∠ ＝（3m+3）∠ ﹣60°，
∵∠CAD与∠BAD始终满足αm∠CAD+α∠BAD为定值，α
4 1
∴ m+ =0，
3 3
1
解得m=− ，
41
∴常数m的值为− ．
4
22．（2024秋•西城区校级期中）如图是一个400米长的圆形跑道，从O点出发，沿跑道顺时针跑出52米
的距离记作+52米，逆时针跑出60米记作﹣60米．已知跑道上的两点A，B对应的有理数分别为a，
b，且满足：（a+80）2+|b﹣40|＝0．
（1）a+b＝ ﹣ 4 0 ；
（2）定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距．
定义2：若点M为跑道上A，B两点之间较短圆弧上的一点，且到A，B两点的弧距满足：其中一个弧
距是另一个弧距的3倍，则称M为A，B两点的“友谊点”．①直接写出A，B两点的“友谊点”M在
跑道上对应的有理数；
②点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，同时点Q以每秒20个单位长度
的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．当Q与O重合时，运动停止．当P为O，Q两点的“友谊点”
时，此时运动的时间为t秒，请直接写出t的所有可能取值．
【答案】（1）﹣40；
（2）①﹣50+400k或10+400k（k为任意整数）；
58 62 82 118
②t的所有可能取值为 s或 s或 s或 s．
11 9 9 11
【解答】解：（1）由（a+80）2+|b﹣40|＝0，可知a+80＝0，b﹣40＝0，
∴a＝﹣80，b＝40，
∴a+b＝﹣40．
故答案为：﹣40．
（2）①设M在跑道上对应的有理数为x，则AM＝x﹣（﹣80）＝x+80，BM＝40﹣x，
根据定义，可得3AM＝BM或AM＝3BM，
可列方程为3（x+80）＝40﹣x或x+80＝3（40﹣x），
解得：x＝﹣50或x＝10，
由于M点可绕圆周顺时针或逆时针运动，∴x可加上任意n圈，
故M在跑道上对应的有理数为：﹣50+400k或10+400k（k为任意整数）．
②∵点P以每秒40个单位长度的速度从点A出发，沿跑道逆时针运动，
同时点Q以每秒20个单位长度的速度从点B出发，沿跑道顺时针运动．
根据“友谊点”的定义，当P为O，Q两点的“友谊点”时，
OQ必须为O、Q两点间的较短圆弧，如图所示，O'点与O点对称．
由于Q点运动到O点后停止，所以本题考虑两个主要情形：
Ⅰ：Q点过O'点前；
Ⅱ：Q点过O'点后．
先讨论Ⅰ情形：
由题意可得OQ＝40+20t，
此时OP较长的弧距 ＝80+40t，
所以OP较短的弧距 ＝400﹣（80+40t）＝320﹣40t，
则PQ＝OQ﹣OP较短的弧距 ＝40+2t﹣（320﹣40t）＝60t﹣280．
∴当OP＝3PQ时，即320﹣40t＝3（60t﹣280），
58
解得：t= s；
11
当3OP＝PQ时，即3（320﹣40t）＝60t﹣280，
62
解得：t= s．
9
再讨论Ⅱ情形：
此时P点已第一次过O点，
∴OP＝40t+80﹣400＝40t﹣320，
∴PQ＝OQ﹣OP＝[400﹣（20t+40）]﹣（40t﹣320）＝﹣60t+680，
当3OP＝PQ时，即3（40t﹣320）＝﹣60t+680，
82
解得：t= s；
9
当OP＝3PQ时，即40t﹣320＝3（﹣60t+680），
118
解得：t= s．
11
58 62 82 118
综上所述：t的所有可能取值为 s或 s或 s或 s．
11 9 9 1123．（2024秋•新华区校级期中）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个
动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理
由；
（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，
1 1
∴BD= BC= ，
2 2
❑√15
∴OD=❑√OB2−BD2= ；
2
（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB=❑√OB2+OA2=2❑√2，
∵D和E分别是线段BC和AC的中点，
1
∴DE= AB=❑√2；
2（3）如图（3），连接OC，
∵BD＝x，
∴OD=❑√4−x2，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝45°，
过D作DF⊥OE，
❑√4−x2 ❑√8−2x2
∴DF= = ，由（2）已知DE=❑√2，
❑√2 2
❑√2x
∴在Rt△DEF中，EF=❑√DE2−DF2= ，
2
❑√8−2x2 ❑√2x ❑√8−2x2+❑√2x
∴OE＝OF+EF= + =
2 2 2
1 1 ❑√8−2x2 ❑√8−2x2+❑√2x
∴y= DF•OE= • •
2 2 2 2
4−x2+x❑√4−x2
= （0＜x＜❑√2）．
424．（2025春•盱眙县期中）阅读理解：在平面直角坐标系中，若函数图象上存在某点P到x轴的距离是
到y轴距离的一半，则称点P为该函数的“盱美点”，此函数称为“盱美函数”．如点（﹣4，2）是函
数y＝x2+3x﹣2图象上的点，即函数y＝x2+3x﹣2是“盱美函数”，点（﹣4，2）是该函数的“盱美
点”．根据以上材料，完成下列问题：
（1）已知点A（2，﹣1）、B（4，2）、C（﹣2，11）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的三点，其中是
3
“盱美点”的有 A 、 B ，（填字母）二次函数表达式为 y= x 2 ﹣3 x +2 ；
4
（2）求证：函数y＝x2+2x+3的图象上不存在“盱美点”；
（3）已知“盱美函数”y＝|x2﹣2x|+t，存在t使得该函数恰好有四个“盱美点”，直接写出t的取值范
围．
3
【答案】（1）A、B，y= x2﹣3x+2；
4
（2）证明见解答；
9 25
（3）﹣1＜t＜− 或t＜− ．
16 16
1
【解答】（1）解：根据“盱美点”的定义，点P（x，y）满足|y|= |x|，
2
1 1
在点A（2，﹣1）中，|y|＝1， |x|＝1，满足|y|= |x|，
2 2
∴点A是“盱美点”；
1 1
在点B（4，2）中，|y|＝2， |x|＝2，满足|y|= |x|，
2 2
∴点B是“盱美点”；
1 1
在点C（﹣2，11）中，|y|＝11， |x|＝1，而|y|≠ |x|，
2 2
∴点C不是“盱美点”；∵点A（2，﹣1）、B（4，2）、C（﹣2，11）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的三点，
{4a+2b+c=−1
)
∴ 16a+4b+c=2 ，
4a−2b+c=11
3
{ a= )
4
解得： ，
b=−3
c=2
3
∴二次函数表达式为y= x2﹣3x+2；
4
3
故答案为：A、B，y= x2﹣3x+2；
4
1
（2）证明：由“盱美点”的定义，得|y|= |x|，
2
1 1
∴y= x或y=− x，
2 2
1 1
当y= x时，x2+2x+3= x，
2 2
整理得：2x2+3x+6＝0，
∵Δ＝32﹣4×2×6＝﹣39＜0，
∴原方程没有实数根，即此时函数y＝x2+2x+3的图象上不存在“盱美点”；
1 1
当y=− x时，x2+2x+3=− x，
2 2
整理得：2x2+5x+6＝0，
∵Δ＝52﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴原方程没有实数根，即此时函数y＝x2+2x+3的图象上不存在“盱美点”；
综上，函数y＝x2+2x+3的图象上不存在“盱美点”；
1
（3）由“盱美点”的定义，得|y|= |x|，
2
1 1
即y= x或y=− x，
2 2
1 1
当y= x时，|x2﹣2x|+t= x，
2 2
①当t≥0时，“盱美函数”y＝|x2﹣2x|+t的“盱美点”个数≤3，如图1，9
②当− ≤t＜0时，“盱美函数”y＝|x2﹣2x|+t的“盱美点”个数为5或6，如图2，
16
9
③当﹣1＜t＜− 时，“盱美函数”y＝|x2﹣2x|+t的“盱美点”个数为4，如图3，
16
25
④当− ≤t≤﹣1时，“盱美函数”y＝|x2﹣2x|+t的“盱美点”个数为5或6，如图4，
1625
⑤当t＜− 时，“盱美函数”y＝|x2﹣2x|+t的“盱美点”个数为4，如图5，
16
9
综上所述，当“盱美函数”y＝|x2﹣2x|+t恰好有四个“盱美点”时，t的取值范围为﹣1＜t＜− 或t
16
25
＜− ．
16
