文档内容
专题04 圆中常见辅助线的作法（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 见弦连半径】..............................................................................................................................................1
【题型2 见弦作垂线】..............................................................................................................................................3
【题型3 见直径作圆周角】......................................................................................................................................4
【题型4 见切线作半径或垂线】..............................................................................................................................5
类型一 见弦连半径
遇到弦时，连半径．作用：①连接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形；②连接圆周上一
点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角．
类型二 见弦作垂线
解决有关弦的问题，常添加弦心距或作垂直于弦的半径（或直径）．作用：①利用垂径定理；②利用圆心
角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系．
类型三 见直径作圆周角
遇到直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角．作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形．
类型四 见切线作半径或垂线
遇到某一直线是圆的切线时：连接切点与圆心，利用圆的切线的性质求解问题．
【题型1 见弦连半径】
【例1】如图，△ABC内接于⊙O，∠C=30°，⊙O的半径为3，点P是⊙O上的一点，且PB=AB
，则PA的长为（ ）
A．3❑√3 B．3❑√2 C．❑√3 D．❑√2【变式1-1】如图，已知在⊙O中，直径MN=20，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O
上，并且∠POM=45°，则AB的长为( )
A．2❑√5 B．4❑√5 C．5 D．5❑√5
【变式1-2】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E
分别是OA、OB上的点，且AD=BE，弦CM、CN分别过点D、E．
(1)求证：CD=CE；
(2)A´M和B´N的长度相等吗？请说明理由．
【变式1-3】（2025·贵州·中考真题）如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为B´C的中点，DE为⊙O的切
线交AB的延长线于点E．连接CD，BD．
(1)点O与AB的位置关系是 ，线段CD与线段BD的数量关系是 ；
(2)过E点作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F．根据题意补全图形，判断△≝¿的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若⊙O的半径为3,DE=4，求CD的长．
类型二 见弦作垂线
解决有关弦的问题，常添加弦心距或作垂直于弦的半径（或直径）．作用：①利用垂径定理；②利用圆心
角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系【题型2 见弦作垂线】
【例2】如图，在圆O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为
（ ）
A．16 B．20 C．18 D．22
【变式2-1】如图，已知⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为A´B上两点，且
∠MEB=∠NFB=45°，则EM+FN= ．
【变式2-2】如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．
(1)求证：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4,BC=❑√5，求⊙O的半径．
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点P在⊙O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形
PFGH，其中点D、G在直径AB所在直线上，点C、E、F、H都在⊙O上，如果两个正方形的面积之和
为18，OP=❑√2，则⊙O的半径长是 ．【题型3 见直径作圆周角】
【例3】如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五
个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧A´E是劣弧B´D的2倍；⑤AE=BC，其中正确的
序号是 ．
【变式3-1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是A´C上一点，P是AB延长线上一点，连接
AD,DC,CP．
(1)求证：∠ADC−∠BAC=90°；
(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半径为3，CP=4，求AP的长．
【变式3-2】（2025·河南商丘·二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点D为⊙O上的
AB+AC
点，且OD⊥OB，则 的值为 ．
AD【变式3-3】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点
F，使EF=AE，连接FB，FC．
(1)求证：四边形ABFC是菱形；
(2)若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
(3)只用一把无刻度的直尺，作出菱形AB上的高CH．
【题型4 见切线作半径或垂线】
【例4】如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，
PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（ ）
A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
【变式4-1】如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与CD相切于点
M，
（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径．
【变式4-2】在四边形AGCH中，AH∥GC，∠GAH=90°,CG=CH，以点G为圆心，GA长为半径作
⊙G，连接GH，交⊙G于E，
(1)试判断CH与⊙G的位置关系，并说明理由．
(2)若AG=3❑√2,∠GCH=60°，求图中阴影部分的面积．
【变式4-3】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，点O是菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆
心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若∠B=60°，⊙O的半径为3，求菱形的边长．
