文档内容
专题 04 圆
题型1 圆的基本性质 题型9 切线判定与性质综合（重点）
题型2 垂径定理及应用（常考点） 题型10 三角形的内切圆（常考点）
题型3 点与圆上一点最值问题（重点） 题型11 正多边形与圆的综合（常考点）
题型4 圆周角定理（常考点） 题型12 弧长的计算
题型5 圆内接四边形（常考点） 题型13 扇形面积的计算（常考点）
题型6 点与圆的位置关系的判定 题型14 圆锥的侧面积（常考点）
题型7 三角形的外接圆（常考点） 题型15 不规则图形的阴影面积（重点）
题型8 直线与圆的位置关系的判定 题型16 圆锥侧面最短路径问题（重点）
题型一 圆的基本性质（共 4 小题）
1．在Rt△ABC中，AB是直径，CD⊥AB于D，若AD=3，BD=1，则BC的值是（ ）
A．2❑√3 B．❑√3 C．2 D．4
2．如图，AB为⊙O的弦，∠A=40°，则AB所对的圆心角等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
3．如图，BC是⊙O的弦，AD过圆心O，且AD⊥BC，若∠C=40°，则∠A的度数为 ．4．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O，A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点
C．以OB，BC为邻边作矩形OBCD，连接BD．若CD=6，BC=8，则AB的长为 ．
题型二 垂径定理及应用（共 5 小题）
1．如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA=5，圆心O到弦AB的距离OC=3，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深
一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于
E,ED=1寸，AB=10寸，求半径OD的长（ ）
A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸
3．已知在⊙O中，半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10，则AB与CD的距离为（ ）．
A．7或17 B．7 C．7或12 D．12
4．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=24米，拱高CD=8米，则拱桥的半径为（ ）A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
5．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案
和相关数据：
测量主
测量碗口的直径
题
测量工 一张矩形纸条和刻度尺
具
测量方 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于A，B，C，D四
案 点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度
实物图
及测量
示意图
测量说 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，AB为纸条下沿与碗口相交的线段，测量
明 时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动
测量数 AB=16cm，CD=12cm，纸条宽度14cm．
据
请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．
题型三 点与圆上一点最值问题（共 4 小题）
1．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点
D， P为DC上的任意一点，若MN=26,AC=12,BD=5，则PA+PB的最小值为（ ）A．15❑√2 B．17❑√2 C．17❑√3 D．15❑√3
2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A为圆心，2为半径作⊙A．若点E在⊙A上，点P在
BC上，则PE+PD的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
1
3．如图，抛物线y= x2-1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点，E
9
是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（ ）
3 5 3❑√2
A． B．2 C． D．
2 2 2
1
4．如图，抛物线y= x2-4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0,3)为圆心，❑√3为半径的圆上的动点，Q
4
是线段PA的中点，连结OQ、则线段OQ的最大值是（ ）5-❑√3 5+❑√3 5+2❑√3
A． B．3 C． D．
2 2 2
题型四 圆周角定理（共 6 小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，∠E=30°，则∠BOD=（ ）
A．80° B．100° C．120° D．110°
2．如图，AB 是⊙O的直径，A´C=B´D， 若∠ABC=30°，则∠COD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC=60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60° B．70° C．120° D．140°
4．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是A´E的中点，连接AC，CE，BE，BD，BC，若∠A=62°，则∠D的度数为（ ）
A．34° B．31° C．30° D．24°
5．如图，A，B，C是⊙O上的点，∠ABC=20∘，OA∥BC，AB交OC于点D，则∠ADO的度数为
（ ）
A．40∘ B．60∘ C．100∘ D．120∘
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC，过点O作OD∥CB交
⊙O于点D，连接CD，AD．若∠CAB=40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
题型五 圆内接四边形（共 4 小题）
1．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠B=110°，则∠D的度数为（ ）
A．110° B．90° C．120° D．70°2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，E 在⊙O上 ， 若∠BEC=25°，则
∠ADC的度数为（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，点E是AB延长线上一点，若∠CBE=65°，则∠ADC的度数为
（ ）
A．115° B．130° C．50° D．65°
4．如图，四边形 内接于 ， ⏜ ⏜ ，连接 ，若 ，则 的度数为
ABCD ⊙O
AB=BC
BD ∠ABC=70° ∠BDC
（ ）
A．20° B．35° C．55° D．70°
题型六 点与圆的位置关系的判定（共 4 小题）
1．已知⊙O的半径为3，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
2．若⊙O内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径r可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知半径为5的⊙O的圆心为平面直角坐标系的原点O，则点P(3,4)和⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
4．若⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
题型七 三角形的外接圆（共 3 小题）
1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
2．如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为
（ ）
A．(1,-1) B．(1,0) C．(2,0) D．(2,1)
3．如图，已知△ABC．
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O（保留作图的痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若⊙O的半径为5，点O到BC的距离为3，求BC的长．
题型八 直线与圆的位置关系的判定（共 3 小题）
1．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直线AB与⊙O的
位置关系为（ ）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将OP沿x轴正方向平移，
使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
3．如图，半径r=2❑√2的⊙M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线y=x+2相切时，圆心M
的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
题型九 切线判定与性质综合（共 4 小题）
1．如图，⊙O与△ABC的边AC相切于点D，与边AB交于点B，D为AC的中点，连接BD，AO⊥BD，
∠C=∠OAB．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若∠AOB=60°，CD=4，求△ABD的面积．2．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
(1)求证：AC是⊙O的切线．
(2)已知：∠BAC=120°，BC=12，求⊙O的半径是多少？
3．如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP=∠OBC．
(1)求证：PC与⊙O相切；
(2)若PA=4，PC=BC，求⊙O的半径．
4．如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA
的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA=∠CBD．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC=2❑√2BO，PB=12，直接写出半径的长．题型十 三角形的内切圆 ( 共 3 题）
1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（ ）
❑√3 ❑√3 ❑√3
A． a B． a C． a D．❑√3
6 3 2
2．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD=2，△ABC的周长
为14，则BC的长为 ．
3．如图所示的是周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O
相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE．若AC=4cm，则三角形纸片BDE的周长为 cm．
题型十一 正多边形与圆的综合（共 5 题 )
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，则A´B的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，连接OA、OB，
则∠AOB=（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
3．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴
正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转90°，那么经过2025次旋转后，
顶点D的坐标为（ ）
A．(❑√3 3) B．( 3 ) C．( 3) D．( 3)
, - ,-❑√3 ❑√3,- -❑√3,
2 2 2 2 2
4．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（ ）
A．❑√3 B．6 C．24❑√3 D．12❑√3
5．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中
间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六
边形ABCDEF的周长约120mm，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 mm．题型十二 弧长的计算（共 3 题）
1．如图，将 绕着点O顺时针旋转 后得到 ，若 ，则 的长度为（ ）
△OAB 60° △OA'B' OB=5 B ´ B'
10π 5π 25π 5π
A． B． C． D．
3 3 6 6
2．动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它既方便又省力.如图，用一个直径为12的动滑轮带动重物上升，
滑轮上一点P绕滑轮中心旋转了45°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了
（ ）
9 3 9
A． π B． π C． π D．3π
2 4 4
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若OA=1，则A´B的长为（ ）2π π
A． B． C．π D．2π
5 2
题型十三 扇形面积的计算（共 3 题）
1．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为（ ）
8 2 8 2
A． π B． π C． D．
9 9 9 9
5π
2．一把折扇打开后，如图，小扇形OAB的半径为2cm，弧长为 cm，大扇形OCD的半径为26cm，扇
3
面的宽度CE为12cm，则扇面的面积（阴影部分）是 cm2（结果保留π）．
3．如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约66cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分
（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中∠DAB=115°，
∠ABC=125°，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ）
A．363πcm2 B．1452πcm2
C．726πcm2 D．2904πcm2
题型十四 圆锥的侧面积（共 3 题）
1．将一个底面半径为6cm的圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长是（ ）
A．6πcm B．12πcm C．6cm D．12cm
2．将一个母线长为6cm的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为150°，则扇形的面积
为 cm2．3．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形
的圆心角等于90°，则扇形的半径是 ．
题型十五 不规则图形的阴影面积（共 3 题）
1．如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若A´B与C´D所在圆的圆心都
为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
3
A．π B．2π C． π-2 D．2π-2
2
2．如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，AE，以点D为圆心，CD的长为半径作C´E，若AB=1，
则图中阴影部分的面积是（ ）
π 2π ❑√3 π ❑√3 2π
A．❑√3- B．❑√3- C． - D． -
3 3 2 3 2 3
3．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以点C为圆心，
4为半径作圆弧B´D，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧B´O，O´D，则图中阴影部分的面积为
（ ）A．4π-4 B．4π-8 C．4π-12 D．16-4π
题型十六 圆锥侧面最短路径问题（共 2 题）
1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬
过的最短距离．
2．综合与实践
【主题】制作圆锥形生日帽
【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带．
【实践操作】
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
【实践探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm，l=8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点
A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
