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专题 04 圆几何拓展之最值篇
思维导图
【类型覆盖】
类型一、点运动路径
【解惑】如图， 的弦 ， ， 为 上一动点， 为 上一动点，且满足
，连接 ， ，交于点 ，则点 从点 运动到点 的过程中，点 所运动的路径长是
（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．已知如图正方形 的边长为4，点 为边 上一动点， 于 ，将 绕着点 顺时针旋
转 得到 ，连接 ，当点 从点 运动到点 时，点 的运动路径长为（ ）A．4 B． C． D．
2．半圆O与平面直角坐标系交于点 ，点C在 上运动（不与A，B重合），连接
， 与 的平分线交于点D，则C从A点运动到B点的过程中，点D的运动路径长为
．
3．如图，在等腰 中，斜边 的长为8，点P在以 为直径的半圆上，M为 的中点．当点P
沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长为 ；连接 ，则 的最小值为 ．
类型二、将军饮马
【解惑】如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为 的中点，P是直径CD上
一动点，则PA+PB的最小值为（ ）A．5 B． C．5 D．
【融会贯通】
1．如图， 是 的直径，点 ， 在 上，且点 是弧 的中点， 是直径 上的一个动点，
连接 ， ，已知 ，弧 的度数为 ，则 的最小值为（ ）
A．10 B． C． D．5
2．如图，在 中，AB是 的直径， ， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB
上的一动点，下列结论：① ；② ；③ ；④ 的最小值是
10． 上述结论中正确的个数是
3．如图，以BC为直径作 ，A，D为圆周上的点， ．若点P为BC垂直平分线MN上
的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为 （结果保留根号）类型三、两动一定
【解惑】如图，正方形 中， ，E是 的中点．以点C为圆心， 长为半径画圆，点P是
上一动点，点F是边 上一动点，连接 ，若点Q是 的中点，连接 ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【融会贯通】
1．如图，动点 在边长为 的正方形 内，且 ， 是CD边上的一个动点， 是AD边的
中点，则线段 的最小值为（ ）A． B． C． D．
2．如图，正方形 中， ，点 是正方形 内部的一个动点，且满足 ，点
是 上的一个动点，连接 ， ，则 的最小值是 ．
3．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D
为抛物线上一点且横坐标为 ，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则
的最小值 ．
类型四、折叠圆
【解惑】如图，已知正方形 的边长为 ， 为AB边上一点， ， 为边 上一点，沿 将折叠，使得 点的对应点为 ，连接 ， ，DE， ，有以下结论：①若 ，则
②若 ，则 ③ 的面积最大值是 ④ 的最小值是 ，其中正
确的有（ ）
A．① ② ③ ④ B．① ③ ④ C．① ② ④ D．① ② ③
【融会贯通】
1．如图，矩形 中， ， ，P是直线 上的一个动点， ， 沿 翻折形成
，连接 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ， ， ，点 是 上一点，且 ，点 为 上一
动点，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则 的最小值为
3．如图，在矩形 中， ， ，M是边 的中点，N是 边上的一动点（不与点A重
合），将 沿 所在直线折叠得到 ，连接 ，则 的最小值是 ．类型五、直角圆
【解惑】如图，正方形 的边长为4，点 与点 是线段 与线段 上的两个动点，在运动过程中
线段 与 始终保持垂直，则线段 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【融会贯通】
1．如图，在 中， ， ，D为线段 上的动点，连接 ，过点B作
交 于点E，则在点D的运动过程中，求线段 的最小值为（ ）
A．10 B． C．5 D．
2．如图，在 中， ， ， ，点 是 内部的一动点，且满足
．则线段 的最小值为3．如图， 是半圆 的直径， ，点 在半圆 上， ， 是弧 上的一个动点，连接 ，
过 点作 于 ，连接 ，在点 移动的过程中， 的最小值是 ．
类型六、切线与勾股定理
【解惑】如图在平面直角坐标系中，直线 过点 的半径为 于点P，
切 于点 ，那么切线长 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B， ，点M在
以点 为圆心，3为半径的圆上，点N在直线 上，若 是 的切线，则 的最小值为
（ ）A． B． C． D．
2．如图， 的圆心 的坐标是 ，半径为 ，在直角坐标系中， 为直线 上的动点，过
作 的切线，切点为 ，则切线长 的最小值是 ．
3．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为 ， 的半径为2，P为 轴上一动点， 切 于点
B，则 最小值是 ．
类型七、中位线与瓜豆原理
【解惑】如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴
交于点D， 的半径为1，G为 上一动点，P为 的中点，则 的最小值为（ ）A． B．2 C．1 D．3
【融会贯通】
1．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，D是以点 为圆心，1为半径的圆上的动点，E是
线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图， 中， 是 的高， ，则 ；若以点C为圆心，
半径为2作 ，点E是 上一动点，连接 ，点F是 的中点，则线段 的最小值是 ．
3．如图，等边三角形 中， ，D是以点A为圆心，半径为2的圆上一动点，连接 ．
（1）则 的最大值 ．（2）当 与 相切时， 的长为 ．
（3）取 的中点E，连接 ，则线段 的最大值与最小值之和为 ．
类型八、费马距离
【解惑】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，
C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证
明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程：
①当 的三个内角均小于 时，
如图1，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
∵ 绕点C顺时针旋转 得到
∴ ，
∴ 为_________三角形，
∴
∵
∴
∴
由几何公理：_____________可得：
∴当B，P， ， 在同一条直线上时， 取最小值，
如图2， 最小值为 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有
________°．②当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略．
(2)如图3，在 中，三个内角均小于 ，且 ， ， ，若P为 的“费马
点”，求 的值；
(3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 ， ， ．现
欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别
为1万元 ，1万元 ， 万元 ，则总的铺设成本最少是_______万元．
【融会贯通】
1．阅读以下材料并完成问题
材料一：数形结合是一种重要的数学思想如 可看做是图一中 的长， 可看做是
的长．
材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在 中有一点 使得 的值最小．
著名法学家费马给出的证明方法如下：
将 绕 点向外旋转 得到 ，并连接 易得 是等边三角形、 ，则 ，则 ，所以 的值最小为 ．
请结合以上两材料求出 的最小值
2．【问题背景】在已知 所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图
1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利
提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把 绕A点逆时针旋转 得到
（点P，C的对应点分别为点 ， ），连接 ，则 ， ．
∵______，∴ 为等边三角形，∴ ，
∴ ，
∴当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，即点P是 的“费马点”．
任务：
（1）横线处填写的条件是______；
（2）当点P是 的“费马点”时， ______；
（3）如图 3，△ABC 中， ， ，E，F 为 BC 上的点，且 ，判断
之间的数量关系并说明理由；
【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口， ， ，
AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则 的
最小值是______．3．阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提
出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提
出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点
A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来
人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为 ABC的费马-托里拆利点，也
简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 BPC绕点B顺时针
旋转60°得到 BDE，连接PD，可得 BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因
PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若
AB=2，求PA+PB+PC的最小值；
（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有
∠BEC=90°，连接AE、DE，在 ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出
PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．
类型九、米勒原理
【解惑】（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门 ，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到
B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？
对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角 小于乙的视角 ，根据“仅从射门角度考虑，球
员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到
的理由；
（2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当 的外接圆与l相切于点C时， 最大．
如图3， ，点A，B是边 上两点， ，点C是边 上一动点．
①若 最大为 ，请求出当 时， 的长；
②若 最大不超过 ，直接写出 的取值范围．
【融会贯通】
1．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知
点 ， 是 的边 上的两个定点， 是 边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与 边相
切于点 时， 最大．人们称这一命题为米勒定理．
(1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 进攻，当甲带球冲到
点时，乙已跟随冲到 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射
门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证： ．
(2)【问题解决】如图3，已知点 ， 的坐标分别是 ， ， 是 轴正半轴上的一动点，当
的外接圆⊙ 与 轴相切于点 时， 最大．当 最大时，求点 的坐标．
2．综合与实践
【问题提出】
（1）如图 ，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 进攻，当甲带球冲到 点时，乙
已跟随冲到 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证： ．
【数学理解】
德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图 ，已知点 ， 是 的边
上的两个定点， 是 边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与 边相切于点 时， 最大，
人们称这一命题为米勒定理．
【问题解决】
（2）如图 ，已知点 ， 的坐标分别是(0,1)，(0,3)， 是 轴正半轴上的一动点，当 的外接圆
与 轴相切于点 时， 最大，当 最大时，求点 的坐标．
3．【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围
栏位置是否合适，做出以下研究．
【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与
最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角 最大．
【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的 与过点C的水平线 相切于点C时，视角 最大，站
在此处观赏最理想．这是为什么呢？请思考后完成填空：
设点 是 上任意一个异于C的点，
是 的外角，
______ （填“ 、 或 ”），
又
______，
．
眼睛位于点C处时， 最大．
【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度 为3.4米，
最低点B距离地面的高度 为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置
最合适呢？
类型十、阿波罗尼斯圆
【解惑】阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
阿波罗尼斯圆
如图所示，点 是平面上一动点， ， 是两定点．我发现只要点 在如图所示的圆 上运动，就始终有（ 为一定值）．我进一步查阅资料，得知这个圆被称之为阿波罗尼斯圆．
若 ，点 是线段 的内分点（点 在线段 上，且 ），点 是线段
的外分点（点 在线段 的延长线上，且 ），点 是线段 的中点， 是 的
邻补角，则点 就在以线段 为直径的圆 上，这个圆就叫做阿波罗尼斯圆．
为什么点 在圆 上呢？基本的证明思路是先连接 和 ，然后证明 平
分 以及 平分 ，如下所示．
证明：连接 ， ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 交 于点 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，（依据 ）
，（依据 ）
∴ ，即证 平分 ．
……
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ 是以 为斜边的直角三角形，
∵点 是线段 的中点，
∴ ．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
即证点 在以线段 为直径的圆 上．
任务：
(1)材料中的依据1是指______，依据2是指______．(2)补全材料中证明 平分 的过程．
(3)如图，点 是平面上一动点， 、 是两定点， ， ，请作出点 所在的圆 ．（尺规作图，
保留作图痕迹，不写作法）
【融会贯通】
1．【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足 （ 且
）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知 ，连
接PA、PB，则当“ ”的值最小时，P点的位置如何确定？
第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
第2步：在OB上取点C，使得 ，即 ，构造母子型相似 ∽ （图2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图， 与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N， 半径为3，点 ，点
，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．(1) 的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
2．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点 ，则所有符合 且 的点 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学
家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.
阿氏圆基本解法：构造三角形相似.
【问题】如图1，在平面直角坐标中，在 轴， 轴上分别有点 ，点 是平面内一动点，且
，设 ，求 的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在 上取点 ，使得 ；第二步：证明 ；第三步：连接 ，此时 即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分)：
解：在 上取点 ，使得 ，
又 .
任务：
将以上解答过程补充完整.
如图2，在 中， 为 内一动点，满足 ，利用 中的结
论，请直接写出 的最小值.
3．阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前
262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种
性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点 与两定点 ， 的距离之比等于定比 ，
则点 的轨迹是以定比 内分和外分线段 的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波
罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．如图1，点 ， 为两定点，点 为动点，满足 ，点 在线段 上，点 在 的延长线上且
，则点 的运动轨迹是以 为直径的圆．
下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：
过点 作 交 的延长线于点 ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
如图2，在图1（隐去 ， ）的基础上过点 作 交 于点 ，可知 ，……
任务：
（1）判断 是否平分 ，并说明理由；
（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；
（3）应用：如图3，在平面直角坐标系 中， ， ， ，则点 所在圆的圆心坐标
为________．
