文档内容
专题 04 圆中求弧长与面积的有关计算问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用弧长公式求弧长..................................................................................................................................1
题型二、利用扇形面积公式求面积..........................................................................................................................4
题型三、不规则阴影部分周长计算..........................................................................................................................8
题型四、不规则阴影部分面积计算........................................................................................................................12
题型四、不规则阴影部分面积中的最值相关的计算............................................................................................17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用弧长公式求弧长
1．如图， 的半径是3，点A、B、C在 上，若 ，则弧 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由圆
周角定理可得 ，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接 、 ，
， ，
，
的半径是3，
弧 的长为 ，
故答案为： ．
2．如图，在扇形纸扇中，若 ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键．
利用弧长公式 （ 为圆心角度数， 为半径）直接计算即可求解．
【详解】解：弧 的长为 ．
故答案为： ．
3．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为
圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为 ，则 的长是 （结果保留 ）
【答案】
【分析】本题主要考查了求弧长，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到 ，再根据
弧长公式计算求解即可．
【详解】解：∵ 是正三角形，
∴ ，
∴ 的长是 ，
故答案为： ．
4．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D， ，垂足为E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解(2)
【分析】本题考查切线的判定，弧长公式，特殊角的三角函数值，掌握相关知识是解决问题．
（1） 连接 ，由已知条件可证明 ，则可证 ，则结论可证．
（2） 连接 ，由 是 的直径，得 ，由 ，利用三角函数值可求得 ，
则半径为2，圆心角为 ，则弧长可求．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线．
（2）解：如图，连接 ，
是 的直径，
，
在 中， ， ，
，
，
，
，
，，
的长 ．
题型二、利用扇形面积公式求面积
5．已知如图，扇形 的半径为 ，弧长为 ，求阴影部分的面积为 ；
【答案】
【分析】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，掌握等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、
三角形的面积和扇形面积计算公式、弧长计算公式是解题的关键．
过点 作 于点 ，根据弧长公式求出 的度数，由等边三角形的判定与性质、特殊角的三
角形函数值、三角形的面积公式求出 的面积，由扇形面积公式求出扇形 的面积，再根据阴影部
分的面积 扇形 的面积 的面积计算即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ．
设 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
．
故答案为： ．
6．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到
， ，则图中摆盘的面积是 ．
【答案】27π
【分析】本题考查扇形面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键．
本题可先求出圆心角度数，再根据已知条件得出 的长度，和扇形的半径，最后根据扇形面积公式计算
出摆盘的面积，摆盘的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，即可得出结果．
【详解】解：观察图 可知， 图 中有 个扇形，整个圆盘可看作是一个完整的圆，则每个扇形的圆心角
．
∴
∵ ， ，
∴ ，
∵，
，
；
故答案为： ．
7．如图，在扇形 中，已知 ， ，过 的中点C作 ， ，垂足分
别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】如图：连接 ，根据矩形的判定定理得到四边形 是矩形，再根据 证明
，根据全等三角形的性质得到 ，从而得到矩形 是正方形，再求出正方形
的边长，再根据扇形和正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵点C是 的中点，
∴ ，
在 与 中，，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴图中阴影部分的面积 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、
全等三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键．
8．如图， 是 的直径，弦 ，连接 ， ， ，且 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)阴影部分的面积为
【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算，掌握垂径定理，扇形面积的计算是关键．
（1）根据圆周角定理得到 ，由平角的性质即可求解；
（2）根据题意得到 ， ，所以阴影部分的面积是扇形 的面积，根
据扇形的面积的计算即可求解．
【详解】（1）解： 所对的圆心角为 ，所对的圆周角为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是 的直径，弦 ，设垂足为 ， ，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
题型三、不规则阴影部分周长计算
9.如图，在扇形 中，半径 ，将扇形 沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 上的点D处，
折痕交 于点C，则图中阴影部分的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，连接 ，由折叠可知 ，即
可证明 是等边三角形，可得 ，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案，根
据折叠性质得到 是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，由折叠可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ 的长为 ，
∴阴影部分的周长为： ．10.如图，在 中， ，点D是 的中点，以点A、C为圆心，以
的长为半径画圆弧，交 于点E，交 于点F，则图中阴影部分的周长为 （结果保留
）．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，先根据勾股定理得到 ，再由线段中点的定义得到
，再由扇形 与扇形 的半径相等且圆心角度数之和为90度求出 的长
与 的长的和即可得到答案．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ， ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长与 的长的和为 ，
∴阴影部分的周长为 ，
故答案为： ．
11.如图，等腰三角形 的顶角 ， 和底边 相切于点 ，并与两腰 ， 分别相交
于 ， 两点，连接 ， ，
(1)求证：四边形 是菱形：
(2)若 的半径为 ，求图中阴影部分的周长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）连接 ，根据切线的性质可得 ，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得
，从而可得 和 都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得
，即可解答；
（2）根据菱形的性质可得 ，进而根据进行 计算 的长，即可解答．
【详解】（1）证明：连接 ，
和底边 相切于点 ，
，
， ，
，
， ，
和 都是等边三角形，
， ，
，
四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形，
∴ ，
又∵ ，
图中阴影部分的周长为
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的
已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12.如图， 为 的直径，弦 于点 ，连接 ， ， ， 为 中点，且 .
(1)求 的长；(2)当 时，
① __________；
②求阴影部分的周长和面积.
【答案】(1)2
(2)① ；②周长 ，面积
【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题
关键．
（1）由题意可得 且 ，结合“垂径定理”可得 ， ，据此即可求解；
（2）①由“垂径定理”可得 ， ，解直角三角形 即可求解；②连接 ，在
求出线段 的长度即可．
【详解】（1）解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ 为 中点， 为 中点，
∴ 且 ，
∵ ，
∴ ，
∵弦 于点 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①∵弦 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ .
故答案为：
②连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ .
在 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ 的长 ，
阴影部分的周长 ，
阴影部分的面积 .
题型四、不规则阴影部分面积计算
13.如图，直角 中， ，以A为圆心， 长为半径画四分之一圆，则图
中阴影部分的面积是
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求其他不规则图形
的面积
【分析】如图所示，连接 ，设 分别交 于 ，先由勾股定理和含30度角的直角三角形
的性质求出 的长，再证明 是等边三角形得到 ，进而求出 ，再根据
进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，设 分别交 于 ，
∵直角 中， ，∴ ，
∴ ，
由题意得， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的
性质与判定，三角形中线的性质等等，求出 是解题的关键．
14.如图，扇形的圆心角为 ，点 在圆弧上， ， ，阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，通过平行线将阴影部分的
面积转化为扇形 的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：连接 ，，
，
又 ，
是等边三角形，
，
又 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
15.如图，以A为圆心， 为半径作扇形 ，线段 恰好与以 为直径的半圆弧相交，交点D为弧
的中点，若 ，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和 ）．
【答案】
【知识点】求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查了不规则图形的面积，熟练掌握扇形和三角形的面积公式，学会利用割补法求不规则图
形面积是解题的关键．连接 ，根据题意可得 ， ，再根据图形可知阴影部分面
积等于扇形 面积减去空白部分 的面积再加上扇形 面积减去 的面积，代入数据计算即
可．
【详解】解：如图，连接 ，点D为弧 的中点，
，
又 ，
，
，
，扇形 面积 ，
面积 ，扇形 面积 扇形 面积 ，
阴影部分的面积 ．
故答案为： ．
16.如图，C为 上一点，AB是 的直径， ， ，现将 绕点B按顺时针方向旋
转30°后得到 ， 交 于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 /
【知识点】等边三角形的判定和性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查了求其他不规则图形的面积，涉及了旋转的性质以及圆周角定理等知识点，连接
，可推出 是等边三角形、 是等边三角形，进而得 ；根据
，可得图中阴影部分的面积 ，据此即可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：∵AB是 的直径， ，
∴ 的半径为 ，且 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形．
由旋转可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
题型四、不规则阴影部分面积中的最值相关的计算
17.如图，在扇形 中 ，C为 上一点且 ，点D为半径 上一动点．若
，则阴影部分周长的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周长最小问题转化为两
点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键．
作点 关于 的对称点F，连接 ，与 交点为D，此时 最小，最小值就是 长，再加上
弧 的长即可．
【详解】解: 作点 关于 的对称点 , 连接 ,与 交点为D, 交 于点 ,过点 作
交 延长线于点 ，由对称可知
，
∵四边形 是矩形,
，
∴ ，
∴ ，∴阴影部分周长的最小值为 ，
故答案为： ．
18.如图，一张直径为 的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分
面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图1，设圆心为 ，连接 ，则 ，由圆周角定理可得
，由勾股定理得， ，计算求解即可；设 到 的距离为 ，由题意
知， ，则当 最大时， 最小，当 时，
最大，如图1，作 于 ，由垂径定理可得 ，由勾股定理得，
，则 ，然后求阴影部分面积即可．
【详解】解：如图1，设圆心为 ，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
设 到 的距离为 ，
由题意知，，
当 最大时， 最小，
∴当 时， 最大，如图1，作 于 ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理等知识．熟练掌握圆周角定理，勾股定
理，扇形面积，垂径定理是解题的关键．
19.如图，⊙O的半径为2cm，弦 ，C是弦AB所对的优弧 上一个动点，则图中阴影部分的
面积之和的最小值是 cm2．
【答案】 /
【分析】过点C作 于E，由 ，得当 最大时， 最
小，此时， 经过圆心O，即 垂直平分 ，点C为优弧 的中点，连接 ，由垂径与勾股定理
求出 的长，即可求解．
【详解】解：过点C作 于E，∵ ，
∴当 最大时， 最小，此时， 经过圆心O，即 垂直平分 ，点C为优弧 的中点，连接
，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理，得 ，
∴ ，
∴ 最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，不规则图形面积，三角形面积，勾股定理，根据图形面积关系，得出点C为
优弧 的中点时，阴影面积最小是解题的关键．
20.如图，在扇形 中， 平分 交 于点 ，点 为半径 上一动点．若
OB=1，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称
解决路程最短问题是关键．利用轴对称的性质，得出当点E移动到点 时，阴影部分的周长最小，此时的
最小值为弧 的长与 的长度和，分别进行计算即可．
【详解】解：如图，作点D关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，此时 最小，即： ，
由题意得， ，
，
， 的长 ，
∴阴影部分周长的最小值为 ．
故答案为： ．
一、单选题
1．如图， 是圆 的直径， 是弦， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，先求出半径 ，再根据圆周角定理得出
，最后根据弧长公式即可得出答案．【详解】∵ 是圆 的直径， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为
故选：A．
2．图①是贵阳某游乐场的摩天轮，A，B表示摩天轮上其中的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，
半径为 ，点A，B是圆上的两点， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
直接根据弧长公式计算即可．
【详解】解： 的长为 ．
故选：C．
3．如图，从边长为 的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为 的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝
忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，勾股定理，弧长公式；理解扇形与圆锥之间的关系是解题的
关键．由弧长公式得圆锥的底面圆的周长为 ，再由圆锥的底面圆的半径、高、母线之间的关系，
即可求解．【详解】解：圆锥的底面圆的周长为 ，
设圆锥的底面圆的半径为 ，
则 ，
解得： ，
则这个圆锥形容器的高为 （ ），
故选：C．
4．如图，在 中， ，点 是 上一点，以 为直径的半圆 经过 的顶点 ， ，
交 ， 于点 ， ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接 、 、 、 ，设 ，根据圆的基本知识及直径所对的圆周角是直
角得 ， 即 ，推出 ，证明 垂直平分 ，继而得
到 ， ，根据圆内接四边形的性质得 ，在
中，根据三角形内角和建立关于 的方程，求解后再根据弧长公式即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 、 、 、 ，设 ，
∵ 为半圆 的直径， ， ，
∴ ， 即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 内接于圆 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
解得： ，
∴ 的长为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查弧长的计算，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的判定，等
边对等角，平行线判定和性质，掌握弧长的公式、圆内接四边形的性质是解题的关键．
5．如图，正方形 的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为 ， 的中点．以点C为圆心，
4为半径作圆弧 ，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图
形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键．根据正方形的性质可得弓形 与弓形 相等，由
，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ， 三点共线，
∵四边形 是正方形，点E，F分别为 ， 的中点，
， ，
，
在 和 中，，
， ， ，
，
则弓形 与弓形 相等，
．
故选：B．
二、填空题
6．已知圆弧所在圆的半径为 ，所对的圆心角为 ，则这条弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式 ．直接利用弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：弧长为 ．
故答案为： ．
7．如图，在等腰直角 中，点E在 上，以点O为圆心、 为半径作圆弧交 于点F，连接 ，
已知阴影部分面积为 ，则 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了不规则图形的面积，平方根解方程，勾股定理解三角形等．根据题意可得： ，
，设 ，利用阴影部分面积列出等式，得出 ，然后由勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意可得： ， ，
设 ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，故答案为： ．
8．如图，分别以正五边形 的顶点A，D为圆心，以 长为半径画 ， ．则 ；若
，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形、弧长公式；由正五边形外接圆的性质，则 ，由弧长公式计
算出弧长，进而求出阴影部分周长．
【详解】解：∵五边形 为正五边形， ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
故答案为： ； ．
9．如图，在扇形 中， ， ，点 在 上，且 ．延长 到 ，使 ．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）．
【答案】
【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含 三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解
决问题的关键．由题意，利用 计算即可．
【详解】解：过A作 ，
∵ ， ，，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
设 长度为 ，则 ，在 中，由勾股定理得：
解得： ，
，
，
则 ， ，
，
．
故答案为： ．
10．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的
一个图形， 所在圆的圆心为点O，四边形 为矩形，边 与 相切于点 ，连接 ，
，连接 交 于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到 ，由垂径定理可得 ，由圆周角定
理可得 ，进而证明 是等边三角形，得到 ，再根据阴影部分的面积
求解即可．【详解】解： 所在圆的圆心为点O，边 与 相切于点 ，
， ，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三
角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
三、解答题
11．如图，在单位长度为1的正方形网格中， 经过格点 、 、 ．
(1)只用无刻度直尺，画出 所在圆的圆心 的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在平面直角坐标系中，圆心 的坐标为 ； 的半径为 ； 的长为 ．
【答案】(1)见解析
(2) ； ；
【分析】本题主要考查了确定圆心，求弧长，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）如图所示，取 ，连接 并延长交直线 于Q，点Q即为所求；直线 垂直平
分 ，直线 垂直平分 ，则点Q即为所求；
（2）根据（1）所求可得点Q坐标，利用勾股定理可得 的长，再证明 ，得
到 ，最后利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解；如图所示，点Q即为所求；
（2）解：由（1）可得点Q的坐标为 ，
∵ ，
∴ ， ，
，
∴ 的半径为 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
12．如图，已知 是 的直径，点 为 上一点，点 为 延长线上一点，若 ，且
．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为3，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，解题的关键
是连接半径构造等腰三角形，利用角度关系证明切线，再结合弧长公式计算弧长．
（1）连接 利用等腰三角形性质和圆周角定理求出 和 的度数，进而得到 ，证
明 是切线；
（2）根据半径求出直径，结合（1）中得到的圆心角 的度数，利用弧长公式计算 的长．
【详解】（1）证明：连接 ．
∵ （同圆半径相等），
∴ （等腰三角形两底角相等）．
∵ ，
∴ ．
∵
∴ （等腰三角形两底角相等）．
在 中， ．
∴ ，即 ．
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线（切线的判定定理）．
（2）解：∵ 的半径为3，
∴ ．
由（1）知 ，
在 中， ．∴ 的长为
答： 的长为 ．
13．如图， 与 相切于点 ， 为 的直径，点 在 上，连接 ，且 ．
(1)连接 ，求证： ；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）利用切线性质得 ，再通过 证明 ，从而推出 ；
（2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定 为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积
关系，将阴影部分面积转化为扇形 的面积进行计算．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∴
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
由（1）可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积
计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积
公式是解题的关键．
14．已知：如图， 是 的直径，弦 于点E，G是弧 上一动点， 的延长线交于点
F，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）连接 ，先求出 ，然后由圆周角定理得到 ，再根据
， ，即得 的度数；（2）连接 ，先求出 ，再利用等腰三角性质求出 ，最后根据弧长公式即得答
案．
【详解】（1）解：连接 ．
∵ B是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长 ．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识．
15．已知：如图， 内接于 ，点E为 上一点，连接 ， ，其中 经过圆心O，E的延长
线交射线 于点D，若 ．
(1)求证： 是 切线；(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长的计算．
（1）过C作圆的直径 ，连接 ，由圆周角定理得到 ， ，推出
，即可证明 是 切线；
（2）由圆周角定理得到 ，求出 ，判定 是等边三角形，得到
，由弧长公式即可求出 的长．
【详解】（1）证明：过C作圆的直径 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴直径 ，
∴ 是 切线；
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的长 ．
16．如图， 分别与 相切于点A、B、C，且 ，连接 ，延长 交 于
点M交 于点E，过点M作 交 于N．(1)求证： 是 的切线；
(2)当 时，求 的半径及图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为 ，图中阴影部分的面积为
【分析】（1）利用平行线性质得到 ，结合切线长定理推出 ，进而得到
，再结合平行线性质推出 ，即可证明 是 的切线；
（2）利用勾股定理求出 ，连接 ，根据切线性质可知 ，利用等面积法求出 （即半径），
再结合扇形面积公式即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】（1）解： ，
，
分别与 相切于点A、B、C，
平分 ， 平分 ，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是 的切线；
（2）解：由（1）知， ，
，
，
连接 ，分别与 相切于点B，
，
，
，
的半径为 ，
图中阴影部分的面积为 .
【点睛】本题考查了平行线性质，切线长定理，切线判定定理，勾股定理，切线性质，扇形面积公式，解
题的关键在于灵活运用相关知识．
17．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 D，点 E在 上，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若 ， ，求阴影部分的面积（结果保留 ）．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析；
(3) ．
【分析】（1）连接 ，结合等腰三角形性质，直角三角形性质推出 ，进而得到
，即可证明 是 的切线；
（2）连接 ，证明 ，推出 ，再进行代换求解，即可得到 与 之间的
数量关系；
（3）利用直角三角形性质得到 ，证明 是等边三角形，进而推出 ，利用勾股定理求出 ，
进而推出 ，再根据 求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： ，理由如下：
如图，连接 ，
由（1）得 ，
在 和 中， ，
，
，
又 ，
；
（3）解： ， ，
，
是等边三角形，
，
由勾股定理，得 ．
由（2）得 ，，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，切线的判定定理，全等三角形性质和判定，等边
三角形判定与性质，勾股定理，扇形面积公式，解题的关键在于灵活运用相关知识．
18．如图， 为 的内接三角形， ，D为 的中点，点F为 上一点，将线段
绕点D顺时针旋转 得到线段 ，E为点F的对应点，连接 ．
(1)求证： 为等边三角形；
(2)若 的半径为4，求图中阴影部分的面积；
(3)求证： ．（温馨提示：证明A，C，E三点在一条线上）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据 得到 ，即可得到结论；
（2）连接 ，作 于点 ，求出 ， ， ，根据
即可求出答案；
（3）过点 作 ，交 于点 ．证明 ，得到 ．进一
步证明 三点共线，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ 为 的内接三角形， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形；
（2）解：连接 ，作 于点 ，∴
∵ 为等边三角形
∴
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴
∴图中阴影部分的面积为 ；
（3）证明：如图，过点 作 ，交 于点 ．
是等边三角形，
．
∵ ，
，
是等边三角形，
．
是 的中点，
，
．
线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ，，
即 ．
在 和 中， ，
，
．
，
，
三点共线．
∴ ．
