文档内容
专题 04 圆中求弧长与面积的有关计算问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用弧长公式求弧长..................................................................................................................................1
题型二、利用扇形面积公式求面积..........................................................................................................................4
题型三、不规则阴影部分周长计算..........................................................................................................................8
题型四、不规则阴影部分面积计算........................................................................................................................12
题型四、不规则阴影部分面积中的最值相关的计算............................................................................................17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用弧长公式求弧长
1．如图， 的半径是3，点A、B、C在 上，若 ，则弧 的长为 ．
2．如图，在扇形纸扇中，若 ， ，则 的长为 ．
3．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为
圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为 ，则 的长是 （结果保留 ）
4．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D， ，垂足为E．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
题型二、利用扇形面积公式求面积
5．已知如图，扇形 的半径为 ，弧长为 ，求阴影部分的面积为 ；
6．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到
， ，则图中摆盘的面积是 ．
7．如图，在扇形 中，已知 ， ，过 的中点C作 ， ，垂足分
别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
8．如图， 是 的直径，弦 ，连接 ， ， ，且 ．(1)求 的度数．
(2)若 ，求图中阴影部分的面积．
题型三、不规则阴影部分周长计算
9.如图，在扇形 中，半径 ，将扇形 沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 上的点D处，
折痕交 于点C，则图中阴影部分的周长是 ．
10.如图，在 中， ，点D是 的中点，以点A、C为圆心，以
的长为半径画圆弧，交 于点E，交 于点F，则图中阴影部分的周长为 （结果保留
）．
11.如图，等腰三角形 的顶角 ， 和底边 相切于点 ，并与两腰 ， 分别相交
于 ， 两点，连接 ， ，
(1)求证：四边形 是菱形：
(2)若 的半径为 ，求图中阴影部分的周长．
12.如图， 为 的直径，弦 于点 ，连接 ， ， ， 为 中点，且 .(1)求 的长；
(2)当 时，
① __________；
②求阴影部分的周长和面积.
题型四、不规则阴影部分面积计算
13.如图，直角 中， ，以A为圆心， 长为半径画四分之一圆，则图
中阴影部分的面积是
14.如图，扇形的圆心角为 ，点 在圆弧上， ， ，阴影部分的面积为 ．
15.如图，以A为圆心， 为半径作扇形 ，线段 恰好与以 为直径的半圆弧相交，交点D为弧
的中点，若 ，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和 ）．
16.如图，C为 上一点，AB是 的直径， ， ，现将 绕点B按顺时针方向旋
转30°后得到 ， 交 于点D，则图中阴影部分的面积为 ．题型四、不规则阴影部分面积中的最值相关的计算
17.如图，在扇形 中 ，C为 上一点且 ，点D为半径 上一动点．若
，则阴影部分周长的最小值为 ．
18.如图，一张直径为 的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分
面积的最小值为 ．
19.如图，⊙O的半径为2cm，弦 ，C是弦AB所对的优弧 上一个动点，则图中阴影部分的
面积之和的最小值是 cm2．
20.如图，在扇形 中， 平分 交 于点 ，点 为半径 上一动点．若
OB=1，则阴影部分周长的最小值为 ．一、单选题
1．如图， 是圆 的直径， 是弦， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．图①是贵阳某游乐场的摩天轮，A，B表示摩天轮上其中的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，
半径为 ，点A，B是圆上的两点， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，从边长为 的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为 的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝
忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）A． B． C． D．
4．如图，在 中， ，点 是 上一点，以 为直径的半圆 经过 的顶点 ， ，
交 ， 于点 ， ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形 的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为 ， 的中点．以点C为圆心，
4为半径作圆弧 ，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知圆弧所在圆的半径为 ，所对的圆心角为 ，则这条弧的长为 ．
7．如图，在等腰直角 中，点E在 上，以点O为圆心、 为半径作圆弧交 于点F，连接 ，
已知阴影部分面积为 ，则 的长度为 ．
8．如图，分别以正五边形 的顶点A，D为圆心，以 长为半径画 ， ．则 ；若
，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）．9．如图，在扇形 中， ， ，点 在 上，且 ．延长 到 ，使 ．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）．
10．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的
一个图形， 所在圆的圆心为点O，四边形 为矩形，边 与 相切于点 ，连接 ，
，连接 交 于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
11．如图，在单位长度为1的正方形网格中， 经过格点 、 、 ．
(1)只用无刻度直尺，画出 所在圆的圆心 的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在平面直角坐标系中，圆心 的坐标为 ； 的半径为 ； 的长为 ．
12．如图，已知 是 的直径，点 为 上一点，点 为 延长线上一点，若 ，且
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为3，求 的长．13．如图， 与 相切于点 ， 为 的直径，点 在 上，连接 ，且 ．
(1)连接 ，求证： ；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
14．已知：如图， 是 的直径，弦 于点E，G是弧 上一动点， 的延长线交于点
F，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
15．已知：如图， 内接于 ，点E为 上一点，连接 ， ，其中 经过圆心O，E的延长
线交射线 于点D，若 ．
(1)求证： 是 切线；
(2)若 ， ，求 的长．
16．如图， 分别与 相切于点A、B、C，且 ，连接 ，延长 交 于
点M交 于点E，过点M作 交 于N．(1)求证： 是 的切线；
(2)当 时，求 的半径及图中阴影部分的面积．
17．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 D，点 E在 上，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若 ， ，求阴影部分的面积（结果保留 ）．
18．如图， 为 的内接三角形， ，D为 的中点，点F为 上一点，将线段
绕点D顺时针旋转 得到线段 ，E为点F的对应点，连接 ．
(1)求证： 为等边三角形；
(2)若 的半径为4，求图中阴影部分的面积；
(3)求证： ．（温馨提示：证明A，C，E三点在一条线上）
