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专题 04 圆（13 知识&17 题型&6 易错&5 方法清单）【清单01】 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【清单02】圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作圆
AB
弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【清单03】垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分【清单04】圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
C
B O
【清单05】圆角角的概念
A
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 圆心角
2
）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 D C
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
C
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
B A
O【清单06】圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形 D
C
∴
B
A E
【清单07】点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系 图形 定义 性质及判定
P
r
d
点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外
P
r
d
点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上
r P
点在圆内 d 点在圆的内部 d < r 点P在圆内【清单08】直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
r
相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离
d
r
相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切
d
r
相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交
d
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
【清单09】切线的性质与判定
定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆
心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中
性质
作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计
算或证明．
1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，
判定
1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半
径，简称“连半径，证垂直”；3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半
径，简称“作垂直，证半径”．
【清单10】切线长定理
定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角
三角形来求解．
【清单11】三角形内切圆与外接圆
1.三角形内切圆与外接圆的定义
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
三角形外接圆
分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这
三角形内切圆
个三角形叫做圆的外切三角形.
2. 三角形内心与外心
圆心的 圆心的确定方法 图形 圆心的性质
名称
外心 三角形三边中垂线的交点 A 1)OA=OB=OC
O 2)外心不一定在三角形的内部．
B C
内心 三角形三条角平分线的交点 A 1)到三边的距离相等；
O 2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、
∠ACB；
B C
3)内心一定在三角形内部．
【清单12】正多边形与圆的有关概念
1. 正多边形的相关概念
正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
【清单13】弧长和扇形面积
设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则
扇形弧长公式 nπR
l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n
180
表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
扇形面积公式 nπR2 1
l
S扇形=
360
=
2
R
圆锥侧面积公式 S
圆锥侧
=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥全面积公式 S
圆锥全
=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
圆锥的高h，圆 r2+h2=l2
锥的底面半径r
【题型一】圆的基本性质
【典例1】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=45°,∠ABO=70°，则∠OAC= ．
【答案】25°/25度
【分析】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得
OC=OB,OA=OB，推出∠OBC=∠OCB=45°,∠OAB=∠OBA=70°，利用三角形内角和定
理求出∠BOC=90°,∠AOB=40°，进而得到∠AOC=130°，再根据OA=OC，利用三角形内
角和定理即可求解．
【详解】解：由题意可得OC=OB,OA=OB，
∵∠OCB=45°,∠ABO=70°，∴∠OBC=∠OCB=45°,∠OAB=∠OBA=70°，
∴∠BOC=90°,∠AOB=40°，
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=130°，
∵OA=OC，
1
∴∠OAC= (180°-∠AOC)=25°．
2
故答案为：25°．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径
C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧
【答案】C
【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等
圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判
断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断．
【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意；
B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意；
C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意；
D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意；
故选∶C
【变式2】如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB长50mm．∠AOB的度数 ．
【答案】60°/60度
【分析】本题考查了圆的性质，等边三角形的性质与判定，得出△AOB是等边三角形是解题的关键．
根据半径为50mm，弦AB长50mm，可以判断△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求
解．
【详解】解：∵AO=BO=50mm，AB=50mm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，故答案为：60°．
【变式3【如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若A(-4,0)，D(0,-2)，
则⊙E半径r为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，坐标与图形，根据点的坐标得到
OA=4，OD=2，则OE=ED-OD=r-2，由勾股定理可得r2=(r-2) 2+42，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示， 连接AE，
∵A(-4,0)，D(0,-2)，
∴OA=4，OD=2，
∴OE=ED-OD=r-2，
在Rt△AOE中，由勾股定理得AE2=OE2+OA2，
∴r2=(r-2) 2+42，
解得r=5，
∴⊙E半径r为5，
故答案为：5．
【题型二】垂径定理及应用【典例2】如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，
就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN=2m时，试求：
(1)拱桥所在的圆的半径；
(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【答案】(1)17m
(2)不需要，见解析
【分析】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解
题的关键，注意方程思想的应用．
（1）由垂径定理可知AM=BM、A'N=B'N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求
出半径；
（2）求出ON=OP-PN=15m，再由勾股定理可得A'N=8m，则A'B'=2A'N=16m>15m，即
可得出结论．
【详解】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA' 、OM，则O、P、M三点共线，
设半径为xm，
则OA=OA'=OP，
由垂径定理可知AM=BM，A'N=B'N，
∵AB=30m，
1
∴AM= AB=15m，
2
在Rt△AOM中，OM=OP-PM=(x-9)m，
由勾股定理可得：AO2=OM2+AM2，
即x2=(x-9) 2+152，
解得：x=17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）解：∵OP=17m，
∴ON=OP-PN=17-2=15m，
在Rt△A'ON中，由勾股定理可得A'N=❑√OA'2-ON2=❑√172-152=8m，∴A'B'=2A'N=16m>15m，
∴不需要采取紧急措施．
【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD=8，OD=5，则
BE的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．
先根据垂径定理得出DE的长，再利用勾股定理求出OE的长即可解决问题．
【详解】解∶∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，
1
∴DE= CD=4．
2
在Rt△DOE中，OE=❑√OD2-DE2=3，
∴BE=5-3=2．
故选∶B．
【变式2】游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤OB以O为圆心前后摆动，大
摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作A´C，连接AC，交OB于点D，已知OB⊥AC，且点B为A´C
的中点，AC=16m，BD=4m，则大摆锤的长度为（ ）A．8m B．12m C．10m D．9m
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由OB⊥AC，且点B为A´C的中点，则
1
AD=CD= AC=8m，∠ADO=∠CDO=90°，设OB=rm，则OD=(r-4)m，然后通过勾股定理
2
即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵OB⊥AC，且点B为A´C的中点，
1
∴AD=CD= AC=8m，∠ADO=∠CDO=90°，
2
设OB=rm，则OD=(r-4)m，
∴OA2=OD2+AD2，
∴r2=(r-4) 2+82，
解得：r=10，
∴大摆锤的长度为10m，
故选：C．
【变式3】西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安，如图，这是摔碗酒瓷碗
正面的形状示意图，A´B是⊙O的一部分，半径OD⊥AB，与弦AB交于点C，连接OA、OB，已知
AB=18cm，碗深CD=6cm，求OA的长．
39
【答案】OA的长为 cm
4
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理
1
得出AC=BC= AB=9cm，在Rt△OAC中，由勾股定理列方程求解即可．
2
【详解】解：∵半径OD⊥AB，
∴D是A´B的中点，
∵AB=18cm，
1
∴AC=BC= AB=9cm．
2设OA=rcm，
∵ CD=6cm，则OC=(r-6)cm．
在Rt△OAC中，由勾股定理得OC2+AC2=OA2，
39
即(r-6) 2+92=r2，解得r= ，
4
39
∴OA的长为 cm．
4
【题型三】点与圆上一点最值问题
【典例3】如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P
是BC上一动点，则PE+PD最小值是（ ）
A．2❑√5 B．2.5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是本题
的关键．
以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A'BCD'以及对称圆A'，连接A'D交BC于P，则DE'就是
PE+PD最小值；根据勾股定理求得A'D的长，即可求得PE+PD最小值．
【详解】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A'BCD'以及对称圆A'，连接A'D交BC于
P，则DE'就是PE+PD最小值；∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圆A的半径为1，
∴A'D'=BC=3，DD'=2DC=4，AE'=1，
∴A'D=❑√DD'2+A'D'2=5，
∴DE'=5-1=4
∴PE+PD=PE'+PD=DE'=4，
故选：C．
【变式1】如图，P是矩形ABCD(AB>AD)的边AB上一动点，F是BC的中点，连接DP，将△DAP沿
DP所在直线折叠，点A的对应点是点E，连接EF．已知AB=2❑√10，当线段EF的最小值为1时，边
BC的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】由矩形的性质可得∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=2❑√10，通过折叠性质可知：
∠PAD=∠PED，AD=ED，则有点E在以点D为圆心，AD为半径的圆上运动，连接DF，由
DE+EF≥DF，从而可知当点D、E、F三点共线时，EF有最小值，然后设BC=2x，则CF=x，
DF=DE+EF=2x+1，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAD=∠C=90°，AD=BC，CD=AB=2❑√10，
由折叠性质可知：∠PAD=∠PED，AD=ED，
∴点E在以点D为圆心，AD为半径的圆上运动，连接DF，如图，∵DE+EF≥DF，
∴当点D、E、F三点共线时，EF有最小值，即此时EF=1，如图，
∵F是BC的中点，
1
∴CF= BC，
2
设BC=2x，则CF=x，DF=DE+EF=2x+1，
由勾股定理得：DF2=CD2+CF2，
∴(2x+1) 2=(2❑√10) 2+x2，整理得：3x2+4x-39=0，
13
解得：x =- （舍去），x =3，
1 3 2
∴BC=2x=2×3=6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，
圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式2】如图，Rt△ABC中，AC=BC=8，M为边BC的中点，长度为2的动线段AN绕点A旋转，连
接MN，取MN的中点P，则CP长度的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】 2❑√5+1 2❑√5-1
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，延长MC至D，使得MC=CD，连接DN，可1
得CP是△MDN的中位线，即得CP= DN，可知当DN取最大值或最小值时，CP的值最大或最小，
2
再分别画出图形解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长MC至D，使得MC=CD，连接DN，
∵点P是MN的中点，
∴CP是△MDN的中位线，
1
∴CP= DN，
2
∴当DN取最大值或最小值时，CP的值最大或最小，
如图，当点N在DA的延长线且D、A、N共线时，DN的值最大，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°，
1
∵CD=MC= BC=4，
2
∴AD=❑√AC2+CD2=❑√82+42=4❑√5，
∴DN=AD+AN=4❑√5+2，
1
∴CP= DN=2❑√5+1，
2
即CP长度的最大值为2❑√5+1；
如图，当点N在DA之间且D、N、A共线时，DN的值最小，∴DN=AD-AN=4❑√5-2，
1
∴CP= DN=2❑√5-1，
2
即CP长度的最小值为2❑√5-1；
故答案为：2❑√5+1，2❑√5-1．
【变式3】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8．E为矩形内一点，连接CE，DE，且
∠ADE=∠DCE，P为AD边上一动点，连接BP，EP，则BP+EP的最小值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了矩形的性质，圆的有关性质，勾股定理，轴对称—线段最短，作点B关于AD的
对称点T，取CD的中点O，连接OT，OE，PT，过点O作OR⊥AB于点R，由四边形ABCD是矩形，
则AD=BC=8，AD∥BC，∠ADC=90°，又OD=OC，AD∥OR∥BC，故有AR=BR=2，
1
通过勾股定理得OT=❑√T R2+OR2=❑√62+82=10，证明∠CED=90°，所以OE= CD=2，从而
2
可得点E在⊙O上运动，又PT+PE+OE≥OT=10，得出PT+PE≥10-2=8，然后代入即可求解，
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作点B关于AD的对称点T，取CD的中点O，连接OT，OE，PT，过点O作
OR⊥AB于点R，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AD∥BC，∠ADC=90°，
∵OD=OC，AD∥OR∥BC，
∴AR=BR=2，
∵AB=AT=4，
∴RT=6，
∴OT=❑√T R2+OR2=❑√62+82=10，
∵∠ADE=∠DCE，∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠CED=90°，
1
∴OE= CD=2，
2
∴点E在⊙O上运动，
∵PT+PE+OE≥OT=10，
∴PT+PE≥10-2=8，
∵PT=PB，
∴PB+PE≥8，
∴PB+PE的最小值为8，
故答案为：8．
【题型四】圆周角定理
【典例4】如图，AB是⊙O的直径，∠CDB=26°，则∠BOC的度数是（ ）A．60° B．52° C．50° D．40°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半．
直接利用圆周角定理求解．
⏜
【详解】解：∵∠CDB和∠BOC都对 ，
BC
∴∠BOC=2∠BDC=2×26°=52°
故选：B．
【变式1】如图，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC=40°，则∠BAC等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是解题的关键，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
即可求得结果．
【详解】解：∵B´C=B´C ，∠BOC=40°，
1
∴∠CAB= ∠BOC=20°．
2
故选：C．
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，C,D是圆上的点，若∠AOC=100∘，则∠D的度数是（ ）A．50∘ B．40∘ C．30∘ D．45∘
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵∠AOC=100∘，
∴∠BOC=80∘，
1
∴∠D= ∠BOC=40∘ ，
2
故选：B．
【变式3】如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100∘，则∠A的度数为（ ）
A．40∘ B．50° C．80∘ D．100∘
【答案】B
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此
可得出答案．
本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键．
1 1
【详解】解：由题意得∠A= ∠BOC= ×100°=50°，
2 2
故选：B．
【题型五】圆内接四边形
【典例5】如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣
弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（ ）A．115° B．118° C．120° D．125°
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和圆内接四边形的对角互补等知识点，解决此题的关键是
运用圆内接四边形的对角互补；根据圆内接四边形的对角互补得到两角之和为180°，再根据等边三角
形的性质得到其中一个角是60°，即可得到答案；
【详解】解：∵四边形EFDA是⊙O内接四边形，
∴∠EFD+∠A=180°，
∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，
∴∠A=60°，
∴∠EFD=120°，
故选：C．
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110°，连接OB、OD，则∠BOD= °．
【答案】140
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关
键．
根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，再根据圆周角定理求出∠BOD．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-110°=70°，
由圆周角定理得：∠BOD=2∠BCD=2×70°=140°，
故答案为：140．【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC=116°，点E在⊙O上，则
∠BEC= ．
【答案】26°
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接AC，根据圆内接四边形的性质求出
∠ABC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形的性质求出∠BAC，再根据圆周角
定理求出∠BEC．
【详解】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=116°，
∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-116°=64°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-64°=26°，
由圆周角定理得：∠BEC=∠BAC=26°，
故答案为：26°．
【变式3】如图，点P是⊙O上一点，若∠AOB=70°，则∠APB= °．
【答案】145
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠ACB=35°，根据圆内接四边形的对角互补，即可求解．
【详解】解：延长AO交⊙O于点C，连接BC，
∵A´B=A´B，∠AOB=70°，
1
∴∠ACB= ∠AOB=35°，
2
∵四边形ACBP是⊙O的内接四边形，
∴∠APB=180°-∠ACB=180°-35°=145°．
故答案为： 145．
【题型六】点与圆的位置关系的判定
【典例6】若⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上
C．点A在圆内 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．
先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系求解即可．
【详解】解：∵⊙O的直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm，
∵点A到圆心O的距离为4cm，
∴点A在⊙O上．
故选：B．
【变式1】已知⊙O的直径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点A（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆的半径的大小．
先根据圆的直径求出半径；再比较点到圆心的距离与半径的大小；最后根据点与圆的位置关系判定点
的位置．【详解】解：已知⊙O的直径为5cm，则半径为5÷2=2.5cm．
点A到圆心O的距离为3cm，因为 3cm>2.5cm，所以点A在⊙O外．
故选：C．
【题型七】三角形的外接圆
【典例7】如图，已知△ABC．
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O（保留作图的痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若⊙O的半径为5，点O到BC的距离为3，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识，
（1）作线段AB，AC的垂直平分线交点为O，点O即为△ABC的外接圆的圆心；
（2）作OE⊥BC于E.利用勾股定理求出BE，再利用垂径定理可得BE=EC，求出BC即可．
【详解】（1）解：如图，作线段AB，AC的垂直平分线交点为O，点O即为△ABC的外接圆的圆心；
（2）解：作OE⊥BC于E．
在Rt△OBE中，∵OB=5，OE=3，
∴BE=❑√OB2-OE2=❑√52-32=4，
∵OE⊥BC，∴BE=EC=4，
∴BC=BE+EC=8．
【变式1】三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂
直平分线的交点．
【详解】解：∵三角形的外心就是三角形外接圆圆心，
∴角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选： C．
【变式2】如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的
坐标为（ ）
A．(1,-1) B．(1,0) C．(2,0) D．(2,1)
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形．
由网络可得出线段AB和BC的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标．
【详解】解：如图，作线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为(2,0)，故选：C
【题型八】直线与圆的位置关系的判定
【典例8】如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交，
故选：A．
【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心，r=3cm为半径的⊙C
与AB的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．根
据勾股定理可知AB=5cm．作CD⊥AB于D点，则CD的长表示圆心C到AB的距离．根据等积法求
出CD的长，与半径比较大小后判断．
【详解】解：如图，作CD⊥AB于D点．
∵ ∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
1 1
∴AB=❑√BC2+AC2=5cm，S = AC⋅BC= AB⋅CD，即5⋅CD=12，
△ABC 2 2
∴CD=2.4(cm)，
∵2.4cm<3cm，
∴ ⊙C与AB的位置关系是相交，
故答案为：相交．
【变式2】如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=29°，OD的延长线与直线BC相交于点C，且∠C=32°，则直线BC与⊙O的位置关系是 ．
【答案】相切
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理,解决问题的关键是熟练掌握切线的判定定理．
连接OB,利用圆周角定理求出∠BOC的度数，根据三角形内角和定理求出∠OBC的度数，再根据切
线的判定定理判断直线BC与⊙O的位置关系．
【详解】解：连接OB,
∵∠A=29°，∴∠BOC=2∠A=58°.
∵∠C=32°，
∴∠OBC=180°-∠BOC-∠C=180°-58°-32°=90°.
∴OB⊥BC.
∵OB是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
故答案为：相切．
【题型九】切线判定与性质综合
【典例9】如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，延长
BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)QD为PB边上的中线，若AQ=4，CQ=2，求QD的值．
【答案】(1)见解析；(2)❑√73．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题
的关键．
（1）连接OA，先证明△OBP≌△OAP（SSS），则∠OBP=∠OAP，继而求出
∠OBP=90°，可推导出PB是⊙O的切线，即可解答；
（2）设OA=r，得到r2+42=（r+2） 2，求出r=3 ，则OA=3,BC=6，设BP=x，则AP=x，得
到x2+（6+2） 2=（x+4） 2，解得x=6，则QD=❑√BQ2+BD2=❑√73，即可解答．
【详解】（1）证明：连接OA，
在△OBP和△OAP中，
¿，
∴△OBP≌△OAP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，
∵OB是半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵AQ=4,CQ=2, ∠OAP=90°，
∴∠OAQ=90°,
设⊙O的半径为r，
则OA=r，QO=OC+CQ=r+2，
∴OA2+AQ2=OQ2，
∴r2+42=（r+2） 2，
解得r=3 ，
∴OA=3,BC=2r=6，∴BQ=BC+CQ=8，
设BP=x，则AP=x，
∴PQ=AP+AQ=x+4，
∵∠OBP=90°，
∴BP2+BQ2=PQ2，
∴x2+（6+2） 2=（x+4） 2，
解得x=6，
∴BP=6，
∵QD为PB边上的中线，
1
∴BD= BP=3，
2
∴QD=❑√BQ2+BD2=❑√73，
即QD的值是❑√73．
【变式1】如图，AB是⊙O的弦，C为过点B的切线上一点，且BC=AC，D, E, F分别在
AB, BC, AC上，且AD=BE, AF=BD，连接EF．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠C=50°，求∠EDF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)65°
【分析】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角
和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键．
（1）连接OA, OB，先根据等腰三角形的性质得到∠CAO=∠CBO，再根据切线的性质定理可得
∠CAO=∠CBO=90°，进而根据切线的判定定理可得结论；
（2）证明△ADF≌△BED(SAS)得到∠ADF=∠BED，利用等腰三角形的性质求得
∠CAB=∠CBA=65°，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到∠EDF=∠CBA=65°．
【详解】（1）证明：连接OA, OB，∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠CAO=∠CBO，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∴∠CAO=90°．
∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在△ADF与△BED中，
¿
∴△ADF≌△BED(SAS)，
∴∠ADF=∠BED，
∵AC=BC，∠C=50°，
1
∴∠CAB=∠CBA= ×(180°-50°)=65°，
2
∵∠ADF+∠FDE+∠BDE=180°，∠BED+∠CBA+∠BDE=180°，
∴∠EDF=∠CBA=65°．
【变式2】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=75°,∠ABC=45°，连接AO并延长，交
⊙O于点D，过C作AD的平行线交BA延长线于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；
(2)若BD=6，求线段EC的长．
【答案】(1)见详解
(2)6+6❑√3
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得
∠OCE＝90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥CE于点F，可知∠ACB=∠ADB=60°，从而求出
AD的长，再证明四边形AOCF是正方形，得CF=AO=6，再证∠E=30°，从而
EF=❑√3AF=6❑√3，即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=90°，又∵AD∥EC ，
∴∠AOC+∠OCE=180° ，
∴∠OCE=90°，则OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE 与⊙O相切．
（2）如图，作AF⊥CE于点F，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，
∵AF⊥EC，∠OCE=90°，∠AOC=90°，
∴四边形OAFC是矩形，
又∵OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∵∠BAC=75°，∠ABC=45°，
∵A´B=A´B，
∴∠ACB=∠ADB=180°-75°-45°=60°，
∴∠BAD=90°-∠D=30°，
又∵AD∥CE，
∴∠E=∠BAD=30°，
∴AD=2BD=12，
∴OA=OC=AF=CF=6，EF=❑√3AF=6❑√3 ，
∴EC=EF+CF=6+6❑√3．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，正方形的判定与性质，含30° 角的直角三
角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．
【变式3】如图，点D是△ABC的边BC上一点，以CD为直径的⊙O切AB于点E，BF⊥AO交AO延长
线于点F，且∠FBC=∠CAF．(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AC=6，BC=8．
①求⊙O的半径；
②连接CF，求BF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①3；②2❑√5
【分析】（1）根据切线的性质，只要证明∠ACO=90°即可得证；
（2）根据题意，由勾股定理可得AB，连接OE，由切线长定理及切线性质，结合勾股定理列方程求
解即可得到答案；
（3）根据切线性质，利用三角形全等的性质得到△AFG≌△AFB，最后利用勾股定理即可得到答
案．
【详解】（1）证明：∵BF⊥AO，
∴∠BFO=90°，
∵∠FBC=∠CAF，∠COA=∠FOB，
∴∠ACO=∠BFO=90°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：①∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
连接OE，如图所示：
∵AC与AE都为⊙O的切线，
∴AC=AE=6，
∴BE=AB-AE=4，在Rt△BOE中，设OC=OE=r，则有OB=8-r，由勾股定理得(8-r) 2=r2+42，解得r=3，即圆的
半径为3；
②延长AC、BF相交于点G，如图所示：
∵AF⊥BG
，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
∵ AC与AE都为⊙O的切线，
∴OC⊥AC,OE⊥AE,OC=OE，
∴∠CAO=∠EAO，
在△AFG和△AFB中，
¿，
∴△AFG≌△AFB(ASA)，
∴AG=AB=10，BF=GF，
∴CG=BE=4，
在Rt△BCG中，∠BCG=90°，则BG=❑√BC2+CG2=❑√82+42=4❑√5，
1
∴BF= BG=2❑√5．
2
【点睛】本题考查圆综合，涉及切线的证明、勾股定理、切线性质、切线长定理、三角形全等的判定
与性质等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用性质证明圆的相关综合问题是解决问题的关键．
【题型十】切线长定理的应用
【典例10】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点
C在弧AB上，PA=8，则△PEF的周长是（ ）．A．12 B．18 C．24 D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了切线长定理的应用．由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=8，
然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．
【详解】解：∵PA、PB、EF分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴AE=CE，BF=CF，PA=PB=8，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF
=PE+CE+CF+PF=PE+AE+BF+PF
=PA+PB=16．
故选：D．
【变式1】如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若
OB=8cm,OC＝6cm，则BE+CG等于（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】D
【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定
理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解，熟练
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接OF，BE=BF CF=CG ∠OBF=∠OBE
根据切线长定理得： ， ， ，
∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=❑√OB2+OC2=❑√82+62=10(cm)，
∵OF⊥BC，
∴BE=BF，CG=CF
∴BE+CG=BF+CF=BC=10(cm)．
故选：D．
【变式2】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D
两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（ ）
A．60° B．45° C．70° D．90°
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，全等三角形的判定和性质，根据切线性质和切线长定
理可得∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°，DB=DE，CA=CE， 进而可得
1
△AOC≌△EOC(SAS)，△EOD≌△BOD(SAS)，即得∠AOC=∠EOC= ∠AOE，
2
1 1 1 1
∠EOD=∠BOD= ∠BOE，得到∠COD= ∠AOE+ ∠BOE= ∠AOB，再利用四边形
2 2 2 2的内角和求出∠AOB即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接OA、OE、OB，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，CA=CE，
∴∠OAC=∠OEC=∠OED=∠OBD=90°，
又∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC(SAS)，△EOD≌△BOD(SAS)，
1 1
∴∠AOC=∠EOC= ∠AOE，∠EOD=∠BOD= ∠BOE，
2 2
1 1 1 1
∴∠COD= ∠AOE+ ∠BOE= (∠AOE+∠BOE)= ∠AOB，
2 2 2 2
∵∠APB=60°，
∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-60°=120°，
1
∴∠COD= ×120°=60°，
2
故选：A．
【变式3】如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A
作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）)cm2
A．12 B．24 C．8 D．6
【答案】D【分析】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线
长定理得出AB=AF，EF=EC．由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4cm，
EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=(4-x)cm，AE=(4+x)cm，然后在三角形BCE中由勾股定
理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．
【详解】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=(4-x)cm，AE=(4+x)cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
(4-x) 2+42=(4+x) 2，
∴x=1，
∴CE=1cm，
∴DE=4-1=3cm，
∴S =AD⋅DE÷2=3×4÷2=6cm2 ．
△ADE
故选：D
【题型十一】三角形的内切圆
【典例11】如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC,AB,AC于点D，E，F．若△ABC的周长为
24cm，BC=10cm，则AE的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆的性质,再结合三角形
周长求出AE的长度.
根据⊙O是△ABC的内切圆，得到切线长相等，再根据三角形△ABC的周长，以及BC的长度，求
出AE的长度.【详解】∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AE=AF,BE=BD,CD=CF，
∴BE+CF=BD+CD=BC=10cm．
∵△ABC的周长为24cm，
∴AE+AF+BE+CF+BC=24cm，
∴2AE=4cm，
∴AE的长为2cm.
故选：C.
【变式1】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且CD=2，AB=7，
则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长
定理得到CE=CD=2，AE=AF，BF=BD，根据AB=7，于是得到△ABC的周长．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴CE=CD=2，AE=AF，BF=BD，
∵AF+BF=AB=7，
∴AE+BD=AB=7，
∴△ABC的周长=2+2+7+7=18，
故选：A．
【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=17，⊙O与△ABC三边分别相切于点D，E，F，
且OD=3，则△ABC的面积是（ ）A．80 B．70 C．60 D．50
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式
等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接OE、OF、AO、BO，由⊙O与△ABC三边分别相切于点D,E,F，得AB⊥OD，AC⊥OE，
BC⊥OF，OE=OF=OD=3，AE=AD，BF=BD，CE=CF，则AE+BF=AD+BD=AB，推
51
导出S +S =S = ，可证明四边形OECF是正方形，则S =OE2=32=9，求
△AOE △BOF △AOB 2 四边形OECF
得S =S +S +S +S =60，于是得到问题的答案．
△ABC △AOE △BOF △AOB 四边形OECF
【详解】解：连接OE、OF、AO、BO，
∵⊙O与△ABC三边分别相切于点D,E,F，且∠ACB=90°，AB=17，OD=3，
∴AB⊥OD，AC⊥OE，BC⊥OF，OE=OF=OD=3，AE=AD，BF=BD，CE=CF，
∴AE+BF=AD+BD=AB，
∴
1 1 1 1 1 51
S +S = AE⋅OE+ BF⋅OF= (AE+BF)⋅OD= AB⋅OD=S = ×3×17= ，
△AOE △BOF 2 2 2 2 △AOB 2 2
∵∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形OECF是正方形，
∴S =OE2=32=9，
四边形OECF
51 51
∴S =S +S +S +S = + +9=60，
△ABC △AOE △BOF △AOB 四边形OECF 2 2
故选：C．
【变式3】如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，⊙O与BC，AC，AB的切点分别为
D，E，F，若AC=8，BC=6，则⊙O的半径为（ ）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】连接OD，OE，由∠C=90°，AC=8，BC=6，求得AB=10，由⊙O与AC，BC，AB
的切点分别为E，D，F，得AE=AF，BD=BF，CD=CE，由AE+BD=AB=10，求得
CD+CE=2CD=AC+BC-(AE+BD)=4，则CD=2，再证明四边形ODCE是正方形，所以
OD=CD=2，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接OD，OE，
∵∠C=90° AC=8 BC=6
， ， ，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√82+62=10，
∵⊙O与BC，AC，AB的切点分别为 D，E，F，
∴BC⊥OD，AC⊥OE，AE=AF，BD=BF，CD=CE，
∴AE+BD=AF+BF=AB=10，
∴CD+CE=2CD=AC+BC-(AE+BD)=8+6-10=4，
∴CD=2，
∵∠ODC=∠C=∠OEC=90°，OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴OD=CD=2，
∴⊙O的半径长为2，
故选：B．
【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，
求得CD=2，并且证明四边形ODCE是正方形是解题的关键．【题型十二】正多边形与圆的综合
【典例12】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是C´D上一点（不与点C，D重合），连接CP，
DP，则∠CPD的度数为（ ）
A．165° B．150° C．120° D．108°
【答案】B
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形，连接OC、OD，在A´B上任意取
360°
一点Q，连接QC，QD，根据正六边形的性质求出∠COD= =60°，根据圆周角定理得出
6
1
∠CQD= ∠COD=30°，根据圆内接四边形的性质得出∠CPD+∠CQD=180°，然后求出结
2
果即可，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 ∠CQD=30°，是解决问题的关键．
【详解】解：连接OC、OD，在A´B上任意取一点Q，连接QC，QD，如图：
∵多边形ABCDEF是正六边形，
360°
∴∠COD= =60°，
6
1
∴∠CQD= ∠COD=30°，
2
∵四边形CPDQ为圆内接四边形，
∴∠CPD+∠CQD=180°，
∴∠CPD=180°-30°=150°．故选：B．
【变式1】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图
所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B．3 C．π D．2π
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是熟练
运用这些知识点．
如图，过点A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正十二边的圆心角为30°，根据三角形的面积公式即可
求出结论．
【详解】解：由题意可作图如下，过点A作AC⊥OB于C，
360°
∵圆的内接正十二边形的圆心角为 =30°，OA=1，
12
1 1
∴AC= OA= ，
2 2
1 1 1
∴S = ×1× = ，
△OAB 2 2 4
1
即这个圆的内接正十二边形的面积为12× =3，
4
故选：B
【变式2】如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形ABCD的边长为（ ）A．1 B．2 C．4❑√2 D．2❑√2
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键．利用正方形
的性质结合勾股定理即可得出正方形ABCD的边长．
【详解】解：如图所示：连OA，OB，
∵⊙O ABCD
的半径为4，四边形 是正方形，
∴OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴AB=❑√OA2+OB2=4❑√2，
故选：C．
【变式3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若四边形AOCB的面积为8❑√3，则⊙O的半径为
（ ）
A．2 B．2❑√2 C．2❑√3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了圆内接正多边形、菱形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握圆
内接正多边形的性质是解题关键．连接AC,OB于点G，设⊙O的半径为2r，则OA=OB=OC=2r，先证出四边形AOCB是菱形，再根据菱形的性质可得S =2❑√3，然后利用三角形的面积公式建立
△AOG
方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，连接AC,OB于点G，
设⊙O的半径为2r，则OA=OB=OC=2r，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
360°
∴∠AOB= =60°，
6
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB，
同理可得：OC=BC，
∴OA=AB=OC=BC，
∴四边形AOCB是菱形，
1 1
∴OG= OB=r，AC⊥OB，S = S ，
2 △AOG 4 菱形AOCB
∴AG=❑√OA2-OG2=❑√3r，
∵四边形AOCB的面积为8❑√3，
1 1 1
∴S = OG⋅AG= ×8❑√3=2❑√3，即 r⋅❑√3r=2❑√3，
△AOG 2 4 2
解得r=2或r=-2<0（不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径为2r=2×2=4，
故选：D．
【题型十三】弧长的计算
【典例13】已知⊙O半径为18cm，在⊙O中60°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．3πcm B．4.5πcm C．6πcm D．9πcm
【答案】C【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式．直接利用弧长公式计算即可．
60π×18
【详解】解：60°圆心角所对的弧长= =6π（cm）．
180
故选：C．
【变式1】如图，直线l ∥l ，直线m分别交l 、l 于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交
1 2 1 2
l 、l 于直线m同侧的点C、D，∠ADB=35°，AB=9，则C´D的长等于（ ）
2 1
7 7
A．5π B．4π C． π D． π
2 4
【答案】C
【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质
是解题的关键．连接AC，先根据平行线的性质求出∠CBD=∠ADB=35°，
∠ADB=∠ABD=35°，∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB=70°，根
据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵l ∥l ，
1 2
∴∠CBD=∠ADB=35°，
根据作图可知：AB=AC=AD，
∴∠ADB=∠ABD=35°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠DAC=∠ACB=70°，
70π×9 7
∴C´D的长为 = π．
180 2故选：C．
【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=60°，∠ACD=42°．若⊙O的半径为6，则
⏜
的长是（ ）
DC
13 3 6
A． π B． π C． π D．2π
3 5 5
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长计算、三角形内角和定理等知识
点，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键．
先根据圆的内接四边形的性质可得：∠ADC=120°，再根据三角形内角和定理可得∠CAD=18°，
然后运用圆周角定理可得∠COD=36°，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：连接OD，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=60°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=120°，
∵∠ACD=42°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=18°，
∴∠COD=2∠CAD=36°，
∵⊙O的半径为6，
36×π×6 6
∴ ⏜ 的长为 = π．
DC
180 5
故选：C．【题型十四】扇形面积的计算
【典例14】如图，正五边形ABCDE的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分
的面积为（ ）
A．12π B．6π C．108π D．10.8π
【答案】D
【分析】本题考查正多边形的内角和，扇形的面积．
由多边形的内角和可得∠BAE的度数，根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
1
∴∠BAE=(5-2)×180°× =108°，
5
∵AB=AE=6，
108°
∴阴影部分的面积为S=6×6π× =10.8π．
360°
故选：D．
【变式1】一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（ ）
A．260° B．240° C．140° D．120°
【答案】B
nπr2
【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式S = ，代入已知条件求解圆心角n，即
扇形 360
可作答．
【详解】解：设扇形的圆心角为n∘，
∵一个扇形的半径是3，面积为6π，
nπ×32
∴6π= ，
360
解得n=6×40=240，
故选：B．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，BO=2CO=2，以O为圆心，OB的长为半径画弧，这条弧恰好经过点D，且交AD于点E，则阴影部分的面积为（ ）
π π 2π 4π
A． B． C． D．
3 2 3 3
【答案】C
【分析】本题考查的是扇形的面积计算，掌握矩形的性质、等边三角形的性质和扇形的面积公式
nπr2
S= 是解题的关键．
360
根据矩形的性质得到△ODE为等边三角形，根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】如答图，连接OD，
由题意得，OB=OE= OD，
∴OD=2OC=2，
OC 1
∴sin∠ODC= = ，
OD 2
∴∠ODC=30°，
则∠ODE= 60°，
∴△ODE为等边三角形，
∴ ∠BOE=180°-60° -60°=60°，
60π×22 2π
∴阴影部分的面积为 = ．
360 3
故选：C．
【变式3】中华美食讲究色香味美，优雅的摆盘能让美食锦上添花．图①外围的每一个拼盘的形状都是扇
形的一部分，图②是其中一个的示意图（阴影部分为拼盘）．测量得到AO=13cm，CO=3cm，
∠AOB=72°，则图②所示的拼盘面积为（ ）182 91
A． πcm2 B． πcm2 C．64πcm2 D．32πcm2
5 5
【答案】D
【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据S =S -S ，结合扇形面积计算公式求
拼盘 扇形AOB 扇形COD
解即可．
【详解】解：S =S -S
拼盘 扇形AOB 扇形COD
72π×132 72π×32
= -
360 360
=32π(cm2)，
故选：D．
【题型十五】圆锥的侧面积
【典例15】将如图所示的图形绕虚线所在直线旋转一周形成的几何体的侧面积是（ ）
A．12cm2 B．15cm2 C．12πcm2 D．15πcm2
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆锥体，扇形的面积，勾股定理，解题的关键是掌握扇形和弧长关系的面积
公式．
利用勾股定理求出圆锥体的母线，利用扇形面积和弧长关系的公式进行求解即可．
【详解】解：该图形旋转一周得到的是圆锥体，
∴由勾股定理得出圆锥体的母线长为❑√32+42=5，
1
∴圆锥体的侧面积为
×2×π×3×5=15πcm2
，
2故选：D．
【变式1】把一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为
4πcm的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A．8πcm2 B．9πcm2 C．19πcm2 D．27πcm2
【答案】B
【分析】本题考查圆锥的计算和扇形面积的计算，先求出围成圆锥的扇形弧长为4πcm，已知扇形的
弧长为6πcm，可知粘贴部分的弧长为2πcm，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面周长为4πcm，
∴围成圆锥的扇形弧长为4πcm，
120π×9
∵已知扇形的弧长为 =6π(cm)，
180
∴粘贴部分的弧长为6π-4π=2π(cm)，
1
∴圆锥上粘贴部分的面积是
×2π×9=9π(cm2)．
2
故选：B．
【变式2】如图，是用绸布所制作的清代官员夏日官帽，要制作一个底面半径为16cm，高为12cm的圆锥
形官帽，则所需扇形绸布的面积为（ ）
A．240π cm2 B．280π cm2 C．320π cm2 D．640π cm2
【答案】C
【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，已知底面半径和高，根据勾股定理可计算出母线长为20cm，
1 1
同时计算出展开后扇形弧长为32π，所以侧面积为S= lR= ×32π×20=320π．
2 2
【详解】解：如图，根据题意：BD=CD=16cm,AD=12cm,AB=AC，
∴圆锥形官帽的母线长为：AB=AC=❑√CD2+AD2=20cm，
∵圆锥形官帽展开后扇形弧长为：l=2×π×16=32πcm，
1 1
∴侧面积为S= lR= ×32π×20=320π．
2 2
故选：C．
【题型十六】不规则图形的阴影面积
【典例16】如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作B´C与弦AC相切．已知AB=4，
∠ABC=30°，则阴影部分的面积为（ ）
1 5 1 5 1
A．2❑√3- π B． ❑√3-π C．❑√3- π D． ❑√3- π
2 4 2 4 2
【答案】D
【分析】设B´C与AB交于点D，B´C的圆心为O，连接OD，CD，利用圆周角定理和圆的切线的性质
得到BC经过圆心O，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得OC,CD，再利用阴影部分的
面积=S +S -S 解答即可得出结论．
△ACD △OCD 扇形OCD
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，扇形与三角形的面积，直角三角
形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加
的辅助线．
【详解】解：设B´C与AB交于点D，B´C的圆心为O，连接OD，CD，如图，∵AB
为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵过B，C两点作B´C与弦AC相切，
∴BC经过圆心O，
即BC为直径，
∴∠CDB=90°，
∵∠ABC=30°，
1 1
∴AC= AB=2，CD= BC，∠COD=60°，
2 2
∵BC=❑√AB2-AC2=2❑√3，
∴OC=OB=CD=❑√3，
∴AD=❑√AC2-CD2=1，
∴BD=AB-AD=3，
∵OB=OC，
1 1 1 3❑√3
∴S = S = × ×3×❑√3= ，
△ODC 2 △BCD 2 2 4
∴阴影部分的面积=S +S -S
△ACD △OCD 扇形OCD
1 3❑√3 60π×(❑√3) 2
= ×1×❑√3+ -
2 4 360
5❑√3 1
= - π.
4 2
故选：D
【变式1】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，以点C为圆心，CB的长为半径在⊙O内画弧．若
AB=❑√2，则图中阴影部分的面积为（ ）π π π
A． B． C．1 D． +1
2 4 4
【答案】C
【分析】先证明∠BCD=90°，△ABD，△BCD为等腰直角三角形，求出OB=1，然后根据
S =S -(S -S )求解即可．
阴影 半圆 扇形CBD △BCD
【详解】解：如图，连接BD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠BCD=90°，△ABD，△BCD为等腰直角三角形，
∴BD是直径．
∴BD=❑√2AB=2
，
∴OB=1，
∴S =S -(S -S )
阴影 半圆 扇形CBD △BCD
π⋅OB2 (90π⋅BC2 1 )
= - - BC⋅CD
2 360 2
π×12 π
= -( -1 )=1．
2 2
故选C．
【点睛】本题考查了扇形面积公式，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的知
识是解答本题的关键．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点E，F，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（ ）
25π 25π 25π 25π
A．10- B．20- C．40- D．40-
4 2 2 8
【答案】C
【分析】将阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差，转化为求矩形面积和扇形面积的差，通过对图形进行
合理的组合与拆分来找到面积关系即可得解．本题主要考查矩形面积公式、扇形面积公式以及图形面
积的转化思想．解题的关键在于通过设空白部分面积为辅助量，将阴影部分面积差转化为矩形面积与
两个扇形面积的差，灵活运用面积公式进行计算．
【详解】解：设矩形中除阴影部分Ⅱ外的部分面积为S．
∵AB=5，AD=8，
∴S =5×8=40．
矩形
∵以A、D为圆心，AB长为半径画弧，AB=5，且∠A=∠D=90°，
90π×52 25π 25π 25π
∴一个扇形面积S = = ，两个扇形面积S =2× = ．
扇形 360 4 两扇形 4 2
阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差可转化为(S +S)-(S +S)，即S -S ．
Ⅱ Ⅰ 矩形 两扇形
25π
∵S =40， S =
矩形 两扇形 2
25π
∴S -S =40- ．
矩形 两扇形 2
故选：C．
【题型十七】圆锥侧面最短路径问题
【典例17】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬
过的最短距离．【答案】（1）90°；（2）4❑√2
【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求
解；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解．
nπ×4
【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝ ，解得n＝90°；
180
（2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°．
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝4÷❑√2=2❑√2，
∴AC＝2AD＝4❑√2，
即这只蚂蚁爬过的最短距离4❑√2．
【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决
本题的关键．
【变式1】如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB=9cm．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A
点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．9❑√3 9
【答案】 / ❑√3
2 2
【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角∠APA'的度数，然后利用
9❑√3
等边三角形的判定与性质、勾股定理可得AC= ，最后根据两点之间线段最短即可得．
2
【详解】画出圆锥侧面展开图如下：
如图，连接AB、AC，
设圆锥侧面展开图的圆心角∠APA'的度数为n°，
因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，
nπ×9
所以 =2π×3，
180
解得n=120，
1
则∠APB= APA'=60°，
2
又∵AP=BP=9，
∴△ABP是等边三角形，
∵点C为PB的中点，
1 9
∴AC⊥BP，CP= BP= ，
2 2
9❑√3
在Rt△ACP中，AC=❑√AP2-CP2=
，
29❑√3
由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为AC= ，
2
9❑√3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥
侧面展开图是解题关键．
【变式2】如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍，
（1）求它的侧面展开图的圆心角．
（2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长
【答案】（1）它的侧面展开图的圆心角为90°；（2）BB′＝8❑√2．
【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长
nπl
等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝ ，然后求出n的值即可；
180
（2）连接BB′，如图，根据两点之间线段对短得到BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最
短路径，然后利用△ABB′为等腰直角三角形得到BB′的长．
【详解】解：（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，
nπl
根据题意得2πr＝ ，
180
而l＝2r，
nπ⋅2r
所以2πr＝ ，解得n＝90，
180
所以它的侧面展开图的圆心角为90°；
（2）连接BB′，如图，
此时BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，
∵r＝4，
∴l＝2r＝8，
∵∠BAB′＝90°，
∴△ABB′为等腰直角三角形，∴BB′＝❑√2AB＝8❑√2．
【点睛】
本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆锥侧面求最短路径问题，解答关键是根据公式计算求出
圆心角和将立体问题转化为平面问题加以解决．
【题型01 ：垂径定理及应用】
1．阅读材料，回答问题．
材料背景
遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示
的图形，且测得水面宽度AB为24m，拱高CD（孤的中点到水面的距离）为8m．
问题解决
(1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径．
(2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升2m，求此时水面的宽度．
【答案】(1)主桥拱所在圆的半径为13m
(2)此时水面的宽度为4❑√30m
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键.
（1）连接OA,OC，设半径OA=OD=rm，在Rt△AOC中，利用勾股定理列方程求解.
（2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF.【详解】（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接OA,OC．
⏜
∵D DC⊥AB
AB
是 的中点， ，
∴O,C,D三点在一条直线上，
1
∴AC=BC= AB=12m．
2
设OA=OD=rm，则OC=OD-CD=(r-8)m．
在Rt△AOC中，由勾股定理，得OC2+AC2=OA2，
即(r-8) 2+122=r2，解得r=13．
故主桥拱所在圆的半径为13m．
（2）解：如图②，记桥下水面上升2m所在水面为EF，EF交CD于点G，连接OF,OC．
由题意，得CG=2m,
∴DG=CD-CG=6m,
∴OG=OD-DG=7m．
在Rt△OGF中，由勾股定理，
得GF=❑√OF2-OG2=2❑√30m,
∴EF=2GF=4❑√30m．
故此时水面的宽度为4❑√30m．
【题型02 ：点与圆上一点最值问题】
2．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点
D， P为DC上的任意一点，若MN=26,AC=12,BD=5，则PA+PB的最小值为（ ）A．15❑√2 B．17❑√2 C．17❑√3 D．15❑√3
【答案】B
【分析】连接OA、OB，根据AC⊥MN，BD⊥MN，用勾股定理计算得到OC、OD；延长BD与
⊙O相交于点G，推导得当点P在直线AG上时，PA+GP取最小值；过G作GH⊥AC于点H，经证
明四边形CDGH是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG的值，即可完成求解．
【详解】解：如图，连接OA、OB，
∵过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，
∴OB2=BD2+OD2=25+OD2，OA2=AC2+OC2=144+OC2，
∵MN=26，A、B是⊙O上的两点，
1
∴OA=OB= MN=13 ，
2
∴169=25+OD2，169=144+OC2，
∴OD=12，OC=5，
∴CD=OD+OC=17 ，
延长BD与⊙O相交于点G，
∵MN为⊙O的直径，BD⊥MN，
∴BP=GP，BD=GD=5，
∴PA+PB=PA+GP ，
当点P在直线AG上时，PA+GP取最小值，且最小值=AG，
过G作GH⊥AC于点H，
又∵AC⊥MN,BD⊥MN，∴CD∥GH，DG∥CH，∠DCH=90° ，
∴四边形CDGH是矩形，
∴GH=CD=17，CH=DG=5 ，
∴AH=AC+CH=17 ，
∴AG=❑√AH2+GH2=❑√172+172=17❑√2 ，
∴PA+PB的最小值是：17❑√2，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握
勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．
【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】
3．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角
为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是( )
A．-1≤x≤1 B．-❑√2≤x≤❑√2 C．-❑√2
