文档内容
专题 04 圆（期末复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
圆的认识及相关 探索圆的两种定义，确定圆的两大要 较少单独考查，且难度一般相对较低，注
概念 素，理解并掌握弦、弧、等圆、等弧等 意易错知识的区分即可应对考题。
概念，并能够从图形中进行识别。
垂径定理及应用 掌握垂径定理及其推论，理解其证明， 高频考查基本模型计算，核心方向是与勾
并会用它解决有关的证明与计算问题。 股定理结合构建方程，解决“知二求三”
问题。
弧、弦、圆心角 理解弧、弦、圆心角的概念和关系；掌 考查核心是“等对等”关系的理解与应
握圆心角与弧、弦的关系公式。 用，常作为证明角相等、弧相等、弦相等
的关键桥梁。
圆周角、圆周角 掌握圆周角与圆心角、直径的关系，理 此定理是圆几何的“心脏”，高频考查定
定理及应用 解圆周角定理的推论，并运用推论进行 理本身的应用，核心方向是转化角的关系
有关的计算和证明。 （特别是指向90°直角）以证明相似、垂直
或进行综合计算。
圆内接四边形的 掌握并熟练应用其核心性质——对角互 作为圆周角定理的高级推论，核心考查对
性质 补与一个外角等于其内对角，以此解决 角互补与外角等于内对角性质的应用，是
角度计算与证明问题。 解决圆中角度计算与证明问题的关键桥
梁。
点和圆的位置关 理解点与圆的位置关系并掌握其运用； 作为基础概念，直接考查频率不高，但其
系 理解不在同一直线上的三个点确定一个 核心判据是解决与“确定圆心”、“确定
圆并掌握它的运用；了解三角形的外接 半径范围”相关问题的理论基石。
圆和三角形外心的概念及反证法的证明
思想。
切线的性质与判 理解直线与圆有相交、相切、相离三种 作为圆与直线关系的核心枢纽，必考且常
定 位置关系；了解切线的概念，探索切线 以综合题形式出现，核心是“连半径，证
与过切点的直径之间的关系；理解切线 垂直”（判定）和“见切线，连半径”
的判定定理与性质定理；会用切线的判 （性质）的思维固化。
定定理与性质定理解决简单问题。
正多边形和圆 理解正多边形和圆的关系，知道把圆分 直接考查频率中等，但其“中心-半径-边心
成相等的一些弧，就可以得到这个圆的 距-中心角”的直角三角模型是核心考点，
内接正多边形；理解正多边形的边长、 常与弧长、扇形面积及阴影面积计算结
半径、边心距和中心角等概念，会计算 合。
正多边形的边长、半径、边心距、 中心
角、周长和面积；会应用正多边形的有
关知识解决圆中的计算问题。
弧长和扇形面积 理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧 核心考查公式的直接与逆向应用，高频方
长、扇形的面积；通过用弧长和扇形面 向是与圆、三角形等图形结合求组合图形
积公式解决实际问题。 （尤其是阴影部分）的面积。
圆锥、圆柱的相 掌握三大核心公式（侧面积、全面积、 核心考查侧面展开图与立体图形的转化，
关计算 体积）及其内在联系，并熟练完成“立 以公式应用为基础，以实际问题和组合体
体图形”与“侧面展开图”之间的信息 计算为常见出题方向。
转化。知识点01 圆的认识及相关概念
1．圆的定义
（1）描述性定义：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的
图形叫作圆．其固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，
读作“圆O”．
（2）集合性定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．定点称为圆心，定长称为半径．
2．圆的特征：
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
3．与圆有关的概念
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．如图，AB，AC是弦．
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径．如图，AB是直径．
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．
其中大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图中的 ；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母
表示，如图中的 ．
（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆
的半径相等．
（6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
4．圆的对称性
（1）轴对称：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴（圆的对称轴有无数条）．注意：圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线．
（2）中心对称：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
知识点02 垂径定理及应用
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．垂径定理应用中常作的辅助线：
（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角
三角形；
（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直
径，再“连半径”，构造直角三角形．
4．垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
知识点03 弧、弦、圆心角
1．圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．
2．弧、弦、圆心角之间的关系
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
3．拓展
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距．有关弦的问题常常添加圆心到弦的垂线作为辅助线．
（2）在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中如果有一组量相等，那么它们
所
对应的其余各组量都分别相等．
知识点04 圆周角、圆周角定理及应用
1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：同一条弧所对的圆周角有无数个，圆心角只有一个．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
3．在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
知识点05 圆内接四边形的性质
1．概念
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形
的外接圆．
如图，四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD 的外接圆．
注意：
（1）所有的三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆；
（2）四边形外接圆的圆心到这个四边形各个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径；
（3）如果四边形各个顶点到某一点的距离相等，那么这个四边形的四个顶点都在一个圆上（四点共
圆）．
2．圆内接四边形的性质：
（1）圆内接四边形的对角互补．
（2）四个内角的和是360°；
（3）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
知识点06 点和圆的位置关系
1.点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；
②点P在圆上⇔d＝r；
①点P在圆内⇔d＜r．
2.符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
知识点07 切线的性质与判定
1．切线的性质
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径．
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2．切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半
径，见垂直．
3．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．在应用切线的判定定理时注意：
（1）切线必须满足两个条件：
①经过半径的外端；
②垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
（2）切线的判定定理实际上是从圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来
的．
知识点08 正多边形和圆
1．把圆分成n（n≥3）等份．
（1）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且这两个圆是同心圆．
3．证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法：
（1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可．
（2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等．
技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形．
易错点：易把正多边形的内切圆的半径（即边心距）当作正多边形的半径．
4．正多边形的有关概念（1）中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
（2）半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
（3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
（4）边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距．
5．正多边形的有关计算
（1）中心角：正n边形的每个中心角为 ．
（2）内角：正n边形的每个内角的度数为 （或 ）．
（3）外角：正n边形的每个外角为 ．
（4）正n边形的周长l=na（a为边长）．
（5）面积：正n边形的面积S= nar= rl（a为边长，r为边心距，l为周长）．
6．正多边形的相关计算技巧：
（1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形．有关正n边形的计算问题都转化为直角三
角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形；
（2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的 倍，正方形的边长等于它的半径
的 倍．
知识点09 弧长和扇形面积
1.弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．2.扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2．
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S ＝ πR2或S ＝ lR
扇形 扇形
（其中l为扇形的弧长）
4.求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
5.求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
知识点10 圆柱、圆锥的相关计算
1．圆锥侧面展开图：
（1） = ．
（2）圆锥的体积： ．
B1
O
R
C
A r B
2．圆柱侧面展开图：
= ．D
A D1
母线长
底面圆周长
B C1
C
3．圆柱的体积：
．
题型一 圆的认识及相关概念
易｜错｜点｜拨
圆的对称轴是过直径的直线，而非直径。
【典例1】下列说法中正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦
【典例2】下列说法，其中正确的有（ ）
①过圆心的线段是直径
②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形
③大于半圆的弧叫做劣弧
④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧叫做等弧
B．半圆不是弧
C．过圆心的线段是直径
D．直径是弦
【变式2】下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二 垂径定理及应用
解｜题｜技｜巧
解题思路：将圆中有关线段的问题转化到直角三角形中解决
解题方法：根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，连接半径，利用圆心到弦的垂线段、过弦端点的半径
以及弦长的一半构造直角三角形，进而解决问题．
【典例1】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例 2】如图，在⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB 于点 D，若 OC＝10，AB＝16，则 CD 的长为
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【典例3】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 AB＝48cm，水的最大深度为
16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52【变式1】如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式2】如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（ ）
A．13m B．15m C．20 m D．26m
题型三 弧、弦、圆心角
解｜题｜技｜巧
正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知
一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所
得图形与原图形完全重合．
圆中证明弧、弦、圆心角相等或倍分关系的方法：
在圆中证明弧、弦、圆心角的相等或倍分关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关
系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论.
【典例1】如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（ ）A．56° B．60° C．62° D．28°
【变式1】如图，在⊙O中，AB是直径，^BC=C^D=^DE，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【变式2】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点
F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．16
题型四 圆周角、圆周角定理及应用
解｜题｜技｜巧
（1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关
系进行转化．
（2）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化．
（3）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧
所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
【典例1】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝75°，则
∠BAC的度数是（ ）A．15° B．25° C．30° D．75°
【变式1】如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（ ）
A．70° B．72° C．80° D．84°
【变式2】如图，在⊙O中，AB平分∠OBC，∠OAB＝26°，则∠AOC的度数为（ ）
A．128° B．76° C．52° D．26°
题型五 圆内接四边形的性质
解｜题｜技｜巧
用性质前看前提，用推论时找对边角，牢记“互补”非“相等”。
【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝113°，则∠BAC的度
数为（ ）A．13° B．23° C．26° D．30°
【典例2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是（ ）
A．55° B．110° C．130° D．140°
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝80°，则∠D为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．160°
【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝66°，^AD=C^D，连结AC，则∠CAD的度数为（ ）
A．28° B．30° C．33° D．35°
【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
A．64° B．61° C．62° D．60°
题型六 点和圆的位置关系解｜题｜技｜巧
“比较d和r，三步要清晰：小于内，等于上，大于外；遇坐标，用公式；作判断，定圆心。”掌握
这个数形结合的核心思想，就能避免绝大部分错误。
【典例1】⊙O的半径为6，同一个平面内有一点P，且OP＝7，则P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．无法确定
【变式1】⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．无法确定 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O内
题型七 切线的性质与判定
解｜题｜技｜巧
直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共
点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
【典例1】⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为4，则反映直线l与⊙O位置关系的图形（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】如图，已知AB是半⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠A＝
20°，则∠D＝（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°【典例3】如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相
交于点D，连接CD，△且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，CE＝2，求半径的长．
【变式1】若圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
【变式2】如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB．若∠P＝26°，则∠B
的度数为（ ）
A．64° B．52° C．42° D．32°
【变式3】如图，AB是⊙O的直径，^AD=^DC=^BC，过点C作CE⊥AD于点E．
（1）求∠DAB的度数；
（2）证明：直线CE是⊙O的切线．题型八 正多边形和圆
解｜题｜技｜巧
“遇正多边形，先构直角形：中心、边心距、半边加半径。公式用二分之一周长乘以边距，概念分清
心角与内角。”抓住“一个中心、一组直角三角形”的通用解法，即可化繁为简。
【典例1】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为^ED上的一点，则∠APC的度数为（ ）
A．36° B．60° C．65° D．72°
【典例2】如图，将正五边形ABCDE绕它的中心O顺时针旋转一定角度α（α＞0），可以使边BA与AE
重合，则α的最小值为（ ）
A．108° B．36° C．180° D．72°
【典例3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
（1）求正六边形的边心距；（2）求正六边形ABCDEF的面积．
【变式1】正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房
孔是边长为 6 的正六边形 ABCDEF，若⊙O 的内接正六边形为正六边形 ABCDEF，则 BF 的长为
（ ）
A．2❑√3 B．4❑√3 C．6❑√3 D．6
【变式2】如图，正六边形ABCDEF的边长是2，点P是AD上的一动点，PB+PC的最小值是 ．
【变式3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
（1）求点O到AB的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．题型九 弧长和扇形面积
解｜题｜技｜巧
“公式分母要记清（弧长180，面积360），n是度数不带单位。阴影面积用割补，黄金公式
是捷径。”抓住 “比例思想” 和 “割补转化” 两大核心，即可破解绝大多数题目。
【典例1】在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（ ）
5 15 5 15
A． π B． π C． π D． π
2 2 4 4
如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，⊙O的半径为2，则此阴影部分的面积为（ ）
8 2 8 2
A． π B． π C． D．
9 9 9 9
【典例3】如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若^AB与C^D所在圆的圆
心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
3
A．π B．2π C． π-2 D．2π﹣2
2
【典例4】如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．
（1）求证：点D是^BC的中点．（2）若AC＝OD＝6，求阴影部分（弓形AC）的面积．
【变式1】已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长为（ ）
2 2 4 4
A． B． π C． D． π
3 3 3 3
【变式2】已知扇形的圆心角为120°，其半径为3，则该扇形的面积为 ．
【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板可按如图方式剪下一个边长为1的正方形，则阴影部分图形的面积
之和为 ．（结果保留π）
【变式4】如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，
连接CD、BE、DE．
（1）若AD＝1，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π）
（2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．
题型十 圆锥、圆柱的相关计算【典例1】在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为 80cm，母线为50cm，求裁剪
的面积．
【典例2】把一个圆柱侧面展开得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是 10厘米，那么圆柱的高是
（ ）厘米．
A．62.8 B．31.4 C．15.7 D．20
【变式1】一个圆锥的母线为4cm，底面圆的直径为2cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．4πcm2 B．6πcm2 C．8πcm2 D．12πcm2
【变式2】如图，把圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加了
80cm2，已知圆柱的高是10cm，那么圆柱的底面积是 cm2.（结果保留π）
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．如图，已知AB是圆的直径，∠A=30∘，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
2．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠C=83°，则∠A的度数是（ ）A．83° B．87° C．93° D．97°
3．已知⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系为（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定
4．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长为（ ）
A．3π B．4π C．5π D．6π
6．已知⊙O的半径是2，圆心O到直线l的距离为2.5，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B=100°，则∠ADE= ．
8．北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界
观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形ABCDEF）的外接圆，则正六边形中心
角∠AOF的度数为 ．期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，连接BD，CD，若
∠ABC=30°，则∠D=（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
2．如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦AB的长8cm，液面的最大深度CD=2cm，则圆的半径（ ）cm．
A．5 B．5❑√2 C．6 D．2❑√5
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，
∠E=40°，则∠CDB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°4．如图，在平面直角坐标系中，点P是正六边形ABCDEF的边AB与y轴的交点，C(-4,0),F(4,0)，点
A在第一象限．将△OAP绕点O顺时针旋转90°后点A的对应点的坐标为（ ）
A．(3,-❑√3) B．(4,-2❑√3) C．(0,-4) D．(2❑√3,-2)
5．如图，已知扇形OAB，在其内部作一个菱形ODCE，其中点D、E分别在OA、OB上，点C在A´B上．
若OA=2，∠AOB=60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
π ❑√3 π 2❑√3 2π 2❑√3 2π ❑√3
A． - B． - C． - D． -
3 3 3 3 3 3 3 3
6．如图，在半径为10cm的⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，则扇形OAB的面积为 ．
7．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，∠BCD=112.5°，则弧BD的长为 ．
（结果保留π）
8．如图，△ABC内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到线段AD，此时点C的对应点D恰好落在AB上，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接OC、OE．
(1)求∠EOC的度数；
(2)若OB=2❑√2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1
1．如图，AC是⊙O的直径，AC=4，∠ACB=60°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+ BD的
2
最小值为（ ）
A．2 B．❑√3 C．2❑√3 D．4
2．如图，
⊙O
是正方形
ABCD
的外接圆，
△AEF
是等边三角形．若
AB=2
，则 ⏜ 的长度为（ ）
CEπ 2π ❑√2π ❑√2π
A． B． C． D．
3 3 3 6
3．点P是半圆上的一个动点，圆心为O，将P´B沿着PB翻折，与直径AB交于点C，B´C的中点为D．若已
知AB=4❑√2，则当点P从点A运动到点B的过程中，点D的运动路径长为 ．
4．已知A，B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为A´B所对的圆周角．
【知识回顾】
（1）如图①，在⊙O中，点B，C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C=135°．①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长．
【逆向思考】
（2）如图②，P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB，∠APB=2∠C．求证：点P为该圆的圆心．
5．如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，点C是劣弧的中点，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB，DC交于点E，连接BC，CF．
(1)若∠ABC=60°，求∠E的度数；
(2)求证：DE是⊙O的切线；
AB-AF
(3)是否存在常数k，使得 =k，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
DF
