文档内容
专题 01 集合和常用逻辑用语
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................7
题型一：集合的基本概念 7
题型二：集合间的基本关系 8
题型三：集合的运算 9
题型四：充分条件与必要条件 10
题型五：全称量词与存在量词 12
重难点突破：以集合为载体的创新题 13有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分
值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能
力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
理解集合，掌握
集合的基本概念 2023年上海卷第13题，4分
基本要素
2024年北京卷第1题，5分 预测 2025 年高考，
多以小题形式出现，也有
2024年甲卷（文）第2题，5分 可能会将其渗透在解答题
熟练掌握集合的 2024年天津卷第1题，5分 的表达之中，相对独立．
集合的运算 并、交、补集运 具体估计为：
算方法 2023年 I卷第1题，5分 （1）以选择题或填
2022年I卷第1题，5分 空题形式出现，考查学生
的综合推理能力．
2021年I卷第1题，5分
（2）热点是集合间
2024年北京卷第5题，5分 的基本运算、数轴法的应
用和体现集合的语言工具
2024年甲卷（理）第9题，5分
作用．
理解充分必要， 2024年天津卷第2题，5分
充分条件与必要条件 掌握逻辑判断，
熟练应用题解 2023年天津卷第2题，5分
2022年天津卷第2题，5分
2021年甲卷第7题，5分1、集合中的逻辑关系（备注：全集为I）
（1）交集的运算性质．
A∩B=B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩I=A，A∩A=A，A∩∅=∅．
（2）并集的运算性质．
A∪B=B∪ A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪I=I，A∪ A=A，A∪∅=A．
（3）补集的运算性质．
， ， ， ， ．
∁ (∁ A)=A ∁ ∅=I ∁ I=∅ (∁ A)∩A=∅ A∪(∁ A)I
I I I I I I
补充性质： ．
A∩B=A⇔A∪B=B⇔A⊆B⇔∁ B⊆∁ A⇔A∩∁ B=∅
I I I
（4）结合律与分配律．
结合律： ．
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
分配律： ．
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
（5）反演律（德摩根定律）．
．
∁ (A∩B)=(∁ A)∪(∁ B)，∁ (A∪B)=(∁ A)∩(∁ B)
I I I I I I
即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”．
2、由 个元素组成的集合 的子集个数
n(n∈ N∗) A
的子集有 个，非空子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．
A 2n 2n−1 2n−1 2n−2
3、容斥原理
．
Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)−Card(A∩B)
4、从集合与集合之间的关系上看
设 ．
A={x|p(x)},B={x|q(x)}
（1）若A⊆B，则p是q的充分条件（p⇒q），q是p的必要条件；若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即p⇒q且q⇏ p；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”．
（2）若B⊆A，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
（3）若A=B，则p与q互为充要条件．
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p： ， ；命题q： ， ，
∀x∈ R |x+1|>1 ∃x>0 x3=x
则（ ）
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
2．（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取
P ,P ,P ∈ Ω
，存在不全为0的实数
λ ,λ ,λ
，使得
λ ⃗OP +λ ⃗OP +λ ⃗OP =0⃗
．已知
(1,0,0)∈ Ω
，
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
则 的充分条件是（ ）
(0,0,1)∉Ω
A． B．
(0,0,0)∈ Ω (−1,0,0)∈ Ω
C． D．
(0,1,0)∈ Ω (0,0,−1)∈ Ω
3．（2024年北京高考数学真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
⃗a ⃗b (⃗a+⃗b)·(⃗a−⃗b)=0 ⃗a=−⃗b ⃗a=⃗b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量 ，则（ ）
⃗a=(x+1,x),⃗b=(x,2)
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
x=−3 ⃗a⊥⃗b x=−3 ⃗a//⃗b
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
x=0 ⃗a⊥⃗b x=−1+√3 ⃗a//⃗b
5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合 ，则 （ ）
A={1,2,3,4,5,9},B=¿ ∁ (A∩B)=
A
A． B． C． D．
{1,4,9} {3,4,9} {1,2,3} {2,3,5}6．（2024年天津高考数学真题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
a,b∈ R a3=b3 3a=3b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2π
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列{a }的公差为 ，集合S={cosa |n∈ N∗}，
n 3 n
若 ，则 （ ）
S={a,b} ab=
1 1
A．－1 B．− C．0 D．
2 2
y x
8．（2023年北京高考数学真题）若xy≠0，则“x+ y=0”是“ + =−2”的（ ）
x y
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集 ，集合 ，则
U={0,1,2,4,6,8} M={0,4,6},N={0,1,6}
（ ）
M∪∁ N=
U
A． B． C． D．
{0,2,4,6,8} {0,1,4,6,8} {1,2,4,6,8} U
10．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
sin2α+sin2β=1 sinα+cosβ=0
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集U=Z,集合
， （ ）
M={x∣x=3k+1,k∈ Z},N={x∣x=3k+2,k∈ Z} ∁ (M∪N)=
U
A．{x|x=3k,k∈ Z} B．{x∣x=3k−1,k∈ Z}
C．{x∣x=3k−2,k∈ Z} D．∅
12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合 ，集合 ， ，则
U=R M={x|x<1} N={x|−1−1}
C．
M={x∣y=lgx},N={y∣y=ex+5}
D．
M={(x,y)∣x2= y2},N={(x,y)∣y=x}
题型三：集合的运算
【典例3-1】已知集合A=¿，则A∩B=（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【典例3-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知全集
，则 （ ）
U=A∪B={x∈ N∣0≤x≤10},A∩(∁ B)={1,3,5,7} B=
U
A．{1,3,5,7} B．{2,4,6,8} C．{1,3,5,7,9} D．{0,2,4,6,8,9,10}
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、
并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
【变式3-1】（2024·高三·黑龙江佳木斯·期中）已知集合 ， { 1 }，则
A={x|10 A∪B=
x−2
（ ）
A． B． C． D．
{x|21} {x|x>2}【变式3-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一
个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的
同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人
.
【变式3-3】（2024·江西九江·模拟预测）设 ，若 ，
U={5,6,7,8,9} A∩B={8},(∁ A)∩B={6}
U
，则集合 ．
(∁ A)∩(∁ B)={5,9} A=
U U
1．（多选题）设U为全集，集合A,B,C满足条件A∪B=A∪C，那么下列各式中不一定成立的是（
）
A．B⊆A B．C⊆A
C．
A∩(∁ B)=A∩(∁ C)
D．
(∁ A)∩B=(∁ A)∩C
U U U U
2．（多选题）已知集合A,B均为R的子集，若A∩B=∅，则（ ）
A． B．
A⊆∁ B ∁ A⊆B
R R
C． D．
A∪B=R (∁ A)∪(∁ B)=R
R R
3．已知集合
A={x∣4x2−x−5>0},B={x∣x>m}
，若
m=0
，则
(∁ A)∩B=
；若
R
A∪B=R，则m的取值范围为 .
4．（2024·高三·重庆沙坪坝·开学考试）设集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围为
M=¿ N=¿ M∩∁ N=∅ k
R
.
题型四：充分条件与必要条件
4
【典例4-1】（2024·高三·福建宁德·期中）对任意实数x∈ (2,+∞),“aa x2−2x−3<0 a
A． B． C． D．
(−∞，−1) (−∞，−1] (−1,+∞) [−1,+∞)
抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知 y=f'(x) 是 y=f (x) 的导函数，则“ f' (x )=0 ”是“ x 是函数
0 0
的一个极值点”的（ ）
y=f (x)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）设a,b∈ R，则使a>b成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
a3>b3 lg(a−b)>0
C． D．
a2>b2 |a|>b
【变式4-3】（多选题）（2024·山东临沂·二模）已知a，b∈ R，则使“a+b>1”成立的一个必要不充分
条件是（ ）
4 b+1
A．a2+b2>1 B．|a|+|b|>1 C．2a+2b>1 D． + >10
a b
【变式4-4】已知集合 ，若“ ”是“
A={x∈ N∗|1≤x<3},B={x|ax2−(2+a)x+2=0} x∈ B x∈ A
”的充分不必要条件，则实数a的所有取值组成的集合是 .
1．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 ．
|x−3|≤a −1≤x≤7 a
1
2．“ <1”是“x2>1”的（ ）
x
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（多选题）若 ，则“ ”成立的充分不必要条件可以为（ ）
x∈ R 2x2−3x−2<0A． B．
x∈[−1, 2) x∈(0, 1)
C． D．
x∈(0, 2) x∈(−1, 1)
4．已知集合 ，集合 其中 是 的充分不必要条
A={x|x2+7x+12≤0} B={x|1−2m0,a2+1<2
A． B．
∃a>0,a2+1≥2 ∃a≤0,a2+1≥2
C． D．
∀a>0,a2+1≥2 ∀a≤0,a2+1≥2
【典例5-2】[新考法]（2024·吉林长春·模拟预测）已知定义域为 的函数 不是偶函数，则（ ）
R f (x)
A． B．
∀x∈ R,f (−x)+f (x)≠0 ∀x∈ R,f (−x)−f (x)≠0
C．
∃x ∈ R,f (−x )+f (x )≠0
D．
∃x ∈ R,f (−x )−f (x )≠0
0 0 0 0 0 0
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定
结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当¬p的真假不易判断时，可转化为去判断p的真假.
【变式5-1】已知命题 ：命题 .若p为假命题，
p:∃x∈ [0,3],a=−x2+2x q:∀x∈ [−1,2],x2+ax−8≤0
q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
[−3,1] (−∞,2]
C． D．
[−7,−3)∪(1,2] (−∞,−3)∪(1,2]【变式5-2】命题“ ”为假命题，则 的取值范围为（ ）
∃x∈ [1,2],x2+lnx−a≤0 a
A． B． C． D．
(−∞,1) (−∞,0) (−∞,ln2+2) (−∞,ln2+4)
【变式5-3】（2024·高三·江苏连云港·开学考试）若命题“
∃x ∈ R,(m−1)x2+(m−1)x +1≤0
”是假
0 0 0
命题，则实数m的取值范围是 .
【变式5-4】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知命题
p:∀x∈
R,ex2
≥1
；命题
，则（ ）
q:∃x>1,lnx=−(x−1) 2
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
1．已知命题“ ， ”是假命题，则 的取值范围是 ．
∃x∈ (1,+∞) 2x−m+1=0 m
2．若命题：“ ， ”为假命题，则实数a的取值范围为 .
∃x∈ R ax2+x+1<0
3．若命题“ ”为真命题，则a的取值范围是（ ）
∃x∈ R,x2+2x+a≤0
A． B． C． D．
(−∞,1] (−∞,1) (−∞,0] (−∞,0)
4．命题“ ， ”的否定为（ ）
∀x∈[−1,3] x2−3x+2<0
A． ， B． ，
∃x∈ [−1,3] x2−3x+2≥0 ∃x∈ [−1,3] x2−3x+2>0
C． ， D． ，
∀x∈ [−1,3] x2−3x+2≥0 ∃x∉[−1,3] x2−3x+2≥0
重难点突破：以集合为载体的创新题
【典例6-1】（2024·广东·模拟预测）对于非空数集 ，定义 ，将
A,B A×B={(x,y)|x∈ A,y∈ B} A×B称为“ 与 的笛卡尔积”．记非空数集 的元素个数为 ，若 是两个非空数集，则
A B M |M| A,B
|A×A|+4|B×B|
的最小值是（ ）
|A×B|
A．2 B．4 C．6 D．8
【典例6-2】（2024·高三上海模拟）已知
{a }
是等差数列，
b =sin(a )
，存在正整数
t(t≤8)
，使得
n n n
b =b
，
n∈ N
，
n≥1
.若集合
S={x|x=b ,n∈ N,n≥1}
中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）
n+t n n
个
A．2 B．3 C．4 D．5
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方
法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，
要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
【变式6-1】（2024·高三·四川·开学考试）定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合的交集为空集
时，称为不交）的非空真子集 A ,A ,⋯,A (k∈ N*), 且 A ∪ A ∪⋯∪ A =U ，那么称子集族
1 2 k 1 2 k
{A ,A ,⋯,A }
构成集合
U
的 一个
k
划分.已知集合
I={x∈ N|x2−6x+5<0}
，则集合
I
的所有划分的个
1 2 k
数为（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【变式6-2】（2024·高三·北京海淀·开学考试）设集合 ．
M={(x ,x ,x ,x ) | x∈ {0,1}, i=1,2,3,4 }
1 2 3 4 i
对于集合 的子集A，若任取A中两个不同元素 ，有
M (y ,y ,y ,y ),(z ,z ,z ,z )
1 2 3 4 1 2 3 4
，且 中有且只有一个为 ，则称A是一个
y + y + y + y =z +z +z +z y +z ,y +z , y +z ,y +z 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有3个元素 B．一个“好子集”中最多有4个元素
C．一个“好子集”中最多有6个元素 D．一个“好子集”中最多有8个元素
【变式6-3】（2024·湖南怀化·二模）给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集，如果 ，则称集合 为一个 元规范数集．（注： 表示数集
T={|a−b||a,b∈ S,a≠b} min(T)=1 S n min(X)
中的最小数）．对于集合 ，则（ ）
X M={−0.1,−1.1,2,2.5}、N={−1.5,−0.5,0.5,1.5}
A．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集
C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集
1．称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记 为集合 包含的好整点的个数．
ℜ[S] S
若ℜ¿，则正整数k的最小值是（ ）
A．1976 B．1977 C．2023 D．2024
2．（多选题）若平面点集 满足：任意点 ，存在 ，都有 ，则称该
M (x, y)∈ M t∈(0,+∞) (tx, ty)∈ M
点集M是t阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若M=¿，则M是3阶聚合点集
B．存在M对任意正数t，使M不是t阶聚合点集
1
C．若M=¿，则M不是 阶聚合点集
3
D．“t∈[1,+∞）”是“M=¿是t阶聚合点集”的充要条件
3．（多选题）对任意 ，记 ，并称 为集合A，B的对
A,B⊆R A⊕B={x|x∈ A∪B,x∉A∩B} A⊕B
称差．例如：若 ， ，则 ．下列命题中，为真命题的是（ ）
A={1,2,3} B={2,3,4} A⊕B={1,4}
A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=B
C．若 且 ，则 D．存在 ，使得
A,B⊆R A⊕B⊆A A⊆B A,B⊆R A⊕B≠∁ A⊕∁ B
U U
4．（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代
数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念
则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果
该运算满足以下条件：
①对所有的a、b∈ G，有a⋅b∈ G；
② 、b、 ，有 ；
∀a c∈ G (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)③∃e∈ G，使得∀a∈ G，有e⋅a=a⋅e=a，e称为单位元；
④∀a∈ G，∃b∈ G，使a⋅b=b⋅a=e，称a与b互为逆元．
则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A． 关于数的乘法构成群
G={−1,1}
B．自然数集N关于数的加法构成群
C．实数集R关于数的乘法构成群
D． 关于数的加法构成群
G={a+√2b|a,b∈ Z}
