文档内容
第二十二章 二次函数（知识清单）
一、学习目标
1 掌握二次函数的概念，并能根据二次函数的图像与性质解决相关问题。
2 掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。
3 能够利用二次函数解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生
分析问题、解决问题的意识和能力。
重点：
1 掌握二次函数的图象特征及其性质。
2 掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。
难点：
1 理解二次函数与一元二次方程的关系。
2 利用二次函数解决实际问题。
二、学习过程
章节介绍
二次函数是初中阶段函数中的重要函数，它在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。掌握
二次函数图象和性质是学习二次函数的基础，根据二次函数图象判断抛物线抛的开口方向，顶点坐标，对
称轴，与坐标轴交点坐标、确定二次函数的解析式为必须掌握内容，理解二次函数与各系数之间的关系，
灵活运用二次函数解决实际问题。二次函数是体现综合性的重点内容，在期中期末试卷中既有相对稳定的
基础题，也有新颖的试题来考查学生的分析，解决问题能力，实践和创新能力，因此经常与一次函数，三
角形，四边形知识结合在一起，成为试卷的压轴题。
知识梳理1.二次函数的概念：一般地，形如____________________(其中___________是常数，a__________0)的函数
叫做二次函数。其中，_____________是自变量，a、b、c 分别是函数解析式的__________、
_____________和____________。
2.二次函数的特殊形式：
1)当___________________时， y＝ax2＋c（a≠0）
2)当___________________时， y＝ax2＋bx （a≠0）
3)当___________________时， y＝ax2 （a≠0）
3.根据实际问题列二次函数关系式的方法：
一般方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的____________；
2）然后用题设的__________________表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式。
4.二次函数y=ax²的图象特征和性质
5. 二次函数y=ax²+k的图象特征和性质6. 二次函数y=a(x-h) 2的图象特征和性质7. 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象特征和性质
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质9.求二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入____________的坐标列出关于____________的方程组，并求出a, b, c，就可以写
出二次函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点____________，可设顶点式y=____________，再将____________代入，
即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x )(x-x ).当抛物线与____________的两个交点为____________时，可设y=____________，
1 2
再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：
1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中
①当a____________0时，抛物线开口向____________，a的值越____________，开口越____________；
②当a____________0时，抛物线开口向____________，a的值越____________，开口越____________；
【总结】a的____________决定开口方向，a的____________决定开口的大小(|a|越____________，抛物线
的开口____________)．
2）在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。
b
即对称轴x= - 在y轴____________则____________>0，在y轴的____________则____________<0，概
2a
括的说就是“____________”。
（1）当c ____________ 0时，抛物线与y轴的交点在____________；
（2）当c ____________ 0时，抛物线与y轴的交点为____________；
（3）当c ____________ 0时，抛物线与y轴的交点在____________。
【小结】c决定了抛物线与____________交点的位置．
11.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
12.利用二次函数解决实际问题的步骤：
第一步：分析题意，把________问题转化为________问题，画出图形.第二步：根据已知条件建立适当的________________.
第三步：选用适当的________________________________求解.
第四步：根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
13.利用二次函数解决面积最值的方法：
①找好________________；
②利用相关的图象________________，列出函数关系式；
③利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的________________。
14.用二次函数解决实际问题的一般步骤：
审：仔细审题，理清题意；
设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的
未知数；
列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
15.利用二次函数解决销售利润最值的方法：
巧设________________，根据________________列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最
大问题是否存在最大利润问题。
16.利用二次函数解决拱桥问题的方法：
1）建立适当的________________。
2）根据题意找出________________。
3）求出抛物线解析式。
4）直接利用图象解决实际问题。
考点解读
考查题型一 根据二次函数的定义求参数
1．一个二次函数 ．
（1）求k的值．
（2）求当x=3时，y的值？2．已知函数 ．
（1）若这个函数是一次函数，求 的值
（2）若这个函数是二次函数，求 的取值范围．
3．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
(2)若这个函数是一次函数，求m的值．
(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
考查题型二 二次函数y=ax²的图象和性质
1．已知二次函数 的图象经过点 ．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点 是否在此函数的图象上．
2．已知 是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
3．如图，在正方形 中，已知：点A，点B在抛物线 上，点C，点D在x轴上．(1)求点A的坐标；
(2)连接 交抛物线于点P，求点P的坐标．
考查题型三 二次函数y=ax²+k的图象和性质
1．在同一个直角坐标系中作出y＝ x2，y＝ x2－1的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝ x2－1与抛物线y＝ x2有什么关系？
2．已知二次函数 ．
求函数图象的对称轴和顶点坐标；
求这个函数图象与 轴的交点坐标．
3．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣
2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
﹣
x 1 5
2
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
考查题型四 二次函数y=a(x-h) 2的图象和性质
1．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
2．已知函数 ， 和 ．
(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数 的图象得到函数 和函数 的图
象；
(4)分别说出各个函数的性质．
3．已知平面直角坐标系 中，抛物线 与直线 ，其中 ．
若抛物线的对称轴为 ，
①m的值为 ﹔
②当 时，有 （填“ ”，“ ”或“ ”） ．
当 时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出 的取值范围．考查题型五 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质
1．已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D 两点的坐标；
2．已知函数 .
（1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？
3．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
考查题型六 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，直线 方程为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线上一点，若 ，请直接写出点 的坐标；
(3)点 是抛物线上一点，若 ，求点 的坐标．
2．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
考查题型七 二次函数与一元二次方程
1．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
2．如图，二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，且与 轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)该二次函数图象上是否存在点 ，使 与 的面积相等？若存在，请求出 点的坐标；若不
存在，请说明理由．
3．已知关于x的一元二次方程x2+x−m=0．
(1)设方程的两根分别是x，x，若满足x+x=x•x，求m的值．
1 2 1 2 1 2
(2)二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示，求m的值．
4．已知：一次函数 ，二次函数为 （b，c为常数）.(1)如图，两函数图象交于点 .求二次函数的表达式，并写出当 时x的取值范围.
(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.
查题型八 二次函数与实际问题
1．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x
（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
2．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价
格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
3．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
图1中有一座拱桥，图2是其
素 抛物线形桥拱的示意图，某时
材 测得水面宽 ，拱顶离水面
1 ．据调查，该河段水位在
此基础上再涨 达到最高．
为迎佳节，拟在图1桥洞前面
的桥拱上悬挂 长的灯
笼，如图3.为了安全，灯笼底
素 部距离水面不小于 ；为了
材 实效，相邻两盏灯笼悬挂点的
2 水平间距均为 ；为了美
观，要求在符合条件处都挂上
灯笼，且挂满后成轴对称分
布．
问题解决
任
务 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
1
任
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标
务 探究悬挂范围
的最小值和横坐标的取值范围．
2
任
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标
务 拟定设计方案
系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
3
4．如图，隧道的截面由抛物线 和矩形 构成，矩形的长 为 ，宽 为 ，以 所在的直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系． 轴是抛物线的对称轴，最高点 到地面
距离为4米．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)在距离地面 米高处，隧道的宽度是多少？
(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡
车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
5．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．
如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，
水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 ．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
