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专题 01 集合必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-50题
一、单选题
1．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）设全集 ，集合 ， ，则
为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】D
【分析】
解不等式求出集合 ， ，再求 与 的并集，然后计算补集即可求解.
【详解】
因为 ，
，
所以 ，所以 ，
故选：D．
2．（2021·山东烟台·高三期中）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，求出集合 ，再由交集与补集的定义求解即可.
【详解】
由题意 ， 或 ，
则 ，故 .
故选：A.
3．（2021·全国·高三期中）已知集合 ， ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出集合 ，再由集合的运算结果列不等式即可求解.
【详解】
由题意得 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故选：B.
4．（2021·山东德州·高三期中）已知全集 ，若集合 ，集合 ，
则 （ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【分析】
将集合 结合一元二次不等式，对数不等式化简，再由集合的交并补概念求解.
【详解】
由 ，由 ，故 ， ，则
.
故选：B5．（2021·山西怀仁·高三期中（文））已知集合 ， ，则 （
）
A． B． C． D．R
【答案】A
【分析】
先解一元二次不等式得集合A，解分式不等式得集合B，再根据交集定义得结果.
【详解】
， 或 ，
所以
故选：A.
6．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知：全集 ，集合 ，集合
，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
解出集合 中对应的不等式，然后可得答案.
【详解】
因为 ，所以图中阴影部分表示的集合是
故选：A
7．（2021·全国·高三月考）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别求解两个集合，再求集合的交集.
【详解】
由 得 所以集合 ．
由 ，得 ，解得 ，所以集合 ，
所以 .
故选：B．
8．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，
定义 表示阴影部分的集合.若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据韦恩图分析出 表示的含义，再根据集合间的运算关系求出答案即可
【详解】
由韦恩图可得 ，因为 ， ，
所以 ，
所以 =
故选：D
9．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知 、 ，若 ，则
的值为（ ）
A． B．0 C． D． 或
【答案】C
【分析】
根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.
【详解】
由 且 ，则 ，
∴ ，于是 ，解得 或 ,
根据集合中元素的互异性可知 应舍去，
因此 ， ,
故 ．
故选：C.
10．（2021·浙江金华·高三月考）已知集合 ， ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合交集和补集运算直接求解即可.
【详解】由 可得 或 ，则 .
故选：C
11．（2021·河北石家庄·高三月考）已知集合 ，集合 ，则集合
的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合 的元素个数求解.
【详解】
如图所示：
，
集合 有3个元素，
所以集合 的真子集的个数为7，
故选：C
12．（2021·重庆市涪陵实验中学校高三期中）已知集合 ， ，且
、 都是全集 的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求出集合 ，再计算 即可求解.
【详解】
，
或 ，
由图知阴影部分所表示的集合为 ，
故选：C.
13．（2021·辽宁·沈阳市翔宇中学高三月考）已知集合 ， ，则 =（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求解集合A中函数的定义域，可得 ，利用交集的定义即得解
【详解】
由题意，集合 ，由交集的定义
故选：C
14．（2021·湖北·高三期中）设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
解对数不等式得集合A，解分式不等式得集合B，再根据交集的定义即可计算作答.
【详解】由 得 ，即 ，
由 得 ，解得 ，即 ，
于是得 .
故选：D
15．（2021·江苏如皋·高三月考）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C．M D．N
【答案】C
【分析】
先求得集合 ，结合集合并集的概念及运算，即可求解.
【详解】
由不等式 ，可得 ，即集合 ，
又由 ，所以 .
故选：C.
16．（2021·四川成都·高三月考（理））已知集合 ， ，则下列选项正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分别求得集合 ，然后根据集合之间的关系判断即可.
【详解】
由题可知： ，
所以可知 是 的真子集，可知，A,B,C均错，D正确.
故选：D17．（2021·河南·高三月考（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出函数 在 上的值域得集合A，再按交集运算求解即得.
【详解】
因函数 在 上单调递增，在 上单调递减，于是得 在 上的值域是
，
则 ，而 ，
所以 .
故选：A
18．（2021·江苏高邮·高三月考）已知 ，且 的定义域为 ， ，值域为 ， ，
设函数 的定义域为 ､值域为 ，则 （ ）
A． B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
根据复合抽象函数定义域，值域的求法求出函数 的定义域和值域，再根据交集的运算解出．
【详解】
因为 ，且 的定义域为 ， ，值域为 ， ，
则 的定义域为 ， ，值域为 ， ，由 得 ，
所以 的定义域为 ， ，值域为 ， ，
则 ， ， ， ，所以 .
故选：C.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知全集 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
解不等式求出集合 ， ，再进行交并补运算即可求解.
【详解】
因为 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 或 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：C.
20．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.
【详解】
对于A，两个集合都为点集， 与 是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；
对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；
对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；
对于D， ， ，故M、N为同一集合，故D正确.
故选：D.
21．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））下列各式中， 与 表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用集合相等的定义判断.
【详解】
A. 表示点 的集合， 表示点 的集合，故错误；
B. 的元素是1,2， 的元素是1,2，故正确；
C. 的元素是0， 没有元素，故错误；
D. 因为 ， ，故错误；
故选：B
22．（2021·江苏省阜宁中学高三月考）设全集为 ，非空真子集 ， ， 满足： ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，可知 和 ，结合Venn图一一判断即可.【详解】
由 ，可知 ，又因 ，得 .
对于选项AB，由题意可知，集合 ， 都是集合 的子集，但是它们两个的关系无法确定，因此AB都错；
对于选项C，由 ，可知 ，故C错误；
对于选项D，由 和 ，知 ，又因集合 是全集 的非空真子集，故 ，所
以D正确.
故选：D.
23．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）设集合 ， ，则韦恩图中阴影
部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据韦恩图中阴影部分，应用集合运算法则计算．
【详解】
阴影部分为 ．
故选：C．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且
M∩N={3}，则实数m的值为（ ）
A．4 B．-1
C．-1或4 D．-1或6
【答案】B
【分析】根据已知得 ，从而有 ，再利用复数相等可得方程组，即可得到答案；
【详解】
由于 ,故 ,必有 ,所以 即 得
.
故选：B
25．（2021·河南·高三月考（文））已知集合 ， ，则
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先利用一元二次不等式和 求解集合 ，然后利用函数定义域求解集合 ，然后通过集合间的并运算
即可求解.
【详解】
由 ，得 ，又因为 ，故 ，
由 的定义域知， ，即 ，故 ，
所以 .
故选:A.
26．（2021·全国·高三月考（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据集合交集运算，即可求解.
【详解】解: ， .
故选：B
27．（2021·全国·模拟预测（理））设集合 ， ，则 （
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
解不等式 得集合M，求函数定义域 得集合N，然后求M与N的交集即可.
【详解】
依题意，解不等式 得： ，则 ，
由 知： ，解得 ，则 ，
于是得 ，
所以 .
故选：C
28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））设 是非空集合，定义： 且
且 .已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别求出集合A，B，C，再根据集合的新定义运算即可得出答案.
【详解】
解： 或 ， ，，
所以 .
故选：A.
29．（2021·全国·高三月考）已知集合 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
求出函数 定义域得集合A，求出函数 在 上的值域得集合B，再按给定运算计算
即得.
【详解】
依题意，集合 ，
又函数 在 上单调递减，当 时， ，当 时， ，
于是得集合 ，则 ，
所以 .
故选：A
30．（2021·陕西·西安中学高三期中）设集合 ， ，且 ，
则 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 和题干信息可判断 ，分 和 求解.
【详解】
因为 ， ，且 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
综上所述， .
故选：D
二、多选题
31．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知集合 ，集合 ，集合
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
先求出集A，B，D，再逐个分析判断即可
【详解】
由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 且 ，得 或 ，所以 或 ，
由 ，得 ，所以 ，
对于A， ，所以A错误，
对于B， ，所以B正确，
对于C，因为 或 ，所以 ，所以 ，所以C
正确，对于D，因为 ，所以 ，因为 或 ，所以 ，所以D正
确，
故选：BCD
32．（2020·全国·高三专题练习）给定数集M，若对于任意a， ，有 ，且 ，则
称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合 为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合 为闭集合
D．若集合 为闭集合，则 为闭集合
【答案】ABD
【分析】
根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．
【详解】
选项A：当集合 时， ，而 ，所以集合M不为闭集合，A选项错误；
选项B：设 是任意的两个正整数，则 ，当 时， 是负数，不属于正整数集，所以正整
数集不为闭集合，B选项错误；
选项C：当 时，设 ，
则 ，所以集合M是闭集合，C选项正确；
选项D：设 ，由C可知，集合 为闭集合，
，而 ，故 不为闭集合，D选项错误．
故选：ABD．
33．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ， ， ， ，则下列
选项中，满足 的实数 的取值范围可以是（ ）A． B． 或 C． D．
【答案】CD
【分析】
根据 可得 或 ，解不等式可以得到实数 的取值范围，然后结合选项即可得出结果.
【详解】
集合 ， ， ， ，满足 ， 或 ，解得
或 ， 实数 的取值范围可以是 或 ，结合选项可得CD符合.
故选：CD.
34．（2021·河北·藁城新冀明中学高三期末）已知集合 ， ，若
，则 可以等于（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】AB
【分析】
先化简集合Q，再根据 求解.
【详解】
因为 ，且 ，
所以m=1或2，
故选：AB
35．（2021·山东潍坊·高三期末）设全集为 ，如图所示的阴影部分用集合可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC【分析】
根据集合与运算，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为 四个区域
对于A选项，显然 表示区域3，故不正确；
对于B选项， 表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；
对于C选项， 表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；
对于D选项， 表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；
故选：BC
36．（2022·全国·高三专题练习）设不大于 的最大整数为 ，如 ．已知集合 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
利用 的性质化简集合 ，再利用集合交集与并集的定义求解即可.
【详解】，
因为 ，
所以 ， ， ，
∵ ，∴ ，
故选：AD.
【点睛】
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，
逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
37．（2021·山东·高三专题练习）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
对两个集合中的元素 所具有的性质 分别化简，使其都是含有相同的分母表达式，再比较分子可得答案.
【详解】
由题意可知： ，集合
， 代表所有的偶数， 代表所有的整
数， 所以 ，即 ．
故选：BD．
【点睛】
本题考查两个集合之间的基本关系，要求对集合中的元素所具有的性质能进行化简.38．（2021·湖南·长沙一中高三月考）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
先化简集合 ，再结合集合关系包含与集合运算法则知识对各选项逐一分析即可.
【详解】
因为 ，解不等式得 ，又因为 .
对于A，由题意得 ，故A错误；
对于B，由上已证可知B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，故D错误；
故选:BC
39．（2020·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，且 ，则实数m的值可
以为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．0 E.-2
【答案】ABD
【分析】
由 ，得 ，按 ， 分类讨论，求得m的值即可.
【详解】
因为 ，所以 ， .
当 时， ，符合题意；
当 时， ，所以 或 ，解得 或 ．
所以m的值为1或-1或0．
故选ABD．【点睛】
本题考查的是集合的包含关系判断以及应用问题，集合元素的特性、分类讨论以及问题转化的思想，属于
基础题.
40．（2020·江苏·东海县石榴高级中学高三月考）设集合 ， ，若实数
，则 的值可以是
A．1 B． C．0.5 D．1.5
【答案】AC
【分析】
首先求出集合 、 ，再根据交集的定义求出 ，从而判断可得；
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以
所以 ，
故选：AC
【点睛】
本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
41．（2022·上海·高三专题练习）若集合 中有且只有一个元素，则正
实数 的取值范围是___________
【答案】
【分析】把不等式转化为 ，转化为 ，结合二次函数与一次函数的图象，
列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，不等式 且 ，即 ，
令 ，
所以 ，
所以 是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而 一次函数，图象是过一定点 的动直线，
作出函数 和 的图象，如图所示，
其中 ，
又因为 ，结合图象，
要使得集合 中有且只有一个元素，
可得 ，即 ，解得 .
即正实数 的取值范围是 .
故答案为： .42．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）若集合 ，则
________.
【答案】
【分析】
分别求出集合 再求交集即可.
【详解】
∵ ，
，
∴ ,
故答案为： .
43．（2021·上海市敬业中学高三月考）已知全集 ，集合 ，则 _________.
【答案】
【分析】
先求得集合 ，再根据集合补集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合 ，
根据集合的补集的概念及运算，可得 .
故答案为： .
44．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ， ，若 ，则
的取值范围是________.
【答案】 ．
【分析】
先化简确定集合A，再根据 分 和 两种情况进行讨论，最后解不等式确定m的取值范围．
【详解】
解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 是 的子集，
当 时，则 ，解得 ，符合题意；
当 时，则 ，解得 ，符合题意；
综上所述，m的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题．
45．（2022·全国·高三专题练习）集合 满足 ，则集合 的个数有
________个.
【答案】3
【分析】
根据题意先求出所有的集合 ，再确定个数即可.【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
所以集合 的个数有3个.
故答案为：3
【点睛】
本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.
46．（2020·上海崇明·高三月考）对于集合 、 ，定义运算 且 ，若
， ，则 __________.
【答案】
【分析】
利用新定义和交集的定义可求出集合 .
【详解】
， ，则 ，
根据题中定义可得 .
故答案为 .
【点睛】
本题考查集合运算，同时也考查了集合中的新定义，考查计算能力，属于基础题.
47．（2020·上海市行知中学高三开学考试）若 ， ，且
，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】先求出集合 中不等式的解集，再由 列不等式组求解即可.
【详解】
解：由已知 ，
，
当 时， ，解得
当 时， ，解得 ，
综合得 .
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的包含关系，考查分类讨论的思想，是基础题.
48．（2020·上海·模拟预测）已知集合 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】
先解对数不等式和分式不等式求得集合A、B，再根据交集定义求得结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.
49．（2021·江苏·高三专题练习）已知集合 ， ，若 ，
则实数 的取值范围是______．【答案】
【分析】
先求出集合A，在根据包含关系列出不等式即可求出.
【详解】
可得 ，
，
，解得 .
故答案为： .
50．（2021·全国·高三专题练习）已知集合 ，集合 ，则
_________（用区间表达）．
【答案】
【分析】
利用对数函数的性质和指数函数的性质解出集合 和 ，然后根据集合性质求解即可求解
【详解】
，故 符合 ，
得 ，得到 ；
；
故答案为：任务二:中立模式(中档)1-30题
一、单选题
1．（2021·全国·高三专题练习（理））设集合A＝ ，集合B＝
.则A B＝（ ）
A． B．C． D．R
【答案】D
【分析】
求定义域确定集合 ，根据函数的单调性得集合 ，再由集合的运算计算．
【详解】
由 得 ，所以 ，
， 时， ，
， ，由勾形函数知 在 上递减，在 上递增，
时， ， 时， ， 时， ，所以 ，
所以 ，即 ， ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合的元素，解题时需要根据集合中代表元的属
性进行求解．集合 是求函数的定义域，集合 求函数的值域，函数式化简后由单调性确定值域．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，若 且集合 中恰
有2个元素，则满足条件的集合 的个数为（ ）．
A．1 B．3 C．6 D．10
【答案】B
【分析】
将方程平方整理得 ，再根据判别式得 ，故 ，再依次检验得
，最后根据集合关系即可得答案.
【详解】解:根据题意将 两边平方得 ，
继续平方整理得： ，故该方程有解.
所以 ，即 ，解得 ，
因为 ，故 ，
当 时，易得方程无解，当 时， ，有解，满足条件；
当 时， ，方程有解，满足条件；
当 时， ，方程有解，满足条件；
故 ，因为 且集合 中恰有2个元素，
所以 集合可以是 ， ， .
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为 ，再结合判
别式得 ，进而求出集合 .考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.
3．（2022·全国·高三专题练习）设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①
，②若 ，则 且 ，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（
）
A．若 ，则 是U的一个环
B．若 ，则存在U的一个环F，F含有8个元素
C．若 ，则存在U的一个环F，F含有4个元素且
D．若 ，则存在U的一个环F，F含有7个元素且
【答案】D【分析】
对A，根据环的定义可判断；对B，根据子集个数可判断；对C，存在 满足；对
D，根据环的定义可得出 中至少8个元素.
【详解】
对A，由题意可得 满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题
意；
对B，若 ，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，
故B正确，不符合题意；
对C，如 满足环的要求，且含有4个元素， ，故C正确，不符合题
意.
对D， ， ， ，
，
， ，
再加上 ， 中至少8个元素，故D错误，符合题意.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是正确理解环的定义.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， .若 ，
则实数 （ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】B
【分析】
由题得直线 与直线 平行，解方程 即得解.
【详解】
因为 ，所以直线 与直线 平行，
所以
所以 . 经检验，当 时，两直线平行.
故选：B.
5．（2021·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，若 ，
则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出集合A，由 得到 ，再分类讨论a的值即可.
【详解】
，因为 ，所以 ，
当 时，集合 ，满足 ；
当 时，集合 ，
由 ， 得 或 ，解得 或 ，
综上，实数 的取值集合为 .
故选：D.
【点睛】
易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略 时，集合 满足 ，
而错解.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， .若
，则实数 （ ）
A．3 B． C．3或 D． 或1
【答案】A
【分析】将问题转化为“直线 与直线 互相平行”，由此求解出 的取值.
【详解】
因为 ，所以直线 与直线 没有交点，
所以直线 与直线 互相平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时，两直线为： ， ，此时两直线重合，不满足，
当 时，两直线为： ， ，此时两直线平行，满足，
所以 的值为 ，
故选：A.
7．（2020·天津·南开中学模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到 世纪，直到 年，德国
数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，
是指将有理数集 划分为两个非空的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每一个元
素都小于 中的每一个元素，则称 为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割 ，下列选项
中一定不成立的是（ ）
A． 没有最大元素， 有一个最小元素
B． 没有最大元素， 也没有最小元素
C． 有一个最大元素， 有一个最小元素
D． 有一个最大元素， 没有最小元素
【答案】C
【分析】
本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C
选项错误
【详解】
若 ， ；则 没有最大元素， 有一个最小元素 ；故A正确；
若 ， ；则 没有最大元素， 也没有最小元素；故B正确；若 ， ； 有一个最大元素， 没有最小元素，故D正确；
有一个最大元素， 有一个最小元素不可能，故C不正确.
故选：C
8．（2021·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 ，
则a的取值范围是（ ）.
A． B． 或
C． 或 D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】
法1.可以代特殊值，对答案进行排除；
法2.画出图形，进而使得双曲线 与圆 没有公共点即可，然后根据图形的
位置关系解得答案.
【详解】
法1.当 时，总可找到一个适当的a值，使 ；又当 时，也有 .于是a的取值
范围有三个不同的区间，对照选择，排除A、B、C.
故选：D.
法2.由已知，集合P表示双曲线 上的点构成的集合；集合Q表示圆 上的
点构成的集合，则问题 双曲线C与圆C没有公共点.
1 2
如图1所示：圆C位于双曲线C外，
2 1此时， .
如图2所示：圆C位于双曲线C内（仅画了圆在右侧），
2 1
先考虑两者相切时，联立 ，
，
由图形可知，若圆C位于双曲线C内，则 或 .
2 1
综上： 或 或 .
故选：D.
9．（2021·山西长治·高三月考（理））集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据函数定义域的求法求出函数 的定义域，进而求出集合M，然后再根据指数不等式
的解法求出 的解，进而求出集合N，最后根据交集的求法确定 的结果即可.
【详解】要使函数 有意义，须满足 ，即 ，
所以集合 ，
不等式 的解为 ，所以集合 ，
所以 .
故选：C.
10．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三月考（理））设 是全集，若 ，则下列关系式一定正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用Venn图，通过举例说明A，B，D错误，从而选C.
【详解】
如图， ，此时
∅，A错，
B ，B错，
，D错，故选：C
11．（2021·全国·高三专题练习）已知集合 若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用集合的包含关系即求.
【详解】
由题意， ，
∵集合 ，
① ；
②m 时，成立；
③
综上所述，
故选：B.
12．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ， ， ， ，则（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对于集合 ，令 和 ，即得解.
【详解】， ， ， ，
对于集合 ，当 时， ， ；
当 时， ， ．
，
故选：B．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，
若集合 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由集合 分别求出 的范围，由 得范围相同，可知 交 是否是空集取决于 的范围，然后分情
况讨论即可求解
【详解】
因为 ，
所以 得到 ； 得到 ；
因为
所以 ， ，
所以 交 是否是空集取决于 的范围，
因为 ，
所以 ，
当 时， ；当 时，
所以当集合 时，实数 的取值范围是：
故选：A．14．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知集合 ，集合 ，则下列
关系式正确的是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【分析】
由绝对值的几何意义化简集合 ，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案．
【详解】
解： ， ，
，故A不正确；
，故B不正确；
或 ，
或 或 ，故C不正确；
或 ，故D正确．
正确的是D．
故选：D．
15．（2020·上海市松江二中高三月考）函数 ，则集合 元素的个数
有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】
根据分段函数 解析式，结合集合元素要满足的性质 ，通过分类讨论求所有满足条件的
的值，进而确定集合中元素的个数．【详解】
当 时， ，解得 ，
当 时，若 ，解得 ，
当 时，若 ，解得 ，
当 时，若 ，则 ，解得 或 .
又∵
∴ 或
∴ 或 或 或 或 .
∴集合 元素的个数有5个.
故选：D．
16．（2021·全国·模拟预测）已知集合 }，则集合
中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】
先由N中的不等式求得x,y的取值范围，再列举出其中的整点，然后检验是否满足M中的不等式，即得到
交集中的元素个数.
【详解】
由 可得, ，即 ,
N中的满足 的整点有：
，共9个点，其中只有(1,1)这一个点不满足 ，
故 中的元素个数为8个，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的交集，关键是寻找M中同时符合N中的条件的元素.
17．（2021·江苏·模拟预测）已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
化简集合A，B，根据交集运算求解即可.
【详解】
由 可得 ，
解得 ，
所以 ，
当 时，
又 ，
所以 ，
故选：D
18．（2021·全国·高三专题练习） ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】
集合 表示圆心为原点，半径为1的圆，集合 表示四条直线围成的正方形，根据圆在正方形内求出 的
范围即可．
【详解】
集合 为圆 内部或圆周 上的点集，
为直线 ， ， ， 围成的正方形，
画出图象，如图所示，
当直线 与圆 相切时，设切点为 ，连接 ，
为等腰直角三角形， ， ， ，
为 斜边上的中线，
，即 ，
，
此时 ，
因为圆在正方形内，所以 ，
故答案为：
【点睛】
转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题
子集问题转化为圆在正方形内问题是解题的关键.
二、多选题19．（2021·广东·普宁市普师高级中学高三月考）已知集合 ，若集合A有且
仅有2个子集，则 的取值有（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】BCD
【分析】
根据条件可知集合 中仅有一个元素，由此分析方程 为一元一次方程、一元二次方程的情
况，从而求解出 的值.
【详解】
因为集合 仅有 个子集，所以集合 中仅有一个元素，
当 时， ，所以 ，所以 ，满足要求；
当 时，因为集合 中仅有一个元素，所以 ，所以 ，此时 或 ，满足
要求，
故选：BCD.
【点睛】
本题考查根据集合中元素个数求解参数值，其中涉及到根据集合的子集个数确定集合中元素个数，难度一
般.集合中元素个数与集合的子集个数的关系：集合中有 个元素，则集合有 个子集.
20．（2021·全国·高三专题练习）定义 ，且 ， 叫做集
合的对称差，若集合 ， ，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据反比例函数的性质可判断 是否正确；然后先分别计算 ， ，判断B选项是否正确，
然后计算 与 ，判断D选项是否成立.【详解】
∵ ， ，故A正确；
∵定义 且 ，
∴ ， ，故B正确；
，故C错误；
，所以 ，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合 ，然
后结合新定义计算法则计算即可得出答案．
21．（2021·全国·高三专题练习）设全集为 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 或
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】
根据集合的交并补运算法则可得ACD正确，举出反例可得B错误.
【详解】
对于A选项， ， ，即 ，所以该选项正确；
对于B选项，考虑 ，则该选项不正确；
对于C选项， ， ，即 ，所以该选项正确；
对于D选项，根据集合关系 ，则 显然正确.
故选：ACD
【点睛】
此题考查集合运算相关概念的辨析，关键在于熟练掌握集合的运算规则.22．（2020·全国·高三专题练习）若集合 ， ，则正确的结论
有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
根据正弦函数可得集合 ，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.
【详解】
由 ，
又 ，
显然集合
所以 ，
则 成立，所以选项A正确.
成立，所以选项B正确，选项D不正确.
，所以选项C不正确.
故选：AB
【点睛】
本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
23．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ， ，则下列关
系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
求出集合 和 ，即可【详解】
，
所以 ，
， 或 ，所以 ，
，
故选：AB
【点睛】
本题主要考查了集合的交并补运算，涉及求函数值域和对数复合型函数的定义域，属于中档题.
24．（2020·上海市大同中学高三月考）（多选）集合 ， ，下
列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， 是 的子集 B．对任意 ， 不是 的子集
C．存在 ，使得 不是 的子集 D．存在 ，使得 是 的子集
【答案】AD
【分析】
讨论 、 均为非空或空集，研究集合 、 之间的包含关系.
【详解】
当 、 均不为空集时， ， ，此时 ， 是 的子集；
当 、 均为空集时， ， 与 互为子集，
故选：AD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
25．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知关于 的不等式 的解集为 ，则当 ，且
时，实数 的取值范围是___________.【答案】
【分析】
根据题意，分析可得 ，解可得 的取值范围，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，不等式 的解集为 ，若 ，且 ，
则有 ，解可得 或 ，
即 的取值范围为 ；
故答案为： ．
26．（2021·福建省厦门第二中学高三月考）若 ，则 ，就称 是伙伴关系集合，集合
的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.
【答案】
【分析】
首先确定具有伙伴集合的元素有 ， ，“ 和 ” ，“ 和 ”四种可能，它们组成的非空子集的个数
为即为所求.
【详解】
因为 ， ； ， ；
， ； ， ；
这样所求集合即由 ， ，“ 和 ” ，“ 和 ”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为 ，
故答案为： .27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，A＝{x|t≤x≤t+1}，B＝{x||
f(x)|≥1}，若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围是____．
【答案】0＜t＜1
【分析】
首先整理集合B，分两种情况来写出不等式，把含有绝对值的不等式等价变形，得到一元二次不等式，求
出不等式的解集，进一步求出集合B的范围，根据两个集合只有一个公共元素，得到t的值．
【详解】
要解|f(x)|≥1，需要分类来看，
当x≥0时，|2x2﹣4x+1|≥1
∴2x2﹣4x+1≥1或2x2﹣4x+1≤-1
∴x≥2或x≤0或x＝1，又x≥0
∴x≥2或x＝1或x＝0．
当x＜0时，|﹣2x2﹣4x+1|≥1
∴﹣2x2﹣4x+1≥1或﹣2x2﹣4x+1≤﹣1
∴﹣2≤x≤0或 或 ，又x＜0
∴﹣2≤x＜0或
综上可知B＝{x|-2≤x≤0或 或x≥2或x＝1}
∵集合A∩B只含有一个元素，
∴t＞0且t+1＜2
∴0＜t＜1
故答案为：0＜t＜1
28．（2021·上海·上外浦东附中高三月考）设不等式 的解集为M，函数 的定义
域为N，则 _______．
【答案】 /
【分析】先求解 两个集合，由交集的定义即得解
【详解】
由不等式 ，即
函数 的定义域：
故答案为：
29．（2021·上海市七宝中学高三月考）函数 ，记集合 ，集
．若 ，且A、B都不是空集，则 的取值范围是________．
【答案】 /
【分析】
由 可得 ，从而求得 ；从而化简 ，从
而分 和 讨论求得答案.
【详解】
解：设 ，
，
，
即 ，
故 ；
故 ，
当 时，成立；
当 时， 的解为 或 ，
又 ，则 或 ，由 ，则 应无解，
故 ，
解得： ；
综上所述， .
故答案为： .
30．（2020·上海·南汇县泥城中学高三月考）已知集合 ， ，若 ，则
___________；
【答案】2
【分析】
结合已知条件，分别讨论 和 时，集合 和集合 是否满足 即可求解.
【详解】
由 ，结合已知条件由下列两种情况：
①若 ，则 ，
此时 ， ，满足 ；
②若 ，则 ，
(i)当 时， ， ，不满足 ；
(ii)当 时， ， ，不满足 ，
综上所述， .
故答案为：2.任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合 ，且满足如下性质：性质一：若 ， ，则
；性质二：若 ，则 .则称集合 为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）
①若 为一个“群”，则 必为无限集；
②若 为一个“群”，且 ， ，则 ；
③若 ， 都是“群”，则 必定是“群”；
④若 ， 都是“群”，且 ， ，则 必定不是“群”；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据性质，运用特例法逐一判断即可.
【详解】①：设集合 ，显然 ，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合
是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确；
②：根据群的性质，由 可得： ，因此可得 ，故本叙述是正确；
③：设 ，
若 ，一定有 ，因为 ， 都是“群”，
所以 ，因此 ，若 ，所以 ，
，故本叙述正确；
④：因为 ， ，一定存在 且 ， 且 ，
因此 且 ，所以 ，因此本叙述正确，
故选：C
【点睛】
关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.
2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设 为
某种元素组成的一个非空集合，若在 内定义一个运算“*”，满足以下条件：
① ， ，有
②如 ， ， ，有 ；
③在 中有一个元素 ，对 ，都有 ，称 为 的单位元；
④ ，在 中存在唯一确定的 ，使 ，称 为 的逆元．此时称（ ，*）为一个群．
例如实数集 和实数集上的加法运算“ ”就构成一个群 ，其单位元是 ，每一个数的逆元是其相反
数，那么下列说法中，错误的是（ ）
A． ，则 为一个群
B． ，则 为一个群
C． ，则 为一个群
D． {平面向量}，则 为一个群
【答案】B【分析】
对于选项A,C,D分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则 不为一个群，所以该选项错
误.
【详解】
A. ，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律， 为 的单位元，逆元为它的相反数，
满足群的定义，则 为一个群，所以该选项正确；
B. ， 为 的单位元，但是 ，当 时，不存在唯一确定的 ，所以不满足④，则
不为一个群，所以该选项错误；
C. ，满足①②， 为 的单位元满足③， 是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则 为
一个群，所以该选项正确；
D. {平面向量}，满足①②， 为 的单位元，逆元为其相反向量，则 为一个群，所以该选项正
确.
故选：B
3．（2022·上海·高三专题练习）设集合 ， ，
， ，其中 ，下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， 是 的子集，对任意的 ， 不是 的子集
B．对任意 ， 是 的子集，存在 ，使得 是 的子集
C．存在 ，使得 不是 的子集，对任意的 ， 不是 的子集
D．存在 ，使得 不是 的子集，存在 ，使得 是 的子集
【答案】B
【分析】运用集合的子集的概念，令 ，推得 ，可得对任意 ， 是 的子集；再由 ， ，求得
， ，即可判断B正确，A，C，D错误．
【详解】
解：对于集合 ， ，
可得当 ，即 ，可得 ，
即有 ，可得对任意 ， 是 的子集；故C、D错误
当 时， ， ，
可得 是 的子集；
当 时， ， 且 ，
可得 不是 的子集，故A错误．
综上可得，对任意 ， 是 的子集，存在 ，使得 是 的子集．
故选：B.
4．（2022·浙江·高三专题练习）设 ，其中 ， ， ， 是1，2，3，4的一个组合，若
下列四个关系：① ；② ；③ ；④ 有且只有一个是错误的，则满足条件的 的最大
值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④
错，有一种情况，分别求解 即可得结果．
【详解】若①错，则 ， ， ，
有两种情况： ， ， ， ，
或 ， ， ， ， ；
若②错，则 ， ，互相矛盾，故②对；
若③错，则 ， ， ，
有三种情况： ， ， ， ， ；
， ， ， ， ；
， ， ， ， ；
若④错，则 ， ， ，
只有一种情况： ， ， ， ，
所以
故选：C
5．（2021·福建·福州四中高三月考）用 表示非空集合A中元素的个数，定义
，已知集合 ， ，且
，设实数a的所有可能取值构成集合S，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
根据条件可得集合 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.
【详解】
由 ，可得因为 等价于 或 ，
且 ，所以集合 要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若 是单元素集，则方程 有两个相等实数根，方程 无实数根，故 ；
（2）若 是三元素集，则方程 有两个不相等实数根，方程 有两个相等且异于方程
的实数根，即 且 ．
综上所求 或 ，即 ，故 ，
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题以 这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本
题的关键是由新定义分析得出集合 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程 与方程
的实根的个数情况，属于中档题.
6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集 中，被4除所得余数 的所有整数组成一个
“类”，记为 ，即 ， ．给出如下四个结论：① ；② ；③
；④“整数 ， 属于同一‘类’”的充要条件是“ ”．其中正确的个
数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选
项.
【详解】
因为 ，故 ，故①错误，
而 ，故 ，故②正确.
若整数 ， 属于同一“类”，设此类为 ，则 ，故 即 ，
若 ，故 为4的倍数，故 除以4的余数相同，故 ， 属于同一“类”，
故整数 ， 属于同一“类”的充要条件为 ，故④正确.
由“类”的定义可得 ，
任意 ，设 除以4的余数为 ，则 ，
故 ，所以 ，
故 ，故③正确.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，
可以通过它们彼此包含来证明.
7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集 中，被6除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，
记为 ，即 ， ，2，3，4，5给出以下五个结论：① ；②
；③“整数 、 属于同一“类””的充要条件是“ ”；
④“整数 、 满足 ， ”的充要条件是“ ”，则上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.
【详解】
①因为 ，令 ，得 ，所以 ，①不正确；
②，故②正确；
③若整数 、 属于同一“类”，则整数 被6除所得余数相同，从而 被6除所得余数为 ，即
；若 ，则 被6除所得余数为 ，则整数 被6除所得余数相同，故“整数 、
属于同一“类””的充要条件是“ ”，所以③正确；
④若整数 、 满足 ， ，则 ， ， ， ，
所以 ， ，所以 ；若 ，则可能有 ，所以“整数
、 满足 ， ”的必要不充分条件是“ ”，所以④不正确.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.
8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合 中至少两个元素，且 满足：①对任意 ，若
，则 ，②对任意 ，若 ，则 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 有2个元素，则 有3个元素
B．若 有2个元素，则 有4个元素
C．存在3个元素的集合 ，满足 有5个元素
D．存在3个元素的集合 ，满足 有4个元素
【答案】A
【分析】
不妨设 ，由②知集合 中的两个元素必为相反数，设 ，由①得 ，由于集合 中至
少两个元素，得到至少还有另外一个元素 ，分集合 有 个元素和多于 个元素分类讨论，即可求解.
【详解】
若 有2个元素，不妨设 ，
以为 中至少有两个元素，不妨设 ，
由②知 ，因此集合 中的两个元素必为相反数，故可设 ，
由①得 ，由于集合 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素 ，当集合 有 个元素时，由②得： ，则 或 .
当集合 有多于 个元素时，不妨设 ，
其中 ，
由于 ，所以 ，
若 ，则 ，但此时 ，
即集合 中至少有 这三个元素，
若 ，则集合 中至少有 这三个元素，
这都与集合 中只有2个运算矛盾，
综上， ，故A正确；
当集合 有 个元素，不妨设 ，
其中 ，则 ，所以 ，
集合 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合 中至少 个元素，与 矛盾，排除C，D.
故选：A.
【点睛】
解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心
定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题
中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
9．（2021·广东番禺中学高一期中）设 ， 与 是 的子集，若 ，则称 为一
个“理想配集”．规定 与 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（
）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】
对子集 分 ， ， ， 四种情况讨论，列出所有符合题意的集合
即可求解.
【详解】
， 与 是 的子集， ，对子集 分情况讨论：
当 时， ， ， ， ，有 种情况；
当 时， ， ，有 种情况；
当 时， ， ，有 种情况；
当 时， ，有 种情况；
所以共有 种，
故选：D.
10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间 内任意两个正整数 ， ，定义某种运算“*”如下：当
， 都是正偶数时， ；当 ， 都为正奇数时， ，则在此定义下，集合
中元素个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】
分别讨论 ， 都是正偶数时， ， ， 都是正奇数时， ，所以 ，再由
即可求出集合 ，进而可得集合 中的元素的个数.
【详解】
因为当 ， 都是正偶数时， ；
当 ， 都为正奇数时， ，
所以当 ， 都是正偶数时， ，可得 ；
当 ， 都是正奇数时， ，所以 ，
因为 ，
所以 ， ；， ；
， ；
， ；
所以 ，
所以集合 中的元素有 个，
故选：C.
11．（2021·全国·高三专题练习）设 是直角坐标平面上的任意点集，定义 ， ， ．
若 ，则称点集 “关于运算 对称”．给定点集 ， ，
，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令 ， ，则 ， ，从而由 ， ， 分别求出 ， ， ，再根据点集
“关于运算 对称”的定义依次分析判断即可得出答案．
【详解】
解：令 ， ，
则 ， ，
，
， ，故 ；
，
，即 ，故 ；
，
，即 ，故 ；
所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个.故选：B.
12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X是实数集R的子集，如果点 R满足：对任意 ，
都存在 ，使得 ，那么称 为集合X的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（
）
A． B．
C． D．整数集Z
【答案】B
【分析】
根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案．
【详解】
A中，集合 中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大 ，
所以在 的时候，不存在满足 的x， 不是集合 的聚点；故A不正确；
B中，集合 ，对任意的a，都存在 实际上任意比a小的数都可以 ，使得
，
所以 是集合 的聚点；故B正确；
C中，因为 ，所以当 时，不存在满足 的x， 不是集合
的聚点，故C不正确；
D，对于某个 ，比如 ，此时对任意的 ，都有 或者 ，也就是说不可能满足
，从而0不是整数集Z的聚点．故D不正确.
综上得以0为聚点的集合是选项B中的集合.故选：B．
二、多选题
13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数 ，集合 .令集合 ，
且三条件 恰有一个成立 ，若 和 都在 中，则下列选项不正确的
是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】ACD
【分析】
根据集合 的定义可以得到 和 的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性
和无矛盾性原则得到正确的选项.
【详解】
因为 ，则 的大小关系有3种情况，同理， ，则 的大小关系有3种情况，
由图可知， 的大小关系有4种可能，均符合 ， ，所以ACD错，
故选:ACD.
【点睛】
本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合 中元素的性质，利用列举画图，根据
无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.
14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合 具有以下性质：（1） ， ；（2）若 、
，则 ，且 时， .则称集合 是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A．集合 是“完美集”
B．有理数集 是“完美集”
C．设集合 是“完美集”， 、 ，则
D．设集合 是“完美集”，若 、 且 ，则
【答案】BCD
【分析】
利用第（2）条性质结合 ， 可判断A选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B选项的正误；
当 时，推到出 ，结合性质（2）可判断C选项的正误；推导出 ，结合性质（2）可判断D
选项的正误.
【详解】
对于A选项，取 ， ，则 ，集合 不是“完美集”，A选项错误；
对于B选项，有理数集 满足性质（1）、（2），则有理数集 为“完美集”，B选项正确；
对于C选项，若 ，则 ， ，C选项正确；
对于D选项，任取 、 ，若 、 中有 或 时，显然 ；
当 、 均不为 、 且当 ， 时， ，
则 ，所以 ， ，
， ，
所以，若 、 且 ，则 ，从而 ，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集 满足任意 ，都有 ， ，
则称 为“优集”．已知 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A． 是优集 B． 是优集
C．若 是优集，则 或 D．若 是优集，则 是优集
【答案】ACD
【分析】
结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.
【详解】
对于A中，任取 ，
因为集合 是优集，则 ，则 ，
，则 ，所以A正确；
对于B中，取 ，
则 或 ，
令 ，则 ，所以B不正确；
对于C中，任取 ，可得 ，
因为 是优集，则 ，
若 ，则 ，此时 ；
若 ，则 ，此时 ，
所以C正确；
对于D中， 是优集，可得 ，则 为优集；
或 ，则 为优集，所以 是优集，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述
的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以
使用的集合的性质的一些因素.
16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合 ,若对于 , ,使
得 成立,则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合: ;
; ; .其中是“互垂点集”集合的为
( )A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
根据题意知，对于集合 表示的函数图象上的任意点 ，在图象上存在另一个点 ，使得
，结合函数图象即可判断．
【详解】
由题意知，对于集合 表示的函数图象上的任意点 ，在图象上存在另一个点 ，使得 ．
在 的图象上，当 点坐标为 时，不存在对应的点 ，
所以 不是“互垂点集”集合；
对 的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以在 中的任意点 ，在 中存在另一个 ，使得 ，
所以 是“互垂点集”集合；
在 的图象上，当 点坐标为 时，不存在对应的点 ， 所以 不是“互垂点集”集合；
对 的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以所以 是“互垂点集”集合，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象
能力，属于较难题．
第II卷（非选择题）
三、填空题
17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合，设 ， ，若方程 至少有六组不同
的解，则实数k的所有可能取值是_________.
【答案】
【分析】
根据 ，用列举法列举出集合A中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一
个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次
数不低于3的差数即可.
【详解】
集合A中，从小到大8个数中，设两数的差为正：
则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3；
间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4；
间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6；
间隔三个数的两数差：12，13，11，12；
间隔四个数的两数差：14，14，14；
间隔五个数的两数差：15，17；
间隔六个数的两数差：18；
这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次，
故k取值为：3，6，14时，方程 至少有六组不同的解，
所以k的可能取值为： ，
故答案为：
18．（2021·北京·高三开学考试）记正方体 的八个顶点组成的集合为 .若集合 ，
满足 ， ， ， 使得直线 ，则称 是 的“保垂直”子集.
给出下列三个结论：
①集合 是 的“保垂直”子集；②集合 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；
③若 是 的“保垂直”子集，且 中含有5个元素，则 中一定有4个点共面.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】②
【分析】
首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合 是 的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不
垂直，然后根据定义逐项判断可得答案.
【详解】
对于①，当取体对角线 时，找不到与之垂直的直线，①错误；
对于②，当8个点任取6个点时，如图
当 集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必
有四点共面，根据正方体的性质，符合 是 的“保垂直”子集；
当 集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如 ，则存在
四点共面，根据正方体的性质，符合 是 的“保垂直”子集；
如 ，取 存在 ，取 存在 ，取 存在 ，符合
是 的“保垂直”子集，所以②正确；
对于③，举反例即可，如 ，③错误.
故答案为：②.
19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列 ，定义集合，，其中 且 ，若 ，则 的所有
元素之和为___________.
【答案】660
【分析】
可得 ，得出 中的每个元素就是从 中挑选3个出来求
平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.
【详解】
，
则 中的每个元素就是从 中挑选3个出来求平均值，
每个被选出的次数是相同的，
若 被选中，则共有 种选法，即 每个被选出的次数为 ，
则 的所有元素之和为 .
故答案为：660.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是判断出 中的每个元素就是从 中挑选3个出来求平均值，再求出
每个数字被选中的次数.
20．（2021·北京东城·一模）设A是非空数集，若对任意 ，都有 ，则称A具有性
质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若 具有性质P，且 ，则 具有性质P；③若 具有性质P，则 具有性质P；
④若A具有性质P，且 ，则 不具有性质P.
其中所有真命题的序号是___________.
【答案】①②④
【分析】
举特例判断①；利用性质P的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.
【详解】
对于①，取集合 具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；
对于②，取 ，则 ， ， ， ，又 具有性质P，
， ， ，所以 具有性质P，故②正确；
对于③，取 ， ， ， ，但 ，故③错误；
对于④，假设 具有性质P，即对任意 ，都有 ，即对任意 ，都有
，举反例 ，取 ， ，但 ，故假设不成立，故④正
确；
故答案为：①②④
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生
的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.
