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第二十二章 二次函数（复习讲义）
1. 了解二次函数概念，体会其与解析式、图象性质、平移及方程等知识间的整体联系。
2. 能用一般式、顶点式、交点式表示二次函数解析式，掌握“上加下减，左加右减”平移原则。
3. 理解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质，利用其增减性、最值分析问题。
4. 明晰二次函数与一元二次方程关系，会借函数性质解决实际问题，列解析式、定自变量范围求最值 。
【知识点01】二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数
【知识点02】二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x）（x–x），其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
【知识点03】二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=– 时，y = 当x=– 时，y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
当x<– 时，y随x的增大而减小； 当x<– 时，y随x的增大而增
增减性
当x>– 时，y随x的增大而增大 大；当x>– 时，y随x的增大而
减小
【知识点04】二次函数的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后
的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
【知识点05】二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
⇔（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
⇔
【知识点06】用二次
⇔
函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
【知识点07】用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、
最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐
标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于
利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的
题型一 二次函数的定义
【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的
关键．
【详解】A． 是一次函数，故不符合题意；
B． 是反比例函数，故不符合题意；
C． 是二次函数，故符合题意；
D． 不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】下列函数中，属于二次函数的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如 、 、 是常
数， 的函数，叫做二次函数．
根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【详解】A、 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、 符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意；
C、 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、 不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】下列函数中， 属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解，熟记：“形如
y=ax2+bx+c（ ，其中 、 为常数）的函数是二次函数”是解题的关键．
【详解】解：A、当 时，原函数化为： ，则不是二次函数，故不符合题意；
B、 ，是一次函数，故不符合题意；
C、 是二次函数，故符合题意；
D、 ， ，分式形式，故不是二次函数，故不符合题意；
故选C．
【变式1-3】如果函数 （ 是常数）是二次函数，那么 的取值范围是 ．【答案】
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】根据：“形如 ，这样的函数叫做二次函数”，得到 ，即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故答案为： ．
题型二 把 y=ax²+bx+c 化成
顶点式
【例2】用配方法将函数 写成 的形式是 ．
【答案】
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题主要考查了配方法，将 化为顶点式即可．
【详解】解：
故答案为：
【变式2-1】抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．必须牢记二次函数的三种
形式： 一般式： ； 顶点式： ；③两根式： ．利用配方法将抛物线的解析式 转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标．
【详解】解： ，
抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
【变式2-2】若把二次函数 化为 的形式，其中 为常数，则 ．
【答案】
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了二次函数的顶点式．先由二次函数转化为顶点式，即可得到 的值，即可求解．
【详解】解：由题意得， ，
，
．
故答案为： ．
【变式2-3】用配方法将二次函数 化为 的形式为 ．
【答案】
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法求解即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．题型三 二次函数的图象和性质
【例3】下列关于抛物线 的描述正确的是（ ）
A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的
C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性
质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴ ，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，
选项D正确，符合题意；
故选：D．
【变式3-1】下列关于二次函数 的图像与性质的描述，正确的是( )
A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的
C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数 的图像平移得到
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质逐一判断即可
得．
【详解】解： 二次函数 ，
抛物线开口向下，对称轴为 轴，
当 时， 随 的增大而减小，故选项B错误，选项C正确；
时， ，
该函数图象经过点 ，故选项A错误；
该函数图象可由函数 的图象向上平移3个单位得到，故选项D错误；故选：C．
【变式3-2】抛物线 的对称轴是直线 ，那么下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴为 ，进行求解后，判断即可．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【变式3-3】如果点 在二次函数 的图像上，那么a b填“ ”“ ”
或“ ”）
【答案】
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，分别求出当 时，当 时的函数值即可得到答案．
【详解】解：在 中，当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式3-4】已知抛物线 开口向上，且经过点 和 ，如果点 与 在此抛
物线上，那么 ．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．【详解】解：∵抛物线 经过点 和 ，
∴对称轴为 ，
∵开口向上，
∴对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
故答案为： ．
题型四 画二次函数y=ax²+bx+c的图象
【例4】画出函数 的图象，根据图象，解决下列问题：
（1）当 时，x的取值范围是 ．
（2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ．
【答案】函数图象见解析；（1） ；（2）
【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象等知识．
根据函数解析式求得与 轴的交点坐标，与 轴的交点坐标，顶点坐标，对称轴，根据五点法画出二次函
数图象，
（1）根据函数图象直接求解；
（2）根据函数图象直接求解．【详解】解：令 ，则 ，
解得： ，
∴抛物线与 轴的交点为(1,0)， ，
令 ，解得： ，
∴抛物线与 轴的交点为(0,3)，
∵ ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线
(0,3)关于对称轴对称的点为 ，
函数 的图象，如图所示，
（1）根据函数图象可知，当 时，x的取值范围是 ．
故答案为： ．
（2）当 时， ，
当 时， ，
又∵抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
∴当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ，故答案为：
【变式4-1】根据要求画出二次函数 的图象并解决相关问题．
(1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(2)请根据图像直接写出：当 时，自变量 的取值范围 ．
【答案】(1)填表见解析，图象见解析；
(2) ．
【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集
【分析】（ ）取适当的 的值根据函数解析式求出 即可填写表格，再根据表格的数值描点、连线即可画
出函数图象；
（ ）根据函数图象即可求解；
本题考查了二次函数图象的画法，二次函数与不等式，掌握二次函数图象的画法是解题的关键．
【详解】（1）解：填表如下：
描点、连线画出函数图象如图：（2）解：由图象可知，当 时，自变量 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【变式4-2】【操作与探究】已知点P(x,y)在抛物线 上移动．
(1)在下图的平面直角坐标系 中画出函数 的图象；
(2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：
函数 时， 的取值范围是______；
方程 的根是______；
若 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是______；
若当 时，函数 的最小值是 ，最大值是 ，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)画图见解析；
(2) ； ， ； ； ．
【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】（ ）利用画函数图象的步骤即可求解；（ ）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可；
此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）列表：
描点，连线，如图，
（2） 根据图象可知， 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ；
由 得， ，通过图象可知 ， ，
故答案为： ， ；
根据图象可知，当 时， 随 的增大而减小，
若 时， 随 的增大而减小，
则 的取值范围是 ，
故答案为： ；
根据图象可知，
则 的取值范围是 ．
【变式4-3】已知二次函数 ．(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点 在该函数图象上
①当 时，则x的取值范围为___________；
②当 （t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．
【答案】(1)见解析
(2)① ，②
【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】（1）先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象；
（2）①根据（1）中的图象，即可得出x的取值范围；②先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，
得出结论．
【详解】（1）解：列表如下：
x …… 0 1 ……
y …… 0 3 4 3 0 ……
二次函数 如图所示：（2）解：①由图可知：当 时，x的取值范围为 ，
故答案为： ；
②由图可知，该二次函数对称轴为直线 ，
∵y随x的增大而减小，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用描点法画二次函数图象的方法，以
及能够结合图象，分析函数的性质．
题型五 二次函数的平移
【例5】（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单
位长度，得到的抛物线的解析式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．首先将
抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”进行求解作答即可．
【详解】解：∵抛物线 ，
将该抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴得到的抛物线的解析式是 ．
故答案为： ．
【变式5-1】在平面直角坐标系中，将函数 的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位
长度，所得图像的函数解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是直接根据“上加下减，左加右减”的原
则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，
抛物线 的图象向右平移2个单位所得函数图象的关系式是： ；
由“上加下减”的原则可知，
抛物线 的图象向下平移5个单位长度所得函数图象的关系式是： ．
故答案为： ．
【变式5-2】将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线
解析式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可，
熟练掌握平移的规律是解题的关键．
【详解】解：将抛物线 向左平移2个单位长度，
得到抛物线的解析式为： ，即 ，
再向下平移3个单位长度，
得到抛物线解析式为： ，即 ，故答案为： ．
【变式5-3】如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线 及一点 ， 的坐标（2，4）．若
将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为 ，则此时 的坐标为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移、求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的
关键．
根据顶点坐标得到平移规律即可求解．
【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为 ，新抛物线的顶点坐标为 ，
∴新抛物线是由原抛物线向右移动了7个单位，向上移动了2个单位得到的．
的坐标 右移动了7个单位，向上移动了2个单位坐标为 ，即 ．
故答案为： ．
题型六 待定系数法求二次函数的表达式
【例6】如图是二次函数 的图象．
(1)求该二次函数的关系式及顶点坐标；(2)当 时 的取值范围是___________．
【答案】(1) ，
(2)
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1）根据图象得出抛物线与坐标轴交点坐标，代入解析式求解即可；
（2）求出抛物线与x轴交点坐标，根据图象即可求出取值范围．
【详解】（1）解：由图象可知，抛物线经过 ， ，代入 得，
，
解得， ，
抛物线解析式为 ，
化成顶点式为 ，
抛物线顶点坐标为 ；
（2）解：当 时， ，解得， ， ，
抛物线与x轴另一个交点坐标为 ，
∴当 时 的取值范围是 ；
故答案为： ．
【变式6-1】已知二次函数 自变量 与函数 的部分对应值如下表：
… 0 2 3 …
… 5 0 0 …
(1)求二次函数解析式及顶点坐标；(2)点 为抛物线上一点，抛物线与 轴交于 、 两点，若 ，求出此时点 的坐标．
【答案】(1)二次函数解析式为 ，顶点坐标为
(2) 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、
y=ax²+bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次
函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据“当 和 时， ”，设二次函数 ，根据 时， ，代入
求出 ，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）根据 和 ，求出 ，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点 的纵坐标
为 或 ，当点 的纵坐标为 时， ，求解得出点 的坐标即可；根据二次函数解析式为
，顶点坐标为 ，是最低点，判断当点 的纵坐标为 时的情况不存在．
【详解】（1）解：∵当 和 时， ，
∴设二次函数 ，
∵ 时， ，
∴代入 得： ，即 ，
解得： ，
∴二次函数解析式为 ，即 ，
∴ ， ，
∴顶点坐标为 ；
（2）解：∵抛物线与 轴交于 、 两点，由表格得 和 ，∴ ，
∵ ，
∴点 到 的距离 ，
∴点 的纵坐标为 或 ，
∵点 为抛物线 上一点，
∴当点 的纵坐标为 时， ，即 ，
解得： ，
∴点 的坐标为 或 ；
∵二次函数解析式为 ，顶点坐标为 ，
当点 的纵坐标为 时的情况不存在；
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【变式6-2】如图，二次函数的图象经过点(1,0)，顶点坐标为 ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点；
(3)当 时，y的取值范围为______．
【答案】(1) 或
(2)向上平移4个单位长度(3)
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式， 二次函数的平移，二次
函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． 设二次函数的解析式为： ，将点(1,0)代入
即可得出a的值．
（2）根据二次函数的图像以及平移的性质求解即可．
（3）根据二次函数的图像和性质可得出当 时，y随x的增大而增大，分别求出当 时y的值，
当 时，y的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为： ，
将点(1,0)代入 ，
得出： ，
解得： ，
∴ 或
（2）当二次函数的图象与x轴只有一个公共点时，只需将抛物线向上平移4个单位即可．
（3）根据函数图像可知：当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， ．
【变式6-3】已知抛物线 经过点 和点 ．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当自变量x满足 时，求y的取值范围；
(3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足 时，y的最小值为5，求m的值．
【答案】(1)解析式为： ；顶点坐标为(2)
(3) 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c
的最值
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，平移性质等．
（1）将点(1,0)和点(0,3)代入 中求出 的值，即可计算出本题答案；
（2）利用二次函数顶点式可得当 时取得最小值，再求出 和x=−1时对应的函数值即可得到本题
答案；
（3）根据题意分别设抛物线左右平移解析式，利用函数性质得到最值情况，即可得到本题答案．
【详解】（1）解：将点(1,0)和点(0,3)代入 中得，
，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴顶点坐标为 ；
（2）解：∵ ，
∴二次函数对称轴为： ，
∵ ，
∴此时函数有最小值 ，
∵自变量x满足 时，
当 时， ，
当 时， ，
∴自变量x满足 时，y的取值范围为： ；（3）解：∵将此抛物线沿x轴平移m个单位后，
∴设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为 ，
∵当自变量 满足 时， 的最小值为5，
∴ ，即 ，
此时 时， ，即 ，解得： （舍去），
设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为 ，
∵当自变量 满足 时， 的最小值为5，
∴ ，即 ，
此时 时， ，即 ，解得： （舍去），
综上所述： 的值为： 或 ．
题型七 利用二次函数解决实际问题
【例7】（2025·湖北武汉·模拟预测）一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给
坡地草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点 处，喷水头 的竖直高度 为 ，当喷射出
的水流与点 的水平距离为 时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为 ．在直线坡地草坪
上，点 与点 的水平距离为 ，与水平地面的竖直高度为 ．
(1)求水流抛物线的解析式；
(2)求水流抛物线与直线坡地草坪 之间的竖直距离的最大值；
(3)已知在点 处有一棵竖直高度为 的小树 ．若将喷灌架沿直线坡地草坪 向右移动，设其向右
水平移动 （其中 ），使其喷射出的水流不被小树 遮挡，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）由顶点设抛物线的解析式为 ，将点 代入求解即可；
（2）先求得直线 的解析式为 ，计算 ，利用二次函数的性质求解
即可；
（3）由题意得平移后的抛物线可表示为 ，将点 代入，计算即可求
解．
【详解】（1）解：由题意可知，水流抛物线的顶点坐标为 ，
设水流形成的抛物线的解析式为 ，
将点 代入得， ，
解得 ，
水流抛物线的解析式为 ；
（2）解：由题意可知点 坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ；（3）解： 设喷灌架沿直线坡地草坪向右水平移动 ，则向上移动 ，
则平移后的抛物线可表示为 ，
将点 代入得， ，
解得 或 ．
∴结合图象可得， 的取值范围为 ．
【变式7-1】（2025·辽宁鞍山·三模）每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好
生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每
天可售出50个：单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助
听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元
(1)求y与x的函数关系式：每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
(2)全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器．
【答案】(1)每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元
(2)75个
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令 ，得到关于x的一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）根据题意得，
，开口向下， 有最大值
当 时， 有最大值，最大值为4000
答：每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元
（2）根据题意得，解得： ， ，
不合题意，舍去
答：这天售出了75个助听器．
【变式7-2】（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．
石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，
石块在空中飞行的高度y与水平距离 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点 ，运动路径
近似为抛物线 ，且 ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 ，运动路径近似为
抛物线 ，且 ．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力
等因素忽略不计）
(1)如图②，当 时，若点 坐标为 ，求抛物线 的表达式；
(2)在（1）的条件下，若 ，在水面上有一个截面宽 ，高 的矩形 的障碍物，点
的坐标为 ，判断此时石块沿抛物线 运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若 的顶点需在一个正方形 区域内（包括边界），且点 在 和 之
间（包括这两点），其中 ，求 的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线
在同一平面内）【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到 ，然后求出 ，然后将 代入求解判断
即可；
（3）首先求出 ，然后由 越小开口越大， 越大开口越小，点 在 和 之间（包括这两
点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点 时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过
点 时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）∵当 时，
∵点 坐标为
∴
∴
∴抛物线 的表达式为 ；
（2）不能，理由如下：
∵ ，点 坐标为
∴
∴
∵点 的坐标为 ，
∴∴将 代入
∴此时石块沿抛物线 运动时不能越过障碍物；
（3）∵正方形 ，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵ 越小开口越大， 越大开口越小，点 在 和 之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点 时，开口最大，此时a最大
∴设 的表达式为
将 代入得，
解得 ；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点 时，开口最小，此时a最小
∴设 的表达式为将 代入得，
解得 ；
∴ 的取值范围为 ．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是
解题的关键．
【变式7-3】恩施州为响应国家号召，各单位均安排党员干部下沉村、社区，参加扶贫工作，这些干部队
伍俗称“尖刀班”．某“尖刀班”发现其帮扶村盛产的茶叶和土豆滞销，为了尽快将农产品销售出去，
“尖刀班”通过网络平台将产品销往全国．相关信息如表：
商
规格 成本/（元/袋） 售价/（元/袋）
品
茶
/袋 40 60
叶
土
/袋 38 53
豆
已知销售表中规格的茶叶和土豆共1000袋，其中茶叶不少于300袋，土豆不少于400袋．设销售茶叶x袋，
销售茶叶和土豆获得的总利润为y元．
(1)求y（元）与x（袋）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)销售完这批茶叶和土豆，至少可获得多少元的利润？
(3)因该村有部分特困户，“尖刀班”与村委会讨论决定，每销售一袋茶叶提取m元作为帮扶特困户的爱心
基金．如果 ，求销售完这批茶叶和土豆，扣除爱心基金后的最大利润．（用含m的代数式表示）
【答案】(1)
(2)至少可获得16500元的利润．
(3) ．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用在，掌握二次函数的增减性是解题关键．
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据二次函数的增减性求最值即可；
（3）设扣除爱心基金后的利润为 元．根据题意，得 ，再利用二次函数的增减性求
最值即可．【详解】（1）解：根据题意，得 ．
（2）解： 中， ，
随 增大而增大．
当 时， 有最小值， ．
销售完这批茶叶和土豆，至少可获得16500元的利润．
（3）解：设扣除爱心基金后的利润为 元．
根据题意，得 ．
，
， 随 增大而减小．
，
当 时， 有最大值， ．
扣除爱心基金后的最大利润是 ．
题型八 二次函数与几何图形的综合问题
【例8】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，其中 ， ，
为抛物线顶点．
(1)求该抛物线的解析式；(2)点 在线段 上方抛物线上运动（不含端点 、 ，求 的最大值及此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，此时点 的坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数
的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把抛物线解析式化为顶点式可得 ；再求出 ，进而得到直线 解析式为 ；
过点E作 轴交 于F，设 ，则 ，则
；根据 ，可得 ，据此利用二次函数的性
质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解；∵抛物线解析式为 ，
∴ ；
设直线 解析式为 ，∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ；
如图所示，过点E作 轴交 于F，
设 ，则 ，
∴ ；
∵ ，
∴
，∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，此时点 的坐标为 ．
【变式8-1】如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与 轴交于 ， 两点（点 在点
的左侧），其顶点为 ， 是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段 的长；
(2)若 的面积与 的面积相等，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）先求出 、 的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可；
（2）先求出顶点 的坐标，直线 解析式为 ，过 作 轴交 轴于 ， 轴交
于 ，设 ， ，得出 ，根据面积相等建立方程，解方
程，即可求解．
【详解】（1）解：令 ，
∴ ，解得：
∴ ，
∴
∴ ，
（2）过 作 轴交 轴于 ， 轴交 于 ，如图：
，
，
由 ， 得直线 解析式为 ，
设 ， ，
在 中，令 得 ，
，
，
；
的面积与 的面积相等，
而 ，
，
解得 （舍去）或 ，
【变式8-2】如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 （点 在点 的左侧），与轴交于点 ，连接 ， ．
(1)直接写出点 的坐标（用含 的代数式表示）；
(2)若 的面积为6，求 的值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移 个单位，记平移后抛物线中 随 的增大而减小的部分为
，当直线 与 总有两个公共点时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令 ，则 ，即可求得点 坐标；
（2）求出 的坐标，表示出 的面积，由此即可得到答案；
（3）平移后的解析式为 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，当抛物线经过
点 时， ，此时直线 与 有两个公共点，联立 ，得到方程
，当 时，此时直线 与 有两个公共点，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ，
点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：在 中，令 ，得 ，解得 ， ，
， ，
，
由抛物线图象可得： ，
，
，
解得： ；
（3）解：由（2）得
， ，
将抛物线向右平移 个单位，
新抛物线的解析式为： ，
对称轴为直线 ，
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入解析式得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当抛物线经过点 时， ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
当 时， ，
当 时， 随 的增大而减小，联立 ，
解得： ， ，
此时 与直线 有两个交点；
联立 ，
，
直线 与 总有两个公共点，
，
解得： ，
综上所述，当 时，直线 与 总有两个公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数与
一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质；二次函数的平移规则：左加右减，上加下减；采用数形
结合的思想进行解题，是解此题的关键．
【变式8-3】（2025·海南·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 （ 是常数， ）
与 轴交于点 ．
(1)如图，若抛物线经过 ， 两点，求抛物线的解析式；
设抛物线顶点为 ，求 的面积；
点 是抛物线对称轴上的动点，则 的最小值为______；
(2)若抛物线经过 ， ， 三点，对于 ， ，都有 ，求 的取值
范围．
【答案】(1) ； 1；
(2) 或
【分析】（1） 利用待定系数法即可求得；
求得 的坐标，利用待定系数法求得直线 的解析式，求得与 轴的交点 ，然后根据
求得即可；
找出 的最小值为 ，利用勾股定理即可求得．
（2）先求出抛物线的对称轴是直线直线 ，再分两种情况：当 时；当 时；分别结合
二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线 经过 ， 两点，
，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
抛物线 是常数， 与 轴交于点 ，，
，
抛物线顶点 ，
设直线 的解析式为 ，与 轴的交点为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
，
；
连接 交抛物线的对称轴于 ，此时， 的值最小，最小值为 ，
∵ ， ，
即 的最小值为 ，
故答案为： ；
（2）由条件可知：抛物线的对称轴是直线 ，
当 时，此时抛物线开口向上，
当 时， 随着 的增大而增大，对于 ， ，都有 ，
，
，
又 ，
；
当 时，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
此时 ，
解得 ，
又 ，
；
综上，当 或 时，都有 ．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，线段最值问题，勾股定理，待定系数法求二次函
数解析式，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
基础巩固通关测
一、单选题
1．抛物线 与 轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．
求抛物线与y轴的交点坐标，只需令 ，代入抛物线解析式计算对应的y值即可．
【详解】解：将 代入抛物线方程 ，得： ，因此，抛物线与y轴的交点坐标为 ，
故选：A．
2．将 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数平移的规则“左加右减，上加下减”，
逐步进行平移变换即可求解．
【详解】解：将 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是 ，
故选：A．
3．已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为
B．函数图象与 轴的交点坐标是
C．函数的最小值是
D．对称轴为直线
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称轴以及开口方向，最值是解题的
关键根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：二次函数为 ，
则顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，故选项A错误，选项D正确；
，
∴抛物线开口向下，
∴函数的最大值 ，没有最小值，故选项C错误；
令 ，得 ，∴函数图象与 轴的交点坐标是 ，故选项B错误；
故选：D．
4．已知一个二次函数 的自变量 与函数 的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（ ）
… 0 1 3 4 …
… 3 4 0 …
A．图象的开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小
C． D．该二次函数图象与 轴只有一个交点
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．
通过待定系数法求出二次函数解析式，结合二次函数的性质分析各选项即可．
【详解】解：分别将 ， ， 代入得：
，
解得： ，
即解析式为 ．
A： ，开口向下，错误；
B：对称轴 ，开口向下，当 时，y随x增大而减小，正确；
C：当 时， ，错误；
D：判别式 ，与x轴有两个交点，错误；
故选：B．
二、填空题
5．抛物线 的对称轴是直线 ，则 的值为 ．【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线 的对称轴是直线 是解题的
关键．根据抛物线的对称轴公式即可求解．
【详解】解： 的对称轴是直线 ，
，
解得 ．
故答案为： ．
6．直线 与抛物线 的交点坐标是 ， ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象和抛物线的交点问题，联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两函
数的交点坐标．
【详解】解：联立两函数的解析式有： ，解方程组，得 或 ；
则直线 与抛物线 的交点坐标是 ， ．
故答案为： ， ．
7．已知二次函数 、且有 、则 、 按从大到小的顺
序排列为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 的
值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数 ，∴抛物线开口向上， ，
∴当 时， 值最小．
当 时， ；
当 时， ，
∴ ．
故答案为： ．
8．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，
得到点 ，点 在抛物线上．
（1）抛物线的对称轴是直线 ．
（2）已知点 ， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（ ）由题意直接求解即可；
（ ）分当 时和当 时两种情况结合图象即可求解．
【详解】解：（ ）∵抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到
点 ，点 在抛物线上，
∴点 与点 关于对称轴 对称，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
故答案为： ；
（ ） 如图 ，当 时，
在 中，令 得 ，
∴ ，∵ ， ，
∴点 在线段 上，而 ，
由图可知，当点 在点 下方（包括点 ）时，抛物线与线段 恰有一个公共点，
∴ ，解得 ，
∴ ；
如图 ，当 时，同 可知，点 在线段 上， ，
∵ ，
∴ ，即点 在点 下方且在抛物线内部，
∴抛物线与线段 无公共点，
综上所述，抛物线与线段 恰有一个公共点时， ，
故答案为： ．
三、解答题
9．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形
水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，求水管长应为多
少米．【答案】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．设抛
物线的解析式为 ，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令 ，求得 的值，即可得出
答案．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系 ：
设抛物线的解析式为 ，
由题意可知抛物线的顶点坐标为 ，与 轴的一个交点为 ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ，
当 时， ．
水管的长度 是 ．
10．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点
， 为二次函数图象上一动点．(1)求二次函数的表达式与直线 的表达式；
(2)已知点 在直线 上方，当 的面积最大时，求点 的坐标．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，掌握二次函数的性质
是解题的关键．
（ ）设交点式 ，再化为一般式得到 ，则求出 得到二次函数解析式，接着确定
点坐标，然后利用待定系数法求出直线 的解析式；
（ ）过 点作 轴交 于 点，如图，设 ，则 ，所以
，利用三角形面积公式得到 ，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
∴二次函数解析式为 ，
∴ ，
，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ，
当 时， ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 分别代入得
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：过 点作 轴交 于 点，如图，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，此时 点坐标为 ．
11．季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病，某商场的一
款空气净化器（如图1）特别畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）与
售价x（元/台）是一次函数关系，如图2所示：(1)求y与x的函数关系式；
(2)某月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润，该空气净化器的售价是多少？
(3)若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是多
少？
【答案】(1)
(2)该空气净化器的售价是60元/台或80元/台
(3)该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用及二次函数的应用，解
答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和方程，利用二次函数的性质解答．
（1）根据函数图象可设函数解析式为： ，利用待定系数法求出 y与x的函数关系式；
（2）根据月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润和（1）中的结果，可以列出相应的方程，
从而可以求得该空气净化器的售价；
（3）根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可
求得相应的最大利润．
【详解】（1）解：设 与 之间的函数关系式为 ，
将 ， 代入可得：
，解得 ，
即 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：由题意可得，
，
解得 ， ，答：该空气净化器的售价是60元/台或80元/台；
（3）解：设所获利润为 元，
，
∵某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，
∴ ，
解得 ．
∴当 时， 有最大值，此时 ，
答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元．
12．如图 ，在平面直角坐标系中，已知抛物线 的顶点为点 ，且经过原点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线上，且位于直线 上方的一个动点，当点 在抛物线上，且横坐标为 时，
的面积为____________．
求 的面积的最大值．
(3)如图 ，将原抛物线沿射线 方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 交于 ， 两点（点
在点 的左侧）．
若 ，则新抛物线的解析式为____________．
在抛物线平移过程中，线段 的长度总是定值，请你直接写出此定值．
【答案】(1) ；
(2) ； 当 时， 的面积的最大值为 ；(3) ； ．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，一元二次方程根与系数的
关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
（ ）由题意可知 ，解得 ，即可求函数的解析式；
（ ） 过点 作 轴交 于点 ，求出直线 的解析式为 ，分别求出 ，
，再求 的面积即可；
过 点作 轴交 于点 ，设 ，则 ， 的面积 ，当
时， 的面积的最大值为 ；
（ ） 点向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 点 ，设抛物线向右平移 个单位，向上平
移 个单位，平移后的函数解析式为 ，可求 ，则新抛物线的解析式为
；
设抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，则平移后的函数解析式为 ，
当 时， ，根据根与系数的关系可得 ，
，则 ．
【详解】（1）解：∵函数图象经过原点，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解： 过点 作 轴交 于点 ，∵ 点横坐标为 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故答案为： ；
过 点作 轴交 于点 ，
设 ，则 ，
∴ 的面积 ，
当 时， 的面积的最大值为 ；
（3）解： ∵ ，
∴ 点向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 点 ，
设抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，∴平移后的函数解析式为 ，将点 代入，
可得 ，
解得 （舍）或 ，
∴新抛物线的解析式为 ，
故答案为： ；
设抛物线向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∴平移后的函数解析式为 ，
当 时， ，
∴ ， ，
∵直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ．
能力提升进阶练
一、单选题
1．（2025·湖北咸宁·模拟预测）二次函数 的图象经过点 ， ，与 轴的交点在
轴的下方．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．二次函数 的最小值为
【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
根据二次函数的图象经过点 ， ，可得对称轴为 ，由函数图象与 轴的交点在 轴的下
方，得到 ， ，从而可得 ，即 ，判断A选项；根据函数的增减性得到当
时， ，判断B选项；根据函数图象经过点 ， ，得到 ，求解有 ，
判断C选项；将二次函数化为顶点式，即可判断D选项．
【详解】解：∵二次函数 的图象经过点 ， ，
∴该函数图象的对称轴为 ，
∵二次函数 的图象与 轴的交点在 轴的下方，
∴ ， ，
∵该函数图象的对称轴为 ，即 ，
∴ ，故A选项错误；
∵ ，对称轴为 ，
∴该函数图象开口向上，当 时，y随x的增大而减小，
∴当 时， ，即 ，故B选项错误；
∵二次函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，
∴ ，故C选项错误；
∴二次函数可化为 ，即 ，
∴二次函数 的最小值为 ，故D选项正确．故选：D
2．（2025·湖北·模拟预测）已知抛物线 上的部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如表：
… …
… …
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线 ；③ ；④当 时， 的取值范围是
或 ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次
函数图象的相关性质．根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，区间的增减性即
可解决此题．
【详解】解：由表格数据知，抛物线经过点 ， ，
对称轴为直线 ，故②正确；
抛物线的顶点坐标为 ，
观察表格数据可知，抛物线开口向下，故①错误；
由表格可知当 时， ，
抛物线经过点 ，
由二次函数图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，即 ，
关于 的方程 的根为 和 ，
∴ ，故③正确
由抛物线开口方向及抛物线与x轴的交点坐标可知，当 时， 的取值范围是 或 ，故④正
确；
综上可知，正确的有②③④．
故选：D．
3．已知二次函数 的图象与 轴相交于点 和点 ，与 轴相交于点 ．①该二次函数的最小值为 ； ②当 时， 随 的增大而减小；
③该抛物线的顶点坐标为 ； ④ 两点之间的距离是4
以上说法中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，抛物线与 轴皎点问题，理解二次的
图象和性质是解答关键．
先求出二次函数解析式，再变形为顶点式，求出二次函数的最小值来判断①，根据抛物线开口方向和对称
轴来判定②，根据顶点坐标来判断③，令 时，求出 的坐标，进而求出 两点之间的距离即可求解
④．
【详解】解：将 和 代入抛物线解析式得
，
解得 ，
抛物线解析式为 ，
二次函数的最小值是 ，故①正确，
，
抛物线开口向上．
抛物线的对称轴为 ，
当 ， 随 的增大而减小，故②正确；
顶点坐标是 ，故③错误．
令 时， ，
解得 ， ，
，两点之间的距离是 ，故④正确．
综上所述，正确的有①②④．
故选：C．
二、填空题
4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与x轴
交于 ， ，与y轴交于点C．若 轴，则二次函数图象上点D的坐标为
．
【答案】
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关
键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据点 ， 在二次函数
的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据 轴，和二次函数的性质，即可得到点D的横坐标，
从而可以写出点D的坐标．
【详解】解：在二次函数 中，令 ，则 ，
即 ，
∵点 ， 在二次函数 的图象上，
∴该函数图象的对称轴为直线 ，
∵ 轴，∴点D的横坐标为： ，
∴点D的坐标为 ，
故答案为： ．
5．（2025·安徽淮北·三模）抛物线 经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为
．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作 轴，且点Q在一次函数 的图象上．当
时， 的最大值是 ．
【答案】 1
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键。
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求联立两函数解析式，求出两函数的交点坐标，设 ， ，由函数图象
可得，当 时， 在 的上方，则 ，据此求解即可．
【详解】解：（1）把 代入 中，得 ，解得 ．
故答案为：1．
（2）由（1）得抛物线的表达式为 ，
联立 ，解得 ， ，
抛物线 与直线 的交点坐标为 ， ．设 ， ，由函数图象可得，当 时， 在 的上方，
当 时， ，
当 时，PQ的最大值是 ．
故答案为： ．
6．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为 ，且经过
点 ．以下说法：① ；② ；③ ；④若 是抛物线上的
两点，则 ；⑤ （其中 ），其中说法正确的是 ．
【答案】①②③④⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当 时，
抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当
a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛
物线与y轴交于 抛物线与x轴交点个数由判别式确定： 时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点； 时，抛物线与x轴没有交点．
利用抛物线开口方向得到 ，利用抛物线的对称轴方程得到 ，利用抛物线与y轴的交点在x轴
上方得到 ，则可对①进行判断；利用抛物线经过点 得到 ，则可对③进行判断；同
时得到 ，加上 ，则可对②进行判断；通过比较点 到直线 的距离与点 到
直线 的距离的大小可对④进行判断；利用 时，函数值最大以及 可对⑤进行判断．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以①正确；
抛物线经过点 ，
，所以③正确；
，
，所以②正确；
点 到直线 的距离比点 到直线 的距离大，
；所以④正确；
抛物线的对称轴为直线
当 时，函数值最大，
，
，即 ，所以⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
三、解答题
7．“骑车戴头盔，放心平安归”、越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行
车安全．某品牌头盔进价80元/个，当定价100元/个时．每月可卖出200个．若价格每上涨1元，销售量
则减少5个．
(1)现在既要使月销售利润达到4375元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨多少元？
(2)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)该品牌每个头盔应涨5元
(2)该品牌头盔每个涨价10元时，月销售利润最大，最大利润是4500元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数
关系式是解题的关键．
（1）设该品牌每个头盔应涨x元，则销售量为 个，根据利润等于单个头盔利润乘以销售量建立
方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个涨价y元，月销售利润为w元，则销售量为 个，根据利润等于单个头盔
利润乘以销售量列出w关于y的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解；设该品牌每个头盔应涨x元，
由题意得， ，
整理得： ，
解得 或 ，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴ ，
答：该品牌每个头盔应涨5元；
（2）解：设该品牌头盔每个涨价y元，月销售利润为w元，
由题意得，，
∵ ，
∴当 时，w最大，最大为4500，
答：该品牌头盔每个涨价10元时，月销售利润最大，最大利润是4500元．
8．（2025·河南·模拟预测）大坝泄洪时，水流的形状类似抛物线形．如图2，建立如图所示平面直角坐标
系（大坝底与水平面交点为原点 ，大坝墙面为 轴），已知水流内轮廓线的函数表达式为
，泄洪口 高 ；水流外轮廓线的最高点 比泄洪口A处高 ，且与泄洪口 处的水
平距离为 ．
(1)求水流外轮廓线的表达式和内轮廓线的顶点 的坐标．
(2)求水流落入水平面时，形成的水流的宽度 ．
【答案】(1) ，点 的坐标为
(2)
【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是利用二次函数性质，结合已知条件确定函数
表达式、顶点坐标，通过求函数与 轴交点计算宽度．
（1）先将内轮廓线函数表达式通过配方法化为顶点式，从而得出内轮廓线顶点 的坐标；再根据 点坐
标及 高度确定 点坐标，结合 点与 点的位置关系确定 点坐标，最后设外轮廓线顶点式，代入
点坐标求出表达式．
（2）明确水流落入水平面时 ，分别将 代入内、外轮廓线表达式．求解方程得到外轮廓线与 轴
交点 和内轮廓线与 轴交点 的横坐标．用 点横坐标减去 点横坐标，算出水流宽度 ．
【详解】（1）解： 内轮廓线的函数表达式为 ，
内轮廓线的顶点 的坐标为 ．令 ，得 ．
点 的坐标为 ．
泄洪口 高 ，
点 的坐标为 ．
∵水流外轮廓线的最高点 比泄洪口 处高 ，且与泄洪口 处的水平距离为 ， 点坐标 ，
∴ 点横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ．
设外轮廓线的函数表达式为顶点式 ．
把 代入 ，得
，即 ．
解得 ，
∴外轮廓线的函数表达式为 ．
（2）解：当水流落入水平面时， ．
代入外轮廓 ，得 ．
解得 ， （舍去）；
代入内轮廓 ，得 ，
解得 ， （舍去）．
∵ 的长度等于 点横坐标减去 点横坐标，
∴ ，
水流落入水平面时，形成的水流的宽度 为 ．
9．如图，某景区建设规划中想将大门设计为带有雕花和复古图案的一个抛物线型铁艺大门．在兼顾美观、
通畅等因素下，铁艺大门的高为3m，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)．设计组按要求给出了两个设
计方案，分别如图所示．
方案一：抛物线型拱门的跨度 为10m，拱高 为5m．
方案二：抛物线型拱门的跨度 为6m，拱高 为6m．请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)建立适当平面直角坐标系求抛物线的函数表达式；
(2)求铁艺大门框架 的面积 和 的面积 并比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）由题意知方案一中抛物线的顶点 ，方案二中抛物线的顶点 ，分别设顶点式用待定系数
法，即可求出抛物线的函数表达式；
（2）令 可得 ， ，可求出故 ， 再比较的大小即可．
【详解】（1）解：如图1，方案一中抛物线的顶点 ，
设抛物线的函数表达式为
把 代入得∶
解得：
∴方案一中抛物线的函数表达式为 ．
如图2，方案二中抛物线的顶点 ，
设抛物线的函数表达式为把 代入得∶
解得：
∴方案二中抛物线的函数表达式为
（2）在 中，令 ，得∶
解得 或
在 中，令 ，得∶
解得 或
10．（2025·内蒙古·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 ，P是直线 下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接 ，并将 沿y轴翻折，得到四边形 ，是否存在点P，使得四边形 为菱形？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形 的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形 的最大面积．
【答案】(1)点A的坐标为 ，该抛物线的函数表达式为
(2)存在这样的点 ，此时点 的坐标为
(3)当点 运动到 时，四边形 的面积最大，四边形 的最大面积为32
【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题，
（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式，再令 求出点A的坐标即可；
（2）连接 交 于点 ，结合菱形的性质可得 ，且 ，进一步求得点 的纵坐标为
，代入函数解析式有 ，即可求得点 的坐标；
（3）连接 ，作 轴于点 ， 轴于点 ，设点 的坐标为 ．则 ，
， ， ，结合
，化解后利用二次函数的性质求得最
大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 ，把 ， 代入 中，
得 解得
该抛物线的函数表达式为 ．
当 时， ，解得 或 ，
∴点A的坐标为 ；
（2）解：假设抛物线上存在点 ，使四边形 为菱形，连接 交 于点 ．如图，
四边形 为菱形， ，
，且 ，
，即点 的纵坐标为 ．
由 ，得 ， （不合题意，舍去），
故存在这样的点 ，此时点 的坐标为 ．
（3）解：连接 ，作 轴于点 ， 轴于点，如图，
设点 的坐标为 ．
， ， ，， ， ， ，
，
∵ ， ，
当 时，S有最大值，最大值为32，此时 ，
此时点 的坐标为 ，
即当点 运动到 时，四边形 的面积最大，四边形 的最大面积为32．
11．（2025·内蒙古包头·三模）已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上位于直线 上方的一点，连结 ．
①如图1，过点P作 轴交 于点D，交x轴于点E，连结 ．设 的面积为 ， 的面
积为 ，若 ，求S的最大值；
②如图2，已知 ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①当 时，S有最大值为6；② ．
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数综合的面积问题、直线与二次函数图象交点坐标求法等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
（1）运用待定系数法解答即可；
（2）①先求出B的坐标，然后再运用待定系数法求出直线 的解析式，设 ，则
， ，然后表示出S与m的函数关系式，最后运用二
次函数的性质求最值即可；
②在 上截取 ，则可得 ，再说明 ，然后运用待定系数法求得直线 、
的解析式，再与抛物线解析式联立确定P点坐标．
【详解】（1）将 代入抛物线得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ．
（2）①令 ，解得 ， ，
，
设直线 的解析式为 ，
代入点 ， 得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
点P为抛物线上位于直线 上方的一点，可设 ，
则 ， ， ，
，
，，
， ，
当 时，S有最大值6 ．
②在 上截取 ，如下图所示：
又 ，
垂直平分 ，
，
，
，
又 ， ，
，即 ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
代入点 ， 得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
可设直线 的解析式为 ，
代入点 得， ， ，
直线 的解析式为 ，解方程 ，得 ， ，
当 时， ，
点P的坐标为 ．
12．（2025·广东深圳·三模）如图 ，以点 ， 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点 是抛
物线的顶点，直线 是抛物线的对称轴， 于点 ， ，则称实线表示的部分为该抛物线上的
“正抛线”，点 ， 分别为“正抛线”的左、右端点，点 为“正抛线”的顶点， 的长为“正抛
线”的高．
(1)已知高为 的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式；
(2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求 ；
(3)如图 ，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点
都在 轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直
线上．若所有大“正抛线”的 ，求小“正抛线”的高．
【答案】(1)该“正抛线”所在抛物线的表达式为 或 ；
(2) ；
(3)小“正抛线”的高为 ．
【分析】（1）由题意得左端点 ， ，右端点 ， ，则 或 ，
根据顶点设抛物线解析式为 或 ，再将点 的坐标代入求出 的值即可得
“正抛线”所在抛物线的表达式；
（2）由题意得抛物线开口向下，抛物线的顶点 在第一象限，右端点 在 轴的正半轴，此时抛物线对称轴为 ，推得 后代入抛物线解析式 即可得 的值；
（3）设抛物线的左端点为 ，右端点为 ，垂足点为 ，顶点为 ，小抛物线的左端点为 ，右端点为
，垂足点为 ，顶点为 ，设左端点 ，右端点 ， ，垂足点
，顶点 ，根据顶点设抛物线解析式 ，将 带入后求出 ，再设
小“正抛线”的高为 ，得出点 坐标后，代入大“正抛线”解析式即可求出 ．
【详解】（1）解：根据题意得：左端点 ， ，
右端点 ，
由抛物线的对称性可得 ，则 或 ，
设该“正抛线”所在抛物线的表达式为 或 ，
将 代入可得 或 ，
该“正抛线”所在抛物线的表达式为 或 ，
即该“正抛线”所在抛物线的表达式为 或 ；
（2）解： 抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，
即 ，
抛物线开口向下，抛物线的顶点 在第一象限，右端点 在 轴的正半轴，
此时抛物线对称轴为 ，
右端点 的坐标为 ，垂足 ， ，
，将其代入抛物线解析式可得： ，
，
或 （舍去），
即 ；
（3）解：设抛物线的左端点为 ，右端点为 ，垂足点为 ，顶点为 ，
小抛物线的左端点为 ，右端点为 ，垂足点为 ，顶点为 ，
根据题意，设左端点 ，右端点 ，
，垂足点 ，顶点 ，
，
设抛物线解析式为 ，
把 代入可得， ，
解得 或 （舍去），
抛物线解析式为 ， ，
设小“正抛线”的高为 ，则 ，
，
，
点 在抛物线 上，，
解得 或 （舍去），
小“正抛线”的高为 ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、二次函数的对称性、待定系数法求二次函数解析式、
一元二次方程与二次函数综合，解题关键是正确理解新定义和熟练掌握二次函数的图象与性质．
