文档内容
第二十二章 二次函数1. 熟练掌握二次函数全章知识点；
教学目标
2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
1. 重点
（1）二次函数的图象与性质；
（2）待定系数法求二次函数解析式；
（3）二次函数的实际应用。
教学重难点
2. 难点
（1）二次函数的图象与性质；
（2）二次函数的实际应用；
（3）二次函数的综合。
考点01 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、
b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x )(x－x )(a≠0)，
1 2
其中x ，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点
式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次
函数解析式的这三种形式可以互化.
考点02 二次函数的图象与性质
1. 二次函数的性质与图像：
形式
一般式： 顶点式
的符号
开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下，若 同号，则对称轴在 ，若 ，对称轴在 轴右边；若
对称轴
轴左边；若 异号，则对称轴在 轴右 ，对称轴在 轴左边，
边。简称左同右异。
当 时取得 当 时取得 当 时取得最小 当 时取得最大
最值
值 值
最小值 最大值
顶点坐标
图像在对称轴左边 图像在对称轴左边 图像在对称轴左边 图像在对称轴左边
随 的增大而减 随 的增大而增 随 的增大而减 随 的增大而增
增减性 小；图像在对称轴 大；图像在对称轴 小；图像在对称轴 大；图像在对称轴
右边 随 的增大 右边 随 的增大而 右边 随 的增大 右边 随 的增大而
而增大； 减小； 而增大； 减小；
①若二次函数是一般形式时，则二次函数与 轴的交点坐标为 。若 ，则二次函数与
轴交于正半轴；若 ，则二次函数与 轴交于负半轴。
②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的
函数值越小。
③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。
④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。
考点03 二次函数的几何变换
1. 二次函数的平移：
①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。
②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。
(1) 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成（或 ）
y=ax2+bx+c
(2) 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成
（或 ）
2. 一次函数的对称变换：
①若二次函数关于 轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。
②若二次函数关于 轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。
③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。
考点04 待定系数法求函数解析式
1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；
①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)。
③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)。
1 2
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。
考点05 二次函数的图象与系数之间的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由a决定， ，开口向上， ，开口向下。
2. 二次函数的对称轴：
b
x=−
由二次函数的性质可知，二次函数 的对称轴为 2a。若 同号，则
＜0，二次函数的对称轴在 轴的左边；若 异号，则 ＞0，二次函数的对称轴在
轴的右边。简称左同右异。
①若二次函数的对称轴 =1，则 0。
②若二次函数的对称轴 =﹣1，则 0。
3. 二次函数与 轴的交点：
二次函数 与 轴的交点坐标为（0，c）。
拓展：在二次函数 中：是自变量为1的函数值， 是自变量为﹣1的函数值。
是自变量为2的函数值， 是自变量为﹣2的函数值。
是自变量为3的函数值， 是自变量为﹣3的函数值。
考点06 二次函数与一元二次方程
1. 二次函数与一元二次方程：
①若二次函数 与 轴有两个交点⇔一元二次方程 有两个不
相等的实数根⇔ 。
②若二次函数 与 轴只有一个交点⇔一元二次方程 有两个
相等的实数根⇔ 。
③若二次函数 与 轴没有交点⇔一元二次方程 没有实数根
⇔ 。
④若二次函数 与直线 相交，则一元二次方程为 。交
点情况与方程的解的情况同与 轴相交时一样。
2. 二次函数与不等式（组）
若二次函数 与一次函数 存在交点，则不等式：
的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；
的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。
考点07 二次函数与实际问题
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式．
④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题．
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论．
⑥答：写出答案。
2. 二次函数与图形面积问题：
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为
二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。
3. 二次函数解决销售利润问题：
计算公式：总利润＝单利润×数量
现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
涨价部分 降价部分
现数量＝原数量－ ×变化数量（原数量＋ ×变化数量）
涨价基础 降价基础
4. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题：
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。
（2）从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。
（3）利用待定系数法求函数表达式。
（4）运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。
题型01 二次函数的定义
【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7
C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2
【答案】C
【解答】解：A、y＝x3+2x﹣1，不是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝4x﹣7，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝x2+4，是二次函数，故C符合题意；
D、y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1，是一次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【变式1】若y＝（m﹣2）x2+3x+n（x为自变量）是二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m＞2 C．m＜2 D．0＜m＜2
【答案】A
【解答】解：由题意得m﹣2≠0，
解得m≠2，
故选：A．
【变式2】若函数y=(m−3)xm2−3m+2+mx+1是二次函数，则m的值一定是（
）
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
【答案】B
【解答】解：∵此函数是二次函数，
{m2−3m+2=2)
∴ ，
m−3≠0
解得m＝0．
故选：B．题型02 二次函数的形式转换
1
【典例1】将二次函数y= x2−6x+21化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
2
1 1
A．y= (x+6) 2−3 B．y= (x−6) 2−3
2 2
1 1
C．y= (x+6) 2+3 D．y= (x−6) 2+3
2 2
【答案】D
1
【解答】解：y= x2﹣6x+21
2
1
= （x2﹣12x+36）﹣18+21
2
1
= （x﹣6）2+3．
2
故选：D．
1
【变式1】用配方法将二次函数y=− x2−2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是（ ）
2
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】D
1
【解答】解：y=− x2−2x+4
2
1
=− (x+2) 2+6，
2
∴h＝﹣2，k＝6，
∴h+k＝﹣2+6＝4，
故选：D．
题型03 二次函数的性质与图象
【典例1】关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
C．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解答】解：A：∵a＝﹣1，∴函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，故此选项错误，
B：当x＝0，y＝1，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，1），故此选项错误，C：∵这个函数的顶点是（1，2），故此选项错误，
∴D：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确，
故选：D．
【变式1】关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．与y轴交于正半轴
C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限
【答案】D
【解答】解：由条件可知图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
令x＝0，即y＝3，
∴图象交于y轴的正半轴，故选项B正确，不符合题意；
b −2
x =− =− =−1，所以对称轴在y轴的左侧，故选项C正确，不符合题意；
轴 2a 2×(−1)
令﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x ＝﹣3，x ＝1，故与x轴的交点（1，0），（﹣3，0），又知道与y轴的交
1 2
点坐标为（0，3），图象一定经过第一象限，选项D错误，符合题意；
故选：D．
【典例2】抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5）
【答案】A
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+5，
∴抛物线顶点为（1，5），
故选：A．
【变式1】二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【解答】解：解法1：利用公式法
b 4ac−b2
y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（− ， ），代入数值求得顶点坐标为（1，﹣4）；
2a 4a
解法2：利用配方法
y＝﹣x2+2x﹣5＝﹣（x2﹣2x+1）﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣4，故顶点的坐标是（1，﹣4）．
故选：B．
【典例3】二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由条件可知a＝2，顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴二次函数图象是开口向上，以顶点坐标为（﹣1，﹣4）的抛物线，
故选：D．
【变式1】直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：选项A中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项
A不符合题意；
选项B中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，故选项B
符合题意；
选项C中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，而抛物线
中﹣ab＞0，故选项C不符合题意；
选项D中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
【变式2】已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内
的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由解析式y＝a（x+m）2+n可知，a＞0，图象开口向上，其顶点坐标为（﹣m，n），又因
为m＜0，n＜0；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D；
C中，由二次函数图象可知a＜0，而由一次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，排除C；选项B正确．
故选：B．
【典例4】若A（﹣1，y ）、B（﹣2，y ）、C（1，y ）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则
1 2 3
y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 2
【答案】A
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝3（x+1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大，
∵点C离着对称轴最远，点A在对称轴上，
∴y ＜y ＜y ．
1 2 3
故选：A．
【变式1】点P （﹣4，y ），P （﹣3，y ），P （1，y ）均在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y ，
1 1 2 2 3 3 1
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 2 1 2 1 3 1 2 3 3 1 2
【答案】D
【解答】解：抛物线配方成顶点式为：y＝（x+2）2﹣4﹣m，则抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直
线x＝﹣2，
∵P （1，y ）关于对称轴的对称点为（﹣5，y ），
3 3 3
∵﹣5＜﹣4＜﹣3，当x＜﹣2时，y随x增大而减小，
∴y ＞y ＞y ．
3 1 2
故选：D．
【典例5】二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（ ）A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7
【答案】A
【解答】解：∵a＝2＞0，开口向上，
∴当x＝﹣1时，二次函数y＝2（x+1）2﹣7有最小值为﹣7，
故答案为：A．
【变式1】若函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7），则当﹣3≤x≤0时，函数的最大
值与最小值之和是（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣3 D．0
【答案】B
【解答】解：由题意，∵函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7），
{−2−b+c=1
)
∴ ．
−2+b+c=−7
{b=−4)
∴ ．
c=−1
∴函数为y＝﹣2x2﹣4x﹣1＝﹣2（x+1）2+1．
∴当﹣3≤x≤0时，当x＝﹣1时，y最大值为1；当x＝﹣3时，y取最小值为﹣7．
∴函数的最大值与最小值之和是：1+（﹣7）＝﹣6．
故选：B．
【变式2】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（ ）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），
∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，
∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，
解得c＝3或c＝﹣1，
故选：A．
【变式3】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（ ）
5 5 5
A．5 B．﹣5或 C．5或− D．﹣5或−
8 8 8
【答案】C
【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4，解得：m＝5；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4，
5
解得：m=− ；
8
故选：C．
题型04 二次函数的平移
【典例1】将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（
）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+5
【答案】A
【解答】解：将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析
式是：y＝（x+3）2﹣5．
故选：A．
【变式1】将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（
）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+1）2+4
C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+2
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，它的顶点坐标是（1，2）．
将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（﹣1，3），
所以新抛物线的解析式是：y＝（x+1）2+3．
故选：C．
1 1
【变式2】抛物线y =− (x+1) 2−1可以由抛物线y =− x2 （ ）得到．
2 2
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向不平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】D
1
【解答】解：∵y=− (x+1) 2−1，
2
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣1），1
∵抛物线y=− x2 的顶点坐标是（0，0），
2
1
∴平移的方法可以是：将抛物线y=− x2 向左平移1个单位，再向下平移1个单位．
2
故选：D．
【变式3】在平面直角坐标系中，将抛物线L ：y=ax2+2ax+c（a、c为常数，且a＜0）沿x轴向右平
1
移3个单位得到抛物线L ，点A（m，y ），B（m+2，y ）均在抛物线L 上，且位于抛物线L 对称轴的
2 1 2 2 2
两侧，若y ＜y ，则m的取值范围为（ ）
1 2
A．1＜m＜2 B．0＜m＜1 C．0＜m＜2 D．﹣1＜m＜1
【答案】B
【解答】解：∵抛物线L ：y=ax2+2ax+c（a、c为常数，且a＜0），
1
2a
∴抛物线L 开口向下，对称轴为直线x=− =−1，
1 2a
∵将抛物线L ：y=ax2+2ax+c（a、c为常数，且a＜0）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线L ，
1 2
∴抛物线L 开口向下，对称轴为直线x＝2，
2
∵点A（m，y ），B（m+2，y ）均在抛物线L 上，且位于抛物线L 对称轴的两侧，
1 2 2 2
∴m＜2，m+2＞2，
∴0＜m＜2，
∵y ＜y ，
1 2
∴2﹣m＞m+2﹣2，
∴m＜1，
综上，0＜m＜1．
故选：B．
题型05 待定系数法求二次函数解析式
【典例1】根据下列条件，求二次函数的解析式
（1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）；
（2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）；
（3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）；
（4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点；
（5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5；
（6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把（﹣1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得，
3＝a﹣b+c①，
3＝a+b+c②，
6＝4a+2b+c③，
解由①②③组成的方程组得，a＝1，b＝0，c＝2．
所以二次函数的解析式为y＝x2+2．
（2）设y＝a（x+1）2+9，
把（0，﹣8）代入解析式得，a＝﹣17，
∴y＝﹣17（x+1）2+9＝﹣17x2﹣34x﹣8，
所以二次函数的解析式为y＝﹣17x2﹣34x﹣8．
（3）∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），
∴与x轴的另一个交点为（4，0），
设y＝a（x+2）（x﹣4），
3
把（0，12）代入解析式得，a=− ，
2
3 3
∴y=− （x+2）（x﹣4）=− x2+3x+12，
2 2
3
所以二次函数的解析式为y=− x2+3x+12．
2
（4）设y＝a（x﹣2）2﹣5，
5
把（0，0）代入解析式得，a= ，
4
5 5
∴y= （x﹣2）2﹣5= x2﹣5x，
4 4
5
所以二次函数的解析式为y= x2﹣5x．
4
（5）设y＝a（x+1）（x+3），
根据题意可得对称轴为直线x＝﹣2，又函数有最小值﹣5，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣5），代入解析式得，a＝5．
∴y＝5（x+1）（x+3）＝5x2+20x+15，
所以二次函数的解析式为y＝5x2+20x+15．
（6）∵当x＝2时，函数的最大值是1，即顶点坐标为（2，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，而图象与x轴两个交点之间的距离为2，则交点坐标分别为（1，0），
（3，0），
设y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把（2，1）代入解析式得，a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，·所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．
题型06 二次函数的图象与系数的关系
【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0
【答案】D
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
b
∴x=− ＞0，
2a
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项A错误；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，故选项B错误；
b
∵抛物线的对称轴为x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a，故选项C错误．
∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（﹣1，0）之间，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）与（3，0）之间，
∴x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故选项D正确；
故选：D．
【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：
①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①函数图象与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②根据图象可得，函数图象与x轴有两个交点，
∴对应方程有两个根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，②正确；
③由条件可知：开口向上，a＞0，对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴2a+b＝0，③正确；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∵c＜0，
∴c（a﹣b+c）＜0，
即ac﹣bc+c2＜0，④正确；
综上可得：②③④正确，
故选：C．
【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝
0；③ 3a+c＝0；④ m（am+b）≥a﹣b（m 为任意实数）；⑤ 4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，b
∴− ＜0，
2a
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
b
②由对称轴可知：− =−1，
2a
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故②错误；
③∵抛物线过点（1，0），
∴y＝a+b+c＝0，
∵b＝2a，
∴y＝3a+c＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，
∴x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），故④正确；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；
故选：D．
题型07 二次函数与一元二次方程
3
【典例1】若抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，则c＝ ．
2
3
【答案】 ．
2
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×3c＝0，
3
解得c= ．
2
3
故答案为： ．
2
【变式1】二次函数y＝ax2﹣3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B【解答】解：根据题意，Δ＝（﹣3）2﹣4a×2＞0，且a≠0，
9
解得，a＜ 且a≠0，
8
故选：B．
【变式2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝
1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝3 B．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣3 D．x ＝1，x ＝﹣3
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
即x＝﹣1或x＝3时，y＝0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
故选：A．
【变式3】已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0，a，c为常数），如表给出了自变量x与函数值y的部分对
应值．
x 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
y＝ax2﹣ 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24
2ax+c
根据表格，可以估计方程ax2﹣2ax+c＝5的近似解是（ ）
A．﹣0.55和2.55 B．1.45和2.55
C．1.25和2.75 D．﹣0.75和2.75
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，
−2a
∴对称轴为x=− =1．
2a
∴观察表格数据可以发现y＝5时，x在2.7和2.8之间，
∴根据二次函数的对称性，可知y＝5时，x在﹣0.8和﹣0.7之间，故选：D．
题型08 二次函数与不等式
【典例1】如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（ ）时，
函数值大于0．
A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6
【答案】A
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（6，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴当x＜﹣2或x＞6时，y＞0．
故选：A．
【变式1】抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【答案】C
【解答】解：根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为：（﹣3，0），
从图象看，当y＞0时自变量x的取值范围为：﹣3＜x＜1，
故选：C．
题型09 二次函数的实际应用
【典例1】如图，老王想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 ABCD
（BC＞AB），并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料），设AB＝x m，BC＝y
m．（1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围；
（2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值．
【答案】（1）y＝72﹣2x（0＜x＜24）；
（2）AB长18m，BC长36m矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为648m2．
【解答】解：（1）y＝70+2﹣2x＝72﹣2x，
{ x＞0 )
由题意得： 72−2x＞0 ，
72−2x＞x
解得：0＜x＜24，
∴y＝72﹣2x（0＜x＜24）；
（2）S＝x（72﹣2x）＝﹣2x2+72x，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝18，
∵0＜x＜24，
∴当x＝18时，S有最大值，最大值为18×36＝648（m2）．
答：AB长18m，BC长36m矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为648m2．
【变式1】每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了
一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利 60元时，每天可售出50个；单价
每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于 40
元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器．
5
【答案】（1）y与x的函数关系式为y=− x2+100x+3000；每个助听器降价20元时，每天的销售利润
2
最大，最大利润为4000元；
（2）这天售出了75个助听器．
5 5 5
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（60﹣x）（50+ x）=− x2+100x+3000=− （x﹣20）2+4000，
2 2 2
5
∵− ＜0，
2
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为4000，
5
答：y与x的函数关系式为y=− x2+100x+3000；每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大
2
利润为4000元；5
（2）根据题意得：− x2+100x+3000＝3750，
2
解得：x ＝10，x ＝20，
1 2
∵每个助听的利润不低于40元，
∴x＝10，
5
此时50+ x＝50+25＝75，
2
∴这天售出了75个助听器．
【变式2】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10m，宽OB为3m，隧道顶
端D到路面的距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已
知摄像头到OB的水平距离为8m，求摄像头到地面的竖直距离．
【答案】（1）y＝﹣0.2（x﹣5）2+8；（2）6.2m．
【解答】解：（1）由题意，∵矩形的长OA为10m，隧道顶端D到路面的距离为8m，
∴抛物线的顶点为（5，8）．
∴可设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣5）2+8．
又∵B（0，3），
∴3＝a（0﹣5）2+8．
∴a＝﹣0.2．
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣0.2（x﹣5）2+8．
（2）由题意，∵抛物线为y＝﹣0.2（x﹣5）2+8，且摄像头到OB的水平距离为8m，
∴令x＝8，则y＝﹣0.2（8﹣5）2+8＝6.2．
∴摄像头到地面的竖直距离为6.2m．
【变式3】在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：m/s），垂直向上的速度为
b（单位：m/s）．实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为x＝at，高度y（单
位：m）与时间t的关系为y＝﹣5t2+bt+2．（1）在小伟同学的一次投掷中，测得a＝6m/s，b＝3m/s；
①写出x与t的函数关系式为 x ＝ 6 t ；y与t的函数关系式为 y ＝﹣ 5 t 2 + 3 t + 2 ；
5 1
根据以上关系，可得y与x的函数关系式为 y=− x 2 + x +2 （不用写出x的取值范围）；
36 2
②求出本次实心球的投掷距离．
（2）研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远．
改进投掷方法后，小伟投出了8m的最佳成绩，若本次投掷中a＝b，求实心球在投掷过程中的最大高度．
5 1
【答案】（1）①x＝6t；y＝﹣5t2+3t+2；y =− x2+ x+2；②本次实心球的投掷距离为6米；
36 2
（2）实心球在投掷过程中的最大高度为3.6米．
【解答】解：（1）①当a＝6，b＝3时，x＝6t，y＝﹣5t2+3t+2；
x 5 1
把t= 代入y＝﹣5t2+3t+2得：y=− x2+ x+2，
6 36 2
5 1
故答案为：x＝6t；y＝﹣5t2+3t+2；y=− x2+ x+2；
36 2
5 1
②令y＝0，则•− x2+ x+2＝0，
36 2
12
解得x ＝6，x =− （舍去），
1 2 5
答：本次实心球的投掷距离为6米；
5
（2）当a＝b时，x＝at，y＝﹣5t2+at+2，则y =− x2+x+2，
a2
5
当x＝8时，− ×64+8+2＝0，
a2
解得a＝4❑√2或a＝﹣4❑√2（舍去），
5
∴y=− x2+x+2，
32
5
4×(− )×2−1
32
∴y的最大值为 =3.6，
5
4×(− )
32
答：实心球在投掷过程中的最大高度为3.6米．题型10 二次函数的综合
【典例1】如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，
求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标
及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣4，0）代入得：
{−4+2b+c=0
)
，
−16−4b+c=0
{b=−2)
解得： ，
c=8
则该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+8；
（2）如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：
y＝kx+d，
将点B（﹣4，0）、C（0，8）代入得：
{ d=8 )
，
−4k+d=0{k=2)
解得： ，
d=8
故直线BC解析式为：y＝2x+8，
直线BC与抛物线对称轴 x＝﹣1的交点为Q，此时△QAC的周长最小．
{y=2x+8) {x=−1)
解方程组 得，
x=−1 y=6
则点Q（﹣1，6）即为所求；
（3）如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，
P点（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0）
∵S△BPC ＝S四边形BPCO ﹣S△BOC ＝S四边形BPCO ﹣16
若S四边形BPCO 有最大值，则S△BPC 就最大
∴S四边形BPCO ＝S△BPE +S直角梯形PEOC
1 1
= BE•PE+ OE（PE+OC）
2 2
1 1
= （x+4）（﹣x2﹣2x+8）+ （﹣x）（﹣x2﹣2x+8+8）
2 2
＝﹣2（x+2）2+24，
当x＝﹣2时，S四边形BPCO 最大值＝24，
∴S△BPC 最大＝24﹣16＝8，
当x＝﹣2时，﹣x2﹣2x+8＝8，
∴点P的坐标为（﹣2，8）．
1
【变式1】如图，已知直线y=− x+2与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
2
点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M，设点P的
横坐标为t．
（1）求抛物线解析式；
（2）当MN＝2MP，求t的值；
（3）若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值；（4）在y轴上是否存在点Q，使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的
坐标；若不存在，请说明理由．
7
【答案】（1）y=−x2+ x+2；
2
（2）t＝1；
8❑√5
（3） ；
5
−3+❑√57 −9+❑√17 −9+❑√17 9+❑√17
（4）存在，Q(0， )或Q(0， )或Q(0， )或Q(0，− )．
2 4 4 4
1
【解答】解：（1）直线y= x+2与x轴、y轴交于B，A两点，则点A的坐标为（0，2），点B的坐
2
标为（4，0）．
{ c=2 )
由题意得： ，
−16+4b+c=0
{ b= 7 ，)
解得： 2
c=2
7
∴抛物线的解析式为y=−x2+ x+2；
2
1 7
（2）∵点P（t，0），则点M(t，− t+2)，N(t，−t2+ t+2)，
2 2
7 1 1
∴MN＝﹣t2+ t+2+ t﹣2＝﹣t2+4t，MP=− t+2，
2 2 2
∵MN＝2MP，
1
∴−t2+4t=2(− t+2)，
2
解得：t＝1或4（与点B重合，舍去），
∴t＝1；
（3）点N到直线AB的距离为d，求d的最大值即为求△ANB面积的最大值，
连接NA、NB，如下图所示，∵点B的坐标为（4，0）、A（0，2），
∴OB＝4，OA＝2，
由（2）得：MN＝﹣t2+4t，
1 1
∴S = ×MN×OB= (−t2+4t)×4=−2(t−2) 2+8≤8，
△ANB 2 2
∴面积最大为8，
∵AB=❑√OA2+OB2=2❑√5，
1
∴S = ×AB×d=8，
△ANB 2
8❑√5
解得d= ，
5
8❑√5
即d的最大值为 ；
5
−3+❑√57
（4）存在点 Q 使△QBN 是以 BN 为腰的等腰直角三角形，有三种可能：Q(0， )或
2
−9+❑√17 −9−❑√17
Q(0， )或Q(0， )，理由如下：
4 4
当∠QNB＝90°时，NQ＝BN，点Q在y轴的正半轴，如下图所示，
过点N作 ND⊥y轴，过点B作BC⊥x轴交DN延长线于点C，
∴∠CDQ＝∠BCN＝90°，∠QND+∠BNC＝90°，∠QND+∠DQN＝90°，
ND＝PO＝t，
∴∠BNC＝∠DQN，
∴△DQN≌△NCB（AAS），
∴ND＝BC＝t，DQ＝NC＝BP＝4﹣t，∴PN＝BC＝OD＝t，
∴N（t，t），
7
∴−t2+ t+2=t，
2
5+❑√57 5−❑√57
解得：t= 或t= （负值舍去），
4 4
−3+❑√57
∴OQ＝OD﹣DQ＝t﹣（4﹣t）= ，
2
−3+❑√57
∴Q(0， )；
2
当∠QBN＝90°时，QB＝BN，点Q在y轴的负半轴，如图所示，
∵∠QOB＝∠BPN＝∠QBN＝90°，
∴∠QBO+∠OQB＝90°，∠QBO+∠OBN＝90°，
∴∠OQB＝∠OBN，
∴△OQB≌△PBN（AAS），
∵OB＝4，BP＝4﹣t，
∴OQ＝BP＝4﹣t，NP＝OB＝4，
∴N（t，4），
7
∴−t2+ t+2=4，
2
7±❑√17
解得：t= ，
4
7+❑√17 9−❑√17 7−❑√17 9+❑√17
∴OQ=4− = 或OQ=4− = ，
4 4 4 4
∵点Q在y轴的负半轴，
−9+❑√17 9+❑√17
∴Q(0， )，Q(0，− )；
4 4
−3+❑√57 −9+❑√17 −9+❑√17 9+❑√17
综上可得：Q(0， )或Q(0， )或Q(0， )或Q(0，− )．
2 4 4 4
【变式2】抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），
点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数解析式和直线AC的解析式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为
D，PD交AC于点E．若点P的横坐标为x，请用x的式子表示PE，并求PE的最大值；
（3）如图2，点M是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点N，使得以点A，C，M，N为
顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点M的坐标．
3 9 9
【答案】（1）∴y＝﹣x2﹣2x+3；y＝x+3；（2）PE=−(x− ) 2+ ；最大值为 ；（3）点M的坐标为
2 4 4
（﹣1，﹣8）或（﹣1，0）或（﹣1，﹣2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点
C（0，3），代入得：
{0=(−3) 2a−2×(−3)+c)
，
3=c
{a=−1)
解得： ，
c=3
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，3），代入得：
{ b=3 )
，
−3k+b=0
{k=1)
解得 ，
b=3
∴直线AC的解析式为y＝x+3；
（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3），
3 9
∴PE＝﹣x2﹣3x=−(x− ) 2+ ，
2 4
9
依据二次函数的性质可知，PE存在最大值，最大值为 ；
4
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN＝AC，如图3，过点N作对称轴的垂线，
垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠NMG，
在△NMG和△ACO中，
{∠NGM=∠AOC
)
∠NMG=∠ACO ，
NM=AC
∴△NMG≌△ACO（AAS），
∴NG＝AO＝3，
∴点N到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点N（x，y），则NG＝|x+1|＝3，
解得：x＝2 或x＝﹣4，
当x＝2时，代入y＝﹣（x+1）2+4，得：y＝﹣5，
当 x＝﹣4时，代入y＝﹣（x+1）2+4，y＝﹣5，
∴点N坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
∴M（﹣1，﹣8）；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图4，设AC的中点为T，∵A（﹣3，0），C（0，3），
3 3
∴T（− ， ），
2 2
∵点M在对称轴上，
∴点M的横坐标为﹣1，
3
设点N的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（− ）＝﹣3，
2
∴x＝﹣2，
此时 y＝3，
∴N（﹣2，3），
∴M（﹣1，0）．
当点N是抛物线顶点时，即N（﹣1，4）时，M的坐标为（﹣1，﹣2），此时，也满足点A，C，M，N
为顶点的四边形是平行四边形，
综上所述，点M的坐标为（﹣1，﹣8）或（﹣1，0）或（﹣1﹣2）．
