文档内容
第二十二章 二次函数（知识清单）
一、学习目标
1）掌握二次函数的概念，并能根据二次函数的图像与性质解决相关问题。
2）掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。
3)能够利用二次函数解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生
分析问题、解决问题的意识和能力。
重点：
1）掌握二次函数的图象特征及其性质。
2) 掌握用待定系数法求抛物线解析式的方法。
难点：
1) 理解二次函数与一元二次方程的关系。
2) 利用二次函数解决实际问题。
二、学习过程
章节介绍
二次函数是初中阶段函数中的重要函数，它在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。掌握
二次函数图象和性质是学习二次函数的基础，根据二次函数图象判断抛物线抛的开口方向，顶点坐标，对
称轴，与坐标轴交点坐标、确定二次函数的解析式为必须掌握内容，理解二次函数与各系数之间的关系，
灵活运用二次函数解决实际问题。二次函数是体现综合性的重点内容，在期中期末试卷中即有相对稳定的
基础题，也有新颖的试题来考查学生的分析，解决问题能力，实践和创新能力，因此经常与一次函数，三
角形，四边形知识结合在一起，成为试卷的压轴题。
知识梳理1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+ bx +c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其
中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 二次函数的特殊形式：
1)当b＝0时， y＝ax2＋c（a≠0）
2)当c＝0时， y＝ax2＋bx （a≠0）
3)当b＝0，c＝0时， y＝ax2 （a≠0）
3.根据实际问题列二次函数关系式的方法：
一般方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式。
4.二次函数y=ax²的图象特征和性质
5. 二次函数y=ax²+k的图象特征和性质6. 二次函数y=a(x-h) 2的图象特征和性质7. 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象特征和性质
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质9.求二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次
函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求
出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x)(x-x).当抛物线与x轴的两个交点为(x,0)、(x,0)时，可设y=a(x-x)(x-x)，再将
1 2 1 2 1 2
另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：
1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中
1)当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小
2)当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越大
【总结】a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
2）在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。
b
即对称轴x= - 在y轴左侧则ab>0，在y轴的右侧则ab<0，概括的说就是“左同右异”。
2a
1）当c > 0时，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴；
2）当c = 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点；
3）当c < 0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴。
【小结】c决定了抛物线与y轴交点的位置．
11.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
12.利用二次函数解决实际问题的步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的函数解析式求解.4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
13.利用二次函数解决面积最值的方法：
①找好自变量；
②利用相关的图象面积公式，列出函数关系式；
③利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
14.用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当
的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
15.利用二次函数解决销售利润最值的方法：
巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大
利润问题。
16.利用二次函数解决拱桥问题的方法：
1）建立适当的平面直角坐标系。
2）根据题意找出已知点的坐标。
3）求出抛物线解析式。
4）直接利用图象解决实际问题。
考点解读
考查题型一 根据二次函数的定义求参数
1．一个二次函数 ．
（1）求k的值．
（2）求当x=3时，y的值？
【详解】解：（1）依题意有 ，
解得：k=2，
∴k的值为2；（2）把k=2代入函数解析式中得： ，
当x=3时，y=14，
∴y的值为14．
2．已知函数 ．
（1）若这个函数是一次函数，求 的值
（2）若这个函数是二次函数，求 的取值范围．
【详解】解：（1）由题意得， 解得 ；
（2）由题意得， ，解得 且 ．
3．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
(2)若这个函数是一次函数，求m的值．
(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
【详解】
(1)∵这个函数是二次函数，
∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，
∴m≠0且m≠1.
(2)∵这个函数是一次函数，
∴ ∴m＝0.
(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，
∴不可能是正比例函数．
考查题型二 二次函数y=ax²的图象和性质
1．已知二次函数 的图象经过点 ．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点 是否在此函数的图象上．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在 中，当 时， ，
∴点 不在此函数的图象上．
2．已知 是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
【详解】(1) 根据二次函数的定义得 解得k=±2.
∴当k=±2时，原函数是二次函数.
(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.
∴该抛物线的解析式为 ，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.
(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.
∴该抛物线的解析式为 ，顶点坐标为(0，0)，
∴当k=-2时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小.
3．如图，在正方形 中，已知：点A，点B在抛物线 上，点C，点D在x轴上．(1)求点A的坐标；
(2)连接 交抛物线于点P，求点P的坐标．
【详解】（1）解：由题意可设 ，则 ，
∵点A在抛物线 上，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ；
（2）解：设直线 的解析式 ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴直线 为 ，
由 解得 或 ，
∴P点的坐标为 ．
考查题型三 二次函数y=ax²+k的图象和性质
1．在同一个直角坐标系中作出y＝ x2，y＝ x2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y＝ x2－1与抛物线y＝ x2有什么关系？
【详解】
解：如图所示：
(1)抛物线y＝ x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝ x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．
(2)抛物线y＝ x2－1可由抛物线y＝ x2向下平移1个单位长度得到．
2．已知二次函数 ．
求函数图象的对称轴和顶点坐标；
求这个函数图象与 轴的交点坐标．
【详解】
（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，
对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）
（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，
∴图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．
3．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣
2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、
顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴
也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
考查题型四 二次函数y=a(x-h) 2的图象和性质
1．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
【详解】∵抛物线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令 ， ，
解得： ，
令 ， ，
， ，
， ，
由勾股定理得：
，
．
的面积为12，周长为 ．
2．已知函数 ， 和 ．(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数 的图象得到函数 和函数 的图
象；
(4)分别说出各个函数的性质．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解： 开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 ，
开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ；
（3）解： 由抛物线 向左平移1个单位， 由抛物线 向右平移1个单
位；
（4）解： 当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大，
当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大，
当 时y随着x的增大而减小，当 时y随着x的增大而增大．
3．已知平面直角坐标系 中，抛物线 与直线 ，其中 ．
若抛物线的对称轴为 ，
①m的值为_ ﹔②当 时，有 （填“ ”，“ ”或“ ”） ．
当 时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出 的取值范围．
【详解】解：（1）①由 ，
则对称轴 ，
，
②把 分别代入 与 得，
， ，
；
（2）联立 、 的解析式可得， ，
整理得， ，
则△ ，
，
，
即就是没有直线与抛物线相切的情况．
当 时，代入方程，
得 ，
（负值舍去），
，
当 时，代入方程，
得 ，
，
又 ，
的取值为： ．考查题型五 二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质
1．已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D 两点的坐标；
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)，
∴代入二次函数y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；
（2）当m＝2时，y＝(x－2)2－1，
∴D(2，－1)，
又当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)
2．已知函数 .
（1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？
【详解】解：（1）由函数 ，
∵ ， ， ，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是（-1,-8）.
（2）令 ，即 ，
解得 ， .
∴图象与x轴交于（1,0），（-3,0）.
令 ，即 ，
∴图象与y轴交于（0,-6）.
（3）由二次函数的性质，得：当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小.（4）由顶点坐标，得：当 时，y有最小值，最小值是-8.
3．已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ），
∵抛物线的顶点坐标在第二象限，
∴ ，
∴ ；
（2）当 时，抛物线解析式为 ，
令 ，即 ，
解得 或 ，
令 ， ，
∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
∴OD=3，AB=2，
∴ ，
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
考查题型六 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质1．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，直线 方程为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线上一点，若 ，请直接写出点 的坐标；
(3)点 是抛物线上一点，若 ，求点 的坐标．
详解】（1）解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C(0,-3)，
令y=0时，x=3，
则B(3,0)，
把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入 ，得
，解得： ，
∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；
（2）解：对于抛物线y=-x2+4x-3，
令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x=1,x=3,
1 2
∴A(1,0)，B(3,0)，
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN= ，
∵ ，
∴PM= ，
过点P作PE BC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM= ，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P，P，P，P，
1 2 3 4
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4,
联立直线与抛物线解析式，得
或 ，解得： ， ， ， ，
∴P点的坐标为( , )或( , )或（ , ）或( , )．
（3）解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过
点C作CE⊥DF于E，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，∴CE=DF=OF=2，
∴D(2,-2),
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D(2,-2)代入，得p= ,
∴直线CQ解析式为y= x-3，
联立直线与抛物线解析式，得
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为( , ).
2．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
【详解】解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1，
∴A（-2，0），B（1，0），
由 x＝0，得 y＝-2，
∴C（0，-2）．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．设直线 AC 为 y＝kx+b，
则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：
得 k＝﹣1，
y＝﹣x﹣2．
对称轴为 x＝ ，
当 x＝ 时，
y＝ -2＝ ，
∴P（ ， ）．
3．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得 ；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线 ；
故二次函数的对称轴为：直线 ；
考查题型七 二次函数与一元二次方程
1．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m=1，m=−3，
1 2
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
2．如图，二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，且与 轴交于点
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)该二次函数图象上是否存在点 ，使 与 的面积相等？若存在，请求出 点的坐标；若不
存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，
∴ ，
解得 ，
即 ，
；
（2）存在， 或 或 ，理由如下，
由 ，令 ，
即 ，
解得 ，
，
；
（3）设 ，边 上的高为 ，
与 的面积相等，
，
是 上的点，
则 ，
或 ，
解得 或 .，
或 或 ．
3．已知关于x的一元二次方程x2+x−m=0．
(1)设方程的两根分别是x，x，若满足x+x=x•x，求m的值．
1 2 1 2 1 2
(2)二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示，求m的值．【详解】（1）解：由题意得：x+x=-1，x•x=-m，
1 2 1 2
∴-1=-m．
∴m=1．
当m=1时，x2+x-1=0，
此时Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合题意．
∴m=1；
（2）解：图象可知：过点（1，0），
当x=1，y=0，代入y=x2+x-m，得
12+1-m=0．
∴m=2．
4．已知：一次函数 ，二次函数为 （b，c为常数）.
(1)如图，两函数图象交于点 .求二次函数的表达式，并写出当 时x的取值范围.
(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.
【详解】（1）将（3，m）代入 得m=6-2=4，
将（n,-6）代入 得-6=2n-2，
解得n=-2，
∴抛物线经过点（3，4），（-2，-6），
将（3，4），（-2，-6）代入 得，
解得 ，
∴ ，
由图象可得-2＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴ 时x的取值范围是-2＜x＜3．
（2）令 ，整理得 ，
当 时，两函数图象只有一个公共点，
∴b=2，c=-2，满足题意．
考查题型八 二次函数与实际问题
1．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x
（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为 ，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，则
，
解得： ， ，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得： ；
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
2．某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价
格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【详解】（1）解：设 ，把 ， 和 ， 代入可得
，
解得 ，
则 ；
（2）解：每月获得利润．
∵ ，
∴当 时，P有最大值，最大值为3630．
答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．
3．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
图1中有一座拱桥，图2是其
抛物线形桥拱的示意图，某时
素
测得水面宽 ，拱顶离水面
材
1 ．据调查，该河段水位在
此基础上再涨 达到最高．
为迎佳节，拟在图1桥洞前面
的桥拱上悬挂 长的灯
笼，如图3.为了安全，灯笼底
素 部距离水面不小于 ；为了
材 实效，相邻两盏灯笼悬挂点的
2
水平间距均为 ；为了美
观，要求在符合条件处都挂上
灯笼，且挂满后成轴对称分
布．
问题解决
任
务 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
1
任
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标
务 探究悬挂范围
的最小值和横坐标的取值范围．
2
任
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标
务 拟定设计方案
系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
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【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为 ，且经过点 ．
设该抛物线函数表达式为 ，
则 ，
∴ ，
∴该抛物线的函数表达式是 ．
任务二：∵水位再上涨 达到最高，灯笼底部距离水面至少 ，灯笼长 ，
∴悬挂点的纵坐标 ，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是 ．
当 时， ，解得 或 ，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是 ．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵ ，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为 ，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则 ，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则 ，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 ．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为 ，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则 ，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则 ，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 ．
4．如图，隧道的截面由抛物线 和矩形 构成，矩形的长 为 ，宽 为 ，以 所在的
直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系． 轴是抛物线的对称轴，最高点 到地面
距离为4米．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)在距离地面 米高处，隧道的宽度是多少？
(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡
车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【详解】（1）解： 最高点 到地面距离为4米，
米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴，
设抛物线的解析式为 ，
四边形ABCD是矩形，，
又 ，
四边形BCOF是矩形，
米，
(米)，
点E的纵坐标为1，
，
，
又 米，
点C的坐标为(2,0)，
把点C的坐标代入解析式，得 ，
解得 ，
故抛物线的解析式为 ；
（2）解：把 代入解析式，
得 ，
解得 ， ，
故在距离地面 米高处，隧道的宽度是 (米)；
（3）解：这辆货运卡车能通过该隧道；
当x=1.2时， ，
，
这辆货运卡车能通过该隧道．
5．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．
如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，
水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 ．（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF， ， ．问：顶部F是否会碰到水
柱？请通过计算说明．
【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上．
当 时，
．
（2）由题意得，D点在图象上．
令 ，得 ．
解得： （不合题意，舍去）．
（3）当 时， ，
，
∴不会碰到水柱．
