专题 01 集合和常用逻辑用语
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................12
题型一：集合的基本概念 12
题型二：集合间的基本关系 15
题型三：集合的运算 18
题型四：充分条件与必要条件 22
题型五：全称量词与存在量词 26
重难点突破：以集合为载体的创新题 29有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分
值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能
力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
理解集合，掌握
集合的基本概念 2023年上海卷第13题，4分
基本要素
2024年北京卷第1题，5分 预测 2025 年高考，
多以小题形式出现，也有
2024年甲卷（文）第2题，5分 可能会将其渗透在解答题
熟练掌握集合的 2024年天津卷第1题，5分 的表达之中，相对独立．
集合的运算 并、交、补集运 具体估计为：
算方法 2023年 I卷第1题，5分 （1）以选择题或填
2022年I卷第1题，5分 空题形式出现，考查学生
的综合推理能力．
2021年I卷第1题，5分
（2）热点是集合间
2024年北京卷第5题，5分 的基本运算、数轴法的应
用和体现集合的语言工具
2024年甲卷（理）第9题，5分
作用．
理解充分必要， 2024年天津卷第2题，5分
充分条件与必要条件 掌握逻辑判断，
熟练应用题解 2023年天津卷第2题，5分
2022年天津卷第2题，5分
2021年甲卷第7题，5分1、集合中的逻辑关系（备注：全集为I）
（1）交集的运算性质．
A∩B=B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩I=A，A∩A=A，A∩∅=∅．
（2）并集的运算性质．
A∪B=B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪I=I，A∪A=A，A∪∅=A．
（3）补集的运算性质．
∁ (∁ A)=A，∁ ∅=I，∁ I=∅，(∁ A)∩A=∅，A∪(∁ A)I．
I I I I I I
补充性质：A∩B=A⇔A∪B=B⇔A⊆B⇔∁ B⊆∁ A⇔A∩∁ B=∅．
I I I
（4）结合律与分配律．
结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C．
分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)．
（5）反演律（德摩根定律）．
∁ (A∩B)=(∁ A)∪(∁ B)，∁ (A∪B)=(∁ A)∩(∁ B)．
I I I I I I
即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”．
2、由n(n∈N∗)个元素组成的集合A的子集个数
A的子集有2n个，非空子集有2n−1个，真子集有2n−1个，非空真子集有2n−2个．
3、容斥原理
Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)−Card(A∩B)．
4、从集合与集合之间的关系上看
设A={x|p(x)},B={x|q(x)}．
（1）若A⊆B，则p是q的充分条件（p⇒q），q是p的必要条件；若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即p⇒q且q⇏ p；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”．
（2）若B⊆A，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
（3）若A=B，则p与q互为充要条件．
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，
则（ ）
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
【答案】B
【解析】对于p而言，取x=−1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题，¬p是真命题，
对于q而言，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题，
综上，¬p和q都是真命题.
故选：B.
2．（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取
P ,P ,P ∈Ω，存在不全为0的实数λ ,λ ,λ ，使得λ ⃗OP +λ ⃗OP +λ ⃗OP =0⃗．已知(1,0,0)∈Ω，
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
则(0,0,1)∉Ω的充分条件是（ ）
A．(0,0,0)∈Ω B．(−1,0,0)∈Ω
C．(0,1,0)∈Ω D．(0,0,−1)∈Ω
【答案】C
【解析】由题意知这三个向量⃗OP ,⃗OP ,⃗OP 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
1 2 3
对A，由空间直角坐标系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(−1,0,0),(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知(−1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(0,0,0),(1,0,0)∈Ω无法推
出(0,0,1)∉Ω，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由(1,0,0),(0,1,0)∈Ω能推出(0,0,1)∉Ω，
对D，由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,−1)三个向量共面，
则当(0,0,−1)(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故D错误.
故选：C．
3．（2024年北京高考数学真题）设 ⃗a，⃗b是向量，则“(⃗a+⃗b)·(⃗a−⃗b)=0”是“⃗a=−⃗b或⃗a=⃗b”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=⃗a2−⃗b2=0，可得⃗a2=⃗b2，即|⃗a|=|⃗b|，
可知(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0等价于|⃗a|=|⃗b|，
若⃗a=⃗b或⃗a=−⃗b，可得|⃗a|=|⃗b|，即(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0，可知必要性成立；
若(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0，即|⃗a|=|⃗b|，无法得出⃗a=⃗b或⃗a=−⃗b，
例如⃗a=(1,0),⃗b=(0,1)，满足|⃗a|=|⃗b|，但⃗a≠⃗b且⃗a≠−⃗b，可知充分性不成立；
综上所述，“(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=0”是“⃗a≠⃗b且⃗a≠−⃗b”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量⃗a=(x+1,x),⃗b=(x,2)，则（ ）
A．“x=−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件 B．“x=−3”是“⃗a//⃗b”的必要条件C．“x=0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件 D．“x=−1+√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当⃗a⊥⃗b时，则⃗a⋅⃗b=0，
所以x⋅(x+1)+2x=0，解得x=0或−3，即必要性不成立，故A错误；
对C，当x=0时，⃗a=(1,0),⃗b=(0,2)，故⃗a⋅⃗b=0，
所以⃗a⊥⃗b，即充分性成立，故C正确；
对B，当⃗a//⃗b时，则2(x+1)=x2，解得x=1±√3，即必要性不成立，故B错误；
对D，当x=−1+√3时，不满足2(x+1)=x2，所以⃗a//⃗b不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合A={1,2,3,4,5,9},B=¿，则∁ (A∩B)=（ ）
A
A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5}
【答案】D
【解析】因为A={1,2,3,4,5,9},B=¿，所以B={1,4,9,16,25,81}，
则A∩B={1,4,9}，∁ (A∩B)={2,3,5}
A
故选：D
6．（2024年天津高考数学真题）已知a,b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3和3a=3b都当且仅当a=b，所以二者互为充要条件.
故选：C.
2π
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列{a }的公差为 ，集合S={cosa |n∈N∗}，
n 3 n
若S={a,b}，则ab=（ ）1 1
A．－1 B．− C．0 D．
2 2
【答案】B
2π 2π 2π
【解析】依题意，等差数列{a }中，a =a +(n−1)⋅ = n+(a − )，
n n 1 3 3 1 3
2π 2π
显然函数y=cos[ n+(a − )]的周期为3，而n∈N∗，即cosa 最多3个不同取值，又
3 1 3 n
{cosa |n∈N∗}={a,b}，
n
则在cosa ,cosa ,cosa 中，cosa =cosa ≠cosa 或cosa ≠cosa =cosa 或cosa =cosa ≠cosa
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2
2π 4π
于是有cosθ=cos(θ+ )或cosθ=cos(θ+ )，
3 3
2π π
即有θ+(θ+ )=2kπ,k∈Z，解得θ=kπ− ,k∈Z ；
3 3
4π 2π
或者θ+(θ+ )=2kπ,k∈Z ，解得θ=kπ− ,k∈Z
；
3 3
所以k∈Z，
π π 4π π π 1
ab=cos(kπ− )cos[(kπ− )+ ]=−cos(kπ− )coskπ=−cos2kπcos =− 或
3 3 3 3 3 2
2π 1
ab=cos(kπ− )coskπ=−
.
3 2
故选：B
y x
8．（2023年北京高考数学真题）若xy≠0，则“x+ y=0”是“ + =−2”的（ ）
x y
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
x y
因为xy≠0，且 + =−2，
y x
所以x2+ y2=−2xy，即x2+ y2+2xy=0，即(x+ y) 2=0，所以x+ y=0.
x y
所以“x+ y=0”是“ + =−2”的充要条件.
y x
解法二：
充分性：因为xy≠0，且x+ y=0，所以x=−y，x y −y y
所以 + = + =−1−1=−2，
y x y −y
所以充分性成立；
x y
必要性：因为xy≠0，且 + =−2，
y x
所以x2+ y2=−2xy，即x2+ y2+2xy=0，即(x+ y) 2=0，所以x+ y=0.
所以必要性成立.
x y
所以“x+ y=0”是“ + =−2”的充要条件.
y x
解法三：
充分性：因为xy≠0，且x+ y=0，
x y x2+ y2 x2+ y2+2xy−2xy (x+ y) 2−2xy −2xy
所以 + = = = = =−2，
y x xy xy xy xy
所以充分性成立；
x y
必要性：因为xy≠0，且 + =−2，
y x
x y x2+ y2 x2+ y2+2xy−2xy (x+ y) 2−2xy (x+ y) 2
所以 + = = = = −2=−2，
y x xy xy xy xy
(x+ y) 2
所以 =0，所以(x+ y) 2=0，所以x+ y=0，
xy
所以必要性成立.
x y
所以“x+ y=0”是“ + =−2”的充要条件.
y x
故选：C
9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集U={0,1,2,4,6,8}，集合M={0,4,6},N={0,1,6}，则
M∪∁ N=（ ）
U
A．{0,2,4,6,8} B．{0,1,4,6,8} C．{1,2,4,6,8} D．U
【答案】A
【解析】由题意可得∁ N={2,4,8}，则M∪∁ N={0,2,4,6,8}.
U U
故选：A.10．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：sin2α+sin2β=1，乙：sinα+cosβ=0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
π
【解析】当sin2α+sin2β=1时，例如α= ,β=0但sinα+cosβ≠0，
2
即sin2α+sin2β=1推不出sinα+cosβ=0；
当sinα+cosβ=0时，sin2α+sin2β=(−cosβ) 2+sin2β=1，
即sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集U=Z,集合
M={x∣x=3k+1,k∈Z},N={x∣x=3k+2,k∈Z}，∁ (M∪N)=（ ）
U
A．{x|x=3k,k∈Z} B．{x∣x=3k−1,k∈Z}
C．{x∣x=3k−2,k∈Z} D．∅
【答案】A
【解析】因为整数集Z={x|x=3k,k∈Z}∪{x|x=3k+1,k∈Z}∪{x|x=3k+2,k∈Z}，U=Z，
所以，∁ (M∪N)={x|x=3k,k∈Z}．
U
故选：A．
12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|−1<x<2}，则
{x|x≥2}=（ ）
A．∁ (M∪N) B．N∪∁ M
U U
C．∁ (M∩N) D．M∪∁ N
U U
【答案】A【解析】由题意可得M∪N={x|x<2}，则∁ (M∪N)={x|x≥2}，选项A正确；
U
∁ M={x|x≥1}，则N∪∁ M={x|x>−1}，选项B错误；
U U
M∩N={x|−1<x<1}，则∁ (M∩N)=¿或x≥1}，选项C错误；
U
∁ N=¿或x≥2}，则M∪∁ N= ¿或x≥2}，选项D错误；
U U
故选：A.
13．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N=¿，则M∩N=（ ）
A．{−2,−1,0,1} B．{0,1,2} C．{−2} D．{2}
【答案】C
【解析】方法一：因为N=¿，而M={−2,−1,0,1,2}，
所以M∩N= {−2}．
故选：C．
方法二：因为M={−2,−1,0,1,2}，将−2,−1,0,1,2代入不等式x2−x−6≥0，只有−2使不等式成立，所
以M∩N= {−2}．
故选：C．
14．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=
（ ）．
2
A．2 B．1 C． D．−1
3
【答案】B
【解析】因为A⊆B，则有：
若a−2=0，解得a=2，此时A={0,−2}，B={1,0,2}，不符合题意；
若2a−2=0，解得a=1，此时A={0,−1}，B={1,−1,0}，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.S
15．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记S 为数列{a }的前n项和，设甲：{a }为等差数列；乙：{ n }
n n n n
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：{a }为等差数列，设其首项为a ，公差为d，
n 1
n(n−1) S n−1 d d S S d
则S =na + d, n=a + d= n+a − , n+1 − n= ，
n 1 2 n 1 2 2 1 2 n+1 n 2
S
因此{ n }为等差数列，则甲是乙的充分条件；
n
S S S nS −(n+1)S na −S
反之，乙：{ n }为等差数列，即 n+1 − n= n+1 n= n+1 n 为常数，设为t，
n n+1 n n(n+1) n(n+1)
na −S
即 n+1 n=t，则S =na −t⋅n(n+1)，有S =(n−1)a −t⋅n(n−1),n≥2，
n(n+1) n n+1 n−1 n
两式相减得：a =na −(n−1)a −2tn，即a −a =2t，对n=1也成立，
n n+1 n n+1 n
因此{a }为等差数列，则甲是乙的必要条件，
n
所以甲是乙的充要条件，C正确.
n(n−1)
方法2，甲：{a }为等差数列，设数列{a }的首项a ，公差为d，即S =na + d，
n n 1 n 1 2
S (n−1) d d S
则 n=a + d= n+a − ，因此{ n }为等差数列，即甲是乙的充分条件；
n 1 2 2 1 2 n
S S S S
反之，乙：{ n }为等差数列，即 n+1 − n=D, n=S +(n−1)D，
n n+1 n n 1
即S =nS +n(n−1)D，S =(n−1)S +(n−1)(n−2)D，
n 1 n−1 1当n≥2时，上两式相减得：S −S =S +2(n−1)D，当n=1时，上式成立，
n n−1 1
于是a =a +2(n−1)D，又a −a =a +2nD−[a +2(n−1)D]=2D为常数，
n 1 n+1 n 1 1
因此{a }为等差数列，则甲是乙的必要条件，
n
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
16．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知集合A={−1,1,2,4},B=¿，则A∩B=（ ）
A．{−1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{−1,4}
【答案】B
【解析】[方法一]：直接法
因为B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
x=−1代入集合B=¿，可得2≤1，不满足，排除A、D；
x=4代入集合B=¿，可得3≤1，不满足，排除C.
故选：B.
17．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁ M={1,3}，则
U
（ ）
A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M
【答案】A
【解析】由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误
故选:A题型一：集合的基本概念
【典例1-1】（2024·广东·模拟预测）若m∈{1,3,4,m2 }，则m可能取值的集合为（ ）
A．{0,1,4} B．{0,3,4} C．{−1,0,3,4} D．{0,1,3,4}
【答案】B
【解析】由{1,3,4,m2 }，得m2≠1，则m≠1，
由m∈{1,3,4,m2 }，得m=3，此时m2=9，符合题意；
或m=4，此时m2=16，符合题意；或m=m2，则m=0，此时m2=0，符合题意，
所以m可能取值的集合为{0,3,4}.
故选：B
【典例1-2】[新考法]（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
{ 4 } { 4 } { 4 }
A． x∈N| ∈N B． x∈Z| ∈N C． x∈N| ∈Z D．
x x x
{ 4 }
x∈Q| ∈N
x
【答案】D
4 { 4 }
【解析】对于A，因为 ∈N，x∈N，则x=1,2,4， x∈N| ∈N ={1,2,4}，故A 错误；
x x
4
对于B，因为 ∈N，x∈Z，则x=1,2,4，
x
{ 4 }
所以 x∈Z| ∈N ={1,2,4}，故B错误；
x
4 { 4 }
对于C，x∈N， ∈Z，所以 x∈N| ∈Z ={1,2,4}，故C错误；
x x{ 4 }
对于D， x∈Q| ∈N 有无数个元素.故D正确.
x
故选：D.
集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和
无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异
性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。
{ b }
【变式1-1】（2024·高三·江西赣州·期中）已知a、b∈R，若 a, ,1 ={a2,a+b,0}，则a2020+b2021的值
a
为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．−1或0
【答案】C
{ b } b
【解析】由0∈ a, ,1 且a≠0，则 =0，
a a
∴b=0，于是a2=1，解得a=1或a=−1,
根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去，
因此a=−1，b=0,
故a2020+b2021=(−1) 2020+02021=1．
故选：C.
【变式1-2】（2024·四川乐山·三模）已知集合A={−1,0,1},B={1,2},C={x∣x=a+b,a∈A,b∈B}，
则集合C的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题意知，a∈{−1,0,1}，b∈{1,2}，
当a∈{−1,0,1}，b=1时，a+b∈{0,1,2}，
当a∈{−1,0,1}，b=2时，a+b∈{1,2,3}，
所以C={0,1,2,3}，
所以集合C中的元素个数为4.
故选：C.【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合A={n∈N∗|n2≥2n}，则集合A的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无穷多个
【答案】C
【解析】由2n≥n2 (n∈N∗)，可得n=1,2,4，
所以集合A的元素个数为3个.
故选：C
1．[新考法]集合M={f(x),f' (x),f″ (x),⋯},则以下可以是f(x)的表达式的是（ ）
A．sinx B．ex C．lnx D．x2+2x+3
【答案】C
【解析】对于选项A，因为f(x)=sinx，所以f' (x)=cosx，f″ (x)=−sinx，f''' (x)=−cosx，
(f''' (x)) '=sinx=f(x)，不满足集合的互异性，所以选项A错误，
对于选项B，因为f(x)=ex，所以f' (x)=ex=f(x)，不满足集合的互异性，所以选项B错误，
1 1 2
对于选项C，因为f(x)=lnx，所以f' (x)= ，f″ (x)=− ，f''' (x)= ，⋯，所以选项C正确，
x x2 x3
对于选项D，因为f(x)=x2+2x+3，所以f' (x)=2x2+2，f″ (x)=4x，f''' (x)=4，(f''' (x)) '=0，后面
再求导，导数均为0，不满足集合的互异性，所以选项D错误，
故选：C.
2．已知集合{x|(x−a2)(x−1)=0}的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
【答案】D
【解析】因为集合{x|(x−a2)(x−1)=0}的元素之和为1，
所以一元二次方程(x−a2)(x−1)=0有等根时，可得x=a2=1，即a=±1，当方程有两不相等实根时，x=a2=0，即a=0，
综上，实数a 所有取值的集合为{0,1,−1}.
故选：D
3．已知集合A={1,2,3}，B={3,5}，则C={x|x=2a+b,a∈A,b∈B}中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意，x=2a+b，
当a=1,b=5⇒x=7，
当a=1,b=3⇒x=5，
当a=2,b=5⇒x=9，
当a=2,b=3⇒x=7，
当a=3,b=5⇒x=11，
当a=3,b=3⇒x=9，
由集合中元素满足互异性，所以C={5,7,9,11}.
故选：B
4．已知集合A={0,1,a2},B={1,0,2a+3}，若A=B，则a=（ ）
A．−1或3 B．0 C．3 D．−3
【答案】C
【解析】∵A=B，
∴a2=2a+3，解得a=−1或3，
当a=−1时，a2=2a+3=1，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当a=3时，a2=2a+3=9，
此时A=B={0,1,9}，满足题意.
综上，a=3.
故选：C.题型二：集合间的基本关系
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知集合A={x∣1<x<2},B={x∣1<x<a}，若B⊆A，则实数a
的取值范围是（ ）
A．(2,+∞) B．(1,2] C．(−∞,2] D．[2,+∞)
【答案】C
【解析】集合A={x∣1<x<2},B={x∣1<x<a}，若B⊆A，
则若a≤1，则B=∅⊆A满足题意；
若a>1，且B⊆A，则1<a≤2，
综上所述，实数a的取值范围是(−∞,2].
故选：C
【典例2-2】（2024·宁夏·模拟预测）设集合M={x|x=4n+1,n∈Z},N={x|x=3n+1,n∈Z},
P={x|x=12n+1,n∈Z}，则（ ）
A．M ⫋P B．N ⫋P
C．M∩N⊆P D．M∩N=∅
【答案】C
【解析】由题意5∈M,5∉P，A错；4∈N,4∉P，B错；
M∩N={x|x=12n+1,n∈Z} ≠∅，D错，C正确．
故选：C．
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合
的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数
满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
【变式2-1】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合A={x|x2−6x+8≤0}，B=¿，若A⊆B，则a的取值
范围是（ ）.A．(−∞,2) B．(−∞,4) C．(−∞,2] D．(−∞,4]
【答案】A
【解析】A={x|x2−6x+8≤0}={x|2≤x≤4}，B=¿，
A⊆B，故a<2.
故选：A.
【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若集合A={x∈N∣1≤x≤5}，则集合A的真子集有（ ）个.
A．7 B．15 C．31 D．63
【答案】C
【解析】由题意可知：集合A={x∈N∣1≤x≤5}={1,2,3,4,5}，共5个元素，
所以集合A的真子集有25−1=31个.
故选：C.
【变式2-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合A={0,1,2}，B={1,2,3}，
若集合C={z∈N* ¿且y∈B}，则C的子集的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【解析】由条件可知，xy=0×1=0×2=0×3=0，xy=1×1=1，1×2=2×1=2，1×3=3，2×2=4，
2×3=6，
所以集合C={1,2,3,4,6}，集合C的子集的个数为25=32个.
故选：C
【变式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知集合A、B、C为全集U的子集，
A∩B=∁ C≠∅，则(A∪B)∩C=（ ）.
U
A．A∪(B∩C) B．(∁ A)∩(∁ B)
U U
C．[∁ (A∩B)]∩(A∪B) D．[∁ (A∪B)]∪(A∩B)
U U
【答案】C
【解析】∵A∩B=∁ C，
U∴(A∩B)∪C=U，
∴∁ (A∩B)=C，
U
∴(A∪B)∩C=C∩(A∪B)=[∁ (A∩B)]∩(A∪B).
U
故选：C.
1．已知集合A={n¿，B=¿，C=¿，则（ ）
A．A∩B⫋C B．B∪C=A C．C⫋A∩B D．B∩C⫋A∩B
【答案】A
【解析】依题意，A={n∣n=3k,k∈Z}，B={n|n=4k,k∈Z}，C={n∣n=6k,k∈Z}，
则A∩B={n∣n=12k,k∈Z}，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误；
因B∩C={n∣n=12k,k∈Z}，即B∩C=A∩B，故D错误；
对于B项，任取3∈A，因3∉B,3∉C，则3∉B∪C，故B错误．
故选：A．
2．（多选题）已知{a,b}⊆{1,2,3},(a,b)∈{(x,y)∣y=x+1}，则2ab的值可以为（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
【答案】AC
【解析】当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)∣y=x+1}得b=2，满足b∈{1,2,3}，所以2ab=21=2；
当a=2时，由(a,b)∈{(x,y)∣y=x+1}得b=3，满足b∈{1,2,3}，所以2ab=28=256；
当a=3时，由(a,b)∈{(x,y)∣y=x+1}得b=4，不满足b∈{1,2,3}；
综上，则2ab=2或256.
故选：AC.
3．（多选题）已知集合A={1,2}，B={0,1,2,3,4}，集合C满足A⫋C⊆B，则（ ）
A．1∈C，2∈C B．集合C可以为{1,2}
C．集合C的个数为7 D．集合C的个数为8【答案】AC
【解析】由题意得A={1,2}，B={0,1,2,3,4}，又A⫋C⊆B.
所以1∈C，2∈C，故A正确；
当C={1,2}时，不满足A⫋C，B错误，
集合C的个数等价于集合{0,3,4}的非空子集的个数，
所以集合C的个数为23−1=7，故C正确，D错误，
故选：AC.
4．（多选题）若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M,N可能是（ ）
A．M={0,2,4,6},N={4}
B．M={x∣x2<1},N={x∣x>−1}
C．M={x∣y=lgx},N={y∣y=ex+5}
D．M={(x,y)∣x2= y2},N={(x,y)∣y=x}
【答案】ACD
【解析】根据Venn图可知N ⫋M，
对于A，显然N ⫋M，故A正确；
对于B，M={x∣−1<x<1},N={x∣x>−1}，则M⊆N，故B错误；
对于C，M={x∣x>0},N={y∣y>5}，则N ⫋M，故C正确；
对于D，M=¿，或y=−x} ,N={(x,y)∣y=x}，
则N ⫋M，故D正确.
故选：ACD题型三：集合的运算
【典例3-1】已知集合A=¿，则A∩B=（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】C
【解析】因为log (x2−x)≤1=log 2，所以0<x2−x≤2，解得1<x≤2或−1≤x<0，
2 2
故B=¿或1<x≤2}，又A=¿，所以A∩B= ¿.
故选：C
【典例3-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知全集
U=A∪B={x∈N∣0≤x≤10},A∩(∁ B)={1,3,5,7}，则B=（ ）
U
A．{1,3,5,7} B．{2,4,6,8} C．{1,3,5,7,9} D．{0,2,4,6,8,9,10}
【答案】D
【解析】已知全集U=A∪B={x∈N∣0≤x≤10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
A∩(∁ B)={1,3,5,7},B集合中没有1,3,5,7，
U
若0∉B，则0∈A，则0∈A∩(∁ B)，与条件矛盾，故0∈B，
U
同理可得2∈B,4∈B,6∈B,8∈B,9∈B,10∈B，
则B={0,2,4,6,8,9,10}.
故选：D.
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、
并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
{ 1 }
【变式3-1】（2024·高三·黑龙江佳木斯·期中）已知集合A={x|1<x<3}，B= x| >0 ，则A∪B=
x−2
（ ）A．{x|2<x<3} B．{x|2≤x<3} C．{x|x>1} D．{x|x>2}
【答案】C
1
【解析】由 >0，解得x>2，则B={x|x>2}，
x−2
∴A∪B={x|x>1}.
故选：C
【变式3-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一
个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的
同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人
.
【答案】5
【解析】以集合A、B、C表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：
设同时参加这三个兴趣小组的同学有x人，由图可得20+(9−x)+(11−x)+(15−x)+x=55−2x=45，解
得x=5.
故答案为：5.
【变式3-3】（2024·江西九江·模拟预测）设U={5,6,7,8,9}，若A∩B={8},(∁ A)∩B={6}，
U
(∁ A)∩(∁ B)={5,9}，则集合A= ．
U U
【答案】{7,8}
【解析】因为A∩B={8},∴8∈A,8∈B,
因为(∁ A)∩B={6},∴6∈B,6∉A,
U
因为(∁ A)∩(∁ B)={5,9},∴5,9∉A,5,9∉B,
U U
如果7∈B,则(∁ A)∩B={6,7},与已知矛盾，所以7∈A.
U所以A={7,8}.
故答案为：{7,8}
1．（多选题）设U为全集，集合A,B,C满足条件A∪B=A∪C，那么下列各式中不一定成立的是（
）
A．B⊆A B．C⊆A
C．A∩(∁ B)=A∩(∁ C) D．(∁ A)∩B=(∁ A)∩C
U U U U
【答案】ABC
【解析】当U={1,2,3}，A={1}，B={2,3}，C={1,2,3}时，满足A∪B=A∪C，
此时，B,C不是A的子集，所以A、B不一定成立；
∁ B={1},∁ C=∅，A∩(∁ B)={1},A∩(∁ C)=∅，所以C不一定成立；
U U U U
对于D，若∀x∈(∁ A)∩B，则x∉A，但x∈B，因为A∪B=A∪C，
U
所以x∈C，于是x∈(∁ A)∩C，所以(∁ A)∩B⊆(∁ A)∩C，
U U U
同理若∀x∈(∁ A)∩C，则x∈(∁ A)∩B，(∁ A)∩C⊆(∁ A)∩B，
U U U U
因此，(∁ A)∩B=(∁ A)∩C成立，所以D成立.
U U
故选：ABC.
2．（多选题）已知集合A,B均为R的子集，若A∩B=∅，则（ ）
A．A⊆∁ B B．∁ A⊆B
R R
C．A∪B=R D．(∁ A)∪(∁ B)=R
R R
【答案】AD
【解析】因为集合A,B 均为R的子集，且A∩B=∅，
画出韦恩图，如图所示：
结合图像：由A⊆∁ B，所以A正确；由B⊆∁ A ，所以B错误；
R R
由A∪B⊆R ，所以C错误；由(∁ A)∪(∁ B)=∁ (A∩B)=R，所以D正确.
R R R故选：AD.
3．已知集合A={x∣4x2−x−5>0},B={x∣x>m}，若m=0，则(∁ A)∩B= ；若
R
A∪B=R，则m的取值范围为 .
5
【答案】 {x|0<x≤ } (−∞,−1)
4
【解析】4x2−x−5>0即(x+1)(4x−5)>0，
{ 5 }
则A= x|x> 或x<−1 ，
4
5
所以∁ A={x|−1≤x≤ }，
R 4
若m=0，则B={x∣x>0}，
5
(∁ A)∩B={x|0<x≤ }，
R 4
若A∪B=R，B={x∣x>m}，
则m<−1，故m的取值范围为(−∞,−1).
5
故答案为：{x|0<x≤ }；(−∞,−1).
4
4．（2024·高三·重庆沙坪坝·开学考试）设集合M=¿，集合N=¿，若M∩∁ N=∅，则k的取值范围为
R
.
【答案】[2,+∞)
【解析】由题意得N=¿，故∁ N=(k,+∞)，
R
因为M∩∁ N=∅，所以k≥2，故k的取值范围是[2,+∞).
R
故答案为：[2,+∞)题型四：充分条件与必要条件
4
【典例4-1】（2024·高三·福建宁德·期中）对任意实数x∈(2,+∞),“a<x+ ”是“a≤4”的（ ）
x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
4
【解析】对于函数y=x+ ，根据均值不等式a+b≥2√ab（当且仅当a=b时取等号），
x
4 √ 4
则y=x+ ≥2 x× =4.
x x
4 4
当x= 即x=2时取等号，但是x∈(2,+∞)，所以y=x+ >4
x x
判断充分性:
4 4
若a<x+ ，因为x∈(2,+∞)时x+ >4，那么a≤4，所以充分性成立.
x x
判断必要性:
4 4
若a≤4，当x∈(2,+∞)时x+ >4，显然a<x+ ，所以必要性成立.
x x
4
所以“a<x+ ”是“a≤4”的充要条件.
x
故选：C.
【典例4-2】若“x>a”是“x2−2x−3<0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞，−1) B．(−∞，−1] C．(−1,+∞) D．[−1,+∞)
【答案】B
【解析】由x2−2x−3<0得−1<x<3，
∵x>a是−1<x<3的必要不充分条件，
∴a≤−1，
故选：B．抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知y=f'(x)是y=f (x)的导函数，则“f' (x )=0”是“x 是函数
0 0
y=f (x)的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据极值点的定义，x 是函数y=f (x)的一个极值点可得f' (x )=0，
0 0
但是f' (x )=0时，x 不一定是函数y=f (x)的一个极值点，
0 0
比如f (x)=x3，f'(x)=3x2，满足f'(0)=0，但f (x)=x3在R上单调递增，
即x=0不是函数的极值点，
故“f' (x )=0”是“x 是函数y=f (x)的一个极值点”的必要不充分条件，
0 0
故选：B
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）设a,b∈R，则使a>b成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a3>b3 B．lg(a−b)>0
C．a2>b2 D．|a|>b
【答案】B
【解析】对于A，a3>b3⇔a>b，故a3>b3是a>b的充要条件；
对于B，由lg(a−b)>0得a>b+1，能推出a>b，反之不成立，
所以lg(a−b)>0是a>b的充分不必要条件；
对于C，由a2>b2无法得到a,b之间的大小关系，反之也是，
所以a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件；
对于D，由|a|>b不能推出a>b，反之则成立，所以|a|>b是a>b的必要不充分条件．
故选：B．
【变式4-3】（多选题）（2024·山东临沂·二模）已知a，b∈R，则使“a+b>1”成立的一个必要不充分条件是（ ）
4 b+1
A．a2+b2>1 B．|a|+|b|>1 C．2a+2b>1 D． + >10
a b
【答案】BC
1 3
【解析】对于A，当a= ,b= 时，满足a+b>1，但不满足a2+b2>1，
2 4
所以a+b>1是a2+b2>1的不充分条件，a2+b2>1是a+b>1的不必要条件，故A错误；
对于B，当a=b=−1时，满足|a|+|b|>1，但不满足a+b>1，
所以|a|+|b|>1是a+b>1的不充分条件；
当a+b>1时，(a+b) 2=a2+b2+2ab>1，
所以(|a|+|b|) 2=|a| 2+|b| 2+2|a||b|≥a2+b2+2ab>1，所以|a|+|b|>1，
所以a+b>1是|a|+|b|>1的充分条件，|a|+|b|>1是a+b>1的必要条件，故B正确；
对于C，当a=b=0时，满足2a+2b>1，但不满足a+b>1，
所以2a+2b>1是a+b>1的不充分条件；
当a+b>1时，2a>0,2b>0，所以2a+2b≥2√2a×2b=2√2a+b>2√2>1，
所以a+b>1是2a+2b>1的充分条件，2a+2b>1是a+b>1的必要条件，故C正确；
4 b+1 4 b+1
对于D，当a=2,b=1时，满足a+b>1时，但 + =5<10即不满足 + >10，
a b a b
4 b+1 4 b+1
所以a+b>1是 + >10的不充分条件， + >10是a+b>1的不必要条件，故D错误；
a b a b
故选：BC.
【变式4-4】已知集合A={x∈N∗|1≤x<3},B={x|ax2−(2+a)x+2=0}，若“x∈B”是“x∈A
”的充分不必要条件，则实数a的所有取值组成的集合是 .
【答案】{0,2}
【解析】依题意，A={1,2}，B={x|(ax−2)(x−1)=0}，显然B≠∅，
由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，得B⫋A，2
当a=0时，B={1}，符合题意，当a≠0时，方程ax2−(2+a)x+2=0的根为1和 ，
a
2 2
显然 ≠2，否则B=A，不符合题意，因此 =1，解得a=2，此时B={1}，符合题意，
a a
所以实数a的所有取值组成的集合是{0,2}.
故答案为：{0,2}
1．若不等式|x−3|≤a成立的一个充分不必要条件是−1≤x≤7，则实数a的取值范围为 ．
【答案】(4,+∞)
【解析】由|x−3|≤a⇒3−a≤x≤3+a，
因为不等式|x−3|≤a成立的一个充分不必要条件是−1≤x≤7，
所以有¿，等号不同时成立，a≥4，
当a=4时，−1≤x≤7是不等式|x−3|≤a成立的充要条件，不符合题意，
所以a>4，实数a的取值范围为(4,+∞).
故答案为：(4,+∞).
1
2．“ <1”是“x2>1”的（ ）
x
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
1 1
【解析】当x=−1时，满足 <1，但推不出x2>1，即“ <1”不是“x2>1”的充分条件；
x x
1 1
当x2>1时，x>1或x<−1，总有 <1成立，即“ <1”是“x2>1”的必要条件，
x x
1
故“ <1”是“x2>1”的必要不充分条件，
x
故选：A3．（多选题）若x∈R，则“2x2−3x−2<0”成立的充分不必要条件可以为（ ）
A．x∈[−1, 2) B．x∈(0, 1)
C．x∈(0, 2) D．x∈(−1, 1)
【答案】BC
1 1
【解析】由2x2−3x−2<0解得，− <x<2，即x∈(− , 2)，
2 2
1 1
对A，因为x∈[−1, 2)推不出x∈(− , 2)，x∈(− , 2)能推出x∈[−1, 2)，
2 2
1
所以x∈[−1, 2)是x∈(− , 2)的必要不充分条件，A错误；
2
1 1
对B，因为x∈(0, 1)能推出x∈(− , 2)，x∈(− , 2)不能推出x∈(0, 1)，
2 2
1
所以x∈(0, 1)是x∈(− , 2)的充分不必要条件，B正确；
2
1 1
对C，因为x∈(0, 2)能推出x∈(− , 2)，x∈(− , 2)不能推出x∈(0, 2)，
2 2
1
所以x∈(0, 2)是x∈(− , 2)的充分不必要条件，C正确；
2
1 1
对D，因为x∈(−1, 1)不能推出x∈(− , 2)，x∈(− , 2)不能推出x∈(−1, 1)，
2 2
1
所以x∈(−1, 1)是x∈(− , 2)的既不充分也不必要条件，D错误；
2
故选:BC.
4．已知集合A={x|x2+7x+12≤0}，集合B={x|1−2m<x<2m}其中x∈A是x∈B的充分不必要条
件，则m的取值范围是 ．
(5 )
【答案】 ,+∞
2
【解析】因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，
所以A⫋B，
因为不等式x2+7x+12≤0的解集为{x|−4≤x≤−3}，
所以A={x|−4≤x≤−3}，
所以¿，5
所以m> ，
2
(5 )
所以m的取值范围是 ,+∞ .
2
(5 )
故答案为： ,+∞ .
2
题型五：全称量词与存在量词
【典例5-1】（2024·湖北·一模）命题“∃a>0,a2+1<2”的否定为（ ）
A．∃a>0,a2+1≥2 B．∃a≤0,a2+1≥2
C．∀a>0,a2+1≥2 D．∀a≤0,a2+1≥2
【答案】C
【解析】因为“∃a>0,a2+1<2”的否定是“∀a>0,a2+1≥2”.
故选：C
【典例5-2】[新考法]（2024·吉林长春·模拟预测）已知定义域为R的函数f (x)不是偶函数，则（ ）
A．∀x∈R,f (−x)+f (x)≠0 B．∀x∈R,f (−x)−f (x)≠0
C．∃x ∈R,f (−x )+f (x )≠0 D．∃x ∈R,f (−x )−f (x )≠0
0 0 0 0 0 0
【答案】D
【解析】定义域为R的函数f (x)是偶函数⇔∀x∈R,f (−x)−f (x)=0，
所以f (x)不是偶函数⇔∃x ∈R,f (−x )−f (x )≠0．
0 0 0
故选：D．
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当¬p的真假不易判断时，可转化为去判断p的真假.
【变式5-1】已知命题p:∃x∈[0,3],a=−x2+2x：命题q:∀x∈[−1,2],x2+ax−8≤0.若p为假命题，
q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．[−3,1] B．(−∞,2]
C．[−7,−3)∪(1,2] D．(−∞,−3)∪(1,2]
【答案】C
【解析】命题p:∃x∈[0,3],a=−x2+2x为假命题，
a=−x2+2x在x∈[0,3]上无解，
即y=a与y=−x2+2x，x∈[0,3]函数图象没有交点，
由图可知：a>1或a<−3，
命题q:∀x∈[−1,2],x2+ax−8≤0为真命题，则¿，解得−7≤a≤2，
综上所述：实数a的取值范围为[−7,−3)∪(1,2].
故选：C
【变式5-2】命题“∃x∈[1,2],x2+lnx−a≤0”为假命题，则a的取值范围为（ ）
A．(−∞,1) B．(−∞,0) C．(−∞,ln2+2) D．(−∞,ln2+4)
【答案】A【解析】由题意，“∀x∈[1,2],x2+lnx−a>0”为真命题，即a<x2+lnx在[1,2]上恒成立，
1
令f(x)=x2+lnx，x∈[1,2]，则f' (x)=2x+ >0在[1,2]上恒成立，
x
即f(x)=x2+lnx在[1,2]上恒为增函数，则f(x) =f(1)=1，故a<1.
min
故选：A.
【变式5-3】（2024·高三·江苏连云港·开学考试）若命题“∃x ∈R,(m−1)x2+(m−1)x +1≤0”是假
0 0 0
命题，则实数m的取值范围是 .
【答案】[1,5)
【解析】根据题意可得“∀x∈R,(m−1)x2+(m−1)x+1>0”是真命题，
当m−1=0，即m=1时，命题成立；
当m−1≠0时，得¿，解得1<m<5，
综上，符合题意的实数m的取值范围是1≤m<5.
故答案为：[1,5).
【变式5-4】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知命题p:∀x∈R,ex2 ≥1；命题
q:∃x>1,lnx=−(x−1) 2，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
【答案】C
【解析】对于命题p，因为x2≥0，所以ex2 ≥1，所以命题p为真命题，¬p为假命题；
对于命题q，当x>1时，−(x−1) 2<0，lnx>0，lnx=−(x−1) 2不成立，
所以命题q为假命题，¬q为真命题.
故选：C.1．已知命题“∃x∈(1,+∞)，2x−m+1=0”是假命题，则m的取值范围是 ．
【答案】(−∞,3]
【解析】由题意得“∀x∈(1,+∞)，2x−m+1≠0”是真命题，故m≠2x+1，
因为2x+1∈(3,+∞)，所以m的取值范围是(−∞,3]．
故答案为：(−∞,3]
2．若命题：“∃x∈R，ax2+x+1<0”为假命题，则实数a的取值范围为 .
1
【答案】[ ,+∞)
4
【解析】由题意可知，题“∀x∈R,ax2+x+1≥0”为真命题，
当a=0时，由x+1≥0可得x≥−1，不符合题意，
当a≠0时，根据题意知不等式恒成立则¿，
1
解之可得a≥ .
4
1
故答案为：[ ,+∞)
4
3．若命题“∃x∈R,x2+2x+a≤0”为真命题，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,1] B．(−∞,1) C．(−∞,0] D．(−∞,0)
【答案】A
【解析】若命题“∃x∈R,x2+2x+a≤0”为真命题，
则Δ=4−4a≥0，解得a≤1，
所以a的取值范围是(−∞,1].
故选：A.
4．命题“∀x∈[−1,3]，x2−3x+2<0”的否定为（ ）
A．∃x∈[−1,3]，x2−3x+2≥0 B．∃x∈[−1,3]，x2−3x+2>0
C．∀x∈[−1,3]，x2−3x+2≥0 D．∃x∉[−1,3]，x2−3x+2≥0【答案】A
【解析】命题“∀x∈[−1,3]，x2−3x+2<0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此命题“∀x∈[−1,3]，x2−3x+2<0”的否定是∃x∈[−1,3]，x2−3x+2≥0.
故选：A
重难点突破：以集合为载体的创新题
【典例6-1】（2024·广东·模拟预测）对于非空数集A,B，定义A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}，将A×B
称为“A与B的笛卡尔积”．记非空数集M的元素个数为|M|，若A,B是两个非空数集，则
|A×A|+4|B×B|
的最小值是（ ）
|A×B|
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】设|A|=m,|B|=n，m,n∈N*，
|A×A|+4|B×B| m2+4n2 m 4n √m 4n
则 = = + ≥2 ⋅ =4，
|A×B| mn n m n m
m 4n
当且仅当 = ,m=2n时等号成立，
n m
|A×A|+4|B×B|
所以 的最小值是4.
|A×B|
故选：B
【典例6-2】（2024·高三上海模拟）已知{a }是等差数列，b =sin(a )，存在正整数t(t≤8)，使得
n n n
b =b ，n∈N，n≥1.若集合S={x|x=b ,n∈N,n≥1}中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）
n+t n n
个
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C
【解析】当t≤3时，b =b ，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
n+t n
π π {√3 1 √3 1}
当t=4时，b =b ，取a = n− ，此时S= , ,− ,− ，满足条件；
n+4 n n 2 6 2 2 2 2
当t=5时，b =b ，即sin(a +5d)=sina ，即sin(a +5d)=sin(a +2kπ),k∈Z，
n+5 n n n n n
所以a +5d=a +2kπ，或a +5d+a +2kπ=π,k∈Z，（舍），
n n n n
2kπ
故解得d= ,k∈Z，此时在单位圆上的5等分点，
5
2π 4π 6π 8π 10π
取到的 ， ， ， ， ，不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
5 5 5 5 5
π π { 1 1 }
当t=6时，b =b ，取a = n− ，此时S= − , ,−1,1 ，满足条件；
n+6 n n 3 6 2 2
2π π { 3π π 5π}
当t=7时，b =b ，取a = n− ，此时S= −sin ,−1,sin ,sin ，满足条件；
n+7 n n 7 2 14 14 14
π 5π { π 3π π 3π}
当t=8时，b =b ，取a = n− ，此时S= −sin ,−sin ,sin ,sin ，满足条件；
n+8 n n 4 8 8 8 8 8
故选：C
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方
法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，
要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
【变式6-1】（2024·高三·四川·开学考试）定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合的交集为空集
时，称为不交）的非空真子集A ,A ,⋯,A (k∈N*),且A ∪A ∪⋯∪A =U，那么称子集族
1 2 k 1 2 k
{A ,A ,⋯,A }构成集合U的 一个k划分.已知集合I={x∈N|x2−6x+5<0}，则集合I的所有划分的个
1 2 k
数为（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【答案】B【解析】依题意，I={x∈N|x2−6x+5<0}={x∈N∣1<x<5}={2,3,4}，
I的2划分为{{2,3},{4}},{{2,4},{3}},{{3,4},{2}}，共3个，
I的3划分为{{2},{3},{4}}，共1个，
故集合I的所有划分的个数为4.
故选：B.
【变式6-2】（2024·高三·北京海淀·开学考试）设集合M={(x ,x ,x ,x ) | x∈{0,1}, i=1,2,3,4 }．
1 2 3 4 i
对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素(y ,y ,y ,y ),(z ,z ,z ,z )，有
1 2 3 4 1 2 3 4
y + y + y + y =z +z +z +z ，且y +z ,y +z , y +z ,y +z 中有且只有一个为2，则称A是一个
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有3个元素 B．一个“好子集”中最多有4个元素
C．一个“好子集”中最多有6个元素 D．一个“好子集”中最多有8个元素
【答案】A
【解析】则y +z , y +z ,y +z 三者为1或0，
2 2 3 3 4 4
若y +z , y +z ,y +z 三者均为0，则此时A中只有1个元素，即A={(1,0,0,0)}，
2 2 3 3 4 4
不合要求，舍去，
若y +z , y +z ,y +z 三者中有1个0，则A={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}，有3个元素，满足要求，
2 2 3 3 4 4
若y +z , y +z ,y +z 三者中有2个0，或没有0，则此时不满足y + y + y + y =z +z +z +z ，
2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4
综上，一个“好子集”中最多有3个元素.
故选：A
【变式6-3】（2024·湖南怀化·二模）给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集
T={|a−b||a,b∈S,a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为一个n元规范数集．（注：min(X)表示数集
X中的最小数）．对于集合M={−0.1,−1.1,2,2.5}、N={−1.5,−0.5,0.5,1.5}，则（ ）
A．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集
C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集【答案】C
【解析】集合M={−0.1,−1.1,2,2.5}中，2∈M,2.5∈M，则|2−2.5|=0.5<1，
即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；
集合N={−1.5,−0.5,0.5,1.5}，|−1.5−(−0.5)|=1,|−0.5−0.5|=1,|0.5−1.5|=1，
|−1.5−0.5|=|−0.5−1.5|=2,|−1.5−1.5|=3，
即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集.
故选：C
1．称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记ℜ[S]为集合S包含的好整点的个数．
若ℜ¿，则正整数k的最小值是（ ）
A．1976 B．1977 C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】一方面：由题意∀x,y∈N∗，x+ y≤43，使得不等式(x+ y) 2+3x+ y<k恒成立，
注意到(x+ y) 2+3x+ y=(x+ y) 2+3(x+ y)−2y≤(x+ y) 2+3(x+ y)−2
≤432+3×43−2=1976，
等号成立当且仅当¿，即¿，
所以正整数k应该满足k≥1977，
另一方面：当k=1977时，
我们证明：ℜ¿成立，
证明过程如下：
注意到{(x,y)|x+ y≤43}={(1,1),(1,2),(2,1),⋯,(1,42),(2,41),⋯,(42,1)}，
42×(1+42)
所以ℜ[{(x,y)|x+ y≤43}]=1+2+⋯+42= =903，
2
∀x,y∈N∗，记x+ y=M，则M∈{2,3,⋯43}，y∈{1,2,⋯,M−1}，
ℜ¿=ℜ¿
43 42×(1+42)
=∑ (M−1)=1+2+⋯+42= =903，
2
M=2
即ℜ¿成立，
综合以上两方面，可知正整数k的最小值是1977.
故选：B.
2．（多选题）若平面点集M满足：任意点(x, y)∈M，存在t∈(0,+∞)，都有(tx, ty)∈M，则称该
点集M是t阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若M=¿，则M是3阶聚合点集
B．存在M对任意正数t，使M不是t阶聚合点集
1
C．若M=¿，则M不是 阶聚合点集
3
D．“t∈[1,+∞）”是“M=¿是t阶聚合点集”的充要条件
【答案】ACD
【解析】对于A，由x≥ y可得3x≥3 y，故M是3阶聚合点集，即A正确；
对于B，对任意的点集M，总存在t=1，使得M是1阶聚合点集，故B错误；
x 2
x2 ( ) 1
对于C，因 + y2=1，而 3 y 2 x2 y2 x2 ，故M不是 阶聚合点集，即C正确；
4 +( ) = + < + y2=1 3
4 3 36 9 4
对于D，因M=¿是t阶聚合点集等价于t2y2≥tx，
因t>0，可得t y2≥x，又因y2≥x，依题意可得t≥1，反之也成立，
故“M=¿是t阶聚合点集”是“t∈[1,+∞）”的充要条件，即D正确.
故选：ACD.
3．（多选题）对任意A,B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对
称差．例如：若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A⊕B={1,4}．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=B
C．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A,B⊆R，使得A⊕B≠∁ A⊕∁ B
U U
【答案】AB【解析】A选项，A,B⊆R且A⊕B=B，则B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
故A⊆B，且B中元素不能出现在A∩B中，故A=∅，A正确；
B选项，A,B⊆R且A⊕B=∅，则∅={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，B正确；
C选项，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B,x∉A∩B}⊆A，故B⊆A，C错误；
D选项，∁ A⊕∁ B={x|x∈∁ A∪∁ B,x∉∁ A∩∁ B}，
U U U U U U
其中∁ A∪∁ B=∁ (A∩B)，∁ A∩∁ B=∁ (A∪B)，
U U U U U U
故∁ A⊕∁ B={x|x∈∁ (A∩B),x∉∁ (A∪B)}={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
U U U U
而A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B}，
故A⊕B=∁ A⊕∁ B，D错误.
U U
故选：AB
4．（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代
数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念
则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果
该运算满足以下条件：
①对所有的a、b∈G，有a⋅b∈G；
②∀a、b、c∈G，有(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)；
③∃e∈G，使得∀a∈G，有e⋅a=a⋅e=a，e称为单位元；
④∀a∈G，∃b∈G，使a⋅b=b⋅a=e，称a与b互为逆元．
则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．G={−1,1}关于数的乘法构成群
B．自然数集N关于数的加法构成群
C．实数集R关于数的乘法构成群
D．G={a+√2b|a,b∈Z}关于数的加法构成群
【答案】AD
【解析】对于A选项，对所有的a、b∈G，有a⋅b∈G，且满足①乘法结合律；②∃e=1∈G，使得∀a∈G，有1⋅a=a⋅1=a；
③∀a∈G，∃a∈G，有a⋅a=a⋅a=1，故A正确；
对于B选项，①自然数满足加法结合律；
②∃e=0∈N，使得∀a∈N，有0+a=a+0=a；
但是对于0∈N，1∈N，不存在b∈N，使1+b=b+1=0，故B错误；
对于C选项，对所有的a、b∈R，有a⋅b∈R，
①实数满足加法结合律； ②∃e=1∈R，使得∀a∈R，有1⋅a=a⋅1=a；
但对于1∈R，0∈R，不存在b∈R，使0⋅b=b⋅0=1，故C错误；
对于D选项，对所有的a、b∈G，可设a=x+√2y，b=s+√2t，(x，y，s，t∈Z)，
则a+b=(x+s)+√2(y+t)∈G，
①G满足加法结合律，即∀a、b、c∈G，有(a+b)+c=a+(b+c)；
②∃e=0∈G，使得∀a∈G，有e+a=a+e=a；
③∀a∈G，设a=x+√2y，x，y∈Z，∃b=−x−√2y∈G，使a+b=b+a=e，故D正确．
故选：AD．
