第二十二章 二次函数·拔尖卷
【人教版】
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如果函数 是二次函数，那么m的值一定是（ ）
y=(m−3)xm2−3m+2
A．0 B．3 C．0或3 D．1或2
2．（3分）（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数y=x2−2ax+a−1，若对于a<x≤2范围内的
任意自变量x，都有y≤a−1，则a的取值范围是（ ）
A．1<a<2 B．1≤a≤2 C．1<a≤2 D．1≤a<2
3．（3分）（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，函数y=ax2−2x+1和y=a(x−1)（a是常数，且
a≠0）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（24-25九年级下·安徽淮北·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为(1,−4)，且图象经过点
( 15)
(3,0)，将二次函数的图象向右平移m(m>0)个单位，图象经过点 1,− ，在平移后的图象上，当
4
n−2≤x≤n+1时，函数的最小值为−3，则n的值是（ ）
1 9 1 9 1
A．− 或 B． 或 C．1 D．−
2 2 2 2 2
5．（3分）（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点B，E都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，D，C，F四点，若AD=2，CD=3
，CF=5，则BE的长度为（ ）
9 7
A．4 B． C．3 D．
2 2
6．（3分）（2024·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2−2mx+m2+m−4（m为常
数）的图象过点A(3,m)，且与x轴有两个交点，则该二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A．(1,3) B．(5,−1) C．(1,−3) D．(5,1)
7．（3分）（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）
和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x<1000）内，y与x近似成一次函
数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图
象，下列结论正确的是（ ）
A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x=2000时，y有最大值
C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y=0.4时，x=600
8．（3分）（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于点 ，将抛
C :y=x2−4x(0≤x≤4) x O,A
1 1
物线C 向右依次平移两次，分别得到抛物线C ,C ，与x轴交于点A ,A ,A ，直线y=m(−4<m<0)与
1 2 3 1 2 3
这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ）A．18 B．20 C．36 D．24
9．（3分）（2025·河南驻马店·三模）如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发沿A→B
的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以2cm/s的速度运动．当点Q
到达点B时，点P，Q同时停止运动．设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），下列能大致反
映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）（24-25九年级上·广东惠州·期中）抛物线 的对称轴为直线 ，其
y=ax2+bx+c(a≠0) x=−1
部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①b2−4ac>0；②2a−b=0；
③m(am+b)≤a−b（m为任意实数）；
( 7 ) ( 3 ) (5 )
④点 − ,y ， − ,y ， ,y 是该抛物线上的点，且y <y <y ．
2 1 2 2 4 3 1 2 3
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级上·浙江·期中）二次函数y=ax2+bx+c的函数值y自变量x之间的部分对应值
如表：此函数图象的开口方向是 (填“向上”或“向下”)；当x=5时，y= ．
x …… −1 0 1 4 ……
y …… 4 −1 −4 −1 ……
12．（3分）（2025·山东临沂·二模）已知二次函数y=x2−4x(−1≤x≤m+1)，当x=−1时，函数取得最
大值；当x=2时，函数取得最小值，则m的取值范围是 ．
13．（3分）（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 y=ax2−4x+2的对称轴为直线x=2．
（1）a的值为 ．
（2）若抛物线 y=ax2−4x+2向下平移k(k>0)个单位长度后，在−1<x<4范围内与x轴只有一个交
点，则k的取值范围是 ．
14．（3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为
1
y=− x2+2，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的
2
距离为0.3m，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于0.3m，即图中AP≤0.3m，BQ≤0.3m，
则最多可安装支撑杆 条．15．（3分）（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，点E是正方形ABCD的边AB上的一个动点，AB=6
，连接CE，将线段CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接FD，ED,△EFD面积的最小值为
．
16．（3分）（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数 为常数，且 经过
y=ax2+bx+c(a,b,c ab≠0)
，一次函数 经过 ，一次函数 经过 ．已知
(1,0),(x ,0) y=|a)x+c (x ,0) y=|b)x+c (x ,0)
1 2 3
−5<x <−4,m<x <m+1，n<x <n+1，其中m,n为整数，则m+n的值为 ．
1 2 3
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线
，设该抛物线的对称轴为 ．
y=2ax2+(3a+1)x+c(a>0) x=t
(1)若a=1，求该抛物线的对称轴；
(2)已知 ， 抛物线上，若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围．
A(x ,y ) B(x ,y ) x =2t+1 |x −x )>1 y >y t
1 1 2 2 1 2 1 2 1
18．（6分）（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y=ax2+2ax−3a经过
A(−2,3)，与y轴交于点B，连接OA，AB．(1)求a的值及点B的坐标；
(2)将抛物线L平移得到抛物线L′，设平移后点A，B的对应点分别为A′ ，B′，若平移后抛物线L'的顶点
3
落在x轴上，且S = S ，求平移后抛物线L′的表达式．
△A′OB 2 △ABB′
1
19．小朋在学习过程中遇到一个函数y= |x)(x−3) 2．
2
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最
小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
1 3 5 7
x 0 1 2 3 4 …
2 2 2 2
25 27 5 7
y 0 2 1 0 2 …
16 16 16 16
1
结合上表，画出当x≥0时，函数y= |x)(x−3) 2的图像；
2(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
1
若关于x的方程 |x)(x−3) 2=kx−1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小
2
数点后一位）．
20．（8分）（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点
A(−1,0)和B(0,3)，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形ACDB的面积；
(3)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大
值，并求出最大值；
(4)当−2≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
21．（10分）（2025·福建龙岩·模拟预测）已知二次函数y=−ax2−bx+3a（a，b为常数，a≠0）．
(1)求证：若该函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
(2)若 ， ，该函数图象经过 ， 两点，若 ， 分别位于抛物线对称轴
b=4a a>0 A(2m−9,y ) B(m+2,y ) A B
1 2的两侧，且y <y ，求m的取值范围．
1 2
(3)若该二次函数满足：当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且图象经过点(2,−5)，求a−b2的最大值．
22．（10分）（24-25八年级下·广西南宁·期末）综合与实践
项目式学习：安全用电，防患未然
项
近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约80%的
目
火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未
背
然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
景
调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在
△AOB中，OA=OB=2❑√3米，喷嘴O到地面的距离OC=3米．
素
材
1
模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发
生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学
校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水
柱最外层的形状为抛物线．
学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形OABC，创新小组以
点O为坐标原点，墙面OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为2.5米，即
素
AM=2米，OA=2.5米，水喷射到墙面D处，且OD=0.5米．
材
2
素 问题解决：已知车棚宽度OC为8米，电动车的电池距离地面高度为0.2米．创新
材 小组想在喷淋头M的同一水平线AB上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水
3 柱可以覆盖所有电动车电池．
任务解决
任
务 （1）求图2中地面有效保护直径AB的长度；
1
任
（2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；务
（3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径OE为多少米？
2
任
务 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？
3
1
23．（12分）（2025·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)
2
，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为
m．
(1)请直接写出b，c的值；
(2)如图，当∠PBC=∠OBC时，求m的值；
(3)过点P作y轴的平行线交BC于点M，点N在BC上，且PN=MN，PN的长记为l．
①求l关于m的函数解析式；
②当l取某一个值时，是否存在三个符合条件的点P，其中两个点的横坐标之差为1？若存在，求出此时l
的值；若不存在，请说明理由．
24．（12分）（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A(4,−1)，与y
轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点是点C，且点C的横坐标与纵坐标相等．
(1)求该抛物线的表达式；
AD⋅BD
(2)直线x=m与抛物线交于点P，与线段AB交于点D（不与点A、B重合），那么 的值是否随m
PD
的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化；
(3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点M，y轴上存在点N，使得四边形ACMN是菱形，求新抛物线的表达式．
