第二十二章 二次函数（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版】
【培优篇】.....................................................................................................................................................................7
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】.................................................................................................7
【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】.....................................................................................................9
【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】...............................................................................................10
【题型4 二次函数与几何变换】............................................................................................................................11
【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】................................................................................................11
【拔尖篇】...................................................................................................................................................................12
【题型6 利用二次函数的性质求最值】................................................................................................................12
【题型7 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】...................................................................................13
【题型8 利用二次函数的性质比较大小】...........................................................................................................13
【题型9 二次函数与一次函数图象的综合应用】...............................................................................................14
【题型10 二次函数的应用】....................................................................................................................................16
【题型11 二次函数中的存在性问题】....................................................................................................................18
知识点 1 二次函数的概念
1. 一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，二次函
数的二次项系数、一次项系数分别是 a , b ，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.
一次项系数
常数项
y=ax2+bx+c 必须化为一般形式，
方可判断各项的系数
二次项系数
（ a 不 为 b,c没有
0） 条件限制
2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)
二次项系数不为0.
3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义.
知识点 2 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示
的函数的形式.
知识点 3 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
a>0，x=0时，
y =0；
y=ax2 （0，0） y轴 最小值
a<0，x=0时，
y =0
a>0时，抛物线开口向上；
最大值
a>0，x=0时， 在对称轴右侧时,y随x的增大
y =k； 而增大；
y=ax2+k （0，k） y轴 最小值
a<0，x=0时， 在对称轴左侧时，y随x的增
y =k 大而减小；
最大值
a>0，x= ℎ时， a<0时，抛物线开口向下；
y=a(x−ℎ) 2 （ℎ
）
，0 x=
ℎ
a
y 最
<
小
0，
值 =
x=
0
ℎ
；
时，
在
大
对
而
称
增
轴
大
左
；
侧时，y随x的增
y =0
最大值 在对称轴侧右时，y随x的增
a>0，x= ℎ时， 大而减小
y=a(x−ℎ) 2+k
（ℎ
）
，k
x=
ℎ
a
y
最
<
小
0，
值
=
x=
k
ℎ
；
时，
y =k
最大值
2. 二次函数y=ax2 (a≠0) 的图象的画法
（1）列表：以x=0为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般
在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将
各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线y=ax2 (a≠0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法
画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
3. 几种二次函数图象间的平移规律例如：y=2(x−5) 2+3的图象是由y=2x2的图象先向上平移3个单位长度得到y=2x2+3的图象，再向右
平移5个单位长度得到的．反之，由y=2(x−5) 2+3的图象先向下平移3个单位长度得到y=2(x−5) 2的
图象，再向左平移5个单位长度得到y=2x2的图象．
知识点 4 二次函数 y=ax ² +bx+c ( a ≠0) 的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化成顶点式y=a(x−h) 2+k，其中
b 4ac−b2 b
h=− ，k= ，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=− ，顶点坐标为
2a 4a 2a
( b 4ac−b2 )
− ， ．
2a 4a
2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
符号 a>0 a<0
函数图像
开口方向 向上 向下
b
对称轴 x=−
2a( b 4ac−b2 )
顶点坐标 − ，
2a 4a
在对称轴右侧时，y随x的增大 在对称轴左侧时，y随x的增大
而增大； 而增大；
增减性
在对称轴左侧时，y随x的增大 在对称轴右侧时，y随x的增大
而减小 而减小
b
当x=− 时,
2a b 4ac−b2
最值 当x=− 时,y =
4ac−b2 2a 最大值 4a
y =
最小值 4a
3.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a，b，c，b2−4ac的符号关系
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
抛物线开口向上 a>0
a(开口方向)
抛物线开口向下 a<0
b
对称轴在y轴右侧，即x=− >0 a、b异号
2a
b(对称轴位置、a的正负)
b
对称轴在y轴左侧，即x=− <0 a、b同号
2a
交于原点 c=0
c(抛物线与y轴交点位置) 交于y轴正半轴 c>0
交于y轴负半轴 c<0
与x轴有两个交点 b2−4ac>0
b2−4ac(与x轴交点个数) 与x轴有一个交点 b2−4ac=0
与x轴没有交点 b2−4ac<0
知识点 5 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知
数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为 ．
y=ax2+bx+c(a≠0)
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（ ， ）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为 ，特殊地，若
ℎ k y=a(x−h) 2+k(a≠0)抛物线顶点在原点，则 ，设其解析式为 ．
ℎ =k=0 y=ax2 (a≠0)
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（x ，0），（x ，0），可设解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)．
1 2 1 2
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平
移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方
法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点
坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或
某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
关于x轴对称的抛物线的解析式： ；
y=ax2+bx+c(a≠0) y=−ax2−bx−c
关于x轴对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=−a(x−ℎ) 2−k
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
关于y轴对称的抛物线的解析式： ；
y=ax2+bx+c(a≠0) y=ax2−bx+c
关于y轴对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=a(x+ ℎ) 2+k
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
b2
y=ax2+bx+c(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx+c− ；
2a
关于顶点对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=−a(x−ℎ) 2+k
知识点 6 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的
图象与x轴交点的横坐标．（1）若抛物线 与x轴两交点的横坐标分别为 ， ，则 ， 为一元二次方程
y=ax2+bx+c(a≠0) x x x x
1 2 1 2
的两个根．
ax2+bx+c=0(a≠0)
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
a>0（示意图） a<0（示意图） 一元二次方程根的情况
有两个不相等的实数根
b2−4ac>0 −b±❑√b2−4ac
x =
1,2 2a
有两个相等的实数根
b2−4ac=0 b
x =x =−
1 2 2a
b2−4ac<0 无实数根
知识点 7 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数 的图象；
y=ax2+bx+c(a≠0)
（2）确定二次函数 的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
y=ax2+bx+c(a≠0)
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地
方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪
两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x 取到x 时，对应y
1 2
的值出现 ， 或 ， ，那么 ， 中必有一个是近似根，比较 与 的大小，若
y >0 y <0 y <0 y >0 x x |y ) |y )
1 2 1 2 1 2 1 2
，则说明 是近似根；反之，则说明 是近似根．从图象上观察，（ ， ）离x轴越近，y值越
|y )>|y ) x x x y
1 2 2 1
接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根．
知识点 8 二次函数与一元二次不等式的关系利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
（1）将一元二次不等式化为 的形式；
ax2+bx+c>0(或<0)
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2−4ac的值；
（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
y=ax2+bx+c(a>0)
∆=b2−4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
一元二次方程
b
ax2+bx+c=0 x ，x x =x =− 没有实数根
1 2 1 2 2a
(a>0)的根
不等式
ax2+bx+c>0 x<x 或x>x x≠x 的一切实数 全体实数
1 2 1
(a>0)的解集
不等式
ax2+bx+c<0 x <x<x 无解 无解
1 2
(a>0)的解集
知识点 9 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成 的形式，当 时，y有最大（小）值k；若对二次函数
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) x=h
y=ax2+bx+c
b 4ac−b2
使用配方法，则当x=− 时，y有最大（小）值 ．
2a 4a
3. 实际问题与二次函数的联系转化
转化
实际问题 数学模型
回归
（抛物线形实物与轨迹问题） （二次函数的图象和性质）
拱桥问题
转化的关键 建立恰当的平面直角坐标系
抛物线形运抛物线形运
【培优篇】
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】
【例1】（2025·江西宜春·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与函数y=bx2−ax的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则一次函数
y=cx+ab的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．【变式1-2】（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与一次函数
y=kx+c图象如图所示，则函数y=−ax2−bx+kx+1图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数 和一次函
y=m(x+n) 2
数y=mx+n(m≠0,n≠0)的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】
【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）二次函数 图象的一部分如图所示，给出下列命
y=ax2+bx+c(a≠0)
题：①abc<0；②2a+b=0；③3a+c=0；④m(am+b)≥a−b（m为任意实数）；⑤4ac−b2<0．其
中正确的命题有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象
如图所示，对称轴为直线x=−1，则下列判断中，错误的是（ ）
A．c<−3a
B．若点 ， 在该抛物线上，且在 轴的下方，则
A(b−3,y ) B(b−1,y ) x y <y
1 2 1 2
C． 一定有两个不相等的实数根
ax2+bx+c+k=0(k>0)
D．m(am+b)≥−a（m为实数）
【变式2-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于
y=ax2+bx+c(a≠0)
点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③方程
8 4
ax2+bx+c−1=0的两根和为1；④若−2<c<−1，则− <a+b+c<− ，⑤点A(m−2,y )，
3 3 1
3
B(m+1,y )在抛物线上，且当y >y 时，m< ；其中正确结论的个数为（ ）
2 1 2 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数 的图象与x轴交于点
y=ax2+bx+c(a≠0)
A(−3,0)，与y轴交于点B，其对称轴为直线x=−1，则下列说法：①abc>0；②5a+2c>0；③抛物线
( c )
一定经过点 − ,0 ﹔④关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根；⑤若
3a
（其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．正确的有（ ）
P(x ,y ),Q(x ,y ) x <x x +x <−2 y <y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】
【例3】（2025·福建漳州·二模）已知抛物线y=ax2+bx与直线y=x−1只有一个交点P，且点P在第一象
限，若m=2b2−4a，则m的值可能是（ ）
A．−3 B．−❑√2 C．3 D．4
【变式3-1】若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)和(-1，0)，则
S=a+b+c的值的变化范围是( )
A．0<S<2 B．0<S<1 C．1<S<2 D．−1<S<1
【变式3-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线y=x2−4x−1上有且只有三个点到x轴的
距离等于k，点A(a,b)在抛物线上，且点A到y轴的距离小于3．
（1）k= ．
（2）b的取值范围是 ．
【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)，(3,n)在抛物线
上，设抛物线的对称轴为直线 ．当 时，t的值为 ；点 在
y=ax2+bx+c(a>0) x=t m=n (x ,m)(x ≠1)
0 0
抛物线上，若m<n<c，则x 的取值范围为 ．
0【题型4 二次函数与几何变换】
【例4】（24-25九年级下·广东梅州·期中）如图，一段抛物线：y=−x(x−2)(0≤x≤2)记为C ，它与x轴
1
交于两点O、A ；将C 绕A 旋转180°得到C ，交x轴于A ；将C 绕A 旋转180°得到C ，交x轴于A
1 1 1 2 2 2 2 3 3
；…如此进行下去，直至得到C ，若顶点P(m,n)在C 上，则m的值是（ ）
2025 2025
A．4048 B．4049 C．4050 D．4051
【变式4-1】将抛物线 向左平移1个单位长度，得到抛物线 ，抛物线 与抛物线 关
C :y=x2−2x+3 C C C
1 2 2 3
于x轴对称，则抛物线C 的解析式为（ ）
3
A．y=−x2−2 B．y=−x2+2 C．y=x2−2 D．y=x2+2
【变式4-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数y=x2+4x−10向上平移k个单位长度（k>0
），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么k应满足条件 ．
【变式4-3】规定：两个函数y ，y 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数
1 2
y =2x+2与y =−2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数
1 2
y=kx2+2(k−1)x+k−3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式
为 ．
【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】
1
【例5】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线y =ax2+bx+c的对称轴为直线x= ，与直线
1 2
y =kx+b交于点A(−1,0)，B(4,3)，则满足不等式组y >y >0的整数x共有（ ）
2 2 1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以(2,5)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（ ）
A．2<x<3 B．1<x<2 C．4<x<5 D．5<x<6
【变式5-2】已知二次函数y=x2+2x−4，当−3<x≤0时，y的取值范围是（ ）
A．−4≤ y≤−1 B．−4≤ y<−1 C．−5≤ y<−1 D．−5≤ y≤−4
【变式5-3】（2025·辽宁丹东·二模）抛物线 与平行于x轴的直线交于A、B两
C :y =mx2−4mx+2n−1
1 1
点，且A点坐标为(−1,2)，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为
2
(0,−1)；③m> ；④若抛物线C :y =ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是
5 2 2
2
≤a<2；⑤不等式mx2−4mx+2n>0的解作为函数C 的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其
25 1
中正确的序号是 ．
【拔尖篇】
【题型6 利用二次函数的性质求最值】
【例6】（2025·安徽淮北·三模）抛物线y=ax2−4ax经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐
标为(2,−4)．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作PQ⊥x轴，且点Q在一次函数y=x−4的图象上．当
1<t<4时，PQ的最大值是 ．
【变式6-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）定义：
max{a,b)=
{a(a≥b))，若函数
b(a<b)，则该函数的最小值为 ．
y=max(−x−1,x2−4x−5)
【变式6-2】（2025·安徽六安·一模）已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）．
（1）若抛物线经过点(−6,4)，则该抛物线的对称轴为 ；
3
（2）若抛物线的对称轴为直线x= ，点(−1,m)，(1,n)在抛物线上，则mn的最大值为 ．
2
【变式6-3】（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数
称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”y=x+1，其“半值点”为(−2,−1)．
8
（1）函数y= 的图象上的“半值点”是 ．
x
（2）若关于x的函数y=x2+ ( m−k+ 1) x+ n 的图象上存在唯一的“半值点”，且当−1≤m≤1时，n的
2 4
最小值为k，则k的值为 ．
【题型7 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】
【例7】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于x的二次函数y=3x2−6mx+4m2+2m+2,，其中
m为实数，当－2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ；
【变式7-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）当n≤x≤n+1时，若二次函数y=x2−4x+3的最大值为2，
则n的值为 ．
【变式7-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）定义：平面内任意两点 ， ，
P(x ,y ) Q(x ,y )
1 1 2 2
称为这两点之间的曼哈顿距离．若 ， ，则 ．若点 为
d =|x −x )+|y −y ) P(1,2) Q(3,−4) d = A
PQ 1 2 1 2 PQ
1
抛物线y=x2上的动点，点B为直线y= x+b上的动点，并且抛物线与直线没有交点，d 的最小值为1，
2 AB
则b的值为 ．
【变式7-3】（2025·广西·一模）已知抛物线y=−x2−2bx+c(b<0)，当0≤x≤2时，抛物线的最大值与最
小值的差为2，则b的值是 ．
【题型8 利用二次函数的性质比较大小】
【例8】（2025·福建福州·二模）已知抛物线 上有三点 ， ， ．若
y=ax2+bx(a>0) (2,y ) (4,y ) (6,y )
1 2 3
y y <0，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 3 1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
2 1 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1【变式8-1】二次函数y=ax²+4ax+c(a≠0)的图像经过A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )三点，
1 1 2 2 3 3
且 ， ，则 ， ， 的大小关系是( )
x <−2<x <x |x )=|x ) y y❑ y
1 3 2 1 3 1 2 3
A．若a>0，则y >y >y B．若a>0，则y >y >y
1 3 2 3 2 1
C．若a<0，则y >y >y D．若a<0，则y >y >y
1 3 2 2 3 1
【变式8-2】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）是
由抛物线 向右平移m个单位得到，若点 都在抛物线
y=2x2+8x+c A(m+a,y ),B(m+b,y ),C(m,y )
1 2 3
y=ax2+bx+c上，则y ,y ,y 之间的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y
3 1 2 1 2 3
C．y <y <y D．y <y <y
1 3 2 3 2 1
【变式8-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）将方程 的两根记为 、 ，方程
(x+1)(x−2)=1 x x (x <x )
1 2 1 2
的两根记为 、 ，则 、 、 、 的大小关系是（ ）
10(x+1)(x−2)=1 x x (x <x ) x x x x
3 4 3 4 1 2 3 4
A．x <x <x <x B．x <x <x <x C．x <x <x <x D．x <x <x <x
1 2 3 4 3 4 1 2 1 3 4 2 3 1 2 4
【题型9 二次函数与一次函数图象的综合应用】
【例9】（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数y＝x2−2mx+m2+m+1的图像为C．
(1)用m表示图像C的顶点坐标；
(2)证明：当m<−1时，图像C与x轴有两个交点；
(3)记一次函数y=mx+m（m是常数，m≠0，−1≤x≤2）的图像为线段AB，若图像C与线段AB（包含
端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围．
1
【变式9-1】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，以A为顶点的抛物线y= (x−m) 2+k交直线AB：
2
3 1
y=− x− 于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C．
2 2(1)当m=3，k=−5时，求该抛物线与y轴的交点坐标．
(2)嘉嘉说：k与m满足一次函数k=am+b，请帮助嘉嘉求出a和b的值．
(3)若BC=2m+4．
①求该抛物线的函数表达式；
②在直线 下方的抛物线上，是否存在一点P，使得S 1？若存在，请直接写出点P的坐标；若不
BC △BCP =
S 3
△ABC
存在，请说明理由．
【变式9-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知二次函数y=x2−x+q的图象经过点(0,−2)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求当−2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y=(2−m)x+2−m的图象与二次函数y=x2−x+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且
a<3<b，求m的取值范围．
【变式9-3】（2025·广东汕尾·二模）【问题背景】
抛物线y=−x2−2x+c的图象与x轴交于点A(−3,0)，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数
y=−x+b的图象交于点A，E．
【构建联系】
（1）填空：b=______，c=______，点E的坐标为______．
（2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接PA，PE，当S =10时，求点P的坐标．
△PAE
【深入探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿AC的方向平移2❑√5个单位长度，得到点B′．若将线段BB′沿
EA的方向平移，得到线段MN，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出
点N的坐标；若不能，请说明理由．【题型10 二次函数的应用】
【例10】（24-25九年级上·河南周口·期末）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运
动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点A(3,10)起跳，在起
跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y(m)与水平距离x(m)满足二次函数的关系．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离
3 3.5 4 4.5
x/m
竖直高度
10 11.25 10 6.25
y/m
根据上述数据，求y关于x的函数表达式．
(2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题．
信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为n(m)，从到达最高点B开始计，则她到水面的
距离ℎ(m)与时间t(s)之间满足
ℎ
=−5t2+n．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？
【变式10-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出
A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪
念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不
低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．
经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪
念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【变式10-2】（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方
1.8米的A点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数
y=ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距
离，图象经过点(2,3.2)，(4,4.2)．
信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据
如下：
t（秒） 0 0.4 0.6 …
x（米） 0 4 6 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当t为1.6秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y=−0.02x2+px+m（p
，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的
横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为________（直接写出结果）．
【变式10-3】（2025·江西宜春·模拟预测）秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行
政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水
元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一．某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水
管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为4m处达到最高，高度为9m
，水柱落地处离泉眼中心10m，如图2，以水平地面为x轴，水管OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标
系．
(1)求水管OA的长度，
(2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为2.75m的景观射灯EF，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱．
①求景观射灯EF与OA之间的水平距离，
②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不
变，则水管OA要降低多少？
【题型11 二次函数中的存在性问题】
【例11】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线 的图象经过 ， 两
y=ax2+bx+c(a≠0) A(1,0) B(3,0)
点，与y轴交于点C(0,6)，M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标；
(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为Q，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使以A，
P，Q，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请
说明理由．
【变式11-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线
y=x2−bx−c经过点A(3,0),B(0,−4)．(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线AB于点N，是否存在以M,N,O,B为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式11-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x 轴交于
A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，求线段PE 的最
大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点M，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接
写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式11-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第
一象限斜靠在两坐标轴上，且点A，B的坐标分别为A(0,2)，B(1,0)，抛物线y=ax2−ax−2经过点C．
(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P与点Q（点C，D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在，请求出P，Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
