文档内容
第二十二章 二次函数（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版】
【培优篇】.....................................................................................................................................................................7
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】.................................................................................................7
【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】.....................................................................................................9
【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】...............................................................................................10
【题型4 二次函数与几何变换】............................................................................................................................11
【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】................................................................................................11
【拔尖篇】...................................................................................................................................................................12
【题型6 利用二次函数的性质求最值】................................................................................................................12
【题型7 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】...................................................................................13
【题型8 利用二次函数的性质比较大小】...........................................................................................................13
【题型9 二次函数与一次函数图象的综合应用】...............................................................................................14
【题型10 二次函数的应用】....................................................................................................................................16
【题型11 二次函数中的存在性问题】....................................................................................................................18
知识点 1 二次函数的概念
1. 一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，二次函
数的二次项系数、一次项系数分别是 a , b ，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.
一次项系数
常数项
y=ax2+bx+c 必须化为一般形式，
方可判断各项的系数
二次项系数
（ a 不 为 b,c没有
0） 条件限制
2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)
二次项系数不为0.
3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义.
知识点 2 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示
的函数的形式.
知识点 3 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
a>0，x=0时，
y =0；
y=ax2 （0，0） y轴 最小值
a<0，x=0时，
y =0
a>0时，抛物线开口向上；
最大值
a>0，x=0时， 在对称轴右侧时,y随x的增大
y =k； 而增大；
y=ax2+k （0，k） y轴 最小值
a<0，x=0时， 在对称轴左侧时，y随x的增
y =k 大而减小；
最大值
a>0，x= ℎ时， a<0时，抛物线开口向下；
y=a(x−ℎ) 2 （ℎ
）
，0 x=
ℎ
a
y 最
<
小
0，
值 =
x=
0
ℎ
；
时，
在
大
对
而
称
增
轴
大
左
；
侧时，y随x的增
y =0
最大值 在对称轴侧右时，y随x的增
a>0，x= ℎ时， 大而减小
y=a(x−ℎ) 2+k
（ℎ
）
，k
x=
ℎ
a
y
最
<
小
0，
值
=
x=
k
ℎ
；
时，
y =k
最大值
2. 二次函数y=ax2 (a≠0) 的图象的画法
（1）列表：以x=0为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般
在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将
各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线y=ax2 (a≠0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法
画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
3. 几种二次函数图象间的平移规律例如：y=2(x−5) 2+3的图象是由y=2x2的图象先向上平移3个单位长度得到y=2x2+3的图象，再向右
平移5个单位长度得到的．反之，由y=2(x−5) 2+3的图象先向下平移3个单位长度得到y=2(x−5) 2的
图象，再向左平移5个单位长度得到y=2x2的图象．
知识点 4 二次函数 y=ax ² +bx+c ( a ≠0) 的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化成顶点式y=a(x−h) 2+k，其中
b 4ac−b2 b
h=− ，k= ，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=− ，顶点坐标为
2a 4a 2a
( b 4ac−b2 )
− ， ．
2a 4a
2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
符号 a>0 a<0
函数图像
开口方向 向上 向下
b
对称轴 x=−
2a( b 4ac−b2 )
顶点坐标 − ，
2a 4a
在对称轴右侧时，y随x的增大 在对称轴左侧时，y随x的增大
而增大； 而增大；
增减性
在对称轴左侧时，y随x的增大 在对称轴右侧时，y随x的增大
而减小 而减小
b
当x=− 时,
2a b 4ac−b2
最值 当x=− 时,y =
4ac−b2 2a 最大值 4a
y =
最小值 4a
3.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a，b，c，b2−4ac的符号关系
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
抛物线开口向上 a>0
a(开口方向)
抛物线开口向下 a<0
b
对称轴在y轴右侧，即x=− >0 a、b异号
2a
b(对称轴位置、a的正负)
b
对称轴在y轴左侧，即x=− <0 a、b同号
2a
交于原点 c=0
c(抛物线与y轴交点位置) 交于y轴正半轴 c>0
交于y轴负半轴 c<0
与x轴有两个交点 b2−4ac>0
b2−4ac(与x轴交点个数) 与x轴有一个交点 b2−4ac=0
与x轴没有交点 b2−4ac<0
知识点 5 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知
数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为 ．
y=ax2+bx+c(a≠0)
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（ ， ）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为 ，特殊地，若
ℎ k y=a(x−h) 2+k(a≠0)抛物线顶点在原点，则 ，设其解析式为 ．
ℎ =k=0 y=ax2 (a≠0)
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（x ，0），（x ，0），可设解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)．
1 2 1 2
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平
移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方
法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点
坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或
某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
关于x轴对称的抛物线的解析式： ；
y=ax2+bx+c(a≠0) y=−ax2−bx−c
关于x轴对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=−a(x−ℎ) 2−k
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
关于y轴对称的抛物线的解析式： ；
y=ax2+bx+c(a≠0) y=ax2−bx+c
关于y轴对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=a(x+ ℎ) 2+k
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
b2
y=ax2+bx+c(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx+c− ；
2a
关于顶点对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=−a(x−ℎ) 2+k
知识点 6 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的
图象与x轴交点的横坐标．（1）若抛物线 与x轴两交点的横坐标分别为 ， ，则 ， 为一元二次方程
y=ax2+bx+c(a≠0) x x x x
1 2 1 2
的两个根．
ax2+bx+c=0(a≠0)
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
a>0（示意图） a<0（示意图） 一元二次方程根的情况
有两个不相等的实数根
b2−4ac>0 −b±❑√b2−4ac
x =
1,2 2a
有两个相等的实数根
b2−4ac=0 b
x =x =−
1 2 2a
b2−4ac<0 无实数根
知识点 7 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数 的图象；
y=ax2+bx+c(a≠0)
（2）确定二次函数 的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
y=ax2+bx+c(a≠0)
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地
方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪
两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x 取到x 时，对应y
1 2
的值出现 ， 或 ， ，那么 ， 中必有一个是近似根，比较 与 的大小，若
y >0 y <0 y <0 y >0 x x |y ) |y )
1 2 1 2 1 2 1 2
，则说明 是近似根；反之，则说明 是近似根．从图象上观察，（ ， ）离x轴越近，y值越
|y )>|y ) x x x y
1 2 2 1
接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根．
知识点 8 二次函数与一元二次不等式的关系利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
（1）将一元二次不等式化为 的形式；
ax2+bx+c>0(或<0)
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2−4ac的值；
（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
y=ax2+bx+c(a>0)
∆=b2−4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
一元二次方程
b
ax2+bx+c=0 x ，x x =x =− 没有实数根
1 2 1 2 2a
(a>0)的根
不等式
ax2+bx+c>0 xx x≠x 的一切实数 全体实数
1 2 1
(a>0)的解集
不等式
ax2+bx+c<0 x 0)的解集
知识点 9 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成 的形式，当 时，y有最大（小）值k；若对二次函数
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) x=h
y=ax2+bx+c
b 4ac−b2
使用配方法，则当x=− 时，y有最大（小）值 ．
2a 4a
3. 实际问题与二次函数的联系转化
转化
实际问题 数学模型
回归
（抛物线形实物与轨迹问题） （二次函数的图象和性质）
拱桥问题
转化的关键 建立恰当的平面直角坐标系
抛物线形运抛物线形运
【培优篇】
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】
【例1】（2025·江西宜春·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与函数y=bx2−ax的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则一次函数
y=cx+ab的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．【变式1-2】（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与一次函数
y=kx+c图象如图所示，则函数y=−ax2−bx+kx+1图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数 和一次函
y=m(x+n) 2
数y=mx+n(m≠0,n≠0)的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】
【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）二次函数 图象的一部分如图所示，给出下列命
y=ax2+bx+c(a≠0)
题：①abc<0；②2a+b=0；③3a+c=0；④m(am+b)≥a−b（m为任意实数）；⑤4ac−b2<0．其
中正确的命题有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象
如图所示，对称轴为直线x=−1，则下列判断中，错误的是（ ）
A．c<−3a
B．若点 ， 在该抛物线上，且在 轴的下方，则
A(b−3,y ) B(b−1,y ) x y 0)
D．m(am+b)≥−a（m为实数）
【变式2-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于
y=ax2+bx+c(a≠0)
点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③方程
8 4
ax2+bx+c−1=0的两根和为1；④若−2y 时，m< ；其中正确结论的个数为（ ）
2 1 2 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数 的图象与x轴交于点
y=ax2+bx+c(a≠0)
A(−3,0)，与y轴交于点B，其对称轴为直线x=−1，则下列说法：①abc>0；②5a+2c>0；③抛物线
( c )
一定经过点 − ,0 ﹔④关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根；⑤若
3a
（其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．正确的有（ ）
P(x ,y ),Q(x ,y ) x 0) x=t m=n (x ,m)(x ≠1)
0 0
抛物线上，若m0
），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么k应满足条件 ．
【变式4-3】规定：两个函数y ，y 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数
1 2
y =2x+2与y =−2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数
1 2
y=kx2+2(k−1)x+k−3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式
为 ．
【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】
1
【例5】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线y =ax2+bx+c的对称轴为直线x= ，与直线
1 2
y =kx+b交于点A(−1,0)，B(4,3)，则满足不等式组y >y >0的整数x共有（ ）
2 2 1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以(2,5)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（ ）
A．2 ；④若抛物线C :y =ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是
5 2 2
2
≤a<2；⑤不等式mx2−4mx+2n>0的解作为函数C 的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其
25 1
中正确的序号是 ．
【拔尖篇】
【题型6 利用二次函数的性质求最值】
【例6】（2025·安徽淮北·三模）抛物线y=ax2−4ax经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐
标为(2,−4)．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作PQ⊥x轴，且点Q在一次函数y=x−4的图象上．当
10) (2,y ) (4,y ) (6,y )
1 2 3
y y <0，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 3 1 2 3
A．y 0，则y >y >y B．若a>0，则y >y >y
1 3 2 3 2 1
C．若a<0，则y >y >y D．若a<0，则y >y >y
1 3 2 2 3 1
【变式8-2】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）是
由抛物线 向右平移m个单位得到，若点 都在抛物线
y=2x2+8x+c A(m+a,y ),B(m+b,y ),C(m,y )
1 2 3
y=ax2+bx+c上，则y ,y ,y 之间的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y
