文档内容
第二十二章 二次函数（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版】
【培优篇】.....................................................................................................................................................................8
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】.................................................................................................8
【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】....................................................................................................11
【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】...............................................................................................17
【题型4 二次函数与几何变换】............................................................................................................................21
【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】...............................................................................................24
【拔尖篇】...................................................................................................................................................................27
【题型6 利用二次函数的性质求最值】................................................................................................................27
【题型7 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】...................................................................................30
【题型8 利用二次函数的性质比较大小】...........................................................................................................34
【题型9 二次函数与一次函数图象的综合应用】...............................................................................................37
【题型10 二次函数的应用】....................................................................................................................................47
【题型11 二次函数中的存在性问题】....................................................................................................................53
知识点 1 二次函数的概念
1. 一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，二次函
数的二次项系数、一次项系数分别是 a , b ，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.
一次项系数
常数项
y=ax2+bx+c 必须化为一般形式，
方可判断各项的系数
二次项系数
（ a 不 为 b,c没有
0） 条件限制
2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)
二次项系数不为0.
3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义.
知识点 2 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示
的函数的形式.
知识点 3 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1. 二次函数的图象和性质
函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性
a>0，x=0时，
y =0；
y=ax2 （0，0） y轴 最小值
a<0，x=0时，
y =0
a>0时，抛物线开口向上；
最大值
a>0，x=0时， 在对称轴右侧时,y随x的增大
y =k； 而增大；
y=ax2+k （0，k） y轴 最小值
a<0，x=0时， 在对称轴左侧时，y随x的增
y =k 大而减小；
最大值
a>0，x= ℎ时， a<0时，抛物线开口向下；
y=a(x−ℎ) 2 （ℎ
）
，0 x=
ℎ
a
y 最
<
小
0，
值 =
x=
0
ℎ
；
时，
在
大
对
而
称
增
轴
大
左
；
侧时，y随x的增
y =0
最大值 在对称轴侧右时，y随x的增
a>0，x= ℎ时， 大而减小
y=a(x−ℎ) 2+k
（ℎ
）
，k
x=
ℎ
a
y
最
<
小
0，
值
=
x=
k
ℎ
；
时，
y =k
最大值
2. 二次函数y=ax2 (a≠0) 的图象的画法
（1）列表：以x=0为中心，对称选取x值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般
在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将
各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线y=ax2 (a≠0)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法
画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧．
3. 几种二次函数图象间的平移规律例如：y=2(x−5) 2+3的图象是由y=2x2的图象先向上平移3个单位长度得到y=2x2+3的图象，再向右
平移5个单位长度得到的．反之，由y=2(x−5) 2+3的图象先向下平移3个单位长度得到y=2(x−5) 2的
图象，再向左平移5个单位长度得到y=2x2的图象．
知识点 4 二次函数 y=ax ² +bx+c ( a ≠0) 的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化成顶点式y=a(x−h) 2+k，其中
b 4ac−b2 b
h=− ，k= ，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=− ，顶点坐标为
2a 4a 2a
( b 4ac−b2 )
− ， ．
2a 4a
2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
符号 a>0 a<0
函数图像
开口方向 向上 向下
b
对称轴 x=−
2a( b 4ac−b2 )
顶点坐标 − ，
2a 4a
在对称轴右侧时，y随x的增大 在对称轴左侧时，y随x的增大
而增大； 而增大；
增减性
在对称轴左侧时，y随x的增大 在对称轴右侧时，y随x的增大
而减小 而减小
b
当x=− 时,
2a b 4ac−b2
最值 当x=− 时,y =
4ac−b2 2a 最大值 4a
y =
最小值 4a
3.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a，b，c，b2−4ac的符号关系
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
抛物线开口向上 a>0
a(开口方向)
抛物线开口向下 a<0
b
对称轴在y轴右侧，即x=− >0 a、b异号
2a
b(对称轴位置、a的正负)
b
对称轴在y轴左侧，即x=− <0 a、b同号
2a
交于原点 c=0
c(抛物线与y轴交点位置) 交于y轴正半轴 c>0
交于y轴负半轴 c<0
与x轴有两个交点 b2−4ac>0
b2−4ac(与x轴交点个数) 与x轴有一个交点 b2−4ac=0
与x轴没有交点 b2−4ac<0
知识点 5 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知
数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)．
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（ℎ，k）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为y=a(x−h) 2+k(a≠0)，特殊地，若抛物线顶点在原点，则ℎ =k=0，设其解析式为y=ax2 (a≠0)．
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（x ，0），（x ，0），可设解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)．
1 2 1 2
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平
移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方
法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点
坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或
某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
y=ax2+bx+c(a≠0)关于x轴对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx−c；
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)关于x轴对称的抛物线的解析式：y=−a(x−ℎ) 2−k．
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
y=ax2+bx+c(a≠0)关于y轴对称的抛物线的解析式：y=ax2−bx+c；
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)关于y轴对称的抛物线的解析式：y=a(x+ ℎ) 2+k．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
b2
y=ax2+bx+c(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx+c− ；
2a
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−a(x−ℎ) 2+k．
知识点 6 二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的
图象与x轴交点的横坐标．（1）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点的横坐标分别为x ，x ，则x ，x 为一元二次方程
1 2 1 2
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根．
（2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：
a>0（示意图） a<0（示意图） 一元二次方程根的情况
有两个不相等的实数根
b2−4ac>0 −b±❑√b2−4ac
x =
1,2 2a
有两个相等的实数根
b2−4ac=0 b
x =x =−
1 2 2a
b2−4ac<0 无实数根
知识点 7 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
（1）画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；
（2）确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地
方．
通过列表求近似根的具体过程：
在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪
两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由x 取到x 时，对应y
1 2
的值出现y >0，y <0或y <0，y >0，那么x ，x 中必有一个是近似根，比较|y )与|y )的大小，若
1 2 1 2 1 2 1 2
|y )>|y )，则说明x 是近似根；反之，则说明x 是近似根．从图象上观察，（x，y）离x轴越近，y值越
1 2 2 1
接近0，而y=0时x的值就是方程的确切根．
知识点 8 二次函数与一元二次不等式的关系利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
（1）将一元二次不等式化为ax2+bx+c>0(或<0)的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2−4ac的值；
（3）作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零．
以y=ax2+bx+c(a>0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：
∆=b2−4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
一元二次方程
b
ax2+bx+c=0 x ，x x =x =− 没有实数根
1 2 1 2 2a
(a>0)的根
不等式
ax2+bx+c>0 xx x≠x 的一切实数 全体实数
1 2 1
(a>0)的解集
不等式
ax2+bx+c<0 x 0)的解集
知识点 9 利用二次函数解决实际问题
1. 一般步骤
(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证
结果是否符合实际．
2. 求二次函数最值
将解析式写成y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)的形式，当x=h时，y有最大（小）值k；若对二次函数
y=ax2+bx+c
b 4ac−b2
使用配方法，则当x=− 时，y有最大（小）值 ．
2a 4a
3. 实际问题与二次函数的联系转化
转化
实际问题 数学模型
回归
（抛物线形实物与轨迹问题） （二次函数的图象和性质）
拱桥问题
转化的关键 建立恰当的平面直角坐标系
抛物线形运抛物线形运
【培优篇】
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】
【例1】（2025·江西宜春·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与函数y=bx2−ax的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据a、b的正负不同，则函数y=ax+b与函数
y=bx2−ax的图象所在的象限也不同，针对a、b进行分类讨论，从而可以选出正确选项．
【详解】解：若a>0，b>0，则y=ax+b经过一、二、三象限，y=bx2−ax开口向上，对称轴为
−a a
− = >0，在y轴右侧，故A正确、C错误；
2b 2b
−a a
若a<0，b<0，则y=ax+b经过二、三、四象限，y=bx2−ax开口向下，对称轴为− = >0，在y
2b 2b
轴右侧，故B、D错误；
故选：A．
【变式1-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y=cx+ab的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，
b，c的大小是解题的关键．
先求出a<0，b<0，c<0再判断一次函数图象即可．
【详解】∵二次函数图象开口向上，
∴a>0；
∵对称轴在y轴右侧，
b
∴− >0，
2a
∴b<0；
∵与y轴交点在负半轴，
∴c<0．
对于一次函数y=cx+ab，c<0，a>0，b<0，故ab<0，
∴一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
【变式1-2】（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与一次函数
y=kx+c图象如图所示，则函数y=−ax2−bx+kx+1图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的性质，根据所给二次函数解析式可知，二次函数的
图象过定点(0,1)，据此可解决问题．
【详解】解：因为二次函数解析式为y=−ax2−bx+kx+1，
所以当x=0时，y=1，
则此二次函数的图象过定点(0,1)，
显然只有D选项符合题意．
故选：D．
【变式1-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=m(x+n) 2和一次函
数y=mx+n(m≠0,n≠0)的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得
到m,n的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及
二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：从一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)的图象开始：
A、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m<0,n>0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m<0可知，抛物线开口向下；由n>0可知，抛物线对称轴x=−n<0，
对称轴在y轴左侧，与选项图象一致，
故A图象正确，符合题意；
B、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m>0,n>0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m>0可知，抛物线开口向上；由n>0可知，抛物线对称轴x=−n<0，
对称轴在y轴左侧，与选项图象不一致，
故B图象错误，不符合题意；
C、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m>0,n<0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m>0可知，抛物线开口向上；由n<0可知，抛物线对称轴x=−n>0，
对称轴在y轴右侧，与选项图象不一致，
故C图象错误，不符合题意；
D、由图可知，一次函数y=mx+n(m≠0,n≠0)中，m<0,n>0，
∴对于二次函数y=m(x+n) 2，由m<0可知，抛物线开口向下；由n>0可知，抛物线对称轴x=−n<0，
对称轴在y轴左侧，与选项图象不一致，
故D图象错误，不符合题意；
故选：A．
【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】
【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，给出下列命
题：①abc<0；②2a+b=0；③3a+c=0；④m(am+b)≥a−b（m为任意实数）；⑤4ac−b2<0．其
中正确的命题有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及
二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵抛物线的对称轴是直线x=− =−1，
2a
∴b=2a>0，
∵抛物线交于y轴的负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，①说法正确；
∵b=2a，
∴2a−b=0，②说法错误；
∵抛物线与x轴交于(1,0)，
∴a+b+c=0，
∴3a+c=0，③说法正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=−1，且开口向上，
∴函数最小值为a−b+c，
∴am2+bm+c≥a−b+c，
∴m(am+b)≥a−b，④说法正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，⑤说法正确；
综上所述，正确的有①③④⑤．
故选：D．【变式2-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象
如图所示，对称轴为直线x=−1，则下列判断中，错误的是（ ）
A．c<−3a
B．若点A(b−3,y )，B(b−1,y )在该抛物线上，且在x轴的下方，则y 0)一定有两个不相等的实数根
D．m(am+b)≥−a（m为实数）
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数
图象来判断各项系数的正负，可判断选项A；根据b<0可知点A和B都在对称轴左侧，且点A离对称轴距
离远，即y 0，
∴b<0，
∴点A(b−3,y )和B(b−1,y )都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远．
1 2
∵该抛物线上的点在对称轴的左边离对称轴距离越远，点的纵坐标越小，∴ y 0时，抛物线y=ax2+bx+c与y=−k的图象有两个交点，
∴ ax2+bx+c+k=0有两个不相等的实数根，故C正确；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为(−1,a−b+c)，
∴ y =a−b+c=−a+c，
最大
∴am2+bm+c≤−a+c，即m(am+b)≤−a，故D错误．
故选：D．
【变式2-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于
点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③方程
8 4
ax2+bx+c−1=0的两根和为1；④若−2y 时，m< ；其中正确结论的个数为（ ）
2 1 2 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可
b
判断 ，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断 由根与系数的关系可得出x +x =− ，由b=−2a代
1 2 a
① ②
1 2
入即可判断 ，求出c=−3a，进一步得到 0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b<0，
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴∵ c<0，
∴bc>0，故 错误；
∵二次函数①y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，
∴②x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
b
∴− =1，
2a
∵b=−2a，
∴3a+c=0，
c<0，
∴∵ 3a+2c<0，故 正确；
设方程ax2+bx+②c−1=0的两根为x
1
和x
2
，
③ b
x +x =− ，
1 2 a
∴
∵b=−2a，
b −2a
x +x =− =− =2≠1，故 错误．
1 2 a a
∴ ③
∵−2y ，
1 2
∵ 3
m< ，则 正确；
2
∴ ⑤
故选：C．
【变式2-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点
A(−3,0)，与y轴交于点B，其对称轴为直线x=−1，则下列说法：①abc>0；②5a+2c>0；③抛物线
( c )
一定经过点 − ,0 ﹔④关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根；⑤若
3a
P(x ,y ),Q(x ,y ) （其中x 0，又∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−3,0)，其对称轴为x=−1，
b
∴9a−3b+c=0，− =−1，
2a
∴b=2a，3a+c=0，
①∵a<0，c>0，
∴b=2a<0，
∴abc>0，故结论①正确；
②∵3a+c=0，
∴c=−3a，
∴5a+2c=5a−6a=−a>0，故结论②正确，
c −3a
∴− =− =1，
3a 3a
③当x=1时，y=a+b+c=a+2a+(−3a)=0，
( c )
∴抛物线一定经过点(1，0)，即抛物线一定经过点 − ,0 ，故结论③正确；
3a
∵b=2a，c=−3a，
∴ax2+(b+1)x+c+1=0可化为：ax2+(2a+1)x+(1−3a)=0，
∵Δ=(2a+1) 2−4a(1−3a)=16a2+1>0，
∴方程ax2+(2a+1)x+(1−3a)=0有两个不相等的实数根，
即关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根，故结论④正确．
⑤∵抛物线二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下，其对称轴为x=−1，
∴当x<−1时，y的值随x值的增大而增大；
当x≥−1时，y的值随x值的增大而减小，
∵x +x <−2，x x −(−1)，此时y −1−x ，y 0
∵点P在第一象限
−(b−1) −(b−1)
∴点P横坐标 >0，纵坐标 −1>0
2a 2a
−(b−1)
∴ >1
2a
∴−(b−1)>2a
∴2a+b<1
(b−1) 2
代入a= 得：b2<1
4
∴−1−1时m随b的增大而增大
∵b<1且b=1时m=22−2=2
∴−20
2a
且a<0 ，可得b>0 ，再根据a=b−1、a<0，可得S的变化范围．
【详解】将点(0，1)代入y=ax2+bx+c(a≠0)中
可得c=1
将点(-1，0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)中
可得a=b−1
∴S=a+b+c=2b
∵二次函数图象的顶点在第一象限
b
∴对称轴x=− >0 且a<0
2a
∴b>0∵a=b−1，a<0
∴S=2a+2<0
∴00)上，设抛物线的对称轴为直线x=t．当m=n时，t的值为 ；点(x ,m)(x ≠1)在
0 0
抛物线上，若m0)，解得b=−4a，即可得到t的值；根据
m0)，得
{
a+b+c=m
)
9a+3b+c=n ，
m=n
解得b=−4a，
b −4a
∴x=t=− =− =2；
2a 2a
∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∵m0
），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么k应满足条件 ．
【答案】00且
−10+k≠0，然后解不等式组得到k的取值范围．
【详解】解：∵二次函数y=x2+4x−10向上平移k个单位长度k>0，
∴平移后的抛物线解析式为y=x2+4x−10+k，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，
∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，∴Δ=42−4(−10+k)>0且−10+k≠0，
解得k<14且k≠10，
∴k的取值范围为0y >0的整数x共有（ ）
2 2 1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据
二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为(2,0)，然后根据图象可知当y >y >0时，x的
2 1
取值范围为2y >0时，x的取值范围为2y >0的整数x只有3一个；
2 1
故选：A．
【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以(2,5)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x
轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（ ）
A．20，
∴图象开口向上，当x=-1时，y有最小值-5，
当x=-3时，y=-1；当x=0时，y=-4，
∴当−3 ；④若抛物线C :y =ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是
5 2 2
2
≤a<2；⑤不等式mx2−4mx+2n>0的解作为函数C 的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其
25 1
中正确的序号是 ．【答案】①③④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
根据二次函数的性质逐一判断即可．
b −4m
【详解】解：①抛物线的对称轴为直线x=− =− =−2，故①正确；
2a 2m
②当x=0时，y=2n−1，即抛物线与y轴交点坐标为(0,2n−1)，故②错误；
③ 把A点坐标(−1,2)代入抛物线解析式，整理得∶2n=3−5m
再代入y =mx2−4mx+2n−1，整理得：y =mx2−4mx+2−5m
1 1
由已知抛物线与x轴有两个交点，则：
b2−4ac=(−4m) 2−4m(2−5m)>0，整理得∶36m2−8m>0，即4m(9m−2)>0，
∵开口向上，
∴ m>0，
∴9m−2>0，
2
解得：m> ，
9
而抛物线与y轴负半轴相交，
∴2−5m<0，
2
解得：m> ，
5
2
∴m> ，故③正确；
5
④由抛物线的对称性，B点的坐标为B(5,2)，
当抛物线C :y =ax2(a≠0)经过A点时a=2，此时抛物线C :y =ax2(a≠0)与线段AB有两个公共点，
2 2 2 2
2
当抛物线C :y =ax2(a≠0)经过B点时a= ，
2 2 25
∵其与线段AB恰有一个公共点，
2
∴ ≤a<2，故④正确；
25
⑤∵mx2−4mx+2n>0，
∴mx2−4mx+2n−1>−1，
即不等式mx2−4mx+2n>0的解作为函数C 的自变量的取值时，对应的函数值大于−1，故⑤错误；
1故答案为：①③④．
【拔尖篇】
【题型6 利用二次函数的性质求最值】
【例6】（2025·安徽淮北·三模）抛物线y=ax2−4ax经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐
标为(2,−4)．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作PQ⊥x轴，且点Q在一次函数y=x−4的图象上．当
14时，并结合一次函数和二次函数的图象和性质解
答，即可．
【详解】解：设y =−x−1，y =x2−4x−5，
1 2
∵y = y 时，−x−1=x2−4x−5，
1 2
解得：x =−1，x =4，
1 2
分两种情况讨论：
当−x−1≥x2−4x−5，即−1≤x≤4时，y=max(−x−1,x2−4x−5)=−x−1，
∵1>0，y随x的增大而减少，
∴当x=4时，该函数的值最小，最小值为−5；
②当−x−14时，y=max(−x−1,x2−4x−5)=x2−4x−5=(x−2) 2−9，
∴当x>4时，y随x的增大而增大，当x<−1时，y随x的增大而减小，
∵|4−2)<|2−(−1))，
∴当x=4时，该函数的值最小，最小值为−5；
综上所述，该函数的最小值为−5．
故答案为：−5．
【变式6-2】（2025·安徽六安·一模）已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）．
（1）若抛物线经过点(−6,4)，则该抛物线的对称轴为 ；
3
（2）若抛物线的对称轴为直线x= ，点(−1,m)，(1,n)在抛物线上，则mn的最大值为 ．
2【答案】 直线x=−3 18
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．
b
（1），将(−6,4)代入y=ax2+bx+4，得到a与b的关系，根据对称轴为x=− 即可求解；
2a
3
（2）根据对称轴为直线x= 得到b=−3a，得到y=ax2−3ax+4．将(−1,m)和(1,n)分别代入，得到
2
m=4a+4，n=−2a+4，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）由题知，将(−6,4)代入y=ax2+bx+4得：36a−6b+4=4，则b=6a，所以抛物线的对
b 6a
称轴为直线x=− =− =−3；
2a 2a
3 b 3
（2）因为抛物线的对称轴为直线x= ，所以− = ，则b=−3a，
2 2a 2
所以抛物线的表达式可表示为y=ax2−3ax+4．
将(−1,m)和(1,n)分别代入抛物线的表达式得：
m=4a+4，n=−2a+4，
所以mn=(4a+4)(−2a+4)=−8a2+8a+16=−8 ( a− 1) 2 +18，
2
( 1) 2 ( 1) 2
因为 a− ≥0，所以−8 a− +18≤18，即mn≤18，
2 2
所以mn的最大值为18．
故答案为：直线x=−3，18．
【变式6-3】（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数
称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”y=x+1，其“半值点”为(−2,−1)．
8
（1）函数y= 的图象上的“半值点”是 ．
x
（2）若关于x的函数y=x2+ ( m−k+ 1) x+ n 的图象上存在唯一的“半值点”，且当−1≤m≤1时，n的
2 4
最小值为k，则k的值为 ．
3+❑√5
【答案】 (4,2)和(−4,−2) 0或
2
【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与
性质是解题的关键；8 ( a)
（1）设函数y= 的图象上的“半值点”的坐标是 a, ，则可求出a=±4，然后问题可求解；
x 2
（2）由题意易得 1 x=x2+ ( m−k+ 1) x+ n ，则有n=(m−k) 2，然后可分当−11时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解．
8 ( a)
【详解】解：（1）设函数y= 的图象上的“半值点”的坐标是 a, ，则有：
x 2
a
a⋅ =8，
2
解得：a=±4，
8
∴函数y= 的图象上的“半值点”的坐标是(4,2)和(−4,−2)，
x
故答案为(4,2)和(−4,−2)；
（2）由题意得： 1 x=x2+ ( m−k+ 1) x+ n ，
2 2 4
n
整理得：x2+(m−k)x+ =0，
4
n
∴Δ=(m−k) 2−4× =0，即n=(m−k) 2，
4
此时可看作是n与m成二次函数关系，
即当m=k时，n有最小值，
∵−1≤m≤1，
∴当−11时，此时n随m的增大而减小，
∴当m=1时，n有最小值k，即(1−k) 2=k，
3+❑√5 3−❑√5
解得：x = ,x = （不符合题意，舍去），
1 2 2 2
3+❑√5
综上所述：k的值为0或 ；
2
3+❑√5
故答案为0或 ．
2【题型7 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】
【例7】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于x的二次函数y=3x2−6mx+4m2+2m+2,，其中
m为实数，当－2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ；
5
【答案】 −1+❑√3 −
2
【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的性质，正确理解二次函数的性质是本题解题的关键．
由题求得抛物线的对称轴为直线x=m，分类讨论m<−2，−2≤m≤1，m>1，根据函数的增减性，即可得
出答案．
【详解】解：原式变形为y=3(x−m) 2+m2+2m+2，
∴对称轴为x=m，
∵二次函数当−2≤x≤1时，y有最小值为4，
∴①当−2≤m≤1时，
当x=m时，y有最小值为4，
∴m2+2m+2=4，
解得：m =−1+❑√3,m =−1−❑√3(舍去)，
1 2
②当m<−2时，
当x=−2，y有最小值为3×(−2) 2−6m×(−2)+4m2+2m+2=4，
化简整理得2m2+4m+5=0，
5
解得：m =− （舍去），m =−1（舍去），
1 2 2
③当m>1时，
当x=1，y有最小值为3×12−6m×1+4m2+2m+2=4，
化简整理得4m2−4m+1=0，
1
解得：m= （舍去），
2
5
满足条件的m的值为−1+❑√3或− ．
2
5
故答案为：−1+❑√3；− ．
2
【变式7-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）当n≤x≤n+1时，若二次函数y=x2−4x+3的最大值为2，
则n的值为 ．【答案】2−❑√3或1+❑√3
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，由
y=x2−4x+3=(x−2) 2−1，可得抛物线开口向上，当x=2时，y取最小值为−1，从而抛物线上的点离对
称轴越远函数值越大，则当x=n时或当x=n+1时，y取最大值，进而分当x=n时，y取最大值，此时
2n+1 3 2n+1 3
<2，即n< 和当x=n+1时，y取最大值，此时 >2，即n> ，分别进行计算可以得解．
2 2 2 2
【详解】解：由题意，∵y=x2−4x+3=(x−2) 2−1，
∴抛物线开口向上，当x=2时，y取最小值为−1．
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大．
∴当x=n时或当x=n+1时，y取最大值．
2n+1 3
①当x=n时，y取最大值，此时 <2，即n< ．
2 2
又∵此时y最大值为n2−4n+3=2，
∴n=2+❑√3（不合题意，舍去）或n=2−❑√3．
2n+1 3
②当x=n+1时，y取最大值，此时 >2，即n> ．
2 2
又∵此时y最大值为(n+1) 2−4(n+1)+3=n2−2n=2，
∴n=1+❑√3或n=1−❑√3（不合题意，舍去）．
综上，n=2−❑√3或1+❑√3．
故答案为：2−❑√3或1+❑√3．
【变式7-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）定义：平面内任意两点P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
d =|x −x )+|y −y )称为这两点之间的曼哈顿距离．若P(1,2)，Q(3,−4)，则d = ．若点A为
PQ 1 2 1 2 PQ
1
抛物线y=x2上的动点，点B为直线y= x+b上的动点，并且抛物线与直线没有交点，d 的最小值为1，
2 AB
则b的值为 ．
17
【答案】 8 −
16【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的两点之间的距离，二次函数的极值，二次函数与一次函数的
交点问题，
先根据定义解答①；再根据两个图象没有交点求出b的取值范围，然后说明当A，B两点的横坐标相等
时，即m=n时，d 取最小值1，接下来根据二次函数的性质讨论最小值，并求出答案．
AB
【详解】解：根据题意，得d =|1−3)+|2−(−4))=2+6=8；
PQ
1
∵抛物线y=x2与直线y= x+b没有交点，
2
1
∴一元二次方程x2− x−b=0没有实数根，
2
1 2
即(− ) −4×(−b)<0，
2
1
解得b<− ．
16
1
设点A(m,m2 ),B(n, n+b)，
2
∴d =|m−n)+ | m2− 1 n−b ) ．
AB 2
∵抛物线与直线没有交点，且d 的最小值是1，
AB
∴当A，B两点的横坐标相等时，即m=n时，d 取最小值1，
AB
∴d = | m2− 1 m−b ) = | (m− 1 ) 2 − 1 −b ) ．
AB 2 4 16
1 | 1 )
当m= 时， − −b =1，
4 16
17 15
解得b=− 或b= （舍去）．
16 16
17
所以b=− ．
16
17
故答案为：8；− ．
16
【变式7-3】（2025·广西·一模）已知抛物线y=−x2−2bx+c(b<0)，当0≤x≤2时，抛物线的最大值与最
小值的差为2，则b的值是 ．
【答案】−2+❑√2或−❑√2
【分析】本题考查了二次函效的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．根据题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法即可求解．
【详解】解：y=−x2−2bx+c=−(x+b) 2+b2+c，
抛物线对称轴为：直线x=−b，顶点坐标为(−b,b2+c)．
∵−1<0，
∴抛物线开口向下．
当x=2时，y=−4−4b+c；
当x=0时，y=c．
①当0<−b≤1，即−1≤b<0时，如图1．
当x=−b时，y =b2+c，
最大值
当x=2时，y =−4−4b+c，
最小值
∴b2+c−(−4−4b+c)=2，
解得b =−2+❑√2，b =−2−❑√2<−1（不合题意，舍去）；
1 2
②当1<−b≤2，即−2≤b<−1时，如图2．
当x=−b时，y =b2+c，
最大值
当x=0时，y =c，
最小值∴b2+c−c=2，
解得b =−❑√2，b =❑√2>0（不合题意，舍去）；
1 2
③当−b>2，即b<−2时，如图3．
当x=2时，y最大值=−4−4b+c，
当x=0时，y =c，
最小值
∴−4−4b+c−c=2，
3
解得b=− >−2（不合题意，舍去）．
2
综上所述，b的值为−2+❑√2或−❑√2．
【题型8 利用二次函数的性质比较大小】
【例8】（2025·福建福州·二模）已知抛物线y=ax2+bx(a>0)上有三点(2,y )，(4,y )，(6,y )．若
1 2 3
y y <0，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 3 1 2 3
A．y 0求出−6a0，计算出y −y >0，y −y >0，即可得解，熟练掌握以上知识点并
1 3 2 1 3 2
灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx(a>0)上有三点(2,y )，(4,y )，(6,y )，
1 2 3
∴y =4a+2b，y =16a+4b，y =36a+6b，
1 2 3
∵y y <0，
1 3
∴(4a+2b)(36a+6b)<0，
∴12(2a+b)(6a+b)<0，∴(2a+b)(6a+b)<0，
∵a>0，
∴6a+b>2a+b，
{2a+b<0)
∴ ，
6a+b>0
∴−6a0，
1 3
∵y −y =16a+4b−(4a+2b)=12a+2b>0，y −y =36a+6b−(16a+4b)=20a+2b>0，
2 1 3 2
∴y 0，则y >y >y B．若a>0，则y >y >y
1 3 2 3 2 1
C．若a<0，则y >y >y D．若a<0，则y >y >y
1 3 2 2 3 1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴和开口方向的问题，熟练掌握相关知识是解决问题的关
键．由题可知，对称轴为x=−2，进而分两种情况讨论：①a>0；②a<0，根据抛物线的增减性得出结
论．
4a
【详解】解：对称轴为x=− =−2，
2a
当a>0时，
∵ x <−2y >y ，故A，B不正确，不符合题意；
2 3 1
同理当a<0时，y >y >y ，故D不正确，不符合题意．
1 3 2
故选：C．
【变式8-2】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）是
由抛物线y=2x2+8x+c向右平移m个单位得到，若点A(m+a,y ),B(m+b,y ),C(m,y )都在抛物线
1 2 3
y=ax2+bx+c上，则y ,y ,y 之间的大小关系是（ ）
1 2 3A．y 0以及直线与二次函数联立有且只有一个交点三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：整理y=x2−2mx+m2+m+1，
可得：y=(x−m) 2+m+1，
∴图像C的顶点坐标为(m,m+1)；
（2）解：当y=0时，
可得：x2−2mx+m2+m+1=0，
∴ Δ=b2−4ac=(−2m) 2−4×1×(m2+m+1)，
整理得：Δ=−4(m+1)，
当m<−1时，Δ=−4(m+1)>0，
∴方程x2−2mx+m2+m+1=0有两个不相等的实数根，
∴图像C与x轴有两个交点；
（3）解：一次函数y=mx+m（m是常数，m≠0，−1≤x≤2）的图像为线段AB，
当x=−1时，y=0，当x=2时，y=3m，
∴点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(2,3m)．
①当m>0时，
依题意，图像C与线段AB恰有一个公共点，
如图，
当x=−1时，y=(−1−m) 2+m+1≥0，
解得：m≥−1或m≤−2，当x=2时，y=(2−m) 2+m+1≤3m，
解得：1≤m≤5，
∴1≤m≤5；
②当m<0时，
{(−1−m) 2+m+1≤0)
，
(2−m) 2+m+1≥3m
解得：−2≤m≤−1；
③当一次函数y=mx+m与二次函数y=x2−2mx+m2+m+1联立方程，得，
x2−2mx+m2+m+1=mx+m一元二次方程有且只有两个相等实数根时：
整理得x2−3mx+m2+1=0，
△=(3m) 2−4×(m2+1)=0，
2❑√5 3❑√5 3❑√5
解得，m=± 此时，交点横坐标分别为x= 或− （不在x取值范围舍去）；
5 5 5
2❑√5
综上所述，m= 或1≤m≤5或−2≤m≤1时，图像C与线段AB恰有一个公共点．
5
1
【变式9-1】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，以A为顶点的抛物线y= (x−m) 2+k交直线AB：
2
3 1
y=− x− 于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C．
2 2(1)当m=3，k=−5时，求该抛物线与y轴的交点坐标．
(2)嘉嘉说：k与m满足一次函数k=am+b，请帮助嘉嘉求出a和b的值．
(3)若BC=2m+4．
①求该抛物线的函数表达式；
S 1
②在直线BC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得 △BCP = ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不
S 3
△ABC
存在，请说明理由．
( 1)
【答案】(1) 0,−
2
3 1
(2)a=− ，b=−
2 2
(3)①y= 1 (x−1) 2−2；②点P的坐标为 ( 1− 4❑√3 , 2) 或 ( 1+ 4❑√3 , 2) 或 ( 1− 2❑√6 ,− 2) 或
2 3 3 3 3 3 3
( 2❑√6 2)
1+ ,−
3 3
1
【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为y= (x−3) 2−5，求出当x=0时的y的值即可得解；
2
3 1 3 1
（2）由抛物线解析式得出A(m,k)，将A(m,k)代入y=− x− 得出k=− m− ，即可得解；
2 2 2 2
( 5) ( 5) 3 1
（3）①由题意可得抛物线的对称轴为直线x=m，求出B −2, ，再将B −2, 、k=− m− 代入抛
2 2 2 2
物线解析式计算即可得解；②由①可得：A(1,−2)，B ( −2, 5) ，y= 1 (x−1) 2−2，根据
2 2
1
BC⋅|y )
S 2 P |y ) |y ) 1 2 2
△BCP = = P = P = 并结合题意得出y = 或y =− ，分别求解即可．
S 1 |y ) 2 3 P 3 P 3
△ABC BC⋅|y ) A
2 A
1
【详解】（1）解：当m=3，k=−5时，抛物线的解析式为y= (x−3) 2−5，
2
当x=0时，y= 1 ×(0−3) 2−5=− 1 ，此时该抛物线与y轴的交点坐标为 ( 0,− 1) ；
2 2 21
（2）解：∵A为顶点的抛物线y= (x−m) 2+k，
2
∴A(m,k)，
3 1 3 1
将A(m,k)代入y=− x− 得：− m− =k，
2 2 2 2
3 1
即k=− m− ，
2 2
∵k与m满足一次函数k=am+b，
3 1
∴a=− ，b=− ；
2 2
1
（3）解：①∵抛物线y= (x−m) 2+k，
2
∴抛物线的对称轴为直线x=m，
∵BC=2m+4，
1 1
∴x =m− BC=m− ×(2m+4)=−2，
B 2 2
3 1 3 1 5 ( 5)
在y=− x− 中，当x=−2时，y=− ×(−2)− = ，即B −2, ，
2 2 2 2 2 2
将B ( −2, 5) 、k=− 3 m− 1 代入抛物线解析式可得： 5 = 1 (−2−m) 2+ ( − 3 m− 1) ，
2 2 2 2 2 2 2
解得：m=−2或m=1，
当m=−2时，BC=0，故不符合题意，舍去；
3 1
当m=1时，k=− m− =−2，
2 2
1
∴抛物线的解析式为y= (x−1) 2−2；
2
②由①可得：A(1,−2)，B ( −2, 5) ，y= 1 (x−1) 2−2，
2 2
1 1
∵S = BC⋅|y )，S = BC⋅|y )，
△ABC 2 A △BCP 2 P
1
BC⋅|y )
S 2 P |y ) |y ) 1
∴ △BCP = = P = P = ，
S 1 |y ) 2 3
△ABC BC⋅|y ) A
2 A
2
∴|y )= ，
P 3∵点P在直线BC下方的抛物线上，
2 2
∴y = 或y =− ，
P 3 P 3
当y = 2 时， 1 (x−1) 2−2= 2 ，解得：x=1+ 4❑√3 或1− 4❑√3 ，此时P ( 1− 4❑√3 , 2) 或 ( 1+ 4❑√3 , 2) ；
P 3 2 3 3 3 3 3 3 3
当y =− 2 时， 1 (x−1) 2−2=− 2 ，解得：x=1+ 2❑√6 或1− 2❑√6 ，此时P ( 1− 2❑√6 ,− 2) 或
P 3 2 3 3 3 3 3
( 2❑√6 2)
1+ ,− ；
3 3
( 4❑√3 2) ( 4❑√3 2) ( 2❑√6 2) ( 2❑√6 2)
综上所述，点P的坐标为 1− , 或 1+ , 或 1− ,− 或 1+ ,− ．
3 3 3 3 3 3 3 3
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【变式9-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知二次函数y=x2−x+q的图象经过点(0,−2)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求当−2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y=(2−m)x+2−m的图象与二次函数y=x2−x+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且
a<30，根据根与系数的关系可
得出a,b的值，然后根据a<30，
化简得m2−10m+25>0，
即(m−5) 2>0，
解得m≠5，
∴a,b为方程(x+1)[x−(4−m)]=0的两个解，又∵a<33，
∴m<1，
综上所述，m的取值范围为m<1．
【变式9-3】（2025·广东汕尾·二模）【问题背景】
抛物线y=−x2−2x+c的图象与x轴交于点A(−3,0)，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数
y=−x+b的图象交于点A，E．
【构建联系】
（1）填空：b=______，c=______，点E的坐标为______．
（2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接PA，PE，当S =10时，求点P的坐标．
△PAE
【深入探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿AC的方向平移2❑√5个单位长度，得到点B′．若将线段BB′沿
EA的方向平移，得到线段MN，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出
点N的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）−3；3；(2,−5)
（2）(−2,3)
（3）能，点N的坐标为(2,5)或(−❑√10,7+❑√10)
{ y=−x−3 )
【分析】（1）根据待定系数法即可求出b、c的值，联立方程组 ，解方程组即可求出点
y=−x2−2x+3E的坐标；
（2）过点P作PQ∥y轴，交AE于Q，设P(x,−x2−2x+3)，则Q(x,−x−3)，
1
PQ=−x2−2x+3−(−x−3)=−x2−x+6，根据S =10，得 (3+2)(−x2−x+6)=10，解方程即可
△PAE 2
求解；
（3）过B′作B′H⊥x轴于H，过C作CG⊥x轴于G，证明△CGA≌△B′HB，得出
AG=BH=−1−(−3)=2，CG=B′H=4，则B′(3,4)，根据待定系数法求出直线BP解析式y=−x+1，
则BP∥AE，故线段BB′沿EA的方向平移就是将线段BB′沿BP的方向平移，设M(x,−x+1)且x≤1，则
N(x+2,−x+5)，然后分PM=PN；PM=MN；PM=PN三种情况讨论，根据两点间距离公式构建关
于x的方程求解即可．
【详解】解：（1）把A(−3,0)代入y=−x+b，得3+b=0，
解得b=−3，
∴y=−x−3，
把A(−3,0)代入y=−x2−2x+c，得−(−3) 2−2×(−3)+c=0，
解得c=3，
∴y=−x2−2x+3，
{ y=−x−3 )
联立方程组 ，
y=−x2−2x+3
{ x=2 ) {x=−3)
解得 或 （舍去），
y=−5 y=0
∴E(2,−5)，
故答案为：−3，2，(2,−5)；
（2）过点P作PQ∥y轴，交AE于Q，设P(x,−x2−2x+3)，则Q(x,−x−3)，
∴PQ=−x2−2x+3−(−x−3)=−x2−x+6，
∵S =10，
△PAE
1
∴
(3+2)(−x2−x+6)=10，
2
解得x =−2，x =1
1 2
当x=1时，y=−x2−2x+3=0，此时点P在x轴上，不符合题意，舍去，
当x=−2时，y=−x2−2x+3=3，符合题意，
∴P(−2,3)；
（3）令y=−x2−2x+3=0，解得x =1，x =−3，
1 2
∴B(1,0)，
∵y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴C(−1,4)，
∴AC=❑√(−1+3) 2+42=2❑√5，
过B′作B′H⊥x轴于H，过C作CG⊥x轴于G，∵点B沿AC的方向平移2❑√5个单位长度，得到点B′，
∴AC∥BB′，AC=BB′，
∴∠CAG=∠BBH′，
又∠CGA=∠BHB′=90°，
∴△CGA≌△B′HB，
∴AG=BH=−1−(−3)=2，CG=B′H=4，
∴B′(3,4)，
设直线BP解析式为y=mx+n，
{ m+n=0 )
则 ，
−2m+n=3
{m=−1)
解得 ，
n=1
∴直线BP解析式y=−x+1，
又直线AE解析式为y=−x−3，
∴BP∥AE，
∴线段BB′沿EA的方向平移就是将线段BB′沿BP的方向平移，
∵平移，
∴MN=BB′=2❑√5
设M(x,−x+1)且x≤1，则N(x+2,−x+5)，
当PM=PN时，(x+2) 2+(−x+1−3) 2=(x+2+2) 2+(−x+5−3) 2，
解得x=3（不符合题意，舍去）；
当PM=MN时，(x+2) 2+(−x+1−3) 2=(2❑√5) 2 ，解得x =−2−❑√10，x =−2+❑√10（不符合题意，舍去），
1 2
∴x+2=−❑√10，−x+5=7+❑√10，
∴N(−❑√10,7+❑√10)；
当PM=PN时，(x+2+2) 2+(−x+5−3) 2=(2❑√5) 2 ，
解得x =0，x =−2（不符合题意，舍去），
1 2
∴x+2=2，−x+5=5，
∴N(2,5)；
综上，N的坐标为(−❑√10,7+❑√10)或(2,5)．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，平移的性质，二次函
数的图象与系数的关系，求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，解一元二次方程，解二元一次方
程组等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
【题型10 二次函数的应用】
【例10】（24-25九年级上·河南周口·期末）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运
动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点A(3,10)起跳，在起
跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y(m)与水平距离x(m)满足二次函数的关系．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离
3 3.5 4 4.5
x/m
竖直高度
10 11.25 10 6.25
y/m
根据上述数据，求y关于x的函数表达式．(2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题．
信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为n(m)，从到达最高点B开始计，则她到水面的
距离ℎ(m)与时间t(s)之间满足ℎ =−5t2+n．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，
运动员甲能否成功完成此动作？
【答案】(1)y=−5(x−3.5) 2+11.25
(2)运动员甲不能成功完成此动作
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．
（1）待定系数法求出解析式，即可；
（2）先求出n=11.25，再求出t=1.6时的h值，进行判断即可．
【详解】（1）解：由表格可知，图象过点(3,10)，(4,10)，(4.5,6.25)，
3+4
∴ℎ = =3.5，
2
∴设函数表达式为y=a(x−3.5) 2+k，
{ a(3−3.5) 2+k=10 )
∴ ，
a(4.5−3.5) 2+k=6.25
{ a=−5 )
解得： ，
k=11.25
∴y=−5(x−3.5) 2+11.25；
故答案为：3.5，y=−5(x−3.5) 2+11.25；
（2）解：y=−5(x−3.5) 2+11.25，
∴B(3.5,11.25)，
∴n=11.25，
∴ℎ =−5t2+11.25，
当t=1.6时，ℎ =−5×1.62+11.25=−1.55，
∵−1.55<0，
即运动员甲在水面上无法完成此动作，
∴运动员甲不能成功完成此动作．【变式10-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出
A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪
念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不
低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．
经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪
念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【答案】(1)每个A纪念品成本25元，每个B纪念品的成本35元
(2)a=70
【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每个A纪念品成本x元，每个B纪念品的成本y元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和
是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解；
（2）先根据利润公式求出W关于a的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A纪念品成本x元，每个B纪念品的成本y元，
{2x+3 y=155)
由题意得： ，
4x+ y=135
{x=25)
解得： ，
y=35
答：每个A纪念品成本25元，每个B纪念品的成本35元；
（2）解：由题意得，W =[a−(25+35))[80+10(72−a))=−10a2+1400a−48000，
1400
∵−10<0，对称轴为直线a=− =70，65≤a≤72且a为整数，
2×(−10)
∴当a=70时，W取最大值，
答：当a=70时，每天的利润W最大．
【变式10-2】（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方
1.8米的A点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数
y=ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距
离，图象经过点(2,3.2)，(4,4.2)．
信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
t（秒） 0 0.4 0.6 …
x（米） 0 4 6 …
(1)求y与x的函数关系式；
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当t为1.6秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y=−0.02x2+px+m（p
，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的
横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为________（直接写出结果）．
【答案】(1)y=−0.05x2+0.8x+1.8
(2)网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米
(3)p≤0.36
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）代入点(2,3.2)，(4,4.2)得到二元一次方程组求解即可；
（2）先求出球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）的关系式为x=10t，再由二次函数的性质求解；
（3）先求出击球点位置为(16,1.8)，再将(16,1.8)代入y=−0.02x2+px+m，求出
y=−0.02x2+px+6.92−16p，根据x=2时，y≥1.8，得到不等式，再解一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：∵图象经过点(2,3.2)，(4,4.2)，
{4a+2b+1.8=3.2
)
，
16a+4b+1.8=4.2
{a=−0.05)
解得： ，
b=0.8
∴y与x的函数关系式为y=−0.05x2+0.8x+1.8；
（2）解：由表格可知t=0,x=0，
∴设球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）的关系式为：x=kt(k≠0)，
代入(0.4,4)得：0.4k=4，
解得：k=10，
∴x=10t，对于y=−0.05x2+0.8x+1.8，a=−0.05<0，
∴开口向下，
0.8
∵对称轴为：直线x=− =8
2×(−0.05)
∴当x=8时，y ❑=−0.05×82+0.8×8+1.8=5，
max
此时10t=8，
解得：t=0.8，
∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米；
（3）解：由题意得，当t=1.6时，x=1.6×10=16，
∴y==−0.05×162+0.8×16+1.8=1.8，
∴击球点位置为(16,1.8)，
将(16,1.8)代入y=−0.02x2+px+m，
则−0.02×162+16p+m=1.8，
∴m=6.92−16p，
∴y=−0.02x2+px+6.92−16p，
∵x=2时，y≥1.8，
∴−0.02×22+2p+6.92−16p≥1.8，
解得：p≤0.36，
故答案为：p≤0.36．
【变式10-3】（2025·江西宜春·模拟预测）秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行
政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水
元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一．
某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水
管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为4m处达到最高，高度为9m
，水柱落地处离泉眼中心10m，如图2，以水平地面为x轴，水管OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标
系．(1)求水管OA的长度，
(2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为2.75m的景观射灯EF，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱．
①求景观射灯EF与OA之间的水平距离，
②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不
变，则水管OA要降低多少？
【答案】(1)水管OA的长度为5m
(2)①景观射灯EF与OA之间的水平距离为9m；②水管OA要下降2.75m
【分析】该题考查了二次函数的应用．
（1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令x=0求出y值，即可求解；
（2）①把y=2.75代入解析式，即可求解；
②求出降低水管后的水柱所在抛物线的解析式，然后代入x=0求出y值，然后求出解答即可．
【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点N的坐标为(4,9)，点B的坐标为(10,0)，
∴设第一象限抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+9(a≠0)．
把点B(10,0)代入，得36a+9=0，
解得a=−0.25，
∴第一象限抛物线的解析式为y=−0.25(x−4) 2+9．
∵当x=0时，y=5，
∴OA=5m．
答：水管OA的长度为5m．
（2）解：①当y=2.75时，2.75=−0.25(x−4) 2+9，
0.25(x−4) 2=9−2.75，
(x−4) 2=25，解得x =9,x =−1（不合题意，舍去）．
1 2
答：景观射灯EF与OA间的水平距离为9m．
②设降低水管后，水柱所在的抛物线的解析式为y=−0.25(x−4) 2+b，
∵经过点F(9,0)，
∴−0.25×25+b=0，
解得b=6.25，
∴y=−0.25(x−4) 2+6.25．
当x=0时，y=2.25，
∴5−2.25=2.75(m)，
答：水管OA要下降2.75m．
【题型11 二次函数中的存在性问题】
【例11】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,0)，B(3,0)两
点，与y轴交于点C(0,6)，M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标；
(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为Q，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使以A，
P，Q，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)y=2x2−8x+6，(2,−2)；
( 3) ( 3)
(2)点Q的坐标为 3,− 或(1,−2)，当点Q的坐标为 3,− 时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再
2 2
1
向上平移 个单位长度；当点Q的坐标为(1,−2)时，原抛物线向左平移1个单位长度．
2【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可
（2）设P(2,m)，分三种情况讨论：①以AQ为对角线时，由AP2+AM2=PM2，求出m的值，再由中
( 3) 1
点坐标公式，求得Q 3,− ，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度；②
2 2
以AM为对角线时，点P在x轴上，则P(2,0)，从而求得Q(1,−2)，则平移的方向为向左平移1个单位长
度；③以AP为对角线时，矩形不存在
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质
是解题的关键
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C(0,6)，∴y=ax2+bx+6．
将A(1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+6，
{ a+b+6=0, ) { a=2 )
得 解得
9a+3b+6=0, b=−8
∴抛物线的表达式为y=2x2−8x+6，
∴ y=2x2−8x+6=2(x−2) 2−2，
∴顶点M的坐标为(2,−2)；
（2）存在．
如图，设P(2,m)．
①以AQ为对角线．
此时AP2=(2−1) 2+m2=1+m2，AM2=(2−1) 2+22=5，M P2=(−2−m) 2，
∴ AP2+AM2=PM2，
1
即1+m2+5=(−2−m) 2，解得m= ．
2( 3)
∵ AQ，PM为矩形的对角线，∴由中点坐标公式，得Q 3,− ，
2
1
∴平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度．
2
②以AM为对角线．
∵ ∠APM=90°，∴点P在x轴上，∴ P(2,0)，则Q(1,−2)，
∴平移的方向为向左平移1个单位长度．
③以AP为对角线时，矩形不存在．
( 3) ( 3)
综上所述，点Q的坐标为 3,− 或(1,−2)，当点Q的坐标为 3,− 时，
2 2
1
原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移 个单位长度；
2
当点Q的坐标为(1,−2)时，原抛物线向左平移1个单位长度．
【变式11-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线
y=x2−bx−c经过点A(3,0),B(0,−4)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线AB于点N，是否存在以M,N,O,B为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
5
【答案】(1)y=x2− x−4；
3
( 16) ( 4)
(2)存在．当点M的坐标为 4, 或 −1,− 时，以M,N,O,B为顶点的四边形是平行四边形
3 3
【分析】本题考查了二次函数与平行四边形的存在性问题，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析
式，平行四边形的性质等知识点．
（1）运用待定系数法即可求解；（2）设点M ( m,m2− 5 m−4 ) ，求出直线AB的函数表达式为y= 4 x−4，由平行四边形可得BO∥MN
3 3
，用m代数式表示MN，再由BO=MN建立一元二次方程求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点A(3,0),B(0,−4)，
{0=9−3b−c)
∴ ，
−4=−c
{ b= 5 )
解得 3 ，
c=4
5
∴抛物线的表达式为y=x2− x−4；
3
（2）解：存在．设点M ( m,m2− 5 m−4 ) ，
3
∵A(3,0),B(0,−4)，
∴OB=4，
设直线AB:y=k x+b ，
1 1
{3k +b =0)
1 1
∴
b =−4
1
{ k = 4 )
解得： 1 3
b =−4
1
4
∴直线AB的函数表达式为y= x−4，
3
∵MN∥y轴，如答案图所示，( 4 )
∴N m, m−4 ，
3
∵BO∥MN，
∴要使以M,N,O,B为顶点的四边形是平行四边形，只需使MN=OB即可，
当点M在第一、二，三象限时，MN=m2− 5 m−4− (4 m−4 ) =m2−3m=OB=4，
3 3
解得：m =4,m =−1；
1 2
20 16
∵当m=4时，y=42− −4= ；
3 3
5 4
当m=−1时，y=1+ −4=− ，
3 3
( 16) ( 4)
∴M 4, ,M −1,− ；
1 3 2 3
当点M在第四象限时，MN= 4 m−4− ( m2− 5 m−4 ) =−m2+3m=OB=4，此时m无实数解．
3 3
( 16) ( 4)
∴综上所述，当点M的坐标为 4, 或 −1,− 时，以M,N,O,B为顶点的四边形是平行四边形．
3 3
【变式11-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x 轴交于
A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，求线段PE 的最
大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点M，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接
写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为y=x2−2x−3；
9 (3 15)
(2)PE有最大值 ，此时P ,− ；
4 2 4
( −3+❑√17)
(3)存在点M，使得以点M，B，C为顶点的三角形是直角三角形，点M的坐标为(1,2)或 1, 或
2
( −3−❑√17)
1, 或(1,−4)．
2
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求出BC解析式为y=x−3，设P(t,t2−2t−3)，则E(t,t−3)，则
PE=t−3−(t2−2t−3)=−t2+3t=− ( t− 3) 2 + 9 ，然后利用二次函数的性质即可求解；
2 4
（3）设M(1,m)，则有BM2=(3−1) 2+m2=m2+4，BC2=(3−0) 2+[0−(−3)) 2 =18，
MC2=(0−1) 2+(−3−m) 2=m2+6m+10，分①当BM2+BC2=MC2时，②当BM2+MC2=BC2时，
③当BM2=BC2+MC2时三种情况，再通过解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点
C(0,−3)，
设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x−3)，
∴−3=(0+1)(0−3)a，
解得：a=1，
∴抛物线的表达式为y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3；
（2）解：如图，
设BC解析式为y=k x+b 且过B(3,0)，C(0,−3)，
1 1
{3k +b =0) { k =1 )
1 1 1
∴ ，解得： ，
b =−3 b =−3
1 1
∴BC解析式为y=x−3，
∵P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，∴设P(t,t2−2t−3)，则E(t,t−3)，
∴PE=t−3−(t2−2t−3)=−t2+3t=− ( t− 3) 2 + 9 ，
2 4
3 9
∴当t= 时，PE有最大值 ，
2 4
(3 15)
此时P ,− ；
2 4
（3）解：存在点M，使得以点M，B，C为顶点的三角形是直角三角形，理由，
如图，
∵抛物线的表达式为y=x2−2x−3，
∴对称轴为直线x=1，
∵点M在对称轴上，
∴设M(1,m)，
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴BM2=(3−1) 2+m2=m2+4，BC2=(3−0) 2+[0−(−3)) 2 =18，
MC2=(0−1) 2+(−3−m) 2=m2+6m+10，
①当BM2+BC2=MC2时，
∴m2+4+18=m2+6m+10，
解得m=2，
∴M(1,2)，
②当BM2+MC2=BC2时，
∴m2+4+m2+6m+10=18，−3±❑√17
解得m= ，
2
( −3+❑√17) ( −3−❑√17)
∴M 1, 或 1, ；
2 2
③当BM2=BC2+MC2时，
∴m2+4=18+m2+6m+10，
解得m=−4，
∴M(1,−4)；
( −3+❑√17) ( −3−❑√17)
综上：点M的坐标为(1,2)或 1, 或 1, 或(1,−4)．
2 2
【变式11-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第
一象限斜靠在两坐标轴上，且点A，B的坐标分别为A(0,2)，B(1,0)，抛物线y=ax2−ax−2经过点C．
(1)求点C的坐标；
(2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P与点Q（点C，D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在，请求出P，Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(3,1)
(2)y=
1
x2−
1
x−2，顶点坐标为
(1
,−
17)
；
2 2 2 8
(3)Q(−2,1)，P(−1,−1)
【分析】（1）如图，作CE⊥x轴于点E，证明出△AOB≌△BEC(AAS)，得到OA=BE=2，
CE=OB=1，进而求解即可；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=
1
x2−
1
x−2=
1(
x−
1) 2
−
17
，即可得到顶点坐标为
2 2 2 2 8(1 17)
,− ；
2 8
（3）如图，以AB为边在AB的左侧作正方形ABPQ，过Q作QE⊥OA于E，PG⊥x轴于G，同（1）可
证△QEA≌△BGP≌△AOB，求出Q点坐标为(−2,1)，P点坐标为(−1,−1)．然后分别代入抛物
线验证即可．
【详解】（1）如图，作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABO+∠CBE=90°，AB=BC
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
又∵∠AOB=∠BEC
∴△AOB≌△BEC(AAS)，
∵A(0,2)，B(1,0)，
∴AO=2，BO=1，
∴OA=BE=2，CE=OB=1
∴OE=2+1=3，
∴C点坐标为(3,1)；
（2）∵抛物线经过点C(3,1)，
∴1=a×32−a×3−2，
1
∴a= ，
2
∴抛物线的解析式为y=
1
x2−
1
x−2=
1(
x−
1) 2
−
17
2 2 2 2 8
(1 17)
∴顶点坐标为 ,− ；
2 8
（3）在抛物线上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形．如图，以AB为边在AB的左侧作正方形ABPQ，过Q作QE⊥OA于E，PG⊥x轴于G，
同（1）可证△QEA≌△BGP≌△AOB，
∴QE=BG=AO=2，AE=PG=BO=1，
∴Q点坐标为(−2,1)，P点坐标为(−1,−1)．
1 1
由（2）抛物线y= x2− x−2，
2 2
当x=−2时，y=1；当x=−1时，y=−1．
∴P、Q在抛物线上．
故在抛物线上存在点Q(−2,1)、P(−1,−1)，使四边形ABPQ是正方形．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，
正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
