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第二十二章 二次函数 单元测试
总分：120分
考生姓名：
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第二章（二次函数）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下列四个点中，在抛物线 上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题可将四个选项中的坐标代入抛物线方
程中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
【详解】解：A．把 代入 得 ，故点 不在抛物线上．
B．把 代入 得 ，故点 不在抛物线上．
C．把 代入 得 ，故点 在抛物线上，
D．把 代入 得 ，故点 不在抛物线上．
故选：C．
2．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数 ， ， 为常数， ，顶点
坐标是 ，可得答案．
【详解】抛物线 的顶点坐标是 ,
故选：D．3．若函数 是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得 且 ，求解
即可．
【详解】∵函数 是关于x的二次函数，
∴ 且 ，
解得 ，
故选：B．
4．将抛物线 向左平移3个单位长度得到抛物线（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即
可．
【详解】解：将抛物线 向左平移3个单位长度得到抛物线是 ，
故选：A．
5．抛物线 与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴
的交点坐标，再解方程 得抛物线与x轴的交点坐标即可求解．
【详解】解：当 时， ，
∴抛物线与y轴的交点坐标为 ，
当 时， ，
∵ ，
∴方程 没有实数解，
∴抛物线 与x轴没有交点，
∴抛物线 与坐标轴有1个交点．
故选：B．6．若抛物线 与一次函数 的图象都经过同一定点，则代数式
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，可知抛物线经过定点 ，再将 代入 ，
可得 ，从而可求得代数式的值．
【详解】解： ，
抛物线必经过定点 ，
一次函数 也经过点 ，
，
，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，
代数式求值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，求出抛物线经过的定点是解题的关键．
7．现定义某种运算 ，若 ，那么 的取值范围是（ ）
A． B．x>2或 C．x>2 D．
【答案】A
【分析】由定义运算得： ，即解不等式 ，设 ，函数图象开口向上，
并且知道图象与 轴交点是 ， ，利用函数图象即可求出 的取值范围．本题考查了新定
义以及二次函数的图象性质，解答此题的关键是把解不等式的问题转化为二次函数，然后由图象
解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．
【详解】解：由定义运算得： ，
即解不等式 ，
设 ，函数图象开口向上，图象与 轴交点是 ， ，
由图象可知，当 时， ，
即 的取值范围 ．
故选：A．
8．观察下面的表格：判断方程 的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解．根据表格中的数据，可以发现： 时，
； 时， ，故一元二次方程 的一个解 的范围是
．
【详解】解：根据表格中的数据，知：
方程的一个解 的范围是： ．
故选：B．
9．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 开始沿 向点 以
的速度移动，动点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动，若 ， 两点分别从 ， 两
点同时出发， 点到达 点运动停止，则 的面积 随出发时间 的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象和性质．根据题意表示出 的面
积 与 的函数关系式，结合抛物线的图象和性质即可求解．
【详解】解：由题意可得： ， ，则 ，
则 的面积 ，
故 的面积 随出发时间 的函数图象是开口向下的抛物线．
故选：C．
10．如图，抛物线 与 轴交于点 顶点坐标是 ，与 轴交点的纵坐
标在 和-2之间(不含端点 在以下结论中：
；
；
；
关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根；
．
其中正确的结论有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、运用数形结合思想
分析问题是解题的关键．把点 代入解析式即可判断①；由顶点坐标得出对称轴，即可判
断②；根据抛物线的对称性求得x=2时， ，即可判断③；由图象可知抛物线
与直线 没有交点，即可判断④；求得 ，再结合 即可
判断 ．
【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ，
，故①正确；
抛物线的顶点坐标是 ，
，，
，故②错误，
抛物线 开口向上，与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，
抛物线 与 轴的另一个交点为 ，
时， ，
，故③正确；
抛物线 开口向上，顶点坐标为 ，
函数有最小值 ，
抛物线 与直线 没有交点，
关于 的一元二次方程 没有实数根，故④错误；
，
抛物线为 ，
与 轴交于点 ，
，
与 轴交点的纵坐标在 和-2之间(不含端点)，
．
．
，故 正确；
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数 (a，h，k为常数， )的性质， 是
抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是 ，对称轴是直线 ．
【详解】解：物线 的顶点坐标是 ．故答案为： ．
12．沿着x轴的正方向看，如果抛物线 在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线
开口向下，再建立不等式解题即可．
【详解】解：∵抛物线 在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
13．已知点 ， 在抛物线 上，则 （比较大小关系）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由 可得抛物线开口向上，且抛物线上的点距离对称
轴x=1的距离越远， 的值也越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，且抛物线上的点距离对称轴x=1的距离越远， 的值也越大，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．已知二次函数 自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式 的
值等于 ．
x … 0 1 2 3 …
y … …
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物
线上点的坐标的特征求解．由表格可得抛物线对称轴为直线 ，然后根据对称性可求 时y
的值，进而求解．
【详解】解：由题可得抛物线经过点 ， ，∴抛物线对称轴为直线
∵抛物线经过点 ，
∴ 时 ，
即 ．
故答案为： ．
15．一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶 时，水面宽 ．若水面下降 ，则水面宽度为
米．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练地将实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．建
立适当的坐标系，先求出抛物线解析式，再把水面下降 时的 值代入解析式求出 的值即可．
【详解】解：如图建立直角坐标系，设抛物线的解析式为 ，
水面离拱顶 时，水面宽 ，
点 在抛物线上，
，
解得： ，
抛物线解析式为 ，
当水面下降 ，即 时， ，
解得： ， ，
此时水面宽度为 米，故答案为： ．
16．若二次函数 的部分图象如图所示，则方程 的解是
【答案】 ，
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与轴的交点坐标的
横坐标即为一元二次方程的解．图象法求一元二次方程的解即可．
【详解】解：根据图像可知，二次函数解析式对称轴为 ，
故可得函数与 轴交于 ，
故方程 的解是 ， ，
故答案为： ， ．
17．当 时，则二次函数 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值，二次函数的图象与系数的关系，把y=ax2+bx+c化成顶
点式，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．将二次
函数 化成顶点式，然后根据二次函数的图象与性质即可求得答案．
【详解】解：将二次函数 化成顶点式，得：
，
二次函数的顶点坐标为 ，
，
二次函数开口向上，
二次函数顶点的横坐标为 ，
二次函数顶点的横坐标满足 ，
当 时，二次函数 的最小值为 ，
故答案为： ．18．在平面直角坐标系中给出以下定义：点 ，点 ， ， ，则我们称B
是A的“跳跃点”．若二次函数 的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线
上，则a的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题
的关键是利用数形结合的思想．
先求出点C、D所在的直线表达式为 ，当 时，还出抛物线与直线 的大致图象，联
立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判
别式；当 时，不成立．
【详解】解：设二次函数图象上的两点为点C、D，
题意得点 的“跳跃点”为 ，将 代入 ，
得： ，
∴ ，则点C在直线 上，同理点D也在直线 上，
对于二次函数 ，
令 ，则 ，
解得： 或 ，
∴抛物线与x轴交于 和 ，
当 时，抛物线与直线 的大致图象如图：
直线 也经过 ，设为点D，另一个交点设为点C，
则联立直线 和抛物线的表达式得到 ，
则 ，
则 ，解得 ，则 ，而 ，
∴ ，
∴ ，
对于 ，化简为： ，
而直线 和抛物线在 时有两个交点，故
∴
∴ ，
∴ 且 ；
当 时，如图：
直线 不可能与抛物线在 时有两个交点，故舍，
综上： 且 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分．
19．已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是 ，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据题目给定的条件，选择恰当的
方法设出关系式是解题的关键．
设顶点式 ，然后把原点坐标代入，求出 即可．
【详解】解：设该二次函数的解析式为 ，
把原点坐标 代入，得： ，
整理，得： ，
解得： ，该二次函数的解析式为 ．
20．已知二次函数 ，解答下列问题：
(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点 是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当 时对应的函数图象上的点的坐标．
【答案】(1)见解析；
(2)点 不在这个函数图像上；
(3) 和 ．
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入 即可求出坐标．
【详解】（1）如图所示，（2）当 时，
，
∴点 不在这个函数图象上；
（3）当 时，
，
∴ ，
∴ 时，对应的函数图象上的点的坐标为： 和 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．
21．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ， 处的喷头向外喷水，水流
在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度 与水平距离 之间的关系式
是 ．
(1)喷头 离地面 的高度是多少？
(2)水流喷出的最大高度是多少？
(3)若不计其他因素，水池的半径 至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？
【答案】(1)
(2)
(3)当 米时，水流不落在池外
【分析】（1）喷头 离地面 的高度是二次函数与 的交点，由此即可求解；
（2）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解；
（3）水池的半径 是当二次函数 时，自变量的值，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得， ，当 时， ，∴喷头 离地面 的高度是 米．
（2）解： ，
∴二次函数的顶点坐标是 ，
∴水流喷出的最大高度是 米．
（3）解：原二次函数变形得， ，即 ，解方程得， ， ，
∵ ，
∴ ，即当 米时，水流不落在池外．
【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用，掌握二次函数图像的特点是解题的关键．
22．如图，抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线上一动点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设点 的坐标为 ，分别求出直线 ， 的解析式，再求出 的长，
即可求解．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于点 和 ，，
解得： ，
抛物线的解析式为
（2）解：根据题意，设点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
，
，
解得 ，
即直线 的解析式为： ，
令 ， ，
，
同理可求出直线 的解析式为： ，
令 ， ，
根据题意可知：若 ，则 、 、 、 四点重合，不符合题意，故
．
23．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，其中点 的坐标为 ，与 轴交于点，点 在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点 ，求出 的最小值；
(3)若抛物线上有一动点 ，使 的面积为6，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法确定二次函数解析式、将军饮马最值问题、面
积问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程
的思想去思考问题．
（1）把 、 两点坐标代入二次函数 ，解方程组即可解决；
（2）利用轴对称找到点 ，用勾股定理即可解决；
（3）根据三角形面积公式，列出方程即可解决．
【详解】（1）解： 二次函数 的图象经过 ， ，
，
解得： ，
二次函数解析式为 ；
（2）解： 抛物线 的对称轴为直线 ， ， ，
、 关于抛物线的对称轴为直线 对称，，
当 、 、 共线时， 最小，
连接 与对称轴的交点就是点 ，
此时 ，
的最小值为 ；
（3）解：设点 坐标 ，
令 ， ，
解得： 或1，
点 坐标 ，
，
，
，
，
或 ，
或 或 或 ，
点 的坐标为 或 或 或 ．
24．如图，二次函数 的图象与一次函数 的图象交于A，B两点，点A的坐
标为 ．(1)求k的值；
(2)点M是线段 上的动点，将点M向上平移 （ ）个单位得到点N，若点N在二次函数的
图象上，求h的最大值；
(3)在（2）的条件下，若 ，线段 与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值
范围．
【答案】(1)k的值为
(2)h的最大值为
(3) 或
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图形上点坐标的特征，解题的
关键是用含m的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）把 代入 得 ，解得k的值为 ．
（2）根据题意， 轴且在抛物线上，设 ，则 ，求出
，根据二次函数性质可得答案．
（3）求出 ， ，把M向上平移 个单位得到点 ，由线段 与二
次函数的图象有公共点，知 ，即可解得答案．
【详解】（1）解：把 代入 得： ，
解得 ，∴k的值为 ．
（2）根据题意， 轴且在抛物线上，如图：
由（1）知直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，h取最大值 ，
∴h的最大值为 ．
（3）由 得 或 ，
∴ ， ，
同（2）当M的横坐标为m时， ，
∵把M向上平移 个单位得到点 ，
∴ ，
∵线段 与二次函数的图象有公共点，
∴ ，∴ ，
解得 或 ，
∵点M在线段 上， ，
∴ 或 ．
25．某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x
（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求
量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10
市场需求量q（百千
12 10 …… 4
克）
当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求
量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售
价格不低于2元/千克，不得高于10元/千克．
(1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；
(3)当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．
【答案】(1)
(2)当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元
(3)厂家每天获得的最大利润为 元
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质、
最大利润的问题，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出函数的关系式是解题的关键．
（1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可；
（2）设厂家每天获得的利润为y元，则 ，根据每天的产量不大于市场需求量时 ，
求出x的取值解答即可；
（3）根据每天的产量大于市场需求量时 ，求出x的取值解答即可．
【详解】（1）设q与x的函数关系式为 ，由题意，得∴
∴q与x的函数关系式为 ；
（2）当每天的产量不大于市场需求量时，得 ，
即 ，
解不等式得 ，
∵ ，
∴ ；
设厂家每天获得的利润为y元，
∵ ，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，
，
答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元；
（3）当每天的产量大于市场需求时， ，
∴ ，
解不等式得 ，
∴ ，
设厂家每天获得的利润为y元，
，
，
，
，，
∵ ，对称轴为 ，
∴当 时，，
∵ ，
∴厂家每天获得的最大利润为 元．
26．如图，已知抛物线 交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正平轴
于点C，且 ．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接 交 于点D，连接 ，设点P的横坐标为t，
的面积为S，求S与t间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点P作 于点E，过点D作 于点M，点F在线段
CD上，点N在线段 上，连接 ， ，若
，求线段 的长度．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】题目主要考查二次函数综合问题，面积问题，全等三角形的判定和性质，正方形的判定
和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意得出A(-2,0)，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意确定 、A(-2,0)，作 于E，结合图形表示出面积即可；
（3）根据题意及各角之间的关系确定 ，确定 ，根据正方形的判定和性质得出
，截取 ，根据全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：把 代入得： ，，
，
，
，
，
代入得 ，
；
（2）把 代入得： ，
，
且A(-2,0)，
，
，
作 于E，
，
，
，
；
（3）如图：，且 ，
，
，
，
，
，
于E，
，
，
，
，
（舍），
，
，
，
，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
四边形 是矩形，且 ，四边形 是正方形，
，
，且 ，
，
如图，截取 ，且 ，
，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
，
，
，
（舍）， ，
．
