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第二十二章 二次函数
22.1.1 二次函数
学习目标：1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.能根据实际问题列二次函数表达式.
重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式.
难点：能根据实际问题列二次函数表达式.
自 主 学
习
一、知识链接
1.什么是函数？
2.什么是一次函数？正比例函数？
3.一元二次方程的一般形式是什么？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：二次函数的相关概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x
的关系式为 .
问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什
么关系？
问题3 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量
增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系
怎样表示？
要点归纳：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自
变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x是自变量)
①y=ax2+bx+c ②y=3－2x² ③y=x2
④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥y=(x+3)²－x²
方法总结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此
之外，二次函数除有一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有一些特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等.
若函数 是二次函数，求m的值.
例2
方法总结：解决此类问题需要注意二次项系数a≠0这一限制条件.
一个二次函数
针对训练 .
(1)求k的值；
(2)当x=0.5时，y的值是多少？
探究点2：根据实际问题列二次函数关系式
问题 矩形绿地的长为x m，面积为y m2.
（1）若该矩形绿地的长为宽的 2 倍，则宽为____m，y 与 x 之间的关系式为
________________.
想一想 自变量的取值范围是___________.
（2）若该矩形绿地的长比宽多 6m，则宽为______m，y 与 x 之间的关系式为
________________.
想一想 自变量的取值范围是___________.
例3 如图，用一段长为 30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园
ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式.
归纳：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.
例4 某工厂生产的某种产品按质量分为 10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生
产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若
生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函
数关系式.
三、课堂小结
右边是整式；
二次函数的定义 自变量的最高次数是2；
二次项系数a≠0.二次函数的一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c是常数)
二次函数的特殊形式 y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a≠0，a，b，c是常数).
当堂检
测
1.下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
2.函数 y=(m－n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A．m，n是常数，且m≠0 B．m，n是常数，且n≠0
C．m，n是常数，且m≠n D．m，n为任何实数
3.把y=(2－3x)(6+x)变成一般式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 .
4. 已知函数y=3x2m-1-5.
①当m= 时，y是关于x的一次函数；
②当m= 时，y是关于x的二次函数 .
5.若函数 是二次函数，
（1）求a的值.
（2）求函数关系式.
（3）当x=－2时，y的值是多少？
6.写出下列各函数关系：
（1）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
（2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数
关系．
7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，
一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种商品的销售情
况，请解答下列问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式.(不必写出自变
量x的取值范围)
8.矩形的周长为16cm，它的一边长为x(cm)，面积为y(cm2).
（1）写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时，求矩形的面积.参考答案
自主学习
知识链接
1.一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2.一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx
就叫做正比例函数.
3.ax2+bx+c=0 (a≠0)
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数的相关概念
问题1 y=6x2
问题2
问题3 y=20(1+x)2=20x2+40x+20
典例精析
例1 解： ②③是二次函数；①不一定是，缺少a≠0的条件. ④不是，等式右边是分式；
⑤不是，x的最高次数是3；⑥不是，等式右边化简后，等式变形为y=6x+9，是一次函数.
例2 解：由题意得 ∴m=3.
针对训练
解：（1）由题意的 解得k=2.
当k=2时， ，将x=0.5代入函数关系式 ，得
.
探究点2：根据实际问题列二次函数关系式
问题 （1）0.5x y=0.5x2 想一想 x＞0
（2）（x-6） y=x(x-6) 想一想 x＞6
例3 解：∵AB边长为x米.∴AD边长为 (30－x)米.∴y＝ (30－x)x= x2+15x(0＜x＜
30).例4 解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利
润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元，产
量减少了5(x－1)件．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10).
当堂检测
1.C 2.C 3. -3x2 -16 12 4. 1
5.解：（1）由题意，得 解得
（2）当a=-1时，函数关系式为
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
6.解:(1) (2)
7.解：（1）月销售量和月销售利润分别为450kg，6750元.
（2）y=(x-40)[500-(x-50)×10]=-10x2+1400x-40000.
8. 解：（1）y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8).
（2）当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2) .
