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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
一、新课导入
1.导入课题：
问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落
到草地上，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它
距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、
方程有哪些联系？今天我们就来学习“二次函数”.（板书课题）
2.学习目标：
（1）会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.
（2）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数.
3.学习重、难点：
重点：二次函数的概念和列二次函数表示实际问题中的数量关系.
难点：列二次函数表示实际问题中的数量关系.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第28页到第29页“思考”上面部分的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系写出两个变量的关系式.
（4）自学参考提纲：
①正方体的表面积y与棱长x的关系式为 y=6 x 2 ，y是x的函数吗？是
②问题1中，有 n 个球队参加比赛，每个队要与其他n-1 个球队各比赛一场，而甲队对
乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 .这样比赛的场次数m与参加比赛的球队数n的关系式为 ，m是n的函数吗？是
③问题2中,产品原产量是20t，一年后的产量是原产量的（ 1+ x ） 倍；再经过一年后的产量
是一年后的产量的（ 1+ x ） 倍.于是两年后的产量y与增加的倍数x的关系式为 ，
y是x的函数吗？是
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否会找等量关系列函数关系式.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组相互研讨.
4.强化：
（1）利用师生对话的形式强化两个问题中的等量关系、函数关系式的求法以及它是函数
的理由.
（2）总结：列实际问题中两个变量的函数关系式，关键是寻找问题中的等量关系.
（3）练习：
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；
解：y=πx2
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一
年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函
数关系式；
解：
③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
解：S=4πr2
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第29页“思考”以后到“练习”之前的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：观察上面各函数的右边的代数式的特点，用一般形式表示出来.（4）探究提纲：
①请写出二次函数的一般形式.
y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
②请写出上面“练习”中的3个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项.
a.y=πx2二次项系数：π一次项系数：0常数项：0
b. 二次项系数：2一次项系数：4常数项：2
c.S=4πr2二次项系数：4π一次项系数：0常数项：0
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生自学提纲的解答情况.
②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.
（2）生助生：生生互动，交流研讨、改正.
4.强化:
（1）交流及总结：
①二次函数的定义，重点强化自变量，各项及各项系数.
②强调a≠0.
（2）练习： 是二次函数，求常数a的值.
解：依题意，得 解得a=-1
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性，回答问题与小组合作情况，存在问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有
了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，
使学生初步感知二次函数的意义，进而能从实际问题中抽象出数学模型，并列出二次函数的
解析式.教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的经历过程和探究体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（10分）下列函数是二次函数的是（C）
A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y= x-2
2.（10分）二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（B）
A.1 B.-1 C.7 D.-6
3.（10分）已知函数y=(a-1)x2+3x-1,若y是x的二次函数，则a的取值范围是a≠1.
4（. 10分）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则
经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是 .
5.（15分）正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若剩余部分的
面积为ycm2，则y与x的函数关系式是 y=100- x 2 ，x的取值范围为 0 ＜ x ＜ 10 .
6.（15分）一辆汽车的行驶距离s（单位：m）与行驶时间t（单位：s）的函数关系式为
，则经过12s汽车行驶了180m，行驶380m 需20s.
二、综合应用（20分）
7.(20分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终
点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速
度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出
△PBQ的面积S与出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围
解：依题意，得AP=2t,BQ=4t.
∵AB=12,∴PB=12-2t,
∴ .
t的取值范围为0≤t≤6.三、拓展延伸（10分）
8.(10分)m为何值时，函数 是关于x的二次函数.
解：由题意可得
解得m=1.
∴当m=1时，函数 是关于x的二次函数.
