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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 几何图形与一元二次方程
学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
自主学
习
一、知识链接
用长为60m的篱笆围一个矩形的菜园.宽AD为xm.用含x的代数式填空：
（1）如图①，AB=_________m,S =___________;
矩形ABCD
（2）如图②，菜园中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m,S =___________;
矩形ABCD
（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m,S =______.
矩形ABCD
C
D
A B
图① 图② 图③
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点：几何图形与一元二次方程
探究1 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比
例相同的矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，
左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
方法点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公
式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运
用规则图形的面积公式列出方程.
典例精析
例1 如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部
分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少？在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草
【变式题1】
坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题2】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草
坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题3】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草
坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
【变式题4】在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，
如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽
为多少？
方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路
移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修
路).
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m的围栏围成总面积为200m2的三个大
小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m的围栏围成面积为600m2的
矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
【变式题2】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m的住房墙，另外
三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m的门，所
围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为x，根据周长等条件把另一边用x表示出来，
最后根据面积公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.
三、课堂小结
几何图形 常见几何图形面积是等量关系
几何图形与
一元二次方 课本封面问题
程问题 常采用图形平移能聚零为整方
类型 彩条/小路宽度问题
便列方程
动点面积问题
当堂检
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如
测
图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程
是（ ）
A．x2+130x－1400=0
B．x2+65x－350=0
C．x2－130x－1400=0
D．x2－65x－350=0
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后
把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的
宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每
个彩条的宽度？
4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以
1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点
到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9 cm²？参考答案
自主学习
知识链接
(1)(30-x) x(30-x) (2)(30-1.5x) x(30-1.5x) (3)(60-3x) x(60-3x)
课堂探究
二、要点探究
探究点：几何图形与一元二次方程
探究1 解：设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为：
设上下边衬的9x cm，左右边衬宽为
7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.要使四周的彩色边衬所占面积是
封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程
整 理 得 16x2-48x+9=0 ， 解 方 程 得
（不合题意，舍去）.故上下边衬的宽度为 左
右边衬的宽度为
典例精析
例1 方法一：解：设道路的宽为x米，依题意得20×32-32x-20x+x2=540,解得 x =2，x =50.
1 2
当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
方法二：解：设道路的宽为x米，依题意得(32-x)(20-x)=540，解得 x =2，x =50.当x=50时，
1 2
32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
【变式题1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x)(20-x)=540，解得 x =2，x =50（不
1 2
合题意，舍去）.∴x=2.
答：道路的宽为2米.
【变式题 2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-x)=540，解得 x =18-
1
，x =18+ （不合题意，舍去）.∴x≈1.45.
2
答：道路的宽为1.45米.
【变式题3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-2x)=540，解得 x =1，x =25
1 2
（不合题意，舍去）.∴x=1.答：道路的宽为1米.
【变式题 4】解：设横、竖小路的宽度分别为 3x、 2x， 于是可列方程(32-4x)(20-6x)=
解得 x = ，x = （不合题意，舍去）.
1 2
∴x≈0.62.则3x≈1.86,2x≈1.24.
答：横、竖小路的宽度分别为1.86米、1.24米.
例2 解：设AB长是x m.依题意得 (58-2x)x=200，即x2-29x+100=0，解得x =25，x =4.x=25
1 2
时，58-2x=8，x=4时，58-2x=50.
答：羊圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.
【变式题1】 解：设AB长是x m.依题意得(80-2x)x=600，即x2-40x+300=0，解得x =10，
1
x =30.x=10时，80-2x=60>25，(舍去)，x=30时，80-2x=20<25.
2
答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m.
【变式题2】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长(25-
2x+1)m.由题意得 x(25-2x+1)=80，化简，得 x2-13x+40=0，解得 x =5，x =8.当 x=5 时，26-
1 2
2x=16>12 (舍去），当x=8时，26-2x=10<12，故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
当堂检测
1.B
2.解：设铁板的宽为x cm,则长为2x cm.依题意得5(2x-10)(x-10)=3000，即x2-15x-250=0.
解得 x =25，x =-10(舍去）.所以 2x=50.
1 2
答：铁板的长50cm，宽为25cm.
3. 解：设横向彩条的宽度 2xcm ,竖彩条的宽度3xcm，依题意得 (20-6x)(30-4x)=400，即
6x2-65x+50=0.解得 （舍去）. .
答：横向彩条的宽度 cm ,竖彩条的宽度 cm.
能力提升
解：若设出发 x s 后可使△PCQ 的面积为 9cm² ,根据题意得 AP= xcm，PC=(6-x)cm，
1
CQ=2xcm.依题意得 (6−x)2x=9，整理，得x2-6x+9=0，解得x = x =3.
2 1 2
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².
