文档内容
第二十一章 一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳
【人教版】
【培优篇】.....................................................................................................................................................................7
【题型1 一元二次方程的相关概念】......................................................................................................................7
【题型2 一元二次方程的一般解法】......................................................................................................................7
【题型3 配方法的应用】..........................................................................................................................................8
【题型4 根的判别式与一元二次方程根的情况】.................................................................................................9
【题型5 根的判别式与根与系数关系的综合】.....................................................................................................9
【题型6 一元二次方程的实际应用】....................................................................................................................10
【拔尖篇】...................................................................................................................................................................11
【题型7 利用根与系数的关系求值】....................................................................................................................11
【题型8 利用一元二次方程的根求取值范围】...................................................................................................12
【题型9 一元二次方程解决动点问题】................................................................................................................12
【题型10 一元二次方程与几何图形】....................................................................................................................13
知识点 1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫
做一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、 未知数的最高次数是 2.
1
例如： +x=2，x2+1，x2+ y−3=0，x3−3x+8=0，(x−1)(x−2)=x2−1均不是一元二次方程.
x2
知识点 2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b
是一次项系数；c是常数项.
2.（1）a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是 b ， c 可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可
以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得ax2+c=0(a≠0)；
（2)当c=0时，得ax2+bx=0(a≠0)；
（3)当b=0且c=0时,得ax2=0(a≠0).知识点 3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二
次方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若x ，x 是一
1 2
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参
数： ( )， ( ).
ax 2+bx +c=0 a≠0 ax 2+bx +c=0 a≠0
1 1 2 2
知识点 4 直接开平方法解一元二次方程
1. 非负数a的算术平方根为❑√a，平方根为±❑√a．
例如：144的算术平方根为❑√144=12，平方根为±❑√144=±12．
2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．
例如x2=25，解得x=±5．
一般地，对于方程x2=p．
方程有两个不等的实数根x =❑√p，
p>0 1
x =−❑√p
2
p=0 方程有两个相等的实数根x =x =0
1 2
p<0 方程无实数根
3. 直接降次解一元二次方程的步骤
(1)将方程化为 p或 的形式；
x2= (mx+n) 2=p(p≥0,m≠0)
（2)直接开平方化为两个一元一次方程；
（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点 5 配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为
的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全
(x+a) 2=b
平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)一般步骤 方法 实例(9 y2−18 y−4=0)
将常数项移到方程的右边，
一移 移项 含未知数的项移到方程的左 9 y2−18 y=4
边
二化 二次项系数化为1
方程左、右两边同时除以二 y2−2y= 4
次项系数 9
4
y2−2y+1= +1
方程左、右两边同时加上一 9
三配 配方
次项系数一半的平方 13
即(y−1) 2=
9
利用平方根的意义直接开平 ❑√13
四开 开平方 (y−1)=±
方 3
❑√13
y =1+ ，
1 3
五解 得出两个根 移项，合并同类项
❑√13
y =1−
2 3
归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等
的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就
没有实数根．
3. 解题依据： ，把公式中的 看作未知数 ，并用 代替，则
(a±b) 2=a2±2ab+b2 a x x (x±b) 2=x2±2bx+b2
．
知识点 6 一元二次方程根的判别式
1. 对于一元二次方程 ，通过配方可得 b 2 b2−4ac，则方程根的情况由
ax2+bx+c=0(a≠0) (x+ ) =
2a 4a2
b2−4ac 的符号决定．
一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即
∆=b2−4ac．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）∆<0⟺一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．知识点 7 公式法解一元二次方程
−b±❑√b2−4ac
1. 当∆≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x= 的形式，这个式
2a
子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法
叫做公式法．
−b±❑√b2−4ac
∆>0 方程有两个不相等的实数根x=
2a
b
∆=0 方程有两个相等的实数根x =x =−
1 2 2a
∆<0 方程无实数根
2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）把方程化为一般形式，确定 a ， b ， c 的值；
（2）求出∆=b2−4ac的值；
−b±❑√b2−4ac
（3）若∆≥0，则将a，b，c的值代人求根公式x= 求出方程的根，若∆<0，则方程无实
2a
数根．
知识点 8 因式分解法解一元二次方程
1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个 一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从
而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
一移 使方程的右边为0
二分 将方程的左边因式分解
三化 将方程化为两个一元一次方程四解 写出方程的两个解
知识点 9 一元二次方程根与系数的关系
−b+❑√b2−4ac
1. 由求根公式可得当∆≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x = ，
1 2a
−b−❑√b2−4ac b c
x = ,则x +x =− ，x x = ．
2 2a 1 2 a 1 2 a
例如：方程x2+px+q=0的两根为x ，x ，则x +x =−p，x x =q．
1 2 1 2 1 2
2. 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
知识点 10 实际问题中常见的数量关系及表示方法
1. 平均增长（降低）率问题
设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长
率公式为 ，降低率公式为 ．
a(1+x) n=b a(1−x) n=b
2. 销售利润问题
（1）利润=售价－进价；
利润 售价−进价
（2）利润率= ×100%= ×100%；
进价 进价
（3）售价=进价×(1+利润率)；
（4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出．
3. 几何问题
1
（1）面积公式：S =ab，S =a2，S =πr2，S = aℎ ；
长方形 正方形 圆 三角形 2
说明：①a，b分别为长方形的长、宽；
②a为正方形的边长；
③r为圆的半径；
④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高．
1
（2）体积公式：V =abℎ ，V =a3，V =πR2
ℎ
，V = πR2
ℎ
．
长方体 正方体 圆柱 圆锥 3说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高；
②a为正方体的棱长；
③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高；
④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高．
4. 传播问题
传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数．
5. 计数问题
n(n−1)
若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为(n−1)场，比赛总场数为 场.双循环赛中每队比
2
赛场数为2(n−1)场，比赛总场数为n(n−1)场．
6. 数字问题
7.
两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字
存款
10x+ y x y 100a+10b+c a b c
利息
问题
本息和=本金+利息；利息=本金×利率×存期．
8. 工程（行程）问题
工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间．
9. 动点问题
解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股
定理等列出一元二次方程解决．
知识点 2 列一元二次方程解应用题的一般步骤
可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤．
（1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
（2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量；
（3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；
（4）解：解方程，求出未知数的值；
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；
（6）答：写出答案（包括单位名称)．【培优篇】
【题型1 一元二次方程的相关概念】
【例1】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知a是方程x2−2x+1=0的解，则代数式2023−a2+2a
的值为 ．
【变式1-1】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）下列是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+3= B．x2−x=0 C．2(x−1)=3x D．x2+2y=1
x
【变式1-2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将方程4x−1=3x2化成一元二次方程的一般形式，当
二次项系数为3时，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4，−1 B．4，1 C．−4，−1 D．−4，1
【变式1-3】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程(a−2)x|a)+3x−a=0是关于x的一元二次方
程，则a= ．
【题型2 一元二次方程的一般解法】
【例2】（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数 满足方程 ，则 的值是
x (x2+x)(1−x2−x)+6=0 x2+x
．
【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列方程
(1)
(x+5) 2=25
(2)x2+2x=0
(3)x2+10x+21=0
(4)3x2+6x−4=0
【变式2-2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列四种不同解法中，完
全正确的是（ ）
①两边同时除以(x−1)得x=3.
4±❑√28
②化简整理得x2−4x=−3， a=1，b=−4，c=−3，b2−4ac=28， x= =2±❑√7.
2
∵ ∴
③整理得 ，配方得 ， ， ， ， .
x2−4x=−3 x2+4x+2=−1 (x−2) 2=−1 x−2=±1 x =1 x =3
1 2
∴ ∴ ∴
④移项得：(x−3)(x−1)=0， x−3=0或x−1=0， x =1，x =3.
1 2
A．① B．② ∴ C．④ ∴ D．③④
【变式2-3】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径作弧与AC交于点F，以点C为圆心，CD为半径作弧与AC交于点E．设AB=a,AD=b，则方程x2+2ax=b2
的一个正根是（ ）
A．AE的长 B．CF的长 C．EF的长 D．AC的长
【题型3 配方法的应用】
【例3】（24-25七年级下·广西桂林·阶段练习）王老师在讲完乘法公式 的多种运用
(a±b) 2=a2±2ab+b2
后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答
方法：
x2+4x+5
=x2+4x+4+1
=(x+2) 2+1
因为 ，所以当 时， 的最小值是
(x+2) 2≥0 x=−2 (x+2) 2 0．
所以
(x+2) 2+1≥1．
所以当 时， 的值最小，最小值是
(x+2) 2=0 (x+2) 2+1 1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当 ______时， 有最小值是______；
x= (x+5) 2+7
(2)多项式−x2−4x+18有最______(填“大”或“小”)值，并求出该多项式的最值；
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−2a=8b−17，求当c=4时，△ABC的
周长．
【变式3-1】（2025·安徽六安·一模）已知x，y，z为实数，且y+z=5−4x+3x2 ，z−y=1−2x+x2
，则x，y，z之间的大小关系是（ ）
A．x0，则下列判断正确的是（ ）A．a+b>2,a2+5a+2b<4 B．a+b<2,a2+5a+2b<4
C．a+b>2,a2+5a+2b>4 D．a+b<2,a2+5a+2b>4
【变式3-3】（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2+px+c，
−x2+qx+c（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
对二次多项式进行因式分
二次多项式 对二次多项式使用配方法
解
2x2+px+c (2x+a)(x+b) 2(x−m) 2+k
1
−x2+qx+c (x+a)(−x+b) −(x−n) 2+k
2
（说明：a，b，m，n，k ，k 均为常数）
1 2
8
有学生探究得到以下四个结论：①若p+q=12，则2m+6=n；②若p=q=2，则c=− ；③若有且只有一
3
个x的值，使代数式 的值为0，则 ；④若 ，则c的值不可能是 ．其中所
2x2+px+c p−4q=0 m−n=2 −5
有正确结论的序号是 ．
【题型4 根的判别式与一元二次方程根的情况】
【例4】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+k−1=0．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知2是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根．
【变式4-1】（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）若关于x的一元二次方程2x2−4x−1+k=0有两个相
等的实数根，则k的值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．3
【变式4-2】（2025·河南焦作·二模）定义运算：a※b=a2+ab−2b2，例如4※3=42+4×3−2×32，
则不解方程，判断方程(x+1)※2=0的根的情况是 ．
【变式4-3】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有
两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x 是一元二
0
次方程 的根，则 ，其中正确的（ ）
ax2+bx+c=0 b2−4ac=(2ax +b) 2
0
A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③【题型5 根的判别式与根与系数关系的综合】
【例5】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于 的一元二次方程 ．
x x2+2x−m2−m=0(m>0)
（1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）；
（2）当m=1，2，3，⋯，2025时，相应的一元二次方程的两个根分别记为
1 1 1 1 1 1 1 1
α 、β ，α ，β ，α ，β ，⋯，α ，β ，则 + + + + + +⋯+ + 的
1 1 2 2 3 3 2025 2025 α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2025 2025
值为 ．
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个实数
根 ， ，且满足 ，则 （）
x x x x +x +x =m2+6 m=
1 2 1 2 1 2
A．−3或1 B．1 C．3或−1 D．−1
【变式5-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x ，
1
x ，若x =2x ，则4b−3ac的最大值是（ ）
2 2 1
A．1 B．4 C．6 D．8
【变式5-3】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使
得当x=m时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x2，
当x=0时，代数式的值等于0；当x=1时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动
值”．
(1)关于x的代数式x2−6的不动值是 ．
(2)判断关于x的代数式2x2−x+1是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由．
(3)已知关于x的代数式ax2+(4−a)x−3(a≠0)．
①若此代数式仅有一个不动值，求a的值；
②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为2，直接写出正整数a的值．
【题型6 一元二次方程的实际应用】
【例6】（24-25九年级下·重庆石柱·期中）一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙
两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和
240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍．
(1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元．
2
(2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是a元，每桶乙化工原料的进价是 a元，甲、乙售价不变．为了扩大
3生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少10a%
，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求a的值．
【变式6-1】如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有361人
感染．
(1)平均每人每轮感染多少人？
(2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的a%，这样第三轮传播后感染的人数只
是第二轮传播后感染人数的10倍，求a的值．
【变式6-2】2025年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司
决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，
经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10)），且两
种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司
实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【变式6-3】1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞
旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观
看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了
1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲
1
开车的平均速度快m千米/小时(m>0)，乙开车时间比甲开车时间少 m小时；乙步行的平均速度比甲步
24
1 1
行的平均速度快 m千米/小时，乙步行了 小时后到达目的地，求m的值．
4 3
【拔尖篇】
【题型7 利用根与系数的关系求值】
【例7】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程x2+x−3=0的两个根，那么多
3
项式m3+3n−mn+ +2032的值是 ．
n
【变式7-1】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）若m、n是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，则m3−4n2+17的值是 ．
c c a2 b2 9
【变式7-2】已知互不相等的三个实数a、b、c满足 =−a−3， =−b−3，求 + − 的值 ．
a b c c c
【变式7-3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知m，n，s，t为互不相等的实数，且(m+s)(m+t)=2
，(n+s)(n+t)=2，则mn−st的值为（ ）
1
A．−2 B．0 C． D．2
2
【题型8 利用一元二次方程的根求取值范围】
【例8】若关于x的方程 所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是
(1−m2)x2+2mx−1=0
．
【变式8-1】（2025·福建三明·一模）已知方程 的三个互不相等的实数根可作为三角
(x−2)(x2−4x+a)=0
形的三边边长，则实数a的取值范围是（ ）
A．10)，则PB2−PD2=_____．（用含m的式子表示）
