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第二十二章 二次函数（4 大压轴考法专练）
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题型一：二次函数图象与系数关系...................................................................................1
题型二：抛物线与x轴交点..............................................................................................4
题型三：二次函数的应用.................................................................................................9
题型四：二次函数综合题...............................................................................................19
一．二次函数图象与系数的关系
1．（2024•江阳区校级模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次
函数 为常数）在 的图象上存在两个二倍点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2024•商河县二模）对于一个函数，当自变量 取 时，其函数值 等于 ，我们称 为这个函数的
二倍数．若二次函数 为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2024•城厢区校级模拟）对于一个函数：当自变量 取 时，其函数值 也等于 ，我们称 为这个函
数的不动点．若二次函数 为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二．抛物线与x轴的交点
4．（2024•高新区校级一模）如图，二次函数 的图象交 轴于点 ， （点 在点
的左侧），交 轴于点 ．现有一长为3的线段 在直线 上移动，且在移动过程中，线段
上始终存在点 ，使得三条线段 ， ， 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段 左端
点 的横坐标为 ，则 的取值范围是 ．5．（2023秋•榆树市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交
点坐标为 ，设该图象上任意两点的坐标分别是 ， ， ， ，其中 ， 为 时
的最大值与最小值的差．若 ，则 的取值范围是 ．
6．（2024•鄄城县一模）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于
点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点 和点 的坐标；
（3）若点 在第一象限内的抛物线上，且 ，求 点坐标．7．（2024•官渡区一模）已知二次函数 为常数且 的顶点在 轴上方，且到 轴的
距离为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数 的图象记为 ，将 关于原点对称的图象记为 ， 与 合起来
得到的图象记为 ，完成以下问题：
①在网格中画出函数 的图象；
②若对于函数 上的两点 ， ， ， ，当 ， 时，总有 ，求出 的取值
范围．
8．（2023秋•修水县期末）抛物线 中，函数值 与自变量 之间的部分对应关系如下表：
1 3 4
0
（1）设抛物线 的顶点为 ，则点 的坐标为 ；
（2）现将抛物线 沿 轴翻折，得到抛物线 ，试求 的解析式；
（3）现将抛物线 向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点 ，与 轴的两交点为点 、 ．
①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点 、 之间的距离不小于6个单位？
②在最初的状态下，若向下平移 个单位时，对应的线段 长为 ，请直接写出 与 的等量
关系．
三．二次函数的应用
9．（2024•市北区三模）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上
升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如表：
周数 1 2 3 4
价格 （元 千 2 2.2 2.4 2.6
克）
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份 与
的函数关系式；
（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格 （元 千克）从5月第1周的2.8元 千
克下降至第2周的2.4元 千克，且 与周数 的变化情况满足二次函数 ，请求出5月份
与 的函数关系式；
（3）若4月份此种蔬菜的进价 （元 千克）与周数 所满足的函数关系为 ，5月份此种蔬菜
的进价 （元 千克）与周数 所满足的函数关系为 ．试问4月份与5月份分别在哪一周销售
此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？10．（2024•滑县二模）护林员在一个斜坡上的点 处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地 进
行浇灌， ，点 处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知水柱在距出水口 的水平距离
为 时，达到距离地面 的竖直高度的最大值为 ．设喷出的水柱距出水口的水平距离为 ，距
地面的竖直高度为 ，以坡底 所在的水平方向为 轴， 处所在的竖直方向为 轴建立平面直角坐标
系，原点为 ，如图所示．经过测量，可知斜坡 的函数表达式近似为 ．
（1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）若该装置浇灌的最远点 离地面的竖直高度为 ，求此时喷到 处的水柱距出水口的水平距离．
（3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地 时，安装的
支架的高度为多少米？
11．（2024•红塔区三模）某 直营店招牌：“新进最新款洗发水40瓶，每件售价80元，若一次性购
买不超过10瓶时，售价不变；若一次性购买超过10瓶时，每多买1瓶，所买的每瓶洗发水的售价均降
低2元．”已知该瓶洗发水每瓶进价52元，设顾客一次性购买洗发水 瓶时，他所付洗发水单价 元，
该直营店所获利润为 元．
（1）求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少瓶时，该直营店从中获利最多？12．（2024•南山区一模）麻城市思源实验学校自从开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测
效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间 （单位：分钟）与学生学习收益量 的关系如
图1所示，学生用于当堂检测的时间 （单位：分钟）与学生学习收益 的关系如图2所示（其中 是抛
物线的一部分， 为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间．
（1）求老师精讲时的学生学习收益量 与用于精讲的时间 之间的函数关系式；
（2）求学生当堂检测的学习收益量 与用于当堂检测的时间 的函数关系式；
（3）问此“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最
大？
13．（2023秋•硚口区校级期末）某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，
调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．
（1）写出月销售利润 （单位：元）与售价 （单位：元 件）之间的函数解析式．
（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．
（3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
14．（2024•滦南县校级模拟）某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元 件的新型商品在第 天销售的相关信息如下表所示：
销售量 （件
销售单价 （元 件）
当 时，
当 时，
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元 件
（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该
加盟店 元奖励．通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间 （天
的增大而增大，求 的取值范围．
四．二次函数综合题
15．（2024•淮安模拟）定义：若函数图象上存在点 ， ，且满足 ，则称 为
该函数的“域差值”．例如：函数 ，当 时， ；当 时， ，
则函数 的“域差值”为2．
（1）点 ， 在 的图象上，“域差值” ，求 的值；
（2）已知函数 ，求证该函数的“域差值” ；
（3）点 为函数 图象上的一点，将函数 的图象记为 ，将函数
的图象沿直线 翻折后的图象记为 ．当 ， 两部分组成的图象上所有的点都满足
“域差值” 时，求 的取值范围．16．（2024•玉山县二模）已知抛物线 的顶点为 ，直线 与 轴、 轴分
别交于点 ， ．
（1）若抛物线 与 轴只有一个公共点，求 的值．
（2）当 时，设 的面积为 ，求 关于 的函数关系式．
（3）将抛物线 绕点 旋转 得到抛物线 ，其顶点为点 ．
①若点 恰好落在直线 上，求 与 满足的关系式；
②当 时，旋转前后的两个二次函数 的值都会随 的增大而减小，求 的取值范围．
17．（2024•吉林四模）抛物线 经过点 ，点 在抛物线上，且横坐标为 ，点 是
坐标平面上一点，其坐标为 ．以 为对角线作矩形 ， 轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当 轴平分矩形 的面积时，求 的值；
（3）当 时，求 的值；
（4）当矩形 的边（包括顶点）与抛物线有3个交点时，直接写出 的取值范围．18．（2024•冷水滩区校级模拟）如图，已知抛物线 经过 、 两点，与 轴
的另一个交点为 ，顶点为 ，连接 ，点 为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点 在直线 的下方运动时，过点 作 交于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于
点 ．求 周长的最大值及此时点 的坐标．
（3）在该抛物线上是否存在点 ，使得 ．若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
19．（2024•云梦县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，在 的左侧），与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图（1），已知点 为第二象限抛物线上一点，连接 ，若 ，求点 的坐标；
（3） 和 分别是直线 和抛物线上的动点，且点 的横坐标比点 的横坐标大4个单位
长度，分别过 ， 作坐标轴的平行线，得到矩形 ．设该抛物线在矩形 内部（包括边界）
的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为 ．
①如图（2），当 时，请直接写出 的值；
②请直接写出 关于 的函数关系式．
20．（2024•丽江二模）如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ， 为第一象限抛物线上的动点，连接 ， ， ， ， 与 相交于点 ．
（1）求抛物线的解析式：
（2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点 的坐标；
（3）是否存在点 ，使 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
21．（2024•海门区校级开学）已知：关于 的函数 ．
（Ⅰ）当 为任意实数时，这个函数的图象恒过某定点 （所谓定点，就是与 值无关的点），求此点坐
标；
（Ⅱ）若此函数的图象是抛物线，且与 轴有两个相异交点 、 ，其坐标分别为 ， ， ， ，
其中 ．
（1）求 的取值范围，并求当 为何值时， 、 两点的距离等于3；
（2）连接 、 得△ ，则当 取何值时，△ 的一个内角等于 ．22．（2024•辽宁模拟）在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形 对角线的两个端点相交，则
定义该函数为矩形 的“友好函数”．
（1）如图，矩形 ， 轴，经过点 和点 的一次函数 是矩形 的
“友好函数”，求一次函数 的解析式；
（2）已知第一象限内矩形 的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行 轴和 轴，经过点
和点 的反比例函数 是矩形 的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标；
（3）若 是矩形 的“友好函数”且经过 ， 两点，点 的坐标为 ，点
的坐标为 ， 轴．
①若 的图象与矩形 有且只有两个交点，求 的取值范围；
②点 ， 是 图象上一点，且 ，当 时， 的最大值和最
小值的差是3，求 的值．23．（2024•呼和浩特）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．
（1）若 ，则 ，通过配方可以将其化成顶点式为 ；
（2）已知点 ， ， ， 在抛物线上，其中 ，若 且 ，比较 与 的大小
关系，并说明理由；
（3）若 ，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线 交于 ， 两点，直线与 轴
交于点 ，点 为 中点，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，连接 ， ．求证： ．
24．（2024•东西湖区模拟）如图1、抛物线 与 轴交于点 ， 两点，与 轴交
于点 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 是 轴上一动点，将顶点 绕点 顺时针旋转 刚好落在抛物线上的点 处，求点 的坐标；
（3）如图2，点 ， 为 轴上方的抛物线上两点（点 在点 的左边），直线 、 与 轴分别
交于 ， 两点，若 ，试探究直线 是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是，请说明理
由．25．（2024•延边州模拟）如图①，抛物线 过点 和点 ．点 在线段 上，点
的横坐标为 ，且 ．点 的坐标为 ，以 为斜边在 轴上方作等腰直角三角形 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当 时，求 的取值范围．
（3）如图②，过点 作 轴的垂线，与抛物线交于点 ，与线段 交于点 ．
①若 ，且 是直角三角形，则 ．
②设 ，当在 、 之间的抛物线上和折线 上到 轴的距离为 的点共有3个时，直接写出
的取值范围．26．（2024•蒸湘区一模）定义：在平面直角坐标系 中，当点 在图形 的内部，或在图形 上，
且点 的横坐标和纵坐标相等时，则称点 为图形 的“梦之点”．
（1）如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ，
， 中，是矩形 “梦之点”的是 ；
（2）如图②，已知点 ， 是抛物线 上的“梦之点”，点 是抛物线的顶点．连接
， ，求 的面积；
（3）在（2）的条件下，点 为抛物线上一点，点 为平面内一点，是否存在点 、 ，使得以 为对
角线，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．27．（2024•临淄区一模）已知抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于
点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，若直线 下方的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴平行线交 于 ，过点 作 的
垂线，垂足为 ，求 周长的最大值；
（3）若点 在抛物线的对称轴上，点 在 轴上，是否存在以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四
边形，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在 轴正半轴上是否存
在一点 ，使得当经过点 的任意一条直线与新抛物线交于 ， 两点时，总有 为定值？若存
在，求出点 坐标及定值，若不存在，请说明理由．28．（2024•峰峰矿区校级二模）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点（点 在
点 的左侧），已知点 的横坐标是2，抛物线 的顶点为 ．
（1）求 的值及顶点 的坐标；
（2）点 是 轴正半轴上一点，将抛物线 绕点 旋转 后得到抛物线 ，记抛物线 的顶点为 ，
抛物线 与 轴的交点为 ， （点 在点 的右侧）．当点 与点 重合时（如图 ，求抛物线 的
表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从 ， ， 中任取一点， ， ， 中任取两点，若以取出的三点为
顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线 为抛物线 的“勾股伴随同类函数”．当抛物线 是抛物线
的勾股伴随同类函数时，求点 的坐标．
29．（2024•泉州模拟）已知点 和点 在抛物线 上．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）四边形 的四个顶点均在该抛物线上， 与 交于点 ，直线 为 ，
，直线 为 ．
①求 的值；
②记 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若 ， ，求 的最小值．30．（2024•菏泽二模）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线
经过 、 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 是直线 上方抛物线上的一动点，当 面积最大时，请求出点 的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，连接 ，点 是抛物线对称轴上的
动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请
直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．31．（2024•蓬江区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，抛物线 ，其
顶点为 ，连接 ，并将 绕着点0顺时针旋转 得到 ，
（1）当抛物线过点 时，求 的值；
（2）当 时，求 的值；
（3）当抛物线与 的边（包括端点）有且只有两个交点时，直接写出 的取值范围．32．（2024•南丹县一模）如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，点 是抛物线
的顶点，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ．
（1）求抛物线 所对应的函数解析式；
（2）如图1，点 是抛物线 上一点，且位于 轴上方，横坐标为 ，连接 ，若 ，
求 的值；
（3）如图2，将抛物线 平移后得到顶点为 的抛物线 ．点 为抛物线 上的一个动点，过点 作
轴的平行线，交抛物线 于点 ，过点 作 轴的平行线，交抛物线 于点 ．当以点 ， ， 为顶
点的三角形与 全等时，请直接写出点 的坐标．33．（2024•文昌校级模拟）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，与
轴交于点 ，点 是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，当 时，求 的面积；
（3）当 时，求点 的坐标；
（4）如图2，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 ，使 是以点 为直角顶点的等腰直角三
角形，若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
