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第二十二章 二次函数·培优卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=2x−3 B．y=x2−5x+13
1
C．y=x2−(x+2)(x−3) D．y=x2− +2
x
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0的函数）叫
二次函数成为解题的关键．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y=x2−5x+13是二次函数，故本选项符合题意；
C．y=x2−(x+2)(x−3)=x+6，y是x的一次函数，故本选项不符合题意；
1
D．y=x2− +2不是二次函数，故本选项不符合题意．
x
故选：B．
1
2．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数y= x2+3的图象是一条抛物线，则下列说法错误
3
的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点(3,6)
C．抛物线的顶点是(1,3) D．当x>0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增
减性，逐一验证各选项的正确性．
1
【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因a= >0，故开口向上，A正确，不符合题意；
31
B、将x=3代入函数，得y= (3) 2+3=3+3=6，故抛物线经过点(3,6)，B正确，符合题意；
3
1
C、函数为y= x2+3，属于标准形式y=ax2+k，顶点坐标为(0,3)，而非(1,3)，C错误，符合题意；
3
D、因开口向上，对称轴为y轴（x=0），当x>0时，y随x增大而递增，D正确，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）（2025·浙江杭州·三模）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如
下表,则这个二次函数图象的对称轴是直线（ ）
x …… −4 −2 0 3 5 ……
y …… −m2−21 −m2−5 0 −m2 −m2−12 ……
1
A．x=−1 B．x=0 C．x= D．x=1
2
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数，理解表格信息，掌握待定系数法是关键．
通过观察表格中x=0时y=0，确定c=0，函数式为y=ax2+bx，利用其他点的坐标建立方程组，解得
a=−1，b=2，从而对称轴为x=1．
【详解】解：1. 确定c的值：当x=0时，y=0，代入函数式得c=0，故函数式为y=ax2+bx，
2. 建立方程组：
当x=−4时，y=16a−4b=−m2−21①；
当x=−2时，y=4a−2b=−m2−5②；
当x=3时，y=9a+3b=−m2③；
当x=5时，y=25a+5b=−m2−12④；
3. 解方程组：
③−②得，a+b=1，
m2−11
①−②×2得，8a=m2−11，则a= ，
8
3m2−1
①−②×4得，4b=3m2−1，则b= ，
4
m2−11 3m2−1
∴a+b= + =1，
8 4
整理得，7m2=21，
解得，m2=3，m2−11 3−11 3m2−1 3×3−1
∴a= = =−1，b= = =2，
8 8 4 4
b
4. 求对称轴：对称轴公式为x=− ，代入a=−1，b=2，得x=1，
2a
∴二次函数图象的对称轴是直线x=1，
故选：D．
4．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点A(−2,y ),B(2,y ),C(3,y )在抛物线
1 2 3
y=2(x+1) 2+m上，则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y 3>1，
∴y 2 即 b>4 时，最小值在 x=2 处，
2
则y=22−2b+1=5−2b=−3，
解得 b=4，但 b>4 不成立，舍去，
综上，b=4或−5．
故选：B．
6．（3分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线y=a(x+3) 2+2（a为常数，a≠0），将抛物线向下平
移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（ ）
1 1
A．−2 B．2 C．− D．
2 2
【答案】D
【分析】本题考查抛物线的平移，抛物线与x轴的交点．将原抛物线向下平移4个单位后得到新抛物线，
求出其解析式并确定与x轴的交点，利用交点间距为4建立方程求解a的值．
【详解】解：原抛物线为y=a(x+3) 2+2，向下平移4个单位后得到新抛物线y=a(x+3) 2−2．
√2
令y=0，则a(x+3) 2−2=0，解得x=−3±❑ ，
a( √2 ) ( √2 )
∴新抛物线与x轴的两个交点坐标为 −3+❑ ,0 ， −3−❑ ,0 ，
a a
∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4，
( √2) ( √2)
∴ −3+❑ − −3−❑ =4，
a a
1
∴a= ．
2
故选：D．
7．（3分）（2025九年级下·湖北·学业考试）已知不等式ax2−5x+b>0的解集为−3 B．x<− 或x>
2 3 3 2
1 1 1 1
C．− 0的解集．
【详解】解：∵不等式ax2−5x+b>0的解集为−30，从而即可得到答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=a(x+1) 2+2，且抛物线的图象开口向上，
∴a>0，
∴y=(x+1) 2+2，
故答案为：y=(x+1) 2+2．
12．（3分）（2025·山西临汾·三模）将抛物线y=x2−6x+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位
长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】(1,−5)
【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移
的规律．先把y=x2−6x+1配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得
到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标．
【详解】解：将抛物线y=x2−6x+1化为顶点式有y=(x−3) 2−8，
再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
得y=(x−3+2) 2−8+3=(x−1) 2−5，故平移后的抛物线的顶点坐标是(1,−5)，
故答案为：(1,−5)．
13．（3分）（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数y=−x2+bx+c的部分图象如图所示．若y>0，
则x的取值范围是 ．
【答案】−3x>−3
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛
物线与x轴的另一个交点的坐标是解题的关键．
根据抛物线的对称轴为x=−1，一个交点为(1,0)，可推出另一交点为(−3,0)，结合图象求出y>0时，x的
范围．
【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=−1，一个交点为(1,0)，
根据对称性，则另一交点为(−3,0)，
所以y>0，x的取值范围是−30；②a−2b+4c>0；③25a−10b+4c=0；④3b+2c>0；其中所有正
2
确的结论是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可．
【详解】由图像可知a<0，b<0，c>0，
∴abc>0，故①正确．
1
当x= 时，y=0，
2
1 1
即 a+ b+c=0
4 2
∴a+2b+4c=0
∴a+4c=−2b
∴a−2b+4c=−4b>0，故②正确．
1 5
由对称轴为x=−1，与x轴一个交点为( ,0)可知与x轴另一个交点为(− ,0)
2 2
25 5
即 a− b+c=0
4 2
化简得25a−10b+4c=0，故③正确．
∵对称轴为x=−1b
∴− =−1
2a
1
∴b=2a，a= b
2
1
将a= b代入a+2b+4c=0有
2
1
b+2b+4c=0
2
8
即b=− c
5
8 14
∴3b+2c=3(− c)+2c=− c<0，故④错误．
5 5
综上所述①②③正确．
故答案为①②③．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（22-23九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下
表：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 …
y … 5 0 −3 −4 −3 0 5 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在图中画出这个二次函数的图象；
(3)当−30)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x =3,x =4，有y = y ，求t的值；
1 2 1 2
(2)若对于2t，即可求解．
2 2 2 2
【详解】（1）解：∵对于x =3,x =4有y = y ，
1 2 1 2
x +x 7
∴抛物线的对称轴为直线x= 1 2= ，
2 2
∵抛物线的对称轴为x=t．
7
∴t= ；
2
（2）解：∵当20，
1 2
∴(x ,y )离对称轴更近，x t，
25
即t≤ ．
2
21．（10分）（23-24九年级上·陕西延安·期中）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，
当水位上升3m时，水面宽CD=10m．按如图所示建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位
每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不
变，那么它能否安全通过此桥？
1 4
【答案】(1)y=− x2+ x
25 5
(2)如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得B(20，0)，C(5，3)，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的
高度，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，B(20，0)，C(5，3)，
设抛物线解析式为y=ax(x−20)，
∴5a(5−20)=3，
1
∴a=− ，
25
1 1 4
∴抛物线解析式为y=− x(x−20)=− x2+ x；
25 25 5
（2）解：船行驶到桥下的时间为：36÷6=6小时，
水位上升的高度为：0.3×6=1.8m．
1 4 1
∵抛物线解析式为y=− x2+ x=− (x−10) 2+4，
25 5 25
∴抛物线顶点坐标为(10，4)，
∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为4−1.8=2.2m>2m，
∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．22．（10分）在平面直角坐标系中，设二函数y＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0
1
（1）求证：函数y 与x轴有交点；
1
（2）若函数y＝mx＋n经过函数y 的顶点，求实数m，n的关系式；
2 1
（3）已知点P（﹣3，a），Q（x，b）在函数y 的图象上，若a≥b，求x 的取值范围．
1 1 1
【答案】（1）证明见详解；（2）实数m，n的关系式为：n=−m2−m−1；（ ）x 的取值范围为：
1
−3≤x ≤1． 3
1
【分析】（1）将二次函数解析式先进行化简，然后根据判别式进行判断即可；
（2）将y 化为顶点式，然后代入y 解析式，化简即可得出实数m，n的关系式；
1 2
（3）根据二次函数y 的基本性质，确定对称轴及开口方向，作出草图，结合题意即可得出取值范围．
1
【详解】解（1）y =(x−m)(x+m+2)=x2+2x−(m2+2m)，
1
a=1，b=2，c=−(m2+2m)，
Δ=b2−4ac=4+4×1×(m2+2m)=4(m+1) 2≥0，
∴函数y 与x轴有交点；
1
（2）y =x2+2x−(m2+2m)=(x+1) 2−(m+1) 2，
1
∴顶点坐标为：(−1,−(m+1) 2 )，
∵函数y =mx+n经过函数y 的顶点，
2 1
∴−(m+1) 2=−m+n，
化简可得：n=−m2−m−1，
∴实数m，n的关系式为：n=−m2−m−1；
（3）抛物线y 的对称轴为：x=−1，
1
∵二次项系数a=1>0，开口向上，作草图如下：∴（-3，a）与（1，a）关于x=−1对称，
∵a≥b，
∴根据函数图象的性质可得：−3≤x ≤1，
1
∴x 的取值范围为：−3≤x ≤1．
1 1
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质、与一元二次方程的联系，函数增减性，理解题意，结合函数
图象是解题关键．
23．（12分）（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
背景 ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，
1 或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
生产背
景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
背景
②“正”服装：48元/件；
2
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均
每件获利将减少2元．
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
每人每天加工量
服装种类 加工人数（人） 平均每件获利（元）
（件）
信息整理 风 y 2 24
雅 x 1
正 1 48任务
探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探究任 任务
建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
务 2
任务
拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
1 70
【答案】任务1：y=− x+ ；任务2：w=−2x2+72x+3360(x≥10)；任务3：安排19名工人加工
3 3
“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有
(70−x−y)人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100−2(x−10))，然后将2种服装的获利求和即可得出
结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有(70−x−y)人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴(70−x−y)×1=2y，
1 70
整理得：y=− x+ ；
3 3
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100−2(x−10))，
∴w=2y×24+(70−x−y)×48+x[100−2(x−10))，
整理得：w=(−16x+1120)+(−32x+2240)+(−2x2+120x)
∴w=−2x2+72x+3360(x≥10)
任务3：由任务2得w=−2x2+72x+3360=−2(x−18) 2+4008，∴当x=18时，获得最大利润，
1 70 52
y=− ×18+ = ，
3 3 3
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x=17或x=19，
53
当x=17时，y= ，不符合题意；
3
51
当x=19时，y= =17，符合题意；
3
∴70−x−y=34，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得
最大利润．
24．（12分）如图，抛物线经过点A(−3,0)、B(1,0)、C(0,3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P(m,n)是抛物线上的动点，当−3
