文档内容
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 实际问题与一元二次方程(3)
一、导学
1.导入课题：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正
中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬
所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如
何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
2.学习目标：列一元二次方程解决图形的面积问题.
3.学习重、难点：
重点：会列一元二次方程解决图形的面积问题.
难点：会恰当设未知数列出方程.
4.自学指导：
(1)自学内容：教材第20页到第21页“探究3”.
(2)自学时间：10分钟.
(3)自学方法：充分利用图形寻找等量关系，再根据等量关系列出方程.
(4)探究提纲：
①根据题目的已知条件，得出上下边衬与左右边衬的宽度之比是27∶21=9∶7，你知道
是怎样得出来的吗？请你推一推.
设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm.
由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 (27-9a)∶ (21-7a)=9(3-a)∶7(3-a)=
9∶7
②书上设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为xcm，这样做有什么好处？
列出的方程为整数式，方便计算
③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法
吗？原方程可化为9(3-2x)·7(3-2x)= ×27×21，
∴(3-2x)2= ，∴x= .
④方程的哪个根符合实际意义？为什么？
x= x= 符合实际意义，因为取x= ，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不
符合实际.
⑤如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解.
设中央矩形的长为9xcm,则宽为7xcm.
⑥练习：要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且
镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位)？
设镜框的宽度为xcm.
二、自学学生可参考自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：(1)明了学情：教师深入课堂了解学生的自学进度，观察学生是否能独立推出上下边衬与
左右边衬的宽度比为9∶7.
(2)差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
2.生助生：生生互动，交流研讨.
四、强化
1.点学生板演探究提纲第⑤、⑥题，并点评.
2.几何问题中设未知数的方法及等量关系.
3.“面积、体积问题”常用公式：
(1)直角三角形的面积公式，一般三角形的面积公式；
(2)正方形的面积公式，长方形的面积公式；
(3)梯形的面积公式；
(4)菱形的面积公式；
(5)平行四边形的面积公式；
(6)圆的面积公式.
五、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中你有什么收获？还有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习主动参与性、小组交流合作情况、学习方法和效果等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的实际问
题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能
力的拓展、发散有很大的帮助.
(2)列一元二次方程解决实际问题是让数学回归生活，是对一元二次方程解法的延伸，同
时又是一元二次方程或二元一次方程组解决实际问题步骤的总结和内容的升华，列一元二
次方程解决实际问题是下章中学习用二次函数解决问题的基础.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(60分)
1.(20分)从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是(D)
A. 8cm B. 64cm C. 8cm2 D. 64cm2
2. (20分)直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.则其两条直角边长分别是
6cm 、 8cm .
3.(20分) 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框.已知长方
形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的边
框宽.
解：设长方形框的边框宽为xcm.
依题意，得(30-2x)(20-2x)=600-400.整理，得x2-25x+100=0,解得x=5, x=20(舍去).
1 2
∴x=5.
答：这个长方形框的边框宽为5cm.
二、综合应用(20分)
4.(20分)小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各
围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说
明理由.
解：(1)设其中一个小正方形的边长为xcm,则另一个小正方形的边长为 =(10-x)cm.
依题意x2+(10-x)2=58，解得x=3, x=7.
1 2
当x=3时，小正方形周长为12cm；当x=7时，小正方形周长为28cm.
∴小林应把长为40cm的铁丝剪为28cm和12cm的两段.
(2)对.两个正方形的面积之和为：
x2+(10-x)2=2x2-20x+100=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50
∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的.
∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50cm2的，所以不可能等于
48cm2.
小峰的说法是对的.
三、拓展延伸(20分)
5.(20分)如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图 案，其中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的
四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)？
解：设横彩条的宽度为3x cm.则竖彩条的宽度为2x cm.
答：横彩条的宽度约为1.8cm,竖彩条的宽度约为1.2cm.
