文档内容
第 3 课时 实际问题与一元二次方程（3）
【知识与技能】
1.探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方
程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.
2.能根据实际问题的意义检验结果的合理性.
【过程与方法】
经历数学建模建立一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能
力.
【情感态度】
通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提
高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用.
【教学重点】
列一元二次方程解决实际应用问题.
【教学难点】
寻找问题中的等量关系.
一、情境导入，初步认识
问题现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大
小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪
去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.
【教学说明】通过问题引入本节要处理的问题，使学生初步感受到一元二次
方程也是解决几何问题的重要手段之一，引入新课.
二、思考探究，获取新知
探究教材20页探究3.
【教学说明】让学生自主探究，相互交流，尝试寻求解决问题的方法.为了帮助
学生更好地理解题意，可设置如下几个问题：（1）中央长方形的长与宽的比是多
少呢？（2）如果设出中央长方形的长的话，你能求出左、右边衬的宽吗？上、下边
衬的宽呢？（3）问题中的等量关系是什么？由此你能得到怎样的方程？（4）如果
将问题中的等量关系（四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一）转
化为中央长方形面积与整个长方形面积之间的关系时，结论如何？由此你又能列
出怎样的方程呢？然后教师在巡视过程中，关注学生的解题方法，选取有代表性的依据不同方式而获得结论的学生上黑板展示他们的解答过程，共同分析，提高
认知.
三、典例精析，掌握新知
例1有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，
如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长
和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，
利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整
理方程，得2x2+9x-9=0.解得x ≈0.84,x ≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长
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约为7.7尺，宽约为4.7尺.
例2如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，
且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
分析:如图,若设 BC=xm，则 AB 的长为 m,若设 AB=xm,则 BC=(35-
2x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC
边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解
题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
解:(1)设BC=xm,则AB=CD= ，依题意可列方程为x· =150,
解这个方程，得x =20,x =15.
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当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，当BC=15m时，AB=CD=10m.即这个长方
形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;
(2)当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺
口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;
(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由（1）知AB=
m, 从 而 有 x· =160, 方 程 整 理 为 x2-35x+320=0. 此 时 Δ=352-
4×1×320=1225-1280＜0,原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不
可能围成面积为160m2的鸡场.【教学说明】以上两例均应先让学生独立思考，探索出问题的解.教师在学生
自主探究过程中，应关注学生是否能正确理解题意，如何设未知数并构建方程，
是否能根据问题的实际意义检验结果的合理性等，及时帮助学生克服困难，掌握
列方程解决实际问题的方法.最后师生共同给出答案.让学生进一步加深理解，在
反思中获取新知.
四、运用新知，深化理解
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ ）
A. B.5
C. D.7
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为
48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为_____.
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地
毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积
为40m2，求花边的宽.
4.如图，在△ABC中，∠B=90°,点P从点A开始，沿AB边向
B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以
2cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A,B同时出发，经过几秒
钟，△PBQ的面积等于8cm2？
【教学说明】让学生学以致用，巩固新知.
【答案】1.B 2.64cm2
3.解：设花边的宽为xm，依题意有（6+2x）(3+2x)=40，解得x =1,x =-1/12(不合
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题意应舍去)，即花边的宽度为1m.
4.解：设要经过x秒钟，则1/2（6-x）·2x=8.整理得x2-6x+8=0,解得x =2,x =4,∴
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经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？
你认为有哪些地方需要特别注意？
【教学说明】让学生回顾整理本节知识，反思学习过程的体会，加深理解.
1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单
的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提
高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的
延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升
华，列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的基础.
