文档内容
22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
一、新课导入
1.导入课题:
问题:如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析
式吗？
板书课题：二次函数的解析式.
2.学习目标:
会用待定系数法求二次函数的解析式.
3.学习重、难点:
重点：用待定系数法求二次函数的解析式.
难点：合理选用适当方法求二次函数的解析式.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：已知三点求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
①回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的
解析式的关键是什么？
② 请仿照求一次函数的解析式的步骤，求图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点二次函数的解
析式.
③总结用待定系数法设一般式求二次函数的解析式的一般步骤．
2.自学：学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内同学相互交流研讨，纠错.4.强化：
（1）已知三点坐标求二次函数解析式的一般步骤.
（2）练习：已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，5），C（0，-3），求抛物线的解析式.
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A（-1，0）,B（4，5）,C（0，-3）.
∴ .解得
∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3
1.自学指导:
（1）自学内容：已知顶点求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
①图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是 y=a( x -h) 2 +k ，如果顶点坐标已知，那么求解析
式的关键是什么？
如何设解析式
②已知抛物线顶点为(1,－4)，且又过点(2,－3)，求其解析式.
设抛物线解析式为 ，抛物线过点（2,-3），则 ，则a=1.
∴抛物线解析式为 .
③总结已知顶点坐标和一点，求二次函数的解析式的一般步骤.
设解析式为y=a(x-h)2+k.将已知点坐标代入求a值得出解析式.
2.自学:学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会设顶点式.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正错误.
4.强化：（1）已知顶点坐标求二次函数解析式的一般步骤.
先设，再代值，求解
（2）已知抛物线顶点为(2,3)，且又过点(0,1)，求其解析式.
解：设其解析式为y=a(x-2)2+3,∵抛物线过点（0，1），
则1=a(0-2)2+3,解得 ，
∴其解析式为 .
1.自学指导：
（1）自学内容：已知图象与x轴两交点坐标求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1；当x＝-2与 时，y＝0，求这个二次函
数的解析式.
① 方法1：设y=a(x+2)(x- ),再把x=0，y=-1代入其中求出a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，由“x=0时，y=-1， x=-2与 时，y=0”，列方程组求出a,b,c的值.
两种方法的结果一样吗？哪种方法更简捷？
②由①的探究结果，当二次函数的图象与x轴两交点为(x,0)，(x,0)时，可设y= a( x - x )( x -
1 2 1
x),然后把第三个点代入其中求a即得.
2
③已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点(两点的纵坐标都
为0)，与y轴交于点C（0，3），求这个二次函数的解析式.
∵图象与x轴交于A（1,0），B（3,0），
∴设函数解析式为y＝a（x-1）（x-3）.
∵图象过点（0,3），∴3=a（0-1）（0-3），解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
2.自学：学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会设交点式.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、订正错误.
4.强化：
（1）已知图象与x轴两交点坐标求二次函数的解析式的一般步骤.
（2）点一学生板演自学参考提纲第③题，并点评.
1.自学指导：
（1）自学内容：已知图象上关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲完成探究任务.
（4）自学参考提纲：
①已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，1），B（3，1）两点，与y轴交于点C
（0，3），求这个二次函数的解析式.
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C（0，3）代入其中求出a的值.
方法2：把A（1，1），B（3，1），C（0，3）代入其中列方程组求a,b,c的值.
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
②由①的探究结果，当二次函数的图象经过两点(x,k)，(x,k)(两点的纵坐标相等)时，可
1 2
设y= a( x - x )( x - x )+k，然后把第三个点代入其中求a即得.
1 2
③已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（－1，3），（1，3），（2，6），求这个二次函数的
解析式.
设其解析式为y=a（x-1）（x+1）+3,∵图象经过点（2，6），
∴6=a（2-1）（2+1）+3，解得a=1.
∴二次函数解析式为y=（x-1）（x+1）+3=x+2.
2
2.自学：学生根据探究提纲完成探究.
3.助学：（1）师助生：
①明了学情：明了学生是否会设对称式.
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨、修正错误.
4.强化：
（1）已知图象上关于对称轴对称的两点坐标，求二次函数的解析式的一般步骤.
（2）点一学生板演自学参考提纲第③题，并点评.
（3）练习：已知函数的图象过A（-2，2），B（1，2），C（0，3），求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)+2.
∵图象过C(0，3).∴3=a(0+2)(0-1)+2,解得 .
∴这个二次函数的解析式为
即 .
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能和
方法？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、效果及存在的问题等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：在求解析式时应注意让学生灵活选用不同的方法，另外
还要向学生渗透转化思想，即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.此外，对于
用待定系数法求解析式，由于教材是选学内容，教师应让学生体验过程即可，关键是让学生
灵活运用一般式、顶点式来求解析式.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）1.(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（-2，-
2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（D）
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2.(10分) 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过（1，2）和（-1，-6）
两点，则a+c= - 2 ．
3.(10分)已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当
x=3时有最大值4，则其解析式为 .
4.(40分)已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式：
（1）（-1，-1），（0，-2），（1，1）.y=2x2+x-2
（2）（-1，0），（3，0），（1，-5）.
二、综合应用（20分）
5.(20分) 如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交
于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）、（0，4），求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A（8,0）及对称轴为直线x=3,知抛物线一定过点（-2，0）.
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8)，∵抛物线过点（0，4），
∴4=a(0+2)(0-8)，解得 .
∴这个抛物线的解析式为
三、拓展延伸（10分）
6.( 10分)已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解：由题意可知抛物线与x轴交点坐标为（5，0），（-3，0）,
设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点（1，16），
∴16=a(1-5)(1+3)，解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
