文档内容
24.2.2直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
一、新课导入
1.导入课题：
情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点
A重合的点为B.
问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？
问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关
系？
这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).
2.学习目标：
（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.
（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.
（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
3.学习重、难点：
重点：切线长定理及其运用.
难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.
二、分层学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究提纲：
①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.
②在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间线段的长 叫做这点到圆的切线长，
如图的线段PA 与线段PB 的长就是点P到⊙O的切线长.
③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？
PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而
得出结论.
④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆 外 一点引圆的 两 条切线，它们的切线长 相等 ，
这一点和圆心的连线 平分 两条切线的 夹角 .
几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.
∴PA = PB,OP平分 ∠ APB .
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.
②差异指导：根据学情确定指导方案.
（2）生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）切线长定理及它的证明.
（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？
哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O的半径
长吗？
解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O
的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.
解得r=3. 即⊙O的半径长为3.
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.
(4)自学参考提纲：
①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.
因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；
因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；
所以点I是 ∠ ABC 与 ∠ ACB 平分线 的交点.
a.作∠ABC的平分线， ∠ ACB 的平分线 ，交于点I；
b.过I作ID⊥BC于D，以 I 为圆心，ID 为半径画圆，则⊙I
即为所求.②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是
三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.
③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、
AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.
设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.
解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.
2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.
②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.
（2）生助生：生生互动，交流，研讨.
4.强化：
(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.
(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ ∠ABC+ ∠ACB= ×（50°+75°）＝62.5°.
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？
掌握了哪些解题方法？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果
及存在的问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切
线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，
经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且
AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）
A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
2.(10分) 如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C）
A.172° B.130° C.133° D.100°
3.(10分)如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=3cm.若
∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝ .
4.(20分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求
∠P的度数.
解：∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.
∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.
∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.
5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且xY⊥WY,这个油桶底面半径是
多少?
解：设圆心为O，连接OW,Ox.
∵YW,Yx均是⊙O的切线，
∴OW⊥WY,Ox⊥xY，
又∵xY⊥WY,∴∠OWY＝∠OxY＝∠WYx＝90°，
∴四边形OWYx是矩形，又∵OW=Ox.∴四边形OWYx是正方形.∴OW=WY=1.65m.
即这个油桶底面半径是1.65m.
二、综合应用（15分）
6.(15分)△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设
△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC）
解：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC.
则
.
三、拓展延伸（15分）
7.(15分)如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且
AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm，求BC的长.
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，则OB平分∠EBF，DC平分∠FCG.
∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.
∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°.
∴在Rt△BOC中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm）.
