文档内容
第 2 课时 切线的判定与性质
【知识与技能】
能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的
判定定理和性质定理解决问题.
【过程与方法】
经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能
合作探究的良好学习习惯.
【情感态度】
体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严
谨性及结论的正确性.
【教学重点】
切线的判定定理及性质定理的探究和运用.
【教学难点】
切线的判定定理和性质的应用.
一、情境导入，初步认识
情境1 下雨天，小孩子总喜欢转动雨伞，你发现雨伞的水珠顺着伞面的边缘
飞出，水珠是顺着什么方向飞出的？
情境2 用机器打磨铁制零件时，铁屑是沿什么方向飞出的？
情境3用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆
突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺着什么方向飞出吗？
【教学说明】通过观察生活中的实例，使学生初步感知直线与圆相切的情景，
深化学生思想中的数学模型.
二、思考探究，获取新知
1.切线的判定定理
思考1 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O
到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？分析：∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点.
∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即
是⊙O的半径.
∴直线l与⊙O相切.
【归纳总结】
切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线.
【教学说明】结合切线的定义以及“如果圆心到直线的距离等于半径，那么
直线和圆相切”，引导学生得出结论.在切线的判定定理中，“经过外端”和“垂
直于半径”两者缺一不可.
试一试 （1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？（只能
作一条直线）
（2）下图中的直线是圆的切线吗？（都不是圆的切线）
2.切线的性质定理
思考2 已知直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一
定垂直呢？为什么？（学生讨论，由学生代表回答）
教师点评：由于l是⊙O的切线，点A为切点，∴圆心O到l的距离等于半径，
所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴OA⊥直线l.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A.∴OA⊥直线l.
【教学说明】这个问题在引导学生分析时，直接证明比较困难，我们可以运用
反证法.假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性
质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，直线l与⊙O就相
交了，而这与直线l与⊙O相切矛盾.因此，OA垂直于直线l.
三、典例精析，掌握新知
例1 教材98页例1.（要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件，即
“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.
例 2 （1）如图（1），AB 是⊙O 的弦，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，
∠PAB=30°，求∠AOB.
（2）如图（2），AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA、CB，AB=12，
∠ACD=30°，求AC的长.
解：（1）∵△OAB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA.又∵PA是⊙O的切线，∴由切线的性质可知：PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°，
∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.
（2）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，而∠ACD=30°，.
∴∠OCA=60°，
∴△OAC是等边三角形，AC=OA=r=1/2×AB=1/2×12=6.
【教学说明】例1是对切线的判定定理的应用，要使学生掌握用这个定理来
证明切线的关键（紧扣两点）.例2是利用切线的性质解题.在解决与圆有关的切线
的问题时，常见辅助线有：（1）已知直线是圆的切线时，通常连接过切点的半径，
则这条半径垂直于切线.
（2）要证明一条直线是圆的切线：①若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：已知公共点，连半径证垂直.②若直
线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的
半径长.即：未知公共点，作垂线证半径.这种题型后面会给出练习.
四、运用新知，深化理解
1.完成教材第98页练习1、2.
2.如图，已知PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，求证：AC
是⊙O的切线.
【教学说明】教材上的练习1、2由学生自主完成，加深对切线的判定及性质
的理解掌握；第2题是对切线的性质与判定的综合应用，教师可先让学生独立思
考，再加以提示.最后，师生共同完成解题.
【答案】1（. 1）∵AT=AB，∴∠B=∠T=45°，∴∠A=180°-∠B-∠T=90°.又∵AB
是⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线.
（2）l ∥l ，理由如下：∵AB是⊙O的直径，且l1、l2是⊙O的切线，∴l ⊥AB，
1 2 1
l ⊥AB，∴l ∥l .
2 1 2
2.过O点作OF⊥AC于点F，连接OE.则OE⊥AE.∴∠OEA=∠OFA=90°，又
∵PA是∠BAC的平分线，∴∠OAE=∠OAF，∵AO=AO，∴△OAF≌△OAE，
∴OF=OE.又∵OE是半径，∴OF也为半径长.∴AC是⊙O的切线.
五、师生互动，课堂小结
1.让学生回顾本堂课的两个知识点.
2.试着让学生自己总结切线的证明方法，然后相互交流.
【教学说明】在这一环节，教师要尽可能地让学生自主总结与交流，然后适当
地予以点评和补充.
1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着
又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法
证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.
