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专题 01 集合、常用逻辑用语、复数
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题型01 元素与集合的关系辨析应用..........................................................................................................................1
题型02 根据集合的包含关系求参数..........................................................................................................................2
题型03 集合交并补混合运算及参数问题.................................................................................................................3
题型04 集合中的新定义问题......................................................................................................................................4
题型05 充要条件及其求参数问题..............................................................................................................................5
题型06 全称量词和存在量词命题及其求参数问题.................................................................................................7
题型07 复数综合运算..................................................................................................................................................8
题型 01 元素与集合的关系辨析应用
【解题规律·提分快招】
与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧
（1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.
（2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.
（3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.
（4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·广东河源·模拟预测）已知集合 ， ，若 且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川内江·三模）若集合 有6个非空真子集，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ，若集合中至少有2个元素，则（ ）A． B． C． D．
4．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合 ，则（ ）
A．对任意实数a， B．对任意实数a，
C．当且仅当 时， D．当且仅当 时，
二、填空题
5．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知集合 ，若集合
中有且只有一个元素，则
题型 02 根据集合的包含关系求参数
【解题规律·提分快招】
根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做
到不漏解.
①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互
异性.
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点
值能否取到
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合 ， ，若 ，则m的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖北·一模）已知集合 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合 ，若集合
，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
4．（2024·上海长宁·一模）已知 ，若 是 的充分条件，则实数m的取值范围
是 ．
5．（2024高三·全国·专题练习）设 ， ，若对于任意 ，总存在
，使得 成立，则a的取值范围是 .
题型 03 集合交并补混合运算及参数问题
【解题规律·提分快招】
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
［注意］ 在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知全集 ，集合 ， 则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，
每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的
有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45 B．48 C．53 D．434．（24-25高三上·江西赣州·期中）设全集 ，集合 ，集合
，则集合 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ，集合 ，集合 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型 04 集合中的新定义问题
【解题规律·提分快招】
解决以集合为背景的新定义问题的关键点
（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要
求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相
关性质求解.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集 的“和睦数 ”如下：将 中的元素按照递减的次
序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合 的“和睦数”是
， 的“和睦数”是 ， 的“和睦数”是1.对于集合
，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ）
A．82 B．74 C．12 D．70
2．（24-25高三上·上海·期中）已知集合 ，若对于任意实数对 ，存在
，使 成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
① ；② ；
③
④ ；
其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
3．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德
国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科
学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集 划分为两个非空
的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每个元素都小于 中的每个元素，称 为戴
德金分割．下列结论正确的是（ ）
A． 是一个戴德金分割
B．存在一个戴德金分割 ，使得 有一个最大元素， 没有最小元素
C．存在一个戴德金分割 ，使得 有一个最大元素， 有一个最小元素
D．存在一个戴德金分割 ，使得 没有最大元素， 也没有最小元素
4．（2024·吉林长春·模拟预测）对于集合 ，若 ，则称 为对偶互存集，则下列为对偶互
存集的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·福建·模拟预测）若平面点集 满足：任意点 ，存在 ，都有 ，则
称该点集 是 阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 是3阶聚合点集
B．存在 对任意正数 ，使 不是 阶聚合点集
C．若 ，则 不是 阶聚合点集
D．“ ”是“ 是 阶聚合点集”的充要条件
题型 05 充要条件及其求参数问题
【解题规律·提分快招】充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数
的不等式（组）求解.
（2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能
够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 为虚数单位 的共轭复数为 ，则“ 为纯
虚数”的充分必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）“直线 与圆 相交”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知： ．若 是 的充分不必要条件，则
实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面
， 分别为 的中点，则 的一个充要条件为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·北京·阶段练习）设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件题型 06 全称量词和存在量词命题及其求参数问题
【解题规律·提分快招】
根据命题的真假求参数的值（范围）的思路
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类
问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式
（组），再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知命题 ， 或 ，则 为（ ）
A． ， 且 B． ， 且
C． ， 或 D． ， 或
2．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若命题“ ， ”为假命题，则实数 的最小值
是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
3．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）给出下列四个结论：
“ ”是“ ”的充分不必要条件；
①若命题 ，则 ；
②若 ，则 是 的充分不必要条件；
③若命题q：对于任意 为真命题，则
④其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25高三上·福建龙岩·期中）命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）下列命题中，是真命题的有（ ）
A． B．
C． D．题型 07 复数综合运算
【解题规律·提分快招】
复数代数形式运算的策略
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）欧拉公式 是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的
取 就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数 满足 ，则 的最大
值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 是关于 的方程 的两根，则（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 中至少有一个为0
C．
D．若 ，则一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山西长治·一模）已知集合 ，则图中阴影部分表示的
集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知i是虚数单位， ，则 =（ ）
A． B． C．6 D．50
4．（24-25高三上·上海奉贤·期中）设 ，则 是 的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
5．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，
每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的
有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45 B．48 C．53 D．43
6．（2024高三下·江西新余·专题练习）已知集合 ，
，则：（ ）.
A． B． C． D．
7．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合 ， ，若 中
有且仅有两个元素，则实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集 ， ，则集合B的元素个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．不确定
9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
10．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同
写出三个集合： ， ， ，然后他们三人各用一句话来正
确描述“ ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小
于5的正整数；乙： 是 的必要不充分条件；丙： 是 的充分不必要条件.则“ ”表
示的数字是（ ）
A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3
11．（23-24高三下·重庆·开学考试）设集合 ，那么集合 满足条件“
”的元素个数为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
12．（24-25高三上·青海·期中）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
13．（2024高三·全国·专题练习）设 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件
D． ，使得
14．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知集合 ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知复数 的共轭复数分别为 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
16．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知集合 ，若实数 ， 满足：对任意的
，都存在 ，则称 是集合 的“围栏实数对”．若集合 ，则
下列集合中存在集合 的“围栏实数对”的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024·浙江·一模）对于集合 中的任意两个元素 ，若实数 同时满足以下三个条件：
①“ ”的充要条件为“ ”；
② ；
③ ，都有 ．
则称 为集合 上的距离，记为 ．则下列说法正确的是（ ）
A． 为
B． 为
C．若 ，则 为
D．若 为 ，则 也为 （ 为自然对数的底数）
三、填空题
18．（2024高三·全国·专题练习）设 ，集合 ，则 ．
19．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知集合 ，若 ，则实数a的取
值范围是 ．
20．（24-25高三上·河南许昌·期中）若 ，使得 ，则实数 的取值范围为 .
21．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则 ，就称 是伙伴关系集合，集合
的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 .
