高分突破-数学-8下-详细参考答案_2026中考押题卷合集_2026新中考中考全科资料_2026春初中数学八年级下册《高分突破》含答案（人教版）(1)

数学八年级(下册)· 参考答案 R 精讲部分 第19章 二次根式 解 原式 1 . 解 原式 . 19.1 二次根式及其性质 (2) : =9× =3 (3) : =4×5=20 3 第 课时:【知识导航】回顾: 两 没有 解 原式 x . 1 (1) (2)0 (3) (4) : =2 -3 1. a 注意: 非负数 1. (2) B 2.正数或 a 注意: 非负数 分母不为零 0 ≥0 (1) (2) 2. 解 原式 . 解 原式 3. 【典例导思】[例1]解 一定是二次根式. (1) : =10 (2) : = :(1)(2)(7)(8) 2 1. D 解 原式 8. 解 原式 a2 . 2 (3) : = (4) : = +1 .B 3 [例2]解 由a 得a . :(1) +1≥0, ≥-1 [例2]解 . 3 1 1 当a 时 a 在实数范围内有意义. :3 0 5 6 ∴ ≥-1 , +1 4 3 2 全体实数. a2不一定等于a. (2) (1) 由a 且 a 得a 且a . (3) +2≥0 3 ≠0, ≥-2 ≠0 当a 时 a2 a 当a 时 a2 a. ≥0 , = ; <0 , =- a x . 当a 且a 时 +2在实数范围内有意义. (2)①2- ②π-3 14 ∴ ≥-2 ≠0 , a 3. 3 D 4. a 由 1 且 x 得x . (1)7 (2)4 (3)3 (4) x≥0 3- ≠0, <3 [例3] 3- (1)A (2)1 解 由题意 得x x x . 当x 时 1 在实数范围内有意义. (3) : , -2≥0,2- ≥0,∴ =2 ∴ <3 , x y x x y 3- ∵ < -2+ 2- +4,∴ <4, (5) 由 2- a ≥0 且a -2≥0, 得a =2 . ∴ x +2+ y -4 - y2 -10 y +25 当a 时 a a 在实数范围内有意义. y y ∴ =2 , 2- + -2 =2+4- - -5 {x y y 由 +6≥0, 得 x 5 . =6- -(5- ) (6) x -6≤ ≤ y y 5-2 ≥0, 2 =6- -5+ . 当 x 5 时 x x在实数范围内有 =1 ∴ -6≤ ≤ , +6- 5-2 5. 6. 2 9 2 025 意义. 19.2 二次根式的乘法与除法 { x 第 课时:【知识导航】1.相乘 不变 2. a b 由 5-3 ≥0,得x 5 且x . 1 · (7) x ≤ ≠-2 【典例导思】[例1] 解 原式 . +2≠0, 3 (1) : = 15 ∴ 当x ≤ 5 且x ≠-2 时 , 5-3 x +( x +2) -1 在实数范 解 原式 4 3 (2) : = ×27 围内有意义. 3 3. = 36 D . 4.解 任意实数. =6 :(1) (2) 由1 x ≥0 且x ≠0, 得x >0 . (3) 解 : 原式 =2 xy · 1 y 由 x 且x 得 x . x. (3) 5- ≥0 -3≥0, 3≤ ≤5 =2 由x 且x 得x 且x . (4) { +4 x ≥0 -4≠0, ≥-4 ≠4 (4) 解 : 原式 = 2 5 ×12 由 -2 -7≥0,得x 7且x x 7. 3 2 (5) x ≤- ≠-3,∴ ≤- +3≠0, {a 2 2 = 2 30 . [例3]解 由题意 得 -5≥0, a 3 : , a ∴ =5, 1. 10-2 ≥0, B a a 即b ∴ -5+2 10-2 =0, +4=0, 2. 解 原式 1 . b . (1) : =2 6× =2 3 5. ∴ =-4 2 C 解 原式 xy2 x xy. 6. (2) : = 2 ·8 =4 225 7. a 解 原式 25 . 第 -3 课 < 时 ≤ : - 【 1 知识导航】1. a a (3) : =-2 12× =-20 3 2 (1) (2) 2. ≥ ≥ 解 原式 1 . 【典例导思】[例1] 解 原式 . (4) : = ×6×12=6 (1) : =6 2 数学八年级 下册 ( )·R 1[例2] 解 原式 . 1. (1) : = 25× 64=5×8=40 D 解 原式 . (2) : = 25×5= 25× 5=5 5 2. 解 原式 3 6 解 原式 . (1) : = (3) : = 3×54= 81×2= 81× 2=9 2 6 3 解 原式 . x4y6 x 1 . (4) : = 0 49 · = 2 . x4 y6 x 2 = 0 49· · · . x2y3 x. 解 原式 28 20 =0 7 (2) : = ÷ [例3] 解 原式 2 . 5 7 (1) : =3×2 5×15=6 5 ×3=30 3 28 7 (2) 解 : 原式 =-15 28× 8 =-15 4 2 ×2=-60 2 . = 5 × 20 7 3. 7. B = 4. 解 原式 . 5 (1) : = 4× 49=2×7=14 ( ) 解 原式 . 解 原式 2 1 4 (2) : = 100×3= 100× 3=10 3 (3) : = 9× × 解 原式 . 3 48 3 (3) : = 2×24= 16×3= 16× 3=4 3 1 解 原式 4 1 =6 (4) : =- ×3× 18×54×2 36 3 8 1 1 2 2 =6× =- 9 ×2 ×6 6 2 . . =1 =-9 6 a2b 解 原式 6 解 原式 9b2c2 ac (4) : = ab (5) : = · 3 4 a. = 2 9 b2 c2 ac = · · · [例2] 解 原式 25 4 (1) : = 3bc ac. 16 = 2 25 = [例4] 解 2 (1) :5 6= 5 ×6= 150, 16 6 5= 6 2 ×5= 180 . = 5. . 4 ∵ 150< 180,∴ 5 6<6 5 解 2 2 . 解 原式 8 (2) :(-2 11) =4×11=44,(-3 5) =9×5=45 (2) : = . 25 ∵ 44<45,∴ -2 11>-3 5 5. B 8 6. = (1)< (2)> (3)> 25 第 课时:【知识导航】1.被开方数 2 2.被除式 除式 2 2. = 3.不含分母 因数或因式 5 4.最简二次 根式 解 原式 (2 b ) 2 (3) : = a 2 【典例导思】[例1] 解 原式 72 (3 ) (1) : = b 6 2 . =- a 3 = 12 ( )( ) =2 3 . (4) 解 : 原式 = 1 1 + 2 1 1 - 2 9 3 9 3 解 原式 1 48 (2) : =- 2 3 16 4 = × 1 9 9 =- 16 2 2 8 . = =-2 2 解 原式 x3y2 x2y 9 (3) : =2 ÷ 8. xy. = =2 9 解 原式 2 2 5 3. 解 原式 32×9 (4) : =- × (1) : = 3 45 8 144 2 1 =- × 2×16×9 3 6 = 1. 144 =- . 9 = 2 数学八年级 下册 ( )·R 2[例2] 解 原式 解 原式 9 9 3. (1) : = 5+2 5-3 5 (2) : = = = . 25 25 5 =0 a5b3 a2b 2 ab a2b ab 解 原式 16 27 3 解 原式 4 (2 ) · . (2) : =2 3- - + (3) : = c2 = c 2 = 2 c 3 100 3 16 (4 ) x 4 3 3 [例3]解 因为 a a a . x =2 3- 3- 3+ : 12 = 4×3 =2 3 , 0 5 = = 3 10 3 2 7 . x = 3 2 a2b a a2 b a b 10 , 20 ( >0)= 4 ·5 = 2 5 , 2 解 原式 (3) : =4 3- 2- 3+2 2 x x a a = 3 , 2 = 2 3 , a2b -4 ab2 +4 b3 ( a > =3 3+ 2 . 3 3 3 3 解 原式 x x x 3 2 x b b a2 ab b2 b a b 2 (4) : =10 2 -5 2 -3 2 + 2 > 0) = ( -4 +4 ) = ( -2 ) = 2 a b b. x ( -2 ) 7 2 . x = 因此 ab a2 b2 是最简二次根 2 15, 3 , , - 3 [例3]解 1 1 3 1 . 式 其余不是. : 4- 4 + 18=2- 2+ 2=2- 2 , 2 3 2 2 [例4] 解 原式 5 10. 1 1 a b a b为有理数 (1) : = = ∵ 4- 4 + 18= + 2, , , 2 2 2 3 a b 1 解 原式 2( 3+1) . ∴ =2, =- , (2) : = = 3+1 2 ( 3-1)( 3+1) a b 1 2 2. [例5] 解 原式 1 3. ∴ - - = 2- = 2- = (1) : = 54÷2 6= 2 2 2 2 4 3. 解 原式 . (1) : =2 3-3 3=- 3 (2) 解 : 原式 = 14÷ 6× 27 = 14 × 27 = 3 14 . (2) 解 : 原式 =4 3+3 3+4-2 3-4 3=4+ 3 . 2 6 2 2 4. C 解 原式 2 2 6 2 11 3 . (3) : =2 6- + - + 6= 6- 2 5. 解 原式 2 3. 2 3 4 3 4 (1) : = 解 原式 m m m m m m m m. 3 (4) : = +2 -2 = 4.解 大正方形木板的边长为 所以这块木 解 原式 5 30. : 27 dm<6 dm, (2) : = = 板够宽. 6 6 两个正方形木板的边长之和为 (3) 解 : 原式 = 9 a2 ·5 b =3 a 5 b. 12+ 27=2 3+3 . (4) 解 : 原式 = x2 1 2 6 x x4 = 4 2 x . ∵ 3= 3 5 <1 3 . ( 8 d , m) ( ) 即两个正方形木板的边长之和小于这块 6.解 原式 5 16 ∴ 木 5 板 3 的 < 长 9, 所以这块木板够长. : = ÷(3 28)× -5 , 2 7 因此 可以用这块木板按要求截出两个面积分别是 , 5 5 1 16 2 和 2 的正方形木板. =- × × 12 dm 27 dm 3 2 28 7 第 课时:【知识导航】1.乘方 乘除 加减 2 2.a2 b2 a2 ab b2 5 10. - ±2 + =- 19. 2 3 1 二次根式的加法与减法 【典例导思】[例1] (1) 解 : 原式 =3 2-3÷3 2=3 2- 2 = 第 课时:【知识导航】1.最简 被开方数 2 1 b 5 2. 【典例导思】 [例 1] 解 1 3 a :∵ 27 = 3, a = 2 5 5 解 原式 (2) : =25 2-10 3+5 12-2 18 ab 1 5 . , 125= 5, =25 2-10 3+10 3-6 2=19 2 2 2 解 原式 . a (3) : =4- 6+2 6- 6=4 b ab 解 原式 - b =- , 45=3 5, 75=5 3, (4) : =(3 2+2 2+2 3)× 3 . b a =(5 2+2 3)× 3=5 6+6 1 与 a 与 b 1 与 可以 1. ∴ 27 75, a - b , 125 45 C 合并 5 . 2 2. (1) 解 : 原式 =(4 3-3 6)÷2 3 1. B 3 2. 2. =2- -1 2 数学八年级 下册 ( )·R 3( )( ) ( ) ( ) 解 原式 2 2 (2) : =6 6-4+9- 6 xy 11 7 11 7 11 7 . = + - = - =5 6+5 2 2 2 2 2 2 11 7 . 解 原式 1 3 1 = - =1 (3) : =3 2-6 × × 4 4 2 4 3 由 知 x y xy . (2) (1) , + = 11, =1 3 2 =3 2- x2y xy2 xy x y . 2 ① + = ( + )=1× 11= 11 y x y2 x2 x y 2 xy 3 2 . ② x + y = x + y = ( + ) xy -2 =( 11) 2 -2×1=11-2 = 2 . =9 解 原式 3( 5- 2) 第20章 勾股定理 (4) : = 2-2 5-2 2+ 20.1 勾股定理及其应用 ( 5+ 2)( 5- 2) =- 2-2 5+ 5- 2 第 1 课时:【知识导航】1.a2 + b2 = c2 . 【典例导思】[例1]解 C ° a b =-2 2- 5 :(1)∵ ∠ =90 , = =6, [例2] 解 原式 2 2 由勾股定理 得c a2 b2 2 2 . (1) : =(2 5) -2×2 5× 3+( 3) ∴ , = + = 6 +6 =6 2 C ° c b =20-4 15+3 (2)∵ ∠ =90 , =3, =2, . 由勾股定理 得a c2 b2 2 2 . =23-4 15 ∴ , = - = 3 -2 = 5 a b a b. 解 原式 2 2 (3)∵ ∶ =2∶1,∴ =2 (2) : =( 3) -( 2) 又 C ° c . ∵ ∠ =90 , =5 =3 . -2 ∴ 由勾股定理 , 得 (2 b ) 2 + b2 =5 2. =1 解得b 舍去 b . (3) 解 : 原式 =3-2 3+1+3-4 1=- 5( ), 2= 5 . A ° C ° c a 1c =3-2 3 (4)∵ ∠ =30 ,∠ =90 , =4,∴ = =2, 解 原式 2 2 2 (4) : =( 2+2) -( 3) 由勾股定理 得b c2 a2 2 2 . ∴ , = - = 4 -2 =2 3 =2+4 2+4-3 [例2]解 C ° BD平分 ABC交AC于点D . :(1)∵ ∠ =90 , ∠ , =3+4 2 DE AB交AB于点E 解 原式 [ ] 2 026 D ⊥ E CD . , (5) : = ( 10- 11)( 10+ 11) ·( 10 ∴ = =6 在 ADE中 AED ° + 11) Rt△ ,∠ =90 , =(10-11) 2 026 ·( 10+ 11) ∴ AE = AD2 - DE2 = 10 2 -6 2 =8 . 易得 BDE BDC BE BC. . (2) △ ≌△ ,∴ = 3. 解 原式 = 1 [ 0+ 11 ] 2 026 设BC = BE = x , 则AB =8+ x. (1) : = (2- 3)(2+ 3) ·(2- 3) 在 ABC中 AC2 BC2 AB2 Rt△ , + = , =(4-3) 2026 ·(2- 3) 即 16 2 + x2 =(8+ x ) 2 , 解得x =12,∴ BC =12, . =2- 3 S 1AC BC 1 . 解 原式 ∴ △ ABC= × = ×16×12=96 (2) : =1-12+3-2 3+1 2 2 1. . =-7-2 3 2. C 3 解 原式 1 3.解 设BD x 则DC x (3) : = 27×3+ 27× +12-1 :(1) = , =14- , 3 在 ABD中 AD2 AB2 BD2 Rt△ , = - , =9+3+12-1 在 ACD中 AD2 AC2 DC2 . Rt△ , = - , =23 即 2 x2 2 x 2 解得x 解 原式 2 2 13 - =15 -(14- ) , =5, (4) : =( 3- 6) -(3 2) AD AB2 BD2 2 2 . ∴ = - = 13 -5 =12 =3-6 2+6-18 如答案图 在锐角 ABC中 (2)① 1, △ , . AB AC =-9-6 2 =13, =15, [例3]解 x y BC边上的高AD . :∵ =3+ 7, =3- 7, =12 x y xy . 在 ABD中 由勾股定理 得 ∴ + =6, =2 Rt△ , , (1) 原式 =( x + y ) 2 -2 xy BD = AB2 - AD2 = 13 2 -12 2 =5 . 答案图 =6 2 -2×2 在 ACD中 由勾股定理 ( 1) . Rt△ , , =32 得CD2 AC2 AD2 2 2 y2 x2 = - = 15 -12 =9, 原式 + 32 . BC BD CD (2) = xy = =16 ∴ = + =5+9=14; 2 如答案图 在钝角 ABC中 ② 2, △ , 4.解 x 11 7 y 11 7 AB AC BC边上的高AD :(1)∵ = + , = - , 同 =1 可 3, 得 B = D 15, CD =12, 2 2 2 2 ① , =5, =9, BC CD BD . x y 11 7 11 7 ∴ = - =9-5=4 答案图 ∴ + = + + - = 11, 综上所述 BC的长为 或 . ( 2) 2 2 2 2 , 14 4 数学八年级 下册 ( )·R 4[例3]解 根据题意 得 [例2]解 由题意可知 OA OC :(1) , :(1) , = =8, S S S 点B的坐标为 . 正方形ACFD= △ ABE+ △ BFE, ∴ (8,8) BED是直角三角形 证明如下 即b2 1c2 1 b a b a (2)△ , : = + ( + )( - ), 点D是x 轴上一点 坐标为 点 E 为 OC 的 2 2 ∵ , (2,0), 整理 得 b2 c2 b2 a2 中点 , 2 = + - , , a2 b2 c2. OD OE CE DA ∴ + = ∴ =2, = =4, =6, 此图可以看成 BEA 绕其直角顶点顺时针旋转 ED2 OD2 OE2 EB2 BC2 CE2 (2) Rt△ ∴ = + =20, = + =80, ° 再向下平移得到. DB2 BA2 AD2 90 , = + =100, 一方面 四边形ABCD的面积等于 ABD和 BCD ED2 EB2 DB2 BED是直角三角形. , Rt△ △ ∴ + = ,∴ △ 的面积之和 另一方面 四边形 ABCD 的面积等于 1. , , A ABC和 ACD的面积之和 2.解 a2 b2 2 2 c2 2 △ Rt△ , :(1)∵ + =4 +5 =41, =6 =36, S S S S a2 b2 c2 ABC不是直角三角形. ∴ △ ABC+ △ ACD= △ ABD+ △ BCD, ∴ a2 b + 2 ≠ 2 ,∴ 2 △ c2 2 则有1 b2 + 1ab = 1c2 + 1a ( b - a ), (2)∵ a2 + b2 = c 9 2 +12 =225, =15 =225, 2 2 2 2 ∴ + = , 整理 , 得b2 + ab = c2 + ab - a2 , ∴ △ ABC是直角三角形 , 且 ∠ C是直角. ∴ a2 + b2 = c2. (3)∵ a2 + b2 =( m2 - n2 ) 2 +(2 mn ) 2 4. 5 6 7. m4 m2n2 n4 B .A .B 10 = +2 + , 第 课时:【典例导思】[例1]解 在 AOB 中 由勾股 c2 m2 n2 2 m4 m2n2 n4 2 : Rt△ , =( + ) = +2 + , 定理 得OB AB2 OA2 . 2 2 . . ∴ a2 + b2 = c2 ,∴ △ ABC是直角三角形 , 且 ∠ C是直角. 梯 , 子的顶端 = A沿墙 - 下滑 = . 2 5 -2 =1 5(m) [例3]解 a b a b c2 c ∵ OC AO AC . . 0 5 m, :( 整 1 理 )∵ 得 2 + -11 + 4 -5 -1+ +169=26 , ∴ = - =1 5 m , 在 OCD中 由勾股定理 得 a b a b c 2 Rt△ , , 2 { + a - b 11 + 4 - { 5 a -1+( -13) =0, OD = CD2 - OC2 = 2 . 5 2 -1 . 5 2 =2(m), 2 a + - b 11=0, b =4, BD OD OB . . ∴ 4 -5 -1=0,∴ =3, ∴ 梯子 = 底端 - B外 =2 移 - 的 1 距 5= 离 0 是 5(m . ) , . c -13=0, c =13 . ∴ 0 5 m 如图 连接AC.在 ABC中 1. (2) , Rt△ , A ABC ° 2. x2 2 x . 2 ∠ =90 , [例 (1 2 ) ]解 +2 作 = 法 ( +0 作 5) 直 角 ( 边 2) 为 16 ∴ AC2 = AB2 + BC2 =4 2 +3 2 =5 2 , 单位长度 : 的等 :① 腰 ACB C 1 在 △ ADC中 , AD2 + AC2 =12 2 +5 2 ( 为直角 如答 ) 案图所 R 示 t△ . ,∠ =13 2 = CD2 , , ADC是直角三角形 以斜边 AB 为直角边 作另一 ∴ △ , ② , 且 CAD ° 直角边为 的 ABB . ∠ =90 , 1 Rt△ 1 依次这样作下去 最后得到 ③ AB B 这时斜边 , AB AB AB Rt 答案图 ∴ S 四边形ABCD= S △ ABC+ S △ ADC= 1 ×4×3+ 1 ×5×12=36 . △ 2 3, , 1, 3 ( ) 2 2 的长度就分别等于 . 3.解 2, 3, 5 :(1) 10 2 10 5 2 3. 4. ABC为直角三角形 理由如下 D > (2)△ , : [例3] AB2 BC2 AC2 (1)5 ∵ =10, =40, =50, 解 如答案图 将容器侧面展开 作点A AB2 BC2 AC2 (2) : , , ∴ + = , 关于EC的对称点A′ 连接A′B交EC于点 ABC为直角三角形. , ∴ △ F 则A′B即为最短距离. 由 , 题意可知A′D BD 4 ( . 3)2 2 证 明 CB . CD =50 cm, =120 cm, (1) :∵ =6 5 km, =6 km, 在 Rt△ A′DB中 , 由勾股定理 , 得 BD =2 . 5 km,6 2 +2 . 5 2 =6 . 5 2 , A′B A′D2 BD2 2 2 . CD2 BD2 CB2 = + = 50 +120 =130(cm) ∴ + = , 答 壁虎捕捉蚊子的最短距离为 . CDB ° 即CD AB. : 130cm ∴ ∠ =90 , ⊥ 5. 6. 7. 答案图 解 设AC x 则AD x . . B 2 34 10 ( ) (2) : = km, =( -2 5)km 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 CD AB ADC ° CD2 AD2 AC2 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 ,∴ + = , 【 【 . 知 典 识 例 导 导 a 航 思 2 】 】 b 1 [ 2 . 例 a c 2 2 + 1] b2 解 = : c2 ( 1) 正 ∵ 整 a 数 2 + b2 =1 . 5 2 +2 2 =6 . 25, c2 = 答 : 原 即 来 6 2 的 +( 路 x - 线 2 . A 5 C ) 第 2 的 = 长 x 2 2 1 , 为 解 章 8 得 . 45 x 四 = k 边 m 8 . . 4 形 5 . 6 25,∴ + = , ABC是直角三角形 且 C是直角. 21.1 四边形及多边形 ∴ △ , ∠ a2 c2 2 2 b2 2 21.1.1 四边形及其内角和 (2)∵ + =11 +20 =521, =26 =676, ∴ a2 + c2 ≠ b2 ,∴ △ ABC不是直角三角形. 【知识导航】1.同一直线上 首尾顺次 边 顶点 设a k k 则b k c k 显然a最大. 2.同一侧 凸四边形 3.不相邻 相邻 延长线 (3) =25 ( >0), =7 , =24 , b2 c2 k 2 k 2 k2 a2 k 2 k2 4. ° ° ∵ + =(7 ) +(24 ) =625 , =(25 ) =625 , 360 360 b2 c2 a2 【典例导思】[例1] ∴ + = , (1)B (2)C ABC是直角三角形 且 A是直角. [例2] 解 BAD BCD °. ∴ △ , ∠ (1) :∠ +∠ =180 数学八年级 下册 ( )·R 5证明 如图 过点D作DM BC 【典例导思】[例1] (2) : , ⊥ , B DN AB 垂足分别为M N. ⊥ , , [例2] n n n 1 n n BD平分 ABC DM DN. (1)2 5 9 (2)( -3) ( -3) ( -3) ∵ ∠ ,∴ = 2 DMB DNB ° 五 ∵ ∠ =∠ =90 , (3)90 (4) ABC MDN °. 1. 2 ∴ ∠ +∠ =180 A .B ABC ADC ° 3.解 纸片剪下一个角后 剩余的纸片有三种情况 如答 ∵ ∠ +∠ =180 , : , , ADC MDN 案图. ∴ ∠ =∠ , ADN MDC. ∴ ∠ =∠ 又 DNA DMC ° ∵ ∠ =∠ =90 , DMC DNA AD CD. ∴ △ ≌△ (ASA),∴ = 又 ABC ADC ° ∵ ∠ +∠ =180 , 四边形ABCD是完美等邻边四边形. ∴ 1. 2. 3 1 A .D 答案图 [例3] ° ( ) (1)A (2)140 有 个角 是五边形 共有 条对角线 [例4]解 A B C D ° A ° ① 5 , , 5 ; :(1)∵ ∠ +∠ +∠ +∠ =360 ,∠ =98 , 有 个角 是三角形 没有对角线 D ° ② 3 , , ; ∠ =140 , 有 个角 是四边形 共有 条对角线. B C ° ° ° °. ③ 4 , , 2 ∴ ∠ +∠ =360 -98 -140 =122 [例3] B C B °. (1)A (2)D (3)3 ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =61 [例4] 七 D ° CE AD D DCE ° (1)8 (2) (3)120 (2)∵ ∠ =140 , ∥ ,∴ ∠ +∠ =180 , 4. 5. DCE ° ° °. B 5 ∴ ∠ =180 -140 =40 21.2 平行四边形 CE平分 BCD BCD DCE ° ∵ ∠ ,∴ ∠ =2∠ =80 , 21.2.1 平行四边形及其性质 B ° A D BCD ° ° ° ∴ ∠ =360 -∠ -∠ -∠ =360 -98 -140 - 第 课时:【知识导航】1.分别平行 ° °. 1 ▱ 80 =42 2.相等 互补 由 知 ABC BCD °. (3) (1) ∠ +∠ =122 3.互相平分 OC OB ABC和 DCB的平分线交于点F ∵ ∠ ∠ , 【典例导思】[例1] ° (1)B (2)120 FBC 1 ABC BCF 1 BCD [例2] ∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ , (1)C (2)16 2 2 1 2 .100° .D FBC BCF 1 ABC BCD 1 ° °. 3.解 BDE是等腰三角形 理由如下 ∴∠ +∠ = (∠ +∠ )= ×122 =61 :(1)△ , : BD平分 ABC ABD CBD. BFC FBC 2 BCF ° 2 ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ 4.解 ∵ ∴ :( ∠ ∠ 1) B 由 FC 图 + = ∠ 可 18 得 0 ° - x 6 ° + 1 + ∠ ° ( = x + 1 1 1 0 9 = ) °. 1 ° 8 + 0 60 , ° +90 ° =360 ° , ∵ ∴ 由 D E 题 B E 易 ∥ = B E 知 C D , , ∴ ∴ ∠ A △ B B B E D D E E = 是 A ∠ B 等 G C 腰 BD 三 , A ∴ D 角 F ∠ 形 B . D C E G = F ∠ 是 A 等 BD 腰 , 三 解得x =100 . (2)① 角形.故选 , . △ ,△ ,△ ,△ (2) 由 解 图 得 可 x 得 9 . 0 ° +73 ° +82 ° +(180 ° - x° )=360 ° , ②∵ 在 ▱ AB B CD中 , AB =3, BC =5, 5.解 =65 ∴ A B B E = 平 C 分 D =3 A , B B C C = A A D D = B 5 C . :(1)30 DF BE 理由如下 ∵ ∠ , ∥ , ABE CBE AEB (2) 在四 ∥ 边形 , ABCD中 : ,∠ A =∠ C =90 ° , ∴ ∠ ABE = 是 ∠ 等腰三 = 角 ∠ 形. , ABC ADC ° ° ° °. ∴ △ ∴ ∠ BE平分 +∠ ABC = D 3 F 60 平 - 分 90 - A 9 D 0 C =180 ∵ AF ⊥ BE ,∴ ∠ BAF =∠ EAF. AB CD BAF DFA ∵ ∠ , ∠ , ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ , EAF DFA AD DF ∴ ∠ ABE = 1 ∠ ABC ,∠ ADF = 1 ∠ ADC , ∴ ∠ CF DF =∠ CD A , D ∴ CD = , . 2 2 ∴ = - = - =5-3=2 [例3] 证明 四边形ABCD为平行四边形 ABE ADF 1 ABC ADC 1 ° (1) :∵ , ∴ ∠ +∠ = (∠ +∠ )= ×180 OA OC AB CD BAC ACD. 2 2 ∴ = , ∥ ,∴ ∠ =∠ °. AE CF分别是 BAO和 CDO的角平分线 =90 ∵ , △ △ , 在 ADF中 ADF AFD ° Rt△ ,∠ +∠ =90 , CAE 1 BAC ACF 1 ACD AFD ABE ∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ , ∴ ∠ =∠ , 2 2 DF BE. CAE ACF. ∴ ∥ ∴ ∠ =∠ 21.1.2 多边形及其内角和 又 AOE COF ∵ ∠ =∠ , 【知识导航】1.首尾 内角 延长线 不相邻 AOE COF AE CF. ∴ △ ≌△ (ASA),∴ = n n 解 AC AB AB CD BAC ACD °. 注意: n ( -3) n (2) :∵ ⊥ , ∥ ,∴ ∠ =∠ =90 (1)( -3) ( -2) AE CF分别是 BAO和 CDO的角平分线 2 ∵ , △ △ , n或 n 或 n 2.同一侧 3.相等 相等 BAE OAE DCF OCF ° (2) ( -1) ( +1) ∴ ∠ =∠ =∠ =∠ =45 , n ° AE CF. 4. n ° 注意: ° ( -2)×180 ∴ ∥ ( -2)×180 (1)180 (2) n CF OD AEO CFO ° ∵ ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 , ° ABO CDO ° 5. ° 注意:360 ∴ ∠ =∠ =45 , 360 n ABO CDO都是等腰直角三角形 ∴ △ ,△ , 数学八年级 下册 ( )·R 6AB AO OC CD OB OD AB CD. C ABC °. ∴ = = = ,∴ = = 2 = 2 ∴ ∠ +∠ =180 ABO CDO都是等腰直角三角形 AE BD CF CBE CDE ° ∵ △ ,△ , ⊥ , ∵ ∠ =∠ =90 , BD BED C ° ⊥ , ∴ ∠ +∠ =180 , BED ABC BE OE 1OB OF DF 1OD. ∴ ∠ =∠ , ∴ = = , = = BED ABE ABC ABE CBE °. ∴ ∠ -∠ =∠ -∠ =∠ =90 四边形AB 2 CD是平行四边形 2 证明 如答案图 在 DC (2) : , ∵ , 上截取DF DE OB OD 1BD 连接BF. = , ∴ = = , 2 BD平分 CDE ∵ ∠ , EF OE OF 1OB 1OD 1BD OB AB BDE BDF. ∴ = + = + = = = 2 , ∴ ∠ =∠ 长度等于AB长 2 度的 2 倍的所 2 有线段有OB OD EF. 在 △ BDE和 △ BDF中 , 答案图 ∴ 2 , , {DE DF ( ) 4. = , A BDE BDF 5.证明 四边形ABCD是平行四边形 ∠ =∠ , :∵ , BD BD OA OC AB CD. = , ∴ = , ∥ BDE BDF AEO CFO. ∴ △ ≌△ (SAS), ∴ ∠ =∠ BE BF BED BFD. 在 AOE和 COF中 ∴ = ,∠ =∠ △ △ , 由 知 BED C °. { AEO CFO (1) ∠ +∠ =180 ∠ =∠ , BFD BFC ° AOE COF ∵ ∠ +∠ =180 , ∠ =∠ , BFC C BF BC BC BE. AO CO ∴ ∠ =∠ ,∴ = ,∴ = = , 21.2.2 平行四边形的判定 AOE COF . AE CF. ∴ △ ≌△ (AAS) ∴ = 第 课时:【知识导航】 分别平行 分别相等 第 课时:【知识导航】1.另一条直线 注意: 相等 1 (1) (2) 2 (1) 分别相等 互相平分 相等 (3) (4) (2) 【典例导思】[例1]证明 在 AFB和 DCE中 : △ △ , 2. CBA CBD CBO COD 1 1 {AB DE △ △ △ △ = , 2 4 A D 【典例导思】[例1]解 如答案图 过点 D 作 DE AB ∠ =∠ , :(1) , ⊥ AF DC 于点E DF BC于点F 则DE DF分别表示AB与CD之 = , , ⊥ , , AFB DCE . 间 AD与CB之间的距离. 答案不唯一 ∴ △ ≌△ (SAS) , ( ) BF EC. ∴ = AF DC AF FC DC CF 即AC DF. ∵ = ,∴ + = + , = {AB DE = , 在 ABC和 DEF中 A D △ △ , ∠ =∠ , AC DF 答案图 = , ( ) ABC DEF . BC EF. 由题意可知 AB DE CB DF. ∴ △ ≌△ (SAS) ∴ = (2) , · = · 四边形BCEF是平行四边形. AB CB DF ∴ ∵ =6, =3, =4, 也可根据全等证角相等 根据两组对边分别平行 证得 DE 解得DE . ( , , ∴ 6 =3×4, =2 四边形BCEF为平行四边形 AB与CD之间的距离为 . ) ∴ 2 1. 1. 2. C C 8 2. [例2] 证明 四边形ABCD为平行四边形 (1)16 (2)3 (1) :∵ , 3.证明 四边形ABCD是平行四边形 AC BD :∵ , =2, =4, AD BC ∴ ∥ , OA 1AC OB 1BD . CD AB ∴ = =1, = =2 ∥ , 2 2 ADC ABC. 又 AB OA2 AB2 OB2 ∠ BE = FD ∠ ∵ BAO = 为 3 直 ,∴ 角三角 + 形 = 且 B , AO ° ∴ ∥ . , ∴ △ , ∠ =90 , ∠2=∠3 AB AC. DE平分 ADC BF平分 ABC 解 ∴ BAC ⊥ 为直角三角形 且 BAC ° ∵ ∠ , ∠ , (2) :∵ △ , ∠ =90 , 1 ADC 1 ABC ∴ BC2 = AB2 + AC2. ∴ ∠1= ∠ ,∠2= ∠ , 2 2 AB AC BC AB2 AC2 DE BF ∵ = 3, =2,∴ = + = 7, ∴ ∠1=∠2,∴ ∠1=∠3,∴ ∥ , S AE BC AB AC 四边形BFDE是平行四边形. ∴ ▱ ABCD= · = · , ∴ AB AC [例2]证明 AE · 2 21. :∵ ∠1=∠2, ∴ = BC = DEB BFD. 7 ∴ ∠ 四边形 = A ∠ BCD是平行四边形 3. 4. ∵ , C 4 13 AB CD. 5. 解 正确的结论为 BED ABE ° 证明过程 ∴ ∥ (1) : ②∠ -∠ =90 , EDC EBF . 如下 ∴ ∠ =∠1,∠ =∠2 : EDC EBF. 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠ =∠ ∵ , 四边形DEBF是平行四边形. AB DC ∴ ∴ ∥ , 4. D 数学八年级 下册 ( )·R 75.证明 B ACB ° :∵ ∠1+∠ +∠ =180 , CM 2BC 2 . D CAD ° ∴ = = ×8=4 2 ∠2+∠ +∠ =180 , B D 2 2 ∠ = C ∠ AD ,∠1 AC = B ∠ . 2, ∵ ∠ BAC =60 ° ,∴ ∠ ACM =90 ° -∠ BAC =30 ° , ∴ ∠ CAD =∠ ACB ∴ AC =2 AM , ∴ ∠ +∠1=∠ +∠2, CM AC2 AM2 AM 2 AM2 AM 即 BAD DCB. ∴ = - = (2 ) - = 3 =4 2, ∠ =∠ 又 B D AM 4 6 AC AM 8 6. ∵ 四 ∠ 边形 = A ∠ BCD , 是平行四边形. ∴ = ,∴ =2 = [例3]证 ∴ 明 四边形ABCD是平行四边 形 [例2]证明 3 四边形ABCD是 3 平行四边形 :∵ , :∵ AD BC OA OC. , AB CD. ∴ ∥ , = ∴ ∥ 又 AM CN ∴ ∠ ABE =∠ DFE , ∵ 四边形 = AM , CN是平行四边形 BAE FDE. ∠ ∵ 点E = 是 ∠ AD的中点 ,∴ AE = DE. ∴ ∴ AN ∥ CM ,∴ ∠ OAE =∠ { OC O F A . E , OCF ∴ △ 四 A 边 B 形 E ≌ A △ BD D F F 是 E ( 平 AA 行 S 四 ) . 边 ∴ 形 BE . = FE. 在 △ AOE与 △ COF中 , ∠ OA = OC = , ∠ , 6. ∴ ∠ AOE =∠ COF , 7. A 解 四边形DEBF是平行四边形.理由如下 ∴ △ AOE ≌△ COF (ASA) . ∴ OE = OF. : 如答案图 连接BD 交AC于点O. : [例3] 证明 ABC是等边三角形 (1) :∵ △ , , , AD是BC边上的高 , BD CD BAD CAD °. ∴ = ,∠ =∠ =30 AED ° ∵ ∠ =30 , ADF BAD AED ° ° ° ∴ ∠ =∠ +∠ =30 +30 =60 , AF AB EAF ° ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 , AFD ° AEF ° ° ° 答案图 ∴ ∠ =90 -∠ =90 -30 =60 , ( ) AFD ADF DAF ° 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠ =∠ =∠ =60 , ∵ , ADF为等边三角形. AO CO DO BO. ∴ △ ∴ = , = 证明 由 知 AED BAD ° AE CF AO AE CO CF 即EO FO. (2) : (1) ∠ =∠ =30 , ∵ = ,∴ - = - , = ADF为等边三角形 BD CD 又 DO BO 四边形DEBF是平行四边形. △ , = , ∵ = ,∴ AD ED AD DF ED DF 第 课时:【知识导航】1.平行且相等 2.相等 平行且 ∴ = , = ,∴ = , 2 四边形BECF为平行四边形. 相等 平行 平行且相等 两组对角分别相等 对角线 ∴ 互相平分 解 AB BD 1 AD AB2 BD2 . (3) :∵ =8,∴ =8× =4, = - =4 3 【典例导思】[例1]证明 ABC为等边三角形 2 AC CB ACD CB : F (1)∵ ° △ . , ADF为等边三角形 AF AD DE DF ∴ = ,∠ =∠ =60 ∵ △ ,∴ = = = =4 3, {AC = CB , ∴ BF = AB2 + AF2 = 8 2 +(4 3) 2 =4 7, 在 ACD和 CBF中 ACD CBF △ △ , ∠ =∠ , EF DE DF CD BF = + =8 3, ACD CBF . = , ∴ AE = EF2 - AF2 =12,∴ BE = AE - AB =12-8=4, ∴ △ ≌△ (SAS) 四边形BECF的周长为 ACD CBF AD CF CAD BCF. ∴ (2)∵ △ ≌△ ,∴ = ,∠ =∠ AED为等边三角形 BE BF . ∵ △ , 2( + )=2×(4+4 7)=8+8 7 ADE ° 且AD DE. CF DE. 3. ∴ ∠ =60 , = ∴ = D EDB ° BDA CAD ACD BCF ° 4. . 或 或 . ∵ ∠ +60 =∠ =∠ +∠ =∠ +60 , 4 8 8 9 6 EDB BCF. ED FC. 5. 证明 由平移可知 AE BF AE BF. ACB ∴ ∠ =∠ ∴ ∥ (1) : , = , ∥ ∴ ∠ 四边形CDEF为平行四边形. FBC. ∴ =∠ 1. EG BC AEG ACB AEG FBC. 2. C 证明 AB CD EAF ECD. ∵ EG ∥ BC ,∴ C ∠ E BG =∠ 四边 ,∴ 形 ∠ CEGB = 是 ∠ 平行四 (1) :∵ ∥ ,∴ ∠ { = E ∠ AF ECD ∵ 边形 ∥ , ∥ ,∴ ∠ =∠ , , 在 AEF和 CED中 AE CE EG BC EGA BCF . △ △ , A = EF , CED 证明 ∴ 四 = 边形 ,∴ C △ EGB是 ≌ 平 △ 行四边 (S 形 AS) CE GB. ∠ =∠ , (2) :∵ ,∴ = AEF CED AF CD. AE BF CE AE GB BF. AC GF. ∴ △ ≌△ (ASA),∴ = ∵ = ,∴ + = + ∴ = 又 AB CD 四边形AFCD是平行四边形. EGA BCF GA CF. 解 如 ∵ 答案 ∥ 图 过 ,∴ 点C作 ∵ △ 四边形 ≌ A △ CFG是 , 平 ∴ 行四 = 边形. (2) : , ∴ CM AB于点M ⊥ , 解 2 145 提示 由平移可知 CF DE 即当 DE 取 则 CMA CMB °. (3) : : , = , ∠ =∠ =90 5 AB CD 最小值时 CF才取最小值.当DE AC时 DE取最小 ∵ ∥ , , ⊥ , B DCB ° 值.由等积法可求出此时CF的值.由四边形ACFG是 ∴ ∠ +∠ =180 , B ° ° ° 答案图 平行四边形 可知 GF AC. 由勾股定理可求出此时 ∴ ∠ =180 -135 =45 , ( ) , = BCM是等腰直角三角形 CG的长. ∴ △ , 数学八年级 下册 ( )·R 821.2.3 三角形的中位线 PF 1AD PF AD EP 1BC EP BC. 1.两边中点的线段 ∴ = , ∥ , = , ∥ 2 2 AHF PFE BGF FEP. 2.平行于 等于 AB 1 AB 思考:平行四边形 ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ AD BC PE PF. 2 ∵ = ,∴ = FEB CE BE PEF PFE. AHF BGF. △ = ∴ ∠ =∠ ∴ ∠ =∠ 21.3 特殊的平行四边形 【典例导思】[例1] 3 1. 2 3.12 C .D 21.3.1 矩 形 2 5 [例2] 证明 AE BD 第 课时:【知识导航】1.直角 (1) :∵ ⊥ , 1 AED AEB °. 2. 直角 相等 两 ∴ ∠ =∠ =90 (2) (3) (4) BAE ABE DAE ADE °. 3.斜边的一半 ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ =90 AE平分 BAC BAE DAE. ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ 【典例导思】[例1] 15 ABE ADE. AB AD. (1)2 10 (2) ∴ ∠ =∠ ∴ = 4 AE BD BE DE. 点E为BD的中点. 1. ∵ ⊥ ,∴ = ∴ D 又 点F是BC的中点 2.解 作图如答案图所示. ∵ , : EF 1DC 1 AC AD 1 AC AB . ∴ = = ( - )= ( - ) 2 2 2 解 结论 EF 1 AB AC 证明 (2) : : = ( - ), 2 如下 : 如答案图 延长AC交BE的延长 , 线于点P. 答案图 ( ) AE BP AEP AEB AE AE AB AG EGF ECF EG EC ∵ ⊥ ,∴ ∠ = ∠ = = Rt△ ≌Rt△ = °. 答案图 [例2] 证明 四边形ABCD是矩形 =90 ( ) (1) :∵ , BAE ABE PAE BAD ° OA OC OD OB AC BD. ∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∴ ∠ =90 , = , = , = APE °. OA OB OC OD. ∠ =90 ∴ = = = AE平分 BAC BAE PAE. AE平分 BAD BAE °. ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ ∵ ∠ ,∴ ∠ =45 ABE APE. AB AP. CAE ° ∴ ∠ =∠ ∴ = ∵ ∠ =15 , AE BP BE PE. BAO BAE CAE °. ∵ ⊥ ,∴ = ∴ ∠ =∠ +∠ =60 点F是BC的中点 由矩形的性质 知 OCD BAO °. ∵ , , ∠ =∠ =60 又 OD OC ODC是等边三角形. EF 1PC 1 AP AC 1 AB AC . ∵ = ,∴ △ ∴ = = ( - )= ( - ) 解 ABE ° BAE ° 2 2 2 (2) :∵ ∠ =90 ,∠ =45 , 4.证明 如答案图 延长AM AN分别交BC于点D G. AEB BAE °. AB BE. : , , , ∴ ∠ =∠ =45 ∴ = 由 可得 AOB是等边三角形 (1) ,△ , AB OB ABO AOB °. ∴ = ,∠ =∠ =60 BE BO OBE ° ABO °. ∴ = ,∠ =90 -∠ =30 BOE BEO °. ∴ ∠ =∠ =75 AOE AOB BOE °. ∴ ∠ =∠ +∠ =135 3. C 4.解 四边形ABCD是矩形 :∵ , BC AD 答案图 ∴ = =3, ( ) OA OB OC OD. BE为 ABC 的平分线 BE AG D = F垂 = 直平 = 分OC ∵ ∠ , ⊥ , BAG BGA ABG为等腰三角形. ∵ , ∴ ∠ =∠ ,∴ △ OD DC 又 BN AG AN GN. ∴ = , ∵ ⊥ ,∴ = OD OC DC 同理可得AM DM ∴ = = , = , OCD是等边三角形. MN为 ADG的中位线 MN BC. ∴ △ ∴ △ ,∴ ∥ 设CD x 则AC x 5. 证明 如答案图 连接 BD 取 BD 的中点 P 连接 = , =2 , : , , , 在 ACD中 由勾股定理 得 EP FP. Rt△ , , , AD2 CD2 AC2 即 2 x2 x 2 + = , 3 + =(2 ) , 解得x 负值已舍去 . = 3( ) CD AC . AB . ∴ = 3, =2 3 ∴ = 3 OCD是等边三角形 DF OC ∵ △ , ⊥ , CDE 1 CDO ° DF CF. ∴ ∠ = ∠ =30 ,∴ =2 2 由勾股定理可求得CF . BF . 答案图 =1 ∴ =2 ( ) 在 ABF中 由勾股定理 得 Rt△ , , E F P分别是DC AB BD边的中点 ∵ , , , , , AF AB2 BF2 2 2 . = + = ( 3) +2 = 7 数学八年级 下册 ( )·R 9[例3]证明 如图 连接MD ME. G为AD的中点 AG DG. : , , ∵ ,∴ = BD是 ABC的高 又 AGF DGC AGF DGC . ∵ △ , ∵ ∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (AAS) 点M为BC的中点 AF CD. AB AF. , ∴ = ∴ = 解 四边形ACDF是矩形.证明如下 MD 1BC. (2) : : ∴ = AF CD AF CD 2 ∵ = , ∥ , 四边形ACDF是平行四边形 同理可得 ME 1BC. ∴ , , = 2 AG DG 1AD FG CG 1FC. MD ME. MED是等腰三角形. ∴ = = , = = ∴ = ∴ △ 2 2 点F是DE的中点 FM DE. 四边形ABCD是平行四边形 ∵ ,∴ ⊥ ∵ , BAD BCD °. FAG °. 5. ∴ ∠ =∠ =120 ∴ ∠ =60 3 又 AB AG AF AFG是等边三角形. 6. 证明 ACB ° ∵ = = ,∴ △ (1) :∵ ∠ =90 , AG GF. AD CF. 点M为边AB的中点 ∴ = ∴ = , 四边形ACDF是矩形. MC MA MB. ∴ ∴ = = 2.解 作图如答案图所示. MCA A MCB B. :(1) ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ A ° MCA ° MCB B °. ∵ ∠ =50 ,∴ ∠ =50 ,∠ =∠ =40 EMC MCB B °. ∴ ∠ =∠ +∠ =80 ACE ° MEC A ACE ° ∵ ∠ =30 ,∴ ∠ =∠ +∠ =80 , MEC EMC CE CM. ∴ ∠ =∠ ,∴ = 解 AB CE CM 1AB . (2) :∵ =4,∴ = = =2 2 答案图 EF AC ACE ° ( ) ∵ ⊥ ,∠ =30 , ABG DBG EF BC EG EB EG (2)①∠ =∠ ② ∥ ③ = ④ = EF 1CE FC 2 2 . EF 对角线相等的平行四边形是矩形 ∴ = =1,∴ = 2 -1 = 3 ⑤ 2 [例3]证明 AD AE 分别是 BAC 和外角 BAF 的平 第 课时:【知识导航】1.直角 :∵ , ∠ ∠ 2 分线 2. 相等 相等且互相平分 三个角 , (1) (2) 【典例导思】[例1] 证明 AB BC BAD 1 BAC BAE 1 BAF (1) :∵ =3, =4, ∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ , AC 2 2 =5, DAE BAD BAE AB2 BC2 2 2 AC2 ∴ ∠ =∠ +∠ ∴ + =3 +4 =25= , ABC是直角三角形 且 ABC 1 BAC BAF ∴ △ , ∠ = (∠ +∠ ) °. 2 =90 又 四边形ABCD是平行四边形 1 ° °. ∵ 四边形ABCD是矩形. , = ×180 =90 2 解 四边形ABCD ∴ 是矩形 ∵ BE ⊥ AE ,∴ ∠ AEB =90 °. (2) :∵ , AB AC AD平分 BAC ∴ BD = AC =5, AD = BC =4,∠ BAD =90 °. ∵ AD = BC , AD ∠ B ° , ∴ ⊥ ,∴ ∠ =90 , ∵ AE ⊥ BD ,∴ S △ ABD= 1AB · AD = 1AE · BD , ∴ 四边形AEBD是矩形. 2 2 3. 或 或 AB AD ① ③ ④ AE · 3×4 12. 4.解 作图如答案图所示. ∴ = BD = = : 5 5 1. 证明 ABF ACD BCE都是正三角形 (1) :∵ △ 、△ 、△ , AB BF AF ∴ = = , AC CD AD = = , BE BC CE = = , ABF CBE BCE ACD ° ∠ =∠ =∠ =∠ =60 , ABF ABE CBE ABE ∴ ∠ -∠ =∠ -∠ , 即 FBE ABC. ∠ =∠ {FB AB = , 在 FBE和 ABC中 FBE ABC △ △ , ∠ =∠ , BE BC 答案图 = , ( ) FBE ABC CAD AHC 底角顶点到顶角外角平 ∴ △ ≌△ (SAS), ①∠ ②90 ③∠ ④ EF CA 分线的距离 ∴ = , 同理可证 DEC ABC 21.3.2 菱 形 △ ≌△ (SAS), DE AB 第 课时:【知识导航】1.相等 ∴ = , 1 DE AB AF EF AC AD 2. 相等 互相垂直 平分一组对角 ∴ = = , = = , (1) (2) 四边形ADEF是平行四边形. 3. 这条边上的高 一半 ∴ (1) (2) ° 【典例导思】[例1] (2)150 (1)C (2)A (3)C [例2] 证明 四边形ABCD是平行四边形 [例2]解 点E为AB的中点 DE AB (1) :∵ , :(1)∵ , ⊥ , AB CD AB CD. AFG DCG. AD DB. ∴ ∥ , = ∴ ∠ =∠ ∴ = 数学八年级 下册 ( )·R 1 0四边形ABCD是菱形 即 x 2 2 x2 解得x ∵ , (16- ) +8 = , =10, AB AD AD BC. AD DB AB. AD ∴ = , ∥ ∴ = = ∴ =10, ABD为等边三角形. DAB °. S BE AD . ∴ △ ∴ ∠ =60 ∴ 菱形ABCD= · =8×10=80 又 AD BC ABC ° DAB °. 第 课时:【知识导航】1.一组邻边相等 ∵ ∥ ,∴ ∠ =180 -∠ =120 2 四边形ABCD是菱形 2. 互相垂直 互相垂直平分 相等 (2)∵ , (1) (2) 【典例导思】[例1] 证明 AB DC AO BD AO 1AC . (1) :∵ ∥ , ∴ ⊥ , = =2 3 BAO DCO ABO CDO. 2 ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ ABD为等边三角形 DE AO . 又 OB OD ∵ △ ,∴ = =2 3 ∵ = , BAO DCO BA DC 1. 2. ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = , D 2 3 四边形ABCD是平行四边形. 3. 证明 四边形ABCD是菱形 ∴ (1) :∵ , DB平分 ADC ADB CDO AB CD AC BD AE CD AOB °. ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ , ∴ ∥ , ⊥ ,∴ ∥ ,∠ =90 ADB ABO AB AD DE BD 即 EDB ° AOB EDB ∴ ∠ =∠ ,∴ = , ∵ ⊥ , ∠ =90 ,∴ ∠ =∠ , 四边形ABCD是菱形. DE AC 四边形ACDE是平行四边形. ∴ ∴ ∥ ,∴ 解 点E为AB边的中点 OB OD 解 四边形ABCD是菱形 AD AB. (2) :∵ , = , (2) ∵ 在 : 四 ∵ 边形 BD A E C 中 DE 由 是 勾 平 股 行 定 四 理 边 ,∴ 形 得 ,∴ = DE = AC =4 . ∴ O 四 E 边 ∥ 形 AD , A ∴ BC ∠ D C 是 AD 菱 = 形 ∠ AOE =28 °. ∵ , Rt△ , , BAC CAD ° COB ° BE DE2 BD2 ∴ ∠ =∠ =28 ,∠ =90 , = + =5, ACE CEB CAB ° ° ° ADE的周长 AD AE DE BE DE . ∴ ∠ =∠ -∠ =38 -28 =10 , ∴ △ = + + = + =9 CFB ACE COB ° ° °. [例3] 证明 四边形ABCD是菱形 ∴ ∠ =∠ +∠ =10 +90 =100 (1) :∵ , 1.AD BC A C AD CD AB BC. = ∴ ∠ =∠ , = = = 2. 证明 BD平分 ABC 点E F分别是边AB BC的中点 (1) :∵ ∠ , ∵ , , , ABD DBG. ∴ ∠ =∠ AE 1AB CF 1BC. EG垂直平分 BD ∴ = , = ∵ , 2 2 DG BG DE EB AE CF. ADE CDF . ∴ = , = , ∴ = ∴ △ ≌△ (SAS) DBG GDB DE DF. DEF是等腰三角形. ∴ ∠ =∠ , ∴ = ∴ △ ABD EDB 解 如答案图 连接AC BD交于点O ∠ =∠ , (2) : , , , EDB DBG ABD GDB E F分别是边AB BC的中点 ∴ ∠ =∠ =∠ =∠ , ∵ , , , BE DG DE GB EF是 ABC的中位线. ∴ ∥ , ∥ , ∴ △ 四边形BGDE是平行四边形. ∴ EF 1AC. 又 DE EB 四边形BGDE是菱形. ∴ = ∵ = ,∴ 2 解 如答案图 过点D作DH BC于点H. EF AC . (2) : , ⊥ ∵ =8,∴ =16 四边形BGDE是菱形 四边形ABCD是菱形 ∵ , ∵ , 答案图 DE DG BG ( ) = = =6, AO 1AC BD OD AC BD. DE BG ∴ = =8, =2 , ⊥ ∥ , 2 DGC EDG °. ∴ OD = AD2 - AO2 =6 . ∴ BD =12 . ∴ 又 ∠ DH = B ∠ C =30 ∵ ⊥ , S 1AC BD 1 . ∴ 菱形ABCD= 2 · = 2 ×16×12=96 ∴ DH = 1DG =3, ( 答案图 ) 4. 2 5. D 证明 四边形ABCD是菱形 ∴ HG = DG2 - DH2 =3 3 . (1) :∵ , C ° DH BC C CDH ° AO CO AD BC ∵ ∠ =45 , ⊥ ,∴ ∠ =∠ =45 , ∴ = , ∥ , CH DH DE BC ∴ = =3, ∴ ∥ , AEO CFO. BC BG CH HG . ∴ ∠ =∠ ∴ = + + =6+3+3 3=9+3 3 在 AOE和 COF中 [例2] 证明 EF垂直平分AC EF AC AO CO. △ △ , (1) :∵ ,∴ ⊥ , = { AEO CFO 四边形ABCD是平行四边形 ∠ =∠ , ∵ , AOE COF AD BC OCF OAE. ∠ AO CO =∠ , ∴ ∥ ,∴ ∠ =∠ { AOE COF = AOE , COF . 在 AOE与 COF 中 ∠ AO CO =∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) △ △ , = , 解 四边形ABCD是菱形 OAE OCF (2) :∵ , ∠ =∠ , AD AB BC DC AD BC AOE COF EO FO. ∴ = = = , ∥ , ∴ △ ≌△ (ASA),∴ = 由 知 AOE COF 又 CO AO 四边形AFCE是平行四边形. (1) ,△ ≌△ , ∵ = ,∴ AE CF AD AE BC CF 即DE BF. 又 EF AC 四边形AFCE为菱形. ∴ = ,∴ + = + , = ∵ ⊥ ,∴ 又 DE BF 四边形EBFD是平行四边形. 解 OC CG COG G ° ∵ ∥ ,∴ (2) :∵ = ,∴ ∠ =∠ =15 , 又 EF BD 四边形EBFD是矩形 ACB COG G °. ∵ = ,∴ , ∴ ∠ =∠ +∠ =30 DEB °. O为AC 的中点 F为线段BC的中点 ∴ ∠ =90 ∵ , , 设AD AB x 则AE x = = , =16- , OF是 ABC的中位线 OF 1AB . 在 AEB中 AE2 BE2 AB2 ∴ △ ,∴ = =4 Rt△ , + = , 2 数学八年级 下册 ( )·R 1 1EF AC FC OC DG GM. ∵ ⊥ ,∴ =8, =4 3, ∴ = 2 GC OC FG FC GC . GM 1CF CF GM DG. ∴ 如图 = 作OH =4 B 3 C , 垂 = 足为 + H 则 =8+ O 4 H 3 G ° ∵ = ,∴ =2 = 2 , ⊥ , , ∠ =90 , [例2]证明 2 BD平分 ABC :(1)∵ ∠ , ABD CBD. ∴ ∠ =∠ 又 BA BC BD BD ∵ = , = , ABD CBD . ∴ △ ≌△ (SAS) ADB CDB. ∴ ∠ =∠ PM AD PN CD (2)∵ ⊥ , ⊥ , OH 1OC 1 PMD PND °. ∴ = =4 3× =2 3, ∴ ∠ =∠ =90 2 2 又 ADC ° 四边形MPND是矩形. ∵ ∠ =90 ,∴ S 1FG OH 1 . ADB CDB PM AD PN CD PM PN. ∴ △ FOG= 2 · = 2 ×(8+4 3)×2 3=8 3+12 ∵ ∠ 四边形 = M ∠ PND是 , 正方 ⊥ 形. , ⊥ ,∴ = 3. ∴ D 4.AC BD 答案不唯一 4.解 作图如答案图所示. = ( ) :(1) 5.解 作图如答案图所示. :(1) 答案图 答案图 ( ) ( ) MF FMG AMF NMG AMF DO BO EDO FBO DOE BOF (2)① ②∠ ③∠ =∠ ④∠ (2)① = ②∠ =∠ ③∠ =∠ NMG EF BD =∠ ④ ⊥ 第22章 函数 21.3.3 正方形 22.1 函数的概念 【知识导航】2.相等 直角 相等 互相垂直平分 【知识导航】1.始终不变 发生变化 【典例导思】[例1] 2.每一个确定 唯一确定 b a (1)B (2)B (3)2 5 1. 2. 3.数学式子 函数 C 15 60 3.解 四边形ABCD是正方形 4. 全体实数 零 非负数 :(1)∵ , (1) (2) (3) AD AB D ABC DAB ° 【典例导思】[例1]解 公路总长是常量 工程队平均 ∴ = ,∠ =∠ =∠ =90 , :(1) , D ABF ° DAE BAE °. 每天修建的速度v和修建天数t是变量. ∴ ∠ =∠ =90 ,∠ +∠ =90 AE AF EAF ° 汽车速度是常量 行驶的路程 s 和行驶的时间 t 是 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 , (2) , BAE BAF ° 变量. ∴ ∠ +∠ =90 , DAE BAF 矩形周长是常量 矩形的一边长x和面积S是变量. ∴ ∠ =∠ , (3) , ADE ABF AF AE 1. ∴ △ ≌△ (ASA),∴ = , C AEF是等腰直角三角形 AEF °. [例2]解 是函数关系 因为总页数一定 当平均每天 ∴ △ ,∴ ∠ =45 :(1) , , CF DG.证明如下 看书页数一定时 能看的天数也随之确定. (2) = 2 : , 如答案图 取 CE 的中点 是函数关系 因为当小明的年龄一定时 他的身高也 , (2) , , M 连接GM GC 随之确定. , , , AEF 是等腰直角三角 是函数关系 由图象可知 当温度一定时 呼吸作用强 ∵ △ (3) , , , 形 AG EF 度有唯一确定的值与其对应. , ⊥ , G是EF的中点 AG GF 2. ∴ GE. , = 3. D 解 是函数关系.自变量是m x是m的函数 = 在 EFC中 ( 答案图 ) :(1) , , ∴ Rt△ , 解析式为x 25 000 m . = m ( >0) CG 1EF AG CG. = ,∴ = 是函数关系.自变量是t s是t的函数 又 A 2 D CD DG DG (2) 解析式为s t , t . , ∵ ADG = , CDG = , 是函数关系 = . 3 自 00 变 - 量 10 是 0( x 0≤ y是 ≤3 x ) 的函数 ∴ △ ADG ≌△ CDG. (SSS), (3) 解析式为y . x x 且 , x为整数 . , ∴ ∠ ADG =∠ CDG ° ADG CDG °. [例3]解 一 = 切 2 实 1 数 ( . >0, ) ∵ ∠ G为EF +∠ 的中点 = M 90 为 ,∴ CE ∠ 的中点 =∠ =45 由题意 :(1 得 ) x 即x ∵ GM为 ECF的 , 中位线 , (2) x的取 , 值范 + 围 2≠ 为 0, x ≠ . -2, ∴ △ , ∴ ≠-2 GM CF GM 1CF DMG DCB ° 由题意 得 x 解得x 3 ∴ ∥ , = ,∴ ∠ =∠ =90 , (3) , 2 -3≥0, ≥ , 2 2 ∴ △ DMG为等腰直角三角形 ,∴ DM = GM , x的取值范围为x 3 . ∴ ≥ 2 数学八年级 下册 ( )·R 1 2由题意 得x 解得x s . (4) , +3>0, >-3, ∴ =75×18÷2=675(m) x的取值范围为x . 在相同的散步时间内 她最远可以走到离家 ∴ >-3 ∴ , 675 m 由题意 得x 且x 解得x 且x 的地方. (5) , +2≥0 -1≠0, ≥-2 ≠1, x的取值范围为x 且x . 4. ∴ ≥-2 ≠1 D 5.解 由题意 得 x 且x 解得x 1 且x :(1)20 14 (2)4 (6) , 2 -1≥0 -1≠0, ≥ ≠1, 乙无人机的上升速度是 2 (3) x的取值范围为x 1 且x . 60÷(24-14)=60÷10=6(m/s), ∴ ≥ ≠1 根据题意 得 t 或 t t 或 t 2 , 4 =12 20+4( -14)-6( -14)=12 6( - 4. t C 14)-[20+4( -14)]=12, 5.x 且x 解得t 或t 或t . [例 ≥ 4] - 解 1 ≠ 根 2 据题意 得 答 当t =3 或 =1 或 8 时 =3 两 0 架无人机所在的高度相差 . :(1 当 ) x , 时 y x [例 : 3] = 解 3 18 根据 30 图 , 可知 当运动时间为 12 时 m ① 0≤ ≤5 , =20 ; :(1) 2 , 10 s , 当x 时 y . x x . APH的面积S 2 ② >5 , =20×0 8( -5)+20×5=16 +20 △ =100cm , 把x 代入y x 得y . 即点P运动到点B时 (2) =30 =16 +20, =16×30+20=500 , 答 一次购买玉米种子 需付款 元. : 30 kg, 500 S 1AH AB . 6. 7 8. △ APH= · =100 D .B 20 8 2 22.2 函数的表示 AH AB . ∵ =10cm,∴ =20 cm 第 课时:【知识导航】1.横 纵 图形 图象 1 由 可知 点P运动的速度为20 2.列表 描点 连线 (2) (1) , =2(cm/s), 10 【典例导思】[例1]解 从式子y x 可以看出x的 GF DE :① =-2 +1 ∴ = =2×(22-20)=4(cm), 取值范围是全体实数 我们从 x 的取值范围中任取一些 从点A到点H的路程为 , ∴ 20+10+20+4+4=58(cm), 数 算出y的对应值 列表如下 运动时间x的取值范围为 x , , : ∴ 0< <29, x -3 -2 -1 0 1 2 3 y x x . … … ∴ =2 (0< <29) 6. y 7 5 3 1 -1 -3 -5 A … … 第 课时:【知识导航】1.解析 列表 图象 根据表中数值及函数图象的意义 2 ② , 2.解析 列表 图象 把x与y的每对对应值分别作为点的 【典例导思】[例1]解 列表如下 横 纵坐标 即 :(1) : 、 , (-3,7),(-2,5),(-1, x ℃ ( ) 0 5 10 15 20 3),(0 在 ,1 平 ) 面 ,( 直 1, 角 -1 坐 ), 标 ( 系 2, 中 -3 描 ), 出 (3 这 , y m/s -5), ( ) 331 334 337 340 343 些点. 气温x是自变量 音速y是因变量. (2) , 按照自变量由小到大的顺序把这 当气温是 时 估计音速可能是 . ③ (3) 25 ℃ , 346 m/s 些点用平滑的线连接起来即得函数y 根据表格中数据可得出 气温每升高 音速就增 (4) : 5 ℃, x 的图象 如答案图所示 . 加 .当x 时 y 故两个变量之间的关系 =-2 +1 ( ) 3 m/s =0 , =331, 1. 2 B .B 答案图 式为y 3x. 3.解 如答案图所示. ( ) =331+ :(1) 5 1. C 2. y . x x (1)30 (2) =1 5 +11( >0) 3.解 如答案图所示. :(1) 答案图 答案图 ( ) ( ) 当x 时 y . 从图象上可以看出 点 在函数图 (2)① =-4 , =4 (2) , (-1,-3),(-2,-4) 由表格可知 当x 时 y x 象上 点 不在函数图象上. ② , ≥0 , = ; , (1,1),(2,3) 当x 时 y x y x . [例2]解 任取变量t的一个值 变量s有唯一确定的 <0 , =- ,∴ = :(1) , y x y 值与它对应 所以变量s是t的函数. ∵ = ≥0,2 012≤ ≤2 026, , y . x . 由图象可知 当 t 时 小红离家最远 最远离家 ∴ 2 012≤ ≤2 026 ∴ 2 012≤ ≤2 026 (2) , =12 , , 当x 时 x x .路上小红休息了 休息了 . <0 , =- , 500 m , 6 min x x ∴ 2 012≤- ≤2 026,∴ -2 026≤ ≤-2 012; 回家的速度是v 500 250 . 当x 时 x x (3) = = (m/min) ≥0 , = , 18-12 3 x . ∴ 2 012≤ ≤2 026 小红出发的速度为v 300 综上所述 x 的取值范围为 x 或 (4) = =75(m/min), , -2 026≤ ≤-2 012 4 x . 2 012≤ ≤2 026 数学八年级 下册 ( )·R 1 3[例2]解 观察上表中的数据可 :(1) 4.y 1x x 知 质量每增加 售 =- +15 0< <15 , 1 kg, 2 价就增加 . 元 则 y 关 5.解 由题意可得 Q t t . 2 4 , :(1) , =40-4(0≤≤10) 于 x 的函数关系式为 它是一次函数. y . x x . 当t 时 Q . 这 = 个 2 函 4 数 (0≤ 的图 ≤ 象 8) 如答案 (2) 当 = 工 5 作了 , = 40 油 -4 箱 ×5 的 = 余 20 油量为 . 图所示. ∴ 5 h, 20 L 23.2 一次函数的图象和性质 当x . 时 (2) =5 5 , 第 课时:【知识导航】1.经过原点的直线 直线y=kx y . . . 1 =2 4×5 5=13 2, 答案图 2.一 三 增大 二 四 减小 注意: 1 x轴 y 轴 即李大婶购买这种商品 . ( ) 、 、 ( ) 5 5 kg 2 全体实数 时 应付 . 元. ( ) , 13 2 b 4. 3.b 正 负 D - k 5.解 由题意 得y . x . :(1) , =0 5 +13 4. b 上 下 自变量的取值范围是 x . (2) 0≤ ≤16 5.上升 增大 下降 减小 如答案图所示. (3) 注意: 越大 越小 (2) 【典例导思】[例1]解 过点 作直线y 1x : (0,0),(4,2) = , 2 过点 作直线y x 如答案图所示. (0,0),(2,-4) =-2 , 答案图 ( ) 答案图 [例2]解 由正比例函数的性质 ( ) :(1) , 第23章 一次函数 得k 解得k . +3>0, >-3 23.1 一次函数的概念 由正比例函数的性质 得k 解得k . (2) , +3<0, <-3 【知识导航】1.y kx b k y kx k 注意:全体 将 代入正比例函数y k x中 得 = + ≠0 = ≠0 (3) (1,1) =( +3) , 实数 2.一定 不一定 k 解得k . 1=( +3)×1, =-2 【典例导思】[例1]解 是一次函数 1. 2 是正比例函数 : . (1)(3)(4)(6) ,(1) [例 D 3]解 .C 过点 作直线y x 再将它向 ( [ 3 例 )( 2 4 ] ) 解 要使y是x的一次函数 : (0,-1),(1,1) =2 -1, :(1) , 上平移 个单位长度得到直线y x 如答案 则 m 且m 解得m 2 =2 +1, 3- =1 -2≠0, =-2, 图所示. 当m 时 y是x的一次函数. ∴ =-2 , 由 知 当m 时 y是x的一次函数. (2) (1) , =-2 , 把m 代入一次函数 得y x . =-2 , =-4 +5 令y 即 x 解得x 1. =3, -4 +5=3, = 2 当x 1时 y的值为 . ∴ = , 3 2 1. B 答案图 2.解 根据一次函数的定义 ( ) :(1) , [例4]解 由题意 得m 解得m . 得 m 且m 解得m . :(1) , -3=0, =3 2- =1 +1≠0, =1 m的值是 . 当m n为任意实数时 y是x的一次函数. ∴ 3 ∴ =1, , 根据正比例函数的定义 得 由题意 得 m 解得m 1 (2) , (2) , 2 +1<0, <- , m 且m n 2 2- =1 +1≠0, +4=0, 解得m n . m的取值范围是m 1. =1, =-4 ∴ <- 当m n 时 y是x的正比例函数. 2 [例 ∴ 3]解 =1, 根据 =- 题 4 意 , 得 由题意 得 m 且m 解得m . (3) , 2 +1>0, -3≥0, ≥3 :( y 1) x , x x m的取值范围是m . =(120-90) +(60-50)(200- )=20 +2 000, ∴ ≥3 故y关于x的函数解析式为y x . 3. 4 5 =20 +2 000 C .C .D 根据题意 得 x 解得x . 6.解 y随x的增大而增大 (2) , 20 +2 000≥3 000, ≥50 :(1)∵ , 答 至少需要购进A种粽子 盒. : 50 m 解得m 1. 3. ∴ 1-2 >0, < C 2 数学八年级 下册 ( )·R 1 4图象只经过第一 三象限 { k b {k (2)∵ 、 , 4 + =80, 解得 =15, y x . m 且m 解得m . k b b ∴ =15 +20 ∴ 1-2 >0 +1=0, =-1 12 + =200, =20, 函数为一次函数 且图象与 y 轴的交点在 x 轴的 综上 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y (3)∵ , , 上方 { x x , 20 (0≤ ≤4), = x x . m 且m 解得m 且m 1 . 15 +20( >4) ∴ 1-2 ≠0 +1>0, >-1 ≠ x . 2 (2)∵ 320>80,∴ >4 [例5]解 直线y kx 与x轴交于点E 且点E的 令y 得 x 解得x :(1)∵ = +6 , =320, 15 +20=320, =20, 坐标是 该团体的总人数是 人. (8,0), ∴ 20 3. ∴ 8 k +6=0, 解得k =- 3. [例 20 3 ]解 令x 得y :(1) =0, =4; 4 令y 则有 4x 解得x . 由 知y 3x . =0, 0=- +4, =3 (2) (1) =- +6 3 4 A B OA OB . 过点P作PD OA于点D 如答案图. ∴ (3,0), (0,4),∴ =3, =4 ⊥ , 在 ABO中 由勾股定理 得 Rt△ , , AB OA2 OB2 . = + =5 如答案图 在 ABP中 高OA 底边为BP. (2) , △ , =3, 答案图 ( ) 点P x y 在第一象限 PD 3x 且 x . ∵ ( , ) ,∴ =- +6, 0< <8 4 点A的坐标为 ∵ (6,0), 答案图 ( ) ( ) S 1OA PD 1 3x ∴ = · = ×6× - +6 S 即1 BP OA BP 10. 2 2 4 ∵ △ ABP=5, · =5,∴ = 2 3 9x x . 当点P在点B下方时 =- +18(0< <8) , ( ) 4 OP 10 2 此时P 2 OPA的面积为27 =4- = , 0, ; (3)∵ △ , 3 3 3 8 当点P在点B上方时 , ( ) 9x 27 解得x 13. ∴ - +18= , = OP 10 22 此时P 22 . 4 8 2 =4+ = , 0, ( ) 3 3 ( ) 3 ( ) 将x 13代入y 3x 得y 9 P 13 9 . = =- +6, = ,∴ , 综上 点P的坐标为 2 或 22 . , 0, 0, 2 4 8 2 8 7 8 . . ( 解 -6,0) (0,-3) 9 (3) 令 易知 OD C = D m. BD BO OD 3 m 3 当 :( k 1)(2, 时 0) 直线l 的解析式为y x OC OA = AC = OA A + B =4+ , . ( 令 2) x =0, = 则 - y 1 =2 , ,∴ B (0 1 ,2) . =- +2, ∴ 在 = Rt△ + CO = D中 + , 由勾 =3 股 +5 定 = 理 8 , 得OC2 + OD2 = CD2 , ∵ 直线l 2: y =2 x + b经过点B , 即 8 2 + m2 =(4+ m ) 2 , 解得m =6,∴ D (0,-6) . b 又 OC C . ∴ =2, ∵ =8,∴ (8,0) 直线l y x . 设直线CD的解析式为y kx b k ∴ 2: =2 +2 = + ( ≠0), 令y 则 x 解得x C . 将C D 代入 得 =0, 2 +2=0, =-1,∴ (-1,0) (8,0), (0{,-6) , A AC S 1 . { k b k 3 ∵ (2,0),∴ =3,∴ △ ABC= ×3×2=3 8 + =0,解得 = , 2 b 4 第 课时:【知识导航】1.函数解析式 系数 =-6, b . 2 =-6 【典例导思】[例 1]解 设这个一次函数的解析式为 y : = 直线CD的解析式为y 3x . kx b. ∴ = -6 + 4 y kx b的图象过点 与 4. ∵ = + (1,3) (0,-2), C {k b {k + =3, 解得 =5, 5.y 4x 或y 4x ∴ b b =- +4 = -4 =-2, =-2, 3 3 这个一次函数的解析式为y x . 6.解 在y x 中 令x 得y ∴ =5 -2 :(1) =2 +4 , =0, =4; 1. 令y 即 x 解得x C =0, 2 +4=0, =-2, 2. y x y x B A . (1) =-2 +5 (2)0 (3) =-2 +4 ∴ (0,4), (-2,0) [例2]解 由题意可知 当 x 时 y x 点C在x轴正半轴且OC C . :(1) , 0≤ ≤4 , =20 ; ∵ =3,∴ (3,0) 当x 时 设y kx b 设直线BC的解析式为y kx b k . >4 , = + , (2) = + ( ≠0) 把 代入y kx b 得 B C 在直线BC上 (4,80),(12,200) = + , ∵ (0,4), (3,0) , 数学八年级 下册 ( )·R 1 5{ {b k 4 在y 1x 中 令y 则x A . =4, 解得 =- , (2) =- -2 , =0, =-4,∴ (-4,0) ∴ k b 3 2 3 + =0, b 令x 则y B . =4, =0, =-2,∴ (0,-2) 在y x 中 令x 则y D . ∴ 直线BC的解析式为y =- 4x +4 . = { -3 +3 , =0, =3,∴ (0,3) 3 y 1x {x ( ) 联立 =- -2,解得 =2, 点M在直线BC上 设M m 4m . 2 y (3) , ,- +4 y x =-3, 3 =-3 +3, 如答案图 过点M作MN AC于点N. E , ⊥ ∴ (2,-3), S 1BD x x 1 . ∴ △ ADE= · E- A = ×5× 2-(-4) =15 2 2 23.4 实际问题与一次函数 【典例导思】[例1]解 设修建一个A种光伏车棚需投 :(1) 资x万元 修建一个B种光伏车棚需投资y万元 根据题 , , { x y {x 意 得 2 + =8, 解得 =3, 答案图 , x y y . ( ) 答 修建 5 一 + 个 3 = A 2 种 1, 光伏车棚 = 需 2 投资 万元 修建一个B种 : 3 , S S S 1 . 光伏车棚需投资 万元. ∵ △ ABM= △ AOB,∴ △ ABM= ×2×4=4 2 2 设修建 A 种光伏车棚 m 个 则修建 B 种光伏车棚 (2) , 易知点M在x轴上方 MN 4m . ( m)个 修建 A 种和 B 种光伏车棚共投资 W 万 ,∴ =- +4 20- , 3 当点M在线段CB上时 S S S 元 根据题意 得m ( m) 解得m 40 ① ( , △ ABM ) = △ ABC- △ AMC, , , ≥2 20- , ≥ , 3 即 1 1 4m W m ( m) m . 4= ×5×4- ×5× - +4 , =3 +2 20- = +40 2 2 ( ) 3 W随m的增大而增大 ∵ 1>0,∴ , 解得m 6 M 6 12 当m 时 W取得最小值 此时 = ,∴ , ; ∴ =14 , , 5 5 5 W 万元 . 当点M在线段CB的延长线上时 =14+40=54( ) ② , 答 修建A种光伏车棚 个时 可使投资总额最少 最少 S S S : 14 , , △ ABM= △ AMC- ( △ ABC, ) 投资总额为 54 万元. 即 1 4m 1 1. 分 4= ×5× - +4 - ×5×4, 79 2 3 2 2.解 设购进短款服装x件 购进长款服装y件 ( ) :(1) , , 解得m 6 M 6 28 . {x y {x =- ,∴ - , 由题意 得 + =50, 解得 =20, 5 5 5 , x y y . ( ) ( ) 80 +90 =4 300, =30 综上所述 点M的坐标为 6 12 或 6 28 . 答 短款服装购进 件 长款服装购进 件. , , - , : 20 , 30 5 5 5 5 设第二次购进m件短款服装 则购进 m 件长款 23.3 一次函数与方程(组)、不等式 (2) , (200- ) 服装 由题意 得 【知识导航】1. x轴 2. 3.一次函数 , , 0 0 0 m m 解得m . 4.相等 交点 80 +90(200- )≤16 800, ≥120 设利润为w元 则 【典例导思】[例1]解 根据图象可知 直线与 x 轴的 , :(1) , w m m m . 交点坐标为 故方程kx b 的解是x . =(100-80) +(120-90)(200- )=-10 +6 000 (2,0), + =0 =2 w随m的增大而减小 根据图象可知 当x 时 y ∵ -10<0,∴ , (2) , =1 , =-1, 当m 时 w取得最大值 故k b . ∴ =120 , , + =-1 w 元 根据图象可知 当y 时 x . 最大=-10×120+6 000=4 800( ), (3) , =-3 , =-1 此时 m . 故方程kx b 的解是x . 200- =80 + =-3 =-1 答 当购进 件短款服装 件长款服装时获得最大销 1. 2.x : 120 ,80 C =5 售利润 最大销售利润是 元. [例2] , 4 800 (1)C (2)①②④ [例2]解 设y k x 函数图象过 3. :(1) 1= 1 , (20,8), C 4. x x k k 2 (1) ≤1 (2) ≥-1 ∴ 8=20 1,∴ 1= , [例3] x 5 (1)C (2) =-1 5. y 2x. A ∴ 1= 6.解 如答案图所示. 5 :(1) 当 x 时 y 当 x 时 设 y k x 0≤ ≤10 , 2=6; >10 , 2= 2 b + , 把 代入y k x b 得 (20,8),(10,6) { 2= 2 + , { k b k 1 8=20 2+ ,解得 2= , y 1x . k b 5 ∴ 2= +4 6=10 2+ , b 5 { =4 x , 6(0≤ ≤10), 综上所述 y 答案图 , 2= 1 x +4( x >10) . ( ) 5 数学八年级 下册 ( )·R 1 6第24章 数据的分析 当x 时 y 2 . 元 y 元 (2) =8 , 1= ×8=3 2( ), 2=6 , 24.1 数据的集中趋势 5 y y . . 元 . 24.1.1 平均数 答 骑 ∴ 行 2- 驶 1= 6-3 A 2= B 2 两 8( 种品 ) 牌的共享电动车收费相差 x w x w x w : 8 min, , 第 课时:【知识导航】2. 1 1+ 2 2+…+ n n 数据 . 元. 1 w w w 2 8 1+ 2+…+ n 当 1 【典例导思】[例1]解 1 . . . . . . (3) 20 km/h= km/min, : ×(9 1+9 3+9 4+9 4+9 5+9 6 3 8 . . . 分 . 小明从家到工厂所用时间为 1 +9 6+9 7)=9 45( ) 9÷ =27(min), 答 这位选手的最后得分为 . 分. 3 : 9 45 1. 2. 当x 时 y 2 . 元 C (1)91 (2)6 =27 , 1= ×27=10 8( ), 3.解 一组数据x x x 的平均数是m 5 : 1, 2,…, n , y 1 . 元 . 则1 x x x m 即x x x mn. 2= ×27+4=9 4( ) n ( 1+ 2+…+ n)= , 1+ 2+…+ n= 5 . . 小明选择B品牌共享电动车更省钱. x x x mn ∵ 9 4<10 8,∴ (1)∵ 1+ 2+…+ n= , x x x mn n. 小刚从家到工厂所用时间为 6÷ 1 =18(min), ∴ 1+3+ 2+3+…+ n+3= +3 mn n 3 x x x 的平均数是 +3 m . 当x 时 y 2 . 元 ∴ 1+3, 2+3,…, n+3 n = +3 =18 , 1= ×18=7 2( ), x x x mn x x x mn. 5 (2)∵ 1+ 2+…+ n= ,∴ 2 1+2 2+…+2 n=2 mn y 1 . 元 . x x x 的平均数是2 m. 2= ×18+4=7 6( ) ∴ 2 1,2 2,…,2 n n =2 5 . . 小刚选择A品牌共享电动车更省钱. [例2]解 由图 可知A候选人的面试成绩为 分 ∵ 7 2<7 6,∴ :(1) 1 90 , 3. 4. 所以表格中填 从表中可以知道C候选人的 D 2 ( ) 笔试成绩为 9 分 0; 补充图 略. 5.解 慢车的速度为 7 1 90 , 1 :(1) 180÷ - =60(km/h), 由图 可知 A 票 2 2 (2) 2 , :300×35%=105( ); 快车的速度为 . B 票 C 票 . 60×2=120(km/h) :300×40%=120( ); :300×25%=75( ) 快车停留的时间为7 180 1 A的最后成绩为85×4+90×3+105×3 . 分 (2) - ×2= (h), (3) =92 5( ); 2 120 2 4+3+3 1 180 即C . B的最后成绩为95×4+80×3+120×3 分 + =2(h), (2,180) =98( ); 2 120 4+3+3 设直线CD的解析式为y kx b. = + C的最后成绩为90×4+85×3+75×3 分 . ( ) =84( ) 将C D 7 代入 得 4+3+3 (2,180), ,0 , . B能当选. { k b 2 4. ∵ 98>92 5>84,∴ 乙 180=2 + , {k (1)96 (2)83 (3) 解得 =-120, 5.解 李文同学的总成绩为 7k b b :(1) 0= + , =420, 分 . 2 70×10%+80×40%+88×50%=83( ) 快车返回过程中y与x的函数关系式为 由题意 得 x ∴ (2) , 80×10%+75×40%+ ×50%>83, ( ) 解得x . y x x 7 . >90 =-120 +420 2≤ ≤ 若吴明同学要在总成绩上超过李文同学 则他的普 2 ∴ , 设两车出发后经过t 相距 . 通话成绩应超过 分. (3) h 90 km 90 快车未返回且两车相遇前 ma nb , 第 课时:【知识导航】3. + 则有 t t 2 m n 120 +60 +90=180, + 【典例导思】[例1] 解得t 1 2 = ; 1. . 2 95 5 快车未返回且两车相遇后 [例2]解 所有关注用户中关注该热点话题的时间的平均 , : 则有 t t 6 6 120 +60 -90=180, 数为5×10 ×12+3×10 ×10 . 6 6 =11 25(min), 解得t 3 5×10 +3×10 = ; 所有关注用户中认为该话题重要的百分比为 2 6 % 6 % 快车从甲地到乙地需要 3 5×10 ×74 +3×10 ×62 . %. 180÷120= (h), 6 6 =69 5 2 5×10 +3×10 ( ) 2. . 快车返回之后 则有 t t 1 3 8 515 , 60 =90+120 - - , 2 2 [例3]解 a 144 b . :(1) =20÷ =50, =50-(2+3+5+20)=20 解得t 5. 360 = 2 x 22×2+26×3+30×5+34×20+38×20 . 分 . (2) = =34 24≈34( ) 综上所述 两车出发后经过 1 或 3 或 5 相距 50 , h h h 答 该班学生这次体育测试成绩的平均分约为 分. 2 2 2 : 34 . 3. . 3 90 km 0 21 m 数学八年级 下册 ( )·R 1 7[例4] [例2]解 C :(1)780 680 640 4. 因为在星期一至星期日的营业额中 星期六 星期日 50 56 (2)① , 、 5.解 的营业额明显高于其他五天的营业额 所以去掉星期六 :(1)500 20 , 、 补全 捐款人数分组统计图 如图所示. 星期日的营业额对平均数的影响较大 故用该店本周星期 (2) “ 1” , 一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合适. 用该店本周星期一到星期日的日均营业额估计当月营 ② 业额 当月的营业额为 元 . , 30×780=23 400( ) 3.解 这 名学生家庭年收入的平均数为 :(1) 15 . x 2×1+2 5×3+3×5+4×2+5×2+9×1+13×1 . 万元 = =4 3( ), 15 中位数为 万元 众数为 万元. 3 , 3 用中位数或众数来代表这 名学生家庭年收入的一 (2) 15 B组对应的百分比为 % % % % % 般水平都合适.理由如下 (3) 1-4 -40 -28 -8 =20 , : 抽查的 名学生的平均捐款数为 % % 虽然平均数为 . 万元 但年收入达到 . 万元的家 ∴ 500 5×4 +15×20 4 3 , 4 3 % % % 元 庭只有 个 大部分家庭的年收入未达到这一水平 +25×40 +35×28 +50×8 =27( ), 4 , , 则估计此次活动可以筹得善款的金额大约为 而中位数和众数 万元是大部分家庭都达到的水平 3 , 元 . 因此用中位数或众数来代表这 名学生家庭年收入 2 000×27=54 000( ) 15 24.1.2 中位数和众数 的一般水平都合适. 第 课时:【知识导航】1.从小到大 或从大到小 中间 4.解 中位数为 . 分. 1 ( ) :(1) 3 5 位置 平均数 由统计图可得平均数为 2.次数最多 x 1×1+3×2+6×3+5×4+5×5 . 分 【典例导思】[例1] = =3 5( ), (1)B (2)C (3)C (4)2 387 20 1. 2. . 3. 客户所评分数的平均数和中位数都不低于 . 分 B 8 5 8 ∴ 3 5 , 该部门不需要进行整改. 4.解 . 4+5 人 ∴ :(1)8 3 (2)①> ②∵ 800× =360( ), 设监管人员抽取的问卷所评分数为x分 20 (2) , 估计其中对食堂 非常满意 的学生人数为 人. . x ∴ “ ” 360 则有3 5×20+ . 解得x . . [例2] >3 55, >4 55 (1)D (2)1 (3)4 (4)4 20+1 5. 6 7 8. 满意度从低到高为 分 分 分 分 分 共 档 B .C .C (1)90 (2)5 ∵ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 , 5 , 第 课时:【知识导航】1. 平均数 监管人员抽取的问卷所评分数为 分. 2 (2) ∴ 5 2.平均数 中位数 众数 加入这个数据后 中位数是 分. ∵ 4<5,∴ , 4 【典例导思】[例1]解 与 相比 中位数发生了变化 由 . 分变成 分. :(1)87 89 40 ∴ (1) , , 3 5 4 七年级学生对科技素养知识的了解情况更好. 24.2 数据的离散程度 (2) 理由 由表格可知 七年级学生对科技素养知识的了解的 第 课时:【典例导思】[例1] . : , 1 2 5 优秀率 %高于八年级学生对科技素养知识的了解的优 [例2]解 图略. x x . 40 :(1) (2) 甲=50+ 乙 秀率 35 %. ( 合理即可 ) (3) s2甲= s2乙 .理由如下 : % % 人 . x x . (3)400×40 +500×35 =335( ) ∵ 甲=50, 乙=0 答 估计该校七 八年级参与竞赛的学生中成绩为优秀的 : 共有 人. 、 ∴ s2甲= 1 ×[(48-50) 2 +(52-50) 2 +(47-50) 2 +(49- 335 5 1. A 50) 2 +(54-50) 2 ]=6 . 8, 2.解 补全条形统计图如图. :(1)77 82 s2乙= 1 ×[(-2-0) 2 +(2-0) 2 +(-3-0) 2 +(-1-0) 2 +(4 5 2 . -0) ]=6 8, ∴ s2甲= s2乙 . 1. 2. C 10 3.解 男生队的平均数 : : 184+180+182+182+181+183 =182(cm), 6 方差 1 2 2 2 : ×[(184-182) +(180-182) +(182-182) +(182 6 答案图 ( ) 2 2 2 5. 女生的测试成绩更好 理由如下 -182) +(181-182) +(183-182) ]= (2) , : 3 女生成绩的中位数 大于男生成绩的中位数 所 83 77, 女生队的平均数 168+170+170+170+171+171 以女生的测试成绩更好. 答案不唯一 : =170(cm), ( ) 6 % 20×30 +5 人 . 方差 1 2 2 2 (3)960× =264( ) : ×[(168-170) +3×(170-170) +2×(171-170) ] 40 6 答 估计八年级成绩为优秀的学生人数是 人. . : 264 =1 数学八年级 下册 ( )·R 1 8[例3]解 甲 乙两人射击成绩的平均数分别为 ( ) : 、 15 % 6 名 . (3)800× +600× 25 + =600+330=930( ) x 1 环 20 20 甲= ×(7×2+8×2+10×1)=8( ), 答 估计八年级和九年级竞赛成绩为优秀 x 的 5 : (80< ≤100) 学生共有 名. x 1 环 930 乙= ×(7×1+8×3+9×1)=8( ), 3. 5 D 4.解 则s2甲= 1 ×[2×(7-8) 2 +2×(8-8) 2 +(10-8) 2 ]=1 . 2, 八 :( 年 1) 级 88 学 生 87 数 学 40 文 化知识较好 理由如下 (2) , : 5 因为八年级学生成绩的中位数 高于七年级学生成绩 88 s2乙= 1 ×[(7-8) 2 +3×(8-8) 2 +(9-8) 2 ]=0 . 4 . 的中位数 87, 所以八年级学生数学文化知识较好. ( 答案 5 不唯一 合理即可 ∵ s2甲> s2乙,∴ 乙同学的射击成绩更稳定些. , ) 4. 3 % 人 . A (3)500× +400×40 =310( ) 5.解 a . 10 :(1) =(80+40+70+50+60)-(70+50+70+70)=40 答 估计该校七 八年级学生中数学文化知识为 优秀 x 甲同学成绩的中位数为 : 、 “ ”( 60, 的总共有 人. 乙同学成绩的众数为 . ≥90) 310 70 24.3 数据的四分位数 乙同学成绩的平均数为 (2) 【典例导思】[例1] (1)D (2)18 1 1. 2. ×(70+50+70+40+70)=60, 150 124 168 C 5 [例2]解 将甲组的成绩从小到大排列为 :(1) 60,70,70, s2乙= 1 ×[(70-60) 2 +(50-60) 2 +(70-60) 2 +(40-60) 2 80,89,91,92,96,98,100, 所以第一四分位数 = 5 +(70-60) 2 ]=160 . 70, 第二四分位数 = 89+91 =90, 第三四分位数 (3)∵ 甲 、 乙两名同学的平均数相同 , 均为 60, s2甲> s2乙, . 2 乙同学的成绩更稳定. =96 ∴ 根据甲组的四分位数绘制箱线图如答案图. 第 课时:【典例导思】[例1]解 (2) 2 :(1)2 4 补全后的乙种小麦的频数分布直方图如图. 答案图 ( ) 根据箱线图可知 甲组成绩的中位数和乙组相同 但 答案图 (3) , , ( ) 甲组成绩的波动明显比乙组的大. . (2)13 5 13 3. 乙种小麦方差 . 甲种小麦方差 . C (3)∵ 7 36< 8 11, 4.解 甲种树苗 甲 乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙. : : ∴ 、 Q Q 11+12 . Q 21+21 . 5 株 . 2=16, 1= =11 5, 3= =21 1 200× =375( ) 2 2 16 乙种树苗 答 估计苗高在 x 的株数为 株. : : 10≤ <13 375 1.甲 Q Q 13+14 . Q 18+19 . . 2=16, 1= =13 5, 3= =18 5 2.解 . 2 2 :(1)7 5 < 甲 乙两种树苗高度的箱线图如答案图. 配送速度甲和乙公司的得分相差不大 、 (2)∵ , 服务质量得分甲和乙的平均数相同圴为 但是甲的方差 7, 明显小于乙的方差 . 1 4 2, 甲更稳定 ∴ , 小丽应选择甲公司. ∴ 还应收集甲 乙两家公司的收费情况. 答案不唯一 (3) 、 ( , 言之有理即可 ) [例2]解 . :(1)82 81 5 30 八年级学生的竞赛成绩较好. (2) 理由如下 因为八 九年级所抽取学生竞赛成绩的平均数 答案图 : 、 ( ) 均为 . 但八年级所抽取学生竞赛成绩的方差 . 根据箱线图发现 两种树苗中位数相同 甲树苗有 %的 84 5, 102 75 , , 25 小于九年级所抽取学生竞赛成绩的方差 . 所以八年 树苗高度不低于乙树苗的最高高度 乙树苗的高度更为 122 5, , 级学生的竞赛成绩更稳定 答案不唯一 合理均可 . 集中. ( , ) 数学八年级 下册 ( )·R 1 924.4 数据的分组 方法二 组间离差平方和达到最大 : [例]解 将数据分成两组共有 种情况. : 5 组间离差 方法一 组内离差平方和达到最小 分组 第一组x 第二组x : 1 2 平方和 第一组离 第二组离 组内离差 分组 第 个间隔 . 差平方和 差平方和 平方和 1 2 5 7 5 第 个间隔 . . 第 个间隔 2 2 5 5 5 12 1 0 10 10 第 个间隔 . 第 个间隔 . . 3 3 6 13 5 2 0 5 5 5 5 第 个间隔 . . 第 个间隔 4 3 5 6 5 12 3 2 2 4 第 个间隔 . 第 个间隔 . . 5 4 7 7 5 4 5 0 5 5 5 观察最后一列组间离差平方和可以发现 当按第 个间 第 个间隔 , 3 5 10 0 10 隔分组时 组间离差平方和最大.因此 按组间离差平方 , , 观察最后一列组内离差平方和可以发现 当按第 个间 和最大的分法为{ }和{ }. , 3 2,3,4 5,6,7 隔分组时 组内离差平方和最小.因此 按组内离差平方 1. 2. , , B 4 和最小的分法为{ }和{ }. 2,3,4 5,6,7 精练部分 第19章 二次根式 解 原式 6. 19.1 二次根式及其性质 (3) : =- 5 第 课时:1 2 3 4. x x 1 .D .B .C (1) ≥9 (2) >1 解 原式 5 1 . (4) : = -3+20=19 x 3 x 5. (3)1≤ ≤ (4)-3< ≤0 (1) 3 (2)12 2 2 2 7. 8 9. 4 m y 6. 解 x 3. 解 x . D .D (1) 1 (2)2 -7 (3)4- (1) : ≥- (2) : >2 3 2 10. 解 由题意 得 x 解得x (1) : , 2- ≥0, ≤2, 解 x 1 且x . 解 1 x . 7. x 原式 x x . (3) : ≤ ≠-1 (4) : ≤ ≤1 B ∴ -3<0,∴ =3- -(2- )=1 2 2 由数轴可知 a b a b 8. n 或 或 (2) , <0< , > , (1) >1 4 {1 9 3 - x2 ( ≥ 2) 0 1 , 0 11 (3)9 ∴ a 原 + 式 b <0, b a - a >0 a , b b a 9.解 : 由题意 , 得 x2 -9≥0, ∴ =- a -( a - b - b ) a -( a - . ) x . =- + + - + = +3≠0 由三角形的三边关系可知 a b c b c a (3) , + > , + > , x y 1. a b c a b c ∴ =3, = ∴ + - >0, - - <0, 3 原式 a b c b c a ∴ = + - +( + - ) 1 x 1 1 . a b c b c a b. ∴ - y = ×3-3=-2 = + - + + - =2 3 3 10.解 :(1) 由题意 , 式子 x2 -1+ 1- x2有意义 , 11. A 12. (1)2 (2) 1 -1 (3)4 052 解析 : 由题 { 2 可得 x2 -1≥0, 意 得 {x -2 026+ y ≥0, x y x y x y x2 , x y ∴ + =2 026,∴ 2 +3 =0,4 +5 - 由题 ∴ 意 x2 = 得 1 1{ - , x 解 - ≥ 得 4≥ 0 x , 0 = , 1 或x =-1 . m = . 0 故 ,∴ 答 2 m 0 案 2 = 6 为 4 - x + - 5 ≥ y = 0 . , 2( x + y )+(2 x +3 y )= 2×2 026+0=4 (2) , x 052 4 052 ∴ x =4,∴ y = 4 - - 3 ≥ , 0, 13.解 :(1) 原式 = 2+2 2+1= ( 2+1) 2 = 2+1 . xy -3 1. (2) 原式 = 10+8( 2+1) ∴ =4 = 64 11. 12. = 18+8 2 B 1 13.解 a a a 2 . :∵ 2 025- + -2 026= , = 16+8 2+2= (4+ 2) =4+ 2 a 故a . a b c a b c ∴ -2 026≥0, ≥2 026 (3)∵ + + -2 -5-4 -4-6 -1+4=0, 则原式可变为a a a [ a a ] [ b b ] -2 025+ -2 026= , ∴ ( -5)-2 -5+1 + ( -4)-4 -4+4 + a [ ] ∴ a - 2 026= 2 0 2 25, ( c -1)-6 c -1+9 =0, ∴ a -2 026 2 =2 0 25 , . ∴ ( a -5-1) 2 +( b -4-2) 2 +( c -1-3) 2 =0 . ∴ -2 025 =2 026 第 课时:1 2 3 4. a 2 b 2 2 .C .D .D (1)3 (2)18 (3)π-3 ∵ ( -5-1) ≥0,( -4-2) ≥0, 5. c 2 (4) 2 (1)1 (2)2 (3)3 ( -1-3) ≥0, 6. 解 原式 . a b c (1) : =12 ∴ -5=1, -4=4, -1=9, a b c . 解 原式 2 . ∴ =6, =8, =10 (2) : =49× =14 即 ABC的周长是 . 7 △ 6+8+10=24 数学八年级 下册 ( )·R 2 019.2 二次根式的乘法与除法 第 课时:1 2 3 4. (4) 6 (5)3 5. (1) a2 - b2 (2)8 6 (3)2 1 .B .C .C (1)3 2 (2) 3 3 a 5. (3)6 5 (4)4 < > 6. 解 原式 24 . 6. 解 原式 . (1) : = = 8=2 2 (1) : = 15 3 解 原式 . (2) : = 25× 36=5×6=30 解 原式 25 25 5. (2) : = = = (3) 解 : 原式 = 5 2 ×3= 5 2 × 3=5 3 . 16 16 4 (4) 解 : 原式 = 1 2 1 5 2 ×25= 112= 16×7=4 7 . (3) 解 : 原式 = 1 2 5 × × 1 1 5 5 = 15 3 × 0 15 = 1 3 5 0. (5) 解 : 原式 = (3 xy ) 2 · x = (3 xy ) 2 · x =3 xy x. 解 原式 12 xy 2 3 x x. (4) : = y ÷ = 12 =3 3 3 2 解 原式 xyz 1 z. (6) : =-3 ×xy =-3 解 原式 3 8 3 . (5) : =3 20÷ =2 20× = 30 2 3 8 解 原式 1 (7) : =4×3×4× 27× ×10=48× 9×5=48×3 5 解 原式 1 1 . 6 (6) : =-3 × ×24=-3 . 2 12 =144 5 解 原式 1 3 8 1 . 7. 8 9. 2 (7) : = × 45×5× = 25×4×6=5 6 A .B 3 2 3 2 2 7. 8 9. 10. 解 x y xy B .A 2 (1) :∵ + =2 3, = 6, ( ) a ∴ x2y + xy2 = xy ( x + y ) 10. (1) 解 : 原式 =- 2 b × 3 × 1 ab5 · a3b · b . 2 3 = 6×2 3=6 2 解 1 a5b5 (2) :∵ 7× 70= 490 =- b . = 4 9×100 1 a2b2 ab . . =- b · = 4 9× 100=10 4 9, a b a2b ab. 7= , 70= , =- ab . ∴ =10 4 9, 解 x 1 2+ 3 (2) : = = =2+ 3, . 1ab. 2- 3 (2- 3)(2+ 3) ∴ 4 9= 10 y 1 2- 3 11. 12. a b = = =2- 3, C (1)2 (2)- 2+ 3 (2+ 3)(2- 3) 13.解 x2 x2 x2 x2 原式 x y 2 xy :(1)( +8+ +3)( +8- +3) ∴ =( - ) - =( x2 +8) 2 -( x2 +3) 2 =(2+ 3-2+ 3) 2 -(2+ 3)(2- 3) =( x2 +8)-( x2 +3) =12-1=11 . . 11. 12. =5 C (1)2 7+3 (2)14 (3)11 x2 x2 2 ∵ +8+ +3=5, 13.解 5 24×5+5 5 ×5 5 . :(1) 5 = = =5 x2 x2 . 24 24 24 24 ∴ +8- +3=1 将这两式相加可得 x2 . 故答案为 5 . +8=3 5 将 x2 两边平方可解得x . 24 +8=3 =±1 n n 经检验 x 是原方程的解. n n .证明如下 故答案 , 为 = x ±1 . (2) n2 -1 = n2 -1 : =±1 x2 x x2 x x2 x n n n3 - n + n n2 · n n n n . (2) ( 4 +6 -5 + 4 -2 -5 ) ( 4 +6 -5 - n2 = n2 = n2 = n2 ( ≥2) x2 x -1 -1 -1 -1 4 -2 -5) 由题意可知 a b a2 (3) , =8, = -1, =( 4 x2 +6 x -5) 2 -( 4 x2 -2 x -5) 2 ∴ b =8 2 -1=63, x2 x x2 x a b . =(4 +6 -5)-(4 -2 -5) ∴ + =8+63=71 x. 专题一 [方法]二次根式的大小比较的常见方法 =8 ∵ 4 x2 +6 x -5+ 4 x2 -2 x -5=4 x , 1. (1)< (2)> (3)> (4)< 2. (1)< (2)< (3)< x2 x x2 x . 3. 5 5 5 ∴ 4 +6 -5- 4 -2 -5=2 < < 将这两式相加可得 x2 x x 7 7 7 4 +6 -5=2 +1, 解得x . 4. 解 1 15+ 13 =3 (1) :∵ = 经检验 x 是原方程的解. , =3 15- 13 ( 15- 13)( 15+ 13) 第 课时:1 2 3 4. 4 15+ 13 2 .C .D .D (1) 5 (2)6 (3) = , 3 2 数学八年级 下册 ( )·R 2 1ab ab 1 17+ 15 17+ 15 解 原式 ab a a ab a 5 a. = = , (4) : =2 3 - 3 + 3 = 3 17- 15 ( 17- 15)( 17+ 15) 2 7. 8 9. 2 2 B .B (1)2 (2)2 15+ 13< 17+ 15, 10.解 由题意可知 1 1 . 15+ 13 17+ 15 :(1) , 12- 27=2 3- ×3 3= 3 ∴ < , 淇淇的说法正确.理由如下 3 3 2 2 (2) : 即 1 1 . < x 3 1 6 1 = 12-2 - 27+ 6=2 3-2× - ×3 3+ 15- 13 17 ( - 15 )( ) 2 3 2 3 . 解 1+ 2 1+ 2 3-2 2 6=2 3- 6- 3+ 6= 3 (2) :∵ = = 2-1, x的值能与 合并. 3+2 2 ( (3+ ) 2 ( 2)(3 ) -2 2) ∵ 48=4 3,∴ 48 11. 12. 2+ 2 2+ 2 2-1 C (1)11 (2)6 = = 2, 13.解 :(1)7 18 2+1 ( 2+1)( 2-1) a b均为有理数 a 2 b (2)∵ , ,( 2- ) =14- , 2-1< 2, a a b ∴ 2-2 2 + =14- , 1+ 2 2+ 2. { a {a ∴ < 2+ =14, 解得 =12, a b . 3+2 2 2+1 ∴ a b b ∴ + =12+96=108 2 2 = , =96, 5. 解 ( 8- 7)( 8+ 7) 1 (1) :∵ 8- 7= = , a b均为有理数 1 2 a 8+ 7 8+ 7 (3)∵ , , 8+ 18+ +(2-3 2) = + 8 ( 7- 6)( 7+ 6) 1 b 7- 6= = , 2, 7+ 6 7+ 6 a b 1 27 ∴ + 2=2 2+3 2+ 2+4-12 2+18=22- 2, 8+ 7> 7+ 6, 4 4 ( ) 1 1 a b 27 a b 27 61. ∴ < , ∴ =22, =- ,∴ + =22+ - = 8+ 7 7+ 6 4 4 4 即 . 8- 7< 7- 6 第 课时:1 2 3 4. 3 2 .B .B .D (1) (2)-2 (3)3 3 解 ( 17-4)( 17+4) 1 (2) :∵ 17-4= = , 5. (4) 2-1 45 17+4 17+4 6. 解 原式 2 3 (4- 15)(4+ 15) 1 (1) : =3 2-4× +2×2 3× =3 2-2 2+6= 4- 15= = , 2 2 4+ 15 4+ 15 . 2+6 17+4> 15+4, 解 原式 . (2) : =2 6+4- 6=4+ 6 1 1 解 原式 ∴ < , (3) : = 60-4 4- 36 =2 15-8-6=2 15- 17+4 4+ 15 . 即 . 14 17-4<4- 15 解 原式 (4) : =(3 3×3 6+4 2-4 2)÷ 2 6. 解 5-1 5-3. (1) : -1= =27 2÷ 2 2 2 . =27 ∵ 2< 5<3, 解 原式 (5) : =(2 5- 2+2 5+ 2)(2 5- 2-2 5- 2) 5-3 5-1 . ∴ <0,∴ <1 =4 5×(-2 2) 2 2 . =-8 10 解 23-2 3 23-5. 解 原式 2 (2) : - = (6) : =[( 3-2)( 3+2)] -2 2+3 2 4 4 4 2 =(3-4) -2 2+3 2 ∵ 4< 23<5, . =1+ 2 ∴ 23-5 <0,∴ 23-2 < 3. (7) 解 : 原式 =(2 3- 6) 2 -(3 2) 2 4 4 4 19.3 二次根式的加法与减法 =12-4 18+6-18 . 第 课时:1 2 3 4. 7 2 =-12 2 1 .A .C .B (1)-3 7 (2) 解 原式 2 026 2 (8) : = 12- 4+[(2- 3)(2+ 3)] ·(2+ 5. 2 4 3 3)- 6. 解 原式 3 . 3 (1) : =2 3-6× +3 3=2 3-2 3+3 3=3 3 3 4 3 解 原式 . =2 3-2+2+ 3- (2) : =4 3- 2-3 2- 3=3 3-4 2 3 解 原式 2 2 2 17 10 . 5 3. (3) : =4 2+ - 3- +4 3= 2+ 3 = 2 3 4 4 3 3 数学八年级 下册 ( )·R 2 27. 8 9. 7.解 由题意 得 B .C (1) 6 (2)2 3 : , 10.解 原式 a a a :(1) =( +1)( +1- + 23) (5∗2)×(18∗45)=( 5- 2)×( 18+ 45) a . =( +1)(1+ 23) =( 5- 2)×(3 2+3 5) 当a 时 = 23-1 , =3×( 5- 2)×( 5+ 2) 原式 = 23(1+ 23)=23+ 23 . =3 . ×(5-2) a b ab =9 (2)∵ + = 2, =8, a b 8.解 x 1 ∴ >0, >0, :(1)∵ = =3-2 2, ab ab 3+2 2 原式 ∴ = a + b y 1 = =3+2 2, b ab a ab 3-2 2 x y xy = ab + ab ∴ + =6, =1, x2 y2 xy x y 2 xy a b ab ∴ + + =( + ) - ( + ) . 2 = ab =6 -1 . =35 当a b ab 时 原式 2× 8 1. . + = 2, =8 , = = (2)∵ 1<2<2 25, 8 2 . 则 11. 12. ∴ 1< 2<1 5, 2<2 2<3, A (1)4 3 (2)44-16 6 . 13.解 x ∴ 0<3-2 2<1,5<3+2 2<6 :(1)∵ = 10+3, x的小数部分为m y的小数部分为n ∵ , , x ∴ -3= 10, m n x 2 ∴ =3-2 2, =3+2 2-5=2 2-2, ∴ ( -3) =10, m n x2 x ∴ + =3-2 2+2 2-2=1, ∴ ∴ x2 - - 6 6 x + = 9 1 = , 10, m - n =3-2 2-2 2+2=5-4 2, x2 x . m n 2 026 3 m n 3 ∴ -6 +10=1+10=11 ∴ ( + ) - ( - ) =1-(5-4 2) x . (2)∵ = 26-5, =4 2-4 x 9.解 ∴ +5= 26, :(1)10+2 21 x 2 ∴ ( +5) =26, x2 x =(3+7)+2 3×7 ∴ +10 +25=26, 2 2 x2 x =( 3) +( 7) +2 3× 7 ∴ +10 =1, ∴ 原式 =2 x2 ( x2 +10 x )+20 x =( 3+ 7) 2. x2 x 故答案为 2. =2 +20 ( 3+ 7) =2( x2 +10 x ) (2)∵ a +2 17=( m + n ) 2 , =2×1 a m mn n . ∴ +2 17= +2 + , =2 m n a mn . 专题二 [强化]二次根式的计算 ∴ + = , =17 a m n均为正整数 1 2 3 4 5 ∵ , , , .D .B .C .B .B {m {m 6. 解 原式 . =1,或 =17, (1) : =10 3+2 3-9 3=3 3 ∴ n n =17 =1, 解 原式 1 2 . a m n . (2) : =2 6- 6- 6= 6 ∴ = + =18 3 3 故答案为 . 18 解 原式 . (3) : = 6-2+1- 6=-1 ( ) ( ) (3) 32-8 15 解 原式 2 2 1 (4) : = 2 6- 2 ÷ 2- 4 + 6 × 2=2 3- 2 - = 4(8-2 15) 1 . =2 8-2 15 -2 3=-1 2 解 原式 2 2 =2 3+5-2 3× 5 (5) : =(3 2) -(2 3) -(3-2 6+2)=18-12-3+2 2 2 . =2 ( 3) +( 5) -2 3× 5 6-2=2 6+1 解 原式 2 (6) : =( 48- 6+ 24)÷ 3- 2 =2 ( 5- 3) =(4 3- 6+2 6)÷ 3- 2 =2 5- 3 . =(4 3+ 6)÷ 3- 2 =2 5-2 3 《二次根式》章末考点复习与小结 =4+ 2- 2 . 【知识网络】不含分母 因数或因式 a a ab =4 解 原式 2 026 a a (7) : = 4-2 3+[(2- 3)(2+ 3)] ·(2+ 3) a b · b b =2-2 3+(2+ 3) . 【考点突破】1 2.x 且x 3. 4 =4- 3 .C ≤2 ≠1 B .B 数学八年级 下册 ( )·R 2 3经检验 x 是原方程的解 5. 6. x 4 , =11 , (1)9 (2)4 (3)13 (1) ≤ (2)2 025 方程的解是x . 3 ∴ =11 7.解 能组成一个三角形. 12. 13 14. 15. 16 : C .C > D .B {x y 17. 18. 由题意 得 + -8≥0, x y . (1)1 (2)6-4 5 (3)0 3 75 , x y ∴ + =8 ① 8- - ≥0, 19. 解 原式 1 x y z x y z . (1) : =2 2÷2- ×6 ∴ { 3 x - y - z + -2 + +3=0 3 ∴ 3 x - y = , z ② . = 2- 2 -2 得 =- x -3 y ③ . =0 . ②+③, 4 -3 =-3 ④ 解 原式 {x (2) : =(2 5-2 3)(2 5+2 3) 联立 解得 =3, . ①④, y . =2 ( 0-12=8 ) =5 将x y的值代入 得z . 解 原式 2 3 1 , ②, =4 (3) : = 6 3- +4 3 ÷2 3+ 3 2 ∵ 3+4>5,5-3<4, 长度为 的线段能组成一个三角形 其周长 ∴ 3,4,5 , 28 3 1 为 . = ÷2 3+ 3+4+5=12 3 2 14 1 8. 9 10. 3 = + C .B 48, 3 2 4 31. 11.解 1 2 2. = :(1) = = 6 2 2 2 2× 2 4 解 原式 (4) : =( 7+ 5)×(2 7-2 5)-(3+6 6+18) 2 2( 2-1) 2- 2 . = = =2- 2 =2×( 7- 5)( 7+ 5)-(21+6 6) 2+1 ( 2+1)( 2-1) 2-1 =2×2-21-6 6 . 故答案为 2 . =-17-6 6 ,2- 2 4 解 原式 6 1 (5) : =4 3÷2 3- ×4+(12+4 6+2) (2)∵ 2 027- 2 026= , 2 2 027+ 2 026 =2-2 6+14+4 6 1 . 2 026- 2 025= , =16+2 6 20.解 小刚的答案有错误.正解如下 2 026+ 2 025 : : 且 a b ab a b . 2 027+ 2 026> 2 026+ 2 025, ∵ + =-3, =2,∴ <0, <0 b a ab ab ab ab 1 1 ∴ < , ∴ a + b = a2 + b2 = a + b = 2 027+ 2 026 2 026+ 2 025 - - 即 . a b ab 2 027- 2 026< 2 026- 2 025 ( + ) 3 2. - ab = 原式 3-1 5- 3 2 (3) = + + 21. ( 3+1)( 3-1) ( 5+ 3)( 5- 3) (1) 3-1 (2)-4 3 22. 解 x y (1) :∵ = 3+1, = 3-1, 7- 5 +…+ x y xy ∴ + =2 3, =3-1=2, ( 7+ 5)( 7- 5) y x x2 + y2 ( x + y ) 2 -2 xy (2 3) 2 -2×2 12-4 2 027- 2 025 ∴ x + y = xy = xy = = 2 2 ( 2 027+ 2 025)( 2 027- 2 025) . =4 1 1 1 1 解 x = ( 3-1)+ ( 5- 3)+ ( 7- 5)+…+ (2) :∵ =2+ 3, 2 2 2 2 x2 x ∴ (7-4 3) +(2- 3) + 3 ( 2 027- 2 025) 2 =(7-4 3)(2+ 3) +(2- 3)(2+ 3)+ 3 1 = ( 3-1+ 5- 3+ 7- 5+…+ 2 027- =(7-4 3)(7+4 3)+(4-3)+ 3 2 =49-48+1+ 3 2 025) . =2+ 3 2 027-1. 23.解 由题意 可知 x x = : , 4 -1≥0,1-4 ≥0, 2 设 x x m 与原方程相乘 得 x 解得x 1. y . (4) -2- -7= , , ∴ 4 -1=0, = ∴ =3 4 x x x x m. ( -2+ -7)×( -2- -7)=5 原式 x x xy x x xy x x xy. 整理 得 x x m 解得m =(2 +2 )-( +5 )= -3 , ( -2)-( -7)=5 , =1, 当x 1 y 时 x x 与原方程相加 得 = , =3 , ∴ -2- -7=1, , 4 x x x x ( -2+ -7)+( -2- -7)=6, 原式 1 1 1 1 3 3. x 即x 解得x . = -3 ×3= - ∴ 2 -2=6, -2=9, =11 4 4 4 8 2 数学八年级 下册 ( )·R 2 424.解 当a 时 第20章 勾股定理 :(1) >0 , ( ) 2 20.1 勾股定理及其应用 ∵ a + a 4 =( a ) 2 -2 a · 2 a + 2 a +2 a · 2 a = 第 1 课时:1 .A 2 .A 3 .A 4. (1)5 (2)12 (3)3 ( ) 5. . 2 (1)4 (2)4 8 a 2 6.解 C ° c b - a +4, :(1)∵ ∠ =90 , =25, =15, 由勾股定理 得a c2 b2 2 2 . ∴ , = - = 25 -15 =20 当 a 2 即a 时 a 4的最小值为 ∴ = a, =2 , + a 4; (2)∵ a = 6,∠ A =60 ° ,∴ ∠ B =30 ° ,∴ c =2 b. ( ) a2 b2 c2 2 b2 b 2 当a 时 a 4 a 4 . ∵ + = ,∴ ( 6) + =(2 ) , <0 , + a =- - - a b 负值舍去 c . ∴ = 2( ),∴ =2 2 ( ) 2 ∵ - a - a 4 = ( ( - a ) 2 -2 ) - a · 2 - a+ 2 - a +2 - a 7 10 . B . 8 . 解 A 9 E . D 3 2 AC C ° 2 (1) :∵ ⊥ ,∠ =45 , 2 a 2 EDC C ° CE DE · a= - - a +4, ∴ ∠ =∠ =45 ,∴ = =2, ( - ) ( - ) 2 ∴ CD = CE2 + DE2 =2 2 . a 4 a 2 BD BC BD CD . ∴ - - - a =- - - a -4, ∵ =3 2,∴ = + =5 2 - 在 ABC中 ABC ° C ° Rt△ ,∠ =90 ,∠ =45 , 当 a 2 即a 时 a 4的最大值为 . BAC C ° AB BC ∴ - = a, =-2 , + a -4 ∴ ∠ =∠ =45 ,∴ = =5 2, a2 a - ∴ AC = AB2 + BC2 =10, +3 +4 a 4. AE AC CE (2) a = +3+ a ∴ = - =8, S 1AE DE 1 . 当a >0 时 , 由 (1) 可知 , a + a 4的最小值为 4, ∴ △ ADE= 2 · = 2 ×8×2=8 证明 如答案图 过点B作BT a2 a (2) : , ⊥ +3 +4的最小值是 . BE交ED的延长线于点T. ∴ a 4+3=7 BDE CDF 设 AOB的面积为a. ∵ ∠ =∠ , (3) △ CDE BDF. S S OD OB S S ∴ ∠ =∠ ∵ △ AOD∶ △ AOB= ∶ = △ COD∶ △ COB, DE AC 即 a S ∵ ⊥ , 1∶ = △ COD∶4, DEC ABC ° ∴ ∠ =∠ =90 , S 4 A C EDC C ° ∴ △ COD= a , ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ =90 , EDC A A BDF. ∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ 四边形ABCD的面积 a 4. BF平分 ABC ∴ =1+4+ + a ∵ ∠ , ABF DBF. ∴ ∠ =∠ 答案图 由 可知 当a 时 a 4的最小值为 又 BF BF ( ) (1) , >0 , + a 4, ∵ = , ABF DBF AB BD. ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = a 4的最小值是 ABC EBT ° ABE DBT. ∴ 1+4+ + a 5+4=9, ∵ ∠ =∠ =90 ,∴ ∠ =∠ BDT CDE A 四边形ABCD面积的最小值为 . ∵ ∠ =∠ =∠ , ABE DBT ∴ 9 专题三 [易错]《二次根式》中常见的易错题 ∴ △ ≌△ (ASA), BE BT AE DT 1 2 3 4 5 6 7 ∴ = , = , .B .C .C .C .C .C .A BET是等腰直角三角形 ET BE 8.解 :∵ 最简二次根式 2 a与 a2 +2 a -9 是同类二次 ∴ △ AE ED DT DE ET B , E ∴ . = 2 , 根式 ∴ + = + = = 2 , 11. ∴ 2 a = a2 +2 a -9, 解得a =3 或 -3 . 12. C 或 解析 有两种情况 如答案图 AD是 a (1)9 1 : :① 1,∵ ∵ 2 ≥0, ABC的高 ADB ADC °. 由勾股定理 得 BD a △ ,∴ ∠ =∠ =90 , ∴ ∴ a ≥ =3 0 . , = AB2 - AD2 = ( 34) 2 -3 2 = 5, CD = AC2 - AD2 = 9. 10 2 2 BC BD CD 如答案图 同理 C .D 5 -3 =4,∴ = + =5+4=9;② 2, 可得CD BD BC BD CD .综上所述 11.解 当a 1时 1 a 1 24 . =4, =5,∴ = - =5-4=1 , :(1) = ,a - =5- = >0 BC边的长为 或 .故答案为 或 . 5 5 5 9 1 9 1 ( ) 2 1 1 a 1 1 a 2 a. ∴ a + a - = a + a - = a - 当a 1时 原式 1 49. = , =10- = 5 5 5 当 x 时 x x x (2) 0< <3 , -3<0,2 +1>0, +1>0, 答案图 ∴ ( x -3) 2 - (2 x +1) 2 + x +1 解析 易知 C ( BA C ) BF.如答案图 过点 C 作 x x x (2)60 : ∠ =∠ , =-( -3)-(2 +1)+( +1) CM AB于点M CN BF于点N 则CM CN.设BM x x . ⊥ , ⊥ , = = , =-2 +3 数学八年级 下册 ( )·R 2 5则AM x.在 ACM中 由勾股定理 得CM2 AC2 BD BE =13- Rt△ , , = - ∴ = , AM2.在 BCM 中 由勾股定理 得 CM2 BC2 BM2 BD BE AE AC CE AD AD AD. Rt△ , , = - , ∴ = = = + = 2 + =( 2+1) 2 x 2 2 x2 解得x 50 CM BC2 BM2 在 Rt△ BCE中 , 由勾股定理 , 得BE2 + CE2 = BC2 , ∴ 13 -(13- ) =10 - , = ,∴ = - 13 2AD2 AD2 2 ∴ ( 2+1) + =6 , = 120. ∵ AE = BF ,∴ S 四边形EBFC= 1 BE · CM + 1 BF · CN = ∴ AD2 =9(2- 2), 13 2 2 1AB · CM = 1 ×13× 120 =60 .故答案为 60 . ∴ S △ ABC= 2 1AC · BE = 2 1 × 2 AD ·( 2+1) AD = 2+ 2 2AD2 2 2 13 2+ 2 . = ×9(2- 2)=9 2 故答案为 . 9 第 课时:1 2 3 4. 2 .D .B .C (1) 41 (2)50 5. (1)4 (2)10 答案图 6.解 如答案图 过点P作PH CD于点H. ( ) :(1) , ⊥ 在 APH中 PAH ° PA 米 13. AB DE 1 c2 Rt△ ,∠ =30 , =320 , (1) ⊥ (2) PH 1PA 米. 2 ∴ = =160 问题初探 证明 S S S 1AB 2 【 】(3) :∵ 四边形ADBE= △ ACB+ △ ABE= · ∵ 160<200, 2 学校P会受到噪声的影响. ∴ DG 1AB EG 1AB DG EG 1AB DE 1c2 + · = ·( + )= · = , 2 2 2 2 S S S 1 b a b 1 a b a 四边形ADBE= 四边形ACFE+ △ EFB= ( + ) + ( - )· = 2 2 1b2 1ab 1a2 1ab 1a2 1b2 + + - = + , 2 2 2 2 2 2 1 c2 1a2 1b2 答案图 ∴ = + , ( ) 2 2 2 如答案图 取 PE PF 米 当动车在线段 EF 上 即a2 b2 c2. (2) , = =200 , + = 时 学校P受噪声影响. 问题再探 解 如答案图 PAB即为所求作. , 【 】 : 1,△ 由 知 PHF ° PH 米 (1) ,∠ =90 , =160 , EF FH 2 2 米 . ∴ =2 =2 200 -160 =240( ) 千米/时 米/秒 ∵ 180 =50 , t 240+200 . 秒 . ∴ = =8 8( ) 50 答 学校P受影响的时间为 . 秒. : 8 8 7. 8. 或 C 1- 5 1+ 5 9. 25 答案图 10.解 P Q ( 1) :(1)∵ (2,-3), (-1,3), 问题拓展 解 如答案图 过点B作BE AC交AC延长 【 】 : 2, ⊥ PQ 2 2 . 线于点E 过点C作CD AB于点D. ∴ = (2+1) +(-3-3) =3 5 , ⊥ 如答案图 作点 B 关于 x 轴对称的 (2) , 点C 连接AC CP AP BP , , , , , 则C (1,1), 由轴对称的性质可得PC PB = , PA PB PA PC AC ∴ + = + ≥ , 当A P C三点共线时 PA PC最 ∴ , , , + 小 即 PA PB 最小 最小值为 AC 答案图 的 , 长. + , ( 2) A ° BE AC A C 答案图 ∵ ∠ =45 , ⊥ , ∵ (-1,-3), (1,1), ( ) ABE是等腰直角三角形 ∴ △ , AC 2 2 ABE ° AE BE. ∴ = (-1-1) +(-3-1) =2 5, ∴ ∠ =45 , = PA PB的最小值为 . ABC . ° ∴ + 2 5 ∵ ∴ ∠ ∠ CBE = = 2 ∠ 2 A 5 BC , =22 . 5 °. (3) 到两 x2 + 点 ( y -2) 2 和 + ( x - 的 3) 距 2 + 离 ( y 之 -1 和 ) 2可以看成点 ( x , y ) 又 BE AC CD AB CE CD. ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ = 其最 (0 小 ,2 值 ) 为 (3,1) 和 , 两点的距离 即 CD AB A ° ∴ (0,2) (3,1) , ∵ ⊥ ,∠ =45 , ACD是等腰直角三角形 x2 y 2 x 2 y 2 的 最 小 值 为 ∴ △ , +( -2) + ( -3) +( -1) AD CD CE AC AD. 2 2 . ∴ = = , = 2 (0-3) +(2-1) = 10 易得 BDC BEC 11. Rt△ ≌Rt△ (HL), C 数学八年级 下册 ( )·R 2 612. 解析 如答案图 作点 6.解 A ° AB DA 2 5 : , :(1)∵ ∠ =90 , =3, =4, A关于射线 ON 的对称点 A′ 作 BD DA2 AB2 2 2 . , ∴ = + = 4 +3 =5 点B关于射线OM的对称点B′ BC CD , ∵ =12, =13, 连接 A′B′分别交 ON OM 于点 BD2 BC2 2 2 CD2 2 , ∴ + =5 +12 =169, =13 =169, C , D , A′ B′ 的 长 即 为 所 求 , ∴ BD2 + BC2 = CD2 , B′OM A′OC MON BDC是直角三角形 DBC °. ∴ ∠ =∠ =∠ = ∴ △ ,∠ =90 ° OB′ OB OA′ OA 答案图 30 , = =4, = =2, ( ) S S S 1 AD AB 1 DB BC A′OB′ ° A′B′ OA′2 OB′2 即AC CD ∴ 四边形ABCD= △ ABD+ △ DBC= · + · ∴ ∠ =90 ,∴ = + =2 5, + + 2 2 DB的最小值是 .故答案为 . 2 5 2 5 1 1 . 13. 解 延长BH至点G 使得HG = ×4×3+ ×5×12=36 (1) : , = 2 2 BH 连接CG 如答案图 . 设点P的坐标为 a . , , 1 (2) (0, ) DH CH DHB CHG DA D PD a . ∵ = ,∠ =∠ , ∵ =4,∴ (0,4),∴ = -4 BH GH = , S 1S 1 PD AB 1 DHB CHG ∵ △ PBD= 四边形ABCD,∴ · = ×36, ∴ △ ≌△ (SAS), 4 2 4 CG BD BH HG. ∴ = =5, = 即1 a 得 a 又 BF AC CH CF 答案图 -4 ×3=9, -4 =6, ∵ ⊥ , = 13, =3, ( 1) 2 在 CFH中 由勾股定理 得 a 或a 解得a 或a Rt△ , , ∴ -4=6 -4=-6, =10 =-2, 点P的坐标为 或 . HF CH2 CF2 ∴ (0,10) (0,-2) = - =2, 7 8 9. 在 CFG中 由勾股定理 得 .C .D 60 Rt△ , , 10. 证明 BAC DAE ° FG CG2 CF2 (1) :∵ ∠ =∠ =90 , = - =4, BAC DAC BH HG HF FG ∴ ∠ -∠ = ∴ = = + =6, DAE DAC BF BH HF . ∠ -∠ , ∴ = + =8 即 DAB EAC. 证明 BCD ° BE CD于点E ∠ =∠ (2) :∵ ∠ =45 , ⊥ , 又 AE AD AC AB BCE为等腰直角三角形 ∵ = , = , ∴ △ , ACE ABD CBE ° BE EC. ∴ △ ≌△ (SAS), ∴ ∠ =45 , = CE BD. 过点E作EG EF 交AC于点G 连 ∴ = ⊥ , , 解 ACE ABD DB EC . 接AE BG 如答案图 . (2) :∵ △ ≌△ ,∴ = =4 , , 2 在 ABC中 由勾股定理 得 BC BF Rt△ , , ∵ = , BC2 AC2 AB2 . BFC BCF = + =8 ∴ 即 ∠ BFE =∠ EFG , BCD FCE. ( 答案图 2) 在 △ DBC中 , BC2 + DC2 =8+8=16=4 2 = BD2 , ∠ +∠ =∠ +∠ DCB °. 又 BFE FCE EFG BCD ° ∴ ∠ =90 ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ =45 , AC AB BAC ° ACB ° EFG为等腰直角三角形 ∵ = ,∠ =90 ,∴ ∠ =45 , ∴ △ , ACD DCB ACB °. EGF ° EF EG FG EF. ∴ ∠ =∠ +∠ =135 ∴ ∠ =45 , = , = 2 解 BC2 DC2 DC BC. BEC GEF ° (3) :∵ =8, =8,∴ = ∵ ∠ =∠ =90 , DCB ° DBC °. BEC CEG GEF CEG ∵ ∠ =90 ,∴ ∠ =45 ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , 又 ABC ° ABD °. 即 BEG CEF ∵ ∠ =45 ,∴ ∠ =90 ∠ =∠ , 在 ABD中 由勾股定理 得 BEG CEF Rt△ , , ∴ △ EGB ≌△ CFE (SA ° S) B , G CF FCE GBE AD = AB2 + DB2 = 2 2 +4 2 =2 5, ∴ ∠ =∠ =45 , = ,∠ =∠ , BGF BGE EGF ° AE AD ∴ ∠ =∠ +∠ =90 , ∴ = =2 5, BG CF. 在 AED中 由勾股定理 得 ∴ ⊥ Rt△ , , 又 BC BF CG FG 1FC. DE = AD2 + AE2 = 20+20=2 10 . ∵ = ,∴ = = 11. 2 D 又 FC AF AF FG CG AG AF ∵ =2 ,∴ = = ,∴ =2 , 12. 3 或 解析 四边形 ABCD 为长方形 AF EF AF FG FG CG 即AG CF (1) 2 :∵ , ∴ = 2 , + = + , = , 2 AG BG. BCD ADC ABC BAD ° AB CD ∴ = ∴ ∠ =∠ =∠ =∠ = 90 , = = 5, ABG为等腰直角三角形 AD BC . 当 BCB′ °时 如答案图 . BCD ∴ △ , = =4 ∠ =90 , 1 ∵ ∠ = AB AG AF EF. ° 点B′在CD上 根据折叠可知 AB′ AB BP B′ ∴ = 2 =2 2 =4 90 ,∴ , , = =5, = 专题四 [提升]利用勾股定理进行计算 P DB′ AB′2 AD2 2 2 CB′ DC DB′ ,∴ = - = 5 -4 =3, = - =5-3 .设CP x 则BP B′P x.在 CB′P中 根据勾 1 2 3 4 5 6. 3 7. 8. 15 =2 = , = =4- Rt△ , .C .A .2 58 .C .D 5 股定理 得 B′P2 B′C2 CP2 即 x 2 2 x2 解得 x 2 7 , = + , (4- ) =2 + , = 9. 10. 10 3 即CP 3 当 BB′C °时 如答案图 .根据折叠 A , = ; ∠ =90 , 2 2 2 2 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 可知 BP B′P PBB′ PB′B. PBB′ BCB′ , = ,∴ ∠ =∠ ∵ ∠ +∠ = 1 2 3 4. ° PB′B PB′C ° BCB′ CB′P PC .C .B .B (1)①④ (2)①②③ 90 ,∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =∠ ,∴ = 5. ° PB′ PC PB. BC BP PC CP 易知 CBB′ (1)32 (2)96 (3)45 ,∴ = ∵ = + =4,∴ =2; ∠ 数学八年级 下册 ( )·R 2 7°.综上 CP 3或 .故答案为3 或 . <90 , = 2 2 2 2 图 图 2 3 如图 ABC即为所求作. (3) 3,△ 答案图 答案图 S △ ABC=2 a ·4 a - 1 ·2 a ·2 a - 1 ·2 a · a - 1 ·4 a · a =3 a2. 2 2 2 ( 1) ( 2) 根据题意 构造长为 n 宽为 m的长方形 作出边长 ° 解析 如答案图 过点 C 作 CQ CP 且 CQ (4) , 4 , 3 , (2)135 : , ⊥ , = CP 连接PQ BQ. 易证得 ACP BCQ BQ 为 m2 n2 m2 n2 m2 n2的三角形如答 AP , . 易得 , PCQ 为 △ 等腰 ≌ 直 △ 角三角 (S 形 AS),∴ PQ = 案图 + AB 16 C即 、 为所 9 求 + 作 4 . 、2 + = 3 △ , ∴ = ,△ CP2 CQ2 CPQ °. BP2 PQ2 S m n 1 m n 1 m n 1 n + =2 2,∠ =45 ∵ + =1+8=9, △ ABC=3 ·4 - ·3 ·2 - ·2 ·2 - ·4 · BQ2 BP2 PQ2 BQ2 BPQ为直角三角形 且 2 2 2 =9,∴ + = ,∴ △ , m mn. BPQ ° BPC CPQ BPQ °.故答案为 =5 ∠ =90 ,∴ ∠ =∠ +∠ =135 °. 135 答案图 ( ) 11. 或50 6 答案图 3 ( ) 12. . 或 . 13. 解 是 3 6 4 32 (1) : 解析 在 ABC 中 ABC ° AC BC AB 证明 a2 b2 c2 a b c a2 a b2 : Rt△ ,∠ =90 , =5, =4,∴ = (2) :∵ + + -6 -8 -10 +50=( -6 +9)+( - 8 a +16)+( c2 -10 c +25)=0, AC2 - BC2 = 5 2 -4 2 = 3,∴ S △ ABC = 1AB · BC = 6 . ∴ ( a -3) 2 +( b -4) 2 +( c -5) 2 =0 . ABP是以 AB 为腰的等腰三角形 2 有两种情况 ∵ ( a -3) 2 ≥0,( b -4) 2 ≥0,( c -5) 2 ≥0, ∵ △ , A ∴ P : a b c 当AB AP 时 如答案图 S S 3 ∴ =3, =4, =5, ① = =3 , 1, △ ABP=AC· △ ABC= ×6 ∴ c2 = a2 + b2 , . 当AB BP 且点P在AC上时 如答案图 5 作 c是 完美勾股数 . =3 6;② = =3, , 2, ∴ “ ” AB BC (3) 解 : 由题意 , 得c2 = a2 + b2 , △ ABC的高BD , 则BD = A · C = 3×4 =2 . 4,∴ AD = DP = ∴ (2 m2 +2 mn +2 n2 ) 2 =( m2 +4 mn + n2 ) 2 +3( m + n ) 2 , 5 AP ∴ (2 m2 +2 mn +2 n2 ) 2 -( m2 +4 mn + n2 ) 2 =3( m + n ) 2 , 3 2 -2 . 4 2 =1 . 8,∴ AP =2 AD =3 . 6,∴ S △ ABP=AC· S △ ABC= 即 (3 m2 +6 mn +3 n2 )( m2 -2 mn + n2 )=3( m + n ) 2 , . 整理 , 得 ( m + n ) 2 [ ( m - n ) 2 -1 ] =0 . 3 6 ×6=4 . 32 .综上 , 等腰三角形的面积为 3 . 6 或 4 . 32 .故 又 m n m n 5 ∵ , >0, > , 答案为 . 或 . . m n 2 即m n 3 6 4 32 ∴ ( - ) -1=0, - =1, m n . ∴ = +1 x3 x2 p因式分解后有一个因式为 ∵ -3 + x m n x - + = -1, 设x3 x2 p x x2 sx t ∴ -3 + =( -1)( + + ), 即x3 x2 p x3 s x2 t s x t -3 + = +( -1) +( - ) - , 答案图 答案图 s t ( 1) ( 2) ∴ =-2, =-2, 13.解 另一个因式为x2 x . :(1)8 ∴ -2 -2 若 ABP为直角三角形 有如下两种情况 专题五 [提升]勾股定理的综合应用(一) (2) △ , : 当 APB °时 BP BC t ① ∠ =90 , = =8, =8÷2=4; 1 2. 3. 4. 3 5.3 21 6. 当 BAP °时 BP t 则CP t . .B 4 (3,10) 13 ② ∠ =90 , =2, =2 -8 2 7 在 ABP中 AP2 BP2 AB2 7. 8. Rt△ , = - , C 45 在 ACP中 AP2 AC2 CP2 Rt△ , = + , 9. 角平分线 BP2 AB2 AC2 CP2 (1) (2) 5 ∴ - = + , 10.解 . :(1)3 5 即 t 2 2 2 t 2 解得t 25. 如图 ABC即为所求作. (2) -10 =6 +(2 -8) , = (2) 2,△ 4 S 1 1 1 5. 综上 t的值为 或25. △ ABC=2×4- ×2×3- ×4×1- ×1×1= , 4 2 2 2 2 4 数学八年级 下册 ( )·R 2 8若 ABP为等腰三角形 有如下三种情况 《勾股定理》章末考点复习与小结 (3) △ , : 当AB BP 时 t 【知识网络】a2 b2 c2 a2 b2 c2 三个正整数 a b c ① = =10 , =5; + = + = , , 当AB AP时 BP BC t a2 b2 c2 ② = , =2 =16,∴ =8; + = ③ 在 当BP A = B A P P 中 时 , 由 A 勾 P = 股 B 定 P = 理 2 t , 得 则C t P = 2 8- 2 2 t. t 2 【考点突破】1 .D 2 .D 3. 18 4. 4+2 3 5. 5 Rt△ , , (2) =6 +(8-2) , 6. 7 13 145 解得t 25. (1) (2) = 13 8 8 7. 解 如图 过点 C 作 CD AB 交 AB 的延长线于 (1) : 1, ⊥ 综上 t的值为 或 或25. 点D. , 5 8 8 A ° A ACD ° AD CD. 专题六 [提升]勾股定理的综合应用(二) ∵ ∠ =45 ,∴ ∠ =∠ =45 ,∴ = AC AC2 AD2 CD2 AD CD . 1. 2 3. 4. 5. 6. ∵ =6 2, = + ,∴ = =6 C .C (1) 39 (2)20 cm 10 C 2 2 在 BCD中 由勾股定理 得 Rt△ , , 7. 13 13 解析 : 易知 MN = (4-2) 2 +(-1-2) 2 = BD BC2 CD2 .当点P在x轴上时 如答案图 作点 N关于 x 轴的 A = B AD B - D =4, 对称 13 点 N′ 连接 MN′并 , 延长交 , x 轴于点 P 此时 ∴ = - =6-4=2, MP - NP 的 , 值最大 , 为MN′的值.易知N′ (4,1),∴ , MN′ = ∴ S △ ABC= 1AB · CD = 1 ×2×6=6 . 2 2 2 2 当点P′在y轴上时 连接NM并 (4-2) +(1-2) = 5; , 延长 交y轴于点P′ 此时 MP NP 的值最大 为MN的 , , - , 值 即 . MP NP 的最大值为 .故 , 13 ∵ 13> 5,∴ - 13 答案为 . 13, 13 图 图 1 2 证明 如图 在BE上截取BF BD 连接CF. (2) : 2, = , D BCD DBC ° ∵ ∠ +∠ +∠ =180 , ABD DBC CBE ° ABD BCD ∠ +∠ +∠ =180 ,∠ =∠ , D CBE. ∴ ∠ =∠ 又 CD CB DB BF CDB CBF ∵ = , = ,∴ △ ≌△ (SAS), CB CF CBF CFB ABC EFC. 答案图 ∴ = ,∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ ( ) A ° AC EC E ° 8.解 如答案图 作点A关 ∵ ∠ =45 , ⊥ ,∴ ∠ =45 , :(1) 1, A E AC EC ABC EFC 于BC的对称点 A′ 连接 A′E ∴ ∠ =∠ , = ,∴ △ ≌△ (AAS), , AB EF AE AB BF EF AB BD. 交BC于点P 此时PA PE的 ∴ = ,∴ = + + =2 + 值最小.连接 , BA′. + ∵ AE2 = AC2 + CE2 ,∴ AE = 2 AC , 由勾股定理 得 BD AB AC. , ∴ +2 = 2 答案图 8 9 BA′ BA BC2 AC2 ( 1) .C .C = = + = {BC FC 2 2 +2 2 =2 2 . 10. 证明 在 BCD和 FCE中 B = CD , FCE (1) : △ △ , ∠ =∠ , E是AB的中点 BE 1BA . CD CE ∵ ,∴ = = 2 = , 2 BCD FCE BD EF. C ° AC BC ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = ∵ ∠ =90 , = =2, 解 补图如图 . BD AE A′BC ABC ° (2) : 2 ⊥ , ∴ ∠ =∠ =45 , 证明如下 A′BA ° : ∴ ∠ =90 , 延长BC至点M PA PE的最小值为 , ∴ + 使CM BC 连接EM AM. A′E A′B2 BE2 ( ) 2 ( ) 2 . 同 可 = 知 , , = + = 2 2 + 2 = 10 (1) , 故答案为 . BCD MCE △ ≌△ (SAS), 10 BD ME 如答案图 作点C关于直线AB ∴ = , (2) 2, DBC EMC 的对称点 C′ 作 C′N AC 于点 ∠ =∠ , , ⊥ BD ME. N 交 AB 于点 M 连接 AC′ 此时 ∴ ∥ , , , AC BC BC CM AB AM. CM MN的值最小 为C′N的值. ∵ ⊥ , = ,∴ = C + ′A CA , ∵ AB2 = AE2 + BD2 ,∴ AM2 = AE2 + EM2 , ∵ = =2, AEM是直角三角形 AEM °. ∠ C′A C B ′A = C ∠ CA ° B =30 ° , ( 答案图 2) ∴ ∵ △ BD ∥ ME ,∴ ∠ BHE =∠ , A ∠ EM =9 = 0 ° 9 , 0 ∴ ∠ =60 , BH AE 即BD AE. C′AC为等边三角形 AC′ CC′. ∴ ⊥ , ⊥ ∴ △ ,∴ = 11. 12 13 A .B .A C′N AC AN 1AC 14.解 测量的是点A C之间的距离. ∵ ⊥ ,∴ = =1, :(1) , 2 依据是 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 ∴ CM + MN的最小值为C′N = 2 2 -1 2 = 3 . c2 那么 : 这个三角形是直角三角形 , . , + = , 数学八年级 下册 ( )·R 2 9如图 连接AC. (2) , 在 ABC中 h 72×54 216 PQ ABC ° AB Rt△ , = = = , ∵ ∠ =90 , =9m, 90 5 BC =12m, FQ FP PQ 216 . . ∴ = + =40 3+ ≈112 5(cm) ∴ S △ ABC= 9×12 =54(m 2 ) . 答 购物车把手F到AB的距 5 离约为 . . 2 : 112 5cm 由勾股定理 得 , 17.解 1 a a b 1 b a b 1 c2 1 a a b AC = AB2 + BC2 =15m . :(1) 2 ( + ), 2 ( - ), 2 , 2 ( + )= 又 AD CD ∴ ∵ AC A 2 C + A D = D 8 是 2 m = 直 , C 角 D2 三 , = 角 17 形 m, CAD ° 如答 2 1 案 b ( 图 a - b ) 连 + 接 2 1c C 2 D . ∴ △ ,∠ =90 , (2) 过点C作 1 C , E AD于 , 点E. ∴ S △ ACD= 8×15 =60(m 2 ) . ∵ AD ⊥ AB , BC ⊥ ⊥ AB , 2 BC AE CE AB ∴ S 四边形ABCD=54+60=114(m 2 ) . ∴ DE = AD , AE = 千 , 米 答案图 ∴ 绿化费用为 :114×150=17100( 元 ) . ∴ = - =9 , ( 1) 答 绿化这片空地共需花费 元. CD DE2 CE2 2 2 千米 : 17100 ∴ = + = 9 +40 =41( ), 15.解 着火点C受洒水影响.理由如下 两个村庄的距离为 千米. :(1) : ∴ 41 如答案图 过点C作CD AB于点D. 点P的位置如答案图 所示. , ⊥ (3) 2 设AP x千米 则BP x 千米. = , =(40- ) 在 ADP中 PD2 AP2 AD2 x2 2. Rt△ , = + = +24 在 BPC中 PC2 BP2 BC2 x 2 2. Rt△ , = + =(40- ) +16 PC PD x2 2 x 2 2 ∵ = ,∴ +24 =(40- ) +16 , 解得x 即AP 千米. =16, =16 如答案图 . (4) 3 答案图 x2 x 2 的 最 小 值 为 C′ D ( ) +9 + (16- ) +81 = 由题意知 AC BC AB . 2 2 . , =600m, =800m, =1 000m (9+3) +16 =20 AC2 BC2 2 2 2 AB2 2 ∵ + =600 +800 =1 000 , =1 000 , AC2 BC2 AB2 ∴ + = , ABC是直角三角形 且 ACB ° ∴ △ , ∠ =90 , S 1AC BC 1CD AB ∴ △ ABC= · = · , 2 2 AC BC CD · . ∴ = AB =480m 飞机中心周围 以内可以受到洒水影响 答案图 答案图 ∵ 着火点C受洒水 50 影 0 m 响. , 专题 ( 七 [易 2) 错]《勾 股 定理》中 ( 常见的 3 易 ) 错题 ∴ 如答案图 当EC FC 时 飞机正好喷到着火点C. (2) , = =500m , 在 CDE中 1. 或 2.12或3 7 3. 4 5 ∵ Rt△ , 13 119 C .D .②③④ 5 4 ED = EC2 - CD2 = 500 2 -480 2 =140(m), 6 7 或 EF . .C .2 3 2 7 ∴ =280 m 8 解析 当 为腰 为底时 过点A作AD BC于点 飞机的速度为 .D : 4 ,6 , ⊥ ∵ 10 m/s, D 如答案图 则 ADB °. AB AC BC AD 着火点C受到洒水时间为 . , 1, ∠ =90 ∵ = =4, =6, ⊥ ∴ 280÷10=28(s) ∵ 28>13,∴ 着火点C能被扑灭. BC ,∴ BD = 1 BC =3,∴ AD = AB2 - BD2 = 7,∴ S △ ABC= 16.解 AC BC 理由如下 2 :(1) ⊥ , : ∵ AC =72cm, BC =54cm, AB =90cm,72 2 +54 2 =90 2 , 1BC × AD = 1 ×6× 7=3 7; 当 4 为底 ,6 为腰时 , 过点 A ACB ° 即AC BC. 2 2 ∴ ∠ =90 , ⊥ 作AD BC 如答案图 则 ADB °. 同理可得 BD 如答案图 过点F 作 AB 的垂线 分别交 DG AB 的延 ⊥ , 2, ∠ =90 = (2) , , , 长线于点P , Q. 1BC =2, AD = AB2 - BD2 =4 2,∴ S △ ABC= 1BC × AD = 1 2 2 2 .综上 这个等腰三角形的面积等于 或 ×4×4 2=8 2 , 3 7 故选 8 2, D. 答案图 ( ) EH DG EHG ° FGP ° GFP °. ∵ ∥ ,∠ =60 ,∴∠ =60 ,∴∠ =30 在 FGP中 FG Rt△ , =80cm, GP FP . 答案图 答案图 ∴ =40 cm,∴ =40 3 cm ( 1) ( 2) 数学八年级 下册 ( )·R 3 09. . 或 或 或 解析 由长方形的 第21章 四边形 (2 5,4) (3,4) (2,4) (8,4) : 性质得出 OCB ° OC BC OA .由点D为OA 21.1 四边形及多边形 ∠ =90 , =4, = =10 的中点可知 OD AD .分如下三种情况讨论 当PO 21.1.1 四边形及其内角和 , = =5 :① = PD时 点P在OD的垂直平分线上 点P的坐标为 . 1 2 3 4. 5. , ,∴ (2 .D .B .B 4 4 1 2 3 当 OP OD时 点 P 的坐标为 当 DP 6.解 AE BC AEB °. 5,4);② = , (3,4);③ = :∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 DO时 分两种情况 当点P在点D的左侧时 点P的坐标 B ° , : , ∵ ∠ =50 , 为 当点P在点D的右侧时 点P的坐标为 . BAE ° B °. (2,4); , (8,4) ∴ ∠ =90 -∠ =40 故答案为 . 或 或 或 . C ° D ° (2 5,4) (3,4) (2,4) (8,4) ∵ ∠ =110 ,∠ =90 , 10. 证明 AD BC ADC ADB ° DAB ° D C B °. (1) :∵ ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 , ∴ ∠ =360 -∠ -∠ -∠ =110 ∴ 根据勾股定理 , 得AC = AD2 + CD2 =15, ∵ AF平分 ∠ DAB , AB AD2 BD2 . FAB 1 DAB 1 ° ° = + =20 ∴ ∠ = ∠ = ×110 =55 , BC CD DB 2 2 2 2 2 ∵ = + =25,20 +15 =25 , EAF FAB BAE ° ° °. 即AB2 AC2 BC2 ∴ ∠ =∠ -∠ =55 -40 =15 + = , 7. 8.三角形或四边形或五边形 9. ABC为直角三角形 且 BAC °. C 360 ∴ △ , ∠ =90 10.解 ° α 理由如下 证明 CE是 ACB的平分线 ACE BCE. :(1)∠1+∠2=40 +∠ , : (2)① :∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ 如答案图 延长DA CB交于点G. CAE CDF ° 1, , ∵ ∠ =∠ =90 , A ° B ° 易得 G °. ACE AEF BCE CFD ° ∵ ∠ =100 ,∠ =120 ,∴ ∠ =40 ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ =90 , G ° α ° ° CFD AEF. ∵ ∠ +(180 -∠2)+∠ +(180 -∠1)=360 , ∴ ∠ =∠ ° α. 又 AFE CFD AFE AEF AE AF. ∴ ∠1+∠2=40 +∠ ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ ,∴ = 解 如答案图 过点E作EG BC于点G. ② : , ⊥ CE是 ACB的平分线 ∵ ∠ , BAC ° ∠ =90 , AE GE. ∴ = 又 CE CE ∵ = , ACE GCE ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL), 答案图 CG AC ( ) ∴ = =15, BG BC CG . ∴ = - =25-15=10 答案图 答案图 设AE GE x 则BE x ( 1) ( 2) = = , =20- , α ° 理由如下 在 BGE中 由勾股定理 得BE2 EG2 BG2 (2)∠1-∠2=∠ +40 , : Rt△ , , = + , 如答案图 记PE BC的交点为H. 即 x 2 x2 2 解得x . 2, , (20- ) = +10 , =7 5, BHE α. 即点E到BC的距离为 . . ∴ ∠ =∠2+∠ 7 5 A B BHE ° ° 提示 当CP AC时 CP ∵ ∠ +∠ +∠ +(180 -∠1)=360 , (3) :① = , =15; ° ° α ° ° 当CP AP时. ∴ 100 +120 +∠2+∠ +(180 -∠1)=360 , ② = 即 α °. CP AP ACP CAP. ∠1-∠2=∠ +40 ∵ = ,∴ ∠ =∠ 如答案图 ° α CAB ° (3) 3,∠1+∠2=40 +∠ ; ∵ ∠ =90 , 如答案图 α °. CAP BAP ° ACB B ° 4,∠1+∠2+∠ =400 ∴ ∠ +∠ =90 ,∠ +∠ =90 , BAP B AP BP ∴ ∠ =∠ ,∴ = , CP BP 1BC 25 ∴ = = = ; 2 2 当AC AP时. ③ = AD BC CD DP 1CP CP CD . ∵ ⊥ ,∴ = = ,∴ =2 =18 答案图 答案图 2 ( 3) ( 4) 11. 12. 综上所述 CP的长为 或25或 . D 2 13 , 15 18 13.解 2 :(1)②④ 四边形ABFE是邻等对补四边形 理由如下 故答案为 或25或 . (2) , : 15 18 四边形ABCD是长方形 2 ∵ , 11. B ADC BCD ° AD BC C ∴ ∠ =∠ =∠ =90 , = , 12.解 钝角 或 ADE ECF ° ° °. :(1) (2)25 527 ∴ ∠ =∠ =180 -90 =90 这个三角形是直角三角形.理由如下 EC BC EC AD. (3) : ∵ = ,∴ = (m2 n2 ) 2 m4 m2n2 n4 EF AE AEF ° AED CEF. - -2 + ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 =∠ +∠ ∵ = , 又 AED DAE ° DAE CEF 2 4 ∵ ∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =∠ , ( mn ) 2 = m2n2 , (m2 + n2 ) 2 = m4 +2 m2n2 + n4 , ∴ 又 △ AD B E ≌△ AE E F CF (A ° SA), ° ∴ AE = ° EF. 2 4 ∵ ∠ +∠ =90 +90 =180 , ∴ (m2 - n2 ) 2 +( mn ) 2 = (m2 + n2 ) 2 , ∠ F 四 + 边 ∠ 形 BA A E B = F 1 E 80 是 ° , 邻等对补四边形. 2 2 ∴ 这个三角形是直角三角形. ∴ (3)2 6 数学八年级 下册 ( )·R 3 121.1.2 多边形及其内角和 B 1 C B 1 2 3 4. 三 =∠ + (∠ -∠ ) .C .D .D 3 4 2 5. (1)10 (2)6 (3)8 20 1 B 1 C 6.解 ° = ∠ + ∠ :(1)75 2 2 将 ABC绕点A逆时针旋转 使点B与点E重台 点 (2) △ , , 1m° 1n°. C落在点F处 如答案图 = + , , 2 2 解 AN 与 DN 分别平分 PAC 与 QDB AM 是 (3) :∵ ∠ ∠ , BAC的平分线 DM是 BDC的平分线 ∠ , ∠ , NAC MAC 1 PAC 1 BAC 1 PAB ∴ ∠ +∠ = ∠ + ∠ = ∠ 2 2 2 ° =90 , 答案图 NDB BDM 1 QDB 1 BDC 1 QDC ( ) ∠ +∠ = ∠ + ∠ = ∠ AF AC B AEF ° 2 2 2 ∴ ∠ BA A C = E = D ∠ , E ∠ A ° F , = B ∠ C = A E E F F = . 90 A , ED ° 即 =9 ∠ 0 ° M , AN =∠ MDN =90 ° , ∵ ∠ D E F = 在 90 同 , 一 ∴ 条 ∠ 直线上 +∠ . =180 , ∴ ∠ N =360 ° -∠ M ( AN -∠ MDN - ) ∠ M ∴ , , BAE BAC CAD DAE CAD ° ° ° 1m° 1n° ∵ ∠ =∠ +∠ +∠ =2∠ , =360 -90 -90 - + BAC DAE CAD 2 2 ∴ ∠ +∠ =∠ , EAF DAE CAD ° 1 m° n° ∴ ∠ +∠ =∠ , =180 - ( + ), 即 DAF CAD. 2 ∠ =∠ ° N ° 又 AD AD AC AF ∵ 100 <∠ <120 , ∵ = , = , CAD FAD DF CD ° ° 1 m° n° ° m n . ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = , ∵ 100 <180 - ( + )<120 ,∴ 120< + <160 DF DE EF CD DE BC 2 ∵ = + ,∴ = + , 21.2 平行四边形 五边形 ABCDE 的周长 AB BC CD DE AE AB ∴ = + + + + =4 21.2.1 平行四边形及其性质 . =24 第 课时:1 2 3 4. ° 5. 7. 8. ° 1 .C .B .C (1)20 (2)3 4 B 48 6. 解 作图如图. 9. °或 °或 ° 或 (1) : (1)540 360 180 (2)6 7 10.解 设少加的内角的度数为x 多边形的边数为n. : , 由题意 得 n ° ° x. , ( -2)×180 =1 500 + ° x ° x 变形 得n 1 500 + 60 + . , -2= ° =8+ ° 180 180 证明 四边形ABCD是平行四边形 n为正整数 且 x ° x ° n . (2) :∵ , ∵ , 0< <180 ,∴ =120 , =11 AB CD AB CD BAD BCD 答 她少加的这个内角是 ° 这个多边形是十一边形. ∴ = , ∥ ,∠ =∠ , : 120 , ABE CDF. 11. 12. ∴ ∠ =∠ C 540 AE CF分别平分 BAD和 BCD 13. 证明 A B AOB D C COD ∵ , ∠ ∠ , (1) :∵ ∠ +∠ +∠ =∠ +∠ +∠ = ° AOB COD BAE 1 BAD DCF 1 BCD 180 ,∠ =∠ , ∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ , A B D C. 2 2 ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ BAE DCF. 解 如图 AED B BAE M EDM ∴ ∠ =∠ (2) : 2,∵ ∠ =∠ +∠ =∠ +∠ , { ABE CDF ∠ =∠ , 在 ABE与 CDF中 AB CD △ △ , = , BAE DCF ∠ =∠ , ABE CDF BE DF. ∴ △ ≌△ (ASA),∴ = 7. 8 9. ° C .A 78 10.解 四边形ABCD是平行四边形 :(1)∵ , AD BC ∴ ∥ , M B BAE EDM. ABC ° BAD ° ° °. ∴ ∠ =∠ +∠ -∠ ∴ ∠ =180 -∠ =180 -100 =80 AM是 BAC的平分线 DM是 BDC的平分线 ABE ° ∵ ∠ , ∠ , ∵ ∠ =20 , EBC ABC ABE ° ° °. BAE 1 BAC EDM 1 BDC. ∴ ∠ =∠ -∠ =80 -20 =60 ∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ 2 2 BD平分 EBC CBD 1 EBC ° 由 知 BAC B BDC C ∵ ∠ ,∴ ∠ = ∠ =30 , (1) ∠ +∠ =∠ +∠ , 2 BAC BDC C B AD BC ADB CBD °. ∴ ∠ -∠ =∠ -∠ , ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =30 M B BAE EDM BE DF BEO DFO EBO FDO. ∴ ∠ =∠ +∠ -∠ (2)∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ 四边形ABCD是平行四边形 B 1 BAC 1 BDC ∵ , =∠ + ∠ - ∠ BO DO AO CO 2 2 ∴ = , = , BOE DOF OE OF B 1 BAC BDC ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = =3, =∠ + (∠ -∠ ) AO AE OE AC AO . 2 ∴ = + =2+3=5,∴ =2 =10 数学八年级 下册 ( )·R 3 211. 解析 如答案图 过点D作DF BC交BC的延长 6.解 作图如答案图所示. C : , ⊥ :(1) 线于点F.易证得 ABE DCF . AE DF BE △ ≌△ (AAS) ∴ = , = CF x.由勾股定理可得 AE2 AC2 CE2 AC2 BC BE 2 = , = - = -( - ) y x 2 DF2 BD2 BF2 BD2 BC CF 2 =4-( - ) , = - = -( + ) = 12- y x 2 y x 2 y x 2 y x 2 y x 2 ( + ) ,∴ 4-( - ) =12-( + ) ,∴ ( + ) -( - ) =8, 即 xy 解得xy 当x y的值发生变化时 代数式 4 =8, =2,∴ , , 的值不变的是xy.故选 . C 答案图 ( ) AB CD OD OB OD OB DOE (2)① ∥ ② = ③ = ④∠ = BOF DE BF ∠ ⑤ = 7. 8. ° 9.14 C (1)30 (2)44 3 答案图 10. 解 四边形ABCD是平行四边形 BD ( ) (1) :∵ , =4 5, 12. 2 OB 1BD OA OC. 13. 解 如答案图 过点A作AK BC于点K ∴ = =2 5, = (1) : 1, ⊥ , 2 等腰 ADM中 AMD ° AM DM 设OA OC x 则AB AC OA x. ∵ Rt△ ,∠ =90 , = , = = , = =2 =2 MAD °. AB AC OA2 AB2 OB2 ∴ ∠ =45 ∵ ⊥ ,∴ + = , 设AM DM a. 即x2 x 2 2 解得x 负值舍去 = =2 +(2 ) =(2 5) , =2( ), 点E是DM的中点 OA AB . ∵ , ∴ =2,∴ =4 AE 证明 如答案图 过点C作CG AF 交BD于点G = 10, (2) : , ∥ , , FAC OCG ME 1MD a. ∴ ∠ =∠ , ∴ = = 答案图 AFO OGC. 在 即( Rt a △ ) A 2 2 M a E 2 中 ( , AM2 + ) M 2 E2 = AE 2 , ( 1) ∠ ∵ 行四 四 边 边 = 形 形 ∠ , ABCD 是平 2 + = 10 , OA OC 答案图 解得a 负值舍去 AM . ∴ = , ( ) = 2( ),∴ =2 2 AFO CGO OF OG. 四边形ABCD为平行四边形 ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = ∵ , AB AC AF AE BAC FAE ° BC AD AMK MAD ° ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 , ∴ ∥ ,∴ ∠ =∠ =45 , BAF CAE. AMK为等腰直角三角形 AK KM. ∴ ∠ =∠ ∴ △ , = CE BD AEC AEF CEF AEF °. 在 Rt△ AMK中 , AK2 + KM2 = AM2 , ∵ A ⊥ FB ,∴ F ∠ AE = AE ∠ F + ° ∠ AEF =∠ +90 AK KM . ∵ ∠ =∠ +∠ =90 +∠ , ∴ = =2 AEC AFB. ABC ° BAK ° AB BK. ∴ ∠ =∠ ∵ ∠ =60 ,∴ ∠ =30 ,∴ =2 又 AB AC ABF ACE AF AE. 在 Rt△ ABK中 , AK2 + BK2 = AB2 , 又 ∵ AF = AE ,∴ △ AFE ≌△ AEF (AA ° S),∴ = ∵ ⊥ ,∴ ∠ =∠ =45 , AFO CGO ° CE EG. 即 2 BK2 BK 2 解得BK 2 3 ∴ ∠ =∠ =45 ,∴ = 2 + =(2 ) , = , OG EG OE OF CE OE. 3 ∵ = + ,∴ = + 11. 12. BM KM BK 2 3. A 26 4 ∴ = + =2+ 13. 解 四边形ABCD是平行四边形 3 (1) :∵ , 证明 如答案图 延长AM DC交于点F. AB CD AB CD. ABF BFC. (2) : 2, , ∴ ∥ , = ∴ ∠ =∠ 四边形ABCD为平行四边 FB平分 EFC EFB BFC. ∵ ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ 形 AE AB ABF EFB. BE EF . , ⊥ , ∴ ∠ =∠ ∴ = =5 BAD BCD ° DAE. AE CD AB AE BE . ∴ ∠ =∠ =90 +∠ ∵ =2,∴ = = + =2+5=7 在等腰 ADM中 证明 如答案图 在 FC 上 Rt△ , (2) : , ADM MAD ° 截取FH FG 连接BH. ∠ =∠ =45 , 答案图 = , MDC ° BCD ( 2) 在 BGF和 BHF中 ∴ ∠ = 180 -∠ - △ △ , ADM ° ° DAE ° ° DAE {FG FH ∠ =180 -(90 +∠ ) -45 = 45 -∠ = , =∠ MAE. ∠ BFG =∠ BFH , 答案图 又 FMD EMA ° MD MA FB FB ( ) ∵ ∠ =∠ =90 , = , = , DMF AME BGF BHF . BGF BHF. ∴ △ ≌△ (ASA), ∴ △ ≌△ (SAS) ∴ ∠ =∠ DF AE MF ME. GBF EFD EFD EFB BFH EFB ∴ = , = ∵ ∠ =∠ ,∠ +∠ +∠ =∠ + BC AD EMC MDA ° BGF GBF ° ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =45 , ∠ +∠ =180 , FMC ° EMC ° EMC. BFH BGF BHF. BFD BHC. ∴ ∠ =90 -∠ =45 =∠ ∴ ∠ =∠ =∠ ∴ ∠ =∠ 又 ME MF MC MC BCD ° BC BD ∵ = , = , ∵ ∠ =45 , ⊥ , CME CMF CE CF BDF °. BD BC. ∴ △ CD CE ≌ C △ D CF (S D A F S), A ∴ E. = , ∴ ∠ =45 ∴ = { BFD BHC ∴ + = + = = ∠ =∠ , 在 BDF和 BCH中 BDF BCH 第 课时:1 2 3 4.24 5. △ △ , ∠ =∠ , 2 .D .B .A 12 BD BC 5 = , 数学八年级 下册 ( )·R 3 3BDF BCH . DF CH. ABC ACB ° BC ∴ △ ≌△ (AAS) ∴ = ∴ ∠ =∠ =45 , =4 2, AB CD DF FH CH FG FD GAM BCN °. ∴ = = + + = +2 , ∴ ∠ =∠ =45 即FG FD AB. AN BM AM CN. +2 21 = .2.2 平行四边形的判定 ∵ 又 A = G C , B ∴ = GAM BCN 第 课时:1 2 3 4. ° ∵ GM B = N ,∴ BN △ CM ≌ G △ M CM (S C A G S), 5.答 1 案不唯 . 一 D 如 . B C O D . O C (1)5 (2)130 ∴ 当点 = G M ,∴ C三 + 点共 = 线时 + BN ≥ CM , 的值最小 最小 6.解 作图 , 如答案 = 图所示 . ∴ 值为CG的 , 值 , . , + , :(1) GAM ABC ° AG BC. ∵ ∠ =∠ =45 ,∴ ∥ 易知 GAB CBA BAC ABG ° △ ≌△ (SAS),∴ ∠ =∠ =90 , AC GB GBO ACB ° ∴ ∥ ,∴ ∠ =∠ =45 , 四边形ACBG是平行四边形 BG AC . ,∴ = =4 GO BO OBG OGB ° OG OB ∵ ⊥ ,∴ ∠ =∠ =45 ,∴ = , 答案图 ( ) GB OB OG OG OB OC . ∴ = 2 = 2 ,∴ = =2 2,∴ =6 2 (2)①∠ ECF =∠ CFB ② 1 ∠ BAD ③ 1 ∠ BCD 在 Rt△ GOC中 , GC = (2 2) 2 +(6 2) 2 =4 5, CFB CF 两组对边 2 分别平行的四边 2 形是平行 BN CM的最小值为 . ④ 四 ∠ 边形 ⑤ ⑥ 第 ∴ 课时 + :1 2 3 4 5 2 .C .C .B 7. 4. AD BC 答案不唯一 AF CE 或 AE FC 或 D (1) ∥ ( ) (2) ∥ = 8.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 DE BF 答案不唯一 = ( ) 9. 26 5. 8 10. 证明 四边形ABCD是平行四边形 (1) :∵ , 3 DM BN. 6.解 作图如图所示. ∴ ∥ :(1) BM AC DN AC ∵ ⊥ , ⊥ , DN BM. ∴ ∥ 四边形BMDN是平行四边形. ∴ 解 四边形BMDN是平行四边形 DM BN. (2) :∵ ,∴ = CD AB CD AB CM AN MCE NAF. ∵ = , ∥ ,∴ = ,∠ =∠ BM AC DN AC CEM AFN °. 四边形AECF是平行四边形 理由如下 ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 (2) , : CEM AFN . FN EM . AB CD B D OAB OCD. ∴ △ ≌△ (AAS) ∴ = =5 ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ 在 AFN中 由勾股定理 得 又 AB CD ABO CDO Rt△ , , ∵ = ,∴ △ ≌△ (ASA), AN = AF2 + FN2 = 12 2 +5 2 =13 . ∴ OA = OC. 11. AE BD CF BD D ∵ ⊥ , ⊥ , AE CF AEO CFO °. 12. 提示 当DE BC时 DE取得最小值. ∴ ∥ ,∠ =∠ =90 2+ 10 : ⊥ , 又 AOE COF AOE COF 13. 证明 ABC 为等边三角形 A ° AB ∵ ∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (AAS), (1) ∵ △ ,∴ ∠ = 60 , AE CF 四边形AECF是平行四边形. AC. ∴ = ,∴ = MA绕点M逆时针旋转 °得到MD 7. 8 9. ∵ 120 , B .C 6 5 DM AM AMD ° 10. 证明 四边形ABCD是平行四边形 ∴ = ,∠ =120 , (1) :∵ , DMB ° DMB A °. CD AB CD AB AD BC ∴ ∠ =60 ,∴ ∠ =∠ =60 ∴ ∥ , = , = , 又 AN MB ANM MBD MN AED CDE CFB ABF. ∵ = ,∴ △ ≌△ (SAS),∴ ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ DB. DE BF分别是 ADC和 ABC的平分线 = ∵ , ∠ ∠ , 解 四边形AFBD为平行四边形 理由如下 ADE CDE CBF ABF (2) : , : ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ , AB AC BAC ° ABC °. AED ADE CFB CBF ∵ = ,∠ =90 ,∴ ∠ =45 ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ , MA绕点M逆时针旋转 °得到MD AE AD CF CB AE CF ∵ 90 , ∴ = , = ,∴ = , MA MD MAD MDA ° DMA DMB ° AB AE CD CF 即BE DF. ∴ = ,∠ =∠ =45 ,∠ =∠ =90 , ∴ - = - , = MAD ABF °. AD BF. 又 DF BE 四边形DEBF是平行四边形 ∴ ∠ =∠ =45 ∴ ∥ ∵ ∥ ,∴ , 易证得 ANM MBD AMN MDB. BD EF互相平分. △ ≌△ (SAS),∴ ∠ =∠ ∴ , AE MN AMN MAE °. 解 如答案图 过点D ∵ ⊥ ,∴ ∠ +∠ =90 (2) : , MDB MBD ° MBD MAE 作DG AB于点G. ∵ ∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =∠ , ⊥ DB AF 四边形AFBD为平行四边形. A ° AE AD ∴ ∥ ,∴ ∵ ∠ =60 , = , 解 如答案图 过点 A ADE是等边三角形 (3) : , ∴ △ , 作 BAG ° 使 AG DE AE AD . ∠ =45 , ∴ = = =4 CB 连接 GM GC 又 DG AE AG GE . 答案图 = , , , ∵ ⊥ ,∴ = =2 ( ) GB 过点 G 作 GO AE EB BE BG . , ⊥ ∵ =2 ,∴ =2,∴ =4 C 于 B 点 , 交 O CB 的延长线 ( 答案图 ) 在 Rt△ ADG中 , DG = AD2 - AG2 =2 3, , BD DG2 BG2 2 2 . AB AC BAC ° ∴ = + = (2 3) +4 =2 7 ∵ = =4,∠ =90 , 11. 12. 2 B 18 cm 数学八年级 下册 ( )·R 3 413. 解 如答案图 过点E作EH AB于点H. FHG ABE AEB. (1) : 1, ⊥ ∴ ∠ =∠ +∠ A ABE AEB ° ∵ ∠ +∠ +∠ =180 , A FHG °. ∴ ∠ +∠ =180 点G是BC的中点 点H是BE的中点 (2)①∵ , , GH 1CE 即CE GH. ∴ = , =2 2 答案图 A ° A FHG ° FHG °. ( 1) ∵ ∠ =90 ,∠ +∠ =180 ,∴ ∠ =90 AD BC AB CD FH BD HFG. ∵ ∥ , ∥ , ∵ ∥ ,∴ ∠2=∠1+∠ 四边形ABCD为平行四边形. ° HFG ° HGF ° ∴ ∵ ∠2=∠1+60 ,∴ ∠ =60 ,∴ ∠ =30 , AB DC DAB DCB. EC HG FH ∴ = ,∠ =∠ { GDC EBA ∴ FG =2 FH , HG = 3 FH ,∴ FG= 2 FG = 2 3 FH = 3 . 在 CGD和 AEB中 ∠ CD AB =∠ , 2 △ △ , = , 由题意知 FH 1BD HG 1CE . GCD EAB ② , = =2, = =3 ∠ =∠ , CGD AEB 在 FGH中 由勾 2 股定理 得 2 ∴ △ DGC ≌△ BEA ( D A G SA B ) E , Rt△ , , ∴ ∠ =∠ , = , FG FH2 HG2 2 2 . DGB BED. = + = 2 +3 = 13 ∴ ∠ =∠ 11. AD BC EDG DGB ° C ∵ ∥ ,∴ ∠ +∠ =180 , ( ) EDG BED ° EB DG 12. 1 . ∴ ∠ +∠ =180 ,∴ ∥ , (1) 0,- (2)2 5 四边形BGDE为平行四边形. BG ED. 2 ∴ ∴ = 13. 解 连接EO 如图 . (1) : , 1 G为BC的中点 BG 1BC. 四边形ABCD是平行四边形 OA OC. ∵ ,∴ = ∵ ,∴ = 2 又 点E为AD中点 EO CD EO 1CD. 又 AD BC AE ED 1AD . ∵ ,∴ ∥ , = ∵ = =2 6,∴ = = = 6 2 2 BD CD EO BD EHA ° EAB C ° ∵ ⊥ ,∴ ⊥ , ∵ ∠ =90 ,∠ =∠ =45 , ∴ AH = EH = 3 . ∴ S △ EDF= 1DF · EO = 1 ×2· EO = 5, F ° FBA °. 2 2 ∵ ∠ =60 ,∴ ∠ =60 EO CD . EBA EBF EBA ° ∴ = 5,∴ =2 5 ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =30 , EB EH HB ∴ =2 =2 3,∴ =3, AB HB HA . ∴ = + =3+ 3 证明 如答案图 连 (2) : 2, 接 FE 并延长 交 AB , 图 图 于点M 1 2 易证 A , EM DEF. 证明 过点D作DR DM 交EC于点R 如图 . (2) : ⊥ , , 2 △ ≌△ CD BD DR MD MDR BDC ° AM DF ME FE. ∵ ⊥ , ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 , ∴ 又 ∵ ∠ = EBA , =∠ = EBF , ( 答案图 2) ∴ ∠ GH HD E G C =∠ RDC G . HC ° FDC. MBF是等腰三角形 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 =∠ ∴ △ , 又 HFG DFC HGD RCD. BF BM. ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ ∴ = DG AB AB DC DG DC. AB CD AM BM DF BF ∵ = , = ,∴ = ∴ = = + = + , DHG DRC DH DR HG CR. 即CD BF DF. ∴ △ ≌△ (ASA),∴ = , = = + HDR ° HDR为等腰直角三角形 21.2.3 三角形的中位线 ∵ ∠ =90 ,∴ △ , DHR DRH ° HR DH. 1 2 3 4. 5. ∴ ∠ =∠ =45 , = 2 .C .C .C 42 64 DG DC GDC ° 6.解 四边形EFGH是平行四边形.证明如下 ∵ = ,∠ =90 , : : GDC为等腰直角三角形 点E F分别是AB AC的中点 ∴ △ , ∵ , , , DGC DCG ° CG DC CG AB. EF BC EF 1BC. ∴ ∠ =∠ =45 , = 2 ,∴ = 2 ∴ ∥ , = DM AB DM CG. 2 ∵ = 2 ,∴ = CD AB CD BD AB BD ABD °. 同理 可得GH BC GH 1BC. ∵ ∥ , ⊥ ,∴ ⊥ ,∴ ∠ =90 , ∥ , = GHC ° GHC MBD. 2 ∵ ∠ =90 ,∴ ∠ =∠ EF GH EF GH. DHF ° DGC HFD GFC ∴ = , ∥ ∵ ∠ =45 =∠ ,∠ =∠ , 四边形EFGH是平行四边形. HCG BDM. 7. ∴ 8. 9. ∴ ∴ ∠ △ CHG ≌ =∠ △ DBM (AAS),∴ CH = BD , BM = HG. 10 A .解 :(1 4 ) 猜想 ( : 1 ∠ )3 A +∠ (2 F ) H 2 G =180 °.证明如下 : ∵ CR = HG ,∴ BM = CR , 点F是DE的中点 点H是BE的中点 BD CH CR HR BM DH ∵ , , ∴ = = + = + 2 , FH BD 即BM DH BD. ∴ ∥ , + 2 = FHE ABE. 21.3 特殊的平行四边形 ∴ ∠ =∠ 点G是BC的中点 点H是BE的中点 21.3.1 矩 形 ∵ , , GH CE EHG AEB 第 课时:1 2 3 4. ° ∴ ∥ ,∴ ∠ =∠ , 1 .B .A .B 58 数学八年级 下册 ( )·R 3 55. 6.解 作图如答案图所示. (1)5 (2)3 :(1) 6.解 作图如答案图所示. :(1) 答案图 ( ) AD BC ADF CDF CD CF AEC (2)① ∥ ②∠ =∠ ③ = ④∠ ° 有一个角是直角的平行四边形是矩形 答案图 =90 ⑤ ( ) 7. 8 D .A BAC ACD AEC ACE BE BC (2)①∠ =∠ ②∠ =∠ ③ = 9. ADF BEF (1)12 (2)2 3 ④△ ≌△ 10. 证明 四边形ABCD 7. 8 9. (1) :∵ B .B ①③④ 是平行四边形 10. 证明 四边形ABCD是矩形 , (1) :∵ , AD BC AD BC. AB CD. ∴ ∥ , = ∴ ∥ CF BE CAE ACF ∵ = , ∴ ∠ =∠ , EF EC CF CFO AEO. ∴ = + = ∠ =∠ EC BE BC AD 又 AE CF AOE COF. OE OF. + = = , ∵ = ,∴ △ ≌△ ∴ = 四边形ADFE是平行四边形. 解 如图 连接OB. ∴ (2) : , AE BC AEF BF BE OE OF ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90°, ∵ = , = , 四边形ADFE是矩形. BO EF. ∴ ∴ ⊥ 解 由 知四边形ADFE是矩形 EF AD . 由 知 AOE COF (2) : (1) ,∴ = =8 (1) ,△ ≌△ , EC BE CF BF . OA OC. ∵ =6,∴ = =2,∴ =10 ∴ = 在 ABE中 BAE BE 四边形ABCD是矩形 Rt△ ,∠ =30°, =2, ∵ , ABC ° AB BE DF AE AB2 BE2 . ∴ ∠ =90 , ∴ =2 =4,∴ = = - =2 3 在 BDF中 BO 1AC OA. BAC OBA. Rt△ , ∴ = 2 = ∴ ∠ =∠ ∴ BD = BF2 + DF2 = 10 2 +(2 3) 2 =4 7 . 又 BEF BAC BEF OBE. 四边形ABCD是平行四边形 ∵ ∠ =2∠ ,∴ ∠ =2∠ ∵ , 在 OBE中 BEO OBE ° ∵ Rt△ ,∠ +∠ =90 , OB OD OF 1BD . ∴ = ,∴ = =2 7 ABO BAC ° BC 1AC ∴ ∠ =∠ =30 ,∴ = =3, 11. 2 2 C AB AC2 BC2 2 2 . 12. 解析 如答案图 过点 N′作 EF AB 分别交 ∴ = - = 6 -3 =3 3 5+5 5 : , ∥ , 11. 12. AD BC于点E F 过点M作MG EF于点G.易知四边形 D 2 , , , ⊥ 13. 解 设AE x 则BE x. AMGE和BMGF都是矩形 A MGN′ ° 由旋转 (1) : = , =4- ,∴ ∠ =∠ =90 , 四边形ABCD是矩形 AO OC. 的性质 得 NMN′ ° MN MN′ AMN ° ∵ ,∴ = , ∠ = 90 , = ,∴ ∠ = 90 - OE AC AE CE x. NMG GMN′ AMN GMN′ MG AM ∵ ⊥ ,∴ = = ∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (AAS),∴ = 在 BEC中 由勾股定理 得BE2 BC2 CE2. 点N′在平行于AB 且与AB的距离为 的直线上运 Rt△ , , + = =5,∴ , 5 动 作点M 关于直线 EF 的对称点 M′ 连接 M′B 交直线 即 x 2 2 x2 解得x 25. , , (4- ) +3 = , = EF于点N′ 此时 MBN′周长取得最小值 最小值为BM 8 , △ , + BE 25 7. BM′. BM 1 AB MM′ BM BM′ ∴ =4- = ∵ = =5, =5+5=10,∴ + =5+ 8 8 2 证明 如答案图 延长CE至点P (2) : , , 2 2 .故答案为 . 使FP CF 连接OP AP. 5 +10 =5+5 5 5+5 5 = , , 四边形ABCD是矩形 ∵ , OA OB OD. ∴ = = F是OB的中点 OF FB. ∵ ,∴ = 又 PFO CFB FP FC ∵ ∠ =∠ , = , PFO CFB . 答案图 ∴ △ ≌△ (SAS) ( ) OP BC AD OPF FCB. ∴ = = ,∠ =∠ OP BC AD. 答案图 ∴ ∥ ∥ ( ) 四边形APOD是平行四边形. 13. 证明 BC HE BH AC ∴ (1) :∵ ∥ , ∥ , AP OD OA AP BD PAE ABD. 四边形BCEH是平行四边形. ∴ = = , ∥ ,∴ ∠ =∠ ∴ OA OB OAB OBA PAB. 又 ACB ° 四边形BCEH为矩形. ∵ = ,∴ ∠ =∠ =∠ ∵ ∠ =90 ,∴ AE AE APE AOE 证明 ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形 ∵ = ,∴ △ ≌△ (SAS), (2) :∵ △ △ , PE OE CF PF EF PE EF OE ACB ADE ° ∴ = ,∴ = = + = + , ∠ =∠ =90 , 即CF EF OE. DAE DEA ° AD DE AC BC. = + ∴ ∠ =∠ =45 , = , = 第 课时:1 2 3 4. 5. 四边形BCEH为矩形 2 .C .C .A 16 45 ∵ , 数学八年级 下册 ( )·R 3 6HEA ° HE BC AC HAN NAG NAG DAM ∴ ∠ =90 , = = , ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , DEH DAE ° HAN DAM. ∴ ∠ ADC =∠ EDH =45 , . DC DH. ∴ ∠ =∠ {AH AD ∴ △ ≌△ (SAS) ∴ = = , 提示 如答案图 连接DH 在 ANH和 AMD中 HAN DAM (3) : , , △ △ , ∠ =∠ , 连接CH交BE于点O. AN AM = , 同 可证 ADC ANH AMD HN DM. (2) △ ≌ ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = EDH . D是CH的中点 Q是NC的中点 △ (SAS) ∵ , , DC DH DQ是 CHN的中位线 ∴ = , ∴ △ , ADC EDH HN DQ DM DQ. ∠ =∠ , ∴ =2 ,∴ =2 CDH °. 答案图 11. 12. ∴ ∠ CDH = 是 9 等 0 腰直角三角形. ( ) 13. A 证明 3 如 3 答案图 连接AN. ∴ △ (1) : 1, 又 四边形BCEH为矩形 四边形ABCD是菱形 ∵ , ∵ , CD CD BE CH. 2. ABD CBD 1 ABC ° BA BC. ∴ = ∴ BE=CH= ∴ ∠ =∠ = ∠ =30 , = 21.3.2 2 菱 形 又 ∵ BN = BN ,∴ △ AB 2 N ≌△ CBN (SAS), AN CN. 第 课时:1 2 3 4. 5. . ∴ = 1 .D .A .C 8 3 2 5 MN垂直平分AE AN NE EN CN. 6. 证明 四边形ABCD是菱形 ∵ ,∴ = ,∴ = (1) :∵ , AB BC ABD CBD. ∴ = ,∠ =∠ 在 ABE和 CBE中 △ △ , {AB CB = , ABE CBE ∠ =∠ , BE BE = , ABE CBE AE CE. 答案图 答案图 ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = ( 1) ( 2) 解 AB AD ABD ADB. 解 如答案图 过点N作NF BC于点F 连接AF. (2) :∵ = ,∴ ∠ =∠ (2) : 1, ⊥ , AE DE EAD ADB ABD ∵ = ,∴ ∠ =∠ =∠ , DBC ° NF 1BN. 由 知 ABE CBE ∵ ∠ =30 ,∴ = (1) △ ≌△ , 2 BCE ° BAE. AN EN ∴ ∠ =75 =∠ ∵ = , ABD ADB DAE BAE ° ( ) ∵ ∠ +∠ +∠ +∠ =180 , EN BN EN 1BN AN NF AF ABD ° ° ABD ° ∴ 2 + =2 + =2( + )≥2 , ∴ 3∠ +75 =180 ,∴ ∠ =35 , 2 ABC ABD °. 当点A N F 三点共线时 EN BN 取得最小值 为 ∴ ∠ =2∠ =70 , , ,2 + , 7. 8 AF的值.当AF BC时 AF最小 如答案图 D .C 2 ⊥ , , 2, 9. (1)2 7 (2)3 3 在 ABF中 AF 3AB 3 10. 解 如答案图 连接BD. Rt△ , = =2× = 3, (1) : 1, 2 2 四边形ABCD是菱形 EN BN的最小值为 . ∵ , ∴ 2 + 2 3 AD AB AB CD. 第 课时:1 2 3 ∴ = , ∥ 2 .C .B .A BAD ° ABD是等边三角形 4. AB AD 答案不唯一 ∵ ∠ =60 ,∴ △ , (1) = ( ) (2)①②③④ BD AD AB . ∴ = = =4 5. E是AB的中点 AE DE AB 8 3 ∵ ,∴ =2, ⊥ , 6. 解 作图如答案图所示. (1) : DE 2 2 . ∴ = 4 -2 =2 3 AB CD EDC DEA °. ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =90 在 DEC中 由勾股定理 得 Rt△ , , EC DC2 DE2 2 2 . = + = 4 +(2 3) =2 7 答案图 ( ) 证明 CE平分 BCD ECD ECB. (2) :∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ 四边形ABCD为平行四边形 ∵ , AD BC DEC ECB ∴ ∥ ,∴ ∠ =∠ , DCE DEC DE DC. ∴ ∠ =∠ ,∴ = 答案图 答案图 CF CD DE CF. ( 1) ( 2) ∵ = ,∴ = 证明 如答案图 延长CD至点H 使 DH CD 连接 又 DE CF (2) : 2, , = , ∵ ∥ , NH AH. 四边形CDEF是平行四边形. , ∴ AD CD AD DH. 又 DC CF ∵ = ,∴ = ∵ = , CD AB HDA BAD ° 四边形CDEF是菱形. ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =60 , ∴ ADH是等边三角形 AH AD HAD °. ∴ △ ,∴ = ,∠ =60 7. 8. 7 AMN是等边三角形 AM AN NAM ° A ∵ △ ,∴ = ,∠ =60 , 5 数学八年级 下册 ( )·R 3 7G是BC的中点 9.10或8 ∵ , 3 3 CG 1CB. 10. 解 在 ABC 中 AB AC 且 ACD 是等边三 ∴ = (1) :∵ △ , = , △ 2 角形. CH 1CF AC DC AD AB ACD °. ∵ = , ∴ = = = =4,∠ =60 2 BAC ° CG CH. ∵ ∠ =120 , ∴ = ∴ AB ∥ CD , 又 ∵ CM = CM , 答案图 四边形ABDC是平行四边形. GCM HCM ( ) ∴ ∠ =∠ , 又 AB AC CGM CHM . ∵ = , ∴ △ ≌△ (SAS) 四边形ABDC是菱形 CGM CHM ° 即FG BC. ∴ , ∴ ∠ =∠ =90 , ⊥ AD BC AD AO BC BO CG BG CF BF BC CF BF. ∴ ⊥ , =2 , =2 , ∵ = ,∴ = ,∴ = = BCF是等边三角形. AO 1AD ∴ △ ∴ = =2, BFC ° BFG °. 2 ∴ ∠ =60 ,∴ ∠2=∠ =30 ∴ BO = AB2 - AO2 =2 3,∴ BC =4 3, 又 ∵ 四边形BCFE是菱形 ,∴ BF ⊥ CE , OC = OE , OM MH. S 1AD BC 1 . ∴ = ∴ 四边形ABCD= · = ×4×4 3=8 3 OC FG均为等边 BCF的高 2 2 ∵ , △ , 证明 如答案图 延长 OC FG (2) : , ∴ = , EA至点F 使得AF EM OE OM FG MH. , = ∴ = + = + BD 连接CF. 21.3.3 正方形 , ACD是等边三角 1 2 3 4. 5. ∵ △ .B .D .B ④ (1)(-1,2) (2)18 形 AB AC 6.解 在正方形ABCD中 , = , :(1) , AB AC AD CD AD CD A BCD ADC ° ∴ = = = , = ,∠ =∠ =∠ =90 , ADC ACD DCF ° ∠ =∠ = ∴ ∠ =90 , DAC °. A DCF. ∠ =60 ∴ ∠ =∠ 设 ABD ADB α 在 ADE和 CDF中 ∠ BAD =∠ ° = α. , {A △ D CD △ , ∴ ∠ =180 -2 = , BAC BAD DAC A DCF ∴ ∠ =∠ +∠ = ∠ =∠ , ° α ° ° α. 答案图 AE CF 180 -2 +60 =240 -2 ( ) = , AE BC ADE CDF( ) ∵ ⊥ , ∴ △ ≌△ SAS , DE DF ADE CDF. CAE 1 BAC ° α ∴ = ,∠ =∠ ∴ ∠ = ∠ =120 - , ADE EDC ° 2 ∵ ∠ +∠ =90 , FAC ° ( ° α) ° α. CDF EDC EDF ° DEF °. ∴ ∠ =180 - 120 - =60 + ∴ ∠ +∠ =∠ =90 ,∴ ∠ =45 BDC ADB ADC ° α DEF为等腰直角三角形 DH EF ∵ ∠ =∠ +∠ =60 + , (2)∵ △ , ⊥ , FAC BDC. EH HF ME MF. ∴ ∠ =∠ ∴ = ,∴ = 又 CA CD FA BD BE CF AB BC CF AE ∵ = , = , ∵ =12, =3, = , = , CDB CAF( ) BC AB AE EB CF EB . ∴ △ ≌△ SAS , ∴ = = + = + =15 FCA BCD FCE ACD °. 设CM x 则BM x ME MF MC CF x. ∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ =60 = , =15- , = = + =3+ 在 FEC中 F ° ° ° 在 EMB中 EM2 EB2 BM2 Rt△ ,∠ =90 -60 =30 , Rt△ , = + , CE CF ( x) 2 2 ( x) 2 ∴ 2 = , ∴ 3+ =12 + 15- , ∴ EF = FC2 - EC2 = 3 CE , 7. 解 8 得x =10,∴ CM =10 . AE BD AE AF EF CE. C .D ∴ + = + = = 3 9. 11. 12. (1)10 (2)1 C (1)(-4,3) (2)6 10. 解 如答案图 PC即为所求作. 13. 证明 四边形ABCD是平行四边形 (1) : 1, 90 (1) :∵ , AB CD. ∴ ∥ ECF. ∴ ∠1=∠ EF BC ∵ ∥ , 四边形BCFE是平行四边形. ∴ CE平分 BCD ∵ ∠ , BCE ECF BCE . 答案图 答案图 ∴ ∠ BC BE =∠ 四边 , 形 ∴ ∠ BCFE是 =∠ 菱 1 形. 证明 ( 如答案图 1) 过点P作PC ( OB于点 2 C ) 解 ∴ = E ,∴ CF (2) 易知四 : 边形OAP 2 C , 是矩形. ⊥ , (2) :∵ ∠1=∠ ,∠1=∠2, ECF CM FM. 点P在 AOB的平分线上 PA OA PC OB ∴ ∠ MH C = D ∠2, C ∴ F C = H . ∵ ∠ , ⊥ , ⊥ , ∵ 四边 ⊥ 形B , C ∴ FE是 = 菱 2 形 =2 ∴ P 矩 A 形 = P O C A , P ∠ C A 是 = 正 ∠ 方 PC 形 N =90 ° , ∵ , BC CF . ∴ , ∴ 证明 = 如答 = 案 2 图 连接BF交CE于点O 则OC OE. ∴ OA = AP = PC = OC ,∠ APC =90 °. (3) : , , = ∵ PN ⊥ PM ,∴ ∠ APM =∠ CPN =90 ° -∠ MPC. 数学八年级 下册 ( )·R 3 8APM CPN AM CN 三角形 DGP °. 易知 FHD FAD AFH ∴ △ ≌△ ,∴ = , ,∴ ∠ =45 ∠ =∠ +∠ = OM ON OM CN OC OM AM AP OA AP AP. FGP DGF DGP ° α DGF α.故选 . ∴ + = + + = + + = + =2 ∠ =∠ +∠ =45 + ,∴ ∠ = D 11. 12. ° C 45 5 2 13.解 DE CD AE 理由如下 :(1) + = , : CD BD AE BD AB BC ∵ ⊥ , ⊥ , ⊥ , ABC D AEB ° ∴ ∠ =∠ =∠ =90 , ABE CBD C CBD ° ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ =90 , ABE C. ∴ ∠ =∠ 又 AB BC ABE BCD ∵ = ,∴ △ ≌△ (AAS), BE CD AE BD ∴ = , = , 5. 6 7 8.3 3 9. 10. 11. . DE BD BE AE CD C .C .B C 1 ∶ 3 36 96 ∴ 即DE = CD - AE = . - , 12. 13 2 + = A .A AD BE DF 理由如下 (2) = 2 + , : 14 提示 易知 DE AF 则 OM 1 DF. 如答案图所 如答案图 过点A作AM BD于 .B : ⊥ , = 1, ⊥ 2 点M 过点F作FN BD于点N. 示 在AB延长线上截取BH BG 连接FH.易得FH FG , ⊥ , = , = , AME ENF AEF ° ∴ ∠ =∠ =∠ =90 , OM 1FG 1DF 1 HF 1 DF HF 当 H D F AEM MAE AEM ∴ + = + = ( + ),∴ , , ∴ ∠ +∠ =∠ + 2 2 2 2 NEF ° ∠ =90 , 三点共线时 DF HF有最小值 即此时OM 1 FG有最小 MAE NEF. , + , + ∴ ∠ =∠ 2 又 AE EF 答案图 ∵ AEM = , EFN ( 1) 值 , 为DH的长的1 .由勾股定理求出DH的值即可. ∴ △ ≌△ (AAS), 2 EM NF. ∴ = 四边形ABCD为正方形 ∵ , ABD BDC ° AB AD ∴ ∠ =∠ =45 , = , ABM和 NFD都是等腰直角三角形 ∴ △ △ , AB AD AM BM ∴ = = 2 = 2 , DF NF EM = 2 = 2 , AD BM BE EM BE NF BE 答案图 ∴ = 2 = 2( + )= 2( + )= 2 ( ) DF. 15. . 提示 连接DP 由等积法可求出PM PN的值为定 + 7 8 : , + AD BE DF 理由如下 值 . 当PB最短时 PM PN PB有最小值.由此得解. (3) = 2 - , : 4 8,∴ , + + 如答案图 过点A作AH BD 16. 提示 如答案图 过点 A 作直线 a 的垂线 并在此 2, ⊥ 8 : , , 于点H 过点 F 作 FG BD 交 垂线上取点A′ 使得 AA′ 连接 A′B 与直线 b 交于点 , ⊥ , , =4, , BD的延长线于点G N 过点N作直线a的垂线 垂足为M 连接AM 过点B作 , , , , , AHE G AEF ° BE AA′ 交射线AA′于点E 此时AM MN NB A′B MN ∴ ∠ =∠ =∠ =90 , ⊥ , , + + = + AEH HAE AEH 的值最小. ∴ ∠ + ∠ = ∠ + GEF ° 答案图 ∠ =90 , ( 2) HAE GEF. ∴ ∠ =∠ 又 AE EF ∵ = , HAE GEF HE FG. ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = 四边形ABCD是正方形 ∵ , ABD BDC ° AB AD ∴ ∠ =∠ =45 , = , 答案图 FDG ° ∴ ∠ =45 , ( ) ABH和 DFG都是等腰直角三角形 17. 提示 由题意可得 C C OA OM ∴ △ △ , 6 2+12 : , △ AOM+ △ NCB= + + AB AD BH DF FG AM CB BN CN AM CN 当AM CN最小时 C ∴ = = 2 , = 2 , + + + =12+ + , + , △ AOM+ 专 ∴ 题 AD 八 = 2 B \ H [ = 强 2 化 ( B \ E ] - ( H 特 E ) 殊 = ) 2 平 BE 行 - 四 2 F 边 G 形 = 的 2 B 计 E - 算 DF. C 点 △ N A CB 关 最 于 小 x . 轴 如 的 答 对 案 称 图 点 , 将 A 点 ′ 连 C 接 向左 A′C 平 ′交 移 x 2 轴 个 于 单 点 位长 M 度 将 , 作 点 , , 1 2 3 M向右平移 个单位长度得到点N 这时AM CN的值最 4 .C 解 .B 析 如 . 图 D 取CF的中点P 连接GP.易证得 ABE 小时 为A′C′ 2 的值. , + .D : , , △ , ADF AE AF BAE FAD α BAE EAD ≌△ ,∴ = ,∠ =∠ = ,∴ ∠ +∠ EAD FAD ° AEF 为等腰直角三角形 =∠ +∠ = 90 ,∴ △ , AFE °.设BE a EC b 则 DF a FC a a b ∴ ∠ =45 = , = , = , = + + = a b. 在 FEC 中 G P 分别为 EF CF 的中点 GP 2 + △ , , , ,∴ = b b 1EC GP EC FP 1 FC 1 a b a DP = , ∥ , = = (2 + )= + ,∴ 2 2 2 2 2 b b FP DF a a DP GP DGP为等腰直角 = - = + - = ,∴ = ,∴ △ 答案图 2 2 ( ) 数学八年级 下册 ( )·R 3 9专题九 \[强化\](特殊)平行四边形中的尺规作图 7.解 作图如答案图所示. :(1) 1.解 作图如答案图所示. :(1) 答案图 ( ) 答案图 AB CD ABE CDF AEB CFD ( ) (2)① ∥ ②∠ =∠ ③∠ =∠ AB DC DF BE DE AB AEB ° (2)① = ② = ③ ⊥ ④∠ =90 2.解 作图如答案图所示. 8.解 作图如答案图所示. :(1) :(1) 答案图 ( ) CD DCF BAE CDF ° 该平 (2)① ②∠ ③∠ =∠ =90 ④ 行四边形为矩形 3.解 作图如答案图所示. 答案图 : ( ) EDB BE BE 一组邻边相等的平行四 (2)①△ ② ③ ④ 边形是菱形 专题十 \[提升\](特殊)平行四边形中的计算与证明 1. 解 四边形ABCD是平行四边形 (1) :∵ , AB DC A ADG. ∴ ∥ ,∴ ∠ =∠ 答案图 E是AD的中点 AE ED. ( ) ∵ ,∴ = AD BAE DAM ADN 这两个交点到 AEF DEG AEF DEG ① ②∠ =∠ ③△ ④ ∵ ∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (ASA), 此顶点的距离相等 EF EG AF GD . ∴ = =3, = =3 4.解 作图如答案图所示. FG EF EG . :(1) ∴ = + =3+3=6 EF AB AB DC ∵ ⊥ , ∥ , G AFG ° ∴ ∠ =∠ =90 , CG CF2 FG2 2 2 ∴ = - = 10 -6 =8, CD CG GD ∴ = - =8-3=5, BF AB AF CD AF . ∴ = - = - =5-3=2 证明 如图 延长CE和BA交于点H. (2) : 2, 答案图 ( ) ADE ADE DFG ° AD DC (2)①∠ ②∠ +∠ =90 ③ = 5.解 作图如答案图所示. :(1) 图 2 AB DC H ECG. ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ HEF CEG EF EG 答案图 ∵ ∠ =∠ , = , ( ) HEF CEG FAO ECO AO CO AF CE 一组 ∴ △ ≌△ (AAS), ( 邻 2 边 )① 相 ∠ 等的平 = 行 ∠ 四边形 是 ② 菱形 = ③ = ④ ∴ HF = CG ,∴ BH = BF + HF = BF + CG. CE平分 BCD 6.解 作图如答案图所示. ∵ ∠ , : BCE ECG. ∴ ∠ =∠ H ECG ∵ ∠ =∠ , BCE H ∴ ∠ =∠ , BH BC. ∴ = 四边形ABCD是平行四边形 ∵ , AD BC ∴ = , AD BH ∴ = , 答案图 AD BF CG. ( ) ∴ = + FAO OA OC FOA 与其一组对边相交 2. 证明 CE DA ADB ECD. ①∠ ② = ③∠ ④ (1) :∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ 所得的线段被这条对角线平分 DE BA ABD EDC. ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ 数学八年级 下册 ( )·R 4 0又 AD是 ABC的中线 BD DC ∵ △ ,∴ = , ABD EDC AB DE ∴ △ ≌△ (ASA),∴ = , 四边形ABDE是平行四边形. ∴ 解 四边形 ABPE 是平行四边形 (2) :① , 理由如下 : 延长BP 交CE于点G 取CG的中点 , , H 连接DH 如答案图 . , , 1 CE DA APB EGP. ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ 答案图 答案图 PE BA ABP EPG. ∵ ∵ 的 A 中 D 点 ∥ 是 △ ,∴ AB ∠ C 的中 = 线 ∠ , 点 H 为 CG ( 答案图 1) ② 当 AB 点 A F ( B 2 落 A 在 B A 1 D A ) D 上时 , 如答案图 ( A 2 B . AD 2 . ) , ∵ ∥ 2 2, ⊥ ,∴ ∠6=∠2, 2 2⊥ DH为 BCG的中位线 ∵ ∠1=∠2,∠5=∠1, ∴ ∴ DH ∥ B △ G , BG =2 DH , 即D , H ∥ PG. ∴ ∠5=∠6, 易得B 2 D = B 2 F 2=3, 又 CE DA 即GH PD ∵ ∥ , ∥ , BB BD B D 25 16 即m 16. 四边形PDHG为平行四边形 ∴ 2= - 2 = -3= , = ∴ , 3 3 3 DH PG 则BG DH PG PG BP 综上所述 点F平移到线段AB上时 m的值为 点F ∴ = , =2 =2 = + , , , 3, BP PG ABP EPG AB EP ∴ = ,∴ △ ≌△ (ASA),∴ = , 平移到线段AD上时 m的值为16. 四边形ABPE是平行四边形. , ∴ 3 过点D作DM AC 于点 M 如答案 如答案图 设 A′B′交 AD ② ⊥ , (3) 3, 图 . 于点K. 2 设BC a 当AA′ AB′时 =2 , = , AD是 ABC的中线 AK A′B′ ∵ △ , ∵ ⊥ , BD CD a ∴ = = , B′K A′K 1 A′B′ ACB ° ∴ = = = ∵ ∠ =45 , 2 易得DM CM 2a ( 答案图 2) 1AB. ∴ = = , 答案图 2 2 ( 3) B′K AB BB′ DB′ 25 BQ CQ a QM 2a. ∵ ∥ ,∴ = = , = = 2 ,∴ = 6 2 CAD ° 平移距离n 25 ∵ ∠ =30 , ∴ = ; AD DM a 6 ∴ =2 = 2 , 当AB′ A′B′时 = , ∴ AM = AD2 - DM2 = 6a , 在 Rt△ AEB′中 , EB′ = AB′2 - AE2 = 5 2 -4 2 =3, 2 BB′ BE EB′ ∴ = + =3+3=6, 平移距离n 6- 2a ∴ =6; AQ 当AA′ A′B′时 四边形ABB′A′是菱形 AQ 6- 2a 2 6- 2. = , , ∴ = ,∴ BC= a = BB′ AB 平移距离n . 2 2 4 ∴ = =5,∴ =5 3.解 在 ABD中 :(1) Rt△ , 综上所述 满足条件的n的值为25或 或 . , 6 5 AB AD 20 6 =5, = , 4.解 AP PC AP PC AP AC . 3 :(1)∵ = , ⊥ , =5,∴ =5 2 ( ) 四边形ABCD为矩形 2 ∴ BD = AD2 + AB2 = 20 +5 2 = 25. ∵ B ° 由勾股定理 , 得AB2 BC2 AC2. 3 3 ∴ ∠ =90 , , + = S 1BD AE 1AB AD AB 1BC ∵ △ ABD= 2 · = 2 · , ∵ ( = 3 ) , 2 20 1 BC BC2 解得BC 负值舍去 AB AD 5× ∴ + =50, =3 5( ), AE · 3 . 3 ∴ = BD = =4 AB . 25 ∴ = 5 S AB BC . 3 ∴ 矩形ABCD= × =15 在 ABE中 AB AE AC AP PN 证明如下 Rt△ , =5, =4, (2) 如答 = 案图 + 延 , 长AP CD : 交于点E. BE AB2 AE2 . , , ∴ = - =3 设平移中的三角形为 A B F 如答案图 所示. (2) △ 1 1 1, 1 由对称的性质可知 ,∠1=∠2, 由平移的性质可知 , AB A B BF B F . ∥ 1 1,∠4=∠1, = 1 1=3 当点F 落在AB上时 如答案图 . ① 1 , 1 AB A B ∵ ∥ 1 1,∴ ∠3=∠4,∴ ∠3=∠2, BB B F 即m 答案图 ∴ 1= 1 1=3, =3; ( ) 数学八年级 下册 ( )·R 4 1AP PC PM PD MAG DFG. ∵ ⊥ , ⊥ , ∴ ∠ =∠ APC MPD ° G是AF的中点 ∴ ∠ =∠ =90 , ∵ , APM MPC MPC CPD ° AG FG. ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ =90 , ∴ = APM CPD. 又 AGM FGD ∴ ∠ =∠ ∵ ∠ =∠ , 四边形ABCD是矩形 AMG FDG . ∵ , ∴ △ ≌△ (ASA) ADC °. NCD CND °. AM FD MG DG. ∴ ∠ =90 ∴ ∠ +∠ =90 ∴ = , = APC ° PAN ANP °. BM CF. ∵ ∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 ∴ = 答案图 又 ANP CND NCD PAN. CE CF C ° ( 2) ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ ∵ = ,∠ =60 , 又 AP CP CEF是等边三角形. ∵ = , ∴ △ APM CPD . PM PD. EF CF CFE °. ∴ △ ≌△ (ASA) ∴ = ∴ = ,∠ =60 又 CD PM CD PD. DPC DCP. BE FD BM EF EFD ° B. ∵ = ,∴ = ∴ ∠ =∠ ∴ = , = ,∠ =120 =∠ DCP E DPC DPE ° BEM FDE EM DE. ∵ ∠ +∠ =∠ +∠ =90 , ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = E DPE. PD DE CD. D为CE的中点. 又 MG DG EG DG. ∴ ∠ =∠ ∴ = = ∴ ∵ = ,∴ ⊥ 又 AD CE AC AE. 7.证明 四边形ABCD是正方形 ∵ ⊥ ,∴ = :(1)∵ , 易证 APN CPE . PN PE. AB BC ABC BCD °. △ ≌△ (ASA) ∴ = ∴ = ,∠ =∠ =90 AC AE AP PE AP PN. BE CF ABE BCF . ∴ = = + = + ∵ = ,∴ △ ≌△ (SAS) 5. 证明 四边形ABCD是菱形 由 知 ABE BCF BAE CBF. (1) :∵ , (2)① (1) ,△ ≌△ ,∴ ∠ =∠ AC BD AC OC. 四边形ABCD是正方形 ∴ ⊥ , =2 ∵ , AM BC ABF CBF ° ABF BAE ° ∵ ⊥ , ∴ ∠ +∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 , MAC ACM MBO ACM AGB AGM °. ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , ∴ ∠ =∠ =90 MAC MBO. 又 AG AG GB GM ∴ ∠ =∠ ∵ = , = , ABM ° AM BC AGB AGM BAG MAG. ∵ ∠ =45 , ⊥ , ∴ △ ≌△ (SAS),∴ ∠ =∠ BAM ° ABM BMN AMC ° AN平分 DAM DAN MAN. ∴ ∠ =45 =∠ ,∠ =∠ =90 , ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ BM AM BMN AMC BAD ° ∴ = ,∴ △ ≌△ , ∵ ∠ =90 , MAG MAN ° 即 GAN ° BN AC OC OC 1BN. ∴ ∠ +∠ =45 , ∠ =45 , ∴ = =2 ,∴ = ANG ° AG NG 2 ∴ ∠ =45 ,∴ = , 解 如答案图 过点N作NH AB于点H. AGN是等腰直角三角形. (2) : , ⊥ ∴ △ 四边形ABCD是菱形 如图 所示 过点B作BQ BN 交NA的延长线于 ∵ , ② 2 , ⊥ , BD平分 ABC. 点Q. ∴ ∠ NH AB AM BC ∵ ⊥ , ⊥ , NM NH. ∴ = 设NM NH x = = , 答案图 ABC ° ( ) ∵ ∠ =45 , ABM与 AHN均为等腰直角三角形 ∴ △ △ , AH NH x AH2 HN2 AN2 AB2 AM2 BM2 ∴ = = , + = , = + , AN x BM AM x x ∴ = 2 ,∴ = = + 2 =2 2, 解得x AN x . =4-2 2,∴ = 2 =4 2-4 6. 解 过点 F 作 FH AD (1) : ⊥ 于点 H 如答案图 QBN ° QNB ° Q ° , 1 ∵ ∠ =90 ,∠ =45 ,∴ ∠ =45 , 所示 BQ BN QBN是等腰直角三角形 , ∴ = ,∴ △ , 则 ∠ 四 H = 边 90 形 °. ABCD 是 ∴ Q 四 N 边 = 形 B AB Q C 2 + D B 是 N2 正 = 方 2 形 BN. ∵ 菱形 ∵ , AB BC ABC QBN ° ∴ AD ∠ , A C D D C = B ∠ C B A = B 120 ° . , ( 答案图 1) ∴ ∴ ∠ Q Q = B B A A + , ∠ ∠ A C B B N N = . = ∠ ∠ CBN + = ∠ 90 AB , N =90 ° , = = = =3 ∴ ∠ =∠ FDH °. DFH °. {BQ BN ∴ ∠ =60 ∴ ∠ =30 = , CF CE DF CD CF . 在 BAQ和 BCN中 QBA NBC ∵ = =1,∴ = - =2 △ △ , ∠ =∠ , AB CB DH 1DF FH . = , ∴ = =1, = 3 BAQ BCN AQ CN 2 ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = , AH AD DH . ∴ = + =4 QN AQ AN CN AN CN AN BN. 在 AFH中 由勾股定理 得 ∴ = + = + ,∴ + = 2 Rt△ , , 8. 解 四边形ABCD是正方形 (1) :∵ , AF AH2 FH2 2 2 . ABC ° AB BC = + = 4 +( 3) = 19 ∴ ∠ =90 , = =1, (2) 证 所 明 示 : 延 . 长DG交AB于点M , 连接ED , EM , 如答案图 ∴ A D C E = BF AB2 + B A C F 2 B = 2 . CED. 2 四边形ABCD是菱形 B ° ∵ 又 ∥ DE , C ∴ ∠ ABF =∠ AFB ABF ∵ ,∠ =120 , ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ , AB CD C °. ∴ ∥ ,∠ =60 AF AB CF AC AF . ∴ = =1,∴ = - = 2-1 数学八年级 下册 ( )·R 4 2证明 如答案图 所示 延长AG到点 3.解 平行四边形 (2) : 1 , :(1) T 使得GT FH 连接CT. 四边形EFGH为菱形. , = , (2) 四边形ABCD是正方形 证明如下 ∵ , : ACB °. 如答案图 连接AC BD. ∴ ∠ =45 , , CG AC ECG ° AMD和 MCB为等 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 , ∵ △ △ BCG BCE °. 边三角形 ∴ ∠ =∠ =45 , BH KH HBK HKB. AM DM AMD CMB ° 答案图 ∵ = ,∴ ∠ =∠ ∴ = ,∠ =∠ =60 , ( ) 又 CKG HKB 答案图 CM BM ∵ ∠ =∠ , ( 1) = , HBK CKG. AMC DMB. ∴ ∠ =∠ ∴ ∠ =∠ FBC FCB BFC ° {AM DM ∵ ∠ +∠ +∠ =180 , = , KCG KGC CKG ° 在 AMC和 DMB中 AMC DMB ∠ +∠ +∠ =180 , △ △ , ∠ =∠ , BFC KGC AFH CGT. CM BM ∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ = , BF DE CFB AED AMC DMB AC DB. ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ , ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = AFB CED. E F G H分别是边AB BC CD DA的中点 ∴ ∠ =∠ ∵ , , , , , , , 在正方形ABCD中 EF是 ABC 的中位线 GH 是 ACD 的中位线 HE 是 ∵ , ∴ △ , △ , AB CD BAC ACD ° ABD的中位线 = ,∠ =∠ =45 , △ , ABF CDE AF CE. ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = EF AC EF 1AC GH AC GH 1AC HE 1DB CG CE CG AF ∴ ∥ , = , ∥ , = , = , ∵ = ,∴ = , 2 2 2 AFH CGT EF GH EF GH ∴ △ ≌△ (SAS), ∴ ∥ , = , CT AH T AHF. 四边形EFGH是平行四边形. ∴ = ,∠ =∠ ∴ AHF BHK T BHK. AC DB EF HE ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ ∵ = ,∴ = , ABK ° 四边形EFGH为菱形. ∵ ∠ =90 , ∴ BAK BKA ° ABH HBK ° 4. 解析 正方形ABCD的边长为 DC DE DE ∴ ∠ +∠ =90 ,∠ +∠ =90 , A :∵ 6, =3 ,∴ BAK ABH EC . 把 ADE 沿 AE 折叠使 ADE 落在 AFE ∴ ∠ =∠ , =2, =4 ∵ △ △ △ AH BH BH CT. 的位置 AF AD AB EF ED AFE D ∴ = ,∴ = ,∴ = = =6, = =2,∠ =∠ = BKH CKT BHK T ° FAE DAE. AG AG ABG AFG ∵ ∠ =∠ ,∠ =∠ , 90 ,∠ =∠ ∵ = ,∴ Rt△ ≌Rt△ HBK TCK GB GF BAG FAG GAE FAE ∴ △ ≌△ (AAS), (HL),∴ = ,∠ =∠ , ∴ ∠ =∠ + KT HK BH ∴ = = , FAG 1 BAD ° 故 正确 GE GF EF BG DE BH TG KG HF KG. ∠ = ∠ =45 , ① ; = + = + , ∴ = + = + 2 解 DE′由DE绕着点D逆时针 故 正确 设 BG GF x 则 CG BC BG x 在 (3) :∵ ② ; = = , = - =6- , Rt 旋转 60 °得到 , △ CGE中 , 由勾股定理 , 得CG2 + CE2 = GE2 ,∴ (6- x ) 2 +4 2 = ∴ DE′ = DE , 即当DE取得最小值 ( x +2) 2 , 解得x =3,∴ BG =3, CG =6-3=3,∴ BG = CG , 即 时 DE′取得最小值. 点G为 BC 的中点 故 正确 GF GC GFC , , ③ ;∴ = ,∴ ∠ = 由垂线段最短可得 当 DE AC GCF BGF GFC. 又 ABG AFG , ⊥ ∠ ,∴ ∠ = 2∠ ∵ Rt△ ≌ Rt△ , 时 DE有最小值 AGB AGF BGF AGF AGF GFC , , 答案图 ∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =2∠ ,∴ ∠ =∠ , 如答案图 连接BE EE′ 由正方 ( 2) FC AG. AB AF BG FG AG BF BF FC 故 2, , , ∴ ∥ ∵ = , = ,∴ ⊥ ,∴ ⊥ , 形的性质易得 点B E D在一条直线上. 正确.故选 . , , , ④ A 由题易得 EDE′是等边三角形 5.解 由旋转可知 AE AM BE DM EAM ° △ , :(1) , = , = ,∠ =90 , DE EE′ DEE′ ° ABE D ° ∴ = ,∠ =60 , ∠ =∠ =90 , BEE′ °. E B C三点共线. ∴ 由 ∠ 正方形的 =1 性 20 质 得 BEC ° CE DE ∴ , M , AN ° , ∠ =90 , = , ∵ ∠ =45 , CEE′ ° CE EE′ EAN EAM MAN ° MAN. ∴ ∠ =30 , = ° , ° ∴ ∠ =∠ -∠ {AE =4 A 5 M =∠ ECE′ EE′C 180 -30 °. = , ∴ ∠ =∠ = =75 在 EAN和 MAN中 EAN MAN 2 △ △ , ∠ =∠ , ACD ° DCE′ °. AN AN ∵ 如 ∠ 答案图 =4 所 5 示 ,∴ 过 ∠ 点E′作 =3 E 0 ′Q CD于点Q 则CE′ EAN MAN = EN , MN. 2 , ⊥ , ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = QE′ EN BE BN MN DM BN. =2 , ∵ = + ,∴ = + CQ E′C2 E′Q2 QE′. MN BN DM.证明如下 ∴ = - = 3 (2) = - : BC CD BC E′Q 如答案图 在BC上截取BE ∵ ⊥ ,∴ ∥ , , = 点E′到BC的距离等于CQ的长 MD 连接AE. ∴ , , AB AD B ADM 1BC CQ ∵ = ,∠ =∠ , S · ABE ADM △ BCE′ 2 . ∴ △ ≌△ (SAS), ∴ S = = 3 AE AM BAE MAD. △ DCE′ 1 2 CD · QE′ ∴ ∴ ∠ E = AM , = ∠ ∠ MAD = + ∠ ∠ EAD = ( 答案图 ) 专题十一 \[提升\]四边形中常见的几何基本图形 BAE EAD °. ∠ +∠ =90 【模型解读】等腰直角 MAN ° = = = = ∵ ∠ =45 , 【专题集训】1 2. EAN EAM MAN ° MAN. .D 9 ∴ ∠ =∠ -∠ =45 =∠ 数学八年级 下册 ( )·R 4 3{AE AM MN是AE的垂直平分线 = , ∵ , 在 EAN和 MAN中 EAN MAN AQ QE. △ △ , ∠ =∠ , ∴ = AN AN 在 AHQ和 QIE中 = , Rt△ Rt△ , EAN MAN EN MN. {AQ QE ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = = , EN BN BE MN BN DM. AH QI ∵ = - ,∴ = - = , 6. 证明 四边形ABCD是正方形 AHQ QIE (1) :∵ , ∴ Rt△ ≌Rt△ (HL), 答案图 AB BC ABP BCQ °. AQH QEI ( 2) ∴ = ,∠ =∠ =90 ∴ ∠ =∠ , 又 BP CQ ABP BCQ AQH EQI ° ∵ = ,∴ △ ≌△ (SAS), ∴ ∠ +∠ =90 , PAB QBC. AQE ° AQE是等腰直角三角形 ∴ ∠ =∠ ∴ ∠ =90 ,∴ △ , QBC ABQ ° PAB ABQ ° EAQ AEQ ° 即 AEF °. ∵ ∠ +∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 , ∴ ∠ =∠ =45 , ∠ =45 AEB ° AP BQ. 解 延长AG交BC于点E ∴ ∠ =90 ,∴ ⊥ (3) : , 解 DE AD 理由如下 如答案图 所示 (2) : = , : 3 , 如答案图 延长BQ AD交于点F. 由折叠的性质可知 AG EG , , , = , P为BC的中点 BP CQ EC AC′ ∵ , = , = =5, BC DC BE BC EC = , ∴ = - =11-5=6, CQ DQ. ∴ 又 = FQD BQC ∴ AE = AB2 + BE2 = 11 2 +6 2 ∵ ∠ =∠ , FDQ C = 157, 答案图 ∠ =∠ , ( 3) FDQ BCQ AG EG 1 AE 157. ∴ ∴ △ FD = BC ≌ ,∴ △ FD = ( A A D S . A), ( 答案图 ) 8.解 ∴ = 四边形 = 2 BE′FE = 是正 2 方形 .理由如下 由 得 FEA ° DE FD AD. :(1) : (1) ,∠ =90 ,∴ = = 由旋转得 E′ AEB ° EBE′ ° BE′ BE. 解 由 得 AP BQ ANE NAE °. ,∠ =∠ =90 ,∠ =90 , = (3) : (1) , ⊥ ,∴ ∠ +∠ =90 BEF ° 四边形BE′FE是矩形. AM DE ∵ ∠ =90 ,∴ ∵ ⊥ , 又 BE′ BE 四边形BE′FE是正方形. NAE AEH ° ANE AEH. ∵ = ,∴ ∴ ∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =∠ CF FE′ 证明如下 DE DA DAE AEH. (2) = , : ∵ = ,∴ ∠ =∠ 如图 过点D作DG AE于点G AD BC APB DAE. 1, ⊥ , ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ 则 DGA AEB °. PAB QBC CQB APB. ∠ =∠ =90 ∵ △ ≌△ ,∴ ∠ =∠ QNM ANE CQB QNM DA DE AG 1AE. ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ , ∵ = ,∴ = QM MN. 2 ∴ = 四边形ABCD是正方形 CD AB ABQ CQB ∵ , ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ , DA AB DAB ° BAE DAG °. ABQ ANE AN AB . ∴ = ,∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 ∴ ∠ =∠ ,∴ = =2 ADG DAG ° ADG BAE. 设QM MN x ∵ ∠ +∠ =90 ,∴ ∠ =∠ = = , 在 ADG和 BAE中 则DM = DQ + QM =1+ x , AM = AN + MN =2+ x. { △ ADG △ BAE , 在 ADM中 由勾股定理 得 2 x 2 x 2 ∠ =∠ , Rt△ , , 2 +( +1) =( +2) , AGD BEA ∠ =∠ , 解得x 1 QM 1. AD BA = ,∴ = = , 2 2 ADG BAE AG BE. 7. 证明 四边形ABCD是正方形 ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = (1) :∵ , 四边形BE′FE是正方形 ABE BCD ° AB BC AB CD. ∵ , ∴ ∠ =∠ =90 , = , ∥ BE FE′ AG FE′. 过点B作BF MN交CD于点F 如答案图 所示. ∴ = ,∴ = ∥ , 1 四边形MBFN为平行四边形 由旋转得 AE CE′ 1 AE 1CE′ ∴ , , = ,∴ = , MN BF BF AE 2 2 ∴ = , ⊥ , ABF BAE °. FE′ 1CE′ CF FE′. ∴ ∠ +∠ =90 ∴ = ,∴ = ABF CBF ° 2 ∵ ∠ +∠ =90 , BAE CBF. ∴ ∠ =∠ 在 ABE和 BCF中 △ △ , { BAE CBF ∠ =∠ , 答案图 AB BC = , ( 1) ABE BCF ° ∠ =∠ =90 , ABE BCF ∴ △ ≌△ (ASA), AE BF AE MN. ∴ = ,∴ = 解 连接 AQ 过点 Q 作 HI AB 分别交 AD BC 于点 如图 过点D作DG AE于点G. (2) : , ∥ , , (3) 2, ⊥ H I 如答案图 所示. 由题可知 BE FE′ CF CE′ AE . , , 2 , = =1, =3,∴ = =4 易得四边形ABIH为矩形 同 可证得 ADG BAE , (2) ,△ ≌△ , HI AD HI BC HI AB AD. DG AE AG BE ∴ ⊥ , ⊥ , = = ∴ = =4, = =1, BD是正方形ABCD的对角线 BDA ° GE AE AG . ∵ ,∴ ∠ =45 , ∴ = - =4-1=3 DHQ是等腰直角三角形 DGE ° ∴ △ , ∵ ∠ =90 , HD HQ AH QI. DE DG2 GE2 2 2 . ∴ = ,∴ = ∴ = + = 4 +3 =5 数学八年级 下册 ( )·R 4 49.解 四边形ABCD是正方形 :(1)∵ , AM MC x 则 BM 3x AB AM BM x 3x 解 AD CD ADC ° ADP PDC °. = = , = ,∴ = + = + =2, ∴ = ,∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 四边形DPFE是正方形 3 3 ∵ , 得x . AC MC .易证 ADF 为等边 PD ED PDE ° PDC CDE ° =3- 3 ∴ = 2 =3 2- 6 △ ∴ = ,∠ =90 ,∴ ∠ +∠ =90 , 三角形 AFD ° AD AF. AFC °. 又 ADP CDE ,∴ ∠ = 60 , = ∴ ∠ = 120 ∴ ∠ =∠ , DCB ° BC AD AFC BCF AF BC. 又 ADP CDE AP CE DAP DCE. ∵ ∠ =120 , = ,∴ ∠ =∠ , = ∴ △ ≌△ ,∴ = ,∠ =∠ FC CF AFC BCF. BF AC .故答 点P在对角线AC上 ∵ = ,∴ △ ≌△ ∴ = =3 2- 6 ∵ , DAP DCA DCE ° 案为 . ∴ ∠ =∠ =∠ =45 , 3 2- 6 ACE ° 即AP CE. ∴ ∠ =90 , ⊥ 如图 当点P在线段AC上运动时 PC CE CD (2) 1, , + = 2 , 理由如下 : 当点P在线段AC上运动时 由 可得 AP CE , (1) , = , PC CE PC AP AC CD. ∴ + = + = = 2 答案图 如图 当点P在线段AC的延长线上运动时 CE PC ( ) 2, , - 9. 解 设AD DE x. = 2 CD , 理由如下 : (1) : 四边形 = ABCD = 是平行四边形 四边形ABCD是正方形 ∵ , AB DC BC AD x AB CD ∵ AD DC ACD DAC , ° ADC °. ∴ = =16, = = , ∥ , ∴ 四边 = 形D ,∠ PFE是 = 正 ∠ 方形 =45 ,∠ =90 ∴ CE =16- x. ∵ , BE AB BEC ABE °. DP DE PDE ° ∵ ⊥ ,∴ ∠ =∠ =90 ∴ = ,∠ =90 , 在 BEC中 BE2 CE2 BC2 ADC CDP PDE CDP Rt△ , + = , ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ , 即 2 x 2 x2 解得x . 即 ADP CDE. 8 +(16- ) = , =10 ∠ =∠ AD DE . ADP CDE AP CE ∴ = =10 ∴ △ ≌△ ,∴ = , 在 ABE中 由勾股定理 得 Rt△ , , CE PC AP PC AC CD. ∴ - = - = = 2 AE AB2 BE2 2 2 由 知 ADP CDE = + = 16 +8 =8 5, (3) (2) ,△ ≌△ , ADE的周长 AD DE AE . DCE DAP ° ∴ △ = + + =20+8 5 ∴ ∠ =∠ =45 , 证明 四边形ABCD是平行四边形 ACE ACD DCE °. (2) :∵ , ∴ ∠ =∠ +∠ =90 CD AB D ABC. AED EAB. AB BC AB AC ∴ ∥ ,∠ =∠ ∴ ∠ =∠ ∵ = 2,∴ = = 2,∴ =2, AD DE DAE DEA EAB. 在 ACE中 ∵ = ,∴ ∠ =∠ =∠ ∴ Rt△ , 设 DAE DEA EAB α ∠ =∠ =∠ = , CE AE2 AC2 2 2 . 则 D ABC ° α. = - = ( 29) -2 =5 ∠ =∠ =180 -2 AP CE PC AP AC AE AB ∵ = =5,∴ = - =5-2=3, ∵ = , ∴ PE = CE2 + PC2 = 5 2 +3 2 = 34, AEB ABE 1 ° α ° 1α. ∴ ∠ =∠ = (180 - )=90 - DE DP . ∴ 如答案 = 图 = 连接 17 BD 交AC ABC ABE 2 EBC 2 , , ∵ ∠ =∠ +∠ , 于点O 易知DO 1AC 即 ° α ° 1α ° 解得α ° , = =1, 180 -2 =90 - +45 , =30 , 2 2 DAE EAB °. S 1DE DP 1 ∴ ∠ =∠ =30 ∴ △ PDE= · = × ∴ ∠ BCD =∠ DAB =60 °. 2 2 BCD FEG ° 2 17 ∵ ∠ FEG +∠ °. =180 , ( 17) = , ∴ ∠ =120 2 答案图 如答案图 过点E作 ( ) , S △ PDC= 1PC · DO = 1 ×3×1= 3 , EH ⊥ AB于点H , 在AG 2 2 2 上取一点M 答案图 ∴ S 四边形DCPE= S △ PDE+ S △ PDC= 17 + 3 =10 . 使得 ∠ AEM , =120 ° , 连接EM. ( ) 2 2 AME ° ° ° ° 《四边形》章末考点复习与小结 ∴ ∠ =180 -30 -120 =30 , AEF MEG. 【知识网络】同一直线 ° ° n ° ° ∠ =∠ 360 360 ( -2)×180 360 EAM EMA EAD. 平行 相等 相等 互相平分 分别平行 分别相等 ∴ ∠ =∠ =∠ EA EM EAF EMG °. 平行且相等 分别相等 互相平分 平行 一半 直角 ∴ = ,∠ =∠ =150 AEF MEG . AF MG. 相等 斜边的一半 直角 相等 直角 相等 垂直平 ∴ △ ≌△ (ASA) ∴ = 在 AEH中 EAH ° 分 邻边相等 互相垂直 相等 相等 直角 相等 Rt△ ,∠ =30 , 互相垂直平分 相等 直角 相等 互相垂直 EH 1AE AH 3AE. 【考点突破】1 2 3. 4. ° ∴ = ,∴ = .B .B 72 (1)11 (2)48 2 2 5. ° 6. 7. AE EM EH AM 95 C ③ ∵ = , ⊥ , 8. 解析 如答案图 连接 AH HM. AM AE. (1)20 (2)1 (3)3 2- 6 : , ∴ = ∴ = 3 AF 过点C作CM AB 于点 M 则 AMC CMB °. 同法可证AE EM AD BC , ⊥ , ∠ =∠ =90 = = 3 = 3 , BAC ° ABC ° AM MC MC BM. 设 AM BC. AG MG AM AF BC. ∵ ∠ =45 ,∠ =60 ,∴ = , = 3 ∴ =3 ∴ = + = +3 数学八年级 下册 ( )·R 4 510. 11. . 12. A 证明 6 在 5 ABE和 CBD中 ∴ AB =2 OB ,∴ AO = CO = AB2 - OB2 = 3 OB. AE CE AEC °. (1) ∵ AB : A = B C E △ B ,∠ A C B B E D △ =∠ CBD = , 90 ° , BE = BD , ∵ 又 ∵ O ⊥ A = O , C ∴ , ∠ =90 ∴ △ ≌△ (SAS), AE CD FAB BCD. OA OC OE 1AC ∴ = ,∠ =∠ ∴ = = = =2 3, F是 ABE斜边AE的中点 2 ∵ Rt△ , OB AC BD AE BF CD BF. ∴ =2, =4 3,∴ =4, ∴ =2 ,∴ =2 S 1AC BD . BF 1AE AF FAB FBA ∴ 四边形ABCD= · =8 3 ∵ = = ,∴ ∠ =∠ , 2 2 17. 18 FBA BCD D .B ∴ ∠ =∠ , FBA FBC ° 19. 12 ∵ ∠ +∠ =90 , (1) (2)2 3 FBC BCD °. CD BF. 5 ∴ ∠ +∠ =90 ∴ ⊥ 20. 证明 AD BC AB CD 证明 如图 延长BF到点G 使FG FB 连接AG. (1) :∵ ∥ , ∥ , (2)① : 2, , = , 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AB CD B C °. ∵ ∥ ,∴ ∠ +∠ =180 又 B C B C °. ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ =90 四边形ABCD是矩形. ∴ 解 如答案图 延长 CM BA (2) :① , , 交于点E. AN BN AB CD . ∵ = =2,∴ = =4 AE DC E MCD. ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ M为AD的中点 ∵ , AM DM. ∴ = 又 AME DMC AF EF AFG EFB FG FB ∵ ∠ =∠ , 答案图 ∵ = ,∠ =∠ , = , AME DMC . ( ) AGF EBF ∴ △ ≌△ (AAS) AE CD . ∴ △ FAG ≌△ FEB ( A S G AS) B , E AG BE ∴ = =4 ∴ ∠ GAB =∠ ABE , = °. ,∴ ∥ , ∵ ∠ BNC =2∠ DCM =∠ NCD , ∴ ∠ ABC +∠ EBD =180 ° ABE DBC ° ∴ ∠ NCE =∠ ECD =∠ E. ∵ ∴ ∠ ∠ BE GA B B D = = ∠ ∠ D A B G C. = B 9 D 0 . ,∴ ∠ +∠ =180 , ∴ ② C 由 N ① = 可 EN 知 = , A △ E + A A M N E = ≌ 4 △ +2 D = M 6 C . , EN = CN , ∵ 又 ∵ BG A = B = B B F , C ∴ ,∴ C △ D = AGB B ≌ F. △ BDC (SAS),∴ CD = BG. ∴ 设 E B M N = = C x , M 则 =3 B , C E 2 N = = C C N N 2 - = B 4 N . 2 = CE2 - EB2 , ∵ 解 = B 2 F C ,∴ D.理由 =2 如下 即 2 x2 2 x 2 解得x 1. ② : ⊥ : 4 - =6 -( +4) , = 如图 延长BF到点G 使FG FB 连接AG 延长EB 2 到点 2 M , , 使BM = BE , 连接 , AM并 = 延长 , 交CD于 , 点N. ∴ BC = CN2 - BN2 = 4 2 - ( 1 ) 2 = 3 7. 同 可证得 AGB BDC 2 2 ① △ ≌△ , ABG BCD. ∴ ∠ =∠ 21. 22 23 24. 12 5 F是AE的中点 B是EM的中点 BF AN D .D .C (1)120 (2) ∵ , ,∴ ∥ , 5 ABG BAN BCD 25. 证明 如答案图 连接BD AC BD AC交于点O. ∴ ∠ =∠ =∠ , (1) : , , , , ANC ° NAC ACN ° NAC AB CD AD BC ∴ ∠ = 180 -∠ -∠ = 180 -∠ - ∵ ∥ , ∥ , ACB BCD ° BAC ACB ABC ° 四边形 ABCD 是平行四 ∠ -∠ =180 -∠ -∠ =∠ =90 , ∴ AN CD. 边形. ∴ ⊥ BF AN BF CD. 点E F G H 分别是四边 ∵ ∥ ,∴ ⊥ ∵ , , , 形ABCD各边的中点 , 13. 14 15. 3 5 GF BD HG AC. B .D (1)1 (2)51 (3) ∴ ∥ , ∥ 2 四边形EFGH是矩形 16. 证明 AB CD ∵ , 答案图 (1) :∵ ∥ , HG GF BD AC ( ) OAB DCA. ∴ ⊥ ,∴ ⊥ , ∴ ∠ =∠ 四边形ABCD是菱形. AC平分 DAB ∴ ∵ ∠ , OAB DAC 解 由题意 知GF EH 1BD HG EF 1AC. ∴ ∠ =∠ , (2) : , = = , = = DCA DAC 2 2 ∴ ∠ =∠ , 矩形EFGH的周长为 BD AC . CD AD. ∵ 22,∴ + =22 ∴ = 四边形ABCD是菱形 OA OB . AB AD AB CD. ∵ ,∴ + =11 ∵ = ,∴ = 四边形ABCD的面积为 OA OB . 四边形ABCD是平行四边形. ∵ 10,∴ 2 · =10 ∴ OA OB 2 OA2 OA OB OB2 又 AD AB 平行四边形ABCD是菱形. ∵ ( + ) = +2 · + =121, ∵ = ,∴ OA2 OB2 解 四边形ABCD是菱形 BAD ° ∴ + =121-10=111, (2) :∵ CAE ° AOB ° ,∠ OA OC =60 , ∴ AB = OA2 + OB2 = 111 . ∴ ∠ =30 ,∠ =90 , = , 26. 27 28. C .A 13 数学八年级 下册 ( )·R 4 629. 证明 如答案图 过点E作EM BC于点M EN 第22章 函 数 (1) : , ⊥ , ⊥ CD于点N 22.1 函数的概念 , MEN °. 1 2 3 4. . x y和x . ∴ ∠ =90 .D .C .C 0 2 0 2 又 DEF ° 5. x x 且x x 且x ∵ ∠ =90 , (1) ≠1 (2) ≥0 ≠3 (3) >-1 ≠2 DEN FEM. 6.解 自变量是x y是自变量x的函数 ∴ ∠ =∠ :(1) , , E是正方形 ABCD 对角线 函数的解析式为y . x x 且x为整数 . ∵ =1 2 ( ≥0, ) 上的点 自变量是t Q是自变量t的函数 , (2) , , EM EN. 函数的解析式为Q . t t . ∴ = =30-0 5(0≤≤60) 又 DNE FME ° 7. 8 9. ∵ ∠ =∠ =90 , D .B (1) 77 (2)8 DEN FEM . 10.解 ∴ △ ≌△ (ASA) 答案图 :(1)-3 DE FE. ( ) 由题意得 当x 时 y k x b ∴ = (2) , <-1 , = 2 + , 又 四边形DEFG是矩形 由表格可得 当x 时 y ∵ , , =-6 , =-8; 矩形DEFG是正方形. 当x 时 y . (2) ∴ 解 : CE + CG的值是定值 , 定值是 5 6 . { - = 8 - = 2 -6 k , 2+ = b , - 解 4 得 {k 2=1, 四边形DEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴ k b b ∵ , -4=-2 2+ , =-2, DE DG AD DC ADC EDG y x x . ∴ = , = ,∠ =∠ , ∴ = -2( <-1) ADE CDG ADE CDG . ∴ ∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (SAS) 7 AE CG. CE CG CE AE AC. (3)- ∴ = ∴ + = + = 4 在 Rt△ ABC中 , AB = BC =5 3, 11. A 12. -2 或 2 ( 或 ) 3 AC AB2 BC2 . 13.解 f f 1 4 1 . ∴ = + =5 6 :(1) (2)+ = + =1 即CE + CG的值是定值 , 为 5 6 . ( ) x 2 2 5 5 专题十二 \[易错\]《四边形》中常见的易错题 f x f 1 1 . (2) ( )+ x =x2 +x2 =1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +1 +1 .D .4 .20° .B .A .C .D .D .C 10 11 12 13 14 原式 1 n n 1. .A .A .A .C .D (3) = +1×( -1)= - 15. 提示 先判断出四边形 CMPN 是平行四边形 2 2 ②③ : , 22.2 函数的表示 再根据翻折的性质可得 CN NP 由此判断出 正确 假 = , ② ; 第 课时:1 2 3 4. 5. . 设CQ CD 得 CMQ CMD 进而得 DCM 1 .C .D .B (1)1 (2)1 7 4 = , Rt△ ≌Rt△ , ∠ = 6.解 答案如图所示. QCM BCP ° 这个不一定成立 判断出 错误 :(1) ∠ =∠ =30 , , ① ; P A两点重合时 设BN x 则AN NC x 在 ABN , , = , = =8- , Rt△ 中 利用勾股定理列出方程求解得x的值 进而用等积法 , , 求得MN 判断出 正确 当 MN 过点 D 时 求得四边形 , ③ ; , CMPN的最小面积 进而得 S的最小值 当点 P 与点 A , 4, 重合时 S的值最大 求得最大值 所以 S 判断出 , , 5, 4≤ ≤5, 错误. ④ 16. 或 提示 本题无图形 需分类讨论.过点D 16 3 8 3 : , 作 ABCD的高DE 分高DE在平行四边形的内部和外部 ▱ , 两种情况 再根据勾股定理及平行四边形的面积公式即 , y . 可求解. (2)0< <4 7. 8 9. 17. °或 ° 提示 分点 E 与正方形 ABCD 在直线 AP D .D 24 15 45 : 10.解 . 的同侧和点E与正方形 ABCD 在直线 AP 的两侧两种情 :(1)2 5 1 15 5 小诚从乙地出发 匀速骑行至甲地 在甲地休息一段 况 根据正方形的性质 等边三角形的性质解答. (2) , , , 、 时间后 便以原速度的4 匀速返回乙地. 18. 或 提示 分点E在点O的左侧与点E在点O , 的右 5 侧 3 两种 3 情 况. : 由 可得返回的速度为 5 (1) 19. 或 提示 分CE BE 如答案图 和CE BE 13 109 : > ( 1) < 4 如答案图 两种情况. 由题易得 OP 为 BDE 的中位 ×15=12(km/h), ( 2) △ 5 线 由OP的值可求得 BE 的值 进而求出 BC 的值.由矩 , , 则所用时间为10 5 . 形的面积可求出CD的值 根据直角三角形斜边的中线等 = (h) , 12 6 于斜边的一半可得 PC PE的值即为DE的值 最后利用 两人同时到达乙地. , + , ∵ 勾股定理求出DE的值即可. 小勤所用时间为 5 11 ∴ 1+ = (h), 6 6 当 x 时 y x ∴ 0≤ ≤1 , =5 ; 当 x 11时 小勤的速度为 5 1< ≤ , 5÷ =6(km/h), 6 {6 x x 5 (0≤ ≤1), y x x .综上 y ( ) ∴ =5+6( -1)=6 -1 , = x x 11 . 答案图 答案图 6 -1 1< ≤ ( 1) ( 2) 6 数学八年级 下册 ( )·R 4 7设小勤出发t 后 两人在小勤未到达甲 乙中点前相 专题十三 [易错]《函数》中常见的易错题 (3) h , 、 距 . { . t 500 m 1 2 3.y 2 4(0< ≤3), . t . t 或 . t . t .B .B = t . t 2 5+15 +0 5+5 =10 2 5+15 -0 5+5 =10, -0 6( >3) 第23章 一次函数 解得t 7或t 2. = = 23.1 一次函数的概念 20 5 1 2 3 4. 答 小勤出发7 或2 后 两人在小勤未到达甲 乙中点 .B .A .C (1)①④⑤ ① (2)0 (3)-2 : h , 、 20 5 5.y 1x 前相距 . = +5 500 m 50 11. 12. 6.解 由表格可知 每增加一只碗 总高度增加 . A 37 :(1) , , 2 4 cm, 13.解 . y . x . x . . :(1)3 6 13 5 2 ∴ =6+2 4( -1)=2 4 +3 6 BE BPE的面积为 2 检验 当x 时 y 当x 时 y . (2)∵ =3 cm,△ 9 cm , : =1 , =6; =2 , =8 4; 点P到AB的距离为 . 当x 时 y . 当 x 时 y . 均符合表中 ∴ 6 cm =3 , =10 8; =4 , =13 2 数据 当点P在BC上时 t 6 , , = =2(s); y与x之间的函数表达式为y . x . . 3 ∴ =2 4 +3 6 当点P在AD上时 DP 根据题意 得 . x . . 解得x . , =9-6=3(cm), (2) , 2 4 +3 6≤28 8, ≤10 5, BC CD PD 碗的数量最多为 个. t + 9+6 3 . . ∴ 10 ∴ = + = + =6 5(s) 7. 8.y x 3 2 3 2 C =8 -2 综上 当 BPE的面积为 2 时 t的值为 或 . . 9. y x x . . , △ 9 cm , 2 6 5 (1) =30-4 (0≤ ≤7 5) (2)102 8 x 或 .提示 分 PBE PCQ与 PBE QCP 10.解 (3) =2 3 : △ ≌△ △ ≌△ :(1)81 两种情况. y x x 当x 时 (2) =7 -104( >30), =30 , 第 课时:1 2 3 4.y x x 当月应交水费y 元 元 2 .A .C .B =24-2 (6< <12) =3×22+5×8=106( )<120 , 5. 当y 时 则 x 解得x . (1)68 (2)80 ∴ =120 , 7 -104=120, =32 6.解 气温 声音在空气中的传播速度 . 答 B居民 月份的用水量为 3. :(1) (2)0 6 : 5 32 m y与x之间的函数关系式为y . x . 设C居民家 月份的用水量为x 3 则 月份的用水 (3) =0 6 +331 (3) 5 m , 6 画出图象略. 量为 x 3 x x 即x . (50- )m ,∴ <50- , <25 当x 时 声音的速度为y . . 当 x 时 则 x (4) =18 , =0 6×18+331=341 8(m/s), 0< <20 , (50- )>30, . . 依题意 得 x x 解得x 答 3 小 41 颖 8 与 × 燃 5= 放 1 烟 70 花 9( 所 m 在 ) 地大约相距 . 则 x , 3 +7(50- )-104=174, =18, : 1 709 m 50- =32; 7 8 9. 当 x 时 则 x 10 .D .解 .C 190 依题 20 意 ≤ 得 ≤22 x , 28≤50- x ≤30, :(1) 2 025 15 解得x , 3 不 + 符 22 合 ×3 题 + 意 5(5 舍 0- 去 -22)=174, (2) v 小开= 2 0 . 25 =60(m/min), 当 x =16, 时 则 , x ; 33 75 依题 22 意 < < 得 25 , 25<50- <28, 不符合题意. v 2 025 . , 22×3+22×3+6×5=162<174, 小南= -60=75(m/min) 综上所述 C居民家 月份的用水量为 3 月份 15 , 5 18 m ,6 x 2 025 y . 的用水量为 32 m 3. (3) C= =27, C=27×60=1 620 75 11. 12.y 1x x 点C的实际意义是小南出发 后到达医院 此时 D = +2( >0) 与小开相距 . 言之有 2 理 7m 即 in 可 , 13.解 易知 2 m . 11. 12. 1 620 m ( ) :(1 从 ) 市图书 = 馆 9 乘出租车去光明电影院 路程为 A 1 060 ∵ , 13.解 付费 . 元 :(1)3 (2)9 26 5 km, 12 6 , 当点P在AB上时 则x n . 解得n . . (3) , =2; ∴ (5-3) +9=12 6, =1 8 当点P在EF上 且在点A的右边时 则x 当x 时 车费y与路程x之间的函数关系式为 , , =24; ∴ >3 , 当点P在EF上 且在点A的左边时 则x . y . x . x . x . , , =28 =1 8( -3)+9=1 8 +3 6( >3) 综上 当点P到AH的距离y为 时 对应的x的值为 或 小张剩下的现金为 , 2 , 2 (2) 或 . . . 元 24 28 《函数》章末考点复习与小结 7 乘 5- 出 1 租 5- 车 25 从 -9 光 - 明 12 电 6 影 =1 院 3 返 4( 回光 ), 明中学的费用为 【知识网络】解析 列表 图象 . . . 元 . 【考点突破】1 1 8× . (5+2) . +3 6=16 2( ) .C ∵ 13 4<16 2, 小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回 2. x 且x x 1 且x ∴ (1) ≥1 ≠3 (2) ≠ ≠-2 光明中学. 2 3.解 23.2 一次函数的图象和性质 :(1)250 y是x的函数. 第 课时:1 2 3 (2) 1 .B .B .C y x x. 4. y x y x =350-10×10 =350-100 (1) =3 -2 (2) =2 +7 x x . 5. ∵ 350-100 ≥0,∴ ≤3 5, (1)> (2)> y x x . . 6.解 一次函数y m x m的图象经过坐标 ∴ =350-100 (0≤ ≤ ( 3 5) ) :(1)∵ =( +2) +3- 原点 4. 5 6. 1 7. 9 3 5 3 , B .C , - m 且m 解得m . 2 2 2 2 ∴ 3- =0, +2≠0, =3 数学八年级 下册 ( )·R 4 8y随x的增大而减小 7. 8 (2)∵ , B .B m 解得m . ∴ +2<0, <-2 9. y 1x 或y 1x 或 一次函数y m x m的图象经过第一 二 三 (1) =- +2 =- -2 (2)2 -7 (3)∵ =( +2) +3- 、 、 2 2 象限 , 10.解 把x 代入y 1x 得y m 且 m 解得 m . :(1) =2 = , =1, ∴ +2>0, 3- ( >0, ) -2< <3 2 A . 7. 8 9. 3 ∴ (2,1) B .C (1) 0, (2)±2 将直线 l 沿 x 轴向右平移 个单位长度得到直 4 ∵ 1 8 10.解 由题可得 m 且m 解得 m . 线l :(1) ,3- <0, -4≤0, 3< ≤4 3, m为整数 m . ∵ ,∴ =4 直线l 的解析式为y 1 x 1x 当m 时 一次函数的解析式为y x. ∴ 3 = ( -8)= -4, (2) =4 , =- 2 2 作图如图所示. ∴ 把y 代入上式 得 1x =-2 , -2= -4, 2 解得x C . =4,∴ (4,-2) 设直线l 的解析式为y kx b 2 = + , { { k b k 3 代入A C两点的坐标 得 2 + =1, 解得 =- , , , k b 2 4 + =-2, b . =4 直线l 的解析式为y 3x . ∴ 2 =- +4 2 在y 3x 中 令x 则y D (2) =- +4 , =0, =4,∴ (0,4), 2 在y 1x 中 令x 则y = -4 , =0, =-4, 2 B BD y . ∴ (0,-4),∴ =8, (3)-1≤ <3 11. 12. S S S 1 1 . C 4 ∴ △ ABC= △ BCD- △ ABD= ×8×4- ×8×2=8 13.解 令y 解得x A . 2 2 :(1) =0, =3,∴ (3,0) S S S . 令x 则y B AB 2 2 . (3)∵ 当 △ 点 ABP P =2 在 △ 点 ABC A ,∴ 的上 △ 方 ABP 时 =16 S S S (2) 当 = B 0 A , BC = 时 4,∴ (0,4),∴ = 3 +4 =5 ① , △ ABP= △ OBP- △ OAB, ① = , 1 OB x 1OB x t 或t ∴ · P- · A=16, = 当 (12 C - B 4- C 5 A )÷ 时 1= 易 3( 知 s) 点C = 在 ( 线 12 段 -4 O + B 5) 上 ÷1 . =13(s); 2 2 ② 设AC = B = C = x , 则 , OC =4- x. 即1 ×4· x P- 1 ×4×2=16, 解得x P=10 . ∴ P (10,5); 在 Rt△ OAC中 , OC2 + OA2 = AC2 , ② 当 2 点P在点 2 A的下方时 , S △ ABP= S △ OBP+ S △ OAB, 即 x 2 2 x2 解得x 25 此时x 1 OB x 1OB x (4- ) +3 = , = , P<0,∴ ·(- P)+ · A=16, ( ) 8 2 2 t 25 89 即 1 x 1 解得x . P . ∴ = 12-4+ ÷1= (s); - ×4· P+ ×4×2=16, P=-6 ∴ (-6,-3) 8 8 2 2 当AB AC时 综上 点P的坐标为 或 . ③ = , , (10,5) (-6,-3) AO OB OB OC t . ∵ ⊥ ,∴ = =4,∴ =(12+4)÷1=16(s) 11. 12.y 5x 3 D = + 综上所述 t的值为 或 或89或 . 4 2 , 3 13 16 13.解 将点D t 代入y x 得 t 8 :(1) ( ,1) =- +6, - +6=1, 第 课时:1 2 3 解得t D . 2 .A .A .B =5,∴ (5,1) 设直线m的解析式为y kx b 4.y x y 3x y x 5.y x = + , =-3 =- +3 = +2 = +5 { 2 { k b k 3 6.解 设y关于x的函数解析式为y kx b k 代入C D两点坐标 得 5 + =1,解得 = , :(1) = + ( ≠0), , , b 5 将点 代入y kx b 得 =-2, b (10,30),(40,40) = + , =-2, ì { k b ï ï k = 1 , ∴ 直线m的解析式为y = 3x -2 . 10 + =30,解得í 3 5 k b ï ( ) 40 + =40, ïb 80 设P x x x 则Q x 3 x G x î = , (2) ( ,- +6)( <0), , -2 , ( ,0), 3 5 y关于x的函数解析式为y 1x 80. PG x QG 3x. ∴ = + ∴ =6- , =2- 3 3 5 能完全溶解 理由如下 S S PG QG (2) , : ∵ △ PCG=2 ( △ QCG,∴ ) =2 , 当x 时 y 1 80 . 即 x 3x 解得x =34 , = ×34+ =38 6- =2 2- , =-10, 3 3 5 能完全溶解. P Q . ∵ 38>37,∴ ∴ (-10,16), (-10,-8) 数学八年级 下册 ( )·R 4 9由题意可得 直线n的解析式为y x E . 为 x 元 (3) , =- -4,∴ (-4,0) ( -10) , C F . ∵ (0,-2),∴ (0,2) 由题意 得600 400 解得x . 设M ( s ,2),∴ CE =2 5, CM = s2 +16, 经检验 , x x 是 =x 所 -1 列 0 , 方程的解 =30 EM s 2 . , =30 , = ( +4) +4 x . 当CE = CM时 , 即 2 5= s2 +16, 解得s =±2, 答 纪念 ∴ 品 -1 A 0= B 2 的 0 单价分别是 元和 元. ∴ M (2,2) 或 (-2,2); : 设纪念品 , A购进a件 总费 3 用 0 为y元 20 (2) , , 当CM EM时 即 s2 s 2 则y a a a . = , +16= ( +4) +4, =30 +20(400- )=10 +8 000 ( ) 由题意 得a a 且 a 解得s 1 M 1 . , ≥2(400- ), 10 +8 000≤11 000, =- ,∴ - ,2 2 2 解得800 a . ( ) ≤ ≤300 综上所述 点M的坐标为 或 或 1 . 3 , (2,2) (-2,2) - ,2 2 800 a 且a为整数. 23.3 一次函数与方程(组)、不等式 ∵ 10>0, ≤ ≤300 3 {x y随a的增大而增大 1 2 3 4.x =-2, ∴ , .B .B .B >-2 y 当a 时 购进这两种纪念品的总费用最少 =1 ∴ =267 , , {x . 此时纪念品A购进 件 纪念品B购进 5. x x =-0 5, 267 , 400-267= (1) =-2 (2) >3 (3) y . 件 . =2 5 133( ) 6.解 x . . x . x . . x . 7. 8 9. :(1) =-0 5 (2) =1 (3) <-0 5 (4)0< <2 C .C 18 7. 8 9. x x 10.解 x x D .D (1) =1 (2)-4≤ <-2 :(1)80 80 (0≤ ≤6) {x 由图可知 当轿车追上货车时 . x . . 10.解 =-4, (2) , ,2 5≤ ≤5 5 :(1) y 设当 . x . 时 y kx b 则 =1 2 5< <5 5 , 轿= + , { . k b {k 把y 分别代入y x 和y 1x 2 5 + =120,解得 =120, (2) =0 = +5 =- -1, . k b b 2 5 5 + =480, =-180, 解得x 和x B D BD . y x . x . . =-5 =-2,∴ (-5,0), (-2,0),∴ =3 ∴ 轿=120 -180(2 5≤ ≤5 5) P 令 x x 解得x . ∵ (-4,1), 120 -180=80 , =4 5, 当轿车追上货车时 x . . 直线l l 与x轴围成的三角形的面积为1 3. ∴ , =4 5 ∴ 1,2 ×3×1= 由题意 得当轿车在货车前 时 2 2 (3) , 20 km , 易知A C AC的中点为 . x x 解得x (3) (0,5), (0,-1),∴ (0,2) 120 -180-80 =20, =5; 设过点P且把 PAC的面积两等分的直线的解析式 当轿车到达终点 货车离终点 时 △ , 20 km , 为y kx b.把点 代入 得 x 解得x . = + (-4,1),(0,2) , 80 =480-20, =5 75, { 轿车追上货车后 两车继续行驶至乙地 当两辆车 { k b k 1 ∴ , , -4 + =1,解得 = , 相距 时 x 或x . . b 4 20 km , =5 =5 75 =2, b 11. 12. =2, C ①②④ 13.解 这条直线的解析式为y 1x . :(1)30 40 ∴ = +2 由题意及图象可知 E F . . 4 (2) 设y kx b x , ( . 4,105), (5 5,225) 11. 12. 1 x 3 { E k F= b + (4≤ ≤5 { 5 k ), C < < 4 + =105, 解得 =80, 13.解 y 2 {x + 2 4(0< x ≤8), ∴ 在 5 配 . 5 货 k + 站 b = 卸 22 货 5, 后驶往 b B = 地 -2 的 15 过 , 程中 甲货车距A地 作 : 图 (1 如 ) 图 1 所 = 示 -3 . x +36(8< x <12) . ∴ 的距离y与行驶时间x之间的函数解析 , 式为y =80 x - (2) x . . 215(4≤ ≤5 5) 设甲货车出发 x 甲 乙两货车与配货站的距离 (3) h, 、 相等. 当两车到达配货站之前时 ① , 则有 x x 解得x 3 105-30 =120-40 , = ; 2 当乙货车到达配货站开始返回 甲货车未到达配货 ② , 站时 则有 x x 解得x 45 , 105-30 =40 -120, = ; 14 当甲货车在配货站卸货后驶往B地时 ③ , 则有 x x 解得x . 80 -215-105=40 -120, =5 性质 当 x 时 y 随x的增大而增大 当 x : 0< <8 , 1 ; 8< <12 答 经过3 或45 或 甲 乙两货车与配货站的距离 时 y 随x的增大而减小. 答案不唯一 : h h 5 h, 、 , 1 ( ) 2 14 x . 相等. (3)4≤ ≤10 23.4 实际问题与一次函数 1 2 3 4. 5. .A .A .A (1)150 (2)4 500 12 kW·h 6.解 设纪念品A的单价为 x元 则纪念品 B 的单价 :(1) , 数学八年级 下册 ( )·R 5 0专题十四 \[提升\]动态几何与一次函数 图象如图 所示. (2) 2 { 6x x 1.解 y (0< ≤5), :(1) = 5 x x . -2 +16(5< <8) y的函数图象如图所示. (2) 答案图 ( ) 答案图 ( ) 性质 当 t 时 y随t的增大而减小 当 t 72时 性质 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 当 x : 0< <6 , ; 6< < , : 0< <5 , ; 5< <8 7 时 y随x的增大而减小 答案不唯一 . y随t的增大而增大. 答案不唯一 , ( ) ( ) 由图象可知 当y 时 t的值为 或 . 10 x . (3) , =7 , 3 9 { (3) ≤ ≤6 3 { t t 5.解 y 3x (0< x ≤4), 2 +3(0< ≤3), :(1) 1= 2 2.解 y x x . :(1) 1= 3t 27 t . -2 +14(4< <7) - + (3< <9) 函数y 的图象如图 所示. 画出函数y 的 2 图象 2 如图. (2) 1 2 (2) 1 函数y 的性质 当 x 时 y 随x的增大而增大 1 : 0< <4 , 1 ; 当 x 时 y 随x的增大而减小. 答案不唯一 答案图 x 4< . <7 或 , . 1 x ( ) ( ) (3)0< <2 7 6 2< <7 性质 当 t 时 y 随t的增大而增大 当 t 时 { x x : 0< <3 , 1 ; 3< <9 , 6.解 y 10- (0≤ ≤5), y 随t的增大而减小. 答案不唯一 :(1) 1= x x . 1 ( ) 3 -10(5< ≤8) . t y 的图象如图所示. (3)5 4< <9 { x x . (2) 1 3.解 y 3 (0< ≤4) :(1) = x x . -6 +36(4< <6) 图象如图 所示. (2) 2 答案图 ( ) 性质 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 当 x : 0< <5 , 1 ; 5< <8 图 时 y 随x的增大而增大. 答案不唯一 2 , 1 ( ) 当 x 时 y随x的增大而增大 当 x 时 y随x的 如图 当 b 时 函数y x b的图象与函数y 的 0< <4 , ; 4< <6 , (3) , 0< ≤6 , 2= + 1 增大而减小 答案不唯一 图象有两个交点. ( ) b 或b 专题十五 \[提升\]一次函数与几何综合问题(一) (3)0< ≤6 =16 ì 1.解 在y x中 ï 7t t :(1) =7-3 , ï- +14(0≤≤6), 令x 得y 4.解 y í 3 =0, =7, :(1) =ï ( ) ï7 t t 72 . 令y 得x 7 î -14 6< ≤ =0, = , 3 7 3 数学八年级 下册 ( )·R 5 1( ) A B 7 . 在y 3x 中 令x 得y ∴ (0,7), ,0 = +4 , =0, =4; 3 3 AD DO ∵ ∶ =5∶2, 令y 得x D . =0, =-4 3, ∴ (0,2) A B . 将D 代入y x b中 ∴ (-4 3,0), (0,4) 可得 ( 直 0, 线 2) CD的解 = 析 2 式 + 为y , =2 x +2 . 在y = 3 x +6 中 , 令x =0, 得y =6; 令y 得x 令y 得x =0, =-1, =0, =-2 3, C . C D . ∴ { ( y -1,0) x {x ∴ (-2 3,0), (0,6) 联立 =7-3 ,解得 =1, 由 可知 点E的坐标为 (2) y x y . (1) , (- 3,3), =2 +2, =4 OC OA OD OB E . ∴ =2 3, =4 3, =6, =4, ∴ (1,4) 则AC DB PF b ∴ S 四边形ODEB = S △ AOB- S △ ADE =2 3, =2, = , S 1DB x 1 = 1OA · OB - 1AD · x E ∴ △ EBD= 2 · E = 2 ×2× 3= 3, 2 2 S 1AC y 1 b b . = 1 ×7× 7 - 1 ×5×1 △ PAC= 2 · P = 2 ×2 3× = 3 2 3 2 PAC的面积等于 BDE面积的 倍 ∵ △ △ 2 , 17. = b b b . 3 ∴ 3 =2 3,∴ =2,∴ =±2 2.解 在y x 中 令x 则y 点P在直线l y x 上 :(1) =- +24 , =0, =24, ∵ 2: = 3 +6 , A . ∴ ({0 y ,2 = 4 - ) x +24, {x ∴ 当b =2 时 , a =- 4 3 ; 当b =-2 时 , a =- 8 3 , 联立 解得 =18, ( 3 ) ( ) 3 y 1x y . = , =6 点P的坐标为 4 3 或 8 3 . 3 ∴ - ,2 - ,-2 B . 3 3 ∴ (18,6) 4.解 由题意 得 :(1) , S 1OA x 1 . {y x {x ∴ △ ABO= 2 · B = 2 ×24×18=216 y = +1 x , 解得 y =1, . 点C为线段OB上一动点 点C不与点O B重合 =-2 +4, =2 (2)∵ ( , ), E . ( ) ∴ (1,2) 设C a 1 a 且 a . 如答案图 作点B关于x轴的对称点B 连接B E交 ∴ , , 0< <18 (2) , 1, 1 3 x轴于点F 此时FB FE的值最小. CD y轴 , + ∵ ∥ , D a a . ∴ ( ,- +24) DC a 1a 4a. ∴ =(- +24)- =24- 3 3 S S S ∴ 四边形DECB = △ DEC+ △ DCB 1DC x = · B 2 ( ) 1 4a = 24- ×18 2 3 答案图 解得a . =216-12 a =120, 在y x ( 中 令x ) 得y =8 = +1 , =0, =1, ( ) B B . C 8 . ∴ (0,1),∴ 1(0,-1) ∴ 8, 3 { { 设直线 b B 1 E的 { 解 k 析式为y = kx + b ( k ≠0), 则有 { -1= , 解得 =3, y 3x x k b b . 3.解 联立 = +4,解得 =- 3, 2= + , =-1 :(1) 3 y 直线B E的解析式为y x . y x =3, ∴ 1 =3 -1 = 3 +6, 当y 时 x 1 点E的坐标为 . =0 , = , 如 ∴ 答案图 过点P作 (- PF 3,3 x ) 轴 垂足为F 连接AP. ( ) 3 (2) 设点P的 , 坐标为 a b . ⊥ , , ∴ F 1 ,0 ,∴ OF = 1. ( , ) 3 3 5.解 把x 代入y 4x 16 得y :(1) =1 = - , =-4, 3 3 点C的坐标为 . ∴ (1,-4) 把 代入y x b 得b . (1,-4) =- + , =-3 直线l 的解析式为y x . ∴ 1 =- -3 把y 代入y x 得x (2) =0 =- -3, =-3, A . ∴ (-3,0) 答案图 如答案图 作点A关于y轴的对称点A′ 作点C ( ) , (3,0), 数学八年级 下册 ( )·R 5 2关于直线x 的对称点C′ 连接A′C′ 交 7.解 把E e 代入l y x 中 得 e =-3 (-7,-4), , :(1) ( ,4) 2: =- +6 , - +6=4, 直线x 于点P 交y轴于点Q 连接CP AQ 此时 解得e E . =-3 , , , , =2,∴ (2,4) CP PQ QA的值最小 即为C′A′的长. 在l y x 中 当y 时 x + + , 2: =- +6 , =0 , =6, C OC OB 1OC B . ∴ (6,0), =6,∴ = =3,∴ (0,3) 2 设直线l 的解析式为y kx b 1 = + , { { k b k 1 代入E B两点坐标 得 2 + =4,解得 = , , , b 2 =3, b =3, 直线l 的解析式为y 1x . 答案图 ∴ 1 = 2 +3 ( ) 设直线A′C′的解析式为y kx b′. 在y 1x 中 当y 时 x = + (2) = +3 , =0 , =-6, 把A′ C′ 代入y kx b′ 得 2 (3,0), (-7,-4) = + , A AC . ì ïk 2 ∴ (-6,0),∴ =12 { k b′ ï = , E S 1AC y 1 0=3 + k , b′ 解得í ï 5 ∵ (2,4),∴ △ AEC= 2 · E= 2 ×12×4=24, -4=-7 + , ïb′ 6. î =- S 9S . 5 ∴ △ ABF= △ AEC=27 8 直线A′C′的解析式为y 2x 6. 如图 过点F作FH y轴交直线l 于点H. ∴ = 5 - 5 2, ∥ ( 1 ) 设F m m m 则H m 1 m 把x 代入解析式 得y 12. ( ,- +6)( >2), , +3 , =-3 , =- 2 5 ( ) FH 1m m 3m . 点P的坐标为 12 . ∴ = +3-(- +6)= -3 ∴ -3,- 2 2 5 S S S 6.解 :(1) 如答案图 1, 过点 C ∵ △ ABF= △ AHF- △ BH ( F=27, ) ( ) 作CM OA于点M. 1 [m ] 3 m 1m 3 m ⊥ ∴ -(-6) · -3 - -3 =27, 2 2 2 2 ∵ S △ AOC =9 3 = 1 OA · 解得m =8,∴ F (8,-2) . 2 如图 作点B关于x轴的对称点B′ 连接B′F B′M CM OA CM . 2, , , , , =9,∴ =2 3 OAB ° ∵ ∠ =30 , 答案图 AC . ( 1) ∴ =4 3 在 ACM中 由勾股定理 得AM Rt△ , , =6, OM OA AM C . ∴ = - =3,∴ (3,2 3) 如答案图 作点 D 关于直 (2) 2, 线AB的对称点V 将点V沿 , AB方向平移 个单位长 答案图 4 3 ( ) 度至点 W 则四边形 WFEV , 则B′ . 是平行四边形 (0,-3) , 由轴对称的性质可得B′M BM DE EV FW. = , ∴ 当WG = ⊥ x = 轴 , 且点F在直线 ( 答案图 2) ∴ B B M ′M - F F M M = B B ′ ′ F M - FM . ∵ - ≤ , WG上时 GF EF DE的值最小 为WG . 当点M在直线B′F上时 B′M FM 有最大值 即 , + + , +4 3 ∴ , - , 如答案图 过点 V 作 VR WG 于点 R VT OA 于 BM FM 有最大值 最大值即为B′F的长 2, ⊥ , ⊥ - , , 点T. BM FM 的最大值为 2 2 . OD DA OA AD . ∴ - (8-0) +(-2+3) = 65 ∵ =2 , =9,∴ =3 8.解 把x 代入y 3x 得y WRV WV EF WVR :(1) =0 = +6, =6, ∵ ∠ =90°, = =4 3,∠ =30°, 4 B BO . WR 1 . ∴ (0,6), =6 ∴ = ×4 3=2 3 2 把x 代入y 1x 得y 易知 ADV为等边三角形 =0 =- +1, =1, △ , 2 DV AD ADV DVT E EO . ∴ = =3,∠ =60°,∠ =30°, ∴ (0,1), =1 ∴ DT = 1DV = 3 ,∴ RG = VT = DV2 - DT2 = 3 3 , 把y =0 代入y =- 1x +1, 得x =2, 2 2 2 2 D DO ∴ (2,0), =2, WG WR RG 7 3 ∴ = + = , BE BO EO DE EO2 DO2 BD 2 ∴ = - = 5, = + = 5, = BO2 DO2 DE EF FG的最小值为7 3 15 3. + =2 10, ∴ + + +4 3= BDE的周长 BE DE BD . 2 2 ∴ △ = + + =5+ 5+2 10 数学八年级 下册 ( )·R 5 3如答案图 将 x 轴所在 令x 则y 令y 则x (2) , =0, =3; =0, =4, 的直线绕点A逆时针旋 D C BD 5 11 OC 转 过点T作旋转后 ∴ (0,3), (4,0),∴ =3+ = , =4, 30°, 2 2 的直线的垂线 TH 垂足 , S 1BD OC 1 11 . 为H 过点 K 作 KG x ∴ △ BCD= · = × ×4=11 , ⊥ 2 2 2 轴于点G 由题意可知 点 E 只能在直线 , (2) , HAT AB的右侧 过点 E 作 BE 的垂 ∴ ∠ =30°, , AHT KGT 答案图 线交AB于点R 过点E作HG ∠ =∠ =90°, ( ) , ∥ y轴 过点 R 作 RG x 轴交 HG HT 1AT KT 1AT KT HT , ∥ ∴ = ,∴ + = + , 于点 G 过点 B 作 BH x轴交 2 2 , ∥ 当点K T H在同一直线上时 KT HT的值最小 即 HG于点H. ∴ , , , + , ( ) KT 1AT的值最小 此时 GTK ATH 设点E m 3m 答案图 + , ∠ =∠ =60°, ,- +3 , ( ) 2 4 GKT ( ) ∴ ∠ =90°-60°=30°, 点R n n 5 . GK ,-3 - KT GT GK KT2 GT2 GT GT . 2 ∴ =2 , = - = 3 ,∴ = ABE ° RE BE ER EB. 3 ∵ ∠ =45 , ⊥ ,∴ = ì REG BEH ° BEH EBH ° ïy 3x ∵ ∠ +∠ =90 ,∠ +∠ =90 , 联立í ï = 4 +6, 解得 {x =-4, C . ∴ 又 ∠ RE E G H = B ∠ EB R H G . E ° EB RE ï y ∴ (-4,3) ∵ ∠ =∠ =90 , = , ïy 1x =3, EHB RGE EH RG BH GE î =- +1, ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = , = , 2 ì ï 3m 5 m n 把y 代入y 3x 得3 x 解得x ï- +3+ = - , {m ( ) =0 = +6, +6=0, =-8, 即í 4 2 解得 =2, E 3 . A AO 4 4 ï ïm n 5 3m n =-2, ∴ 2, 2 ∴ (-8,0), =8, î =-3 - + -3, 2 4 S 1AD y 1 2.解 易得A B k ∴ △ ACD= · C = ×10×3=15, :(1) (8,0), (0,-8 ), 2 2 OA OB k. ∴ =8, =-8 S 2S 2 . AOB的面积为 ∴ △ KBD= △ ACD= ×15=10 ∵ △ 16, 3 3 ( ) 1 k 解得k 1 设K a 1a a . ∴ ×8×(-8 )=16, =- , ,- +1 ( >2) 2 2 2 直线l 的解析式为y 1x . S S S 1 BE x 1 BE OD ∴ 1 =- +4 ∴ △ KBD= △ KBE- △ BED= · K - · = 2 2 2 ì ïy 1x 1BE x OD 1 a 解得a ï =- +4, {x ·( K- )= ×5( -2)=10, =6, 联立í 2 解得 =4, 2 2 (2) ï y . ïy 1x =2 î = , K GK AG GT 2 2 3 2 ∴ (6,-2), =2, =14,∴ = = , 3 3 ∴ C (4,2) . ∴ OC = 4 2 +2 2 =2 5 . KT GT 4 3 AT AG GT 2 3 由 知 k 1 则B . ∴ =2 = , = - =14- , (3) (1) , =- , (0,4) 3 3 2 当点P在直线AB的上方时 如答案图. HT 1AT 3 ① , ∴ = =7- , 2 3 此时KT HT 4 3 3 ∴ + = +7- =7+ 3, 3 3 TO GO GT 2 3 = - =6- , 3 KT 1 AT 的最小值为 此时点 T 的坐标 答案图 ∴ + 7+ 3, ( ) 2 PBA BAO BP AO ( ) ∵ ∠ =∠ ,∴ ∥ , 为 2 3 . 点P的纵坐标为 . 6- ,0 ∴ 4 专题十六 3 \[提升\]一次函数与几何综合问题(二) 点P在直线l 上 1x x P ∵ 2 ,∴ 4= ,∴ =8,∴ (8,4); 2 1.解 对于直线y x 5 令x 则y 5 当点P′在直线 AB 的下方时 延长 BP′交 OA 于点 :(1) =-3 - , =0, =- , ② E 如答案图. , ( ) 2 2 , P′BA BAO AE BE OE. 故点B 5 . ∵ ∠ =∠ ,∴ = =8- 0,- 2 在 Rt△ BOE中 , 由勾股定理 , 得 (8- OE ) 2 = OE2 +16, 解得OE E . 对于直线y 3x =3,∴ (3,0) =- +3, 设直线BE的解析式为y mx 4 = +4, 数学八年级 下册 ( )·R 5 4ABD是等腰三角形 AB BD ABO DBO. m 解得m 4 ∴ △ , = ,∠ =∠ ∴ 0=3 +4, =- , OCD是 BCD的外角 3 ∵ ∠ △ , 即 CBD CDM OCD 直线BE的解析式为y 4x . ∠ +∠ =∠ =45°, ∴ =- +4 点M即为所求点的位置. 3 ∴ ì ì 设直线BD的解析式为y ax c a ïy 1x ïx 24 = + ( ≠0), ï = , ï = , ( ) 代入点B D 得 联立í 2 解得í 11 P′ 24 12 . { a c (0,6) { , a (3,0), ï ï ∴ , 3 + =0,解得 =-2, î ïy =- 4x +4, î ïy = 12. 11 11 c =6, c =6, 3 11 ( ) 直线BD的解析式为y x . ∴ =-2 +6 综上所述 点P的坐标为 或 24 12 . {y x {x , (8,4) , 联立 = +3, 解得 =1, M 11 11 y x y ∴ (1,4); 3.解 对于y x 令x 则y =-2 +6, =4, :(1) =2 +6, =0, =6; 如答案图 作 CDM关于CD的对称角 交AC于 令y 则 x 解得x ② 2, ∠ , =0, 2 +6=0, =-3, 点M′ 则 CDM′ CDM A B . , ∠ =∠ , ∴ (-3,0), (0,6) M′DC ABC MDC ABC BCE . OD OA D . ∴ ∠ +∠ =∠ +∠ =∠ =45° ∵ = ,∴ (3,0) M′DC MDC CD CD M′CD MCD ° 把E e 代入y x 得 ∵ ∠ =∠ , = ,∠ =∠ =90 , (-1, ) =2 +6, M′DC MDC e E . ∴ △ ≌△ (ASA), =2×(-1)+6=4,∴ (-1,4) CM′ CM 点C为MM′的中点 M′ . 设直线CD的解析式为y kx b k ∴ = ,∴ ,∴ (-1,2) = + ( ≠0), 综上所述 存在点M的坐标为 或 . { k b {k , (-1,2) (1,4) 代入E D两点坐标 得 3 + =0,解得 =-1, 4.解 对于y x 当x 时 则y , , k b b :(1) =- +4, =0 , =4; - + =4, =3, 当y 时 则x 直线CD的解析式为y x . =0 , =4, ∴ =- +3 A B OA OB . 由 可知直线CD的解析式为y x ∴ (0,4), (4,0),∴ = =4 (2) (1) =- +3, BD 点D在x轴负半轴 D . 令x 则y C . ∵ =8, ,∴ (-4,0) =0, =3,∴ (0,3) C是OA的中点 C . ∵ ,∴ (0,2) S 1AD y 1 设直线CD的解析式为y kx b ∵ △ ADE= 2 · E = 2 ×6×4=12, 代入C D 得 = + , (0,2), ({ -4,0), ∴ S △ CDF= 4 3S △ ADE= 4 3 ×12=9 . {b =2, 解得 k = 1 , 设F f f 分两种情况讨论 k b 2 ( ,2 +6), : -4 + =0, b 当点F在直线CD下方时 =2, ① , 直线CD的解析式为y 1x . S 1 S ∴ = +2 ∵ △ ACD= ×6×3=9= △ CDF, 2 2 ∴ 此时点F与点A重合 , 即F (-3,0); (2)∵ C (0,2), BD =8,∴ S △ DCB= 1 ×8×2=8, 当点F′在直线CD上方时 2 ② , S 7S 14. 即f 时 由S 9 可知 f . ∴ △ QCE= △ DCB= 如答 > 案 -1 图 1 , , 连接 △ B O CD F = ′ , 2 <9 ,>0 { y 1 1 2 x 3 ì ï ï x = 4 , ( ) 联立 = +2,解得í 3 E 4 8 . S S S S 即 1 f 1 f 2 ï ∴ , ∴ △ CDF′= △ COF′+ △ ODF′- △ COD=9, 2 ×3 + 2 ·3(2 y =- x +4, î ïy = 8 , 3 3 3 ( ) 1 解得f F . +6)- ×3×3=9, =1,∴ (1,8) 设Q m m m 4 2 ( ,- +4) > , 综上所述 点F的坐标为 或 . 3 , (-3,0) (1,8) S S S 1 AC x 1 AC x ∴ △ QCE= △ ACQ- △ ACE= · Q - · E = 2 2 1 m 1 4 m 4 14 ×2× - ×2× = - = , 2 2 3 3 3 解得m 点Q的坐标为 . =6,∴ (6,-2) 将直线l 平移得到直线 l 使得直线 l 经过点 A 并 (3) 2 3, 3 , 交x轴于点F , l 的解析式为y 1x . ∴ 3 = +4 答案图 答案图 当y 时 x 则 2 F . ( 1) ( 2) =0 , =-8, (-8,0) 已知A C 点M为直线l 上一动点 设M t t (3) 直线 ( A - C 3, 的 0) 解 , 析 ( 式 0, 为 3), y x ∵ 1 ,∴ ( ,- +4), ∴ = +3, AF 2 2 AM t2 t 2 AOC COD ACD都为等腰直角三角形 ∴ = 8 +4 = 4 5, = +(- +4-4) = ∴ △ ODC ,△ OCD ,△ OAC OCA , 2 t , MF = ( t +8) 2 +(- t +4) 2 = 2 t2 +8 t +80 . ∴ ∠ =∠ =∠ =∠ =45°, BCE OCD CDM ABC . 当MF AM时 即 t t2 t ∴ ∠ =∠ =45°,∴ ∠ +∠ =45° ① = , 2 = 2 +8 +80, 如答案图 连接BD交AC于点M. 解得t M ① 2, =-10,∴ (-10,14); OB AD OA OD 当AM AF时 即 t 解得t ∵ ⊥ , = =3, ② = , 4 5= 2 , =±2 10, 数学八年级 下册 ( )·R 5 5( ) M 或M . ∴ (2 10,-2 10+4) (-2 10,2 10+4) 则点G的坐标为 a 3a ,- +3 , 综上所述 M 或 M 或 4 , (-10,14) (2 10,-2 10+4) M . S 1 x x y y 1 a 5.解 (-2 把 1 x 0,2 代 1 入 0+ y 4) x 得y B ∴ △ PAB= 2 ( A- B)· P- G = 2 ×4× (3 -3)- :(1) =0 =2 +4, =4,∴ (0,4), ( ) 把y 代入y x 得 x 解得x A =0 = O 2 A +4, OB 2 +4=0, =-2, - 3a +3 = 15a -12 . ∴ (-2,0),∴ =2, =4, 4 2 ∴ OC =2 OA =4, OD = 1OB =2 . 又 ∵ S △ OAB= 1 ×4×3=6, 且S △ PAB= 3S △ OAB, 2 2 2 C D . ∴ (4,0), (0,-2) 15a 3 解得a 14或a 2 把C D 代入y kx b 得 ∴ -12 = ×6, = = , (4,0), (0,-2) = + , 2 2 5 5 { ( ) ( ) { k b k 1 点P的坐标为 14 27 或 2 9 . 4 + =0,解得 = , ∴ , ,- b 2 5 5 5 5 =-2, b . 设M m m N s t . =-2 (3) ( ,3 -3), ( ,) 设BC的解析式为y k′x b′ 由题知 A B . (2) = + , , (4,0), (0,3) {b′ {k′ 分情况讨论 把B C 代入 得 =4, 解得 =-1, : (0,4), (4,0) , k′ b′ b′ 当AB为对角线时 则有 4 + =0, =4, ① , 直线BC的解析式为y x . ì ∴ { =- +4 ïm 11 y 1x {x { m s ï = 10 , 联立 = -2,解得 =-4, E . 4+0= + , ï 2 y ∴ (-4,-4) m t 解得ís 29 EF y B = C 2 x +4 设 , 直线EF = 的 - 解 4, 析式为y x b″ 0 ( + m 3 - = 4) 3 2 + - ( 3 3 + m , -3) 2 = m2 +(3-3 m +3) 2 , ï ï = 10 , ∵ ∥ ,∴ =- + , ït 27. 把E 代入y x b″ 得 b″ î = (-4,-4) =- + , -4=4+ , 10 解得b″ 直线EF的解析式为y x . ( ) 把x = 代 - 入 8,∴ y x 得y =- -8 N 29 27 =0 =- -8, =-8, ∴ , ; F BF . 10 10 ∴ (0,-8),∴ =4-(-8)=12 当AN为对角线时 则有 (3) 由题意可知 , G (4,-4), { ② s m , 设点P的坐标为 x y . 4+ =0+ , ( P, P) t m {x {x 0+ =3 -3+3, 当AF为对角线时 P+4=-2,解得 P=-6, 2 2 m 2 m 2 , y y 4 +3 =( -4) +(3 -3) , ∴ 当 点 AG P 为 的 对 坐 角 标 线 为 时 (- { 6 - , P 2 - - + 4 4 ) 4 = ; = - x 8 P , , 解得 {x P P = = - 2 4 , , 解得 {m s =0, 或 ì í ï ï ï m s = 1 5 7 3 , N 或 ( 7 39 ) . , 0-4= y p-8, y P=4, t =-4, ï =- 5 ,∴ (-4,0) - 5 , 5 点P的坐标为 =0 ï ∴ (2 { ,4); x {x î ït = 39. 当AP为对角线时 -2+ P=4, 解得 P=6, 5 , y y ( ) 0+ p=-4-8, P=-12, 综上所述 点 N 的坐标为 29 27 或 或 点P的坐标为 . , , (-4,0) ∴ (6,-12) 10 10 综上所述 点P的坐标为 或 或 . ( ) , (-6,-4) (2,4) (6,-12) 7 39 . 6.解 B C两点关于x轴对称 且BC - , :(1)∵ , , =6, 5 5 B C . 《一次函数》章末考点复习与小结 ∴ (0,3), (0,-3) ( ) b 又 直线l与直线m交于点Q 8 9 【知识网络】y kx y kx b k b 增大 ∵ , , = = + 0,0 1, - k 5 5 直线l的解析式为y x 减小 二 四 一 两 ∴ =3 -3, 、 【考点突破】1 2. m k m n 3. 直线m的解析式y 3x . .B (1)79 (2) <2 (3) > > B =- +3 4 5 6. y y y y y 易得A .设点P的坐 4 标为 a a . 7 . . D 8. .B (1)< (2) 1> x 2> 3 (3) 1< 2 (2) (4,0) ( ,3 -3) C (1)(-4,1) (2)0< <1 如答案图 过点P作x轴的垂线与直线m交于点G ( ) , , 9.解 直线y 1x 经过点B 8 n :(1)∵ = +1 , , 2 5 n 1 8 9 ∴ = × +1= , 2 5 5 ( ) B 8 9 . ∴ , 5 5 直线y 3x m经过点B ∵ =- + , 4 9 3 8 m 解得m . 答案图 ∴ =- × + , =3 ( ) 5 4 5 数学八年级 下册 ( )·R 5 6当点Q在直线l 上方时 x 8. 2 , (2) < 5 由S 1 9 3 27 可知 点Q在x轴上方 △ DON= × × = <9 , , 由 得直线l 的解析式为y 3x . 2 2 2 8 (3) (1) 2 =- +3 4 则S S S 1 9 y 27 △ ODQ= △ DON+ △ ONQ= × Q + =9, 对于y 3x 令x 则y 2 2 8 =- +3, =0, =3; ( ) 4 解得y 5 Q 33 5 Q= ,∴ , ; 令y 则 3x x D C . 2 4 2 =0, - +3=0,∴ =4,∴ (0,3), (4,0) 当点Q在直线l 下方时 4 2 , 对于y = 1x +1, 令y =0, 则1 x +1=0,∴ x =-2, 则S △ ODQ= S △ ONQ- S △ ODN= 1 × 9 y Q - 27 =9, 2 2 ( 2 2 ) 8 A . ∴ (-2,0) 解得y Q=- 11 ,∴ Q - 15 ,- 11 . ∴ S △ ABD= S △ ADC- S △ ABC= 2 1 ×6×3- 2 1 ×6× 5 9 = 1 5 8. 综上 点Q的 2 坐标为 ( 3 4 3 5 2 ) 或 ( 15 11 ) . 10. 11 , , - ,- B .C 4 2 4 2 ( ) 设点P x .由点P B C的坐标 得 12. 10 13.y x (3) ( ,0) , , , - ,0 = 3 - 3 BC2 PB2 x 2 PC2 x 2. 3 =13, =( +3) +4, =( +6) { x x 当PB BC时 则 x 2 解得x 或 均 -2 +12(0< ≤3), 舍去 = , 13=( +3) +4, =0 -6( 14.解 y :(1) = 3x 21 x . ); - + (3< <7) 当BC PC时 则 x 2 解得x 2 2 = , ( +6) =13, =-6± 13, 函数图象如图. 点P的坐标为 或 (2) ∴ (-6+ 13,0) (-6- 13,0); 当PB PC时 则 x 2 x 2 = , ( +3) +4=( +6) , ( ) 解得x 23 点P的坐标为 23 . =- ,∴ - ,0 6 6 综上 点P的坐标为 或 或 , (-6+ 13,0) (-6- 13,0) ( ) 23 . - ,0 6 16. C 17.解 设每台A型电脑的销售利润为a元 每台B型 :(1) , 电脑的销售利润为b元. { a b 根据题意 得 10 +20 =4 000, 在自变量x的取值范围内 y随着x的增大而减小 , a b x , {a 20 +10 =3 500, (3)0< <2 解得 =100, b . 15.解 对于y 2x =150 :(1) =- , 答 每台A型电脑的销售利润为 元 每台B型电脑的 3 : 销售利润为 元. 100 , 当y 时 2x 根据题意 得 150 =2 ,- =2, (2) , 3 y x x x 解得x =100 +150(100- )=-50 +15 000, =-3, y关于x的函数关系式 点B . ∴ ∴ (-3,2) y x x . 设直线l 的解析式为y kx =-50 +15 000(0≤ ≤100) 1 = +4, 由题意及 知 y x x . 将点B的坐标代入上式 (3) (2) , =-50 +15 000(20≤ ≤100) , y随x的增大而减小. ∵ -50<0,∴ 得 k 解得k 2 x为正整数 当x 时 y取得最大值 2=-3 +4, = , ∵ ,∴ =20 , , 3 为 元 -50×20+15 0000=14 000( ), 直线l 的解析式为y 2x . 该商店购进两种型号的电脑 台的利润最多为 ∴ 1 = 3 +4 ∴ 元. 100 由直线l 的解析式可知 点C 14 000 (2) 1 , (-6,0), 18.解 作图如图所示. :(1) S 1 S 3S . ∴ △ BOC= ×6×2=6,∴ △ ODQ= △ BOC=9 2 2 易知直线l 的解析式为y 2x 3 = -3, 3 ( ) 设直线l 交x轴于点N 点N 9 . 3 ,∴ ,0 2 根据图形可知 快车去乙地时速度为 v 用时 联立l l 的表达式 得2 x 2x 解得x 9 (2) , 快, 2,3 , -3=- , = , a 返回的速度为 . v 用时 3 3 4 (2- )h, 1 5 快, 1 h, ( ) a v . v 解得a . . D 9 3 . ∴ (2- )· 快=1×1 5 快, =0 5 ∴ ,- 故答案为 . . 4 2 0 5 数学八年级 下册 ( )·R 5 7当s 时. ì (3) =120 { ïk 2 由题意可知 v 2 b ï =- , , 慢=60 km/h, = , 解得í 3 返回前v 快=80 km/h, 返回后v 快 ′ =120 km/h . 3 k b ï ïb 2. 由图象可知 当快车与慢车同时到达乙地时 两车与 0= + , î = , , 3 警亭的距离相等 此时t , =2; 综上所述 k b 或k 2 b 2. 当慢车未到达乙地时 , =2, =-2 =- , = , 3 3 两车到警亭的距离相等 ∵ , 9. 1 则 t t . ± 60 -(120-30)=(120-30)-80( -0 5), 2 10.解 将 b 代入y x 得 解得t 11 :(1) (1, ) =2 +1, = ; b P . 7 =2+1=3,∴ (1,3) 当慢车到达乙地后 将 代入y mx 得 , (1,3) = +4, 同理可得 t t m 解得m . 60( -2)-30=30-120( -3), 3= +4, =-1 解得t . b m . =3 ∴ =3, =-1 将x a代入y x 得y a C a a . 综上 t的值为 或11或 . (2) = =2 +1, =2 +1,∴ ( ,2 +1) , 2 3 将x a代入y x 得y a D a a . 7 = =- +4, =4- ,∴ ( ,4- ) 专题十七 [易错]《一次函数》中常见的易错题 CD ∵ =2, 1 2 3 4 5 .B .-2 .D .D .D a a 解得a 1或5 . ∴ 2 +1-(4- ) =2, = 6.y 1x 或y 1x 3 3 = -4 =- -3 11.解 一次函数 y kx b k 的图象由直线 3 3 :(1)∵ = + ( ≠0) y x向下平移得到 k . 7. 4 或 提示 易知围成的四边形是梯形 求出y =3 ,∴ =3 -4 : , =-1, 将 代入y x b 得 b 解得b . 3 (1,2) =3 + , 3+ =2, =-1 y 之间的距离是 再求出直线 y kx 与 y 和 一次函数的解析式为y x . =3 4, = -3 =-1 ∴ =3 -1 y 的交点 然后分交点在直线 x 的左侧与右侧两种 =3 , =1 在y x 中 当y 时 x 1 情况进行讨论得出答案. 此题易忽略其中一种情况得出 (2) =3 -1 , =0 , = , 3 错误答案. ( ) 点B的坐标为 1 . 8.解 直线将已知三角形分为面积不等的两部分 旋转直 ∴ ,0 : , 3 线可以发现可能存在两种符合题意的情况 设直线AC的解析式为y mx n 其中m : (3) = + ( ≠0), 直线y kx b与 AB 边相交于点 D 如答案图 . 则点C的坐标为 n .根据题意 得 ① = + 1, 1 (0, ) , 设两直线的交点D 的坐标为 x y . 1 ( 0, 0) S 1 1 n 1 n n . 易得A (2,0), B (0,2), AC =1, 则S △ AOB=2 . △ BOC= 2 × 3 = 2 ,∴ =3,∴ =±3 当n 时 将 代入 y mx 得 m S 1S 即1 y 1 解得y 2. = 3 , (1,2) = +3, +3= 2, ∴ △ ACD 1 = 6 △ AOB, 2 ×1× 0= 6 ×2, 0= 3 解得m =-1,∴ y =- x +3; ( ) 当n 时 将 代入y mx 得m 把y 2代入y x 得x 4. D 4 2 . =-3 , (1,2) = -3, -3=2, 0= =- +2, 0= ∴ 1 , 解得m y x . 3 3 3 3 =5,∴ =5 -3 ( ) 综上所述 直线AC的解析式为y x 或y x . 把 4 2 代入y kx b 得 , =- +3 =5 -3 (1,0), , = + , 第24章 数据的分析 3 3 { k b 24.1 数据的集中趋势 0= + , {k 解得 =2, 24.1.1 平均数 2 4k b b . = + , =-2 第 课时:1 2 3 4. 3 3 5. 1 .B 分 .D .B (1)12 (2)10 (1)9 (2)8 6.解 ° % °. :(1)①360 ×30 =108 a% % % % ②∵ =1-45 -30 =25 , 各部门总人数为 % 人 . ∴ 5÷25 =20( ) b % c % . ∴ =20×45 =9, =20×30 =6 % % % . 万元 . (2)10×25 +8×45 +5×30 =7 6( ) 该公司平均每人所创的年利润为 . 万元. ∴ 7 6 7. 8 9. . . B .B (1)85 8 (2)2 6 答案图 答案图 10.解 x 分 ( 1) ( 2) :(1) 甲=(91+80+78)÷3=83( ), 直线y kx b与OB相交于点D 如答案图 . x 分 ② 设点D 的 = 坐 + 标为 y . 2, 2 x 乙=(81+74+85)÷3=80( 分 ), 2 (0, 1) 丙=(79+83+90)÷3=84( ), x x x 丙小组第一名 甲小组第二名 S 1S 即1 y 1 解得y 2. ∴ 丙> 甲> 乙, ∴ , , ∴ △ COD 2 = 6 △ AOB, 2 ×1× 1= 3 , 1= 3 乙小组第三名. ( ) x % % % . 分 D 2 . (2) 甲=40 ×91+30 ×80+30 ×78=83 8( ), ∴ 2 0, 3 x 乙=40 % ×81+30 % ×74+30 % ×85=80 . 1( 分 ), ( ) x % % % . 分 把 2 代入y kx b 得 丙=40 ×79+30 ×83+30 ×90=83 5( ), (1,0), 0, = + , x x x 甲小组的成绩最高. 3 ∴ 甲> 丙> 乙,∴ 数学八年级 下册 ( )·R 5 811. 12. C 579 13.解 一班成绩为80×2+84×3+88×5 . 分 :(1) =85 2( ), 2+3+5 二班成绩为97×2+78×3+80×5 . 分 =82 8( ), 2+3+5 三班成绩为90×2+78×3+84×5 . 分 . =83 4( ) 2+3+5 按照 的比例计算成绩时 队形整齐 与 动作 在这组样本数据中 出现了 次 出现次数最多 (2) 2∶3∶5 ,“ ” “ 规范 两项所占权重较大 而二班这两项得分较低 所 (2)∵ ,35 12 , , 这组样本数据的众数为 . ” , , 以最后的成绩排名发生了变化. ∴ 35 将这组样本数据按从小到大的顺序排列 其中处于 第 课时:1 2 3 4. 5. % ∵ , 中间的两个数都为 2 .C .C .B 59 84 6.解 36, :(1)4% 中位数为 . . % . % . % . % . 分 . ∴ 36 (2)92 1×52 +85 0×26 +69 2×18 +41 3×4 =84 1( ) % 双 . 答 所抽取的学生的测试成绩的平均分为 . 分. (3)200×30 =60( ) : 84 1 答 建议购买 号轮滑鞋 双. 设不及格的人数为x 则 . . x . . : 35 60 (3) , 80 0≤41 3 ≤89 9 11. 12.平均数 x为正整数 x B ∵ ,∴ =2, 13.解 当m 时 甲箱内有球 颗 . 所抽取学生人数为 % 人 :(1) =49 , 98-49=49( ) ∴ 2÷4 =50( ), 乙箱内球的号码的中位数为 估计该校九年级学生中达到优秀等级的人数约为 ∵ 40, ∴ 乙箱中号码小于 大于 的球各有 颗 % % 人 . ∴ 、 40 (49-1)÷2=24( ), 50×52 ÷10 =260( ) 甲箱中号码小于 的球有a 颗 7. 8 9. . ∴ 40 =39-24=15( ), D .B (1)3 3 (2)13 号码大于 球的有b 颗 . 10.解 40 =49-15=34( ) :(1)1 200 12 a b 且 号球在乙箱内 甲箱内有 颗球 不可 ∵ ≠ , 40 , 49 , (2)(800×5+1 200×10+1 600×12+2 000×17+2 400×6)÷ 能有 号球 . 40 , 50=1 672(h) 甲箱内球的号码的中位数不能为 . 答 这批灯泡的平均使用寿命是 . ∴ 40 : 1 672 h 由 可知 当甲 乙箱内球的号码的中位数相同时 (2) (1) , 、 , 17+6 只 . 甲 乙箱内球的数量应该都是偶数. (3)30 000× =13 800( ) 、 50 设在甲箱内球的号码小于x的数量是c颗 则大于 x 答 这批总数为 万只的灯泡里面有 只灯泡属于 , : 3 13 800 的数量也是c颗. 超长照明灯泡 . “ ” 设在乙箱内球的号码小于 x 的数量是 d颗 则大于 x 11. 12. . , C 4 8 的数量也是d颗. 13.解 第 次收费为 . . . 元 . :(1) 2 0 5-0 1=0 4( ) 于是在全部 颗球中 号码小于x的数量是 c d 颗 大 第 次收费为 . . . 元 . 98 , ( + ) , 3 0 4-0 1=0 3( ) 于x的数量也是 c d 颗 即 的中位数是x. 第 次收费为 . . . 元 . ( + ) , 1~98 4 0 3-0 1=0 2( ) a . . . . b . . . . x 49+50 . . ∴ =0 5+0 4+0 3=1 2, =1 2+0 2=1 4 ∴ = =49 5 根据用车意愿调查结果 抽取的 名师生每人每天 2 (2) , 100 第 课时:1 2 3 4.众数 5. . 使用A品牌共享单车的平均车费为 2 .C .D .A 97 97 5 98 6.解 :(1)50 34 8 8 x 1 . . . . . = ×(0×5+0 5×15+0 9×10+1 2×30+1 4×25+1 5×15) x 6×3+7×7+8×17+9×15+10×8 . 100 (2)∵ = =8 36, . 元 50 = 估 1 计 1( 该校 ), 名师生一天使用A品牌共享单车的 ∴ 这组数据的平均数是 8 . 36 . ∴ 5000 总车 费为 元 5 00 0×1 . 元 1=5 500( 元 ) . (3)500× 15 =150( 人 ) . ∵ 5 收 5 费 00 调整 < 后 5 80 此 0 运营 , 商在该校投放A品牌共享单车 答 估计该 50 校八年级学生每周参加科学教育的时间是 ∴ , : 9 h 不能获利. 的人数为 人. 150 24.1.2 中位数和众数 7. 8. D 5 第 课时:1 2 3 9.解 % 而 x 有 人 1 .D .B .B :(1)∵ 5÷10 =50, 80≤ <90 20 , 4. . 5. x 有 人 (1)90 (2)7 5 (1)89 (2)90 ∴ 70≤ <80 50-20-5-10=15( ), 6.解 . . 补全图形如答案图. :(1)9 1 9 1 应该推荐甲选手 理由如下 (2) , : 甲的中位数 . 比乙的中位数 . 大 比丙的中位数 . 大 9 2 9 0 , 9 1 , 应该推荐甲选手. ∴ 7. 8 9. D .C 2 10.解 本次接受随机抽样调查的学生人数为 :(1) % 人 . 10÷25 =40( ) 抽取学生的鞋号为 号的人数为 37 人 . 40-6-12-10-4=8( ) 图中m的值为 . 答案图 100-30-25-20-10=15 ( ) 补全条形统计图如图所示. (2)83 数学八年级 下册 ( )·R 5 9(3)1 000× 20+10 =600( 人 ) . s2甲= 1 [(9-8 . 6) 2 ×3+(6-8 . 6) 2 +(10-8 . 6) 2 ×4+ 50 10 答 估计全校 名学生的模型设计成绩不低于 分 . 2 . 2 . : 1 000 80 (8-8 6) +(5-8 6) ]=2 84, 的人数为 人. 600 s2乙= 1 [(9-8 . 6) 2 ×4+(10-8 . 6) 2 ×2+(7-8 . 6) 2 ×2 甲的成绩为 3 2 . 分 10 (4) 94× +90× =92 4( ); . 2 . 5 5 +(8-8 6) ×2]=1 04, 乙的成绩为 3 2 分 . 由s2甲> s2乙 可知 , 乙保龄球运动员的发挥更稳定. 90× +95× =92( ) 5 5 11. 12. 10 . 甲的综合成绩更高. A (1)16 (2) ∵ 92 4>92,∴ 7 10.解 13.解 :(1)①18 :(1)91 90 第 小组 得分为 分 这一项的人数为 ② 1 “ 4 ” 甲同学的方差为 1 2 2 人 (2) ×[(85-90) +(82-90) +(89- 20-1-2-3-8=6( ), 6 补全第 小组得分条形统计图如答案图. 1 2 2 2 2 86 90) +(98-90) +(93-90) +(93-90) ]= , 3 乙同学的方差为 1 2 2 ×[(95-90) +(85-90) +(90- 6 2 2 2 2 100. 90) +(85-90) +(100-90) +(85-90) ]= 3 选择甲同学.理由如下 (3) : 两人的平均数相同 均为 说明两人实力相当 但甲 , 90, , 答案图 的方差86小于乙的方差100 说明甲同学发挥更稳定. ( ) , . 3 3 (2)5 3 5 3 第 课时:1 2 3 4.甲 5. 2 .A .D .C ②③④ 8+8+2 人 . 6.解 (3)4 200× =1 260( ) 我 :( 觉 1) 得 85 初 中 70 部 的 85 决 赛 10 成 0 绩更好.理由如下 答 估计该校 20 有 +20+ 20 名学生竞赛成绩不低于 分. (2) 因为初中部和高中部的决赛成绩平均数均 : 为 但是 11 : . 1 260 90 初中部决赛成绩的方差 比高中部决赛成绩 8 的 5, 方差 12. B 解析 由表格知 中位数为 众数为 当大于 小 成绩更整齐 所以 7 初 0 中部的决赛成绩更好. 的 ① 数 ④ 中 有可能 : 有两个是 , 一个是 6, 符合题意 7, 故 正 7. 160 8.甲 , 9. , 6 确 ; 错 当 误 7 个 当 , 人的 个 成 人 绩 的 为 成绩 2, 为 4, 7 6 , ,6,7,7,7 9, 时 , 也符 时 合 , 题 个 意 ① 数 , 故 的 10 D .解 从 : 操 (1 作 ) 规 2 范 2 性 ① 来 s ③ 2 1> 分 s2 2 析 小青和小海的平均数均为 但 ② 和最大 ; , 最大 时 7 值 平 为 均 4 数 1, 为 故 ③ 错 故 2, 误 4, ; 正 5 当 , 确 6 7 , . 7 故 个 ,7 答 人 ,1 案 的 0 为 成 , 绩 7 为 . 2,2, (2) 小 所 海 以 的 小 方 海 差 在物 s2 2 理 小 实 于 验 小 , 操 青 作 的 中 方 发 差 挥 s2 1 稳 , 定. 答案不唯 4 一 , 4,6,7,7,7 , 5, ④ ①④ 13.解 任务 a . 应熟悉实验方案和操作流程 或注意仔 ( 细观察实验现 ) : 1: =200-15-70-50-25=40 (3) ; 任务 15×4+50×5+70×6+50×7+15×8 象和结果 或平衡心态 沉着应对. 2: =6, 11. ; , 200 D 乙园样本数据的平均数为 . 12.解 ∴ 6 :(1)84 86 30 任务 七年级学生航天知识竞赛的成绩较好 理由如下 3:① (2) , : 任务 乙园的柑橘品质更优.理由如下 因为七年级学生航天知识竞赛成绩的中位数 大于 4: , 84 八年级学生航天知识竞赛成绩的中位数 所以七年 甲园样本数据的一级率为50+40 83, ×100%=45%, 级学生航天知识竞赛的成绩较好. 200 乙园样本数据的一级率为70+50 . % 5 人 . ×100%=60% (3)560×30 +500× =293( ) 200 20 % % 乙园的柑橘品质更优. 答 估计该校七 八年级参加此次竞赛成绩不低于 分的 ∵ 45 <60 ,∴ : 、 90 24.2 数据的离散程度 学生人数共是 人. 293 第 课时:1 2 3 4. 5. 24.3 数据的四分位数 1 .D .A .D 5 21 6.解 1 2 3 4.乙地 5. . . :(1)80 86 (2)> .B .B .C (1)8 5 (2)2 5 (3)9 七年级和八年级的平均成绩相同 均为 . 但是七 6.解 不能. 不能. (3) , 85 5, :(1) (2) 年级的中位数 比八年级的中位数 大 所以七年 上四分位数为 下四分位数为 . 87 86 , (3) 26; 14 级参赛学生的成绩较好. 7. 8 9. C .C 170 7. 8. . 9. 10.解 . . B 18 3 6 (1)2 (2)3 (3)18 :(1)3 625 4 130 10.解 两名运动员投掷成绩的平均数分别为 补全B团队的箱线图如答案图所示. : (2) 通过箱线图可知 A团队产品收益率的中位数与B团 x 9×3+6+10×4+8+5 . , 甲= =8 6, 队的几乎相等 故可知两个团队的经营效益基本一 10 , 样 但A团队的产品收益率明显比B团队的收益率的 x 9×4+10×2+7×2+8×2 . . , 乙= =8 6 波动性大 即B团队的经营水平更稳健 故对于稳健 10 , , 两名运动员投掷成绩的方差分别为 型的投资者 选择B团队的理财产品更合适. , 数学八年级 下册 ( )·R 6 0x 86×4+84×4+70×2 分 . (2) = =82( ) 4+4+2 答 小涵的总评成绩为 分. : 82 小涵能入选 小悦不一定能入选.理由如下 (3) , : 由频数直方图可得 总评成绩不低于 分的学生有 , 80 10 名 总评成绩不低于 分且低于 分的学生有 名. , 70 80 6 小涵和小悦的总评成绩分别是 分 分 学校要选 82 ,78 , 拔 名小记者 小涵的成绩在前 名 因此小涵一 12 , 12 , 定能入选.小悦的成绩不一定在前 名 因此小悦不 12 , 答案图 一定能入选. ( ) 24.4 数据的分组 8. 9 10. 11. B .B 20 7 1 2. 12. 甲 13. 14. 3 . . A 解 将 8 个数据从小到大排序 平均数 15. ( 解 1)①91 4 ②< (2) 92 D 110 155 85 : 4 :15,15,18,24, :(1 ( )2 8 ( ) 2)2 2 为 . 18 2 3+2 人 . (3)545× +20% +360× =398( ) 分组 第一组x 第二组x 组间离差平方和 10 10 答 估计全校检测成绩达到 优秀 的人数为 人. 1 2 : “ ” 398 第 个间隔 专题十八 [易错]《数据的分析》中常见的易错题 1 15 19 12 1 第 个间隔 .D 2.解 补图略. 2 15 21 36 :(1) . 第 个间隔 (2)14 14 5 3 16 24 48 天的销售额的平均值为 观察最后一列组间离差平方和可以发现 当按第 个 (3)20 , 3 间隔分组时 组间离差平方和最大 x 12×1+13×3+14×6+15×4+16×4+17×2 , , = 所以将竞赛成绩分成的两组是{ }和{ }. 20 15,15,18 24 . 万元 . 4.解 将 个数据由小到大排序 =14 65( ) : 8 : 答 估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额为 . : 21,22,23,23,23,24,24,25 . 万元. 14 65 第一组离 第二组离 3. 4. 分组 组内离差平方和 B 4 10 差平方和 差平方和 5.解 :(1)126 2 补图如图所示. 第 个间隔 . . (2) 1 0 5 714 5 714 第 个间隔 . . . 2 0 5 3 333 3 833 第 个间隔 . . 3 2 2 8 4 8 第 个间隔 . . 4 2 75 2 4 75 第 个间隔 . . . 5 3 2 0 667 3 867 第 个间隔 . . . 6 5 333 0 5 5 833 第 个间隔 . . . 分 分 7 6 857 0 6 857 (3)①7 5 8 观察最后一列组内离差平方和可以发现 当按第 个 间隔分组时 组内离差平方和最小.因此将 , 这 株水 2 稻 ② x 甲= 7×10+8×1+9×2+10×7 =8 . 3( 分 ), , 8 20 苗按苗高高矮分成的两组是 . {21,22},{23,23,23,24, x 乙= 7×7+8×4+9×5+10×4 =8 . 3( 分 ) . 24,25} 20 《数据的分析》章末考点复习与小结 因为甲 乙两队成绩的平均数相同 均为 . 分 但乙 、 , 8 3 , 【知识网络】由小到大 或由大到小 中间位置 最中间 队成绩的中位数 分大于甲队成绩的中位数 . 分 ( ) 8 7 5 , 位置的两个数据 次数最多 越大 越小 第一四分 故乙队的成绩较好. 位数 6. 9 【考点突破】1 2 3 4. 分 7.解 . . .C .C .D 83 :(1)5 3 0 82 0 89 5. . (1)8 5 (2)2 026 5+4+2+3 户 . 6.解 甲 . (2)300× =210( ) :(1) 27 5 29 20 甲的表现更好 理由如下 答 估计今年一季度该村家庭人均收入不低于 . 万元的 (2) , : : 0 8 因为甲的平均每场得分 . 大于乙的平均每场得分 户数为 户. 26 5 210 所以甲的表现更好. 答案不唯一 样本中的中位数为 . 万元 梁飞家今年一季度 26, ( ) (3)∵ 0 82 , 甲的综合得分为 . . . 人均收入为 . 万元 . . (3) 26 5×1+8×1 5+2×(-1)=36 5, 0 83 ,0 83>0 82, 乙的综合得分为 . . 梁飞家今年一季度人均收入能超过村里一半以上 26×1+10×1 5+3×(-1)=38 ∴ . 乙的表现更好. 的家庭. ∵ 36 5<38,∴ 7.解 8. 9 10.乙 :(1)69 69 70 D .C 数学八年级 下册 ( )·R 6 1试卷部分 《二次根式》章末达标检测卷 25.解 若只裁小正方形 其边长为 :① , 6 cm, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .B .C .D .C .B .A .A .C .D 10 ∵ 2 6<4 2<3 6, .D 长方形木板的宽可裁 块小正方形. ∴ 2 11. = 12. -1 13. 6 14. 2 2 15. -1 16. 1+ 7 又 长方形木板的长为 可裁 块小正形 ∵ 3 6 cm, 3 , 17.解 原式 3 4 3. ∴ 这块长方形木板可以裁 6 块面积为 6 cm 2 的正方形 :(1) =3 3-2 3+ = 如答案图 所示 3 3 ( 1 ); 原式 4 . (2) =(4 3-5 3)× =-2 3 { a {a 18.解 由题意 可得 3- ≥0, 即 ≤3, : , a a . 2 -6≥0, ≥3 a b . ∴ =3,∴ =4 当腰长为 时 三角形的三边长分别为 周长 图 图 3 , 3,3,4, 1 2 为 答案图 10; ( ) 当腰长为 时 三角形的三边长分别为 周长 若裁大正方形 其边长为 4 , 4,4,3, 为 . ② , 3 2 cm, 11 19.解 这个长方体的底面边长是 ∵ 3 2<4 2<2×3 2,3 2<3 6<2×3 2, : 长方形木板的宽只能裁 块面积为 2 的正 . . . ∴ 方形. 1 18 cm 48-2 3=4 3-2 3=2 3≈2×1 732≈3 5(cm) 这个长方体的高是 . . . 余下的宽为 不够裁小正方形 余下 答 这个长方体的底面边 3 长 ≈ 和 1 高 73 分 2≈ 别 1 是 7(c . m ) 和 . . 4 2-3 2= 2< 6 , : 3 5cm 1 7cm 的长为 . a2 a (3 6-3 2)cm 20.解 原式 -1+2 +1 a2 a2 a : = a +1 ·a2 +1 + -3- -3 ∵ 余 6 下 <3 的 6 长 - 只 3 够 2< 裁 2 6, 块 2 小 6 正 <4 方 2 形 <3 余 6 下 , 的宽可裁 块 a2 +1 a +1 a ∴ 小正方形 1 , 2 = a +1 ·a2 +1 -3 -3 这块长 , 方形木板共可裁出 块面积为 2 的大 =1- a 3 a - . 3 ∴ 正 所 方 示 形 . 和 2 块面积为 6 cm 2 的 1 小正方形 ( 1 如 8 c 答 m 案图 2 =-3 -2 ) 当a 时 原式 . 综上所述 共有 种裁割方案 一种是裁成 块面积为 = 2-1 , =-3( 2-1)-2=-3 2+1 , 2 : 6 21.解 由已知x y 得 2 的正方形 另一种是裁成 块面积为 2 的 x : y x y =2- 3 . , =2+ 3, 6 大 c 正 m 方形和 2 块 , 面积为 6 cm 2 的 1 小正方形. 18 cm + =4, - =-2 3 《勾股定理》章末达标检测卷 原式 x y 2 2 . (1) =( + ) =4 =16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 原式 x y x y . .B .D .B .B .A .D .B .B .D (2) =( + )( - )=4×(-2 3)=-8 3 10 .C 22.解 它的周长 x 1 x 5x 4 11. 12. 2 13. 14. 15. :(1) =5 + 20 + x 2 120 cm 2π 2 13 cm 5 5 2 4 5 16.13 x x x 5 2 = 5 + 5 + 17.解 DE DF DC EF 2 :∵ = , ⊥ , CE CF. 5 x. ∴ = = 5 在 DCE中 根据勾股定理 得 2 Rt△ , , 当x 时 此时三角形的周长 5 . CE = DE2 - DC2 = 17 2 -8 2 =15(cm) . (2) =20 , = 5×20=25 EF CE . 2 ∴ =2 =30 cm 答案不唯一 符合题意即可 ( , ) ∴ S △ DEF = 1EF · DC = 1 ×30×8=120(cm 2 ) . 23.解 1 1 . 2 2 :(1)5 ,6 18.解 如答案图所示 ABC 即为所求作的三角形. 6 7 :(1) ,△ 答案不唯一 ( ) 1 13×15+1 196 1 . (2) 13+ = = =14 15 15 15 15 n 1 n 1 n . (3) +n =( +1) n ( ≥1) +2 +2 24.解 2 2 :(1)5-2 6=3+2-2 6=( 3) +( 2) -2 2× 3 2 =( 3- 2) , 2 . ∴ 5-2 6 = ( 3- 2) = 3- 2 答案图 ( ) 2 2 2 (2)4+2 3=3+1+2 3=( 3) +1 +2× 3×1=( 3+1) , 2 2 2 (2)∵ 2 +3 =13=( 13) , 2 . ABC是直角三角形. ∴ 4+2 3 = ( 3+1) = 3+1 ∴ △ 数学八年级 下册 ( )·R 6 219.解 在 ACD中 由勾股定理 得 23.解 没有考虑a2 b2 的情况 : Rt△ , , :(1)③ (2) - =0 正确的解答如下 A ∵ C 1 = 0 2 A + B 2 A C 4 D 2 是 2 = + 直 2 D 6 C 角 2 2 , 三 即 = 角 AC 6 形 2 2 + + . B 8 2 C = 2 = 10 A ( B c 2 m , ) . (3) ∵ ∴ a c2 2 ( c a 2 - 2 - b2 b c 2 2 ) = = a ( 4 - a : 2 b + 4 , b2 )( a2 - b2 ), ∴ △ 即 a2 b2 c2 a2 b2 . ∴ 四边形ABCD的面积为1 ×10×24- 1 ×6×8=96(cm 2 ) . ∴ ( a2 - b - 2 = ) 0 ( 或 - c2 - - a2 - ) b = 2 = 0 0 . 20.解 图 是直角梯形. 2 2 当a2 - b2 =0 时 , 有a = b , 此时三角形为等腰三角形 ; :(1) 3 当c2 a2 b2 时 有c2 a2 b2 此时三角形为直角三 - - =0 , = + , ∵ S 梯形= 1 ( a + b )( a + b )= 1 ( a2 +2 ab + b2 ), 角形 ; 2 2 当a2 b2 且c2 a2 b2 时 有a b c2 a2 b2 此 - =0 - - =0 , = , = + , S 梯形=2× 1ab + 1c2 = ab + 1c2 , 时三角形为等腰直角三角形. 2 2 2 综上所述 ABC 可能是等腰三角形 直角三角形或 ,△ 、 1 a2 ab b2 ab 1c2 整理 得a2 b2 c2. 等腰直角三角形. ∴ ( +2 + )= + , , + = 2 2 24.解 由题意 得 ADC ° ° ° 如答案图所示. :(1) , ∠ =45 +45 =90 , (2) ACD ° ° ° CD 米 ∠ =45 +15 =60 , =300 , DAC ° ∴ ∠ =30 , AC 米 ∴ =600 , 在 ADC中 AD 米 ∴ Rt△ , =300 3 , 点D到点A的距离是 米. ∴ 300 3 小明的朋友在 分钟内不能通过隧道AB 理由如下 答案图 (2) 15 , : ( ) 如答案图 过点D作DH AB 21.解 四边形OABC是长方形 , ⊥ :∵ , 于点H 易知 ADH是等腰 AB OC BC OA . , △ ∴ = =8, = =10 直角三角形 由折叠的性质 可知AE OA OD OE. , 在 ABE中 , 由勾股定 = 理 = 得 10, = ∴ AD2 = AH2 + DH2 =2 AH2 , Rt△ , , BE AE2 AB2 . DH AH 2AD 米. = - =6 ∴ = = =150 6 CE BC BE . E . 2 ∴ = - =4 ∴ (4,8) BHD ° BDH ° 答案图 设OD DE x 则DC x. ∵ ∠ =90 ,∠ =60 , ( ) = = , =8- ABD ° 在 DCE中 由勾股定理 得 ∴ ∠ =30 , Rt△ , , DC2 + CE2 = DE2 , 即 (8- x ) 2 +4 2 = x2. ∴ BD =2 DH =300 6 米. 解得x 即OD . 在 BDH中 BH 米 =5, =5 ∴ Rt△ , =450 2 , D . AB BH AH . . 22. ∴ 解 过 (0 点 ,5) A作AE OM 于点 E 过点 B 作 BF OM 于 ∴ = 米 + . =450 2+150 6≈450×1 41+150×2 45 点 : F 如答案图所 ⊥ 示 , ⊥ =1 002( ) . 分钟 分钟 , , ∵ 1 002÷60=16 7 >15 , 小明的朋友在 分钟内不能通过隧道AB. ∴ 15 25.解 AC CE的长为 x 2 x2 . :(1) + (8- ) +25+ +1 当A C E三点共线时 AC CE的值最小. (2) , , , + 如答案图所示 作BD (3) , =12, 过点B 作 AB BD 过点 D作 ⊥ , ED BD ⊥ , 答案图 使AB ED 连接 AE 交 答案图 ( ) =2, =3, ( ) 则 OEA BFO °. BD于点C. ∠ =∠ = 90 ∵ ∠ AOE +∠ BOF =∠ BOF +∠ OBF =90 ° , 设 BC = x , 则 AE 的 长 即 为 代 数 式 x2 +4 + AOE OBF. ∴ ∠ =∠ { AEO OFB (12- x ) 2 +9 的最小值. ∠ =∠ , 过点A作AF BD交ED的延长线于点F 在 AOE和 OBF中 AOE OBF ∥ , △ △ , ∠ =∠ , 则AB DF AF BD . OA BO = =2, = =12 AOE OBF = OE , BF AE OF ∴ AE = AF2 + EF2 = 12 2 +(3+2) 2 =13 . ∴ △ ≌△ (AAS),∴ = , = , OE OF BF AE CD . x2 x 2 的最小值为 . ∴ + = + = =17 m ∴ +4+ (12- ) +9 13 EF EM FM AC BD 《四边形》章末达标检测卷 ∵ = - = - =10-3=7(m), OE OF OE EF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴ + =2 + =17 m, .A .D .D .B .B .D .C .B .C OE BF OE OF 10 ∴ 2 =17-7=10(m),∴ = =5 m, =12 m, .C AE OF OM OF FM . ∴ = =12 m, = + =12+3=15(m) 11.八 12. 13.24 14.5 3 15. 在 AOE 中 由勾股定理 得 OA AE2 OE2 (8,3) 2 2 Rt△ , , = + = 5 2 2 2 12 +5 =13(m), 16. 5 或5 3 ON OA MN OM ON . ∴ = =13 m,∴ = - =15-13=2(m) 3 3 数学八年级 下册 ( )·R 6 317.证明 如答案图所示 连接BD交AC于点O. OD OB . : , ∴ = =2 由 知四边形OCED是矩形 (1) , CE OD OCE ° ∴ = =2,∠ =90 , AE AC2 CE2 2 2 . ∴ = + = (4 3) +2 =2 13 22. 证明 四边形ABCD是矩形 (1) :∵ , AB DC AD BC 即AF EC. 答案图 ∴ ∥ , ∥ , ∥ ( ) BAC DCA. 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠ =∠ ∵ , OA OC OB OD. 由折叠的性质 可知 BAE EAC 1 BAC ∴ = , = , ∠ =∠ = ∠ , 又 AE CF OA AE OC CF 即OE OF. 2 ∵ = ,∴ - = - , = 四边形BEDF是平行四边形. DCF FCA 1 DCA ∴ ∠ =∠ = ∠ , EBF FDE. 2 ∴ ∠ =∠ EAC FCA. AE FC. 18.解 作图如答案图. ∴ ∠ =∠ ∴ ∥ :(1) 四边形AECF是平行四边形. ∴ 解 由折叠的性质 可知AM AB ME BE (2) : , = =6, = , CM AC AM . ∴ = - =4 在 ABC中 BC AC2 AB2 Rt△ , = - =8, 答案图 设CE x 则ME BE BC CE x ( ) = , = = - =8- , CE DE 四边形BDEF是平行四边形 在 CME中 由勾股定理 得 (2)① = ② Rt△ , , BFD EDF BF BD ME2 CM2 CE2 即 x 2 2 x2. ③∠ =∠ ④ = + = , (8- ) +4 = 19.证明 连接AC 如答案图. 解得x 即CE . : , =5, =5 在 DAC 中 H G 分别是 S CE AB . △ , , ∴ 四边形AECF= · =5×6=30 DA CD的中点 23. 证明 BE CF分别为 ABC BCD的平分线 , , (1) :∵ , ∠ ,∠ , HG AC HG 1AC. CBE 1 ABC BCF 1 BCD. ∴ ∥ , = ∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ 2 2 2 同理 可得 EF AC EF 四边形ABCD是平行四边形 , ∥ , = ∵ , AB CD. 1AC. ∴ ∥ 答案图 ABC BCD °. 2 ( ) ∴ ∠ +∠ =180 HG EF 且HG EF. ∴ ∥ , = CBE BCF 1 ABC 1 BCD 1 ABC 四边形EFGH是平行四边形. ∴ ∠ +∠ = ∠ + ∠ = (∠ + ∴ 2 2 2 20. 证明 四边形ABCD为正方形 BCD °. (1) :∵ , ∠ )=90 AD AB DC BC D B °. CGB ° CBE BCF °. ∴ = = = ,∠ =∠ =90 ∴ ∠ =180 -(∠ +∠ )=90 E F分别为DC BC的中点 BE CF. ∵ , , , ∴ ⊥ 解 如答案图 过 DE 1DC BF 1BC. (2) : , ∴ = , = 点E 作 EP FC 2 2 ∥ , DE BF. 交 BC 的延长线 ∴ = ADE ABF . 于点P ∴ △ ≌△ (SAS) , 解 由题意 可知 ABF ADE CEF均为直角三角 则四边形 CPEF 答案图 (2) : , △ ,△ ,△ ( ) 是平行四边形 形 且AB AD DE CE BF CF 1 , , = =4, = = = = ×4=2, EP CF . 2 ∴ = =2 由 可知S S BE平分 ABC (1) △ ADE= △ ABF, ∵ ∠ , ABE CBE. S S S S AB AD 1 AD ∴ ∠ =∠ ∴ △ AEF= 正方形ABCD-2 △ ADE- △ CEF= · -2· 在 ABCD中 AD BC 2 ▱ , ∥ , AEB CBE. ABE AEB. DE 1CE CF 1 1 . ∴ ∠ =∠ ∴ ∠ =∠ · - · =4×4-2× ×4×2- ×2×2=6 AE AB DE AD AE . 2 2 2 ∴ = =3,∴ = - =2 21. 证明 由题意 得CE DO DE CO 同理DF DC . (1) : , ∥ , ∥ , = =3 四边形OCED是平行四边形. EF DF DE CP EF . ∴ ∴ = - =1,∴ = =1 四边形ABCD是菱形 AC BD BP BC CP . ∵ ,∴ ⊥ , ∴ = + =6 COD ° 四边形OCED为矩形. 由 知BE CF BE EP. ∴ ∠ =90 ,∴ (1) ⊥ ,∴ ⊥ (2) 解 :∵ 四边形ABCD是菱形 , AC =4 3, 在 Rt△ BPE中 , 由勾股定理 , 得BE = BP2 - EP2 =4 2 . 24. 证明 AF平分 BAD BAF DAF. OA OC 1AC OB OD 1 BD AC BD CD (1) :∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ ∴ = = =2 3, = = , ⊥ , 四边形ABCD是平行四边形 AD BC AB CD 2 2 ∵ ,∴ ∥ , ∥ , CB. DAF CEF BAF CFE = ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ , BCD ° BCO DCO °. CEF CFE CE CF. ∵ ∠ =60 ,∴ ∠ =∠ =30 ∴ ∠ =∠ ,∴ = 设OB x 则BC x 又 四边形ECFG是平行四边形 = , =2 , ∵ , 在 BCO中 由勾股定理 得OC2 OB2 BC2 四边形ECFG为菱形. Rt△ , , + = , ∴ 即 2 x2 x 2 解得x 解 四边形ABCD是平行四边形 (2 3) + =(2 ) , =2, (2) :∵ , 数学八年级 下册 ( )·R 6 4AB DC AB DC AD BC. 点G是AF的中点 AG FG. ∴ ∥ , = , ∥ ∵ ,∴ = ABC ° BCD ° BCF °. 又 DGF NGA DG NG ∵ ∠ =120 ,∴ ∠ =60 ,∠ =120 ∵ ∠ =∠ , = , 由 知 四边形CEGF是菱形 DGF NGA (1) , , ∴ △ ≌△ (SAS), DF NA DFG NAG DF AN CE GE BCG 1 BCF ° ∴ = ,∠ =∠ ,∴ ∥ , ∴ = ,∠ = ∠ =60 , ADF DAN ° 2 ∴ ∠ +∠ =180 , ECG是等边三角形 DCG ° DAN ° ADF ° EDF ADE ° ∴ △ ,∠ =120 , ∴ ∠ =180 -∠ =180 -∠ -∠ =90 CG GE CE. ADE. ∴ = = -∠ EG DF BEG ° DCG. CDE ADC ADE ° ADE ∵ ∥ ,∴ ∠ =120 =∠ ∵ ∠ =∠ -∠ =90 -∠ , AE是 BAD的平分线 DAE BAE. CDE DAN. ∵ ∠ ,∴ ∠ =∠ ∴ ∠ =∠ AD BC DAE AEB BAE AEB DE DF DF NA DE NA. ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ , ∵ = , = ,∴ = AB BE BE CD BEG DCG 又 CD DA CDE DAN CE DN. ∴ = ,∴ = ,∴ △ ≌△ (SAS), ∵ = ,∴ △ ≌△ (SAS),∴ = BG DG BGE DGC BGD CGE °. DN DG CE DG. ∴ = ,∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ =60 ∵ =2 ,∴ =2 BDG是等边三角形 BDG °. BE ∴ △ ,∴ ∠ =60 的值为 或 . 解 如答案图 连接BM MC BD (3)AE 1 2-1 (3) : , , , , 提示 设正方形ABCD的边长为a AE x 则BE a x. : , = , = - 分两种情况 : 当BF CF时 过点 F 作 FO BC 于点 O 作 FP ① = , ⊥ , ⊥ AB交AB的延长线于点P 如答案图 . , 3 BF CF FO BC OB 1BC 1a. ∵ = , ⊥ ,∴ = = 答案图 2 2 ( ) 易知四边形OBPF是矩形 FP OB 1a. ABC ° 四边形ABCD是平行四边形 ,∴ = = ∵ ∠ 四边形 = A 9 B 0 CD , 是矩形. , 由旋转知 DEF ° DE EF 2 ∴ 四边形ECFG为菱形 ECF ABC ° ∠ =90 , = , ∵ 四边形ECFG为正方 , 形 ∠ . =∠ =90 , ∴ 又 ∠ DE D A E + A ∠ FE E P D = A 90 °. ° FEP EDA. ∴ ∵ M C 为 EM EF的中 EC 点 M ,∴ E ° M = CM B , EM DCM °. 又 ∵ ∵ ∠ ∠ FPE + = ∠ ∠ EAD = = 9 9 0 0 ° , , ∴ DE ∠ = EF , =∠ ∴ ∠ BAF =∠ DAF =45 AE , B ∴ ∠ BE A = B ∠ DC. =135 ∴ △ FPE ≌△∠ EAD (AAS),∴ FP = EA. ∵ ∠ =∠ =∠ ,∴ = = {BE DC a 1a = , BE a x - 在 BME和 DMC中 BEM DCM 即x 1a - 2 △ △ , ∠ =∠ , = ,∴ AE= x = =1; EM CM 2 1 a = , BME DMC 2 ∴ △ ≌△ (SAS), MB MD DMC BME. ∴ = ,∠ =∠ BMD BME EMD DMC EMD ° ∴ ∠ =∠ +∠ =∠ +∠ =90 , BMD是等腰直角三角形. ∴ △ AB AD BD . ∵ =6, =8,∴ =10 在 BMD中 由勾股定理可求得DM 2BD . Rt△ , = =5 2 答案图 答案图 25.解 如答案图 过点M作MH AD于 2 点H. ( 3) ( 4) :(1) 1, ⊥ 当BF BC a时 过点F作FQ AB交AB的延长 AC是正方形ABCD的对角线 DAC ° ② = = , ⊥ ∵ ,∴ ∠ =45 , 线于点Q 如答案图 . AHM是等腰直角三角形 , 4 ∴ △ , 同理可证 FQE EAD △ ≌△∠ (AAS), FQ EA x EQ DA a HM AH 2AM . ∴ = = , = = , ∴ = = = 2 BQ EQ BE a a x x. 2 ∴ = - = -( - )= ∵ ∠ ADE =30 ° , MH ⊥ AD , 在 Rt△ BFQ中 , 由勾股定理 , 得BF2 = BQ2 + FQ2 , ∴ DM =2 HM =2 2,∴ DH = DM2 - HM2 = 6, 即a2 = x2 + x2 , 解得a = 2 x ( 负值舍去 ), AD DH AH 即正方形的边长为 . BE a x x x ∴ = + = 6+ 2, 6+ 2 - 2 - . ∴ AE= x = x = 2-1 BE 综上 的值为 或 . ,AE 1 2-1 《函数》及《一次函数》章末达标检测卷 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .B .B .D .C .A .A .A .C .C 10 .A 11. 12.y x 13.y x x (-1,-3) =2 +1 =4 ( >40) 答案图 答案图 14.x . 15. 16. ( 1) ( 2) >1 5 4 (1,3) CE DG.证明如下 17.解 将点 代入y kx 得 k (2) =2 : :(1) (3,-6) = , -6=3 , 如答案图 延长DG至点N 使DG NG 连接AN. 解得k . 2, , = , =-2 数学八年级 下册 ( )·R 6 5这个函数的解析式为y x. 答 A B两种品牌计算器的单价分别为 元 元. ∴ =-2 : , 30 ,32 函数图象如答案图所示 图象过点 . 由题意 得y . x 即y x. (2) , (0,0),(1,-2) (2) , 1=0 8×30 , 1=24 当 x 时 y x 0≤ ≤5 , 2=32 ; 当x 时 y x . . x . >5 { , x 2=32 x ×5+32( -5)×0 7=22 4 +48 y 32 (0≤ ≤5), ∴ 2= . x x . 22 4 +48( >5) 当购买数量超过 个时 y . x . 答案图 (3) 5 , 2=22 4 +48 ( ) 当y y 时 x . x 解得x . 将点A B . 分别代入 中的解析式 ① 1< 2 ,24 <22 4 +48, <30 (3) (4,-2), (-1 5,3) (1) , 即当购买数量超过 个而不足 个时 购买 A 品牌 可知点A 不在这个函数图象上 5 30 , (4,-2) , 计算器更合算 点B . 在这个函数图象上. ; (-1 5,3) 当y y 时 x . x 解得x . 18.解 由题意可知 m 解得m . ② 1= 2 ,24 =22 4 +48, =30 :(1) , -2=0, =2 即当购买数量为 个时 购买两种品牌的计算器花 由题意可知 m 解得m . 30 , (2) ,8- <0, >8 费相同 由题意可知 m 且m 解得 m . ; (3) ,8- >0, -2>0, 2< <8 当y y 时 x . x 解得x . 19.解 y 与x成正比例 设y kx k ③ 1> 2 ,24 >22 4 +48, >30 :(1)∵ -3 ,∴ -3= ( ≠0), 即当购买数量超过 个时 购买 B 品牌计算器更 把x y 代入 得 k 解得k . 30 , =2, =7 , 7-3=2 , =2 合算. y与x之间的函数关系式为y x . ∴ =2 +3 24.解 直线y x 可变形为 x y 其中k :(1)∵ =3 -2 3 - -2=0, = 把x 1代入 中的关系式 b (2) =- (1) , 3, =-2, 2( ) ∴ 点 P (1,1) 到直线 y = 3 x - 2 的距离为 d = 得y 1 . =2× - +3=2 3×1-1-2 2 =0, 设平移后直线的解析式为y x b 1+3 2 (3) =2 +3+ , 点P 在直线y x 上. 把点 代入 得 b ∴ (1,1) =3 -2 (2,-1) , -1=2×2+3+ , 直线y x 可变形为 x y 其中 k b 解得b . (2)∵ =2 -1 2 - -1=0, =2, = =-8 平移后直线的解析式为y x . -1, ∴ =2 -5 点 P 到直线 y x 的距离为 d 20.解 . . ∴ (2,-1) = 2 -1 = :(1)250 (2)8 设线段BC所对应的函数解析式为 (3) 2×2-(-1)-1 4 5. y kx b 根据题意 得 = { 3 = 00 + 0= , 20 k k + b b ,解得 , {k b =200 , . (3)∵ 直 任 线 取 1 直 y + = 2 线 2 - x y +1 与 x y 5 = 上 - x 的 +3 一 平 点 行 到 , 直线 y x 的距 故 4 线 00 段 0= B 2 C 5 所 + 对 , 应的函数 =- 解 1 析 00 式 0 为 ∴ 离即为两条直 = 线 - 之 + 间 1 的距离. =- +3 y x . 取直线y x 上的一点P 它到直线y x 21.解 =200 y -1 000 x x . 的距离为 =- +1 (0,1), =- +3 :(1) =8-2 (0< <4) 点P在第一象限 (2)∵ , d 0-1+3 2 S 1OA y 1 ( x) x x . = 2 = = 2, ∴ = · = ·6· 8-2 =24-6 (0< <4) 1+(-1) 2 2 2 即两条直线之间的距离为 . 假设 OAP的面积能够达到 即 x . (3) △ 30, 24-6 =30 25.解 在y x 中 当y 2 时 x A . 解得x . :(1) =- -4 , =0 , =-4,∴ (-4,0) 这与点 = P - 在 1< 第 0 一象限矛盾 设直线AB的解析式为y = kx +2 .代入A (-4,0), 得 , OAP的面积不能达到 . k 解得k 1 ∴ △ { x x 30 0=-4 +2, = , 22.解 y - +12(0< ≤4), 2 :(1) = x x . -2 +16(4< <8) 直线AB的解析式为y 1x . 作图如答案图所示. ∴ = +2 (2) 2 在y x 中 当x 时 y C . (2) =- -4 , =0 , =-4,∴ (0,-4) A B C OA OC OB ∵ (-4,0), (0,2), (0,-4),∴ = =4, =2, BC . ∴ =6 ( ) 易知点P在射线BA上 设点P m 1 m m . , , +2 ( <0) 2 当点P在线段AB上时 如答案图 . ① , 1 S S S S S ∵ △ APC= △ AOC,∴ △ ABC- △ PBC= △ AOC, 即1 1 m 1 解得m 4 答案图 ×6×4- ×6×(- )= ×4×4, =- , ( ) 2 ( 2 ) 2 3 性质 在x的取值范围内 y随x的增大而减小. : , P 4 4 . ∴ - , ; (3)8 3 3 23.解 设A品牌计算器的单价为m元 B品牌计算器 当点P′在线段BA的延长线上时 如答案图 . :(1) , ② , 1 的单价为n元 S S S S S { , m n {m ∵ △ AP′C= △ AOC,∴ △ P′BC- △ ABC= △ AOC, 则由题意 得 2 +3 =156,解得 =30, 即1 m 1 1 解得m 20 , m n . n . ×6×(- )- ×6×4= ×4×4, =- , 3 + =122 =32 2 2 2 3 数学八年级 下册 ( )·R 6 6( ) ∴ P′ - 20 ,- 4 . ∴ a - b = x 1+ x 2 -x 2 x 1 x x 2 = ( x x 1- x x 2) 2 >0, 即a > b , 3 3 ( ) ( ) 2 1+ 2 2( 1+ 2) 综上所述 点P的坐标为 4 4 或 20 4 . 乙的方式合算. , - , - ,- ∴ 3 3 3 3 20.解 1 分 :(1) ×(90+76+80)=82( ), 3 小宇的期末总评成绩是 分. ∴ 82 设小明在期末考试的成绩为x分. (2) x 由题意 得81×2+71×3+5 解得x . , =80, =85 2+3+5 小明在期末考试中的成绩是 分. ∴ 85 21.解 英语. 小红高. 不能. 答案图 答案图 :(1) (2) (3) ( 1) ( 2) 英语更集中.理由略. 如答案图 当点Q在点B右侧时. (4) (3)① 2, 22.解 八 班学生的平均成绩 OA OC OAC OCA °. :(1) (1) ∵ = =4,∴ ∠ =∠ =45 BAO BCQ QAC QCA x 1 ∵ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ , 1= ×(50+55+95+80+90+85+100+100+85+60)= QA QC QO垂直平分AC 10 ∴ = ,∴ , 分 . 点Q在直线y x上. 80( ) ∴ = 八 班学生的平均成绩 (2) 令x 1x 解得x Q = +2, =4,∴ (4,4); x 1 分 . 2 2= ×(85+75+70+95+100+90+65+70+80+70)=80( ) 如答案图 当点Q在点B左侧时 设CQ交OA于 10 ② 3, , 八 班成绩的方差s2 八 班成绩的方差s2 . 点M. (2) (1) 1=310, (2) 2=130 由 的计算 可知八 班学生之间的成绩差异 BAO MCO OA OC AOB COM ° (3) (1)(2) , (1) ∵ ∠ =∠ , = ,∠ =∠ =90 , 比八 班学生之间的成绩差异明显要大得多 因此 AOB COM (2) , ∴ △ ≌△ (ASA), 八 班学生实施分层教学的效果会更好. OM OB M . (1) ∴ = =2,∴ (-2,0) 23.解 . 图略. 易得直线CM的解析式为 :(1)1 250;0 4; . 册 . y x . (2)6 000×0 20=1 200( ) =-2 -4 如A B C D四种书刊的定购册数的比例为 (3) , , , 5 4 3 8 令 x 1x 等 合理即可 . -2 -4= +2, ( ) 2 24.解 平均数 1 解得x 12 :(1) : ×(163+171+159+161+174+164+ =- , 8 5 ( ) 答案图 164+164)=165(cm); Q 12 4 . ( 3) 名同学的身高 单位 从小到大排列如下 ∴ - , 8 ( :cm) : 5 5 . ( ) 159,161,163,164,164,164,171,174 综上所述 点Q的坐标为 或 12 4 . , (4,4) - , 中位数 164+164 5 5 : =164(cm); 《数据的分析》章末达标检测卷 2 众数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 :164 cm .B .D .A .B .B .A .B .B .B 列表如下 10 (2) : .C 第一组离 第二组离 组内离 11.众数 12. 24 13. 8 14. 35 % 15. 9 s2 16. 4 . 5 分组 差平方和 差平方和 差平方和 7 . . . 17. 解 0×2+1×2+1 5×6+2×8+2 5×12+3×13+3 5×4+4×3 第 个间隔 . . :(1) 1 0 134 857 134 857 50 . 小时 . 第 个间隔 . . =2 44( ) 2 2 107 333 109 333 答 该班学生每周做家务劳动的平均时间为 . 小时. : 2 44 第 个间隔 . . 这组数据的众数是 小时 中位数是 . 小时 上四 3 8 91 2 99 2 (2) 3 , 2 5 , 分位数是 小时 下四分位数是 小时. 第 个间隔 . . . 3 , 2 18.解 这 天的平均日销售量为 4 14 75 76 75 91 5 :(1) 8 第 个间隔 . . . 1 听 . 5 18 8 52 667 71 467 ×(33+32+28+32+25+24+31+35)=30( ) 8 第 个间隔 . . 听 . 6 21 5 4 5 26 (2)30×181=5 430( ) 答 估计上半年该店销售了这种饮料约 听. 第 个间隔 . . : 5 430 7 83 429 0 83 429 x x 19.解 不正确.甲平均每千克白糖的单价a 1+ 2 乙平 观察最后一列组内离差平方和可以发现 当按第 个 : = , , 6 2 间隔分组时 组内离差平方和最小 因此将这 名男 x x , , 8 均每千克白糖的单价b 2 2 1 2. 生分成两组是 {159,161,163,164,164,164},{171, = =x x . 1 1 1+ 2 174} x +x 25.解 % % % 人 . 1 2 :(1)(6+12+2+5)×(44 +4 +36 )=21( ) x x x x 从上到下 从左到右 . ∵ 1>0, 2>0, 1≠ 2, (2)( , )90;80 数学八年级 下册 ( )·R 6 7从平均数的角度看 两班成绩一样 均为 . 分 答 有机水果蓝莓每千克的购进价格是 元 樱桃每千克 (3)① , , 87 6 , : 20 , 从中位数的角度看一班为 分 比二班 分的成 的购进价格是 元. 90 , 80 15 绩好 设该水果店将获得利润是W元 ; (2) , 从平均数的角度看 两班成绩一样 均为 . 分 每天购进有机水果蓝莓和樱桃共 千克进行销 ② , , 87 6 , ∵ 500 从众数的角度看二班 分比一班 分的成绩好 售 但投入资金不超过 元 100 90 ; , 9 000 , 从B级以上 包括 B 级 的人数的角度看 一班有 x x 解得x . ③ ( ) , ∴ 20 +15(500- )≤9 000, ≤300 人 二班有 人 一班比二班的成绩好. 根据题意 得W x x x 18 , 12 , , =(35-20) +(25-15)(500- )= 5 + 八年级数学(下)期末达标检测卷 . 5 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 W随x的增大而增大 .B .B .C .D .C .C .B .C .D ∵ 5>0,∴ , 10 当x 时 W取最大值 最大值为 .C ∴ =300 , , 5×300+5000= 元 . 11.六 12. 3 13. . 14.x 15. 6 500( ) 7 5 <-2 12 答 当x为 时 该水果店将获得最大利润 最大利润是 2 : 300 , , 16. 元. 172 314 6 500 { t t 17. (1) 解 : 原式 =1+9× 2 3 - ( 3-1 ) +2 3 23.解 :(1) y 1= - 8 8 ( t 0 + < 64 ≤ (4 4 < ) t , <8) . y 2=4 t (0< t <8) . 3 作图如答案图. (2) =1+6 3- 3+1+2 3 . =7 3+2 解 原式 (2) : =25-12-(28+4 7+1) . =-16-4 7 18.解 作图如答案图. :(1) 答案图 ( ) 答案图 DEC ° BFC D CD 性质 当 t 时 y 随 ( t的增大 ) 而增大 当 t 时 1 ( 9 2) .解 ①∠ ②90 ③∠ =∠ ④ y 随 : t的 0 增 < 大 <4 而减 , 小 1 . 答案不唯一 ; 4< <8 , 根 : 据 (1 以 ) 上 85 数 据 100 我 2 认 9 为高中学部的电教委员对多媒体 1 ( ) t . . (2) 设备操作的知 , 识掌握更好.理由如下 2 ( 4 3) .解 0< <5 3 易得B C . : 因为高中学部的中位数 高于初中学部的中位数 设 : 直 ( 线 1) BC的解 (0 析 ,6 式 ), 为 ( y 3, k 0 x ) b k . 说明高中学部掌握得更 88 好. 答案不唯一 = { + b ( ≠0) {k 85, ( ) 把B C 代入 得 =6, 解得 =-2, 6+6 人 . (0,6), (3,0) , 3 k + b =0, b =6, (3)240× =96( ) 直线BC的解析式为y x . 15+15 ∴ =-2 +6 答 此次测试成绩达到 分及以上的电教委员约有 : 90 人. 96 20.解 原式 x2 xy y2 x2 y2 xy y2 : = +2 + - + + -2 xy. =3 当x y 时 = 5- 3, = 5+ 3 , 原式 . =3×( 5- 3)×( 5+ 3)=6 21.解 在 ABC中 CAB ° :(1) Rt△ ,∠ =90 , 答案图 答案图 答 A 由勾 B 股 两 定 点 理 间 , 得 的距 AB 离 = 为 BC 2 - AC 2 = . 1 300 2 -500 2 =1 200(m), ABM ( 与 ACM 1) 的面 积比为 ( B 2 M ) CM . : , BE AB 1 20 0 m AE . (2)∵ △ B C △ 易得M 1∶2, . ∴ ∶ =1∶2 (2)∵ 在 =4 A 0 D 0 E m 中 , = E 1 AD 200 m ° ,∴ =800 m ∵ 如答 ( 案 0, 图 6), 作 (3 点 ,0) N , 关 ∴ 于x轴的 (1 对 ,4 称 ) 点N′ 将点M向 Rt△ ,∠ =90 , 左平移 个 1, 单位长度得到点M′ 连接N′E , M′E 此时 由勾股定理得DE AE2 AD2 2 2 . 2 , , , , = + = 800+600 =1000(m) N′E NE M′E MF 当且仅当点 E 在直线 M′N′上 = , = ,∴ 由面积法 得1 AD AE 1DE AF 时 NE FM的值最小 即NE EF FM的值最小. , · = · , , + , + + 2 2 易得M′ N′ AD AE (-1,4), (-5,-1), ∴ AF = D × E = 600 ×800 =480(m), ∴ M′N′ = (-1+5) 2 +(4+1) 2 = 41, 1 000 答 玻璃廊桥AF的长为 . NE EF FM的最小值为M′N′ EF . : 480 m ∴ + + + = 41+2 22.解 设有机水果蓝莓每千克的购进价格是m元 樱 M 将点M沿着射线AB方向平移 个单位 :(1) , (3)∵ (1,4), 2 2 桃每千克的购进价格是n元 长度得到点M′ 相当于将点M分别向右 向上各平移 , , 、 { m n {m 个单位长度 M′ . 根据题意 得 40 +30 =1 250, 解得 =20, 2 ,∴ (3,6) , m n n . 分情况讨论 60 +20 =1 500, =15 : 数学八年级 下册 ( )·R 6 8当点P在y轴右侧时 连接BM′ 作直线MM′ 令直 案图 DFW °. ① , , , 3,∴ ∠ =90 线MM′交y轴于点K 如答案图 . , 2 易知AE 2AD 2AB 易得直线MM′的解析式为y x K . = = , B BM′ x轴 BK = +3 B , M ∴ ′ (0,3) 2 2 ∵ (0,6),∴ ∥ , =3= , M′BK为等腰直角三角形 BM′M ° EB AB AE AB 2AB 2- 2AB ∴ △ ,∠ =45 , ∴ = - = - = , 则此时点P与点M重合 P 2 2 ,∴ (1,4); 当点P在y轴左侧时 过点M′作P′M′ MM′交BC 2- 2AB ② , ⊥ S BE 于点P′ 过点 P′作 P′F M′B 交 M′B 的延长线于点 △ BCE 2 . F 则 P , ′M′B °. ⊥ ∴ S ADE =AE= = 2-1 , ∠ =45 △ 2AB 设P′ x x 则P′F M′F ( ,-2 +6), = , 2 x x 解得x P′ . 《二次根式》阶段测试卷 ∴ -2 +6-6=3- , =-3,∴ (-3,12) 综上 点P的坐标为 或 . 1 2 3 4 5 6 7.x 8. , (1,4) (-3,12) .A .C .C .C .B .C ≥2 3 25. 解 四边形ABCD是菱形 9.a 10. . (1) :∵ , 1 26 CD AD AB CD. ∴ = =4, ∥ 11. 解 原式 DE AB AED ° ADE ° A ° (1) : =3 3-2 6÷2 2 ∵ ⊥ ,∴ ∠ =90 ,∴ ∠ =90 -∠ =45 , =3 3- 3 DE 2AD . . ∴ = =2 2 =2 ( 3 ) 2 AB CD CDE AED ° 解 原式 3 1 ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =90 , (2) : = ÷ - ×( 15× 20÷ 6) 5 3 CE DE2 CD2 2 2 . ∴ = + = (2 2) +4 =2 6 9 证明 如答案图 延长 DG 至点 H 使 GH DG 连 =- ×5 2 (2) : 1, , = , 5 接AH. . =-9 2 点G是AF的中点 AG FG ∵ ,∴ = , 又 AGH FGD AGH FGD 解 原式 2 2 ∵ ∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (SAS), (3) : = 2- + -1 AH DF H FDG 2 2 ∴ = ,∠ =∠ , . AH DF DAH ADF °. = 2-1 ∴ ∵ 线 DE 段 ∥ D D F E ,∴ 绕 ∠ 点 ED D F 逆 + 时 ∠ ° 针旋转 =1 4 8 5 0 °得到线段DF , (4) 解 : 原式 =(5÷12×3)× ( x2 xy ÷ x y 3 × y x 2 ) ∴ = ,∠ =45 , ( ) DAH ° ADF ° ADE EDF ° y y2 ∴ -∠ ∠ ADE , A = H 18 = 0 DE - . ∠ =180 -∠ -∠ =135 = 4 5 × x5y × x3 × x 四边形ABCD是菱形 AD CD AB CD ∵ ADC ° DAB ,∴ ° = , ∥ , = 5y2 x. ∴ ∠ =180 -∠ =135 , 4 CDE ADC ADE ° ADE ∴ ∠ =∠ -∠ =135 -∠ , 12.解 x 1 y . CDE DAH ADH DCE :(1) = , =4 ∴ ∠ =∠ ,∴ △ ≌△ (SAS), 2 CE DH DG. ∴ = =2 原式 (2) = 2+ 8- 32 = 2+2 2-4 2 . =- 2 13.解 不够用.理由如下 : : 面积分别为 2 2 2 的正方形铁框的 ∵ 2 m ,18 m ,32 m 答案图 答案图 边长分别为 ( 1) ( 2) 2 m, 18 m, 32 m, ∴ 4 2+4 18+4 32 =4 2+12 2+16 2 . =32 2 答案图 . ( 3) ∵ 2≈1 414, 解 如答案图 过点D作DW AD 交AB的延长线于 . . (3) 点 : W 连接FW 2 . , ⊥ , ∴ 3 王 2 师 2 傅 ≈ 的 32 钢 ×1 材 4 不 14 够 = 用 45 . 248>45, , ∴ A ° AWD ° A ° ∵ ∠ =45 ,∴ ∠ =90 -∠ =45 , 14.解 n2 n n n .理由如下 A AWD AD WD. : -1= -1× +1( ≥1) : ∴ ∠ =∠ ,∴ = 由平方差公式 可知 线段DE绕点D逆时针旋转 °得到线段DF , ∵ DF DE EDF ° 90 , n2 -1= ( n -1)( n +1) . ∴ = ,∠ =90 , n ADW EDF ADE WDF ∵ ≥1, ∴ ∠ =∠ ,∴ ∠ =∠ , n n ADE WDF ∴ -1≥0, +1>0, ∴ △ ≌△ (SAS), DWF A ° AED WFD n n n n ∴ ∠ =∠ =45 ,∠ =∠ , ∴ ( -1)( +1)= -1× +1, AWF AWD DWF ° FW AW n2 n n n . ∴ ∠ =∠ +∠ =90 ,∴ ⊥ , ∴ -1= -1× +1( ≥1) 点F在与AW垂直的直线上运动 《勾股定理》阶段测试卷 ∴ , 当CF FW 时 CF 最小 此时点 F 在 CD 上 如答 1 2 3 4 5 6 7. 8. 9. ∴ ⊥ , , , .B .A .D .B .C .C 5 3 3 cm 数学八年级 下册 ( )·R 6 910. 或 12.解 ACB ° B ° 6 10 :∵ ∠ =90 ,∠ =30 , 11.解 C ° AB BC BAC °. :(1)∵ ∠ =90 , =15 cm, =12 cm, ∴ ∠ =60 由勾股定理 得 AE是 BAC的平分线 ∴ , ∵ ∠ , BAE CAE ° AC AB2 BC2 2 2 . ∴ ∠ =∠ =30 , = - = 15 -12 =9(cm) BAE B AE BE. 设BC的长为x 则AB的长为 x . ∴ ∠ =∠ ,∴ = (2) cm, ( +2)cm 又 BE CD AE CD. 由勾股定理 , 得 10 2 + x2 =( x +2) 2. ∵ = ,∴ = {AE CD 解得x . 在 AEC和 CDA中 = , =24 Rt△ Rt△ , AC CA x . AEC CDA = , ∴ B + C 2=24 +2= A 2 B 6 . ∴ R EC t△ DA ≌Rt△ (HL), 12.解 ∴ =2 A 4 B c D m 是 , 等 = 边 2 三 6 c 角 m 形 B °. ∴ 四边 = 形 , AECD是平行四边形. :∵ △ ,∴ ∠ = 60 ∴ 又 BAC ° 13. 证明 四边形ABCD是平行四边形 ∵ ∠ =90 , (1) :∵ , C °. BC AB . AB CD AB CD. ∴ ∠ =30 ∴ =2 =4 ∴ = , ∥ 在 ABC中 由勾股定理 得 CDE F C FBE. Rt△ , , ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ 又 BF AB CD BF. AC BC2 AB2 2 2 . ∵ = ,∴ = = - = 4 -2 =2 3 DCE FBE . ABC的周长 AB BC AC . ∴ △ ≌△ (ASA) ∴ △ = + + =6+2 3 解 DCE FBE 13.解 画法不唯一 下面给出三种参考画法 (2) : E ∵ B △ EC ≌ . △ BC , EC . : , : ∴ = =3 ∴ =2 =6 又 四边形ABCD是平行四边形 ∵ , AD BC . ∴ = =6 14. 证明 OBC为等边三角形 (1) :∵ △ , OC OB COB . ∴ = ,∠ =60° 答案图 点E是OC的中点 EC 1OC 1OB. ( ) ∵ ,∴ = = 斜边AC 斜边 GH 斜边 DE 斜边 MN 在 OAB中 OAB 2 AOB 2 =5, =4, =2 5, = △ ,∵ ∠ =90°,∠ =30°, . 2 5 AB 1OB COA COB AOB . 14.解 如答案图所示 过点A作AC OB于点C. ∴ = ,∠ =∠ +∠ =90° : , ⊥ 2 EC AB EC AB. ∴ = , ∥ 四边形ABCE是平行四边形. ∴ 解 由折叠的性质 可知 CEF AEF (2) : , △ ≌△ , CE AE. ∴ = 由 可知OC OB AB 1OB (1), = =4, = =2, 2 答案图 在 OAB中 由勾股定理 得OA . ( ) Rt△ , , =2 3 由题意 得OA 千米 OB 千米 设OE x 则AE CE x.由 知 EOA , =20 3 , =20 , = , = =4- (1), ∠ =90°, AOC ° 在 OAE中 由勾股定理 得 ∠ =30 , Rt△ , , OE2 OA2 AE2 即x2 2 x 2 AC 1OA 1 千米 . + = , +(2 3) =(4- ) , ∴ = = ×20 3=10 3( ) 2 2 解得x 1 即OE 1. 在 AOC中 由勾股定理 得 = , = Rt△ , , 2 2 《四边形》阶段测试卷(二) OC OA2 AC2 2 2 千米 . = - = (20 3) -(10 3) =30( ) 1 2 3 4 5 6 7. 8. ABC BC OC OB 千米 . .B .B .C .D .C .D 16 ∠ = ∴ = - =30-20=10( ) °或AC BD 答案不唯一 9. 10. 在 ABC中 由勾股定理 得 90 = ( ) 5 2 3-2 Rt△ , , 11.证明 四边形ABCD是矩形 AB AC2 BC2 2 2 千米 . :(1)∵ B D ° , = + = (10 3) +10 =20( ) ∴ ∠ =∠ =90 , BC AD AB CD. 轮船航行的速度为 40 千米/时 . = , = ∴ 20÷ =30( ) 又 E F分别是边AB CD的中点 60 ∵ , , , 《四边形》阶段测试卷(一) BE 1AB DF 1CD. 1 2 3 4 5 6 7.十一 8. ∴ = , = .D .B .A .C .A .C 21 2 2 BE DF. BEC DFA . 9.平行四边形 10.3 3 四边 ∴ 形A = BCD是 ∴ 矩 △ 形 ≌ AE △ CF. (SAS) (2)∵ ,∴ ∥ 2 由 知BE DF 则AE CF 11.解 作图如答案图所示. (1), = , = , :(1) 四边形AECF是平行四边形. ∴ 12. 证明 四边形ABCD是矩形 (1) :∵ , OD OB AD BC. ∴ = , ∥ OMD ONB ODM OBN. ∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ OMD ONB . ∴ △ ≌△ (AAS) OM ON. ∴ = 四边形BMDN为平行四边形. 答案图 ∴ 又 MN垂直平分BD ( ) ∵ , AD CM AE CE DE 四边形BMDN为菱形. (2)① = ② = ③ ∴ 数学八年级 下册 ( )·R 7 0解 设MD x 则BM x AM x. 由 中的表格可看出 当 h 每增加 时 S增加 (2) : = , = , =8- (4) (3) , 1 cm , 在 ABM中 BM2 AB2 AM2 2. Rt△ , = + , 5 cm 即x2 2 x 2 解得x . 13.解 时间 t 是自变量 滚动的距离 s 是时间 t 的 =4 +(8- ) , =5 :(1) , MD . 函数. ∴ =5 13. 证明 四边形ABCD是正方形 AC为对角线 由表格可得s t2 t . (1) :∵ , , (2) =2 ( ≥0) BCE DCE ° CB CD. 当t 时 s 2 即小球滚动的距离为 . ∴ ∠ =∠ =45 , = (3) =6 , =2×6 =72, 72 m 又 CE CE BEC DEC . 当s 时 t 即小球滚动 用了 . ∵ = ,∴ △ ≌△ (SAS) (4) =200 , =10, 200 m 10 s 14.解 如答案图所示. 解 由 知 BEC DEC 1 DEB °. :(1) (2) : (1), ∠ =∠ = ∠ =70 2 又 BCE ° ∵ ∠ =45 , EBC ° BEC BCE °. ∴ ∠ =180 -∠ -∠ =65 AD BC AFE EBC °. ∵ ∥ ,∴ ∠ =∠ =65 14.解 如答案图 过点P作PG EF于点G :(1) 1, ⊥ , PE PF EF ∵ = =6, =6 3, EG FG EPG FPG 1 EPF. ∴ = =3 3,∠ =∠ = ∠ 2 在 Rt△ EPG中 , 由勾股定理 , 得PG = PE2 - EG2 =3, ( 答案图 ) 从表中观察到 开始测量时海拔高度为 米 以后 ∴ PG = 1PE. ∴ ∠ PEG =30 °. (2) 海拔每上升 , 米 气温下降 . 这样 3 的 00 变化 , 规律 EPG 2 ° 则 EPF °. 100 , 0 6 . ℃, ∴ ∠ =60 , ∠ =120 可以表示为y . x 0 6 =29 2-( -300)× , 100 即y . x . =-0 006 +31 当气温为 . 时 代入 中的关系式 得 (3) 20 2 ℃ , (2) , . . x 解得x . 20 2=-0 006 +31, =1 800 此风景区山顶的海拔高度大约是 米. ∴ 1 800 答案图 答案图 答案图 《一次函数》阶段测试卷(一) 如 ( 答案图 1) 过点P ( 作PM A 2 B ) 于点M ( 作PN 3 A ) D于 1 .D 2 .C 3 .D 4 .A 5 .D 6 .B 7.y =-2 x +7 8. 2 (2) 2, ⊥ , ⊥ ( ) 点N. 9.y x 答案不唯一 10. 19 AC为菱形ABCD的对角线 -2 =- +3( ) ,0 ∵ , 7 11.解 将x y 代入y kx中 得 k 则正比例 DAC BAC 1 DAB ° PM PN :(1) =1, =2 = , 2= , ∴ ∠ =∠ = ∠ =30 , = , 函数的解析式为y x. 则易得 PNA PM 2 A AM AN. 设平移后直线的解析式 =2 为y x b 又 AP △ ≌ P △ M PN ,∴ . = (2) 将 代入y x b中 得 =2 + , b 解得b ∵ =10,∴ = =5 则 ( 平 4 移 ,0 后 ) 直线的 = 解 2 析 + 式为 , y 0= x 8+ . , =-8, ∴ AM = AN = AP2 - PN2 =5 3{ . PE PF 12.解 :(1) 设直线l的函数解析 = 式 2 -8 在 PME和 PNF中 = , 为y kx b k Rt△ Rt△ , PM PN = + ( ≠0), = , 把 代入y kx b ∴ Rt△ PME ≌ Rt△ PNF (HL) . ∴ ME = NF. {(2 k ,4) b ,(4,2) {k = + , AE AF AM ME AN NF AM AN . 得 2 + =4,解得 =-1, A ∴ P的 + 最大 = 值 ( 为 + 最小 )+ 值 ( 为 - . )= + =10 3 直 4 线 k + b l = 的 2 函 , 数解析 b = 式 6 . 为y x . (3) 提示 如答案图 12, 当 EFP 6 的三个顶点分别在 AB 在y ∴ x 中 令x 得y =- +6 ( AD AC : 上运动时 3 点 , P △ 在点 P′ P″之间运动. 当点 P , (2) 令y =- 得 +6 x , . =0, =6; 处在 , 点P′或 P″处 , 时 EF AC.易 , 求得 P′O P″O =0, =6 , ⊥ = =3, A B . AO 则AP′ AP″ . ∴ (6,0), (0,6) =9, =6, =12 ) 《函数》阶段测试卷 S 1AO BO 1 . ∴ △ AOB= · = ×6×6=18 1 .C 2 .D 3 .B 4 .B 5 .B 6 .D 7.x ≥-1 且x ≠0 2 { x x 2 8. 9. 10.y x 13.解 y 2 (0< ≤2), 490 2 =4 +2 :(1) = x x . 11.解 y与 x之间的关系式 y . x 其中 . 是常 - +6(2< <6) :(1) : =0 5 , 0 5 作图如答案图. 量 y x是变量. (2) , , S与 x之间的关系式 S x x2 其中 是常量 (2) : =30 - , 30,-1 , S x是变量. , 12.解 在这个变化过程中 BC 边上的高 AD 是自变 :(1) , 量 ABC的面积是高AD的函数. ,△ S 1BC h 1 h h h (2) = · = ×10· =5 ( >0), 2 2 即S与h之间的关系式是S h h . =5 ( >0) 列表格如下 (3) : 答案图 ( ) h 函数的性质 当 x 时 y随x的增大而增大 当 (cm) 4 5 6 7 8 9 10 : 0< <2 , ; 2< x 时 y随x的增大而减小 答案不唯一 . S (cm 2 ) 20 25 30 35 40 45 50 当 <6 y , 时x的值为 或 . ( ) (3) =2 1 4 数学八年级 下册 ( )·R 7 114.解 点A 代入直线 设乙用户 月份用气x 3 l 1: : 直 y ( = 线 1 k ) 1 x l + 的 6, ( 解 得 - 析 3 - , 3 3 式 k ) 1为 +6 y =3 x , 解得k 1=1, (3) 则 由题 3 月 意 份 得 用 2 气 ( x 17 x 5- 解 x ) 得 m m 3 x . , . . ∴ 令x 则1 y B = + . 6, 当x 175- < x , 即 > x 87 5 时 OB =0, OC =6 C ,∴ (0,6) ① 则 x >125, . 175- ≤ x 75, >125 , ∵ 将 得 { 点 b - 3 A = k ( 2 2 - + 3 b , = , 3 ∴ 3 ) , , 解 C ( ( 得 0 0 , ,{ - - k b 3 2 3 ) = ) , 代 -2 . 入 , y = k 2 x + b , 解 ② 即 得 当 3 - 8 x 7 5 = . 0 1 5 x + 3 < 2 5 x , ≤ 5 则 ( 1 1 2 1 时 7 5 7 5 , 5 - 1 - 7 x ) 5 = = - 4 x 4 0 ≤ 5 , 5 符 7 , 5 合 , 题意 ; 直线 =- l 3, 的解析式为y =-3 x . 则 10 . 0≤ x ≤1 . 25 , . x ∴ 设点D到2 y轴的距离为 = m -2 -3 解得 2 7 x 5 -18 不 75 符 +2 合 5 题 (1 意 75- 舍 ) 去 =455, (2) , =145, , ; 当 . x x 由题意可知 1 m 解得m . ③ 87 5< ≤125,75<175- ≤125, , ×9× =9, =2 即 . x 时 当x 时 y 2 当x 时 y 则 87 . 5 x < <1 . 00 , . x . D =2 , 或 =2+6=8 . ; =-2 , =-2+6=4, 此方 2 程 75 无 - 实 18 数 7 解 5+ . 2 75(175- )-18 75=455, ∴ (2,8) (-2,4) 《一次函数》阶段测试卷(二) 综上所述 乙用户 月份的用气量分别是 3 1 .C 2 .B 3 .C 4 .C 5 .B 6 .B 7.y =1 . 5 x +8 . 5 3. , 2,3 135 m , 8. 9. 10. 40 m -1 50 8 《数据的分析》阶段测试卷 11.解 函数y x 与 x 轴 y 轴的交点坐标为 : =- +4 、 (4,0), 1 2 3 4 5 6 7. 8. 9.甲 函数 y x 与 x 轴 y 轴的交点坐标为 .A .A .C .D .D .B 78 22 ((0,4),) =2 +1 、 10.变小 1 . - ,0 ,(0,1) 11.解 甲的平均成绩为 208+84 分 2 :(1) : =146( ), 作图如答案图所示. 2 乙的平均成绩为 210+80 分 : =145( ), 2 丙的平均成绩为 202+86 分 . : =144( ) 2 甲的平均成绩更高. ∵ 146>145>144,∴ 甲的综合成绩为 (2) : % % . 分 208×40 +84×60 =133 6( ), 乙的综合成绩为 : 答案图 % % 分 ( ) 210×40 +80×60 =132( ), 由图象可知 直线y x 与y x 交点的横坐标 丙的综合成绩为 (1) 为 则方程 , x = x - + 的 4 解为 = x 2 + . 1 % : % . 分 . 1, - +4=2 +1 =1 202×40 +86×60 =132 4( ) 由图象可知 当x 时 函数y x 的图象在函数 . . 甲将被录用. (2) , ≤1 , =- +4 ∵ 133 6>132 4>132,∴ y x 的图象上方 则不等式 x x 的解集为 12.解 八 班的中位数为 分 八 班的众数为 =2 +1 , - +4≥2 +1 :(1) (1) 85 , (2) x . 分. ≤1 100 由图象可知 直线y x 与y x 的交点坐标为 结合两班复赛成绩的平均数和中位数 八 班的复 (3) , =- +4 =2 +1 (2) , (1) 赛成绩较好. (1,3), {x y {x 如果在每班参加复赛的选手中分别选出 人参加决 则方程组 + x - y 4=0,的解为 y =1, . (3) 赛 八 班的实力更强一些 因为八 班 2 的众数比 12.解 设 2 购 - 买 +1 A = 种 0 树苗 x 棵 =3 则购买 B 种树苗 八 , ( 班 2) 大. , (2) : (1) x 棵 由题意 得 , 13.解 (1) 甲班 Q Q Q ( y 1 000- ) x , , x x . 乙 : 班 (1 Q ) : Q1=68, . 2= Q 75, 3. =78; 由 = 题 (2 意 0+ 得 5) +( x 30+5 )(1 000- )= 解 -1 得 0 + x 35 000 箱线 : 图略1= . 75, 2=83 5, 3=87 (2) ∴ 1 000 , - x ≤ -1 6 0 00 + . 35 000≤31 000, ≥400, (2) 乙班学生数学成绩的中位数 . 高于甲班学生数学 答 最多可购买B种树苗 棵. (3) 成绩的中位数 乙班学生数 83 学 5 成绩更好.乙班学生 : 600 13.解 根据题意 得 75, :(1) ( , x ) 数学成绩明显比甲班学生数学成绩波动小 , 更集中. y x x x 答案不唯一 1=20 +15 300- - =2 +4 500, ( ) y 由2= y 20 x y +1 得 5×8 x 0 % × (3 5 00- x x )= 8 x +3 解 6 得 00 . x 14.解 :(1) x 甲=95+ 1 1 1 ×(3+5+5-5+1-4-6+4+5+5-2)= (2) 购1买 > 2A , 种奖 2 品 +4 少 5 于 00>8 + 个 3 时 600 方 , 案二支 <1 付 50 费 , 用少 96( 分 ), ∴ 由y y 得 x 150 x , 解得x ; x 1 分 . 购1买 = A2, 种奖 2 品 +4 500 个 = 时 8 + 方 3 案 600 一 , 和方案 = 二 15 支 0, 付费用 乙=95+ ×(3+4+1-1+0-3-3+3+1+4+2)=96( ) 11 ∴ 150 , 一样多 由y y ; 得 x x .解得x . s2甲= 1 ×[(98-96) 2 +(100-96) 2 +…+(93-96) 2 ]≈ 购1买 < 2A , 种奖 2 品 +4 超 5 过 00<8 + 个 3 时 600 方案一支 >1 付 50 费用少. . 11 ∴ 150 , 17 8, 14.解 . a :(1)150 . . s2乙= 1 ×[(98-96) 2 +(99-96) 2 +…+(97-96) 2 ]≈ (2) 则 = a (325 . -75×2 . 5)÷(125-75)=2 75, . . 11 线段 + O 0 A 2 的 5= 函 3 数解析式为y . x x 5 甲 8 乙二人的平均分相同为 分 从超过平均分的次 =2 5 (0≤ ≤75); 线段AB的函数解析式为y x . . (2) 数 、 来看 应选甲参加比赛 因 96 为甲 , 超过平均分的次数 =( -75)×2 75+2 5×75, 即y . x . x , , =2 75 -18 75(75< ≤125); 有 次 比乙 次多 比乙更容易获得高分 从成绩的 射线BC的函数解析式为y x 6 , 4 , ; =325+( -125)×3, 稳定性来看 应选择乙参加比赛 因为乙的方差 . 即y x x . , , 5 8 =3 -50( >125) 比甲的方差 . 小 说明乙的成绩比较稳定. 17 8 , 数学八年级 下册 ( )·R 7 2