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第二十二章 二次函数
思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数的定义及求参
【解惑】下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如 ， ），逐一判断
各选项是否为二次函数即可．
【详解】A． ，符合 的形式（ ），是二次函数；
B． ，展开后为 ，最高次项为 ，系数为2，是二次函数；
C． ，符合 的形式（ ），是二次函数．
D． ，展开后为 ，化简后为一次函数，不是二次函数．故选D．
【融会贯通】
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如 （其中a、b、c是常数，且
）的函数叫做二次函数，据此可得答案．
【详解】解： ， ，
由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数，
故选：C．
2．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为 ，二次函数最高次必须
为二次，据此即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：
3．若函数 是二次函数，则 的值是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如
的函数称为二次函数”进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得： ；
故答案为4．
类型二、列二次函数关系式
【解惑】某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都
是 ，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万
元，则十一月份的新产品的研发资金为 ，十二月份新产品的研发资金的为 ，即可求解．
【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为
，十二月份新产品的研发资金的为 ，
∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为 ，
故选：C．
【融会贯通】
1．一矩形绿地的长和宽分别为 和 ，如果长和宽各增加了 ，则扩充后绿地的面积 与 之间
的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案．
【详解】解：由题意得， ，
故选：B．
2．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米 ，则正方形的面积随之减少y平方
厘米，那么y关于x的函数解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形
的面积，作差即可得解．
【详解】解：原正方形面积为 （平方厘米），
边长减少 厘米后，新正方形边长为 厘米，面积为 平方厘米，
则 ，
故答案为： ．
3．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长 ，宽 ，相框边的宽为 ，相框内的
面积是 ，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出 的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得
展开得：整理得：
根据题意，得
解得： ．
∴y与x之间的函数关系式为 ，
故答案为：
类型三、二次函数与一次函数图象
【解惑】在同一平面直角坐标系中，一次函数 （a，b为常数，且 ）的图象与二次函数
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数
的性质是解题的关键．
根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数 中a、b的正负情况与二次函数 中a、b
的正负情况，然后逐项判断即可解答．
【详解】解：A、由二次函数图象可知： ，由一次函数图象可知： ，故选项A错误，不符合题意；
B、由二次函数图象可知： ，由一次函数图象可知： ，故选项B正确，符合题意；
C、由二次函数图象可知： ，由一次函数图象可知： ，故选项C错误，不符合题意；
D、由二次函数图象可知： ，由一次函数图象可知： ，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
【融会贯通】
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，
一次函数朝向和与 轴的交点位置即可判断 、 的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点
是解题的关键．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，抛物线 与直线 相交于点 ， ，则关于x的方程的解为 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程
的解是解此题的关键．根据 ， 两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可．
【详解】解：∵抛物线 与直线 相交于点 ，
∴关于 的方程 的解为 ，
故答案为： ．
3．如图，抛物线 与直线 交于点 和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M
向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标 的取值范围
．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与一
次函数的交点问题，解题关键是利用数形结合思想分类讨论点 在不同位置时， 与抛物线的相交情况．
利用待定系数法求出抛物线的解析式及直线的解析式，进而求出抛物线顶点坐标，点 的坐标，再分类讨
论点 的位置情况，即当点 在点 的左侧时，当点 在线段 上时，当点 在点 的右侧时，分析
与抛物线的相交情况即可．【详解】解： 点 为抛物线 与直线 的一个交点，
， ，
解得 ， ，
抛物线解析式为 ，直线的解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为
联立方程组得 ，解得 ， ，
点 的坐标为 ，
点 是直线 上的一个动点，点 是将点 向左平移3个单位长度所得，
轴，
又 ， 的水平距离为 ，
当 在点 左侧时， 与抛物线无公共点，
当点 在线段 上，不含点 时， 与抛物线有一个公共点，即 ，
当点 在点 右侧时，只有 与抛物线顶点 相交时，即 时， 与抛物线有一个
公共点，
综上所述得， 的取值范围是 或 ．
类型四、二次函数的增减性
【解惑】已知点 都在函数 的图象上，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据解
析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，则在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∵点 都在函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故选：D．
【融会贯通】
1．已知抛物线 经过点 ， ，若A，B两点均在直线 的下方，
且 ，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
根据题意，抛物线开口向上，点A、B在直线 下方，且 ．通过代入点坐标建立不等式，求
解t的范围．
【详解】∵点 在直线下方，
∴ ，
解得 ．
∵点 在直线下方，
∴ ，
解得 ．
∵ ：
∴ ，解得 ．
∴ ．
故选：D．
2．若点 在抛物线 上，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式的求解，求出 ， ，根据 ，
得到 ，即 ，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，如图：
∵点 在抛物线 上，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
3．在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为 ，其中 ．
(1)若此函数图象过点 ，求这个二次函数的表达式；
(2)若 为此二次函数图象上不同的两个点，当 时， ，求m的值；
(3)若点 在此二次函数图象上，当 时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解二元一次方程组，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）理解题意得 ，因为 ，故建立方程组，再解得 ，即可作答．
（2）先整理得对称轴为直线 ，结合 ，说明 关于对称轴 对称，
得 ，解得： ；
（3）把点 代入 得 ，则对称轴 ，整理得 ，因为当
时，y随x的增大而增大，得 且 ，解得： ，即可作答．【详解】（1）解：把点 代入到二次函数的表达式 中，
得
化简得： ，
依题意联立方程组： ，
解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）解：∵二次函数的表达式为 ；
∴对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
说明 关于对称轴 对称，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（3）解：∵点 在此二次函数 图象上，
∴ ，对称轴 ，
∵ ，∴
∴ ，
∵当 时，y随x的增大而增大，
∴ 且 ，
∴
∴
解得： ，
∴
∵
∴ ．
类型五、二次函数的对称性
【解惑】已知二次函数 的图象过点 ，若点
也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由 ，和点
，得出二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，即可得到答案．
【详解】解： 二次函数 的图象过点 ，
二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，
距离对称轴越远的点，函数值越大，
点 在该二次函数图象上，且点 离对称轴最远，点 离对称轴最近，
，故选：B．
【融会贯通】
1．已知二次函数 的图象上有两点 ，若 ，当函数值 取得最大值
时，对应 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟
练掌握二次函数的性质．
根据两个对称点确定抛物线的对称轴，判定顶点为最高点即可确定 的值．
【详解】解：由抛物线上 可知，纵坐标相等，
∴两点关于抛物线的对称轴对称，
所以抛物线的对称轴为 ，
∵ ，
∴抛物线的顶点为最高点，
所以，当函数值 取得最大值时，对应 的值为1．
故选：B
2．已知抛物线 ，点 ， 是抛物线上两点，且 ．
（1）抛物线的对称轴为 （用含有 的式子表示）；
（2）当 时，始终满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】 直线 或
【分析】本题考查了抛物线的对称性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关
键；
（1）令 ，可求得抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求得对称轴；
（2）分 与 两种情况考虑，利用二次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：（1）令 ，则 ；∵ ，
∴ ；
即抛物线与x轴交于点 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
故答案为：直线 ；
（2）当 时， ，
抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，
∵当 ，且 时，始终满足 ，
∴ ，
解得： ；
∴ ；
当 时， ，
抛物线开口向下，抛物线对称轴的右侧，函数值y随自变量的增大而减小；
∵当 ，且 时，始终满足 ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
综上， 或 ；
故答案为： 或 ．
3．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ 且 ）过点 ．
(1)求该抛物线的对称轴（用含 的代数式表示）；
(2)在该抛物线上存在两点 ， ，当 时，总有 ，求 的取值范围．【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 ；
(2) 且 ．
【分析】（1）解法一：先根据抛物线一定过原点得出 与 是对称点，从而推出该抛物线的对称轴；
解法二：将点 代入求出抛物线解析式后，根据抛物线对称轴为 即可得解；
（2）分情况讨论：当 时：ⅰ．若 ；ⅱ．若 ；②当 时：ⅰ．若 ；ⅱ．若
；ⅲ．若 ．
【详解】（1）解：解法一：由题知抛物线为 （ 且 ），
该抛物线过点 ，
抛物线过点 ，
与 是对称点，
该抛物线的对称轴为直线 ；
解法二： 抛物线为 （ 且 ）过点 ，
将点 代入 中得 ，
，
，
，
，
抛物线的解析式为 ，
该抛物线的对称轴为直线 ．
（2）解：将点 代入抛物线 （ 且 ），中，得 ，
， ，
抛物线的解析式为 ，
①当 时，（抛物线对称轴在 轴左侧），
ⅰ．若 ，即 ，抛物线的大致图象如解图①，
则 ， ，
；
ⅱ．若 ，即 ，则 ，抛物线的大致图象如解图②，
，
点 、 均在对称轴的右侧，且 ，即 ，
又 在对称轴右侧， 随 的增大而减小，
；
②当 时，（抛物线对称轴在 轴右侧），ⅰ．若 ，即 ，则 ，抛物线的大致图象如解图③，
点 ， 均在对称轴的右侧，且 ，即 ，
又 在对称轴右侧， 随 的增大而减小，
；
ⅱ．若 ，即 ，则 ，抛物线的大致图象如解图④，
点 ， 均在对称轴的右侧， 随 的增大而减小，
和 的大小关系不确定，
和 的大小关系不确定，不符合题意；
ⅲ．若 ，即 ，抛物线的大致图象如解图⑤，
此时 ，不符合题意．
综上， 的取值范围是 且 ．【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质，
解题关键是利用数形结合的思想解题．
类型六、图象法求一元二次不等式
【解惑】抛物线 如图所示，抛物线与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，下列结
论：① ；② ；③对于任意实数 ，都有 ；④当 时， ．其中
正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关
系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
根据图象开口向上可知 ，与 轴的交点在原点上方可知 ，据此可判断①；因为抛物线与 轴交于
，对称轴为直线 ，所以另一交点为 ，则 、 两式相减可得
，可判断②；抛物线顶点坐标为 ，开口向下，则 为最大值，对于任意实数 ，都有
，据此可判断③；由图象可得当 时， ，据此可判定④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴ ，
∵与 轴的交点在原点上方可，
∴ ，
∴ ，即①正确；
∵抛物线与 轴交于 ，对称轴为直线 ，∴抛物线与x轴的另一交点为 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴两式相减可得 ，即②正确；
∵抛物线顶点坐标为 ，开口向下，
∴ 为最大值，
∴对于任意实数 ，都有 ，即③错误；
④由图象可得，当 时， ，即④正确．
综上，正确的有3个．
故选C．
【融会贯通】
1．二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；② ；③当
时， ；④方程 的两个根分别为 和 ．其中所有正确结论的序号是
（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，解题关键是掌
握二次函数的性质．
①由抛物线交 轴的负半轴，得到 ，可判定①；
②根据题意得到抛物线的对称轴为直线 ，则 ，可判定②；
③当 时，得到抛物线全在 轴下方，于是得到 ，可判定③；④根据二次函数 图象的与 轴的交点得到方程 的两根分别为 和3，可
判定④．
【详解】解：① 抛物线交 轴的负半轴，
，故①正确；
② 抛物线的对称轴为直线 ，
，故②错误；
③当 时，抛物线全在 轴下方，即 ，故③正确；
④ 二次函数 图象的与 轴的交点坐标为 和 ，
关于 的一元二次方程 的两根分别为 和3，故④正确；
∴正确结论的序号是①③④．
故选：C．
2．如图，二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图像与 轴交于点 ，顶点坐标为
，则不等式 的解集为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与
x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴对称轴为直线 ，又∵该函数的图像与 轴交于点 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为： ，
由图象可知：当 时， ，
∴不等式 的解集为，
故答案为： ．
3．二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出方程 的两个根．
(2)直接写出不等式 的解集．
(3)直接写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围．
(4)若方程 有两个不相等的实数根，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) ；
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中 取一个定值时，二次函数就转
化为一个一元二次方程．
抛物线与 轴交点的横坐标就是一元二次方程 的两个根；
就是抛物线在 轴上方，因为当 时，抛物线的图象在 轴的上方，所以不等式
的解集为 ；抛物线开口向下，在对称轴左侧时 随 的增大而减小，从图象上可知抛物线的对称轴是 ，所以
当 时， 随 的增大而减小；
方程 的解就是抛物线 与直线 的交点的横坐标，从图象上可以
看出当 时，方程 有两个不相等的实数根．
【详解】（1）解： 抛物线 的图象与 轴的两个交点的横坐标分别为 和 ，
一元二次方程 的两个根分别是 ， ；
（2）解：由图象可知，当 时，抛物线的图象在 轴的上方，
不等式 的解集为 ；
（3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为 ，
在对称轴的右侧 随 的增大而减小，
随 的增大而减小的自变量 的取值范围是 ；
（4）解：由图象可知，当 时，
方程组 有一组解，
方程 有两个相等的实数根，
当 时，
方程组 有两组解，
方程 有两个不相等的实数根，
方程 有两个不相等的实数根时， ．
类型七、待定系数法求二次函数解析式
【解惑】已知一个二次函数 的自变量 与函数 的几组对应值如下表，则下列结论正确的是
（ ）
… 0 1 3 4 …
… 3 4 0 …A．图象的开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小
C． D．该二次函数图象与 轴只有一个交点
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．
通过待定系数法求出二次函数解析式，结合二次函数的性质分析各选项即可．
【详解】解：分别将 ， ， 代入得：
，
解得： ，
即解析式为 ．
A： ，开口向下，错误；
B：对称轴 ，开口向下，当 时，y随x增大而减小，正确；
C：当 时， ，错误；
D：判别式 ，与x轴有两个交点，错误；
故选：B．
【融会贯通】
1．如图，抛物线 经过点 、 ，若当 时 的最大值与最小值的差为6，
则 的值为（ ）A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，待定系数法求出函数解析式，进而根据增减
性结合二次函数的最值，进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线 经过点 、 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时，函数有最小值为： ，抛物线上的点到对称轴的距离越远函数值越大，
∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∵当 时 的最大值与最小值的差为6， ，
∴ ，且 ，
解得： 或 （舍去）；
故选：A．
2．以顶点坐标 ，且过点 的抛物线的解析式：
【答案】【分析】本题考查了求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点式和待定系数法是解题关键．
设抛物线的解析式为 ，再将点 代入求解即可得．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
3．在平面直角坐标系中，抛物线： 经过点 ．
(1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
(2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（ ）个单位，图象恰好经过点 ，
求n的值．
【答案】(1)对称轴为直线 ，顶点坐标为
(2)
【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的
规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
（1）将点 代入函数解析式求出 ，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解；
（2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将 代入求解即可．
【详解】（1）解：∵ 经过点 ，
∴ ．
解得： ．∴二次函数的解析式为 ．
∴对称轴为直线 ．顶点的坐标为 ．
（2）解：二次函数的解析式化为 ．
∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移 个单位，
∴平移后新二次函数的解析式为 ．
∵平移后图图象经过点 ，
∴ ．
解得： ．
类型八、二次函数的坐标轴交点坐标与平移
【解惑】二次函数 的图象与 轴交点的坐标是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
令 ，解方程求出x的值，即可得得答案．
【详解】解：令 ，则 ，
解得 ， ，
∴二次函数的图象与 轴交点的坐标是的图象与 轴交点的坐标是 ， ，
故选：A．
【融会贯通】
1．抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令 ，求出 的值即可，掌握 轴上点的坐标特点
是解题的关键．
【详解】解：由 得，当 时， ，
∴与 轴的交点坐标是 ，
故选： ．
2．将抛物线 向右平移2个单位，向上平移3个单位后，得到新抛物线解析式为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，对原抛物线 进行向右平移 个单位和向上平移
个单位的操作，从而得到新抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线 向右平移 个单位，
根据“左加右减”原则， 变为 ，得到 ；
再向上平移 个单位，
根据“上加下减”原则，在式子后面加 ，得到 ．
故答案为：
3．如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，
连接 ， ．(1)直接写出点 的坐标（用含 的代数式表示）；
(2)若 的面积为6，求 的值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移 个单位，记平移后抛物线中 随 的增大而减小的部分为
，当直线 与 总有两个公共点时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令 ，则 ，即可求得点 坐标；
（2）求出 的坐标，表示出 的面积，由此即可得到答案；
（3）平移后的解析式为 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，当抛物线经过
点 时， ，此时直线 与 有两个公共点，联立 ，得到方程
，当 时，此时直线 与 有两个公共点，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ，
点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：在 中，令 ，得 ，解得 ， ，
， ，
，
由抛物线图象可得： ，
，
，
解得： ；
（3）解：由（2）得
， ，
将抛物线向右平移 个单位，
新抛物线的解析式为： ，
对称轴为直线 ，
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入解析式得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当抛物线经过点 时， ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
当 时， ，
当 时， 随 的增大而减小，联立 ，
解得： ， ，
此时 与直线 有两个交点；
联立 ，
，
直线 与 总有两个公共点，
，
解得： ，
综上所述，当 时，直线 与 总有两个公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数与
一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质；二次函数的平移规则：左加右减，上加下减；采用数形
结合的思想进行解题，是解此题的关键．
类型九、二次函数的应用——增长率问题
【解惑】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元．
(1)求李明这两年纯收入的年平均增长率；
(2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙
的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度．
【答案】(1) ；(2)40米．
【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程 ，即可求解；
（2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为 米，再根据长方形的面积
公式列出方程即可求解．
【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得 ，
解得， ， （不合题意，舍去）
答：李明这两年纯收入的年平均增长率为 ；
（2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得
，
解得， ， （不合题意，舍去）
答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程．
【融会贯通】
1．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售
量y关于每年增加的百分率x的函数解析式．
【答案】y＝5000x2＋10000x＋5000．
【分析】根据增长率第2年的销量=第1年的销量+增加百分率x×第1年的销量=(1+x)×第1年的销量，第3
年的销售量y=第2年的销量+增加百分率x×第2年的销量=(1+x)×第2年的销量=(1+x)2×第1年的销量即可．
【详解】解：由题意可知y＝500(1＋x)2＝5000x2＋10000x＋5000，
∴y＝5000x2＋10000x＋5000．
【点睛】本题考查增长率问题，利用增长率求函数解析式，掌握增长率的公式是解题关键．
2．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B
两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总
营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都
比2月增加了 a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
【答案】（1）80；（2）20．
【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可；
（2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的
增长率，列式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知：
把①×200得
用②-③得： ，解得
把 代入①中，解得
故入住A房间的有80间．
（2）由题意得：
下调后A房间的房价= ，B房间的房价=
由题目已知条件和（1）中计算的结果知：
下调后A房间的入住间数= ，B房间的入住间数=
故三月份的总收入=
又∵三月份比二月份总营业收入增加了
∴
即解得： ， （舍去）
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能
够根据已知条件找到等量关系进行列式计算．
3．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化
建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房
改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计
划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式
，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得： ，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得： ，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质
进行求解．
类型十、二次函数的应用——喷水、拱桥问题
【解惑】公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽 为 ，
高 为 ．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为 的水平警示灯带．
普通货车的高度大约为 （载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于
．现以 中点 为原点， 所在直线为 轴， 所在的直线为 轴建立如图所示的直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（ ）由题意可得顶点 的坐标为 ， ，设抛物线的解析式为 ，利用待定系
数法解答即可求解；
（ ）由题意可得悬挂点的纵坐标 ，即悬挂点的纵坐标的最小值是 ，把
代入（ ）所得函数解析式求出 的值进而即可求解；
本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，顶点 的坐标为 ， ，
设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线过 ，
，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：∵普通货车的高度大约为 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ，
∴悬挂点的纵坐标 ，即悬挂点的纵坐标的最小值是 ，
当 时， ，
解得 ，
∴灯带的最大安装长度是 ．
【融会贯通】
1．某城市计划在滨河步道 上方搭建一座抛物线型观景台．如图，步道 的宽为 ，观景台拱顶最
高处点 距离地面为 ．为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求
两个支撑柱关于桥拱对称轴对称，支撑柱 ，在两个支撑柱上搭一个限高横杆 ．以步道
的中点为原点 ， 所在直线为 轴，过点 垂直于 所在直线为 轴建立平面直角坐标系．
(1)求该观景台所在抛物线的函数表达式；
(2)为提升景观效果，现要在横杆 上方设置一个面积为 的矩形宣传牌 ，要求宣传牌在观景台
内部，一边落在 上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称．求符合要求的宣传牌尺寸，
并说明理由．
【答案】(1)
(2)长为10m，宽为2m；见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和性质是解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为 ，用待定系数法求解即可；
（2）先求出两个支撑柱之间的距离 ．进一步求得 的长可以为1或2．则有下列2种初步的设计方案：① ；② ；然后分别验证即可．
【详解】（1）解：由题意，得拱顶最高处点 的坐标为 ， ，
∴点B的坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
把 ， 代入，得
，解得： ，
∴该观景台所在抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：令 ，即 ．
解得 ．
两个支撑柱之间的距离 ．
矩形宣传牌 的面积为 ，宣传牌在观景台内部，一边落在 上，且长、宽均为整数，宣传牌
关于观景台的对称轴对称，
的长可以为1或2．
有下列2种初步的设计方案：
① ；② ：
．
方案①不合题意．
，此时点 到步道的距离为6．
当 时， ．
此时宣传牌左上方顶点 的坐标是 ．符合题意．
综上所述，矩形宣传牌的长为 ，宽为 ．
2．综合与实践
如图，这是一个直角三角形斜坡截面 ， ， ， ，坡面 上有一根标杆（标杆粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点B不重合， ），现在斜坡点A处安装一个喷水
管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水
流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表：
x 0 1 2 3 4 …
y 3 3 …
(1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标．
(2)若喷水管喷出的水流恰好经过标杆的顶部点N．
①求标杆 的最大高度；
②若点A到M，N两点的距离相等，求点N的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ，顶点坐标为
(2)① 的最大值为 ；②点 的坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，结合表格数据可得，抛物线的对称轴是直线 ，则该抛物线的顶点坐标为
，故可设该抛物线的解析式为 ，再将点 代入得 ，解得 ，进而
可以判断得解；
（2）①依据题意，设直线 的解析式为 ，又将 ， 代入得 ，可得直线
的解析式为 ，又设点 的坐标为 ，则 的坐标为 ，故
，进而可以判断得解；②依据题意，过点 作 于点 ，连接 ，又设 ，则点 的坐标为 ，由 得
为 中点，即 ，又 ，则 ，可得 ，
然后将点 的坐标代入抛物线的解析式得 ，求出 后即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意可得该抛物线的顶点坐标为 ，
设该抛物线的解析式为 ．
将点 代入得 ，解得 ，
该抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ．
（2）解：①设直线 的解析式为 ．
将 ， 代入得 解得
即直线 的解析式为 ．
设 ，则 ，
，
当 时， 的最大值为 ．
②如图，过点 作 于点 ，连接 ，设 ，则 ．
由 得 为 中点，即 ．，
，即 ．
将 点坐标代入抛物线解析式得 ，
整理方程得 ，
解得 （舍去）， ，
故点 的坐标为 ．
3．一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地草坪喷水的平面示意图，喷
灌架置于坡地草坪底部点 处，喷水头 的竖直高度 为 ，当喷射出的水流与点 的水平距离为
时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为 ．在直线坡地草坪 上，点 与点 的水平距离为
，与水平地面的竖直高度为 ．
(1)求水流抛物线的解析式；
(2)求水流抛物线与直线坡地草坪 之间的竖直距离的最大值；
(3)已知在点 处有一棵竖直高度为 的小树 ．若将喷灌架沿直线坡地草坪 向右移动，设其向右
水平移动 （其中 ），使其喷射出的水流不被小树 遮挡，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）由顶点设抛物线的解析式为 ，将点 代入求解即可；
（2）先求得直线 的解析式为 ，计算 ，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由题意得平移后的抛物线可表示为 ，将点 代入，计算即可求
解．
【详解】（1）解：由题意可知，水流抛物线的顶点坐标为 ，
设水流形成的抛物线的解析式为 ，
将点 代入得， ，
解得 ，
水流抛物线的解析式为 ；
（2）解：由题意可知点 坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ；
（3）解： 设喷灌架沿直线坡地草坪向右水平移动 ，则向上移动 ，
则平移后的抛物线可表示为 ，
将点 代入得， ，
解得 或 ．
∴结合图象可得， 的取值范围为 ．
