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第二十二章 二次函数
思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数的定义及求参
【解惑】下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ．
3．若函数 是二次函数，则 的值是 ．类型二、列二次函数关系式
【解惑】某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都
是 ，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【融会贯通】
1．一矩形绿地的长和宽分别为 和 ，如果长和宽各增加了 ，则扩充后绿地的面积 与 之间
的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米 ，则正方形的面积随之减少y平方
厘米，那么y关于x的函数解析式是 ．
3．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长 ，宽 ，相框边的宽为 ，相框内的
面积是 ，则y与x之间的函数关系式为 ．
类型三、二次函数与一次函数图象
【解惑】在同一平面直角坐标系中，一次函数 （a，b为常数，且 ）的图象与二次函数
的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【融会贯通】
1．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，抛物线 与直线 相交于点 ， ，则关于x的方程
的解为 ．3．如图，抛物线 与直线 交于点 和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M
向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标 的取值范围
．
类型四、二次函数的增减性
【解惑】已知点 都在函数 的图象上，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．已知抛物线 经过点 ， ，若A，B两点均在直线 的下方，
且 ，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若点 在抛物线 上，且 ，则 的取值范围是 ．
3．在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为 ，其中 ．
(1)若此函数图象过点 ，求这个二次函数的表达式；
(2)若 为此二次函数图象上不同的两个点，当 时， ，求m的值；
(3)若点 在此二次函数图象上，当 时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．类型五、二次函数的对称性
【解惑】已知二次函数 的图象过点 ，若点
也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．已知二次函数 的图象上有两点 ，若 ，当函数值 取得最大值
时，对应 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线 ，点 ， 是抛物线上两点，且 ．
（1）抛物线的对称轴为 （用含有 的式子表示）；
（2）当 时，始终满足 ，则 的取值范围是 ．
3．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ 且 ）过点 ．
(1)求该抛物线的对称轴（用含 的代数式表示）；
(2)在该抛物线上存在两点 ， ，当 时，总有 ，求 的取值范围．
类型六、图象法求一元二次不等式
【解惑】抛物线 如图所示，抛物线与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，下列结
论：① ；② ；③对于任意实数 ，都有 ；④当 时， ．其中
正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【融会贯通】
1．二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；② ；③当
时， ；④方程 的两个根分别为 和 ．其中所有正确结论的序号是
（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
2．如图，二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图像与 轴交于点 ，顶点坐标为
，则不等式 的解集为 ．
3．二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)直接写出方程 的两个根．
(2)直接写出不等式 的解集．
(3)直接写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围．
(4)若方程 有两个不相等的实数根，直接写出 的取值范围．
类型七、待定系数法求二次函数解析式
【解惑】已知一个二次函数 的自变量 与函数 的几组对应值如下表，则下列结论正确的是
（ ）
… 0 1 3 4 …
… 3 4 0 …
A．图象的开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小
C． D．该二次函数图象与 轴只有一个交点
【融会贯通】
1．如图，抛物线 经过点 、 ，若当 时 的最大值与最小值的差为6，
则 的值为（ ）A． B．2 C． D．
2．以顶点坐标 ，且过点 的抛物线的解析式：
3．在平面直角坐标系中，抛物线： 经过点 ．
(1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
(2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（ ）个单位，图象恰好经过点 ，
求n的值．
类型八、二次函数的坐标轴交点坐标与平移
【解惑】二次函数 的图象与 轴交点的坐标是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【融会贯通】
1．抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线 向右平移2个单位，向上平移3个单位后，得到新抛物线解析式为 ．
3．如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，
连接 ， ．(1)直接写出点 的坐标（用含 的代数式表示）；
(2)若 的面积为6，求 的值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移 个单位，记平移后抛物线中 随 的增大而减小的部分为
，当直线 与 总有两个公共点时，求 的取值范围．
类型九、二次函数的应用——增长率问题
【解惑】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元．
(1)求李明这两年纯收入的年平均增长率；
(2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙
的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度．
【融会贯通】
1．某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，写出第3年的销售
量y关于每年增加的百分率x的函数解析式．
2．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B
两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总
营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低
2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了 a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
3．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化
建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房
改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计
划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
类型十、二次函数的应用——喷水、拱桥问题
【解惑】公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽 为 ，
高 为 ．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为 的水平警示灯带．
普通货车的高度大约为 （载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于
．现以 中点 为原点， 所在直线为 轴， 所在的直线为 轴建立如图所示的直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）．
【融会贯通】
1．某城市计划在滨河步道 上方搭建一座抛物线型观景台．如图，步道 的宽为 ，观景台拱顶最
高处点 距离地面为 ．为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求
两个支撑柱关于桥拱对称轴对称，支撑柱 ，在两个支撑柱上搭一个限高横杆 ．以步道
的中点为原点 ， 所在直线为 轴，过点 垂直于 所在直线为 轴建立平面直角坐标系．(1)求该观景台所在抛物线的函数表达式；
(2)为提升景观效果，现要在横杆 上方设置一个面积为 的矩形宣传牌 ，要求宣传牌在观景台
内部，一边落在 上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称．求符合要求的宣传牌尺寸，
并说明理由．
2．综合与实践
如图，这是一个直角三角形斜坡截面 ， ， ， ，坡面 上有一根标杆
（标杆粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点B不重合， ），现在斜坡点A处安装一个喷水
管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水
流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表：
x 0 1 2 3 4 …
y 3 3 …
(1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标．
(2)若喷水管喷出的水流恰好经过标杆的顶部点N．
①求标杆 的最大高度；
②若点A到M，N两点的距离相等，求点N的坐标．
3．一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地草坪喷水的平面示意图，喷
灌架置于坡地草坪底部点 处，喷水头 的竖直高度 为 ，当喷射出的水流与点 的水平距离为
时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为 ．在直线坡地草坪 上，点 与点 的水平距离为
，与水平地面的竖直高度为 ．(1)求水流抛物线的解析式；
(2)求水流抛物线与直线坡地草坪 之间的竖直距离的最大值；
(3)已知在点 处有一棵竖直高度为 的小树 ．若将喷灌架沿直线坡地草坪 向右移动，设其向右
水平移动 （其中 ），使其喷射出的水流不被小树 遮挡，直接写出 的取值范围．
