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第二十二章 二次函数
思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数的对称性求最值
【解惑】二次函数 的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．7
【融会贯通】
1．已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
2．二次函数 的最大值为 ．
3．若二次函数 有最大值为4，则 的最小值是 ．类型二、二次函数的增减性
【解惑】已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且图象经过点 ，将二次函数的图象向右平移
个单位，图象经过点 ，在平移后的图象上，当 时，函数的最小值为 ，
则n的值是（ ）
A． 或 B． 或 C．1 D．
【融会贯通】
1．已知二次函数 ，当 时，则y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数 （ 是常数），当自变量 时，函数有最大值为10，则
．
3．若二次函数 ， ，当 时，函数 的最小值是m，函数 的最小值是
n，则 ．
类型三、二次函数中的将军饮马与三点共线
【解惑】已知抛物线 在坐标系中的位置如图所示，它与x、y轴的交点分别为A、B，P是其
对称轴 上的动点，根据图中提供的信息，求 的最小值（ ）A． B． C．5 D．
【融会贯通】
1．已知二次函数 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的个数为（ ）
①线段AC的长度为 ；②抛物线的对称轴为直线 ；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P
点坐标为 时， 的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如
果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有3个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，已知直线 经过点 ，抛物线W： 与y轴交于点C．点
E、F分别是抛物线对称轴和直线l上的动点，连结 ，则 的最小值为 ．3．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为
C，点P是y轴上一点，且使得 最大，则P点的坐标为 ．
类型四、二次函数图象与各系数符号
【解惑】如图所示的是二次函数 图象的一部分，其对称轴是直线 ，且过点 ，下
列说法：① ；② ；③ ；④若 是抛物线上的两点，则 ．
其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【融会贯通】
1．二次函数 的图象如图所示．下列结论：① ；② ；③ 为任意实
数，则 ；④ ；⑤若点 和点 都在抛物线上，则 ．其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ，有下列结论① ；②
；③ ；④ ；其中所有正确的结论是 ．
3．已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：
①
②若点 均在二次函数图象上，则
③
④对于任意实数m，总有
其中正确的结论是：类型五、二次函数的应用——图形问题
【解惑】在一块一边长为 、另一边长为 的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出宽度为 的小路，
中间花坛面积为 ，求 与 之间的函数表达式．
【融会贯通】
1．如图，利用一面墙（墙的长度不超过 ），用 长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边
留有 宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设 ，矩形 的面积为 ．问x为何值时，
矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？
2．如图1，在边长为 正方形 中，动点 同时从点 出发，以 的速度分别沿
和 的路径向点 运动．设运动时间为 （单位： ）， 的面积为 （单位：
），则 关于 的函数图象如图2．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)当 为何值时， 有最大值，最大值是多少．
(3)当 为何值时， 为 ．
3．如图，在 中， ， ，过点 向上作 ，且 ． ， 两点分别从 ， 同时出发，点 以每秒1个单位长度的速度沿线段 向终点 运动；点 沿折线
向终点 运动，在 上的速度为每秒2个单位长度，在 上的速度为每秒 个单位长度．在运动过程
中，以 ， 为邻边作平行四边形 ．设运动时间为 秒，平行四边形 和 重叠部分
的图形面积为 ．
(1)用含 的代数式表示 的长；
(2)当点 在 上时，求 的值；
(3)求 关于 的函数解析式，并写出 的取值范围．
类型六、二次函数的应用——销售问题
【解惑】某商店决定购 两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件 种纪念品比每件 种纪念品的进
价高30元．用1000元购进 种纪念品的数量和用 元购进 种纪念品的数量相同．
(1)求 两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出 型纪念品的售价与数量的关系如表，
售价 （元/件）
销售量（件）
该商场购进 型纪念品共 件，其中 型纪念品的件数小于 型纪念品的件数，但不小于 件．若
型纪念品的售价为每件 元时，商场将 型纪念品均全部售出后获得的最大利润为 元，
求出 的值．
【融会贯通】
1．某民宿有A，B两种客房，其中A种客房12间，B种客房10间．若全部入住，一天的营业额为3600元；
若A，B两种客房均有5间入住，一天的营业额为1600元．(1)A，B两种客房每间的定价分别是多少元？
(2)该民宿对一段时间内B种客房的入住情况进行调研后发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每
间客房的定价每增加20元，就会有一间客房空闲．当B种客房每间的定价为多少元时，B种客房一天的营
业额W最大？最大营业额为多少元？
2．“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供
游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，
就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房
间定价为x元／间（ 为10的整数倍）．
(1)若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元；
(2)为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30
元每间，当 为多少时，民宿利润最大？
(3)在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价
的范围．
3．某商店销售一种进价为4元/件的新产品，经调查发现：销售单价定为5元/件时，每天可销售150件；
若销售单价每涨价1元，则每天销售量减少10件．设销售单价为 元 ，销售量为 （件）．
(1)求 与 的函数关系式；
(2)若销售该新产品每天的总利润为 （元），求销售单价为多少元时每天的总利润最大，最大利润是多少
元？
(3)由于该产品市场需求量较大，厂家将进价提高了 元，当销售单价不超过13元/件时，利润 随着 的
增大而增大，求 的最小值．
类型七、二次函数的应用——图形运动问题
【解惑】如图，在 中， ， ， ．动点 从点 出发，沿 以每秒1个单
位长度的速度向终点 运动．过点 作 与 的直角边相交于点 ，延长 至点 ，使得
，以 为边作矩形 ．设矩形 与 重叠部分图形的面积为 ，点 的运动
时间为 秒 ．(1)当 时，求 的值；
(2)当 时，求 的值；
(3)求 与 之间的函数关系式．
【融会贯通】
1．如图，在 中， ， ， ，点 、 分别是 、 的中点，连接 ．
点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿 向终点 运动，过点 作 的垂线交 于点 ，以
为直角边向 下方作 ，使 ，且 ．设点 的运动时间为 （秒）．
(1)填空： ________， ________（用含 的代数式表示）；
(2)当点 落在线段 上时，求 的值；
(3)当 与 重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为 平方单位，求 与
之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
2．如图，在平面直角坐标系中， 为原点， 是等腰直角三角形， ，顶点 ，点
在第一象限，正方形 的顶点 ，点 在 轴的正半轴上，点 在第二象限．(1)填空：点 的坐标为_____，点 的坐标为_____；
(2)将正方形 沿 轴向右平移，得到正方形 ，点 、 、 、 的对应点分别为 、 、
、 ．设 ，正方形 与 重叠部分图形的面积为 ．
①当点 与点 重合时，求 的值；
②求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围．
3．如图， 是等腰直角三角形， ， ，点P沿折线 向终点C运动，在
上的速度为每秒2个单位长度，在 上的速度为每秒 个单位长度．过点P作 于点D，以
为边向右侧作矩形 ，且 ．设点P的运动时间为t秒，矩形 和 重叠部分图
形的面积为S．
(1)当点F在 上时， ______．
(2)当矩形 和 重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．
类型八、二次函数的应用——飞行与滑行问题
【解惑】滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆
坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该
兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区 所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为
坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡 与水平地面的夹角为 ， ．某运动员在A处起跳
腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆， ．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离 与水平方
向移动的距离 具备二次函数关系，其表达式为 ．(1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？
(2)求运动员到x轴的距离 与水平方向移动的距离 之间的函数表达式．
(3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 与飞行时间 具备一次函数关
系，当运动员在起跳点腾空时， ， ；在空中飞行 后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的
竖直距离h最大？最大是多少？
【融会贯通】
1．纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸莺竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．
其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比
（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为 米，则滑行比为 ）的影响．如图所示，小明
玩纸飞机，其起抛点的高度为 米，当纸飞机的水平飞行距离为 米时达到最大高度 米．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)小明前方距离小明 米，有一堵 米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且不包
括端点），求 的取值范围；
(3)小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为 ，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能
使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为 米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过米）．
2．第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳
台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主
要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区 所在水平线为 轴，过起跳点 与 轴垂直的直线为
轴， 为坐标原点，建立平面直角坐标系． ， ．某运动员在 处起跳腾空后，飞行
至着陆坡的 处着陆， ．在空中飞行过程中，运动员到 轴的距离 与水平方向移动的距离
具备二次函数关系，其解析式为 ．
(1)求 、 的值（提示作 ）；
(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 与飞行时间 具备一次函数关系，
当运动员在起跳点腾空时， ， ；空中飞行 后着陆．
①求 关于 的函数解析式；
②当 为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离 最大．
3．纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸鸢竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．
其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比
（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为 米，则滑行比为 ）的影响．如图所示，小明
玩纸飞机，其起抛点的高度为 米，当纸飞机的水平飞行距离为3米时达到最大高度 米．
(1)求这条抛物线的解析式；(2)小明前方，距离小明 米．有一堵 米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且
不包括端点），求 的取值范围；
(3)小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为 ，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能
使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为10米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过
米）
类型九、二次函数的应用——铅锤高问题
【解惑】已知抛物线 经过点 ，与 轴交于 、 两点．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图1，直线 交抛物线 于S、T两点， 为抛物线 上A、T之间的动点，过 点作 轴
于点 于点 ，求 的最大值；
(3)如图2，平移抛物线 的顶点到原点得抛物线 ，直线 交抛物线于P、Q两点，已知点 ，
连接 分别交抛物线于另一点N、M，求证：直线 经过一个定点．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 、 两点（ 在 的左
侧），与 轴交于点 ，其中 ， ， 为抛物线顶点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 在线段 上方抛物线上运动（不含端点 、 ，求 的最大值及此时点 的坐标．
2．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边），点 、 的坐标分别是
、 ，与 轴交于点 ，点 的坐标是 ，点 和点 关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 于点 ，求线段 的最大值；
(3)点 是抛物线的顶点，点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以 ， ， ， 为顶点的四边
形是以 为边的矩形，求点 和 的坐标．
3．如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ，过点 作直线 的平行线，
交抛物线于点 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)点 为直线 下方抛物线上一点，过点 作 轴交直线 于点 ，交直线 于点 ，过点
作 于点 ，连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过（2）中 的面积取得最大值时对应的点 ，新抛
物线与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），请直接写出点 ， 的坐标．
类型十、二次函数的新定义
【解惑】定义：如果抛物线 的顶点在抛物线 上，抛物线 的顶点也在抛物线 上，且抛物线 与
的顶点不重合，我们称抛物线 与 互为“亲密抛物线”．
(1)下列抛物线是抛物线 的“亲密抛物线”的是的______；（直接填入序号）
① ；② ；③ ；
(2)若抛物线 ： （m，n为实数且 ）与 ： 互为“亲密抛物
线”，请问抛物线 的图象是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，否则，请说明理由；
(3)已知抛物线 ： （a，b，c为实数且 ）与x轴交于点M、N，抛物线 ：
与x轴交于点P、Q，若抛物线 与 互为“亲密抛物线”，且 ，请问
是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由．【融会贯通】
1．定义：抛物线 与 轴交于 ， 两点，它的顶点为 ，若 ， ， 三个点的横坐
标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“至美抛物线”．
理解：（1）下列抛物线是“至美抛物线”的是_____．（填序号）
① ② ③
应用：（2）若“至美抛物线” 的顶点坐标为 ，且 ，求该抛物线的解析式．
拓展：（3）若“至美抛物线” 的顶点 坐标为 ，且 ，与 轴的交点为 ．
①若“至美抛物线” 可以由抛物线 平移得到，求点 的纵坐标；
②已知点 ， ，若 是等腰三角形，直接写出 的值．
2．定义：已知平面直角坐标系 中有 ， 两点（点 在点 左侧）， ，且 轴，若抛物
线 经过 ， 两点，则称抛物线 是线段 的“共弦抛物
线”．
(1)若 ， ，线段 的一条“共弦抛物线” 的顶点 的纵坐标为 ，
求这个抛物线的解析式；
(2)在（ ）的条件下，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，求 的面积；
(3)若 ，线段 的“共弦抛物线” 和 的顶点分别为点 ，
，且点 ， 距线段 的距离之和为 ，求 的值．
3．【背景】
对于二次函数 ，现定义：函数 （ 为常数）叫做 的伴
随二次函数，其中 称为伴随参数．
【初识】
（1）若二次函数 ，求 时伴随二次函数 的函数解析式；【拓展】
（2）若 的图象与伴随二次函数 的图象有且只有一个公共点，且该公共点的纵坐标为6，
求伴随参数 的值；
【迁移】
（3）已知某喷泉的水流轨迹可近似为函数 （单位：米），其中 表示水平距离， 表示铅
直高度．因设施调整，要使调整后喷泉水流的新轨迹函数变为 的伴随二次函数 ，求 取何值时新轨迹
的最高点到原点的距离最小？
