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第二十二章 二次函数综合题拓展训练
目录与链接
考点一 二次函数规律探究…………………………………………………………………………2
考点二 与二次函数有关的 最值问题 ………………………………………………………………8
考点 三 二次函数背景下分段函数 ……………………………………………………………… 26
考点 四 二次函数背景下的最值讨论问题 ………………………………………………………32
考点 五 二次函数图象的变换问题 ………………………………………………………………41
考点 六 二次函数的临界点问题 …………………………………………………………………66
考点 七 与二次函数有关的角度问题 ……………………………………………………………83
考点 八 与二次函数有关的线段问题 ……………………………………………………………94
考点 九 与二次函数有关的特殊三角形问题 ……………………………………………………104
考点 十 与二次函数有关的特殊四边形问题 ……………………………………………………122
考点 十一 二次函数营销问题 ……………………………………………………………………147
考点 十二 动点背景下的二次函数问题 …………………………………………………………155考点一 二次函数规律探究
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示，已知A点坐标为
，过点A作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴
交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ……，依次进行下去，则点 的坐标为
．
2．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，点 、 、 、…、 在抛物线 图象上，点 、 、
、…、 在y轴上，若 、 、…、 都为等腰直角三角形（点 是坐标原点），
则 的腰长=
3．（2023·浙江台州·二模）观察规律 ， ， ，…，运用你观察到的规律解决以下问题：
如图，分别过点 作x轴的垂线，交 的图像于点 ，交直线 于点 ．
则 的值为 ．
4．（2021·山东德州·二模）如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的
点）依次为A，A，A…A，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列
1 2 3 n
条件：①抛物线的顶点M，M，M，…M，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A，A，A…
1 2 3 n 1 2 3
A，…．则顶点M 的坐标为 ．
n 2014
考点二 与二次函数有关的最值问题
5．（21-22九年级上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ 交x轴于
A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不
存在，说明理由；
（4）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐
标及此时△PBC的面积；若不存在，说明理由．
6．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线 （b，c为常数），经过点A（－2，0），C
（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且 ，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最
小值．
7．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，
抛物线 经过点 ， 两点，且与直线 交于另一点 ．
（1）求抛物线的解析式；（2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的
四边形是以 为边的菱形．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ， ．探究
是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图1，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴
交于点 ，已知点 的坐标为 ，点 坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 为抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标及周长最小值；
(3)如图2，点 为直线 上方抛物线上的一个动点，当 面积最大时，求点 的坐标．
9．（2022·湖北恩施·一模）如图，已知直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线
的顶点是 ，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，
过点P作 于点G．(1)求b、c的值；
(2)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点C，D，M，N为
顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．
(3)当点P运动到何处时，线段 的长最小？最小值为多少？
10．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线 与 轴交于点 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，抛物线与 轴交于点 ，点 为线段 上一点（不与端点重合），直线 ， 分别交抛物线
于点 ， ，设 面积为 ， 面积为 ，求 的值；
(3)如图 ，点 是抛物线对称轴与 轴的交点，过点 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点 ，
，过抛物线顶点 作直线 轴，点 是直线 上一动点．求 的最小值．考点三 二次函数背景下分段函数
11．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数 ，若 则下列说法正确的是
（ ）
A．当 时， 有最小值 B．当 时， 无最大值
C．当 时， 有最小值 D．当 时， 有最大值
12．（2024·湖北武汉·二模）如图，在平面直角坐标系 中，画出了函数 的部分图象，
若关于x的方程 有3个不相等的实数根，则k的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
13．（19-20九年级上·湖北黄石·期中）已知函数 ，若使y＝k成立的x值恰好有三个，
则k的值为 ．
14．（18-19九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中两点P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝
，则称Q点是P点的可控点．若P（x，y）满足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）时，可控点Q
（x，y′）满足－16≤y′≤16，则a的取值范围为 ．15．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数
(1)点P（2，2）在此函数的图象上．
①求n的值．
②求此函数的图象与y轴的交点．
(2)当n = 1时，此函数的最大值为 ．
考点四 二次函数背景下的最值讨论问题
16．（2023·辽宁大连·模拟预测）已知二次函数 ，当 且 时， 的最小值为 ，
最大值为 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知二次函数 ，当 时，二次函数的最大值
为 ，最小值为 ，若 ，则a的值为（ ）
A．1或 B．2或 C．2或 D． 或
18．（2024·山东济南·二模）抛物线 ，将其图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不
变，组成图形 是 上的任意一点，当 时， 的最大值记为 ，则 取得最小值时，
的值为( )
A． B． C． D．19．（2024·浙江·一模）已知一次函数 ，当 时， ，若 的最小值为
2，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
20．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线 过点 ， 两点，若 ，
时，y的最大值为 ，则t的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
21．（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数 （a为常数），当 时，函数的最
大值与最小值的差为9，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．
22．（21-22九年级上·湖北荆州·期中）已知二次函数 ，当 时有最小值10，则m的值
为 ．
23．（21-22九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，
最大值为5n，则m+n的值为 ．
24．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数 （ 为常数）的图像与 轴的公共点为 ，
．
(1)当 时，求 的值；
(2)当 ，且 时，求 的取值范围；(3)线段 长的最小值为 ．
考点五 二次函数图象的变换问题
25．（2024·四川南充·二模）如图，将抛物线 在 轴下方的图象沿 轴翻折到 轴上方，原抛
物线 轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线 与新函数的图象有三个交点，
则 的取值范围是 ．
26．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线 ： 绕原点 顺时针旋转
后得到 ，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ．点 为 的顶点，作直线 ．点 为平
面内一动点，将点 向上平移两个单位长度得到点 ，过点 作y轴的垂线交直线 于点 ，以 、
为边构造矩形 ．设 、 、 的图象为 ．当矩形 与图象 有三个公共点时， 的取
值范围为 ．
27．（2024·四川广元·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线
对称的图象交于 四点， 则四边形 的面积为 ．28．（2024·陕西商洛·三模）如图，抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交
于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到新的抛物线 ，
在 的对称轴上有一点 ，坐标平面内有一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点且以 为边的四边形是
矩形，求满足条件的点 的坐标．
29．（2024·河南焦作·二模）已知抛物线 的顶点为D．
(1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标；
(2)在（1）的条件下，把 时函数 的图象记为 ，将图象 绕原点旋转 ，得
到新图象 ，设图象 与图象 组合成的图象为 ．
①图象 的解析式 （写出自变量的取值范围）；
②若直线 与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围．30．（2024·山东济南·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴分别交
于点 和点 ，与 轴交于点 ．
(1)如图1，若点 的坐标为 ，求抛物线的表达式和点 的坐标；
(2)过点 作 轴的垂线 ，将抛物线在 轴右侧的部分沿直线 翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部
分的图象组成新的图形，记为图形 ．
①在（1）的条件下，在图形 位于 轴上方的部分是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐
标；若不存在，请说明理由；
②如图2，已知点 和点 是图形 上的点．设 ，当 时，请直接写出 的
取值范围．31．（2024·湖北恩施·二模）如图1，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C
点，直线 经过B、C两点．
(1)求出该二次函数的解析式．
(2)已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再
过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N．
①当 时，求点P的横坐标．
②当 的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围．
(3)如图2，将二次函数 在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得
到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线 ，当直线 与这个新图象有3个
公共点时，求n的值．
32．（2024·安徽滁州·三模）如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是
抛物线的顶点，直线 是抛物线的对称轴， 于点 D， ，则称实线表示的部分为该抛物线上
的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点， 的长为“正抛
线”的高．(1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式；
(2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b；
(3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点
都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直
线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比．
33．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线
过点B和C，与x轴的另一个交点为A．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作直线 轴于点N，交直
线 于点G，若点G为 的三等分点，求点M的坐标；
(3)将线段 先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段 ．现另有抛物线
，请你根据a的不同取值范围，探索抛物线 与线段 的交点
个数（只需直接写出a的取值范围及对应的交点个数即可）．
34．（2024·河北石家庄·二模）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
，抛物线的顶点为点 ，对称轴与 轴交于点 ．(1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴及点 关于对称轴的对称点 的坐标；
(2)点 是线段 上的一个点，过点 作x轴的垂线，与抛物线交于点 ．
①若点 在对称轴上，判断此时点 是否为线段 的中点，说明理由；
②当 最大时，求点 的坐标；
(3)将线段 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位得到线段 ，若抛物线
与线段 只有一个交点，请直接写出 的取值范围．
考点六 二次函数的临界点问题
35．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线 与抛物线 对称轴左侧部分的图象有且只有一
个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或36．（2024·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系 中，抛物线 （a，b，c为常数，且
）经过 和 两点．已知点 ， ，若该抛物线与线段 恰有一个公共点，则
a的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
37．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线 ，对于任意一个函数，
与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线
的“镜面函数”．例如：函数 的“镜面函数”的解析式为 ， ，， ， ，函数 关于直线 的“镜面函数”图象与矩形
的边恰好有4个交点，则n的取值范围是 ．
38．（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有 ， 两点，如果抛
物线 与线段 没有公共点，则a的取值范围是 ．
39．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （b，c为常数）的
图象交y轴于点 ，其对称轴为 ．
(1)求该二次函数的关系式；
(2)点A、C均在该二次函数的图象上，它们的横坐标分别为n和 ．以线段 为对角线作矩形 ，
轴、当矩形 与该二次函数图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为P，若 与
矩形 的面积之比为 ，请求出点A的坐标．40．（2024九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系 中，抛物线 ， ， 为常数，
且 经过 和 两点．
(1)求b和c的值（用含a的代数式表示）；
(2)若该抛物线开口向下，且经过 ， 两点，当 时，y随x的增大而减小，
求k的取值范围；
(3)已知点 ， ，若该抛物线与线段 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a的取值范围．41．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系 中，抛物线 与y轴交于点A，点
B与点A关于该抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为C．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若 的面积为 ，求a的值．
(3)如图，已知点 ， ， ， ，当抛物线 与正方形
只有2个公共点时，求a的取值范围．
42．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数 （m为常数， ）．
(1)当 时，求该函数的图象的顶点坐标；
(2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标；
(3)已知 ， ，若该函数的图象与线段 恰有1个公共点，直接写出m的取值范围．43．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完
美点”．抛物线 （a为常数且 ）与y轴交于点A．
(1)若 ，求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段 （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线 交于M、N两点，线段 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
求a的取值范围．
考点七 与二次函数有关的角度问题
44．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点．
点坐标为 ，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，点 为 中点．(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
(3)已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线 ， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明
理由．
45．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板
，且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，已知直线 上方抛物线上一点D，连接 ，求 的面积最大值以及此时点D的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线 方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线
上的一点，过B作直线 交新抛物线于第四象限的点E，连接 ，当
时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程．
46．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 (
)与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，其顶点为点 ，点 的坐标为 ，该抛物线与
交于另一点 ，连接 ．(1)求该抛物线的解析式．
(2)一动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿与 轴平行的方向向上运动，连接 ， ，设运动
时间为 秒( )，在点 的运动过程中，当 为何值时， ？
(3)在 轴上方的抛物线上，是否存在点 ，使得 被 平分？若存在，请直接写出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
考点八 与二次函数有关的线段问题
47．（2024·湖北武汉·二模）如图，抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴正半轴交于
点C．
(1)直接写出抛物线的解析式为：__________；
(2)如图1，连接 ，D为x轴上方抛物线上的点，且满足 ，求D点坐标；
(3)如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接 、 、 ，
且 ，抛物线对称轴为直线l，线段 、 与直线l分别交于点P、Q，延长 交直线l
于点R，若满足 ，求直线 的解析式．
48．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数 的图像经过点 ，点 ， 是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线 的上方，过点P作 轴于点
C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证 的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限， ，若点M在直线 上，且横坐标为 ，过点M作 轴于
点N，求线段 长度的最大值．
49．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 与
轴交于点 、 两点 点 在点 的左侧 ，与 轴交于点 ，且
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，点 为第一象限的抛物线上一点，且满足 ，求点 的坐标；(3)如图 ，点 为第四象限的抛物线上一点，直线 交 轴于点 ，过点 作直线 ，交 轴于点
，当 点运动时，线段 的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
考点九 与二次函数有关的特殊三角形问题
50．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段 的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且 ．在y轴上是否存在
点E，使得 为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
51．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数 的图象与 轴分别交于点 ，
与 轴交于点 ， 为抛物线上的两点．(1)求二次函数的表达式；
(2)当 两点关于抛物线对称轴对称， 是以点 为直角顶点的直角三角形时，求点 的坐标；
(3)设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，试探究： 的面积 是否存在最小值，若存在，请求出
最小值，若不存在，请说明理由．
52．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，点 在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点 在第二象限内，且 的面积为3时，求点 的坐标；
(3)在直线 上是否存在点 ，使 是以 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
53．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴
交于点 ．点 是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接 ， ，直线 交抛物线的对称轴于点 ，若点 是直线 上方抛物线上一点，且
，求点 的坐标；
(3)若点 是抛物线对称轴上位于点 上方的一动点，是否存在以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三
角形，若存在，请直接写出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
54．（2024·甘肃陇南·二模）如图，抛物线 经过 ， 两点，且与y轴交于点C，
点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 交x轴于点E，连接 ．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点Q在该抛物线的对称轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；
(3)若P为 的中点，过点P作 轴于点F，G为抛物线上一动点， 轴于点M，N为直线
上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．
55．（2024·四川凉山·二模）如图①，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，抛物线
与 轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，设 是点 ， 间抛物线上的 点
（包括端点）．其横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 为何值时， 面积 取得最大值？请说明理由；
(3)如图②，连接 ，抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，如果存在，请求
出点 的坐标，不存在，请说明理由．
考点十 与二次函数有关的特殊四边形问题56．（2024·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 （b为常数）经过
点 ．点P在抛物线上，且横坐标为m，点Q的坐标为 ，连接 、 ．
(1)求该抛物线对应的函数表达式．
(2)连接 ，当 轴时，求m的值．
(3)以线段 、 为邻边构造 ，
①边 的长的最小值为________，此时 的面积为________．
②当 ，且抛物线在 的内部（不含 的边界）的部分的y值随x的增大而增大或随x的
增大而减小时，直接写出m的取值范围．
57．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于点 、 两点，且 点的坐标为 ，与
轴交于点 ，
(1)求抛物线解析式及顶点 坐标；
(2)点 为抛物线上一点，且 ，则点 的坐标为______；
(3)点 为线段 上任意一点，过点 作 轴于点 ，直线 交抛物线于点 ，求线段 的最
大值；
(4)点 是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四
边形为矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
58．（2024·广东汕头·三模）如图1，抛物线 和直线 交于A， 两点，过点 作直线轴于点 ．
(1)求 的度数．
(2)如图2，点 从点A出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段 向点 运动，点 从点 出发，以每
秒2个单位长度的速度沿线段 向点A运动，点 ， 同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随
之停止运动，设运动时间为 秒 ．以 为边作矩形 ，使点 在直线 上．
①当 为何值时，矩形 的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当 为何值时，恰好有矩形 的顶点落在抛物线上．
59．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点
，与y轴交于点B，且关于直线 对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 时，y的取值范围是 ，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线 于点D，在y轴上是否存在
点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．60．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于A、B
两点，与y轴交于点C ，点P 是抛物线上的一动点．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点P 在直线 上方时，过点P作y轴的平行线交直线 于点E．
①求 面积的最大值；
②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，
请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作 交抛物线于点Q，过点D作 于点H，请直
接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值．
61．（2024·吉林长春·三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在抛物线 上．设点
P的横坐标为m，记抛物线对称轴与x轴的交点为 D．
(1)求点D的坐标；
(2)若 时， ，则m的取值范围为 ；
(3)点M的横坐标为 ，且 轴，将线段 的中点绕点P逆时针旋转 得到点Q， 以 、
为邻边作矩形 ．
①当点N落在抛物线时，求 的长；
②设矩形 的对称中心为点 R，当点R位于抛物线的对称轴右侧时，连接 ，当 垂直于矩形的一条对角线时，直接写出m的值．
62．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，抛物线 与x轴交于点 ，
与y轴交于点C，点D是 的中点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)当 时，求点P的坐标．
(3)如图2，过点P作直线 的垂线，垂足为M．以 为对角线作正方形 ，当点Q落在抛物线
的对称轴上时，请写出点P的横坐标．考点十一 二次函数营销问题
63．（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开
始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格 (元/ )与周次 ( 是正整数， )的关系可近
似用函数 刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格 (元/ )从
第5周的6元/ 下降至第6周的5.6元/ ， 与周次 ( )的关系可近似用函数 刻
画．
(1)求 ， 的值．
(2)若前五周该蔬菜的销售量 与每周的平均销售价格 元 之间的关系可近似地用如图 所示的函
数图象刻画，第 周的销售量与第 周相同：
①求 与 的函数表达式；
②在前六周中，哪一周的销售额 元 最大？最大销售额是多少？
(3)若该蔬菜第7周的销售量是 ，由于受降雨的影响，此种蔬菜第 周的可销售量将比第 周减少
．为此，公司又紧急从外地调运了 此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第
周的销售价格比第 周仅上涨 ．若在这一举措下，此种蔬菜在第 周的总销售额与第 周刚好持平，请通过计算估算出 的整数值．
64．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市 天内，
帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第 天（ 为整数）的售价为 （元/斤），日销售额为
（元）．据销售记录知：
①第 天销量为 斤，以后每天比前一天多卖 斤；
②前 天的价格一直为 元/斤，后 天价格每天比前一天跌 元，
(1)当 时，写出 与 的关系式；
(2)当 为何值时日销售额 最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于 元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款 元，用于捐资助学，
若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买 元的图书，求 的最小整数值．
65．（2024·湖南常德·一模）2023年6月29日，安乡“中国酱卤之乡”成功授牌，安乡的酱卤美食深受全
国各地人们喜爱．某酱卤店开通了网上销售渠道，在开始售卖当天提供150件某酱卤制品，很快就被抢购
一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过网上预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一
天多供应m件（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（ ，且x为正整数）的供
应量 （单位：件）和需求量 （单位：件）的部分数据如下表，其中需求量 与x满足某二次函数关系．
（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
第x天 1 2 … 6 … 11 … 15
15
供应量 （件） … … …
0
22
需求量 （件） 229 … 245 … 220 … 164
0
(1)直接写出 与x和 与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
(2)已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前
10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136件）
(3)在第（2）问m取最小值的条件下，若每件酱卤制品售价为100元，求第4天的销售额．
66．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）
与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场
需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10
市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
(1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量
时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题：
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值．
(3)若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________元/千
克．
考点十二 动点背景下的二次函数问题
67．（2024·河北保定·二模）如图1，一块矩形电子屏 中，G为 上一感应点， ，动点P
为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以 为边的正方形区域 ．因发生
故障，只有光带 和 正常工作， ，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿
匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域 的面积为
S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形．
(1) 时，照亮的区域面积 ______，并求a值．
(2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．
①求出点P在线段 上运动时S关于t的函数解析式；
②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域 的面积S为17．
68．（2024·江西赣州·二模）如图 ，在矩形 中，已知 ，点 是 的中点．动点 从点 出
发，以每秒 个单位的速度沿 向点 运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿折线
运动，当一个点到达点 时，另一点也随之停止运动．连接 ， ，设动点 运动的时间为
秒， 的面积为 ，图 中的曲线是动点 在线段 上时 与 的函数图象．(1)
填空：
① ____________；
②当 时，直接写出 与 的函数解析式为____________．
(2)经探究，发现当点 在线段 上运动时， 是关于 的二次函数．请求出此时 与 的函数解析式，并
直接写出自变量 的取值范围．
(3)在整个运动过程中，若存在某 个时刻 ， ， ，使得 的值相等．
①求出 的取值范围；
②当 时，求 的值．
69．（2024·天津·一模）在平面直角坐标系中， 为原点， 是等腰直角三角形， ，点
，点 在第一象限，点 在边 上（点 不与点 ， 重合），过点 作 ，交 的直
角边于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，点 的对应点为 ，连接 ．
(1)如图①，若点 落在 上，点 的坐标是__________，点 的坐标是__________；
(2)设 与 重合部分面积为 ， ．①如图②，若重合部分为四边形 ，与边 交于点 ， ，试用含 的式子表示 ，并直接写出 的
取值范围；
②当 时，求 的取值范围（请直接写出结果即可）．
70．（2023·吉林松原·三模）如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发
以 的速度向点C运动，到点C停止，过点P作 交 点Q，以线段 的中点为对称中心
将 旋转 得到 ，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为 ， 与
重合部分的面积为S（ ）．
(1)求当点D落在 边上时t的值；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)直接写出当 是等腰三角形时t的值．
71．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）问题提出：
四边形 是正方形， 是射线 上的动点，点 在线段 的延长线上，且 ，连接 ，将
线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，设 ，四边形 的面积为 （
可等于0）．
(1)如图①，当点 由点 运动到点 过程中，发现 是关于 的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，2，4
抛物线经过原点且顶点为 ，请根据图象信息，回答下列问题：
①正方形ABCD的边长为___________（直接填空）；
②求 y 关于x的函数关系式；
(2)如图③，当点E在线段AB的延长线上运动时，求 y 关于x的函数关系式；
E，E EFBG
(3)若在射线 AB 上从下至上依次存在不同位置的两个点 1 2，对应的四边形 1 的面积与四边形
E FBG BE BE 2 EFBG
2 的面积相等，当 1 2 时，求四边形 1 的面积．
72．（2023·山东青岛·二模）如图1，在菱形ABCD中，AC、BD交于点E，BD16厘米，点F在CE上，
EF 3厘米．点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿AE向点E匀速运动，用时8
EB
0x8
△EFQ
秒到达点E；点Q以m厘米/秒的速度沿 向点E匀速运动，设运动的时间为x秒 ， 的
y PEQ y
面积为 1平方厘米， 的面积为 2平方厘米．
y y
(1)图2中的线段 OH 是 1与x的函数图象，则 1与x的函数关系式为________，m的值为________；
y 4,12
AC
(2)图2中的抛物线是 2与x的函数图象，其顶点坐标是 ，求点P的速度及对角线 的长；
(3)在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0OG6，过G作AM 垂直于x轴，分别交抛物线和线段OH 于
点M、N．①直接写出线段MN的长在图1中所表示的意义；
②当0x6时，求线段MN长的最大值．
