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第二十二章 二次函数（4 大压轴考法专练）
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题型一：二次函数图象与系数关系...................................................................................1
题型二：抛物线与x轴交点..............................................................................................4
题型三：二次函数的应用.................................................................................................9
题型四：二次函数综合题...............................................................................................19
一．二次函数图象与系数的关系
1．（2024•江阳区校级模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次
函数 为常数）在 的图象上存在两个二倍点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线 上，由 可得二倍点所在线段
的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为 ，
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
设 ， ，如图，
联立方程 ，
当△ 时，抛物线与直线 有两个交点，
即 ，
解得 ，
此时，直线 和直线 与抛物线交点在点 ， 上方时，抛物线与线段 有两个交点，
把 代入 得 ，把 代入 得 ，
，
解得 ，
满足题意．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转
化为图形问题求解．
2．（2024•商河县二模）对于一个函数，当自变量 取 时，其函数值 等于 ，我们称 为这个函数的
二倍数．若二次函数 为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】由函数的二倍数概念得出 、 是方程 的两个实数根，由△ 且 时 ，
即可求解．
【解答】解：由题意知二次函数 有两个相异的二倍数点 、 是方程 的两个不
相等实数根，且 、 都小于1，
整理，得： ，
由 有两个不相等的实数根知：△ ，即 ①，
令 ，画出该二次函数的草图如下：
而 、 （设 在 的右侧）都小于1，即当 时， ②，
联立①②并解得： ，
故选： ．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握二倍数的概念，并据此得出
关于 的不等式．
3．（2024•城厢区校级模拟）对于一个函数：当自变量 取 时，其函数值 也等于 ，我们称 为这个函数的不动点．若二次函数 为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】由函数的不动点概念得出 、 是方程 的两个实数根，由△ 且 时 ，
即可求解．
【解答】解：由题意知二次函数 有两个相异的不动点 、 是方程 的两个不
相等实数根，且 、 都小于1，
整理，得： ，
由 有两个不相等的实数根知：△ ，即 ①，
令 ，画出该二次函数的草图如下：
而 、 （设 在 的右侧）都小于1，即当 时， ②，
联立①②并解得： ；
故选： ．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出
关于 的不等式．
二．抛物线与x轴的交点
4．（2024•高新区校级一模）如图，二次函数 的图象交 轴于点 ， （点 在点
的左侧），交 轴于点 ．现有一长为3的线段 在直线 上移动，且在移动过程中，线段
上始终存在点 ，使得三条线段 ， ， 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段 左端
点 的横坐标为 ，则 的取值范围是 ．【分析】（1）先求出点 ，点 ，点 坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可
求解．
【解答】解：（1） 的图象交 轴于点 ， ，交 轴于点 ．
点 ，点 ，点 ，对称轴为直线 ，
如图2，
线段 上始终存在点 ，使得三条线段 ， ， 能与某个等腰三角形的三条边对应相等，
，或 ，或 ，
在直线 上移动，
点 的纵坐标为 ，
设点 ，
若 ，
，
，
点 ， ，
， ，
，不合题意舍去；
若 ，
，
，
点 ， ，
， ，
，
， ， 能组成三角形；
若 ，
，
，
点 ，
， ，
，
， ， 能组成三角形；
点 在长为3的线段 上，
线段 左端点 的横坐标为 的取值范围为： ，
线段 左端点 的横坐标为 的取值范围为： ，
故答案为： ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关
系，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
5．（2023秋•榆树市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交
点坐标为 ，设该图象上任意两点的坐标分别是 ， ， ， ，其中 ， 为 时
的最大值与最小值的差．若 ，则 的取值范围是 ．【分析】由题意得： 、 只能在对称轴的两侧，即 ， ，即抛物线在 处取得最小值，
在顶点处取得最大值 ，即可求解．
【解答】解：将 代入抛物线表达式得： ．
解得： ，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 ，
， ，
则 、 只能在对称轴的两侧，
即 ， ，
即抛物线在 处取得最小值，在顶点处取得最大值 ，
而 时，函数 ， 时， ，
当 时，则 ，此时， ，
当 时，则 ，此时， ，
故 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是抛物线和 轴的交点，熟悉函数额图象和性质是解题的关键．
6．（2024•鄄城县一模）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于
点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点 和点 的坐标；
（3）若点 在第一象限内的抛物线上，且 ，求 点坐标．【分析】（1）根据点 、 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入 求出 值，由此可得出点 的坐标，根据抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可求出
顶点 的坐标；
（3）设点 的坐标为 ， ， ，根据三角形的面积公式结合 ，即可得出关于
的一元一次方程，解之即可得出 值，再代入 值求出 值，取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）将 、 代入 ，
，解得： ，
抛物线的解析式为 ．
（2）当 时， ，
点 的坐标为 ；
抛物线的解析式为 ，
顶点 的坐标为 ．
（3）设点 的坐标为 ， ， ，
， ，
，
，
，
，
解得： （不合题意，舍去）， ，
点 的坐标为 ．
【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法
求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐
标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用二次函数性质求出顶点 的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合 求出点 的纵坐标．
7．（2024•官渡区一模）已知二次函数 为常数且 的顶点在 轴上方，且到 轴的
距离为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数 的图象记为 ，将 关于原点对称的图象记为 ， 与 合起来
得到的图象记为 ，完成以下问题：
①在网格中画出函数 的图象；
②若对于函数 上的两点 ， ， ， ，当 ， 时，总有 ，求出 的取值
范围．
【分析】（1）根据二次函数的顶点在 轴上方，且到 轴的距离为4，可得二次函数顶点的纵坐标为4，
进而可得 的值，即可求得二次函数的解析式；
（2）①分别得到 与 轴的交点，顶点坐标及与 轴正半轴的交点，画出相关函数图象；同理得到 与
轴的交点，顶点坐标及与 轴负半轴的交点，画出相关函数图象；
②分点 在 轴的左侧和右侧两种情况探讨 的情况时 的取值，即可得到 的取值范围．
【解答】解（1） 二次函数 为常数且 的顶点在 轴上方，且到 轴的距离为4．
．
解得： ．
二次函数的解析式为： ；
（2）① 二次函数 的图象记为 ，
图象与 轴的交点为 ，顶点坐标为 ，与 轴正半轴的交点为 ．
关于原点对称的图象 ，与 轴的交点为 ，顶点坐标为 ，与 轴负半轴的交点为 ．
②Ⅰ、当点 在 轴的左侧和点 之间时，总有 ．．
，
；
Ⅱ、当点 在 轴的右侧时，点 在点 的右边时，总有 ．
当 时， ．
解得： （不合题意，舍去）， ．
时，总有 ．
综上： 或 时，总有 ．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质．用到的知识点为：二次函数的顶点的纵坐标为 ．本题
主要采用数形结合的方法判断出 时相对应的自变量的取值．
8．（2023秋•修水县期末）抛物线 中，函数值 与自变量 之间的部分对应关系
如下表：
1 3 4
0
（1）设抛物线 的顶点为 ，则点 的坐标为 ；
（2）现将抛物线 沿 轴翻折，得到抛物线 ，试求 的解析式；
（3）现将抛物线 向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点 ，与 轴的两交点为点 、 ．
①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点 、 之间的距离不小于6个单位？
②在最初的状态下，若向下平移 个单位时，对应的线段 长为 ，请直接写出 与 的等量
关系．
【分析】（1）观察表格可知，抛物线上点 与点 关于对称轴对称，推出抛物线的对称轴，可得顶点 坐标 ．
（2）根据题意求出抛物线 的顶点坐标以及 的值即可解决问题．
（3）①抛物线 向下平移过程中，对称轴 ，当 之间的距离为6时，可知 ， ，
此时抛物线 的解析式为 ，即 ，所以抛物线 至少向下平移9个单
位，点 、 之间的距离不小于6个单位．
②抛物线 下平移 个单位后的解析式为 ，令 ，解得 ，可得
， ， ， ，推出 ，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）观察表格可知，抛物线上点 与点 关于对称轴对称，
抛物线的对称轴 ，
顶点 坐标 ．
故答案为 ．
（2）设抛物线 的解析式为 ，把 代入得到 ，
抛物线 的解析式为 ，
将抛物线 沿 轴翻折，得到抛物线 ，根据对称性可知，抛物线 的顶点为 ， ，
的解析式为 ，
（3）①抛物线 向下平移过程中，对称轴 ，当 之间的距离为6时，可知 ， ，
此时抛物线 的解析式为 ，
即 ，
抛物线 至少向下平移9个单位，点 、 之间的距离不小于6个单位．
②抛物线 下平移 个单位后的解析式为 ，
令 ，解得 ，
， ， ， ，
，
．
【点评】本题考查二次函数与 轴的交点、平移变换、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，熟练掌握二次函数的三种形式，属于中考常考题型．三．二次函数的应用
9．（2024•市北区三模）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上
升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如表：
周数 1 2 3 4
价格 （元 千 2 2.2 2.4 2.6
克）
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份 与
的函数关系式；
（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格 （元 千克）从5月第1周的2.8元 千
克下降至第2周的2.4元 千克，且 与周数 的变化情况满足二次函数 ，请求出5月份
与 的函数关系式；
（3）若4月份此种蔬菜的进价 （元 千克）与周数 所满足的函数关系为 ，5月份此种蔬菜
的进价 （元 千克）与周数 所满足的函数关系为 ．试问4月份与5月份分别在哪一周销售
此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？
【分析】（1）从表格看出， 每增加1， 就增加0.2，由此可确定是一次函数关系式，继而代入两点可
得出解析式；
（2）把 ， 和 ， ，分别代入 可求 、 的值，确定二次函数解析
式；
（3）根据一次函数，二次函数的性质及自变量的取值范围，求最大利润；
【解答】解：（1）通过观察可见四月份周数 与 的符合一次函数关系式，设这个关系式为： ，
则 ，
解得： ，
月份 与 的函数关系式为 ；
（2）将 ， ， 代入 ．
可得：解之：
即 ．
（3）4月份此种蔬菜利润可表示为： ，即： ；
由函数解析式可知，四月份的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：
（元 千克），
5月份此种蔬菜利润可表示为： ，
即：
由函数解析式可知，五月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为： ，
即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：
（元 千克）．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数解析式求法及二次函数的实际应用，解答本题的关键是求出两函
数关系式，将实际问题转化为数学计算，有一定难度．
10．（2024•滑县二模）护林员在一个斜坡上的点 处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地 进
行浇灌， ，点 处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知水柱在距出水口 的水平距离
为 时，达到距离地面 的竖直高度的最大值为 ．设喷出的水柱距出水口的水平距离为 ，距
地面的竖直高度为 ，以坡底 所在的水平方向为 轴， 处所在的竖直方向为 轴建立平面直角坐标
系，原点为 ，如图所示．经过测量，可知斜坡 的函数表达式近似为 ．
（1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）若该装置浇灌的最远点 离地面的竖直高度为 ，求此时喷到 处的水柱距出水口的水平距离．
（3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地 时，安装的
支架的高度为多少米？
【分析】（1）由题意可得 ，抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把 代入 或 ，再求解即可；
（3）设安装的支架高度为 米，即抛物线向上平移 个单位长度．可得平移后的抛物线表达式为
．求解 ．将 代入 ，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）由题意，可知 ，抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的函数表达式为 ．
把 代入，得 ，解得 ．
水柱所在抛物线的函数表达式为 ．
（2）对于直线 ，
当 时， ，解得 ．
喷到 处的水柱距出水口的水平距离为 ．
解法二：将 代入 ，
可得 ，解得 或 （舍去）．
喷到 处的水柱距出水口的水平距离为 ．
（3）设安装的支架高度为 米，即抛物线向上平移 个单位长度．
平移后的抛物线表达式为 ．
对于 ，当 时， ，
解得 ．
．
将 代入 ，
得 ，
解得 ．
水柱恰好可以覆盖整个坡地 时，安装的支架的高度为 米．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键；
11．（2024•红塔区三模）某 直营店招牌：“新进最新款洗发水40瓶，每件售价80元，若一次性购
买不超过10瓶时，售价不变；若一次性购买超过10瓶时，每多买1瓶，所买的每瓶洗发水的售价均降
低2元．”已知该瓶洗发水每瓶进价52元，设顾客一次性购买洗发水 瓶时，他所付洗发水单价 元，
该直营店所获利润为 元．
（1）求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少瓶时，该直营店从中获利最多？
【分析】（1）根据题意分 、 两种情况求解可得；
（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，利用一次函数和二次函数的性质分别求解，比较大小即可
得出答案．
【解答】解：（1）根据题意知，当 时， ；
当 时， ；
（2）①当 时， ，
随 的增大而增大，
当 时， 取得最大值，最大值为280；
②当 时， ，
时， 取得最大值，最大值为288，
综上，当顾客一次性购买12瓶时，该直营店从中获利最多．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出 与 的函数关系是解题关键．
12．（2024•南山区一模）麻城市思源实验学校自从开展“高效课堂”模式以来，在课堂上进行当堂检测
效果很好．每节课40分钟教学，假设老师用于精讲的时间 （单位：分钟）与学生学习收益量 的关
系如图1所示，学生用于当堂检测的时间 （单位：分钟）与学生学习收益 的关系如图2所示（其中
是抛物线的一部分， 为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间．
（1）求老师精讲时的学生学习收益量 与用于精讲的时间 之间的函数关系式；
（2）求学生当堂检测的学习收益量 与用于当堂检测的时间 的函数关系式；
（3）问此“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量最
大？【分析】（1）由图设该函数解析式为 ，即可依题意求出 与 的函数关系式．
（2）本题涉及分段函数的知识．需要注意的是 的取值范围依照分段函数的解法解出即可．
（3）设学生当堂检测的时间为 分钟 ，学生的学习收益总量为 ，则老师在课堂用于精讲的时
间为 分钟．用配方法的知识解答该题即可．
【解答】解：（1）设 ，
把 代入，得： ，
， ；
（2）当 时，设 ，
把 代入，得： ，
解得： ，
，
当 时， ；
（3）设学生当堂检测的时间为 分钟 ，学生的学习收益总量为 ，则老师在课堂用于精讲的时
间为 分钟，
当 时， ，
当 时， ；
当 时， ，
随 的增大而减小，
当 时， ，
综上，当 时， 取得最大值129，此时 ，
答：此“高效课堂”模式分配33分钟时间用于精讲、分配7分钟时间当堂检测，才能使这学生在40分钟
的学习收益总量最大．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大
值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．13．（2023秋•硚口区校级期末）某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，
调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．
（1）写出月销售利润 （单位：元）与售价 （单位：元 件）之间的函数解析式．
（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．
（3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【分析】（1）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可；
（2）将 代入求出即可求出月销售量和销售利润；
（3）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：
，
；
（2）当 时， （件 ，
（元 ；
（3） ，
，
故当 （元 ，最大利润为12250元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，得出 与 的函数关系是解题关键．
14．（2024•滦南县校级模拟）某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解
到一种成本为20元 件的新型商品在第 天销售的相关信息如下表所示：
销售量 （件
销售单价 （元 件）
当 时，
当 时，
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元 件
（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该
加盟店 元奖励．通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间 （天
的增大而增大，求 的取值范围．
【分析】（1）分别令当 时和当 时的函数值为35，然后求得对应的 的值即可；
（2）分为当 时和当 时两种情况，列出列出与天数的函数关系式，然后利用二次函数和反
比例函数的性质求解即可；
（3）先求得抛物线的对称轴方程，然后依据前10天的利润随 的增大而增大列出关于 的不等式求解即可．
【解答】解：（1）当 时， ，解得
当 时， ，解得 ，
经检验， 是分式方程的解．
（2）当 时， ，
当 时， 有最大值为612.5
当 时， ，
当 时， 有最大值为725
第21天时获得最大利润，最大利润为725
（3） ，
前10天每天获得奖励后的利润随时间 （天 的增大而增大，
观察图象可知，对称轴为直线 ，
，
解得： ，
因为
．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次、反比例函数的增减性是解题的关键．
四．二次函数综合题
15．（2024•淮安模拟）定义：若函数图象上存在点 ， ，且满足 ，则称 为
该函数的“域差值”．例如：函数 ，当 时， ；当 时， ，
则函数 的“域差值”为2．
（1）点 ， 在 的图象上，“域差值” ，求 的值；
（2）已知函数 ，求证该函数的“域差值” ；
（3）点 为函数 图象上的一点，将函数 的图象记为 ，将函数
的图象沿直线 翻折后的图象记为 ．当 ， 两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值” 时，求 的取值范围．
【分析】（1）由题意得： ， ，由 ，得 ，即可求得答案；
（2）设函数 图象上存在点 ， ，且满足 ， ，可得
，再利用不等式的性质即可得出 ，即 ；
（3）当 两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值” 时，则 ，可得 ，对于函
数 的图象沿直线 翻折后的图象记为 ，利用对称性可得 ，即
可得出答案．
【解答】（1）解： 点 ， 在 的图象上，
， ，
“域差值” ，
，
即 ，
整理，得： ，
解得： ， ，
经检验， ， 均是方程 的解，
的值为 或 ；
（2）证明：设函数 图象上存在点 ， ，且满足 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
，
，
即 ，
故该函数的“域差值” ；（3） 点 为函数 图象上的一点，
，
由（2）得： ，
当 两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值” 时，
则 ，
解得： ，即 ，
当 时，函数 的图象上所有的点都满足“域差值” ，如图，
对于函数 的图象沿直线 翻折后的图象记为 ，
当部分图象上的所有的点都满足“域差值” 时，
则 ，
解得： ，
，即 ，
．
【点评】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数
形结合思想等，解题关键是正确理解并运用新定义解决问题．
16．（2024•玉山县二模）已知抛物线 的顶点为 ，直线 与 轴、 轴分
别交于点 ， ．
（1）若抛物线 与 轴只有一个公共点，求 的值．
（2）当 时，设 的面积为 ，求 关于 的函数关系式．
（3）将抛物线 绕点 旋转 得到抛物线 ，其顶点为点 ．
①若点 恰好落在直线 上，求 与 满足的关系式；②当 时，旋转前后的两个二次函数 的值都会随 的增大而减小，求 的取值范围．
【分析】（1）先得出抛物线的顶点为 ，根据抛物线 与 轴只有一个公共点，建立方程求解
即可；
（2）过点 作 轴，交 于 ，交 轴于 ，分两种情况：①如图1，当 即 时，点
在直线 的右方，②当 即 时，点 在直线 的左方，分别求得答案即可；
（3）①点 绕点 旋转 得到点 ，可得点 为 中点，设 ，则有 ，
，即 ， ，代入 ，即可求得答案；
②由题意得当 抛物线开口向上时，在 的范围内满足 随 增大而减小，旋转后抛物线开口向
下，且顶点 ，利用二次函数的性质列出不等式即可求得答案．
【解答】解：（1） ，
抛物线的顶点为 ，
抛物线 与 轴只有一个公共点，
，
；
（2）过点 作 轴，交 于 ，交 轴于 ，
点 在直线 上，
且 ，即点 一定在点 上方，
，
直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
， ， ，
①如图1，当 即 时，点 在直线 的右方，，
②当 即 时，点 在直线 的左方，
，
综上所述， ；
（3）① 点 绕点 旋转 得到点 ，
点 为 中点，
设 ，则有 ， ，
整理得： ， ，
点 在直线 上，
，
整理得： ；
② 旋转前抛物线对称轴为直线 ，
当 抛物线开口向上时，在 的范围内满足 随 增大而减小，旋转后抛物线开口向下，且顶点 ，
要满足在 的范围内 随 增大而减小，即抛物线下降，
对称轴直线 需在 左侧，
，
解得： ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数中的面积问题，
中心对称，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
17．（2024•吉林四模）抛物线 经过点 ，点 在抛物线上，且横坐标为 ，点 是
坐标平面上一点，其坐标为 ．以 为对角线作矩形 ， 轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当 轴平分矩形 的面积时，求 的值；
（3）当 时，求 的值；
（4）当矩形 的边（包括顶点）与抛物线有3个交点时，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）由题意得： ， ， ， ，根据 轴
平分矩形 的面积，可得 轴经过 的中点，利用中点坐标公式即可求得答案；
（3）由 ，建立方程求解即可得出答案；
（4）分两种情况：①当点 在点 的下方时，②当点 在点 的上方时，分别讨论即可．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 ，
，
解得： ，
抛物线的函数解析式为 ；
（2）由题意得： ， ，
以 为对角线作矩形 ， 轴，
， ，
轴平分矩形 的面积，
轴经过 的中点，
，
解得： ，
的值为 ；
（3） ，，
化简得： ，
或 ，
解得： ， ， ， ，
综上所述， 的值为0或1或2或3；
（4） ，
抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
，
点 在点 的右边，
①当点 在点 的下方时，则 ，
，
令 ，
解得： ， ，
，
矩形 的边（包括顶点）与抛物线有3个交点，
抛物线的对称轴 必定在 之间且更靠近 ，
且 ，即 ，
；
②当点 在点 的上方时，则 ，
或 ，
这种情况下，抛物线与矩形 有3个交点有两种情况：
抛物线交矩形于 、 两点，且顶点为 的中点，
则 ，即 ，
抛物线交矩形于 、 两点，且顶点在 上方，
把 代入 ，
得 ，
整理得： ，△ ，
此方程没有实数根，该情况不可能存在；
综上所述， 的取值范围为 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，矩形的性质，线段的
中点坐标的表示方法，分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴
题．
18．（2024•冷水滩区校级模拟）如图，已知抛物线 经过 、 两点，与 轴
的另一个交点为 ，顶点为 ，连接 ，点 为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点 在直线 的下方运动时，过点 作 交于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于
点 ．求 周长的最大值及此时点 的坐标．
（3）在该抛物线上是否存在点 ，使得 ．若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）将点 、 坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）运用待定系数法可得直线 的解析式为： ．设点 ，则 ，
，再证得 是等腰直角三角形，得出 ，设 的周长为 1，则
，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）分点 在直线 下方、上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1） 抛物线过 、 两点，
，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2）令 ，得 ，解得： ， ，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为： ．
设点 ，则 ，
，
如图，过点 作 轴于 ，则 ，
， ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
轴， 轴，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设 的周长为1，
则 ，
当 时，周长1最大，最大值为： ，此时点 为 ， ；（3）存在．连接 ，
，
抛物线的顶点为 ，
， ， ，
，
，
当点 在直线 下方时，
，
，
，
，
，
，
点 是 的中点，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的表达式为： ，由 ，
解得： （舍去）， ，
此时点 ， ．
当点 在直线 上方时，如图，
，
．
设直线 的解析式为 ，把点 、 的坐标代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，把点 的坐标代入得： ，
解得 ，
直线 的表达式为 ，
联立得 ，
解得 （舍去）或 ，
此时点 ．
综上，存在点 ，使得 ．点 的坐标为 ， 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数的图象和性
质，二次函数综合运用，等腰直角三角形性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
19．（2024•云梦县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，在 的左侧），与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图（1），已知点 为第二象限抛物线上一点，连接 ，若 ，求点 的坐标；
（3） 和 分别是直线 和抛物线上的动点，且点 的横坐标比点 的横坐标大4个单位
长度，分别过 ， 作坐标轴的平行线，得到矩形 ．设该抛物线在矩形 内部（包括边界）
的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为 ．
①如图（2），当 时，请直接写出 的值；
②请直接写出 关于 的函数关系式．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设 交 轴于 ，可证得 ，得出 ，可得 ，运用待定系数法
可得直线 解析式为 ，联立方程组即可求得点 的坐标；
（3）①当 时， ， ， ， ，即可求得答案；
②由题意得： ， ，由 ，可得
， ，分三种情况：当 时，当 时，当
时，分别画出图象，即可求得答案．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ，
，
解得 ，
抛物线的函数解析式为 ；（2）点 为第二象限抛物线上一点，设 交 轴于 ，如图
在 中，令 得 ；
解得 或 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
又 ，
，即 ，
，
，
，
，
由 ， 得直线 解析式为 ，
联立 ，解得 （舍去）或 ，
， ；
（3）①当 时， ， ， ， ，；
②根据 ，可得抛物线的顶点为 ，
当 时， ，
由题意得： ， ，
，
当 时， ，
解得： ， ，
当 时，如图2，
，此时抛物线在矩形内只有一个点 ，不合题意；
当 时，如图3，
；
当 时，如图4，；
当 时，如图5，
；
当 时，如图6，；
综上所述， 关于 的函数关系式为 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和一次函数解析式，相似三角
形的判定与性质，矩形的性质等知识．利用了数形结合与方程思想．属于中考数学压轴题．
20．（2024•丽江二模）如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ， 为
第一象限抛物线上的动点，连接 ， ， ， ， 与 相交于点 ．
（1）求抛物线的解析式：
（2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点 的坐标；
（3）是否存在点 ，使 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；
（2）根据图形得到： ，即 ．运用三角形的面积公式求得点 的
纵坐标 ，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点 的横坐标即可；
（3）在 轴的正半轴上取点 ，连接 ，过点 作 交抛物线于另一点 ，易证
，利用已知条件可求出 ， ，进而求出直线 ，直线 的解析式，求两条直
线的交点即可．
【解答】解：（1） 抛物线 经过 ， 两点，
．
解得 ．
抛物线的解析式是 ；（2）设 ，对于抛物线 ．令 ，则 ，
．
，
．
，即 ．
．
．
．
解得 ， ．
点 的坐标是 或 ．
（3）存在，使 ，点 的坐标是 ，
理由：在 轴的正半轴上取点 ，连接 ，过点 作 交抛物线于另一点 ，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
， ，
，，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
由 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性
质，勾股定理的应用以及三角形面积公式等知识点．难度不是很大，注意解题过程中方程思想和分类讨论
数学思想的应用．
21．（2024•海门区校级开学）已知：关于 的函数 ．
（Ⅰ）当 为任意实数时，这个函数的图象恒过某定点 （所谓定点，就是与 值无关的点），求此点坐
标；
（Ⅱ）若此函数的图象是抛物线，且与 轴有两个相异交点 、 ，其坐标分别为 ， ， ， ，
其中 ．
（1）求 的取值范围，并求当 为何值时， 、 两点的距离等于3；
（2）连接 、 得△ ，则当 取何值时，△ 的一个内角等于 ．
【分析】（Ⅰ）函数过定点问题，参考整式中得无关项，将含 的式子合并，令其系数为0即可得解；
（Ⅱ）（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根与系数的关系将 长度用含 式子表示出来，
再建立方程即可求出 值．
（2）分类讨论，画出图形，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）原函数可化为 ，
令 得 ，此时 ，
从而抛物线恒过定点 ；（Ⅱ）（1）由条件得
解得 且 ，
由根与系数之间的关系可知 ， ，
，
由条件得 ，
解得 ， ，两数均符合题意，
故当 或 时， ， 两点的距离等于3；
（2）在△ 中，有一个内角等于 ，
①若 ，则如图1，作 轴于 ，则 ，
此时 ，
点 坐标为 ，
代入原函数得 ，
解得 ；
②若 ，同①可得点 坐标为 ，代入原函数得 ，
解得 ，不合题意，舍去；
③若 ，则如图2，作 于 ，则△ 是等腰直角三角形， ，
又由 得，
，即 ，
，
同理 ，
故
．
又 ，，
解得 ， （舍去），
综上，满足条件得 值为 或 ．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，分类讨论和数形结合是解题的关键．
22．（2024•辽宁模拟）在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形 对角线的两个端点相交，则
定义该函数为矩形 的“友好函数”．
（1）如图，矩形 ， 轴，经过点 和点 的一次函数 是矩形 的
“友好函数”，求一次函数 的解析式；
（2）已知第一象限内矩形 的两条边的长分别为2和4，且它的两条边分别平行 轴和 轴，经过点
和点 的反比例函数 是矩形 的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标；
（3）若 是矩形 的“友好函数”且经过 ， 两点，点 的坐标为 ，点
的坐标为 ， 轴．
①若 的图象与矩形 有且只有两个交点，求 的取值范围；
②点 ， 是 图象上一点，且 ，当 时， 的最大值和最
小值的差是3，求 的值．
【分析】（1）将 和 的坐标代入求解即可；
（2）由题意可设出 和 的坐标，再代入反比例函数求解即可，需要注意的是题目只说矩形边长为 2和
4，并没注明哪条边长是2和4，所以需要分类讨论；
（3）根据题意画出图象，再根据顶点位置列出不等式即可得解；
（4）二次函数最值问题，在开口方向固定的情况下，要讨论对称轴和自变量取值范围的关系，由 ，
得到 ，进而确定最大值和最小值即可求解．
【解答】解：（1） 一次函数 经过点 和点 ，．
解得： ．
；
（2）①如图，当 ， 时，
设点 的坐标为 则点 的坐标为 ．
．
解得： ， （不合题意，舍去）．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
矩形 的两条边的长分别为2和4，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
矩形距原点最近的顶点坐标 的坐标为 ；
②如图当 ， 时，
设点 的坐标为 则点 的坐标为 ．
．
解得： ， （不合题意，舍去）．点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
矩形 的两条边的长分别为2和4，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
矩形距原点最近的顶点坐标 的坐标为 ；
综上，矩形距原点最近的顶点坐标为 或 ．
（3）① ， ，且 轴，
， ，
将 和 代入 得，
，
解得 ，
顶点坐标为 ， ，
当 时，如图，
此时 ，
解得 ；
当 时，如图，
此时 ，
解得 ，综上， 的取值范围为 或 ．
②由①知 ，
，
，
当 时， 最小 ，
当 时， 最大 ，
的最大值和最小值的差是3，
，
解得 ．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，难度较大，数形结合和分类讨论是解决问题的关键．
23．（2024•呼和浩特）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．
（1）若 ，则 ，通过配方可以将其化成顶点式为 ；
（2）已知点 ， ， ， 在抛物线上，其中 ，若 且 ，比较 与 的大小
关系，并说明理由；
（3）若 ，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线 交于 ， 两点，直线与 轴
交于点 ，点 为 中点，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，连接 ， ．求证： ．
【分析】（1）将 代入抛物线解析式求解，即可得出 的值，再化为顶点式即可；
（2）由 ，抛物线经过 可得 的取值范围，从而可得抛物线对称轴，由 可得点 ，
， ， 到对称轴距离的大小关系，进而求解；
（3）先求得平移后的抛物线解析式，与直线联立求得点 、 的坐标，根据中点得出点 及 的坐标，
运用两点间距离公式即可证得结论．【解答】（1）解： 抛物线 经过点 ，
，
解得： ，
，
化成顶点式为 ，
故答案为：2， ；
（2）解：将 代入 得 ，
，
，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
，
，
，
；
（3）证明：如图，
直线 与 轴交于点 ，，
当 时，原抛物线解析式为 ，向上平移4个单位得到的新抛物线解析式为 ，
与直线 联立得 ，
解得： ， ，
当 ， 时，
点 为 中点，
， ，
轴，
， ，
根据两点间距离公式得 ，
，
；
当 ， 时，
点 为 中点， ， ， ， ，
根据两点间距离公式得 ，
，
．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次函数
的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．24．（2024•东西湖区模拟）如图1、抛物线 与 轴交于点 ， 两点，与 轴交
于点 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 是 轴上一动点，将顶点 绕点 顺时针旋转 刚好落在抛物线上的点 处，求点 的坐标；
（3）如图2，点 ， 为 轴上方的抛物线上两点（点 在点 的左边），直线 、 与 轴分别
交于 ， 两点，若 ，试探究直线 是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是，请说明理
由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设 ，过点 作 轴于点 ，设抛物线的对称轴交 轴于点 ，则 ， ，
设 ，则 ，可证得 ，得出 ， ，建立方程组求
解即可求得答案；
（3）设 ， ，运用待定系数法可得：直线 的解析式为
，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
令 ，则 ， ，可得 ， ，根据题意推出 ，
代入直线 的解析式得 ，当 时， ，即直线 经过定点 ．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于点 ， 两点，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）设 ，过点 作 轴于点 ，设抛物线的对称轴交 轴于点 ，如图1，
则 ，，
顶点 ， ，
， ，
设 ，则 ，
， ，
由旋转得： ， ，
，
，
，
，
， ，
，
解得： ， ，
点 的坐标为 ， 或 ， ；
（3）直线 经过定点 ．理由如下：
设 ， ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，直线 的解析式为 ，
同理可得：直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ， ，
， ，
，
，
，
代入直线 的解析式得 ，
当 时， ，
直线 经过定点 ．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特
征，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的
思想解答．
25．（2024•延边州模拟）如图①，抛物线 过点 和点 ．点 在线段 上，点
的横坐标为 ，且 ．点 的坐标为 ，以 为斜边在 轴上方作等腰直角三角形 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当 时，求 的取值范围．
（3）如图②，过点 作 轴的垂线，与抛物线交于点 ，与线段 交于点 ．
①若 ，且 是直角三角形，则 ．
②设 ，当在 、 之间的抛物线上和折线 上到 轴的距离为 的点共有3个时，直接写出
的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法 、 坐标代入即可求出解析式；
（2）根据增减性判定抛物线在 的最大值和最小值即可得解；
（3）①根据 是等腰直角三角形得出 ，所以 ， ，把 和坐标表示出来即可建立方程求解；
②根据题意分别画出图象求解即可．
【解答】解：（1） 抛物线 过点 和点 ，
，
解得： ，
该抛物线的解析式为 ；
（2） ，
抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
抛物线的开口向上，
当 时， 有最小值 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ；
（3）① ，
和 均为锐角，
是直角三角形，
，即 ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即 ，
解得： 或 （舍去），
故答案为： ．
② 点 坐标是 ，且 为等腰直角三角形，
，
由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标为 ，与 轴的交点坐标 ， ，令 得， ，
解得： 或
，
均不符合，不纳入讨论范围．
（Ⅰ）当 时，如图， ，在 、 之间的抛物线上和折线 上到 轴的距离为
的点共4个，不符合题意；
（Ⅱ）当 时，如图， ，在 、 之间的抛物线上和折线 上到 轴的距离为 的点
共2个，不符合题意；
（Ⅲ）当 时，如图， ，在 、 之间的抛物线上和折线 上到 轴的距离为
的点共有3个，符合题意；
综上，当在 、 之间的抛物线上和折线 上到 轴的距离为 的点共有3个时， ．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，考查内容相对综合，熟练掌握二次函数的基础知识以及数形结合和分类讨论思想是解题关键．
26．（2024•蒸湘区一模）定义：在平面直角坐标系 中，当点 在图形 的内部，或在图形 上，
且点 的横坐标和纵坐标相等时，则称点 为图形 的“梦之点”．
（1）如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ，
， 中，是矩形 “梦之点”的是 ；
（2）如图②，已知点 ， 是抛物线 上的“梦之点”，点 是抛物线的顶点．连接
， ，求 的面积；
（3）在（2）的条件下，点 为抛物线上一点，点 为平面内一点，是否存在点 、 ，使得以 为对
角线，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义可得： ， ，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，由 ，即可求得答案；
（3）设 ，由以 为对角线，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，可得 ，
利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【解答】解：（1） 矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，
矩形 的“梦之点” 满足 ， ，
点 ， 是矩形 的“梦之点”，点 不是矩形 的“梦之点”，
故答案为： ， ；
（2） 点 ， 是抛物线 上的“梦之点”，
点 ， 是直线 上的点，，
解得： ， ，
， ，
，
抛物线的顶点为 ，抛物线的对称轴为直线 ，
设抛物线的对称轴交 于 ，则 ，
，
；
（3）存在，理由如下：
设 ，
以 为对角线，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，
，
，解得： ，
当 时， ，
当 时， ，
点坐标为 ， 或 ， ．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与
图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
27．（2024•临淄区一模）已知抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于
点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，若直线 下方的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴平行线交 于 ，过点 作 的
垂线，垂足为 ，求 周长的最大值；
（3）若点 在抛物线的对称轴上，点 在 轴上，是否存在以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四
边形，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在 轴正半轴上是否存
在一点 ，使得当经过点 的任意一条直线与新抛物线交于 ， 两点时，总有 为定值？若存
在，求出点 坐标及定值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）根据抛物线解析式求出点 坐标，运用待定系数法求出直线 解析式，设 ，则
，根据 ， 及 、 两点坐标得出 是等腰直角三角形，利用 表示出
的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案；
（3）根据抛物线解析式求出对称轴为直线 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ，根据平行四边形
对角线中点的坐标相同，分 、 、 为对角线三种情况，列方程组求出 、 的值即可得答案；
（4）根据平移规律得出新的抛物线解析式为 ，设 的解析式为 ， ， ， ， ，则 ，联立抛物线与直线 的解析式得 ，利用一元二次方程根与系数的关系用 、 、
、 分别表示 和 ，代入 ，根据 为定值得出 值及定值即可．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 ，点 ，
，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2） 抛物线 与 轴交于点 ，
，
设直线 的解析式为 ，把 、 代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，其中 ，
则 ，
，
，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
的周长
，
当 时， ，
周长的最大值为 ；（3）存在，
抛物线的解析式为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
设点 坐标为 ，点 坐标为 ，又 ， ，
①当 、 为平行四边形的对角线时，如图，
则 ，
解得： ，
，
②当 、 为平行四边形的对角线时，如图，
则 ，
解得： ，
，
③当 、 为对角线时，如图，则 ，
解得： ，
解得： ，
综上所述，存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形， 点的坐标为 ， ，
．
（4）当抛物线 向左平移 1 个单位，向上平移 4 个单位后，得到新的抛物线
，即 ，
设 的解析式为 ，点 坐标为 ， ，点 坐标为 ， ，则 ，
联立新抛物线与直线 的解析式得： ，
整理得： ，
由根与系数关系得： ， ，
由两点间距离公式得： ，
同理， ，
，
为定值，
，
解得： ，
当 时， ，
定点 ， 的值为4．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，二次函数图象
的平移，平行四边形的性质，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系的应用等，综合性强，
熟练掌握相关的性质及规律是解题关键．
28．（2024•峰峰矿区校级二模）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点（点 在
点 的左侧），已知点 的横坐标是2，抛物线 的顶点为 ．
（1）求 的值及顶点 的坐标；
（2）点 是 轴正半轴上一点，将抛物线 绕点 旋转 后得到抛物线 ，记抛物线 的顶点为 ，
抛物线 与 轴的交点为 ， （点 在点 的右侧）．当点 与点 重合时（如图 ，求抛物线 的
表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从 ， ， 中任取一点， ， ， 中任取两点，若以取出的三点为
顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线 为抛物线 的“勾股伴随同类函数”．当抛物线 是抛物线
的勾股伴随同类函数时，求点 的坐标．
【分析】（1）将点 代入 ，即可求出 ，把抛物线的解析式化为顶点式即可得
出顶点坐标；
（2）如图 1，连接 ，作 轴于 ，作 轴于 ，由 ，可得
， ，故抛物线 的顶点 的坐标为 ，即可得出抛物线 的函数表达式为
；
（3）设点 ，如图 2，作 轴于 ， 轴于 ， 于 ，根据旋转可得：
，进而可得：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，再分类讨论即可得出答
案．
【解答】解：（1）由 得 ，
顶点 的坐标为 ，
点 在抛物线 上，
，解得： ；
（2）如图1，连接 ，作 轴于 ，作 轴于 ，
根据题意，点 ， 关于点 成中心对称，
过点 ，且 ，
在 和 中，
，
，
， ，
抛物线 的顶点 的坐标为 ，
抛物线 由 绕点 旋转 后得到，
抛物线 的函数表达式为 ；
（3） 抛物线 由 绕 轴上的点 旋转 后得到，
顶点 ， 关于点 成中心对称，由（2）知：点 的纵坐标为8，
设点 ，
如图2，作 轴于 ， 轴于 ， 于 ，
旋转中心 在 轴上，
，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
根据勾股定理得， ，
显然， 和 不可能是直角三角形，
①当 是直角三角形时，显然只能有 ，
根据勾股定理得：
，
，
，
解得： ，
，点 的坐标为 ， ；
②当 是直角三角形时，显然只能有 ，
根据勾股定理得：
，
，
，
解得： ，
，
点 的坐标为 ， ，
③当 是直角三角形时，
，
，
当 时， ，
即 ，
解得： ，
，
点 的坐标为 ， ；
当 时， ，
即 ，
解得： ，
，
点 的坐标为 ， ；
，
，
综上所述，当抛物线 是抛物线 的勾股伴随同类函数时，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ，．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，图形的翻折和平移，新定义“勾股伴随同类函数”的理解与应用，
二次函数的性质，二次项系数 确定函数的形状，形状相同．开口方向相同则二次项系数相等，若形状
相同，开口方向相反，则二次项系数互为相反数，根据二次项系数和顶点坐标直接写出二次函数的解析式
是关键．
29．（2024•泉州模拟）已知点 和点 在抛物线 上．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）四边形 的四个顶点均在该抛物线上， 与 交于点 ，直线 为 ，
，直线 为 ．
①求 的值；
②记 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若 ， ，求 的最小值．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①联立直线 与抛物线的解析式得 ，运用根与系数关系得： ，
， 再 运 用 待 定 系 数 法 求 得 直 线 的 表 达 式 为 ， 联 立 后 得
，得出 ，进而求得 ， ，同理可得： ， ，进而得出： ， ，即可求得 ；
②设 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，可得直线 的表达式为 ， ，记
的 面 积 为 ， 的 面 积 为 ， 的 面 积 为 ， ， 推 出
，记 ，则 ，即 ，运用一元二次
方程根的判别式即可求得答案．
【解答】解：（1） 点 和点 在抛物线 上，
，
解得： ，
抛物线所对应的函数表达式为 ；
（2）① 直线 与抛物线 交于 、 两点，
，
整理得： ，
， ，
设直线 的表达式为 ，又直线 经过点 ，
，
解得： ，
直线 的表达式为 ，
联立得： ，
整理得： ，，
，
， ，
同理可得： ， ，
联立方程组得 ，
整理得： ，
则 ， ，
又 ，
，
，即 ；
②设 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ，
当 ， 时，
由（2）①得 ，
解得： ，
直线 的表达式为 ，
，
记 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ， ，
，
又 ，
， ， ，
，，
记 ，则 ，
即 ，
存在，
关于 的一元二次方程有实数根，
△ ，
或 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
当 时， 取得最小值，且 的最小值为 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，
一元二次方程根的判别式及根与系数关系，三角形面积等，综合性强，难度较大，属于常考的中考数学压
轴题．
30．（2024•菏泽二模）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线
经过 、 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 是直线 上方抛物线上的一动点，当 面积最大时，请求出点 的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，连接 ，点 是抛物线对称轴上的
动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请
直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据一次函数求 和 的坐标，再利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）如图1，过 作 轴，交直线 于 ，设 ，则 ，表示铅直高度 的长，利用三角形面积公式及二次函数的最值得出点 的坐标；
（3）在抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，
根据平行四边形的特征，求出使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形的点 的坐标是多少
即可．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
当 时， ，
，
，
把 和 代入抛物线 中得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）如图1，过 作 轴，交直线 于 ，
设 ，则 ，
，
，
，
有最大值，此时 ；
（3） ；
对称轴是： ，
点 是抛物线对称轴上的动点，的横坐标为 ，
在抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形；
①如图2，以 为边时，由（2），可得点 的横坐标是3，
点 在直线 上，
点 的坐标是 ，
又 点 的坐标是 ，点 的横坐标为 ，
根据 到 的平移规律：可知： 的横坐标为 ，
， ；
②如图3，以 为边时，四边形 是平行四边形，
由（2），可得点 的横坐标是3，
，且 的横坐标为 ，
的横坐标为 ，
， ；
③以 为对角线时，如图4，
到 的平移规律可得 到 的平移规律，
点 的坐标是 ， ，
综上所述，在抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
点 的坐标是 ， 或 ， 或 ， ．【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，
并能根据平行四边形点的平移规律求点的坐标．
31．（2024•蓬江区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，抛物线 ，其
顶点为 ，连接 ，并将 绕着点0顺时针旋转 得到 ，
（1）当抛物线过点 时，求 的值；
（2）当 时，求 的值；
（3）当抛物线与 的边（包括端点）有且只有两个交点时，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）抛物线 的顶点是 ，可以假设抛物线的解析式为 ，求出
点 的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）分类讨论，点 在 下方和上方时分别讨论，利用平行线等距求解即可；
（3）运用数形结合思想，通过图象找临界值代入求解即可．
【解答】解：（1） 点 ，将 绕着点0顺时针旋转 得到 ，
，把 代入 得， ，
解得 ，
的值为 或 ；
（2） ， ，
直线 为 ，
抛物线 ，
顶点 ，
点 在直线 上，
①当点 在 下方时，
，
的中点 ， ，
，
，
过点 作 的平行线 ，交直线 于 ，此时 ，
设直线 为 ，
把点 的坐标代入得， ，
解得 ，
直线 为 ，
由 ，解得 ，
， ，
；②当点 在 上方时，
直线 解析式为 ，直线 为 ，
它们与 轴交点给分别为 ，和 ，
此时过 与 平行的直线 与 轴交点为 ，
直线 的解析式为 ，
联立 得， ；
综上， 的值为 或 ；
（3）由（1）可知，当二次函数 过点 时， ，
当二次函数 过点 时， ，解得， ，
当二次函数 过点 ， 时，线段 的中点坐标为 ，
当 时， ，解得， ， ，
当 ， 时， ，解得， ， ，
综上所述，抛物线与 的边（包括端点）有且只有两个交点时， 的取值范围为：或 或 或 或 或 ．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象、旋转的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关
知识和运用数形结合是解题的关键．
32．（2024•南丹县一模）如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，点 是抛物线
的顶点，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ．
（1）求抛物线 所对应的函数解析式；
（2）如图1，点 是抛物线 上一点，且位于 轴上方，横坐标为 ，连接 ，若 ，
求 的值；
（3）如图2，将抛物线 平移后得到顶点为 的抛物线 ．点 为抛物线 上的一个动点，过点 作
轴的平行线，交抛物线 于点 ，过点 作 轴的平行线，交抛物线 于点 ．当以点 ， ， 为顶
点的三角形与 全等时，请直接写出点 的坐标．
【分析】（1）根据 、 两点的坐标用待定系数法求出解析式；
（2）如图，当 点在 轴上方时，若 ，则 ，先求直线 的解析式，由点
的坐标可求出直线 的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点 的坐标，当点 在 轴下方时，由
轴对称的性质可求出直线 的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点 的坐标；
（3）先求出 的解析式，可设出点 坐标，表示 、 坐标及 、 ，根据以 ， ， 为顶点的
三角形与 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求 点坐标．
【解答】解：（1）由题意得： ，解得 ．
抛物线 所对应的函数解析式为 ；
（2）当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
如答图1，当 点在 轴上方时，
，
，
设直线 的解析式为 ，
直线经过点 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，，
解得： ， （舍去），
，
综合以上可得 的值为 ；
（3） 抛物线 平移后得到 ，且顶点为 ，
，
即 ．
设 ，则 ，
，
①如答图2，当 在 点上方时，
， ，
与 全等，
当 且 时， ，
， ，
当 且 时，无解；
②如答图3，当点 在 点下方时，同理： ， ， ，
，
则 ， ．
综合可得 点坐标为 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判
定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
33．（2024•文昌校级模拟）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，与
轴交于点 ，点 是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，当 时，求 的面积；
（3）当 时，求点 的坐标；
（4）如图2，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 ，使 是以点 为直角顶点的等腰直角三
角形，若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把 ，点 代入二次函数 中列方程组可解答；
（2）先计算点 的坐标，利用待定系数法可得 的解析式，最后利用面积和可得 的面积；（3）先计算 ，根据直角三角形斜边中线的性质和勾股定理可得： ，则
， ，从而根据直线 和抛物线的交点坐标可解答；
（4）作辅助线构建全等三角形，过点 作 轴，交 轴于 ，交对称轴于点 ，证明
，得 ，列方程可解答．
【解答】解：（1）把 ，点 代入二次函数 中得：
，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2） 点 是抛物线上的动点， ，
，
，
设 的解析式为： ， 与 轴交于点 ，
把 和 代入得： ，
，
的解析式为： ，
当 时， ，
，
，
的面积 ；（3）如图1， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
同理可求得 的解析式为： ，
，
解得： （舍 ， ，
， ；
（4）如图2，过点 作 轴，交 轴于 ，交对称轴于点 ，
由题意得： ，
，
抛物线对称轴是直线 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，，
，
，
，
，
，
（如图）， ；
如图4，过点 作 轴，交 轴于 ，交对称轴于点 ，
同理可得： ，
，，
解得： ， ，
综上， 的值是 或 ．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次
函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题．
